? 单个正态总体中参数的假设检验单个正态总体中参数的假设检验最为简单，
也最为常见。
由点估计，可用,因此，我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为
22(,) ;,XN设 总 体 为 参 数
22 0( 1 ), 已 知 时 关 于 的 假 设 检 验
0 0 0 1 0,( ) ;,HH为 已 知 数
X?来 估 计
X
0H
1 2 0{ } { } { | | }W X c X c W X c或 者
由来确定
00
1 2 0
0 1 0
0
00
0 2 0
0
00
0
0
0
{ | } { | }
{ | }
{ | }
{ | }
{ | | | }
P T W H P T W
P X c X c
Xc
P
nn
Xc
P
nn
X
Pc
n
为 真或
12,c c c或 者
而在 为真时,
由标准正态分布的分位数可知因此拒绝域为
00:H
)1,0(~
0
0 N
n
XU
00
2 1 0 2 2 0 2;,c Z c Z c Znn
00
0 2 0 2
2
{ } { }
{| | }
W X Z X Z
nn
W U Z
或 者
例 某工厂生产的一种产品的强度长期以来一直服从正态分布Ｎ (55,0.01)，,现采用新的工艺进行生产后，抽取 n=100的样本，测得有样本均值为 56。假设方差保持不变，问在新的工艺下，产品的强度是否有所变化？（取 ）05.0
解：假设采用新的工艺进行生产后，产品的强度仍服从正态分布作假设选取统计量在原假设为真的条件下拒绝域为
(,0,0 1 )N?
55,00H 1,5 5H
0
0
XU
n
~ (0,1 )UN
}|{| 2?ZUW
经计算，统计量的观测值 u=100，查表得 。从而,说明样本观测值落入了拒绝域中，应该拒绝,即在新的工艺下，产品的强度已经发生了变化。
96.1025.0?Z
025.0Zu?
0H
上面所讨论的是属于双侧假设检验，我们来考虑下面的假设这时拒绝域的形式应为这是属于单侧假设检验．
0 0 0 1 0,( ) ;,HH 为 已 知 数
{}W X c
由来确定
00
0
00
0
00
0
0
00
{ | } { | }
{ | }
{ | }
{ | }
P T W H P T W
P X c
Xc
P
nn
cX
P
nn
为 真
c
而在 为真时,
由标准正态分布的分位数可知记 因此拒绝域为单侧假设检验还有另外一种相反方向的形式，大家不妨写出它的假设及拒绝域
00:H
0
~ (0,1 )X N
n
0
0cZn?
0
0{}
{}
W X Z
n
W U Z
或 者
0
0
XU
n
由点估计，同样可用,因此，
我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为
2( 2 ),未 知 时 关 于 的 假 设 检 验
0 0 0 1 0,( ) ;,HH为 已 知 数
X?来 估 计
X
0H
1 2 0{ } { } { | | }W X c X c W X c或 者
由来确定
00
1 2 0
0 1 0
0
0 2 0
0
0
0
{ | } { | }
{ | }
{ | }
{ | }
{ | | | }
P T W H P T W
P X c X c
Xc
P
S n S n
Xc
P
S n S n
X
Pc
Sn
为 真或
12,c c c或 者
而在 为真时,
由分位数可知因此拒绝域为
00:H
0 ~ ( 1 )XT t n
Sn
2
1 0 2 2 0 2
( 1 ) ;
( 1 ),( 1 )
c t n
SS
c t n c t n
nn
2{ | | ( 1 )}W T t n
拒绝域的形式为如果记类似地可以得到拒绝域为
2,未 知 时 关 于 的 单 侧 假 设 检 验
0 0 0 1 0,( ) ;,HH为 已 知 数
{}W X c
0XT
Sn
{ ( 1 ) }W T t n
由点估计，可用,因此，我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为
2( 3 ),未 知 时 关 于 的 假 设 检 验
2 2 2 2 2
0 0 0 1 0,( ) ;,HH 为 已 知 数
22S?来 估 计
2S
0H
2212{ } { }W S c S c
由来确定
00
2 2 2 2
1 2 0
2 2 2 2 2 2
1 0 2 0
2
221
022
00
2
222
022
00
{ | } { | }
{ | }
{ | } { | }
( 1 )( 1 )
{ | }
( 1 )( 1 )
{ | }
P T W H P T W
P S c S c
P S c P S c
ncnS
P
ncnS
P
为 真或
12,cc
而在 为真时,
由分位数可 取因此拒绝域为
2200:H
2
22
2
0
( 1 ) ~ ( 1 )nS n
2212
2 1 222
00
22
2200
1 2 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ; ( 1 )
( 1 ) ; ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
n c n c
nn
c n c n
nn
22
2 2 2 200
2 1 2{ ( 1 ) } { ( 1 ) } }( 1 ) ( 1 )W S n S nnn
或者记为
2 2 2 2
2 1 2{ ( 1 ) } { ( 1 ) }W n n
考虑单侧假设检验拒绝域的形式为如果记类似地可以得到拒绝域为或者为
2 2 2 2 2
0 0 0 1 0,( ) ;,HH 为 已 知 数
2{}W S c
2
2
2
0
( 1 )nS?
2
22 0
1{ ( 1 ) }( 1 )W S nn?
22
1{ ( 1 ) }Wn
例,某厂生产的一种电池，长期以来，其寿命,今有一批电池，从生产过程看，生产条件的变化较大，因此怀疑这批电池的寿命的波动性会受到影响，为判断这是否符合实际，从中抽取了 26只进行测试，得到
，问根据这些数据能否判断出这批电池寿命的波动性有显著变化？（ ）
~ (,5 0 0 0 )XN?
72002?S
02.0
解：这是关于方差的假设检验检验问题,设这一批电池的寿命,作假设而说明样本观测值没有落入拒绝域中，不能拒绝,即这批电池的寿命的波动性没有显著的变化。
),(~ 2NX
2201,5000 ;,5000HH
7 2 0 0,0,0 2,2这 里 n=26,s 查 表 得
220.01 0.99( 25 ) 44.314,( 25 ) 11.524
36
5000
720025)1(
2
0
2
2
Sn
0H
两个正态总体中参数的假设检验
22
1 1 2 2
22
(,) ; (,)
,
,,,),,,,),,,
.
XY
X N Y N
mn
X S S
1 2 m 1 2 n
设 有 两 独 立 总 体从 两 个 总 体 中 分 别 独 立 抽 取 容 量 为 的 子 样
( X X X ( Y Y Y 记 与 Y 分 别 为它 们 的 样 本 均 值 与 样 本 方 差
22
121.,,12已 知 时 对 作 假 设 检 验双侧假设检验
0 1 2 0 1 1 2 0,;,HH
0
22
12
{ } { }
()
,
{ },
XY
U
mn
12
直 观 上,可 用 X- Y 来 检 验,拒 绝 域 应 为
W= X- Y>c X- Y<c
如 果 选 取 则 拒 绝 域 应 为
W= |U|>c 的 形 式
由于在对单侧假设检验,同学们不妨将它的假设及拒绝域写出．
0
0
22
12
2
()
( 0,1 ),
{ | | }
XY
H U N
mn
W U Z
为 真 时 因 此拒 绝 域 为
22
12
0 1 2 0 1 1 2 0
0
2,,
,;,
()
,
11
{ },
W
HH
XY
T
S
mn
2
12
= 未 知 时 对 作 假 设 检 验对 假 设如 果 取 则 拒 绝 域 应 为
W = | T | > c 的 形 式
由于在对单侧假设检验,同学们不妨将它的假设及拒绝域写出．
0
0
2
()
( 2),
11
{ | | ( 2) }
W
XY
H T t m n
S
mn
W T t m n
为 真 时 因 此拒 绝 域 为
例 3.5 某种食品在处理前后含脂率抽样数据如下：
处理前,0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.27
处理后,0.15 0.13 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08
0.12
假定处理前后的含脂率均服从正态分布，
且标准差保持不变，问在 0.05显著性水平下，
处理前后的含脂率有无显著变化？
解：我们采用 t检验。设处理前后含脂率分别为
X,Y，,作假设22
12~ (,) ; ~ (,)X N Y N
0 1 2 1 1 2,;,HH
2
()
,
11
{ | | ( 2) }
W
XY
T
S
mn
W T t m n
选 取则 拒 绝 域 应 为
0,02 5
2
2
7,8 ; ( 13 ) 2,16
0,24,0,00 78
0,13,0,00 34
2.68
,
x
y
m n t
xs
ys
t
这 里经 计 算从 而这 样 样 本 观 测 值 落 入 了 拒 绝 域 内 即 处 理前 后 的 含 脂 率 有 显 著 变 化
2
1
2
2
22
11
0 0 1 022
22
2 2 2
11
2 2 2
2 2 0
3,,,
,;,
1
,
{ } { },
X
Y
HH
SS
F
SS
12
12
未 知 时 对 作 假 设 检 验对 假 设显 然 的 值 可 用 估 计,如 果 取则 拒 绝 域 应 为 W = F > c F < c 的 形 式
由于在对单侧假设检验,同学们不妨将它的假设及拒绝域写出．
2
1
0 2
20
2 1 2
1
( 1,1 ),
{ ( 1,1 ) } { ( 1,1 ) }
S
H F F m n
S
W F F m n F F m n
为 真 时 因 此拒 绝 域 为
其它分布中参数的假设检验正态分布是常见的分布，但大多数情况下，
总体并不一定服从正态分布，因此掌握一些其它分布参数的假设检验方法也是非常必要的，
然而，由于一些分布中常用的统计量分布不容易求得，因此进行假设检验就会遇到不少困难，
比如说，拒绝域就不容易确定。下面我们只对一些特殊情况进行讨论
(1)大样本条件下总体均值的假设检验由点估计，可用,因此，我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为由定理 1.3可知,在原假设成立的条件下,当 n 充分大时,有
0 0 0 1 0,( ) ;,
X
HH
设 总 体 为 任 意 总 体,E(X)= 有 限,作 假 设为 已 知 数
X?来 估 计
X
0H
12{ } { }W X c X c
)1,0(~
/
0 N
nS
XU 近似
因此拒绝域为特别有事件概率 p的假设检验其拒绝域为这里
2
{ | | }W U Z
0 0 0 1 0,( ) ;,H p p p H p p为 已 知 数
2
{ | | }W U Z
0
00( 1 )
,.
m n p
U
n p p
nm
为 独 立 试 验 的 次 数 为 事 件 发 生 的 次 数
（２）指数总体中参数的假设检验
22
0 0 0 1 0
12
22 0
0
2 2 2 2
1
( ),
,( ) ;,
1
:,
{ } { }
2
2 ( 2 )
{ ( 2 ) } { ( 2 ) }
XE
HH
X
W X c X c
n
n X n
W n n
0
设 总 体 作 假 设为 已 知 数由 点 估 计 知 从 而 拒 绝 域 的 形 式 为由 概 率 论 方 法,在 H 为 真 的 条 件 下从 而 拒 绝 域 为
例 某厂有一批产品，共 1000件，须经检验后方可出厂。按规定标准，次品率不得超过 1%。今在其中随机抽取 100件进行检查，结果发现有 2
件次品，问这批产品能否出厂？（ ）05.0
解：设这一批产品的次品率为 p,我们作假设
01,0,01 ;,0,01H p H p
0
00
,
( 1 )
{}
1,6 4 5,
m n p
U
n p p
W U Z
0.005
我 们 选 取 统 计 量得 拒 绝 域 为这 里,n=100,m=2,计 算 得 U=0.71
对 =0.05,Z 从 而 样 本 观 测 值 未落 入 拒 绝 域 中,因 此 这 一 批 产 品 可 以 出 厂,
也最为常见。
由点估计，可用,因此，我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为
22(,) ;,XN设 总 体 为 参 数
22 0( 1 ), 已 知 时 关 于 的 假 设 检 验
0 0 0 1 0,( ) ;,HH为 已 知 数
X?来 估 计
X
0H
1 2 0{ } { } { | | }W X c X c W X c或 者
由来确定
00
1 2 0
0 1 0
0
00
0 2 0
0
00
0
0
0
{ | } { | }
{ | }
{ | }
{ | }
{ | | | }
P T W H P T W
P X c X c
Xc
P
nn
Xc
P
nn
X
Pc
n
为 真或
12,c c c或 者
而在 为真时,
由标准正态分布的分位数可知因此拒绝域为
00:H
)1,0(~
0
0 N
n
XU
00
2 1 0 2 2 0 2;,c Z c Z c Znn
00
0 2 0 2
2
{ } { }
{| | }
W X Z X Z
nn
W U Z
或 者
例 某工厂生产的一种产品的强度长期以来一直服从正态分布Ｎ (55,0.01)，,现采用新的工艺进行生产后，抽取 n=100的样本，测得有样本均值为 56。假设方差保持不变，问在新的工艺下，产品的强度是否有所变化？（取 ）05.0
解：假设采用新的工艺进行生产后，产品的强度仍服从正态分布作假设选取统计量在原假设为真的条件下拒绝域为
(,0,0 1 )N?
55,00H 1,5 5H
0
0
XU
n
~ (0,1 )UN
}|{| 2?ZUW
经计算，统计量的观测值 u=100，查表得 。从而,说明样本观测值落入了拒绝域中，应该拒绝,即在新的工艺下，产品的强度已经发生了变化。
96.1025.0?Z
025.0Zu?
0H
上面所讨论的是属于双侧假设检验，我们来考虑下面的假设这时拒绝域的形式应为这是属于单侧假设检验．
0 0 0 1 0,( ) ;,HH 为 已 知 数
{}W X c
由来确定
00
0
00
0
00
0
0
00
{ | } { | }
{ | }
{ | }
{ | }
P T W H P T W
P X c
Xc
P
nn
cX
P
nn
为 真
c
而在 为真时,
由标准正态分布的分位数可知记 因此拒绝域为单侧假设检验还有另外一种相反方向的形式，大家不妨写出它的假设及拒绝域
00:H
0
~ (0,1 )X N
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0
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0
0{}
{}
W X Z
n
W U Z
或 者
0
0
XU
n
由点估计，同样可用,因此，
我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为
2( 2 ),未 知 时 关 于 的 假 设 检 验
0 0 0 1 0,( ) ;,HH为 已 知 数
X?来 估 计
X
0H
1 2 0{ } { } { | | }W X c X c W X c或 者
由来确定
00
1 2 0
0 1 0
0
0 2 0
0
0
0
{ | } { | }
{ | }
{ | }
{ | }
{ | | | }
P T W H P T W
P X c X c
Xc
P
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Xc
P
S n S n
X
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为 真或
12,c c c或 者
而在 为真时,
由分位数可知因此拒绝域为
00:H
0 ~ ( 1 )XT t n
Sn
2
1 0 2 2 0 2
( 1 ) ;
( 1 ),( 1 )
c t n
SS
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nn
2{ | | ( 1 )}W T t n
拒绝域的形式为如果记类似地可以得到拒绝域为
2,未 知 时 关 于 的 单 侧 假 设 检 验
0 0 0 1 0,( ) ;,HH为 已 知 数
{}W X c
0XT
Sn
{ ( 1 ) }W T t n
由点估计，可用,因此，我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为
2( 3 ),未 知 时 关 于 的 假 设 检 验
2 2 2 2 2
0 0 0 1 0,( ) ;,HH 为 已 知 数
22S?来 估 计
2S
0H
2212{ } { }W S c S c
由来确定
00
2 2 2 2
1 2 0
2 2 2 2 2 2
1 0 2 0
2
221
022
00
2
222
022
00
{ | } { | }
{ | }
{ | } { | }
( 1 )( 1 )
{ | }
( 1 )( 1 )
{ | }
P T W H P T W
P S c S c
P S c P S c
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P
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为 真或
12,cc
而在 为真时,
由分位数可 取因此拒绝域为
2200:H
2
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2212
2 1 222
00
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2200
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( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ; ( 1 )
( 1 ) ; ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
n c n c
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c n c n
nn
22
2 2 2 200
2 1 2{ ( 1 ) } { ( 1 ) } }( 1 ) ( 1 )W S n S nnn
或者记为
2 2 2 2
2 1 2{ ( 1 ) } { ( 1 ) }W n n
考虑单侧假设检验拒绝域的形式为如果记类似地可以得到拒绝域为或者为
2 2 2 2 2
0 0 0 1 0,( ) ;,HH 为 已 知 数
2{}W S c
2
2
2
0
( 1 )nS?
2
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1{ ( 1 ) }( 1 )W S nn?
22
1{ ( 1 ) }Wn
例,某厂生产的一种电池，长期以来，其寿命,今有一批电池，从生产过程看，生产条件的变化较大，因此怀疑这批电池的寿命的波动性会受到影响，为判断这是否符合实际，从中抽取了 26只进行测试，得到
，问根据这些数据能否判断出这批电池寿命的波动性有显著变化？（ ）
~ (,5 0 0 0 )XN?
72002?S
02.0
解：这是关于方差的假设检验检验问题,设这一批电池的寿命,作假设而说明样本观测值没有落入拒绝域中，不能拒绝,即这批电池的寿命的波动性没有显著的变化。
),(~ 2NX
2201,5000 ;,5000HH
7 2 0 0,0,0 2,2这 里 n=26,s 查 表 得
220.01 0.99( 25 ) 44.314,( 25 ) 11.524
36
5000
720025)1(
2
0
2
2
Sn
0H
两个正态总体中参数的假设检验
22
1 1 2 2
22
(,) ; (,)
,
,,,),,,,),,,
.
XY
X N Y N
mn
X S S
1 2 m 1 2 n
设 有 两 独 立 总 体从 两 个 总 体 中 分 别 独 立 抽 取 容 量 为 的 子 样
( X X X ( Y Y Y 记 与 Y 分 别 为它 们 的 样 本 均 值 与 样 本 方 差
22
121.,,12已 知 时 对 作 假 设 检 验双侧假设检验
0 1 2 0 1 1 2 0,;,HH
0
22
12
{ } { }
()
,
{ },
XY
U
mn
12
直 观 上,可 用 X- Y 来 检 验,拒 绝 域 应 为
W= X- Y>c X- Y<c
如 果 选 取 则 拒 绝 域 应 为
W= |U|>c 的 形 式
由于在对单侧假设检验,同学们不妨将它的假设及拒绝域写出．
0
0
22
12
2
()
( 0,1 ),
{ | | }
XY
H U N
mn
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为 真 时 因 此拒 绝 域 为
22
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0 1 2 0 1 1 2 0
0
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,;,
()
,
11
{ },
W
HH
XY
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= 未 知 时 对 作 假 设 检 验对 假 设如 果 取 则 拒 绝 域 应 为
W = | T | > c 的 形 式
由于在对单侧假设检验,同学们不妨将它的假设及拒绝域写出．
0
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()
( 2),
11
{ | | ( 2) }
W
XY
H T t m n
S
mn
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为 真 时 因 此拒 绝 域 为
例 3.5 某种食品在处理前后含脂率抽样数据如下：
处理前,0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.27
处理后,0.15 0.13 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08
0.12
假定处理前后的含脂率均服从正态分布，
且标准差保持不变，问在 0.05显著性水平下，
处理前后的含脂率有无显著变化？
解：我们采用 t检验。设处理前后含脂率分别为
X,Y，,作假设22
12~ (,) ; ~ (,)X N Y N
0 1 2 1 1 2,;,HH
2
()
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XY
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S
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选 取则 拒 绝 域 应 为
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,
x
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这 里经 计 算从 而这 样 样 本 观 测 值 落 入 了 拒 绝 域 内 即 处 理前 后 的 含 脂 率 有 显 著 变 化
2
1
2
2
22
11
0 0 1 022
22
2 2 2
11
2 2 2
2 2 0
3,,,
,;,
1
,
{ } { },
X
Y
HH
SS
F
SS
12
12
未 知 时 对 作 假 设 检 验对 假 设显 然 的 值 可 用 估 计,如 果 取则 拒 绝 域 应 为 W = F > c F < c 的 形 式
由于在对单侧假设检验,同学们不妨将它的假设及拒绝域写出．
2
1
0 2
20
2 1 2
1
( 1,1 ),
{ ( 1,1 ) } { ( 1,1 ) }
S
H F F m n
S
W F F m n F F m n
为 真 时 因 此拒 绝 域 为
其它分布中参数的假设检验正态分布是常见的分布，但大多数情况下，
总体并不一定服从正态分布，因此掌握一些其它分布参数的假设检验方法也是非常必要的，
然而，由于一些分布中常用的统计量分布不容易求得，因此进行假设检验就会遇到不少困难，
比如说，拒绝域就不容易确定。下面我们只对一些特殊情况进行讨论
(1)大样本条件下总体均值的假设检验由点估计，可用,因此，我们可选取统计量 来检验,显然它的值太大或者太小都应拒绝,因此,拒绝域的形式为由定理 1.3可知,在原假设成立的条件下,当 n 充分大时,有
0 0 0 1 0,( ) ;,
X
HH
设 总 体 为 任 意 总 体,E(X)= 有 限,作 假 设为 已 知 数
X?来 估 计
X
0H
12{ } { }W X c X c
)1,0(~
/
0 N
nS
XU 近似
因此拒绝域为特别有事件概率 p的假设检验其拒绝域为这里
2
{ | | }W U Z
0 0 0 1 0,( ) ;,H p p p H p p为 已 知 数
2
{ | | }W U Z
0
00( 1 )
,.
m n p
U
n p p
nm
为 独 立 试 验 的 次 数 为 事 件 发 生 的 次 数
（２）指数总体中参数的假设检验
22
0 0 0 1 0
12
22 0
0
2 2 2 2
1
( ),
,( ) ;,
1
:,
{ } { }
2
2 ( 2 )
{ ( 2 ) } { ( 2 ) }
XE
HH
X
W X c X c
n
n X n
W n n
0
设 总 体 作 假 设为 已 知 数由 点 估 计 知 从 而 拒 绝 域 的 形 式 为由 概 率 论 方 法,在 H 为 真 的 条 件 下从 而 拒 绝 域 为
例 某厂有一批产品，共 1000件，须经检验后方可出厂。按规定标准，次品率不得超过 1%。今在其中随机抽取 100件进行检查，结果发现有 2
件次品，问这批产品能否出厂？（ ）05.0
解：设这一批产品的次品率为 p,我们作假设
01,0,01 ;,0,01H p H p
0
00
,
( 1 )
{}
1,6 4 5,
m n p
U
n p p
W U Z
0.005
我 们 选 取 统 计 量得 拒 绝 域 为这 里,n=100,m=2,计 算 得 U=0.71
对 =0.05,Z 从 而 样 本 观 测 值 未落 入 拒 绝 域 中,因 此 这 一 批 产 品 可 以 出 厂,
