二元方差分析在许多问题中,往往不只考虑单个因子对试验指标的影响,而要同时考虑两个因子对试验指标的影响,这时需要进行二元方差分析,二元方差分析分为有交互作用与无交互作用两种情形,
交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响,
例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互搭配对农用物的产量的影响可能更大,我们用表描述如下则 (700-450)-(400-300)=150kg为交互作用的影响,
A B A1(不施氮肥 ) A1(施 50公斤氮肥 )
A1(不施氮肥 ) 300kg 450kg
A1(施 50公斤氮肥 ) 400kg 700kg
1.无交互作用的二元方差分析
A,B A A,,A ;
,,,ij
B
B B B A B
X
1 2 r
1 2 s
ij
设 为 两 个 因 子,A 取 r 个 水 平,取 s 个水 平,在 条 件 下 只 做 一 次 试 验,记 这一 次 试 验 的 结 果 为,i =1,2,,r ;j =1,2,,s
试 验 结 果 可 列 成 如 下 表
A B B1 B2 …… Bs
A1 X11 X12 …… X1S
A2 X21 X22 …… X2S
…… …… …… …… ……
Ar Xr1 Xr2 …… Xrs
2
12
~ (,),
,,,
ij ij
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X N B
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我 们 假 定 如 果 因 子 对 试 验 指 标 没 有显 著 影 响,那 么 的 分 布 相 同,即
0 1 2:B i i isH
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A X X
X
如 果 因 子 对 试 验 指 标 没 有 显 著 影 响,那 么的 分 布 相 同,即
0 1 2:A j j r jH
,
i j i j
ij
注 意 到 没 有 交 互 作 用 时 应 满 足,对,有如 果 记
1 1 1 1
1 1 1,,s r r s
i ij j ij ij
j i i js r r s
引进记号,
1 1 1 1
1 1 1,,s r r s
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,,
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2
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( ) ( ) ( 1 )
s
j
i
E S S B s
同 理
= r
从这个结果,我们可以看出
(1)SSE只与随机误差有关,我们称之为误差平方和
(2) SSA不仅与随机误差有关,而且与 A的各水平的差异有关,我们称之为由 A因子引起的离差平方和,SSA越大,A的各水平的差异也越大,
因此,可用它来检验 H0A是否成立,在 H0A成立的条件下,
(3)SSB不仅与随机误差有关,而且与 B的各水平的差异有关,我们称之为由 B因子引起的离差平方和,SSB越大,B的各水平的差异也越大,
因此,可用它来检验 H0B是否成立,在 H0B成立的条件下,
(4)我们还可以证明
22?
( 1 ) ( 1 )
SSE
rs且 为 的 无 偏 估 计
()E S S A? 2=(r-1)
()E S S B? 2=(s-1)
0
( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1,( 1 ) ( 1 ) )
AA
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FH
S S E r s
F F r r s
在 为 真 时
0
( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1,( 1 ) ( 1 ) )
BB
B
S S B s
FH
S S E r s
F F s r s
在 为 真 时由上面讨论,我们找到了一种检验 H0A和 H0B方法,
选取统计量
H0A拒绝域为
H0B拒绝域为
{ ( 1,( 1 ) ( 1 ) ) }AW F F r r s
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )AB
SSA r SSB sFF
SSE r s SSE r s
{ ( 1,( 1 ) ( 1 ) ) }BW F F s r s
例,见 P96 例 5.4
2.有交互作用的二元方差分析
A,B A A,,A ;
,,.
,
ij
B
B B B A B
X X X
1 2 r
1 2 s
ij1 ij2 ijc
设 为 两 个 因 子,A 取 r 个 水 平,取 s 个水 平,在 条 件 下 做 c 次 试 验,记 这
c 次 试 验 的 结 果 为,i=1,2,,r;j=1,2,,s
试 验 结 果 可 列 成 如 下 表
A B B1 B2 …
…
Bs
A1 ……
A2 ……
…… …… …… …… ……
Ar ……
,,,X X X111 112 11c,,,X X X1 2 1 1 2 2 1 2 c,,,X X X1 s 1 1 s 2 1 s c
,,,X X X21 1 21 2 21 c,,,X X X
22 1 22 2 22 c
,,,X X X2s 1 2s 2 2s c
,,,X X Xr1 1 r1 2 r1 c,,,X X Xr2 1 r2 2 r2 c,,,X X X
rs 1 rs 2 rs c
2
12
~ (,),1,2,,.
,,,
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我 们 假 定 如 果 因 子 对 试 验指 标 没 有 显 著 影 响,那 么 的 分 布 相 同,即
0 1 2:B i i isH
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r jk
A X X
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如 果 因 子 对 试 验 指 标 没 有 显 著 影 响,那 么的 分 布 相 同,即
0 1 2:A j j r jH
0
,
A B i j i j
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如 果 没 有 交 互 作 用,就 应 满 足,对,有
,对,
如 果 记
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1 1 1,,s r r s
i ij j ij ij
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引进记号,
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1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
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( ) ( ) ( 1 )
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22
11
( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )
rs
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ij
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=c
从这个结果,我们可以看出
(1)SSE只与随机误差有关,我们称之为误差平方和
(2) SSA不仅与随机误差有关,而且与 A的各水平的差异有关,我们称之为由 A因子引起的离差平方和,SSA越大,A的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验 H0A是否成立,在
H0A成立的条件下,
(3)SSB不仅与随机误差有关,而且与 B的各水平的差异有关,我们称之为由 B因子引起的离差平方和,SSB越大,B的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验 H0B是否成立,在
H0B成立的条件下,
22?
( 1 ) ( 1 )
SSE
rs且 为 的 无 偏 估 计
()E S S A? 2=(r-1)
()E S S B? 2=(s-1)
(4) SSAB不仅与随机误差有关,而且与 A,B的各水平的相互搭配有关,我们称之为由 A,B因子的交互作用引起的离差平方和,SSAB越大,交互作用影响也越大,因此,可用它来检验 H0AB是否成立,在 H0AB成立的条件下,
(5)我们还可以证明
2( ) ( 1 ) ( 1 )E SS A B r s=
0
( 1 )
[ ( 1 ) ]
( 1,( 1 ) )
AA
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S S E r s c
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在 为 真 时
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( 1,( 1 ) )
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S S B s
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S S E r s c
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在 为 真 时
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[ ( 1 ) ( 1 ) ]
[ ( 1 ) ]
( ( 1 ) ( 1 ),( 1 ) )
A B A B
AB
S S A B r s
FH
S S E r s c
F F r s r s c
在 为 真 时由上面讨论,我们找到了一种检验 H0A,H0B和 H0AB方法,
选取统计量
H0A拒绝域为
H0B拒绝域为
H0AB拒绝域为
{ ( 1,( 1 ) ) }AW F F r r s c
{ ( 1,( 1 ) ) }BW F F s r s c
( 1 ) ( 1 )
,,
[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]
[ ( 1 ) ( 1 ) ]
,
[ ( 1 ) ]
AB
AB
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F
S S E r s c
{ ( ( 1 ) ( 1 ),( 1 ) ) }ABW F F r s rs c
例,见 P94 例 5.3
交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响,
例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互搭配对农用物的产量的影响可能更大,我们用表描述如下则 (700-450)-(400-300)=150kg为交互作用的影响,
A B A1(不施氮肥 ) A1(施 50公斤氮肥 )
A1(不施氮肥 ) 300kg 450kg
A1(施 50公斤氮肥 ) 400kg 700kg
1.无交互作用的二元方差分析
A,B A A,,A ;
,,,ij
B
B B B A B
X
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设 为 两 个 因 子,A 取 r 个 水 平,取 s 个水 平,在 条 件 下 只 做 一 次 试 验,记 这一 次 试 验 的 结 果 为,i =1,2,,r ;j =1,2,,s
试 验 结 果 可 列 成 如 下 表
A B B1 B2 …… Bs
A1 X11 X12 …… X1S
A2 X21 X22 …… X2S
…… …… …… …… ……
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2
12
~ (,),
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我 们 假 定 如 果 因 子 对 试 验 指 标 没 有显 著 影 响,那 么 的 分 布 相 同,即
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A X X
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如 果 因 子 对 试 验 指 标 没 有 显 著 影 响,那 么的 分 布 相 同,即
0 1 2:A j j r jH
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注 意 到 没 有 交 互 作 用 时 应 满 足,对,有如 果 记
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1 1 1,,s r r s
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引进记号,
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从这个结果,我们可以看出
(1)SSE只与随机误差有关,我们称之为误差平方和
(2) SSA不仅与随机误差有关,而且与 A的各水平的差异有关,我们称之为由 A因子引起的离差平方和,SSA越大,A的各水平的差异也越大,
因此,可用它来检验 H0A是否成立,在 H0A成立的条件下,
(3)SSB不仅与随机误差有关,而且与 B的各水平的差异有关,我们称之为由 B因子引起的离差平方和,SSB越大,B的各水平的差异也越大,
因此,可用它来检验 H0B是否成立,在 H0B成立的条件下,
(4)我们还可以证明
22?
( 1 ) ( 1 )
SSE
rs且 为 的 无 偏 估 计
()E S S A? 2=(r-1)
()E S S B? 2=(s-1)
0
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( 1,( 1 ) ( 1 ) )
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在 为 真 时由上面讨论,我们找到了一种检验 H0A和 H0B方法,
选取统计量
H0A拒绝域为
H0B拒绝域为
{ ( 1,( 1 ) ( 1 ) ) }AW F F r r s
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )AB
SSA r SSB sFF
SSE r s SSE r s
{ ( 1,( 1 ) ( 1 ) ) }BW F F s r s
例,见 P96 例 5.4
2.有交互作用的二元方差分析
A,B A A,,A ;
,,.
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B
B B B A B
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设 为 两 个 因 子,A 取 r 个 水 平,取 s 个水 平,在 条 件 下 做 c 次 试 验,记 这
c 次 试 验 的 结 果 为,i=1,2,,r;j=1,2,,s
试 验 结 果 可 列 成 如 下 表
A B B1 B2 …
…
Bs
A1 ……
A2 ……
…… …… …… …… ……
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,,,X X X111 112 11c,,,X X X1 2 1 1 2 2 1 2 c,,,X X X1 s 1 1 s 2 1 s c
,,,X X X21 1 21 2 21 c,,,X X X
22 1 22 2 22 c
,,,X X X2s 1 2s 2 2s c
,,,X X Xr1 1 r1 2 r1 c,,,X X Xr2 1 r2 2 r2 c,,,X X X
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则有
S S T S S A S S B S S A B S S E
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( 0,
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1 1 1
( ) [ ( ) ] ( 1 )
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( ) ( ) ( 1 )
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=r
22
11
( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )
rs
ij i j
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E SSAB r s
=c
从这个结果,我们可以看出
(1)SSE只与随机误差有关,我们称之为误差平方和
(2) SSA不仅与随机误差有关,而且与 A的各水平的差异有关,我们称之为由 A因子引起的离差平方和,SSA越大,A的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验 H0A是否成立,在
H0A成立的条件下,
(3)SSB不仅与随机误差有关,而且与 B的各水平的差异有关,我们称之为由 B因子引起的离差平方和,SSB越大,B的各水平的差异也越大,因此,可用它来检验 H0B是否成立,在
H0B成立的条件下,
22?
( 1 ) ( 1 )
SSE
rs且 为 的 无 偏 估 计
()E S S A? 2=(r-1)
()E S S B? 2=(s-1)
(4) SSAB不仅与随机误差有关,而且与 A,B的各水平的相互搭配有关,我们称之为由 A,B因子的交互作用引起的离差平方和,SSAB越大,交互作用影响也越大,因此,可用它来检验 H0AB是否成立,在 H0AB成立的条件下,
(5)我们还可以证明
2( ) ( 1 ) ( 1 )E SS A B r s=
0
( 1 )
[ ( 1 ) ]
( 1,( 1 ) )
AA
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在 为 真 时
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[ ( 1 ) ]
( ( 1 ) ( 1 ),( 1 ) )
A B A B
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在 为 真 时由上面讨论,我们找到了一种检验 H0A,H0B和 H0AB方法,
选取统计量
H0A拒绝域为
H0B拒绝域为
H0AB拒绝域为
{ ( 1,( 1 ) ) }AW F F r r s c
{ ( 1,( 1 ) ) }BW F F s r s c
( 1 ) ( 1 )
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[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]
[ ( 1 ) ( 1 ) ]
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例,见 P94 例 5.3
