? 区间估计的定义与一般步骤点估计方法有两个缺陷,
(1)不能说明估计值与真值的偏差到底有多大 (精确性 );
(2)不能说明这个估计有多大的可信度 (可靠性 );
e
例,设有一批电子元件的寿命 X~N(a，１），现从中抽取容量为５的一组样本，算得其样本均值为５０００小时，试估计 a．
解：由点估计,a的估计值为,
实际上 a的值是非真是５ 000呢？显然，不同的抽样，可得到不同的 值，故５ 000与 a会有差异．这种差异有多大呢？
我们从另一个角度考虑
a
5000a?
a
1
(,)
( 0,1 )
1
( 0 1 ),
{
1
11
{
X
X N a
n
Xa
UN
n
Xa
P
n
P X X
nn
由 于 a= 是 一 个 随 机 变 量,它 有 自 己 的 分 布因 此,
于 是 对 给 定 的 一 个 正 数 有
<z }=1-
即
z < a < z } = 1 -
1
(,)
( 0,1 )
1
0,0 5 1,9 6,
{ 1 0,7 2 1 2,4 8 0,9 5
X
X N a
n
Xa
UN
n
P
由 于 a= 是 一 个 随 机 变 量,它 有 自 己 的 分 布因 此,
如 果 取 有 Z 于 是 有
< a < } =
这 就 是 说,我 们 有 95% 的 把 握 认 为 a 在 区 间
(10.72,12.48) 内,
12
12
2
,X,
( 0< < 1),
(,,,),
(,,,),
}1
,1
,) 1,
,
n
n
X X X
X X X
1
2
12
12
1
定 义 设 总 体 的 分 布 中 含 有 未 知 参 数是 任 意 给 定 的 正 数 如 果 能 从 样 本出 发 确 定 出 两 个 统 计 量使 得
P{
成 立 我 们 称 为 置 信 度 或 置 信 概 率,区 间
( 为 参 数 的 置 信 度 为 的 置 信 区 间 分别 称 为 置 信 上 限 和 置 信 下 限,
需要指出,
区间估计中的精确性与可靠性是相互矛盾的,
当样本容量一定时,提高估计的可靠度，将降低估计的精度，相反，提高估计的精度，将降低估计的可靠度,
2
}1TT
1
区 间 估 计 的 一 般 步 骤,
(1) 选 取 一 个 合 适 的 随 机 变 量 T,这 个 随 机变 量 一 方 面 包 括 了 待 估 参 数,另 一 方 面,
它 的 分 布 是 已 知 的 ;
(2) 根 据 实 际 需 要,选 取 合 适 的 置 信 度 1- ;
(3) 根 据 相 应 分 布 的 分 位 数 概 念,写 出 如 下形 式 的 概 率 表 达 式
P{T
2
2
}1
,)
1
1
(4) 将 上 式 表 达 式 变 形 为 P{
(5) 写 出 参 数 的 置 信 区 间 (
22
22
0
0
00
/
}1
X
n
Z U Z
X Z X Z
nn
22
一,正 态 分 布 中 参 数 的 区 间 估 计,
(1) = 已 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 U= N(0,1)
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
22
22
2
/
( 1 ) ( 1 ) } 1
( 1 ) ( 1 )
X
Sn
t n T t n
SS
X t n X t n
nn
(2) 未 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 T = T ( n - 1 )
对 给 定 的 1 -
由 P {
得 (,)
22
22
2
2
2
1
22
1
( 1 )
( 1 ) ( 1 ) } 1
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1
nS
nn
n S n S
nn
22
2 2 2
22
(3) 未 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 = (n- 1)
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
),
9 0 %,
( 1 ) 0,0 1 ;
( 2 )
2
2
2
例,随 机 地 从 一 批 钉 子 中 抽 取 6 枚,测 得长 度 为
2.14 2.10 2.15 2.10 2.13 2.12
并 设 总 体 X N (,试 求 下 列 情 况 下 的的 置 信 区 间未 知 ;
0
00
0,1
1,6 4 5,6,
X
n
XX
nn
n
22
0
0.05
解,容 易 求 出 x = 2,1 2 3,
( 1 ) = 已 知 时,选 取
U = N ( 0,1 )
置 信 区 间 为 ( Z,Z )
这 里,Z 代 入 得 的 90% 的置 信 区 间 为 (2.056,2.190)
( 5 ) 2.015,
X
t
Sn
SS
XX
nn
22
0.05
(2) 未 知 时,选 取
T= (n-1)
置 信 区 间 为 ( t (n-1),t (n-1))
这 里,t 代 入 得 的 90% 的置 信 区 间 为 (2.106,2.140)
注,两 种 不 同 的 条 件,得 到 两 种 不 同 的 结 果,
其 可 靠 性 相 同,而 精 度 却 不 同,已 知 时 的估 计 精 度 比 未 知 时 的 估 计 精 度 差,但 一 般情 况 下,给 定 的 信 息 越 多,估 计 越 精 确,而 本 例能 说 明 什 么 问 题 呢?
22
22
1 2 1 2
12
12
1 2 1 2
,
( ) ( )
}1
XY
mn
Z U Z
X Y Z X Y Z
m n m n
22
22
2 2 2 2
二,两 个 正 态 总 体 中 参 数 的 区 间 估 计,
(1) 已 知 时,求 - 的 置 信 区 间
-
选 用 U= N(0,1)
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
22
2
2
2
1 2 1 2
12
( ) ( )
( 2)
11
( 2) ( 2)} 1
11
( 2)
11
( 2))
11
(2
W
W
W
W
XY
t m n
S
mn
t m n T t m n
X Y S t m n
mn
X Y S t m n
mn
X Y S t m n
mn
2 2 2
(2) = 未 知 时,求 - 的 置 信 区 间
-
选 用 T=
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,
22
22
2
1
12
2
2
2
2
1
2
2
2
1
22
2 1 2 1
( 1,1 )
( 1,1 ) ( 1,1 ) ) } 1
( 1,1 ),( 1,1 ) )
X
Y
XX
YY
S
F m n
S
F m n F F m n
SS
F n m F n m
SS
(3),未 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 F=
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (
例,见 教 材 38 页 例 2.18.
22
22
( 0,1 )
}1
Xa
UN
Sn
Z U Z
SS
X Z X Z
nn
三,其 它 情 况 参 数 的 区 间 估 计,
(1) 大 样 本 条 件 下,总 体 均 值 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
22
22
33
~ ( 0,1 )
( 1 )
}1
( ) ( )
))
p
m np
UN
m
m
n
Z U Z
m m n m m m n m
n n n n
(2) 大 样 本 情 况 下 事 件 概 率 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1-
由 P{
得 ( - Z,+ Z )
22
22
22
2 2 2
1
22
1
2 ~ ( 2 )
( 2 ) ( 2 ) } 1
( 2 ),( 2 )
22
n X n
nn
nn
nX nX
(3) 指 数 分 布 总 体 中 参 数 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1-
由 P{
11
得 ( )
例,在某次选举前的一次民意测验中，随机地抽取了 400名选取民进行民意测验，结果有 240人支持个指定的候选人。求在所有的选民中，这位候选人的支持率 95%的置信区间
22
22
33
~ ( 0,1 )
( 1 )
}1
( ) ( )
))
0,5 5 1 3,0,6 4 6 8 )
p
m n p
UN
m
m
n
Z U Z
m m n m m m n m
n n n n
解,这 是 大 样 本 情 况 下 事 件 概 率 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1 -
由 P {
得 ( - Z,+ Z )
这 里,n=400,m=240 =0.05 代 入 得,支 持 率
p 的 95% 的 置 信 区 间 为 (
例,在甲、乙两市进行的职工家计调查结果表明：
甲市抽取的 500户中平均每户消费支出元，标准差 元；乙市抽取的
1000户中平均每户消费支出 元，标准差 元，试求,两市职工家庭每户平均年消费支出之间差别 的置信水平为 0.95的置信区间。
1 3000x? 1 400s?
2 4200x?
2 500s?
21
22
2
2
12
22
12
22
12
12
22
12
21
:
( ) ( )
( 0,1 )
}1
,
)
500,1000,0.05
1200 46.79
XY
UN
SS
mn
Z U Z
SS
X Y Z
mn
SS
X Y Z
mn
mn
解 这 里 可 作 为 大 样 本 来 处 理
-
选 用 =
对 给 定 的 1-
由 P{
得 - 的 置 信 区 间 为 (
这 里代 入 可 得 - 的 置 信 区 间
(1)不能说明估计值与真值的偏差到底有多大 (精确性 );
(2)不能说明这个估计有多大的可信度 (可靠性 );
e
例,设有一批电子元件的寿命 X~N(a，１），现从中抽取容量为５的一组样本，算得其样本均值为５０００小时，试估计 a．
解：由点估计,a的估计值为,
实际上 a的值是非真是５ 000呢？显然，不同的抽样，可得到不同的 值，故５ 000与 a会有差异．这种差异有多大呢？
我们从另一个角度考虑
a
5000a?
a
1
(,)
( 0,1 )
1
( 0 1 ),
{
1
11
{
X
X N a
n
Xa
UN
n
Xa
P
n
P X X
nn
由 于 a= 是 一 个 随 机 变 量,它 有 自 己 的 分 布因 此,
于 是 对 给 定 的 一 个 正 数 有
<z }=1-
即
z < a < z } = 1 -
1
(,)
( 0,1 )
1
0,0 5 1,9 6,
{ 1 0,7 2 1 2,4 8 0,9 5
X
X N a
n
Xa
UN
n
P
由 于 a= 是 一 个 随 机 变 量,它 有 自 己 的 分 布因 此,
如 果 取 有 Z 于 是 有
< a < } =
这 就 是 说,我 们 有 95% 的 把 握 认 为 a 在 区 间
(10.72,12.48) 内,
12
12
2
,X,
( 0< < 1),
(,,,),
(,,,),
}1
,1
,) 1,
,
n
n
X X X
X X X
1
2
12
12
1
定 义 设 总 体 的 分 布 中 含 有 未 知 参 数是 任 意 给 定 的 正 数 如 果 能 从 样 本出 发 确 定 出 两 个 统 计 量使 得
P{
成 立 我 们 称 为 置 信 度 或 置 信 概 率,区 间
( 为 参 数 的 置 信 度 为 的 置 信 区 间 分别 称 为 置 信 上 限 和 置 信 下 限,
需要指出,
区间估计中的精确性与可靠性是相互矛盾的,
当样本容量一定时,提高估计的可靠度，将降低估计的精度，相反，提高估计的精度，将降低估计的可靠度,
2
}1TT
1
区 间 估 计 的 一 般 步 骤,
(1) 选 取 一 个 合 适 的 随 机 变 量 T,这 个 随 机变 量 一 方 面 包 括 了 待 估 参 数,另 一 方 面,
它 的 分 布 是 已 知 的 ;
(2) 根 据 实 际 需 要,选 取 合 适 的 置 信 度 1- ;
(3) 根 据 相 应 分 布 的 分 位 数 概 念,写 出 如 下形 式 的 概 率 表 达 式
P{T
2
2
}1
,)
1
1
(4) 将 上 式 表 达 式 变 形 为 P{
(5) 写 出 参 数 的 置 信 区 间 (
22
22
0
0
00
/
}1
X
n
Z U Z
X Z X Z
nn
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一,正 态 分 布 中 参 数 的 区 间 估 计,
(1) = 已 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 U= N(0,1)
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
22
22
2
/
( 1 ) ( 1 ) } 1
( 1 ) ( 1 )
X
Sn
t n T t n
SS
X t n X t n
nn
(2) 未 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 T = T ( n - 1 )
对 给 定 的 1 -
由 P {
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( 1 ) ( 1 )
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22
2 2 2
22
(3) 未 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 = (n- 1)
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
),
9 0 %,
( 1 ) 0,0 1 ;
( 2 )
2
2
2
例,随 机 地 从 一 批 钉 子 中 抽 取 6 枚,测 得长 度 为
2.14 2.10 2.15 2.10 2.13 2.12
并 设 总 体 X N (,试 求 下 列 情 况 下 的的 置 信 区 间未 知 ;
0
00
0,1
1,6 4 5,6,
X
n
XX
nn
n
22
0
0.05
解,容 易 求 出 x = 2,1 2 3,
( 1 ) = 已 知 时,选 取
U = N ( 0,1 )
置 信 区 间 为 ( Z,Z )
这 里,Z 代 入 得 的 90% 的置 信 区 间 为 (2.056,2.190)
( 5 ) 2.015,
X
t
Sn
SS
XX
nn
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0.05
(2) 未 知 时,选 取
T= (n-1)
置 信 区 间 为 ( t (n-1),t (n-1))
这 里,t 代 入 得 的 90% 的置 信 区 间 为 (2.106,2.140)
注,两 种 不 同 的 条 件,得 到 两 种 不 同 的 结 果,
其 可 靠 性 相 同,而 精 度 却 不 同,已 知 时 的估 计 精 度 比 未 知 时 的 估 计 精 度 差,但 一 般情 况 下,给 定 的 信 息 越 多,估 计 越 精 确,而 本 例能 说 明 什 么 问 题 呢?
22
22
1 2 1 2
12
12
1 2 1 2
,
( ) ( )
}1
XY
mn
Z U Z
X Y Z X Y Z
m n m n
22
22
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二,两 个 正 态 总 体 中 参 数 的 区 间 估 计,
(1) 已 知 时,求 - 的 置 信 区 间
-
选 用 U= N(0,1)
对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
22
2
2
2
1 2 1 2
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( ) ( )
( 2)
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( 2) ( 2)} 1
11
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( 2))
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W
W
W
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XY
t m n
S
mn
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X Y S t m n
mn
X Y S t m n
mn
X Y S t m n
mn
2 2 2
(2) = 未 知 时,求 - 的 置 信 区 间
-
选 用 T=
对 给 定 的 1-
由 P{
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22
22
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( 1,1 ) ( 1,1 ) ) } 1
( 1,1 ),( 1,1 ) )
X
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XX
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S
F m n F F m n
SS
F n m F n m
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(3),未 知 时,求 的 置 信 区 间选 用 F=
对 给 定 的 1-
由 P{
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例,见 教 材 38 页 例 2.18.
22
22
( 0,1 )
}1
Xa
UN
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X Z X Z
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三,其 它 情 况 参 数 的 区 间 估 计,
(1) 大 样 本 条 件 下,总 体 均 值 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1-
由 P{
得 (,)
22
22
33
~ ( 0,1 )
( 1 )
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( ) ( )
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p
m np
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m
m
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(2) 大 样 本 情 况 下 事 件 概 率 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1-
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22
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2 2 2
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( 2 ) ( 2 ) } 1
( 2 ),( 2 )
22
n X n
nn
nn
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(3) 指 数 分 布 总 体 中 参 数 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1-
由 P{
11
得 ( )
例,在某次选举前的一次民意测验中，随机地抽取了 400名选取民进行民意测验，结果有 240人支持个指定的候选人。求在所有的选民中，这位候选人的支持率 95%的置信区间
22
22
33
~ ( 0,1 )
( 1 )
}1
( ) ( )
))
0,5 5 1 3,0,6 4 6 8 )
p
m n p
UN
m
m
n
Z U Z
m m n m m m n m
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解,这 是 大 样 本 情 况 下 事 件 概 率 的 置 信 区 间选 用对 给 定 的 1 -
由 P {
得 ( - Z,+ Z )
这 里,n=400,m=240 =0.05 代 入 得,支 持 率
p 的 95% 的 置 信 区 间 为 (
例,在甲、乙两市进行的职工家计调查结果表明：
甲市抽取的 500户中平均每户消费支出元，标准差 元；乙市抽取的
1000户中平均每户消费支出 元，标准差 元，试求,两市职工家庭每户平均年消费支出之间差别 的置信水平为 0.95的置信区间。
1 3000x? 1 400s?
2 4200x?
2 500s?
21
22
2
2
12
22
12
22
12
12
22
12
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:
( ) ( )
( 0,1 )
}1
,
)
500,1000,0.05
1200 46.79
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解 这 里 可 作 为 大 样 本 来 处 理
-
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对 给 定 的 1-
由 P{
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这 里代 入 可 得 - 的 置 信 区 间
