? 估计量的优良性不同的估计方法可能得到不同的估计量，到底采用哪一个估计量比较好呢？这就要有一个评价一个估计量,好坏,的标准．在数理统计中有一些标准，我们介绍其中三种：无偏性标准，相合性标准，有效性标准．
无偏性定义,设 为 的一个估计量,若对任意的,都有成立,则称 为 的一个无偏估计,否则称之为有偏估计,
如果 的一个无偏估计,
且为 的一个线性函数,则称的一个线性无偏估计,
n?及
12 (,,,)nX X X
()E
12 (,,,)nX X X
12 (,,,)nX X X 为
12,,,nX X X
12 (,,,)nX X X 为
无偏估计是估计量最基本的要求,一般说来,一个估计量如果不满足无偏性的要求,则它不会是一个好的估计量,不满足无偏性则应该满足 渐近无偏性定义,设 为 的一个有偏估计量,若对任意的,都有成立,则称 为 的一个渐近无偏估计,
12 (,,,)nX X X
lim ( )
n
E
12 (,,,)nX X X
例 设总体,其中 a,b为未知参数，
由前面例子 a,b的极大似然估计为试判别 的无偏性．
~ (,)X U a b
()
m in,
m a x
i
ni
a X X
b X X
(1)=
a与 b
解：容易得到 的密度函数为我们来求它们的数学期望
a与 b
1
( 1 )
1
()
1
( ) ( ),
1
( ) ( ),
n
n
n
bx
f x n a x b
b a b a
xa
f x n a x b
b a b a
1
( 1 )
1
1
()
1
1
( ) ( ) ( )
1
()
( ) 1
1
( ) ( ) ( )
1
()
( ) 1
bb
n
aa
b
n
n
a
bb
n
n
aa
b
n
n
a
bx
E a x f x d x n x d x
b a b a
n a b
n x b x d x
b a n
xa
E b x f x d x n x d x
b a b a
a n b
n x x a d x
b a n
说明 不是 a与 b无偏估计，而是 a与 b渐近无偏估计
a与 b
2
22
,S
S
22
例,设 总 体 X 的 数 学 期 望 与 方 差 均 存 在 且 有 限,
E ( X ) =,D ( X ) = 试 判 别 = X,是 否 为与 的 无 偏 估 计,其 中,X 与 为 样 本 均 值 与样 本 方 差,
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
22
)
)
( ),( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
X X X
B X X X X
E X E X
n
E B E X E X
n
nn
n
i
i=1
nn
ii
i=1 i=1
i
n
i
i=1
1
解,由 于 E( )=,故 E( )= E(
n
11
而 (
nn
又所 以
1
n
2
2
2
,
2
2
2
由 此 可 知,= X 是 的 无 偏 估 计,B 是的 有 偏 估 计,但 要 注 意 的 是,如 果 用 S 去估 计 则 是 无 偏 估 计,这 就 是 为 什 么 称 S
为 样 本 方 差 的 原 因,
有效性,
2
2
1
1
,
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ),
DD
DD
DD
1
1 2 1
1
1
1
1
定 义,设 参 数 的 两 个 无 偏 估 计 满 足则 称 比 有 效,
设 参 数 为 的 一 个 线 性 无 偏 估 计,如 果 对的 任 意 线 性 无 偏 估 计 均 有则 称 为 的 最 小 方 差 线 性 无 偏 估 计,
设 参 数 为 的 一 个 无 偏 估 计,如 果 对的 任 意 无 偏 估 计 均 有则 称 为 的 最 小 方 差 无 偏 估 计,或 最 优 估计 量,
X例,设 总 体 的 数 学 期 望 和 方 差 存 在 且 有 限,
证 明 样 本 均 值 是 总 体 均 值 的 最 优 线 性 无 偏估 计 量
12
[ 0,]
,,,)
1
m a x
( 1 ) m in
n
i
i
X
X X X X
n
X
n
nX
1
2
例,设 总 体 服 从 上 的 均 匀 分 布,
( 为 总 体 的 样 本,试 证均 为 的 无 偏 估 计,并 说 明 哪 一 个 更 好,
12
,,,)
( ; )
( 1 ) { ; ( ; ) 0 } ;
( ; )
( 2),,
( ; )
n
X
X X X
fx
G x f x
fx
xR
f x dx
+
-
克 拉 美 - 逻 不 等 式,设 总 体 为 连 续 型 随 机变 量,为 参 数 空 间,
=( 为 的 任 一 无 偏 估 计 量若 总 体 X 的 概 率 密 度 满 足 条 件不 依 赖 于对 一 切 和 一 切 存 在并 且 可 以 在 的 积 分 号 下 对 求 导 ;
2
( 3 ),
( ; ) 1 ;
( 4) 0 ( ) [ l n ( ; ) ] ;
( 5 ) ( ) ;
1
,,( )
()
1
()
()
i
fx
I E f X
D
D
nI
I Fis he r
nI
1n
i=1
对 一 切 有
dx dx
那 么 对 一 切 有我 们 称 为 信 息 量,为克 拉 美 逻 下 界
:
1
()
( ) ( )
;,( ) 1
e
nI D
e
定 义 设 为 的 无 偏 估 计,称为 的 效 率 如 果 对 一 切 有则 称 为 的 有 ( 优 ) 效 估 计 量,
2
~ (,),XN例,设 总 体 样 本 均 值 与 样 本 方 差分 别 为 总 体 均 值 与 总 体 方 差 的 无 偏 估 计 量,
试 求 它 们 的 效 率,
1
~ ( 3,),,
()
X Fi she r
I
例,设 总 体 令 求 的信 息 量 及 的 有 效 估 计 量,
相合性（一致性）
定义,设 为 的一个估计量,若对任意的小的正数,都有成立,则称 为 的一个相合估计（一致）估计,
12 (,,,)nX X X
l i m { | | } 1
n
P
12 (,,,)nX X X
例,若总体 k阶原点矩存在,样本的 k阶原点矩是总体 k阶原点矩的相合估计量
无偏性定义,设 为 的一个估计量,若对任意的,都有成立,则称 为 的一个无偏估计,否则称之为有偏估计,
如果 的一个无偏估计,
且为 的一个线性函数,则称的一个线性无偏估计,
n?及
12 (,,,)nX X X
()E
12 (,,,)nX X X
12 (,,,)nX X X 为
12,,,nX X X
12 (,,,)nX X X 为
无偏估计是估计量最基本的要求,一般说来,一个估计量如果不满足无偏性的要求,则它不会是一个好的估计量,不满足无偏性则应该满足 渐近无偏性定义,设 为 的一个有偏估计量,若对任意的,都有成立,则称 为 的一个渐近无偏估计,
12 (,,,)nX X X
lim ( )
n
E
12 (,,,)nX X X
例 设总体,其中 a,b为未知参数，
由前面例子 a,b的极大似然估计为试判别 的无偏性．
~ (,)X U a b
()
m in,
m a x
i
ni
a X X
b X X
(1)=
a与 b
解：容易得到 的密度函数为我们来求它们的数学期望
a与 b
1
( 1 )
1
()
1
( ) ( ),
1
( ) ( ),
n
n
n
bx
f x n a x b
b a b a
xa
f x n a x b
b a b a
1
( 1 )
1
1
()
1
1
( ) ( ) ( )
1
()
( ) 1
1
( ) ( ) ( )
1
()
( ) 1
bb
n
aa
b
n
n
a
bb
n
n
aa
b
n
n
a
bx
E a x f x d x n x d x
b a b a
n a b
n x b x d x
b a n
xa
E b x f x d x n x d x
b a b a
a n b
n x x a d x
b a n
说明 不是 a与 b无偏估计，而是 a与 b渐近无偏估计
a与 b
2
22
,S
S
22
例,设 总 体 X 的 数 学 期 望 与 方 差 均 存 在 且 有 限,
E ( X ) =,D ( X ) = 试 判 别 = X,是 否 为与 的 无 偏 估 计,其 中,X 与 为 样 本 均 值 与样 本 方 差,
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
22
)
)
( ),( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
()
X X X
B X X X X
E X E X
n
E B E X E X
n
nn
n
i
i=1
nn
ii
i=1 i=1
i
n
i
i=1
1
解,由 于 E( )=,故 E( )= E(
n
11
而 (
nn
又所 以
1
n
2
2
2
,
2
2
2
由 此 可 知,= X 是 的 无 偏 估 计,B 是的 有 偏 估 计,但 要 注 意 的 是,如 果 用 S 去估 计 则 是 无 偏 估 计,这 就 是 为 什 么 称 S
为 样 本 方 差 的 原 因,
有效性,
2
2
1
1
,
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ),
DD
DD
DD
1
1 2 1
1
1
1
1
定 义,设 参 数 的 两 个 无 偏 估 计 满 足则 称 比 有 效,
设 参 数 为 的 一 个 线 性 无 偏 估 计,如 果 对的 任 意 线 性 无 偏 估 计 均 有则 称 为 的 最 小 方 差 线 性 无 偏 估 计,
设 参 数 为 的 一 个 无 偏 估 计,如 果 对的 任 意 无 偏 估 计 均 有则 称 为 的 最 小 方 差 无 偏 估 计,或 最 优 估计 量,
X例,设 总 体 的 数 学 期 望 和 方 差 存 在 且 有 限,
证 明 样 本 均 值 是 总 体 均 值 的 最 优 线 性 无 偏估 计 量
12
[ 0,]
,,,)
1
m a x
( 1 ) m in
n
i
i
X
X X X X
n
X
n
nX
1
2
例,设 总 体 服 从 上 的 均 匀 分 布,
( 为 总 体 的 样 本,试 证均 为 的 无 偏 估 计,并 说 明 哪 一 个 更 好,
12
,,,)
( ; )
( 1 ) { ; ( ; ) 0 } ;
( ; )
( 2),,
( ; )
n
X
X X X
fx
G x f x
fx
xR
f x dx
+
-
克 拉 美 - 逻 不 等 式,设 总 体 为 连 续 型 随 机变 量,为 参 数 空 间,
=( 为 的 任 一 无 偏 估 计 量若 总 体 X 的 概 率 密 度 满 足 条 件不 依 赖 于对 一 切 和 一 切 存 在并 且 可 以 在 的 积 分 号 下 对 求 导 ;
2
( 3 ),
( ; ) 1 ;
( 4) 0 ( ) [ l n ( ; ) ] ;
( 5 ) ( ) ;
1
,,( )
()
1
()
()
i
fx
I E f X
D
D
nI
I Fis he r
nI
1n
i=1
对 一 切 有
dx dx
那 么 对 一 切 有我 们 称 为 信 息 量,为克 拉 美 逻 下 界
:
1
()
( ) ( )
;,( ) 1
e
nI D
e
定 义 设 为 的 无 偏 估 计,称为 的 效 率 如 果 对 一 切 有则 称 为 的 有 ( 优 ) 效 估 计 量,
2
~ (,),XN例,设 总 体 样 本 均 值 与 样 本 方 差分 别 为 总 体 均 值 与 总 体 方 差 的 无 偏 估 计 量,
试 求 它 们 的 效 率,
1
~ ( 3,),,
()
X Fi she r
I
例,设 总 体 令 求 的信 息 量 及 的 有 效 估 计 量,
相合性（一致性）
定义,设 为 的一个估计量,若对任意的小的正数,都有成立,则称 为 的一个相合估计（一致）估计,
12 (,,,)nX X X
l i m { | | } 1
n
P
12 (,,,)nX X X
例,若总体 k阶原点矩存在,样本的 k阶原点矩是总体 k阶原点矩的相合估计量
