? 回归分析回归分析是数理统计的一个应用分枝，它主要研究变量与变量之间的某一种相依关系，其主要内容包括线性回归与非线性回归．一元回归与多元回归．我们主要介绍线性回归模型，一元回归．
回归的含义变量与变量之间的关系有两种：一种是函数关系；当一组变量取定一个值时，另一个变量也有确定的值与它对应这是一种函数关系。另一种关系不能用函数关系来描述，比如人的身高与体重之间的关系；农作物的产量与施肥量之间的关系就不能用函数关系来描述．
变量可以分为可控变量与不可控变量（随机变量）
在回归分析中，讨论的是随机变量与可控变量之间的关系．随机变量作为因变量（响应变量），可控变量作为自变量．当自变量只有一个变量时的回归分析为一元回归,否则称为多元回归．
假设随机变量 Y与 x有一元回归关系,当选定 x时,Y
的数学期望应为 x的函数,记
( ) ( | )x E Y x
()x?我 们 称 为 回 归 函 数
回归分析的一般步骤,
(1)求取试验数据
(2)选取回归模型
(3)对回归模型中的未知参数作估计
(4)对模型进行检验
(5)预测与控制
(1)求取试验数据
1
2
,),
,),,,) ;,,,
nn
x x Y
x Y x Y x x x
1
2 n 1 2
对 (,Y ) 进 行 n 次 观 测,得 观 测 值 (
(( 其 中,互 不 相等,
(2)选取回归模型
12
,),,),,,)
n
x Y x Y x Y
1 2 n
对 观 测 值 ( ( ( 在 二 维平 面 上 用 点 描 出,所 得 到 的 图 形 称 为 散 点图,根 据 散 点 图 的 形 状 可 选 取 回 归 函 数,
当 散 点 图 近 似 一 条 直 线 时,可 选 取 线 性 函数,当 散 点 图 近 似 一 条 抛 物 线 时,可 选 取二 次 函 数 等,
当选取的是一元线性回归函数时，其回归模型可写为
Y a b x
a?其 中,b 为 未 知 参 数,为 统 计 误 差
(3)对回归模型中的未知参数作估计当选取回归模型为
Y a b x
aa
a
其 中,,b 为 未 知 参 数,由 样 本 对,b 进 行点 估 计 得 估 计 值,b,代 入 有
()x a b x
称 它 为 经 验 回 归 方 程
(4)对模型进行检验我们是根据经验和散点图选定模型的，模型是否切合实际，需要对模型进行检验。
(5)预测与控制当 我 们 得 到 的 模 型 是 正 确 的 时,就 要 利 用这 个 模 型 进 行 预 测 与 控 制,即 当 x 取 定 某 个值 时,对 Y 的 取 值 作 估 计 ; 如 果 要 Y 在 某 个 范围 内 取 值,如 何 控 制 x 的 取 值?
一元线性回归模型
2( ) 0 ; ( )
Y a b x
ED
a? 2其 中,,b,为 未 知 参 数先假定一元线性回归模型
2(,)
Y a b x
N
2,
.
a?我 们 对,b 采 用 极 大 似 然 估 计 对 采 用 矩 法估 计
12
,),),,),
,,),
}
n
i i i
i
x Y x Y x Y
xY
a b x?
12
n
对 ( 进 行 观 测 得 观 测 值 ((
( 则
Y
其 中 { 独 立 同 标 准 正 态 分 布
2
1
22
2
1
(,) ( ;,)
1
( 2 ) e xp{ ( ) }
2
n
n
i
i
n
ii
i
L a b f a b
y a bx
似 然 函 数 为
要使 L达到最大,只要等式右边的平方和的部分达到最小即可。
2
1
(,) ( )
n
ii
i
Q a b y a b x
令
,,ab我 们 求 的 值 使
(,) m in (,)Q a b Q a b?
通过求导，并令其为零，可得方程组
1
1
2 ( ) 0
2 ( ) 0
n
ii
i
n
i i i
i
Q
y a bx
a
Q
x y a bx
b
xx xy
a b x y
L b L
整 理 后 得 到
11
2
11
11
,,
( ),( ) ( )
nn
ii
ii
nn
x x i x y i i
ii
y y x x
nn
L x x L y y x x
其 中
xy
xx
a y bx
L
b
L
解 得
2( 0,),
.
N
当 时 我 们 采 用 极 大 似 然 估 计估 计 a,b 当 不 服 从 正 态 分 布 时,我 们 采 用最 小 二 乘 估 计,
什 么 是 最 小 二 乘 估 计 呢我 们 把 使 误 差 平 方 和 达 到 最 小 的 参 数 的值 称 为 最 小 二 乘 估 计,即
22
11
(,) ( )
,,
nn
i i i
ii
Q a b y a b x
a b a b
达 到 最 小 的的 值 称 为 最 小 二 乘 估 计
注意：当随机误差服从正态分布时，参数的最小二乘估计就是极大似然估计，当随机误差不服从正态分布时，参数的最小二乘估计一般与极大似然估计不同。
一元线性回归模型中回归系数的 最小二乘估计为
xy
xx
a y b x
L
b
L
22
2
),
,
2
n
2
i
i=1
对 采 用 矩 法 估 计,由 于 E( 故
1
可 用 去 估 计 即
n
22? ()
iiy a b x
nn
2
i
i = 1 i = 1
11
=
nn
,,ab由 于 式 中 未 知 可 用
22()
iiy a b x
n
i=1
1
n-2
,ab将 代 入 上 式,有
22()
iiy a b x
n
i=1
1
n-2
2()
iiy y b x b x
n
i=1
1
n-2
2 2 2?
[ ( ) ( )
2 ( ) ( ) ]
ii
ii
y y b x x
b y y x x
n
i=1
1
n-2
[]
y y x yL b L
1
n-2
为了对模型及模型参数进行检验，我们需要知道估计量的分布，下面对随机误差服从正态分布的情况下给出了一些统计量的分布：
2
( 1 ) (,)
xx
b N b
L
2
2
1
( 2 ) (,)
n
i
ixx
a N a x
nL
2
2 1 ( )( 3 ) (,[ ] )
xx
xx
y a b x N a b x
nL
2?( 4) )Y
n
i
i=1
记 SSR = (Y 2()
n
i
i=1
= b x b x
2? )
n
2
i
i=1
= b ( x x
x x x yLL?
2= b b
2? )
iY
n
i
i=1
记 SSE = (Y
2 )
iiY a bx
n
i=1
=(
2?( 2 )n
2)Y
n
i
i=1
记 SST = (Y
我们有
S S E S S R?SST=
2 ( 2 ) ;n?
2SSE(5)
20,( 1 )b?
2
SSR
当 时
S S E S S R且 与 相 互 独 立
( 6) 0,( 1,2)
( 2)
b F F n
SSE n
SSR当 时
( 2 )
xx
T L t n
b
我们仅证明（ 1）（ 2）。
证明 （ 1）
xy
xx
L
b
L
由 于
1
1
( ) ( )
n
ii
ixx
x x y y
L?
1
1
()
n
ii
ixx
x x y
L?
,1 2 n为 y y,,y 的 线 性 函 数,因 而 b 服 从 正 态 分 布,
1
1?( ) ( )n
ii
ixx
E b x x E y
L?
且
1
1 ( ) ( )n
ii
ixx
x x a bx
L?
1
()
n
ii
ixx
b
x x x
L?
b?
2
2
1
1?
( ) ( )
()
n
ii
ixx
D b x x DY
L?
22
2
1
1
()
()
n
i
ixx
xx
L
2
xxL
证明（ 2）
a y b x
11
1
()
nn
i i i
ii xx
x
y x x y
nL
1
1
[ ( ) ]
n
ii
i xx
x
x x y
nL?
,1 2 n为 y y,,y 的 线 性 函 数,因 而 a 服 从 正 态 分 布
1
1
( ) [ ( ) ] ( )
n
ii
i xx
x
E a x x a bx
nL?
11
11[ ( ) ] [ ( ) ]nn
i i i
ii x x x x
xxx x a x x bx
n L n L
1
1
[ ( ) ]
n
ii
i xx
x
a b x x x
nL?
1
1
( )]
n
ii
i xx
a b x b x x x x
L?
a?
2
1
1
( ) [ ( ) ] ( )
n
ii
i xx
x
D a x x DY
nL?
2
22
22
1
12
[ ( ) ( ) ]
n
ii
i x x x x
xx
x x x x
n L n L
2
21()
xx
x
nL
2
2()xx
xx
L n x
nL
2
2
1
n
i
ixx
x
nL
假设检验假设检验包括参数检验和线性模型的检验。
00,,a a b b0参 数 检 验 包 括 对 = 的 检 验,
大 家 可 自 己 导 出 其 检 验 方 法,
0
:0Hb?
模 型 检 验 主 要 检 验 所 选 取 的 模 型 是 否 正 确主 要 检 验 假 设
t-检验
F-检验
xx
bTL
选 用 统 计 量
0 ( 2 )H T t n?在 为 真 时
2
{ | | ( 2 )W T t n拒 绝 域 为
2
2
( 2 )
xxbLSSRF
S S E n?
选 用 统 计 量
0 ( 1,2 )H F F n?在 为 真 时
{ ( 1,2 ) }W F F n
拒 绝 域 为
r-检验 (样本相关系数检验）
xy
x x y y
L
r
LL
选 用 统 计 量
{| | ( 2 ) }W r r n拒 绝 域 为
:注 当 r>0 时,b>0,表 示 x 与 y 正 相 关 ;
当 r<0 时,b<0,表 示 x 与 y 负 相 关,
预测与控制
0 0 0
0
,
,
x x y x x
y
当 时 对 应 的 的 点 估 计 值 为 当时 对 应 的 的 预 测 值,00y a b x
2,求 预 测 区 间
1,求 预 测 值
2
2 0
00
()1
(,[ ] )
xx
xx
y N a b x
nL
由 于
2
00(,)y N a bx
2
2 0
00
()1
(0,[ 1 ] )
xx
xx
y y N
nL
故
我们可以得到
00
2
0
( 2 )
()1
1
xx
yy
tn
xx
nL
T=
2
0
2
0
0
()1
1 ( 2)
xx
y
xx
y t n
nL
由 此 可 得 的 预 测 区 间 为
0
.
x 0当 连 续 变 动 时,y 的 预 测 区 间 扫 过 的 区 域构 成 一 条 预 测 带
0x
x
y
y a b x
由预测区间可以看出：
00
.xx
x x x x当 在 不 远 处,预 测 精 度 高 ; 当 在 较 远 处,
预 测 精 度 低 ; 并 且 预 测 精 度 还 与 n 及 L 有 关
22
00
,,
(,)
xxnL
y Z y Z
当 较 大 较 大 时 预 测 区 间 可 近 似 为
控制：控制是预测的反问题，当因变量 y在某一范围内取值时,x应控制在什么范围之内。这个问题比预测要复杂。
2
2
0
( ) ( ) } 1
()1
( ) 1 ( 2)
xx
y x y y x
xx
x t n
nL
由 于 P{
其 中
1 1 1
12
2 2 2
()
,,
()
y y x
xx
y y x
不 妨 令 可 解 得
12x x x则 应 控 制 在 与 之 间
例,维尼龙纤维的耐热水性能好坏一般可用指标
,缩醛化度,y来衡量，该指指标越高，耐热水性能也就越好。而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度去控制这一指标。
为找出它们之间的关系，现安排了一批试验，获得如下数据：
(1)试确定 y对 x的回归关系；
(2) y对 x的回归关系是否显著；
(3)求 x=25时 y的 95%的预测区间,
甲醛浓度 x 18 20 22 24 26 28 30
缩醛化度 y 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36
解 （ 1） 作散点图，可发现 y对 x有线性回归关系，
故可用线性回归建模。 16 8 20 2,94
,,30,
77
11 2,8,49,0,26 43
20 2,94 16 8
0,26 43 22,6 48 6
77
xy
x x y y
x y L
L L b
a
这 里
,因 此 回 归 直 线 方 程 为
2 2,6 4 8 0,2 6 4 3yx
1?
( 8,4 9 0,2 6 4 3 3 0 ) 0,3 6
5
此 时
（ 2）采用 t检验，这时
（ 3）
0,2 6 4 3
1 0,6 7,7 8
0,3 6xx
b
TL
0,0 2 5 0,0 2 5( 5 ) 2,5 7,( 5 )t T t
,yx观 测 值 落 入 了 拒 绝 域 内 认 为 对 确 有 线 性回 归 关 系
( 2 8,3 3,3 0,0 9 )预 测 区 间 为
0 0 0,0 2 5? 2 9,2 6,( ) 0,3 6 1 ( 5 ) 0,9 2 5 2y x t
回归的含义变量与变量之间的关系有两种：一种是函数关系；当一组变量取定一个值时，另一个变量也有确定的值与它对应这是一种函数关系。另一种关系不能用函数关系来描述，比如人的身高与体重之间的关系；农作物的产量与施肥量之间的关系就不能用函数关系来描述．
变量可以分为可控变量与不可控变量（随机变量）
在回归分析中，讨论的是随机变量与可控变量之间的关系．随机变量作为因变量（响应变量），可控变量作为自变量．当自变量只有一个变量时的回归分析为一元回归,否则称为多元回归．
假设随机变量 Y与 x有一元回归关系,当选定 x时,Y
的数学期望应为 x的函数,记
( ) ( | )x E Y x
()x?我 们 称 为 回 归 函 数
回归分析的一般步骤,
(1)求取试验数据
(2)选取回归模型
(3)对回归模型中的未知参数作估计
(4)对模型进行检验
(5)预测与控制
(1)求取试验数据
1
2
,),
,),,,) ;,,,
nn
x x Y
x Y x Y x x x
1
2 n 1 2
对 (,Y ) 进 行 n 次 观 测,得 观 测 值 (
(( 其 中,互 不 相等,
(2)选取回归模型
12
,),,),,,)
n
x Y x Y x Y
1 2 n
对 观 测 值 ( ( ( 在 二 维平 面 上 用 点 描 出,所 得 到 的 图 形 称 为 散 点图,根 据 散 点 图 的 形 状 可 选 取 回 归 函 数,
当 散 点 图 近 似 一 条 直 线 时,可 选 取 线 性 函数,当 散 点 图 近 似 一 条 抛 物 线 时,可 选 取二 次 函 数 等,
当选取的是一元线性回归函数时，其回归模型可写为
Y a b x
a?其 中,b 为 未 知 参 数,为 统 计 误 差
(3)对回归模型中的未知参数作估计当选取回归模型为
Y a b x
aa
a
其 中,,b 为 未 知 参 数,由 样 本 对,b 进 行点 估 计 得 估 计 值,b,代 入 有
()x a b x
称 它 为 经 验 回 归 方 程
(4)对模型进行检验我们是根据经验和散点图选定模型的，模型是否切合实际，需要对模型进行检验。
(5)预测与控制当 我 们 得 到 的 模 型 是 正 确 的 时,就 要 利 用这 个 模 型 进 行 预 测 与 控 制,即 当 x 取 定 某 个值 时,对 Y 的 取 值 作 估 计 ; 如 果 要 Y 在 某 个 范围 内 取 值,如 何 控 制 x 的 取 值?
一元线性回归模型
2( ) 0 ; ( )
Y a b x
ED
a? 2其 中,,b,为 未 知 参 数先假定一元线性回归模型
2(,)
Y a b x
N
2,
.
a?我 们 对,b 采 用 极 大 似 然 估 计 对 采 用 矩 法估 计
12
,),),,),
,,),
}
n
i i i
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x Y x Y x Y
xY
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12
n
对 ( 进 行 观 测 得 观 测 值 ((
( 则
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其 中 { 独 立 同 标 准 正 态 分 布
2
1
22
2
1
(,) ( ;,)
1
( 2 ) e xp{ ( ) }
2
n
n
i
i
n
ii
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似 然 函 数 为
要使 L达到最大,只要等式右边的平方和的部分达到最小即可。
2
1
(,) ( )
n
ii
i
Q a b y a b x
令
,,ab我 们 求 的 值 使
(,) m in (,)Q a b Q a b?
通过求导，并令其为零，可得方程组
1
1
2 ( ) 0
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n
ii
i
n
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整 理 后 得 到
11
2
11
11
,,
( ),( ) ( )
nn
ii
ii
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ii
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nn
L x x L y y x x
其 中
xy
xx
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L
b
L
解 得
2( 0,),
.
N
当 时 我 们 采 用 极 大 似 然 估 计估 计 a,b 当 不 服 从 正 态 分 布 时,我 们 采 用最 小 二 乘 估 计,
什 么 是 最 小 二 乘 估 计 呢我 们 把 使 误 差 平 方 和 达 到 最 小 的 参 数 的值 称 为 最 小 二 乘 估 计,即
22
11
(,) ( )
,,
nn
i i i
ii
Q a b y a b x
a b a b
达 到 最 小 的的 值 称 为 最 小 二 乘 估 计
注意：当随机误差服从正态分布时，参数的最小二乘估计就是极大似然估计，当随机误差不服从正态分布时，参数的最小二乘估计一般与极大似然估计不同。
一元线性回归模型中回归系数的 最小二乘估计为
xy
xx
a y b x
L
b
L
22
2
),
,
2
n
2
i
i=1
对 采 用 矩 法 估 计,由 于 E( 故
1
可 用 去 估 计 即
n
22? ()
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2
i
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11
=
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,,ab由 于 式 中 未 知 可 用
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1
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1
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1
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2 ( ) ( ) ]
ii
ii
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1
n-2
[]
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1
n-2
为了对模型及模型参数进行检验，我们需要知道估计量的分布，下面对随机误差服从正态分布的情况下给出了一些统计量的分布：
2
( 1 ) (,)
xx
b N b
L
2
2
1
( 2 ) (,)
n
i
ixx
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2
2 1 ( )( 3 ) (,[ ] )
xx
xx
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n
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2
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n
i
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2?( 2 )n
2)Y
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i
i=1
记 SST = (Y
我们有
S S E S S R?SST=
2 ( 2 ) ;n?
2SSE(5)
20,( 1 )b?
2
SSR
当 时
S S E S S R且 与 相 互 独 立
( 6) 0,( 1,2)
( 2)
b F F n
SSE n
SSR当 时
( 2 )
xx
T L t n
b
我们仅证明（ 1）（ 2）。
证明 （ 1）
xy
xx
L
b
L
由 于
1
1
( ) ( )
n
ii
ixx
x x y y
L?
1
1
()
n
ii
ixx
x x y
L?
,1 2 n为 y y,,y 的 线 性 函 数,因 而 b 服 从 正 态 分 布,
1
1?( ) ( )n
ii
ixx
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L?
且
1
1 ( ) ( )n
ii
ixx
x x a bx
L?
1
()
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ii
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b
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2
2
1
1?
( ) ( )
()
n
ii
ixx
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L?
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2
1
1
()
()
n
i
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2
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证明（ 2）
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11
1
()
nn
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x
y x x y
nL
1
1
[ ( ) ]
n
ii
i xx
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nL?
,1 2 n为 y y,,y 的 线 性 函 数,因 而 a 服 从 正 态 分 布
1
1
( ) [ ( ) ] ( )
n
ii
i xx
x
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nL?
11
11[ ( ) ] [ ( ) ]nn
i i i
ii x x x x
xxx x a x x bx
n L n L
1
1
[ ( ) ]
n
ii
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x
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nL?
1
1
( )]
n
ii
i xx
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2
1
1
( ) [ ( ) ] ( )
n
ii
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2
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1
12
[ ( ) ( ) ]
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2
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2
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nL
2
2
1
n
i
ixx
x
nL
假设检验假设检验包括参数检验和线性模型的检验。
00,,a a b b0参 数 检 验 包 括 对 = 的 检 验,
大 家 可 自 己 导 出 其 检 验 方 法,
0
:0Hb?
模 型 检 验 主 要 检 验 所 选 取 的 模 型 是 否 正 确主 要 检 验 假 设
t-检验
F-检验
xx
bTL
选 用 统 计 量
0 ( 2 )H T t n?在 为 真 时
2
{ | | ( 2 )W T t n拒 绝 域 为
2
2
( 2 )
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S S E n?
选 用 统 计 量
0 ( 1,2 )H F F n?在 为 真 时
{ ( 1,2 ) }W F F n
拒 绝 域 为
r-检验 (样本相关系数检验）
xy
x x y y
L
r
LL
选 用 统 计 量
{| | ( 2 ) }W r r n拒 绝 域 为
:注 当 r>0 时,b>0,表 示 x 与 y 正 相 关 ;
当 r<0 时,b<0,表 示 x 与 y 负 相 关,
预测与控制
0 0 0
0
,
,
x x y x x
y
当 时 对 应 的 的 点 估 计 值 为 当时 对 应 的 的 预 测 值,00y a b x
2,求 预 测 区 间
1,求 预 测 值
2
2 0
00
()1
(,[ ] )
xx
xx
y N a b x
nL
由 于
2
00(,)y N a bx
2
2 0
00
()1
(0,[ 1 ] )
xx
xx
y y N
nL
故
我们可以得到
00
2
0
( 2 )
()1
1
xx
yy
tn
xx
nL
T=
2
0
2
0
0
()1
1 ( 2)
xx
y
xx
y t n
nL
由 此 可 得 的 预 测 区 间 为
0
.
x 0当 连 续 变 动 时,y 的 预 测 区 间 扫 过 的 区 域构 成 一 条 预 测 带
0x
x
y
y a b x
由预测区间可以看出：
00
.xx
x x x x当 在 不 远 处,预 测 精 度 高 ; 当 在 较 远 处,
预 测 精 度 低 ; 并 且 预 测 精 度 还 与 n 及 L 有 关
22
00
,,
(,)
xxnL
y Z y Z
当 较 大 较 大 时 预 测 区 间 可 近 似 为
控制：控制是预测的反问题，当因变量 y在某一范围内取值时,x应控制在什么范围之内。这个问题比预测要复杂。
2
2
0
( ) ( ) } 1
()1
( ) 1 ( 2)
xx
y x y y x
xx
x t n
nL
由 于 P{
其 中
1 1 1
12
2 2 2
()
,,
()
y y x
xx
y y x
不 妨 令 可 解 得
12x x x则 应 控 制 在 与 之 间
例,维尼龙纤维的耐热水性能好坏一般可用指标
,缩醛化度,y来衡量，该指指标越高，耐热水性能也就越好。而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度去控制这一指标。
为找出它们之间的关系，现安排了一批试验，获得如下数据：
(1)试确定 y对 x的回归关系；
(2) y对 x的回归关系是否显著；
(3)求 x=25时 y的 95%的预测区间,
甲醛浓度 x 18 20 22 24 26 28 30
缩醛化度 y 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36
解 （ 1） 作散点图，可发现 y对 x有线性回归关系，
故可用线性回归建模。 16 8 20 2,94
,,30,
77
11 2,8,49,0,26 43
20 2,94 16 8
0,26 43 22,6 48 6
77
xy
x x y y
x y L
L L b
a
这 里
,因 此 回 归 直 线 方 程 为
2 2,6 4 8 0,2 6 4 3yx
1?
( 8,4 9 0,2 6 4 3 3 0 ) 0,3 6
5
此 时
（ 2）采用 t检验，这时
（ 3）
0,2 6 4 3
1 0,6 7,7 8
0,3 6xx
b
TL
0,0 2 5 0,0 2 5( 5 ) 2,5 7,( 5 )t T t
,yx观 测 值 落 入 了 拒 绝 域 内 认 为 对 确 有 线 性回 归 关 系
( 2 8,3 3,3 0,0 9 )预 测 区 间 为
0 0 0,0 2 5? 2 9,2 6,( ) 0,3 6 1 ( 5 ) 0,9 2 5 2y x t
