正交试验设计单因子方差分析和双因子元方差分析模型可以推广到多因子情形,但随着因子的增加,试验的次数将显著增加,以三因子为例,如果每个因子只取 5个水平,并在每种水平的搭配上只做一个试验,则需要做 125次试验,如果在每种水平的搭配上做多个试验则试验次数将成倍增加,显然对大多数试验是不可能做到的,因此,我们的想法就是通过做较少的试验也能进行因子影响分析,这就需要进行正交试验设计,
正交试验设计就是通过正交表来安排试验的,正交表是由统计学家和数学家设计的具有一定特征的可供试验人员直接采用的表,那么正交表是怎样的一个表呢?它具有什么样的特点呢?
我们以正交表 为例加以说明,
49 (3 )L
表的左边的数字表试验号,为第几次试验 ;
表的右边第 1,2,3,4列用来安排因子,下面的数字表示各因子取第几水平,
从右边下面的数字可以看出,
(1)每一列出现 1,2,3的次数相同均为 3次,
(2)任两列对应行构成二维数组出现的次数也相同为 1次,
并且出现的数组就是 1,2,3任取两个的排列,
49 (3 ),L 表试验号列号
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
2 1 2 3
2 2 3 1
2 3 1 2
3 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
正交表均具有下面两个特点,
(1)任意一列中出现的数字重复的次数相同 ;
(2)数字的任意排列在任意两列中重复的次数相同 ;
一般正交表用 表示,其中各字母的含义如下图常见的正交表有二水平表,
三水平表,
四水平表,
混合表,
()knLt
()knLt
正 交 表 的 列 数水 平 数试 验 次 数
3 7 11 154 8 12 16( 2 ) ; ( 2 ) ; ( 2 ) ; ( 2 )L L L L
591 6 3 2( 4 ); ( 4 )LL
4 7 139 18 27( 3 ) ; ( 3 ) ; ( 3 )L L L
478 18( 4 2 ) ; ( 2 3 )LL
例,为了提高某化工产品的转化率,选择了三个有关因素,反应温度 A,反应时间 B和用碱量 C,各因素所选取的水平如下表如果选用正交表 且将 A,B,C因子分别放在第一,二,三列,依次试验得转化率 (%)为,31,54,38,53,49,42,57,62,64.
(1)试找出最佳的生产条件,
(2)反应温度,反应时间,用碱量对提高转化率是否有显著性的影响?
水平 因素 A(反应温度 ) B(反应时间 ) C(用碱量 )
1 80 90 5
2 85 120 6
3 90 150 7
49(3 )L
解,先列直观分析表如下,
试验号 列号 转化率
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
2 1 2 3
2 2 3 1
2 3 1 2
3 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
31
54
38
53
49
42
57
62
64
K1j
K2j
k3j
123 141 135
144 165 171
183 144 144
R 20 8 12
从上表中可以看出,
(1)极差反映了各水平之间的差异,极差越大,说明此因子对试验结果影响就越大,此例中影响转化率的程度依次是反应温度 用碱量 反应时间,
(2)从所做的 9次试验来看,第九号试验转化率最高,
对应的条件是,
(3)各因子中的各水平下转化率的平均值反映了这一水平对转化率的影响,因此,A的第三水平最优,B
的第二水平最优,C的第二水平最优,如果将所有的最优水平搭配在一起,即可认为是最佳条件,这里是
,而这一次试验没有做,需要补做此次试验,通常,为了慎重起见,重做,,再进行比较,
3 3 2A B C
3 2 2A B C
3 3 2A B C 3 2 2A B C
方差分析法,以上例为例加以说明记第 i次试验指标为 Yi,且,假定没有交互作用,令则我们可以写成下列模型其中
2(,)iiYN 9
1
1
9 ii
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 4
5 2 2 3 5
6 2 3 1 6
7 3 1 3 7
8 3 2 1 8
9 3 3 2 9
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0
0
容易证明在上述约束条件下,参数的最小二乘估计是其中我们可得到其中
1 1 2 3 1 1 4 7 1 1 6 8
2 4 5 6 2 2 5 8 2 2 4 9
3 7 8 9 3 3 6 9 3 3 5 7
,
1 1 1
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1
( ),( ),( )
3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
3 3 3
Y
Y Y Y Y Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y Y Y Y Y
9
1
1,
9 i i iiY Y Y Y Y
S S T S S A S S B S S C S S E
2 2 2 2( ),3 ( ),3 ( ),3 ( )
i i i iSST Y SSA SSB SSC
9 3 3 3
i=1 i=1 i=1 i=1
如果 A因子对试验指标影响不大,则 SSA应比较小,
同理,如果 B因子对试验指标影响不大,则 SSB应比较小如果 C因子对试验指标影响不大,则 SSC应比较小,可以证明,如果 A因子对试验指标无影响,则因此,若,则认为 A因子对试验指标有显著性的影响,否则 A因子对试验指标无影响,同理可得到 B,C因子对试验指标 E有无影响的检验,
2 ( 2,2 )
2A
SSAFF
SSE
( 2,2 )AFF
例,在上例的 A,B,C对转化率有没显著性的影响作假设检验,
解,见教材 P103
正交试验设计就是通过正交表来安排试验的,正交表是由统计学家和数学家设计的具有一定特征的可供试验人员直接采用的表,那么正交表是怎样的一个表呢?它具有什么样的特点呢?
我们以正交表 为例加以说明,
49 (3 )L
表的左边的数字表试验号,为第几次试验 ;
表的右边第 1,2,3,4列用来安排因子,下面的数字表示各因子取第几水平,
从右边下面的数字可以看出,
(1)每一列出现 1,2,3的次数相同均为 3次,
(2)任两列对应行构成二维数组出现的次数也相同为 1次,
并且出现的数组就是 1,2,3任取两个的排列,
49 (3 ),L 表试验号列号
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
2 1 2 3
2 2 3 1
2 3 1 2
3 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
正交表均具有下面两个特点,
(1)任意一列中出现的数字重复的次数相同 ;
(2)数字的任意排列在任意两列中重复的次数相同 ;
一般正交表用 表示,其中各字母的含义如下图常见的正交表有二水平表,
三水平表,
四水平表,
混合表,
()knLt
()knLt
正 交 表 的 列 数水 平 数试 验 次 数
3 7 11 154 8 12 16( 2 ) ; ( 2 ) ; ( 2 ) ; ( 2 )L L L L
591 6 3 2( 4 ); ( 4 )LL
4 7 139 18 27( 3 ) ; ( 3 ) ; ( 3 )L L L
478 18( 4 2 ) ; ( 2 3 )LL
例,为了提高某化工产品的转化率,选择了三个有关因素,反应温度 A,反应时间 B和用碱量 C,各因素所选取的水平如下表如果选用正交表 且将 A,B,C因子分别放在第一,二,三列,依次试验得转化率 (%)为,31,54,38,53,49,42,57,62,64.
(1)试找出最佳的生产条件,
(2)反应温度,反应时间,用碱量对提高转化率是否有显著性的影响?
水平 因素 A(反应温度 ) B(反应时间 ) C(用碱量 )
1 80 90 5
2 85 120 6
3 90 150 7
49(3 )L
解,先列直观分析表如下,
试验号 列号 转化率
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
2 1 2 3
2 2 3 1
2 3 1 2
3 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
31
54
38
53
49
42
57
62
64
K1j
K2j
k3j
123 141 135
144 165 171
183 144 144
R 20 8 12
从上表中可以看出,
(1)极差反映了各水平之间的差异,极差越大,说明此因子对试验结果影响就越大,此例中影响转化率的程度依次是反应温度 用碱量 反应时间,
(2)从所做的 9次试验来看,第九号试验转化率最高,
对应的条件是,
(3)各因子中的各水平下转化率的平均值反映了这一水平对转化率的影响,因此,A的第三水平最优,B
的第二水平最优,C的第二水平最优,如果将所有的最优水平搭配在一起,即可认为是最佳条件,这里是
,而这一次试验没有做,需要补做此次试验,通常,为了慎重起见,重做,,再进行比较,
3 3 2A B C
3 2 2A B C
3 3 2A B C 3 2 2A B C
方差分析法,以上例为例加以说明记第 i次试验指标为 Yi,且,假定没有交互作用,令则我们可以写成下列模型其中
2(,)iiYN 9
1
1
9 ii
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 4
5 2 2 3 5
6 2 3 1 6
7 3 1 3 7
8 3 2 1 8
9 3 3 2 9
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0
0
容易证明在上述约束条件下,参数的最小二乘估计是其中我们可得到其中
1 1 2 3 1 1 4 7 1 1 6 8
2 4 5 6 2 2 5 8 2 2 4 9
3 7 8 9 3 3 6 9 3 3 5 7
,
1 1 1
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1
( ),( ),( )
3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
3 3 3
Y
Y Y Y Y Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y Y Y Y Y
9
1
1,
9 i i iiY Y Y Y Y
S S T S S A S S B S S C S S E
2 2 2 2( ),3 ( ),3 ( ),3 ( )
i i i iSST Y SSA SSB SSC
9 3 3 3
i=1 i=1 i=1 i=1
如果 A因子对试验指标影响不大,则 SSA应比较小,
同理,如果 B因子对试验指标影响不大,则 SSB应比较小如果 C因子对试验指标影响不大,则 SSC应比较小,可以证明,如果 A因子对试验指标无影响,则因此,若,则认为 A因子对试验指标有显著性的影响,否则 A因子对试验指标无影响,同理可得到 B,C因子对试验指标 E有无影响的检验,
2 ( 2,2 )
2A
SSAFF
SSE
( 2,2 )AFF
例,在上例的 A,B,C对转化率有没显著性的影响作假设检验,
解,见教材 P103
