附录 I：截面的几何性质
A
F N
EA
LFl N
PI
T
PGI
TL
一、截面的静矩和形心
Ay x d AS
A y
X
y
X
dA
O
Ax y dAS
A
xdA
x A A
ydA
y A
A
Sx y?
A
Sy x?
xAS y? yAS x?
当截面由若干简单图形组成
n
i
iiy xAS
1
n
i
iix yAS
1
x
y
xAS y? yAS x?
2、截面对形心轴的静矩为零
3、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴
1,截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，固静矩与坐标轴有关如图所示将截面任意分为两部分 A1与 A2,证明这两部分面积对整个截面形心轴 xc的面积矩绝对值相等。
1A
2A
C
cx
例题
I.1?
设,A1,A2对 xc轴的静矩分别为 Sxc1和 Sxc2
21 xcxcxc SSS
0 21 xcxc SS
21 xcxc SS?
证毕试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。
例题
I.2?
解,图形对底边的静矩
2211 yAyAS x
32
1
3
2
2
1 hahhbh
bah 2
6
2
形心位置
a
b
h
x
y
O
C1x
C2x 0?x
A
Sy x?
ba
h
ba
h
2
2
6
2
ba
bah
2
3
dAyI x 2
dAxI y 2
x y d AI xy
y
x
y
x
ρ
dA
O
二、极惯性矩,惯性矩,惯性积
dAI P 2
性 质：
1,惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，
而极惯矩，是对点定义的。
2,惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
3,任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。 o
)( 12 xx 1x
y
dA dA
yy
x
Axy x y dAIdAxyxyd A AA
22
0?
4,对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。
xdA y x
dA
y?5,组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积
n
i
PiP II
1
n
i
yiy II
1
n
i
xix II
1
n
i
x y ixy II
1
惯性半径：
dA
x
y
O
x
y
任意形状的截面图形的面积为 A，则图形对
y轴和 x轴的惯性半径分别定义为
A
Ii y
y? A
Ii x
x?
惯性半径的特征：
1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。
2.惯性半径的单位为 m。
3.惯性半径的数值恒取正值。
AaII xcx 2
a b AII x c y cxy
三、惯性矩,惯性积的平行移轴公式
C xc
yc
y
xO
b
a
dA
cy
cx
Ax dAyI 2 A C dAay 2
A c dAy 2 A c dAya2 AdAa 2xcI? Aa2
A cc yAdAy AbII ycy 2
在所有相互平行的坐标轴中，
图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小例题
I.3?
试求图示三角形,（ 1） 对 x轴静矩； （ 2）
对 x轴的惯性矩； （ 3） 对 x1轴的惯性矩。
cx AyS?
x
b/2 b/2
h/2
h/2
O
y
x1
322 hhbh 12
2bh
y
dy
Ax dAyI
2?
2
2
2h
h b d yy 12
3bh
122
1 3bhI
x? 24
3bh
23
2 2
1
bhhII
xcx
xc
232
2 bhhh
II xcx?
2624
23 bhhbh
I xc?
36
3bh
I xc? 9236
33
1
bhbhI
x 4
3bh
图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴 x的惯性矩,
例题
I.4?
O1
O2 O3 xc
O2,O3到 xc轴的距离
dd 632331?
O1到 xc轴的距离
dd 332332?
224224
3
3
4646
3
464
2 ddddddI x 6411
4d?
四、惯性矩和惯性积的转轴公式,截面的 主惯性轴和主惯性矩
X
y
O
2s inc o s221 xyyxyxx IIIIII
2s inc o s221 xyyxyxy IIIIII
2c o s2s in211 xyyxyx IIII
图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量,等于图形对原点的极惯性矩
Pyxyx IIIII 11
主惯性轴,
图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的主惯性轴主惯性矩,
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩形心主轴,
过形心的主轴称为主形心轴形心主矩,
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩课堂练习
I,? 在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心；
B.图形两个对称轴的交点必为形心；
D.使静矩为零的轴必为对称轴。
C.图形对对称轴的静矩为零；
D
在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩； B.极惯性矩和惯性矩；
C.惯性矩和惯性积； D.静矩和惯性积。
D
课堂练习
I,? 图示任意形状截面，它的一个形心轴 zc把截面分成
Ⅰ 和 Ⅱ 两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
0;.0;.
CCCC ZZZZ
ⅡⅠⅡⅠ IIBIIA
Ⅰ
Ⅱ
ZC
。ⅡⅠⅡⅠ AADISC,0;.
CC ZZ
C
课堂练习
I,? 图 a,b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴 x的惯性矩分别为对对称轴 y的惯性矩分别为,则（ ）。
axI bxI
ayI byI
o x
y
)(a
o x
y
)(b
。，；，；，；，
babababa
babababa
IIIIDIIIIC
IIIIBIIIIA
xxyyxxyy
xxyyxxyy
..
..
C
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。
。，；，；，；，
yxyx
yxyx
II.II.
II.II.
yxyx
yxyx
SSDSSC
SSBSSA
课堂练习
I,?
x
y
D
任意图形的面积为 A,x0轴通过形心 C,x1 轴和 x0轴平行，
并相距 a，已知图形对 x1 轴的惯性矩是 I1，则对 x0 轴的惯性矩为（ ）。
。；；；
AaDAaC
AaBA
1x0
2
1x0
2
1x0x0
II.II.
II.0I.
Ca
1x
0x
课堂练习
I,?
B
设图示截面对 y轴和 x轴的惯性矩分别为 Iy,Ix，
则二者的大小关系是（ ）。
不确定。；；；
..
..
DIIC
IIBIIA
xy
xyxy
y
R
R
R2
O x
课堂练习
I,?
B
图示任意形状截面，若 Oxy轴为一对主形心轴，则
（ ）不是一对主轴。
。；；； yxODyxOCxyOBO x yA 1311211,...
1O
2O
O
3O
1y y
x
1x
课堂练习
I,?
C
A,形心轴； B,主轴 C,主形心轴 D,对称轴在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时,y-z轴始终保持为一对主轴。
O
y
x
课堂练习
I,? 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，
则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A,y轴不动,x轴平移 ；
D,y,x同时平移。
B,x轴不动,y轴平移；
C,x轴不动,y轴任意移动；
B
本章作业
I－ 1,I－ 3(c),I－ 6,I－ 9，
I－ 16,I－ 19，
A
F N
EA
LFl N
PI
T
PGI
TL
一、截面的静矩和形心
Ay x d AS
A y
X
y
X
dA
O
Ax y dAS
A
xdA
x A A
ydA
y A
A
Sx y?
A
Sy x?
xAS y? yAS x?
当截面由若干简单图形组成
n
i
iiy xAS
1
n
i
iix yAS
1
x
y
xAS y? yAS x?
2、截面对形心轴的静矩为零
3、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴
1,截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，固静矩与坐标轴有关如图所示将截面任意分为两部分 A1与 A2,证明这两部分面积对整个截面形心轴 xc的面积矩绝对值相等。
1A
2A
C
cx
例题
I.1?
设,A1,A2对 xc轴的静矩分别为 Sxc1和 Sxc2
21 xcxcxc SSS
0 21 xcxc SS
21 xcxc SS?
证毕试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。
例题
I.2?
解,图形对底边的静矩
2211 yAyAS x
32
1
3
2
2
1 hahhbh
bah 2
6
2
形心位置
a
b
h
x
y
O
C1x
C2x 0?x
A
Sy x?
ba
h
ba
h
2
2
6
2
ba
bah
2
3
dAyI x 2
dAxI y 2
x y d AI xy
y
x
y
x
ρ
dA
O
二、极惯性矩,惯性矩,惯性积
dAI P 2
性 质：
1,惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，
而极惯矩，是对点定义的。
2,惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
3,任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。 o
)( 12 xx 1x
y
dA dA
yy
x
Axy x y dAIdAxyxyd A AA
22
0?
4,对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。
xdA y x
dA
y?5,组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积
n
i
PiP II
1
n
i
yiy II
1
n
i
xix II
1
n
i
x y ixy II
1
惯性半径：
dA
x
y
O
x
y
任意形状的截面图形的面积为 A，则图形对
y轴和 x轴的惯性半径分别定义为
A
Ii y
y? A
Ii x
x?
惯性半径的特征：
1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。
2.惯性半径的单位为 m。
3.惯性半径的数值恒取正值。
AaII xcx 2
a b AII x c y cxy
三、惯性矩,惯性积的平行移轴公式
C xc
yc
y
xO
b
a
dA
cy
cx
Ax dAyI 2 A C dAay 2
A c dAy 2 A c dAya2 AdAa 2xcI? Aa2
A cc yAdAy AbII ycy 2
在所有相互平行的坐标轴中，
图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小例题
I.3?
试求图示三角形,（ 1） 对 x轴静矩； （ 2）
对 x轴的惯性矩； （ 3） 对 x1轴的惯性矩。
cx AyS?
x
b/2 b/2
h/2
h/2
O
y
x1
322 hhbh 12
2bh
y
dy
Ax dAyI
2?
2
2
2h
h b d yy 12
3bh
122
1 3bhI
x? 24
3bh
23
2 2
1
bhhII
xcx
xc
232
2 bhhh
II xcx?
2624
23 bhhbh
I xc?
36
3bh
I xc? 9236
33
1
bhbhI
x 4
3bh
图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴 x的惯性矩,
例题
I.4?
O1
O2 O3 xc
O2,O3到 xc轴的距离
dd 632331?
O1到 xc轴的距离
dd 332332?
224224
3
3
4646
3
464
2 ddddddI x 6411
4d?
四、惯性矩和惯性积的转轴公式,截面的 主惯性轴和主惯性矩
X
y
O
2s inc o s221 xyyxyxx IIIIII
2s inc o s221 xyyxyxy IIIIII
2c o s2s in211 xyyxyx IIII
图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量,等于图形对原点的极惯性矩
Pyxyx IIIII 11
主惯性轴,
图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的主惯性轴主惯性矩,
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩形心主轴,
过形心的主轴称为主形心轴形心主矩,
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩课堂练习
I,? 在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心；
B.图形两个对称轴的交点必为形心；
D.使静矩为零的轴必为对称轴。
C.图形对对称轴的静矩为零；
D
在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩； B.极惯性矩和惯性矩；
C.惯性矩和惯性积； D.静矩和惯性积。
D
课堂练习
I,? 图示任意形状截面，它的一个形心轴 zc把截面分成
Ⅰ 和 Ⅱ 两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
0;.0;.
CCCC ZZZZ
ⅡⅠⅡⅠ IIBIIA
Ⅰ
Ⅱ
ZC
。ⅡⅠⅡⅠ AADISC,0;.
CC ZZ
C
课堂练习
I,? 图 a,b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴 x的惯性矩分别为对对称轴 y的惯性矩分别为,则（ ）。
axI bxI
ayI byI
o x
y
)(a
o x
y
)(b
。，；，；，；，
babababa
babababa
IIIIDIIIIC
IIIIBIIIIA
xxyyxxyy
xxyyxxyy
..
..
C
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。
。，；，；，；，
yxyx
yxyx
II.II.
II.II.
yxyx
yxyx
SSDSSC
SSBSSA
课堂练习
I,?
x
y
D
任意图形的面积为 A,x0轴通过形心 C,x1 轴和 x0轴平行，
并相距 a，已知图形对 x1 轴的惯性矩是 I1，则对 x0 轴的惯性矩为（ ）。
。；；；
AaDAaC
AaBA
1x0
2
1x0
2
1x0x0
II.II.
II.0I.
Ca
1x
0x
课堂练习
I,?
B
设图示截面对 y轴和 x轴的惯性矩分别为 Iy,Ix，
则二者的大小关系是（ ）。
不确定。；；；
..
..
DIIC
IIBIIA
xy
xyxy
y
R
R
R2
O x
课堂练习
I,?
B
图示任意形状截面，若 Oxy轴为一对主形心轴，则
（ ）不是一对主轴。
。；；； yxODyxOCxyOBO x yA 1311211,...
1O
2O
O
3O
1y y
x
1x
课堂练习
I,?
C
A,形心轴； B,主轴 C,主形心轴 D,对称轴在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时,y-z轴始终保持为一对主轴。
O
y
x
课堂练习
I,? 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，
则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A,y轴不动,x轴平移 ；
D,y,x同时平移。
B,x轴不动,y轴平移；
C,x轴不动,y轴任意移动；
B
本章作业
I－ 1,I－ 3(c),I－ 6,I－ 9，
I－ 16,I－ 19，
