第三章 真空中的静磁场 1
第三章 真空中的静磁场
磁现象的研究与应用(即磁学)是一门古老而又年轻的学科说她古老是因为关于磁现象的发现和应用的历史悠久说她年轻是因为磁的应用目前越来越广泛已形成了许多与磁学有关的边缘学科(图3.1)
磁现象是一种普遍现象即一切物质都具有磁性任何空间都存在磁场所以我们可以毫不夸张地说磁学犹如一棵根深叶茂的参天大树
2 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
尽管人们对物质磁性的认识已有两千多年但直至19世纪20年代才出现采用经典电磁理论解释物质磁性的代表――安培分子环流假说而真正符合实际的物质磁性理论却是在19世纪末发现电子20世
第三章 真空中的静磁场 3
纪初有了正确的原子结构模型和建立了量子力学以后才出现
因此在经典电磁学范围研究物质的磁性时我们虽然采用传统的观念即安培分子环流假说和等效磁荷两种观点但必须强调我们要在原子结构模型和量子力学的基础上建立一个正确的概念即物质的磁性来源于电子的轨道磁矩和自旋磁矩(图3.2)
只有这样我们才能准确理解物质的抗磁性顺磁性和铁磁性尤其是磁畴结构在外磁场中的变化是铁磁性物质在外磁场中的磁化特点(图3.3)
4 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
3-1 磁现象与安培安律
一基本磁现象
对基本磁现象的认识可以分成三个阶段
1.早期阶段磁铁? 磁铁
天然磁铁吸铁石能吸引铁镍钴等物质条形磁铁的两端称作磁极中部称作中性区(图3.4)
第三章 真空中的静磁场 5
将条形磁铁的中心支撑或悬挂起来使它能够在水平面内运动则两极总是指向南北方向分别称作S
极和N极这是因为地球本身是一个磁场(图3.5)所以条形磁铁(指南针)可以与地磁场发生相互作用
条形磁铁与地球磁场之间以及条形磁铁之间的相互作用(图3.6)说明同号磁极相互排斥异号磁极相互
6 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
吸引
进一步分析发现将一磁铁可以一直细分成很小很小的磁铁而每一个小磁铁都具有N S极(图3.7)
自然界中有独立存在的正电荷或负电荷但迄今却未发现独立的N S极尽管在近代理论中有人认为可能存在磁单极子
第三章 真空中的静磁场 7
2.电流? 磁铁 电流? 电流
1820年7月21日奥斯特实验(图3.8)打破了长期以来电学与磁学彼此独立发展和研究的界限使人们开始认识到电与磁有着不可分割的联系
8 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
由图3.8可以看出电流对磁铁的作用由图3.9可以看出磁铁对电流的作用电流和电流之间也有相互作用(图3.10)
第三章 真空中的静磁场 9
进一步发现一个载流螺线管的行为很像一根磁棒(图3.11)
10 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
由此我们可以用右手定则来判断载流线圈的极性(图3.12)
3.电流? 磁场? 电流
类似于静止电荷之间的相互作用力是通过电场来传递的,上述的各种相互作用都是通过磁场来传递的1822年安培提出了一个假说组成磁铁的最小单元(磁分子)就是环形电流这些分子环流定向地排列起来在宏观上就会显示出N S极来(图3.13)
第三章 真空中的静磁场 11
当时人们并不了解原子的结构因此不能解释物质内部的分子环流是如何形成的现在大家都知道原子是由带正电的原子核和绕核旋转的负电子组成电子不仅能绕核旋转而且具有自旋在分子原子等微观粒子内电子的这些运动形成了分子环流这就是物质磁性的基本来源的经典解释
小结无论是导线中的电流(传导电流)产生的磁场还是磁铁(分子环流)产生的磁场本源都只有一个即电荷的运动也就是说前面介绍的各种实验中出现的现象都可以归结为运动着的电荷(即电流)
之间的相互作用这种相互作用是通过磁场来传递的
注意电荷之间的磁相互作用与电(库仑)相互作用的区别在于无论电荷是静止的还是运动的它们之间都存在着库仑相互作用但是只有运动的电荷才存在着磁相互作用
12 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
二安培定律
这一节主要研究电流与电流之间的磁相互作用的规律正如点电荷之间的相互作用的规律――库仑定律是静电场的基本规律一样电流之间的相互作用规律-----安培定律是稳恒磁场的基本规律稳恒电流只能存在于闭合回路之中而闭合回路的形状和大小可以千变万化两载流闭合回路之间的相互作用又与它们的形状大小和相对位置有关这就使问题变得复杂不过在研究两个有一定形状和大小的带电体之间的静电相互作用时我们可以把带电体分割为许多无穷小的带电元每个带电元看作是点电荷只要研究清楚任意一对点电荷之间相互作用的规律之后我们就可以通过矢量叠加把整个带电体受的力计算出来仿照此法我们也可以设想把相互作用着的两个载流回路分割为许多无穷小的线元叫做电流元只要知道了任意一对电流元之间相互作用的基本规律整个闭合回路受的力便可通过矢量叠加计算出来
注意点电荷和电流元之间的重要区别因为在实验中无法实现一个孤立的稳恒电流元从而无法直接用实验来确定它们的相互作用电流元之间的相互作用规律只能间接地从闭合载流回路的实验中倒推出来因此下面介绍的安培定律并不是直接从实验得到而是在安培设计得很巧妙的四个实验和一个
第三章 真空中的静磁场 13
假设的基础上与相当高超的数学技巧相结合得到的
安培定律的数学表述是如图3.14所示的电流元对电流元的作用力为,
11
ldI
r
22
ldI
r
0
r
r
12
r
(1)式中是电流元到受力电流元方向的单位矢量
12
r
11
ldI
22
ldI
μ
0
= 7
2
0
121122
12
)( rldIldI
kFd
r
rr
r
××
= r
讨论 (1) 式中是比例系数
k
在国际单位制中,
π4 0
104
×= πμ
牛顿/安培2 (2) 电流元之间的相互作用力不一定满足牛顿第三定律原因是实际上不存在孤立的稳恒电流元它们总是闭合回路的一部分可以证明若将沿闭合回路积分
12
Fd
r
得到的合成作用力总是与反作用力大小相等方向相反
k
(3)电流强度单位安培的定义为,一恒定电流若保持在处于真空中相距1米的两无限长圆截面可
14 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
以忽略的平行直导线内在此两导线之间产生的力在每米长度上等于2×10-7牛顿(N)则此恒定电流的电流强度定为1安培(A)
我们还可以根据下面两个式子计算两个体电流元和两个面电流元之间的作用力
11
dVJ
r
22
dVJ
r
11
dSi
r
22
dSi
r
2
12
0
121122
12
)(
r
rdVJdVJ
kFd
r
rr
r
××
=
(2) (3)
2
12
0
121122
12
)(
r
rdSidSi
kFd
r
rr
r
××
=
三安培的四个示零实验
安培首先设计制作了如图3.15所示的装置并将它取名为无定向秤他用一根硬导线弯成两个共面的大小相等的矩形线框线框的两个端点A B通过水银槽和固定支架相连接通电源时两个线框中的电流方向正好相反整个线框可以以水银槽为支点自由转动在均匀磁场(如地磁场)中它所受到的合力和合力矩为零处于随遇平衡但在非均匀磁场中它会发生运动
第三章 真空中的静磁场 15
实验一――安培将一对折的通电导线(如图3.16)移近无定向秤以检验对折导线有无作用力结果是否定的这说明电流反向时电流产生的作用力也反向大小相等的电流产生的力的大小相等
实验二――将对折导线中的一段绕在另一段上成螺旋形(如图3.17)通电后将它移近无定向秤结果表明无定向秤仍无任何反应这表明一段螺旋状导线的作用与一段直长导线的作用相同从而证明电流元具有矢量性质即许多电流元的合作用是各单个电流元作用的矢量叠加
16 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
实验三――如图3.18所示弧形导体D架在水银槽A B上导体D与一绝缘棒固接棒的另一端架在圆心C处的支点上这样既可以通过水银槽给导体D通电弧形导体D又可绕圆心C移动,从而构成一个只能沿弧形长度方向移动不能沿径向运动的电流元安培用这个装置检验各种载流线圈对它产生的作用力结果发现弧形导体D不运动这表明作用在电流元上的力与电流本身垂直即这种作用具有横向性
第三章 真空中的静磁场 17
实验四――如图3.19所示A B C是用导线弯成的三个几何形状相似的线圈其周长比为1:k:k2
A C两线圈相互串联位置固定通入电流I1线圈B可以活动通入电流I2实验发现只有当
A B间距与B C间距之比为1 k时线圈B才不受力即此时A对B的作用力与C对B的作用力大小相等方向相反这表明电流元长度增加作用力增加相互距离增加作用力减小如果两电流
18 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
元的长度及相互距离增加同一倍数相互作用力不变
安培提出的假设两个电流元之间的相互作用力沿它们的连线
3-2 磁场与毕奥萨伐尔定律
一安培公式与磁场感应强度B
两个电流元及之间有力作用
11
ldI
r r
22
ldI
设是对的作用力
12
Fd
r r r
11
ldI
22
ldI
3
12
1211
22
0
12
4 r
rldI
ldIFd
rr
×
×=
π
μ
r
r
1
r r
公式1称为安培定律其中是由指向的距离矢量
12
r
r
11
ldI
22
ldI
例 如图3.20两个相互平行的电流元相距为r12它们之间的作用力为
z
图3.20
IdlIdl
r
12
y x
)(
4
)(
4
2
12
22110
3
12
1211220
12
x
xzz
e
r
dlIdlI
r
eredlIedlI
Fd
r
r
=
××
=
π
μ
π
μ
rrr
2
第三章 真空中的静磁场 19
从式2看到安培定律与库仑定律
2
120
21
12
4 r
qq
F
πε
=
很相像注意到对应关系
0
0
222111
~
1
,~,~ μ
ε
dlIqdlIq
公式2与库仑定律就可以互换
因此两个电流元之间的相互作用不满足牛顿第三定律
对于两个线圈来说牛顿第三定律成立参见图3.22
图3.21
参见图3.21有
0,
4
21
22110
12
== Fde
dlIdlI
Fd
z
r
r
r
π
μ
Idl
Idl
r
12
思考
20 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
21
3
21
21
2211
2211
3
12
120
3
12
12
11212
)(
)(
4
)(
21
2121
F
r
r
ldIldI
dlIdlI
r
r
r
r
ldIlIdF
LL
LLLL
r
r
rr
rrr
=××?=
=××=
∫∫
∫∫∫∫
π
μ
rr
L
2
r
12
Idl
Idl
dF
12
图3.22 L
1
证毕
磁感应强度 从
B
r
1式可记
BdldIFd ×=
22
rrr
3
这里
3
0
4 r
r
lIdBd
rr
×=
π
μ
r
4
称为由
ldI
1
r
即
11
ldI
r
为了书写方便将可以不写的下标略去产生的磁感应强度回路线圈L电流为I所产生的磁场强度可根据叠加原理由
B
r
4式推出
3
0
4 r
r
lIdB
L
r
rr
×=
∫
π
μ
5
第三章 真空中的静磁场 21
叠加原理 这是电磁学中反复用到的原理本处设场源所产生的磁感应强度为
ii
ldI
r
i
Bd
r
则由场源联合产生的场强是的几何叠加的结果
B
r
i
Bd
r
∑
=
i
i
BdB
rr
二毕奥萨伐尔实验与定律
4式即毕奥萨伐尔定律简称为毕萨定律1820年毕奥和萨伐尔在实验上确定了载流导线和它所产生的场强
H
r
之间的关系然后拉普拉斯从数学上导出电流元及其场强
lId
r
Hd
r
或
HdBd
rr
0
μ=
之间的关系因此4式又称为毕奥萨伐尔拉普拉斯Biot-Sarvart-Laplace定律毕奥萨伐尔的重要实验是弯折导线的实验参见图3.23实验结果是
1
r
I
p
m
α
O
z
坐标架原点在O点
y x
图3.23
1
常用物理概念精析雷树人陈秉乾等编著科学出版社第189页
22
P
0
H
r
电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
2
tg
r
H ∝
αI
或者
y
etg
r
kH
r
2
1
=
I
r
α
6 由6式即可推出毕萨定律4式
证明 由于磁场的特性及对称性的分析图3.23的弯折导线的上半段和下半段所产生的磁场都是
2/
参照图3.24从A到A1的所产生的磁场
lId
r
3
1
2
1
2
2
1
1
2
1
sin
2
]
22
sec
1
2
[
2
)
2
1
2
1
(
2
r
r
lId
k
e
r
Idl
k
e
d
r
tg
r
dr
I
k
e
d
tg
drr
tg
r
I
k
Hd
y
y
y
r
r
r
r
r
r
×==
+=
+
=
α
ααα
ααα
(7)
这就是毕萨定律4参数k1需要由实验确定
π2
1
=k
1
8
Idl
图3.24
A
1
A
α+dα
α
dα
r
r+dr
第三章 真空中的静磁场 23
背景对称性如果认为静电规律和静磁规律之间有对称性即它们之间有严格的对应关系那么相应于库仑定律有磁荷的库仑定律
2
0
4
21
r
qq
F
mm
πμ
= 9
并且从电学的讨论知道对应地在磁学中9式应当作为磁学的基础
从磁学与电学的对称性出发仿照电学的电偶极子成场公式磁偶极子的成场公式是磁场
m
p
r
]
)(3
[
4
1
23
0
r
r
rp
p
r
H
m
m
r
rr
r
r
+=?
πμ
10
利用10式计算图3.23中P0点的场强
H
r
由于电流为I的磁偶极子面积为的圈电流可看作是磁偶极矩为
zxS=?
(11) nzxIp
m
rr
=?
0
μ
的磁偶极子而折线电流I的成场效应可用在其左侧一系列圈电流代替并且考虑到10式
yy
xtg
xtg
etg
r
I
zxr
eIdzdxHH
rr
rr
∑
∫∫
=
+?
=?=
∞?
π
α
πμ
μ
α
α
2
1
2])[(4
1
22
0
0
0.
(12)
24 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
12式与6式完全一致并且确定了
π2
1
=k
1
如果采用电磁对称性仿照电学来处理磁学问题那么毕萨定理可以完全从理论中推导出来包括系数在内都是理论的自然结果
三求磁场举例
[例3-2-1] 无限长直线电流I在距I为r0处一点P1的磁场见图3.25
Z
图3.25
r
0
O
P
1
Y
z
Idl
X
解
z
eIdzlId
r
=
r
相应的用毕Bd
r
萨定律求出
2/322
0
00
)(4 zr
ezer
eIdzBd
zx
z
+
×=
rr
r
r
π
μ
第三章 真空中的静磁场 25
磁场
∫∫
+
=
∞
yy
eI
rzr
BdB
r
rr
0
0
2/322
0
0
2)(4 π
μ
π
==
∞
dz
reI
r
0
μ
[例3-2-2] 半径为r
0
的圆形电流I在轴线上距离为z的P
1
点的磁场B
r
解 见图3.26采用柱坐标系
rr
2/322
0
2
00
)(2 zr
Ir
e
z
+
rμ
2/322
0
0
0
2
0
0
)(4 zr
erez
edeIrB
rz
+
×=
∫
r
r
π
μ
θ
π
=
图3.26
r
0
I
z
Y
X
P
1
Z
附录
26 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
关于公式7的推导
参见图已知实验定律P0点的磁场强度是 6
y
etg
r
I
kH
r
r
2
1
α
=
设折转导线的顶点为A即图3.23的原点O A以上部份的电流I在P0点所产生的磁场正好是全部折线电流所产生的一半记这部份磁场为
'H
r
有
附图1
A
1
α+dα
r+dr
α
A
Idl
dα
r
附1
y
etg
r
IkH
H
r
r
222
'
1
α
==
r
可参见附图1附1成立的理由是因为以AP0为轴将折转导线旋转180则下半截导线与上半截
第三章 真空中的静磁场 27
导线重合由这个特点就能推出下半截导线与上半截导线产生的磁场是相等的都是现在A点附近取一点A1参见图5或附图1令AA1=dl考虑到A1以上段的半直线电流可以看成以A1为顶点的折线电流的上半段因它在P0点所产生的磁场为 (附2)
2
H
y
etg
r
IkH
H
r
r
r
222
"
1
1
11
α
==
drr +
附图2
dl
r
r+dr
A
1
A
P
0
这里而1是上半段载流导线与
rAP =≡
110
从附图1看到dr及d都随dl 0而趋于零关系讨论其中的P0AA1参见附图2 A1=
利用正弦定理
)sin(sin
0
α?α
=
∠ d
r
P
dl
P0A1的夹角可记
α?α=α d
1
附3
并且dr及d均是正的小量现在找出dr d与dl 的
-d A= -,P0=d
28 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
可以推出 附4
dldr =
lId
r
r
dl
d
α
=α
sin
而将折线A1AP0在A1P0上投影有关系
drrdrddl +=α+α?α cos)cos(
dl αcos
Hd
r
保留到的一阶有 (附5)
y
e
r
tgtgIk
HHHd
r
rrr
)
2/2/
("'
1
11
αα
=?=
'H
r2
从附图1知道所产生的磁场为
r
αdtgtg
r
2
sec
2222
1
1
1
==
ααααα d
r
dr
rdrr
1
11
2
2
=
+
=
这里见附1见附2注意到小量展开保留到的1阶有
dl
tg
"H
r
附7
dl
F
r
Ik
2
1
dtg
r
dr
r
Ik
dH )
2
sec
2
1
2
(
2
21
=+= α
αα
将附7代入附6保留到的一阶有
附8
第三章 真空中的静磁场 29
这里因子
α
αα
(cos)sin
2
sec
2
1
2
2
r
dl
=+
α
αα
dtg
dr
F sec
1
+=
2
r 222
将关系附4及附5代进上式得到
α
αα
αα
αα
sin
2
cos2
2
)
22
(cos
2
r
dl
tg
r
dl
tgtgtg
r
dl
F
==
+=
将所得的关系代入附8即得文中的7式
2,关于12式的证明
记积分 (附9)
2/322
0
])[(2
)(
zxr
dz
dxrG
xtg
xtg
+?
≡
∫∫
∞?
α
α
α
则按照12式需要证明 附10
0
[(r
dy
ytg
+
∫
α
2
)(
α
α tgG =
将附9中的积分变量x换成-y有
2/322
0
2/322
0
])])[(2
)(
zy
dz
r
zyr
dz
dyrG
ytg
ytg
+
=
++
≡
∫∫∫
∞
∞ α
α
α
(附11
30 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
易于算出
=1 附12
2/3222
2
11
2/3222
0
])1[(
1
sec
])[(
++
++
α
α
αα
tgyy
ydy
tgyyrd
2
0
2/322
00
)(])[(
)
2
(
yr
dy
r
zyr
dz
dyrG
+
=
++
=
π
∫∫∫
∞∞∞
现在将附11两方对参量求导
2/32
2
133
22
11
0
2/32222
1
11
0
2/32
1
2
1
2
1
11
0
2/3
1
22
1
2
11
0
11
0
2
]1)
sincos
cos
[(cossin
1
)coscos(cos
]sincos)cos[(
1
cos
]coscos2[
cos
]12sec[
sec
1
sec
)(
)(
+
+
+=
++
=
++
=
++
=
=
==′
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞
∞
∞
∞
∞
∞
αα
α
αα
ααα
ααα
α
αα
α
α
α
α
α
α
y
ydy
y
ydy
uyy
ydy
yy
ydy
dyyr
dG
G
引进代入上式有
αα
=
sincos
1
2
y
y
第三章 真空中的静磁场 31
附13
2
sec
222
sin
2
cos
2
2
α
=
+ tg
2
sec
2
1)(
2
α
=
α
α
d
dG
2/32
3
33
2/32
2
22
0
)1(
1
)(
sin
1
]1)[(
1
)(
sin
1
)(
+
=
++
+=′
∫
∫
∞
∞
y
ctgydy
ctgy
ctgctgydyG
ctg
α
α
α
αα
α
α
α
α?
π
=θ
2
令y
3
=tg更改附13中的积分变量则下限y
3
=ctg相当于上限y
3
=相当从附13有
0
C
2
π
=θ
11
cos
1
2
2
2
1
2
sincossin2
sin
1
sin
2
sin
2
cos
2
sin2
]cossin[
sin
1
]sincos[
sin
1
][cos
sin
1
)(
2
2
2/
2/
2
2
αααα
α
α
ααα
α
α
α
απ
αααα
α
θαθ
α
αθθθ
α
α
π
απ
π
α
π
=
=
=++?=
=?=′
∫
tg
tg
ctg
ctgctg
ctgctgtgdG
(附14)
22α
考虑到附14
对于这个一阶微分方程有通解下式中C0 是积分常数 附15
2
)( tgG +=
α
α
32 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
由端点条件附12定出C0=0这样得到,所以附10成立证毕
2
)(
α
α tgG =
3-3 磁场的高斯定理和环路定理
一磁感应线与磁通量
与电场中引入电场线相似磁场中可引入磁感应线又称磁力线的概念
1.磁感应线
定义磁感应线即磁场空间中一些有方向的曲线其上每点的切线方向与该点的磁感应强度方向一致
实例图3 3 1 磁感应线实例
第三章 真空中的静磁场 33
(a) 直线电流
34 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
(b) 两根平行直线电流
第三章 真空中的静磁场 35
(c) 圆环电流
(d) 有限长螺线管电流
36 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
(e) 电磁铁
第三章 真空中的静磁场 37
为了表达磁场中某点磁感强度大小我们规定绘图时作到过该点垂直于磁感应一的截面的数密度与磁感应强度成正比即
S
||
Ν
=B
v
B
Φ,称为通过S?的磁通量S ≡
vv
形像地说是垂直通过S?的磁感应线根数磁通
SB
S
vv
d?
∫∫
=Φ
Β
(3-3-1)
1Wb=1T/米
2
磁
S的磁通量等于零即
∫∫
=SB 0d
vv
(3-3-2)
2.磁通量
定义 B进一步可引
S的入通过某曲面量
磁通量的单位为韦伯(Wb),通量也和B
v
一样满足叠加原理
二高斯定理
高斯定理通过任意闭合曲面
S
物理意义反映了磁场的无源性即孤立磁荷不可能存在
38 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
[证明]因为任
B
意一磁场
v
都是由许多电流元产生的磁场叠加而成其磁通量也满足叠加原理所以只需证明电流元产生的磁场遵守高斯定理
元
vvv
取电流
ldI
为坐标原点沿电流元强度的方向作图3 3 2Z轴
图3 3 2 电流元磁场的高斯定理的证明
第三章 真空中的静磁场 39
此式表明以Z为轴的任意图上的大小相同方向与圆相切
Bd
v
θ
π
μ
=
0
)
vv
v
d
4
d
lI
B
v
2
sin
r
于是穿过以Z为轴的任一环形管内任意截面的磁通量为常量与截面在管中的位置以及取向无关见图3 3 2(a)
0
2211
=?+=?+ SBSBSBSB
vvvvvvvv
对于任一封闭曲面S上述环形管每穿过S一次均会在S上切出两个面元见图3 3 2中
S1 S2其磁通量
对曲面S上任一面元都可作一个环形管且可找到S上的另一个面元与之对应
同上理这两个面元的磁通量之和为零
故穿过S的总磁通证毕
,0d =?
∫∫
SB
S
vv
40 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
三安培环路定理
仿照引入静电场环流的作法可引入磁场的环流如下
lB
L
vv
d?
∫
环流
安培环路定理沿任何闭合曲线L磁感应强度的环流等于穿过L的电流强度的代数和的
0
倍即
3 3 3,d IlB
L
vvv
Σμ=
0
∫
物理意义反映了磁场的有旋性
I的正负根据回路L的绕行方向按右手定则规定见图3 3 3在设定了L绕行方向后采用右手定则四指沿L方向则电流方向与大姆指一致时取正反之取负
第三章 真空中的静磁场 41
图3 3 3 I和L绕行方向的右手定则
[证明]
因为任何磁场都是由一些稳恒线闭合电流产生的只要证明对其中任一稳恒线闭合电流I和任一闭合回线L满足
42 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
μ
=?
∫
正向穿过不穿过
LI
LI
l vv
vv
.(
(,0
d
0
B
L
vv
)433(
)433(
b
a
则按照叠加原理安培环路定理便成立
(1)首先证明公式3 3 4a,一闭合线电流I不穿过闭合回路L如图3 3 4
图3 3 4 闭合线电流的分解
以电流回路为边界作一任意曲面并将曲面分割成许多面元设每个面元边缘的电流强度度为I则
第三章 真空中的静磁场 43
面元间领接线上的电流相互抵消以至全体面元的总和与所考察的闭合线电流I等效
即闭合线电流I的磁场等于全体元电流I的磁场的叠加
∫
=
L
lE 0d
vv
上述任一元电流I磁偶数在远处的磁场和电偶极子的电场函数形式相同由静电场的环路定理
,0d
∫
=
L
lB
vv
对任一元电流I也有3 3 4a得证
(1) 进一步证明公式(3-3-4b)
考虑I正向穿过L的情况如图3-3-5(a))
图3 3 5 线电流正向穿过回路L
44 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
另作任一回路L,定义其正向如图I穿过L
在回路L与L上切开一小口形成一个新的回路ABL CDLA方向如图3 3 5(b)其中DLA的方向与(a)中L同BL C的方向与(a)中L规定方向相反
于是由已证明的公式(3 3 4a)知
∫∫∫
∫
∫
′′
=+++=
CLB DLAABCDLALAB
lBlBlBlBlB 0ddddd
vvvvvvvvvv
CD
lBlBlBlB
lBlB
LDLALCLB
CDAB
vvvvvvvv
vvvv
Q
dd,dd
,dd
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=?=
=
′′
lBlBlBlB
LLL
vvvvvvvv
dd,0dd?
∫
∫
∫
∫
′
==?∴即
L′
由L的任意性可将它取成半径为r
0
的圆圆心位于电流I回路上圆面垂直于I见图3 3 5(c)
使r
0
<< 电流I的曲率半径则L回路上的场近似为一无穷长直电流I的场由例3 2 1可知
第三章 真空中的静磁场 45
Ir2
r2
d
0
0
0
`
0
′
μ=π
π
μ
=
∫
I
lB
L
v
vv
安培环路定理证毕
四环路定理应用举例
[例3 3 1] 一无限长直圆柱导线截面半径为R电流沿截面均匀分布电流强度为I求导线内外的磁场分布
[解] 根据电流分布的轴对称性磁感应强度应沿与圆柱共轴的圆回路的切线方向B
v
大小只与离轴线的距离有关设圆回路L的为r则由安培环路定理得
,2
0
IrBdlB
L
∫
′μ=π=?
其中Iˊ为通过圆回路L的电流易证
≥
<
=′
.,
,,/
22
RrI
RrRIr
I
于是
46 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
>
π
.,
2
0
Rr
r
μ
<
π
μ
=
,,
2
2
0
I
Rr
R
Ir
B
[例3 3 2] 设一无限长螺丝管单位长度上的匝数为n电流强度为I求管内外的磁场
[解] 由电流分布的对称性可判断管内磁感应强度只有轴向分量其大小只与离螺线管轴的距离r
有关取矩形回路ABCD和ABCˊDˊ,AB位于螺线管轴上CD和CDˊ分别位于螺线管内和管外见图
a由例可知轴线上的磁感应强度大小为
nI
0
μ
沿轴线方向对回路ABCD应用安培环路定理得
0,AB)]([
0
=?μ?rBnI
i
.)(
0
nIrB
i
μ=
即
这表明无限长螺线管内沿轴线方向磁场均匀对回路ABCˊDˊ应用安培环路定理得
,)]([
0//0
ABnIABrBnI
e
μ=?μ
第三章 真空中的静磁场 47
由此有
,0)(
//
=rB
e
即无限长螺线管外沿轴线方向磁场处处为零
图3 3 6 无穷长螺线管内外的磁场
另一方面考虑螺线管存在一自右向左的等效轴向电流I(见图3 3 6b)且该电流可视作沿螺线管表面均匀分布的面电流由它产生的磁感应强度与同螺线管共轴的圆形环路相切设为Be按图3 3 6b选择同螺线管共
48 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
轴的圆回路并应用安培环路定理不难得出螺线管内磁场Be为零而螺线管外的磁场Be与无穷长直线电流的磁场相同即其中螺线管半径综合起来看无限长螺线管内磁场均匀分布与轴线平行管外磁场与无穷长直线电流的磁场相同
,
2
0
r
I
B
e
π
μ
=
⊥
Rr ≥
[例3 3 3] 电流均匀分布在一无穷大平面导体薄板上面电流密度为I求空间磁场分布
[解] 取直角坐标使导体板位于y z平面电流沿z方向图3 3 7由电流分布的对称性可知磁感应强度只有y分量其大小只与x有关且B(x)=-B(-x)为此考虑x轴上一点P以O中心在x y平面过点P作一矩形回路ABCD应用安培环路定理可得
.2)(
0
ABiABxB μ=
.
2
)(
0
i
xB
μ
=
于是
5 4 8
上式表明无穷大平面电流两侧为均匀磁场且磁感应强度的大小相等方向相反另外对有限大小的面电流板只要x远小于该面电流板的尺寸则它对磁感应强度的贡献也可由式5 4 8近似表示
第三章 真空中的静磁场 49
图3 3 7 无穷大平面电流的磁场
50 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
图3 3 8 螺绕环
[例3 3 4] 绕在圆环上的线圈叫螺绕环设螺绕环内径为R
1
外径为R
2
总匝数为N电流强度
第三章 真空中的静磁场 51
为I求环管内外的磁场分布
螺绕环管内,
2
0
r
NI
B
π
μ
=
,
2
0
0
nI
R
NI
B μ=
π
μ
=
[解] 设螺绕环是密绕的电流接近轴对称分布这时磁感应强度B应沿与环共轴的圆周的切线方向大小只与离轴线的距离有关在环管内部取半径为r(R
1
<r<R
2
)的圆周回路由安培环路定理有
NIrB
0
2 μ=π从而求得环管内的磁感应强度为
当螺绕环很细即R
1
R
2
R=(R
1
+R
2
)/2 R为螺绕环的平均半径时则可近似认为螺绕管内磁场大小均匀其值为
5 4 9
式中n=N/(2 R)为螺绕环单位长度上的线圈匝数这一结果恰好与无穷长直螺线管的结果5 4 7
一致
如果在螺线环管的外部取一与环共轴的圆周回路则穿过该回路的总电流为零以至由安培环路定理可证环管外部的环向磁场处处为零不过基于和例3 3 2类似的理由如图3 3 8所示的螺绕环
52 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
存在一逆时针方向的等效环向电流I该电流沿环管表面分布对于环管截面很小R
1
R
2
R的螺绕环来说该环向电流在环管外部的磁场和一电流强度I半径R的圆线圈的磁场相同见例5 2 2
五两条定理与毕奥沙萨尔定律的关系
两条定理均通过毕奥沙萨尔定律导出
从高斯定理的证明过程可知它不要求毕奥沙萨尔定律中的距离平方反比关系若令当n 2时高斯定理仍然成立
n
r
r?d ×
∝
lI
B
v
v
但安培环路定理则要求n=2从证明过程可知要利用无穷长直导线电流的磁场与例3 2
1相同步骤可推出B r
-n+1
于是当n 0时该环路值与回路半径r
0
有关使安培环路定理不能成立
2
00
d
+?
μ=?
n
rIl
v
vv
∫
B
v
实验表明对随时间变化的磁场高斯定理仍然有效但安培环路定理应予修正详见第六章
3.4 洛仑兹力及其应用
第三章 真空中的静磁场 53
一﹑运动电荷在磁场中的运动
1洛仑兹力
安培定律说明,载流导线在磁场中受到力的作用导线中的电流是导体中自由电子的定向运动形成的显然运动着的带电粒子在磁场中也将受到力的作用从安培定律可以推算每个运动的带电粒子在磁场中所受到的力
任一电流元在磁场中所受力为 lId
r
B
r
又I=nqvS,S为电流元的截面积故
BlIdFd
rrr
×=
54 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
该电流元中的运动的带电粒子数为dN=nSdl,所以每个运动的带电粒子受力为
粒子带正电与同向粒子带负电与反向故上式可写成 v
r
ld
r
v
r
ld
r
Bvqf
r
r
r
×=
以上所得结果容易通过实验验证
阴极射线偏转演示
如果电场和磁场同时存在则电荷q所受的电场力为所受的磁力为带电粒子所受的总作用力
EqF
e
rr
= Bv
r
r
r
×= qF
m
BlqnvSdFd
rrr
×=
Bl
qvd
nSdl
BlqnvSd
dN
Fd
f
r
rrr
r
×=
×
==
Bv
r
r
rr
×+= qEqF
2带电粒子在磁场中的运动
1洛仑兹力不作功洛仑兹力功率0v)Bvq(vF =?×=?
r
r
rr
r
所以在洛仑兹力作用下粒子的动能和速率不会改变变化
第三章 真空中的静磁场 55
的只是粒子的速度方向
B
2在均匀磁场中 粒子的运动方程为
r
写成分量式
定义ω
L
=qB/m,则上述方程可化为
Bvm ×= q
0z
x-qBym
yqBxm
=
=
=
&&
&&&
&&&
z
0yy
0xx
2
2
=
=+
=+
&&
&&&&
&&&&
L
0
L
vd
r
r
dt
易得解
其中v
⊥
v
δ x
0
y
0
z
0
为积分常数由初条件定v
⊥
和v
分别为垂直及平行于磁场的速度分量因为v=const,v
=const,
故v
⊥
=const,所以粒子速度与磁场的夹角投射角θ=sin
-1
(v
⊥
/ v
)在粒子运动过程中为常量
r
0
0
L
0
L
L
vz v
y)sin(
v
y )sin(vy
x)cos(
v
x )cos(vx
ztconstz
t
tt
LL
L
+===
++=+=
++=+=
⊥
⊥
⊥
⊥
&
&
&
δ?
δ?
δ?
δ?
从上述解可看出磁场中的带电粒子作轴平行于的螺旋线运动轨道在xy平面上投影是个圆圆心在x
0
y
0
处其
56 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
半径R= v
⊥
/ω
L
粒子回旋的角频率ω=eB/m回旋频率 f=eB/(2πm),回旋周期T= 2πm/ eB,ω﹑f﹑T与粒子的回旋速度无关
3在轴对称﹑缓变非均匀磁场中
r
v?v
⊥
+
+
z
rBzB
r
r
v
=
= B
z
取小圆柱高斯面从高斯定理
z
Br
z
zBzzBr
rzBzzBzr
zzz
z
zz
=
+
=
=++
→?
2
),0(),0(
lim
2
B
0)],0(),0([2B
0
r
2
r
ππ
z
Br
q
d
m
z
2
v
dt
v
⊥
=
dt
dB
B
m
m
dt
d
2
v
)v
2
1
(
2
2 ⊥
⊥
=
由于B
r
的出现z方向的运动方程
带电粒子作圆运动的磁矩
由上式可得即带电粒子在缓变磁场中磁矩守衡同样可证对任意随时间﹑空间缓变磁场粒子磁矩守衡
0=
dt
dμ
第三章 真空中的静磁场 57
二﹑应用举例
1 速度选择器
图示说明
走直线忽略重力则qE=qvB,∴v=E/B
2 质谱仪
图示说明
不同m,q离子经速度选择器v同进入均匀磁场B
r
中则回旋半径
由测量所得R可得带电粒子的荷质比并可利用来分离同位素分析丰度
3 磁聚焦
图示说明
无磁场发散开外加均匀磁场B
r
使离子束速率近同张角小速度方向近似与B
r
平行v
≈ const离子回旋频率和
B
m
RSI
2
2
1
2
v
2
q
⊥
==?= π
π
μ
r
RB
v
vv
⊥
⊥⊥
=
==
m
q
qB
m
R
58 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
周期与粒子的回旋速度无关经一个周期沿磁场B会发散离子螺旋运动的螺距h=T
≈ v
qB
4
v2 mπ
回旋加速器
r
方向上聚一次不演示图说明
调整加交变电压频率在D形盒间的使之与粒子的回旋频率同并使得粒子在通过间隙时总被间隙电场加速而增大能量
5 磁约束与等离子体
演示图说明
6 霍尔效应
图示说明
上下底出现电势差
1
U=Ib只有当洛仑兹力与电力平衡时载流子不再偏转此时Eq=qvB又I=bdnqv故
给定I B d测U可得 nq若 q 已知可得载流子浓度n
2 判定载流子带正电荷还是负电荷
三﹑运动荷的
U Κ
dnqd
==
IBIB
电电场和磁场
声音一个点电荷相对它静止的观测者测量时只能测到电场而相对它运动的观测者测量时不仅测到电场而还测到磁场且所以电场和磁场是与参考系有关的物理量是相对量不是绝对量寻找电磁场在不同参考系中的变换关是的系就个十分重要问题它将进一步加深我们对电场﹑磁场的认识有助于我们了解一系列重要的问题如静止电贺的静电场与运动电荷电场的区别运动在电场中受力与静止电荷在电中受力是否场同运动电荷的磁场与电荷运动的关系电场与磁场有何联系等
等
第三章 真空中的静磁场 59
1 狭义相对的有结论论关
备的粒子K在K
附录
2 电磁场的变换公式
按相对性原理要求电磁学的普遍规都须律具协变性既不同惯性系中形式保持不变现以洛仑兹力为桥梁求不同惯性系间电在K系中运动速度为u
r
而在′系中运动速度为u′
r
的磁场的变换公式设一带电量q系中的电磁场为B,
rr
E而在系中的为B,E ′′
rr
K′则
K系中粒子受力BuqEf ×+= q
r
r
rr
K力′系中粒子受BuqEqf
r
r
rr
′×′+′=′
其中q为与参考系无关的不变量电荷守衡定律所要求由力及速度变换公式易得
= EE
)vB(
zyy
+= EE γ
)vB(
yzz
′
′
= EE γ
′
=
x
B
x
B
′
xx
′′
)E
c
v
(
z
2
yy
′
′
= BB γ
60 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
3 运动点电荷的电场
4 运动点电荷的磁场
3.5 运动电荷的电场与磁场
一 运动电一个点电荷点荷引出的问题相对它静止的观测者测量时只能测到电场E
v
一个点电荷
相对它运动的观测者测量时不仅测量到电场E′
v
而且还测量到磁场B
v
场是与观测者的运动状态有关的即是与在什么参考系测量有关的换所以一个点电荷产生的电场和磁句话说电场和磁场是与参考系有关的物理量是相对的不是绝对的
两个相对静止的点电荷
与它们相对静止的观测者测量只有静电库仑力与它们相对运动的观测者测
)E
c
v
(
y
2
zz
′
+
′
= BB γ
第三章 真空中的静磁场 61
量它们之间不仅有静电库仑力又有磁力
在不同参考系中测量到的两点电荷的作用力的确不相同
但实验告诉我们
在静止系K中带电荷为q的点电荷受力为 BVqEqf
vvvv
×+=
中在运动系K′带电荷为q的点电荷受力为 VEqf ′=′ B′×′+
vvvv
其中
q
q是与参考系无关的不变量与光速c一样叫相对论不变量
由加电
速器中电子的量不变任何运动的原子都是显中性的尽管f ′
v
不等于f
v
LL但带撇量与不带撇定关随坐标系变换不变量有着确的系( )而形式保持称协变性电磁学的普遍规律都必须具备协变性这是相狭义对论的要求也是实验结果
62 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
二狭义相对论中的有关结
未能探测到所预期的论
我们先回顾力学在力学中有两类参考系惯性系和非惯性系牛顿第二定律相对于惯性系才成力而牛顿第一定律实际上确定了自然界中存在惯性系问题是如何找到一个惯性系? 牛顿存在纯粹的绝对静止的空间和绝对时间作为最基本惯性系伽利略所有惯性系平权不能判断哪个惯性系是处于绝对静止状态哪个是有绝对运动但牛顿运动定律却与伽利略相对性原理相洽的现在回到电磁学问题上1864年Maxwell提出了位移电流和涡旋电场假设建立了Maxwell方程组预言了电磁波
1865
-
对了从理论上解释1905 Einstein年提出了两条全新的物理学基本原理
相对性原理null 宇宙中所有各处的物理规律都相同不论观测者运动速度如何
null
的存在电磁波以光速在空间传播由此他指出光本身既电磁波年赫兹实验验证了电磁波的存在看来电磁波似以恒定速度相对于某一特殊参考系运动光速与观测者的相对速度有关由次迈克尔逊莫雷试图探测地球相对于这一绝对参考系的速度但他们的实验失败了速度光速不变原理光速是个常数与光源及观测者运动速度无关
第三章 真空中的静磁场 63
由此不同惯性系间坐标变换不能以伽利略变换描述而要用洛伦兹变换
1 洛伦兹变换
2 速度变换公式
3 质量变换关系
zz
yy
t
c
=′
=′
=′
=′
2
2
1
-1
-x
x
β
β
t
x
β
ctβ
2
x
2
2
x
c
vv
z
2
z
vv
y
2
y
c
vv
x
x
1
v1
v
-1
v1
v
-1
vv
v
′
′
=
′
β
β
x
c
=
=
64 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
在K系中以速度
u
r
运动的物体在K′中质量
4
v(p
y
xx
=
′
′
p
pγ
动量和能量的变换关系
5 力的变换关系
m)
c
vu
-(1m
2
x
γ=′
)vp(
w
x
=′
=
′
′
ww
pp
zz
γ
=
c
2
p
y
()
()
x
c
v
z
z
x
c
v
y
y
x
2
xx
2
2
-1
f
f
-1
f
f
vc
v
ff
u
u
u
γ
γ
=
′
=
′
′
=
第三章 真空中的静磁场 65
6 电磁场的变换关系按相对性原理要求兹力为桥梁求不同惯性系间的电磁场的变换公式
K′系中运动速度为
电磁学的普遍规律都须具备协变性既不同惯性系中形式保持不变现以洛仑设一带电量q的粒子在K系中运动速度为u
r
而在
u′
r
在K系中的电磁场为B,
rr
E而在K′系中的为B,E ′′
rr
则
K系中粒子受力Bu
r
r
rr
×
K′系中粒子受力
qEqf +=
BuqEqf
r
r
rr
′×′+′=′
其中q为与参考系无关的不变量电荷守衡定律所要求由力及速度变换公式易得
′
=
x
E
x
E
)vB(
zyy
′
+
′
= EE γ
)vB(
yz
′
′
E
′
=
x
B
x
B
z
=E γ
三运动点电荷的电场
)E
c
v
(
z
2
yy
′
′
= BB γ
)E
c
v
(
y
2
zz
′
+
′
= BB γ
66 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
动态演示
四运动点电荷的磁场
五一个有趣的实例两个同号点电荷间的作用力的测量问题
两个具同号等量电荷且相对静止的点电荷之间作用力的测量问题
1 如图示在相对这两个点电荷静止的坐标系
2
2
sin1 β?
=
r
E
()
2
3
2
2
1?
θ
β?rq
r
()
2
θ
K′中
3
22
2
3
0
2
sin1
1
4
v
c
1
B
β
β
πε
×
=
r
rq
rr
r
0
00
=
′
=
′
′
==
zx
y
ff
jf
r
4
1
4
1
2
2
3
2
=′
′
′ j
y
q
r
r
q
f
r
r
r
πεπε
第三章 真空中的静磁场 67
0=
′
=
′
=
′
zyx
uuu
2 在相对于K′运动的坐标系K中测
由力的变换关系
0u,0u,v
zy
===
x
u
K系中从另一角度看这时在P点产生电场的是运动点电荷其电场强度的大小为
2
v
1
)1(
β
γ
=
′
+
yy
f
u
f
c
z
2
′
′
=
=
x
y
x
f
0f,0 =f
y
E
y
q
E =
=
2
2
0 1
1
4
1
β
πε
68 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
且方向指向y,
0==
zx
EE
则
即磁力为吸引力
第三章 小结
2
2
0 1
4
β
πε
y
yy
2
)()(
)(
z
)(
x
22
0
2
)(
0f,0f,
14
β
βπε
=?=
==
=
q
fff
y
q
f
em
y
eee
y
安培定律
1212
3
12
1212210
12
,
4
)(dd
d rrr
r
rllII
F
vvv
v
v
vvvv
v
=
π
××μ
=
第三章 真空中的静磁场 69
毕奥萨尔定律
安培公式 (Idd F
v
=
3
0
4
d
r
rldI
B
v
v
vvv
v
×
π
μ
=
)Bl
vv
×
沦仑兹力 q(EF
vv
+=
d?
∫∫
B
v
)BV
vv
×
磁场的高斯定理,0=S
S
v
说明磁场的无源性即孤立的磁荷不可能存在
磁场的安培环路定理:,d
0
IlB
L
L
vvv
∑
∫
μ=
穿说明磁场的有旋性
对于所有搅性参考系带电体所带的电量q像光速c一样是不变量普遍的洛仑兹力公式的形式的是相同
电量为q的带电粒子以速度v沿x轴正向运动它在空间一点(x,y,x)产生的电场为
70 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
[]
[]
++?
πε
=
++?
πε
=
,
)(
4
,
)(
)(
4
2/3
2222
0
2/3
2222
0
r
zytvxr
yrq
E
zytvxr
tvxrq
E
y
x
v
vv
vv
v
vv
vvv
v
其中其中
[]?
++?
πε
=
=
,
)(
4
1
2/3
2222
0
2/1
2
2
zytvxr
zrq
E
c
v
z
vv
vv
v
v
同时同时
它产生的磁场为
=
=
yz
zy
E
c
B
E
c
v
B
B
v
v
v
v
v
2
2
=
x
,0
v
v
v
第三章 真空中的静磁场
磁现象的研究与应用(即磁学)是一门古老而又年轻的学科说她古老是因为关于磁现象的发现和应用的历史悠久说她年轻是因为磁的应用目前越来越广泛已形成了许多与磁学有关的边缘学科(图3.1)
磁现象是一种普遍现象即一切物质都具有磁性任何空间都存在磁场所以我们可以毫不夸张地说磁学犹如一棵根深叶茂的参天大树
2 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
尽管人们对物质磁性的认识已有两千多年但直至19世纪20年代才出现采用经典电磁理论解释物质磁性的代表――安培分子环流假说而真正符合实际的物质磁性理论却是在19世纪末发现电子20世
第三章 真空中的静磁场 3
纪初有了正确的原子结构模型和建立了量子力学以后才出现
因此在经典电磁学范围研究物质的磁性时我们虽然采用传统的观念即安培分子环流假说和等效磁荷两种观点但必须强调我们要在原子结构模型和量子力学的基础上建立一个正确的概念即物质的磁性来源于电子的轨道磁矩和自旋磁矩(图3.2)
只有这样我们才能准确理解物质的抗磁性顺磁性和铁磁性尤其是磁畴结构在外磁场中的变化是铁磁性物质在外磁场中的磁化特点(图3.3)
4 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
3-1 磁现象与安培安律
一基本磁现象
对基本磁现象的认识可以分成三个阶段
1.早期阶段磁铁? 磁铁
天然磁铁吸铁石能吸引铁镍钴等物质条形磁铁的两端称作磁极中部称作中性区(图3.4)
第三章 真空中的静磁场 5
将条形磁铁的中心支撑或悬挂起来使它能够在水平面内运动则两极总是指向南北方向分别称作S
极和N极这是因为地球本身是一个磁场(图3.5)所以条形磁铁(指南针)可以与地磁场发生相互作用
条形磁铁与地球磁场之间以及条形磁铁之间的相互作用(图3.6)说明同号磁极相互排斥异号磁极相互
6 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
吸引
进一步分析发现将一磁铁可以一直细分成很小很小的磁铁而每一个小磁铁都具有N S极(图3.7)
自然界中有独立存在的正电荷或负电荷但迄今却未发现独立的N S极尽管在近代理论中有人认为可能存在磁单极子
第三章 真空中的静磁场 7
2.电流? 磁铁 电流? 电流
1820年7月21日奥斯特实验(图3.8)打破了长期以来电学与磁学彼此独立发展和研究的界限使人们开始认识到电与磁有着不可分割的联系
8 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
由图3.8可以看出电流对磁铁的作用由图3.9可以看出磁铁对电流的作用电流和电流之间也有相互作用(图3.10)
第三章 真空中的静磁场 9
进一步发现一个载流螺线管的行为很像一根磁棒(图3.11)
10 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
由此我们可以用右手定则来判断载流线圈的极性(图3.12)
3.电流? 磁场? 电流
类似于静止电荷之间的相互作用力是通过电场来传递的,上述的各种相互作用都是通过磁场来传递的1822年安培提出了一个假说组成磁铁的最小单元(磁分子)就是环形电流这些分子环流定向地排列起来在宏观上就会显示出N S极来(图3.13)
第三章 真空中的静磁场 11
当时人们并不了解原子的结构因此不能解释物质内部的分子环流是如何形成的现在大家都知道原子是由带正电的原子核和绕核旋转的负电子组成电子不仅能绕核旋转而且具有自旋在分子原子等微观粒子内电子的这些运动形成了分子环流这就是物质磁性的基本来源的经典解释
小结无论是导线中的电流(传导电流)产生的磁场还是磁铁(分子环流)产生的磁场本源都只有一个即电荷的运动也就是说前面介绍的各种实验中出现的现象都可以归结为运动着的电荷(即电流)
之间的相互作用这种相互作用是通过磁场来传递的
注意电荷之间的磁相互作用与电(库仑)相互作用的区别在于无论电荷是静止的还是运动的它们之间都存在着库仑相互作用但是只有运动的电荷才存在着磁相互作用
12 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
二安培定律
这一节主要研究电流与电流之间的磁相互作用的规律正如点电荷之间的相互作用的规律――库仑定律是静电场的基本规律一样电流之间的相互作用规律-----安培定律是稳恒磁场的基本规律稳恒电流只能存在于闭合回路之中而闭合回路的形状和大小可以千变万化两载流闭合回路之间的相互作用又与它们的形状大小和相对位置有关这就使问题变得复杂不过在研究两个有一定形状和大小的带电体之间的静电相互作用时我们可以把带电体分割为许多无穷小的带电元每个带电元看作是点电荷只要研究清楚任意一对点电荷之间相互作用的规律之后我们就可以通过矢量叠加把整个带电体受的力计算出来仿照此法我们也可以设想把相互作用着的两个载流回路分割为许多无穷小的线元叫做电流元只要知道了任意一对电流元之间相互作用的基本规律整个闭合回路受的力便可通过矢量叠加计算出来
注意点电荷和电流元之间的重要区别因为在实验中无法实现一个孤立的稳恒电流元从而无法直接用实验来确定它们的相互作用电流元之间的相互作用规律只能间接地从闭合载流回路的实验中倒推出来因此下面介绍的安培定律并不是直接从实验得到而是在安培设计得很巧妙的四个实验和一个
第三章 真空中的静磁场 13
假设的基础上与相当高超的数学技巧相结合得到的
安培定律的数学表述是如图3.14所示的电流元对电流元的作用力为,
11
ldI
r
22
ldI
r
0
r
r
12
r
(1)式中是电流元到受力电流元方向的单位矢量
12
r
11
ldI
22
ldI
μ
0
= 7
2
0
121122
12
)( rldIldI
kFd
r
rr
r
××
= r
讨论 (1) 式中是比例系数
k
在国际单位制中,
π4 0
104
×= πμ
牛顿/安培2 (2) 电流元之间的相互作用力不一定满足牛顿第三定律原因是实际上不存在孤立的稳恒电流元它们总是闭合回路的一部分可以证明若将沿闭合回路积分
12
Fd
r
得到的合成作用力总是与反作用力大小相等方向相反
k
(3)电流强度单位安培的定义为,一恒定电流若保持在处于真空中相距1米的两无限长圆截面可
14 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
以忽略的平行直导线内在此两导线之间产生的力在每米长度上等于2×10-7牛顿(N)则此恒定电流的电流强度定为1安培(A)
我们还可以根据下面两个式子计算两个体电流元和两个面电流元之间的作用力
11
dVJ
r
22
dVJ
r
11
dSi
r
22
dSi
r
2
12
0
121122
12
)(
r
rdVJdVJ
kFd
r
rr
r
××
=
(2) (3)
2
12
0
121122
12
)(
r
rdSidSi
kFd
r
rr
r
××
=
三安培的四个示零实验
安培首先设计制作了如图3.15所示的装置并将它取名为无定向秤他用一根硬导线弯成两个共面的大小相等的矩形线框线框的两个端点A B通过水银槽和固定支架相连接通电源时两个线框中的电流方向正好相反整个线框可以以水银槽为支点自由转动在均匀磁场(如地磁场)中它所受到的合力和合力矩为零处于随遇平衡但在非均匀磁场中它会发生运动
第三章 真空中的静磁场 15
实验一――安培将一对折的通电导线(如图3.16)移近无定向秤以检验对折导线有无作用力结果是否定的这说明电流反向时电流产生的作用力也反向大小相等的电流产生的力的大小相等
实验二――将对折导线中的一段绕在另一段上成螺旋形(如图3.17)通电后将它移近无定向秤结果表明无定向秤仍无任何反应这表明一段螺旋状导线的作用与一段直长导线的作用相同从而证明电流元具有矢量性质即许多电流元的合作用是各单个电流元作用的矢量叠加
16 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
实验三――如图3.18所示弧形导体D架在水银槽A B上导体D与一绝缘棒固接棒的另一端架在圆心C处的支点上这样既可以通过水银槽给导体D通电弧形导体D又可绕圆心C移动,从而构成一个只能沿弧形长度方向移动不能沿径向运动的电流元安培用这个装置检验各种载流线圈对它产生的作用力结果发现弧形导体D不运动这表明作用在电流元上的力与电流本身垂直即这种作用具有横向性
第三章 真空中的静磁场 17
实验四――如图3.19所示A B C是用导线弯成的三个几何形状相似的线圈其周长比为1:k:k2
A C两线圈相互串联位置固定通入电流I1线圈B可以活动通入电流I2实验发现只有当
A B间距与B C间距之比为1 k时线圈B才不受力即此时A对B的作用力与C对B的作用力大小相等方向相反这表明电流元长度增加作用力增加相互距离增加作用力减小如果两电流
18 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
元的长度及相互距离增加同一倍数相互作用力不变
安培提出的假设两个电流元之间的相互作用力沿它们的连线
3-2 磁场与毕奥萨伐尔定律
一安培公式与磁场感应强度B
两个电流元及之间有力作用
11
ldI
r r
22
ldI
设是对的作用力
12
Fd
r r r
11
ldI
22
ldI
3
12
1211
22
0
12
4 r
rldI
ldIFd
rr
×
×=
π
μ
r
r
1
r r
公式1称为安培定律其中是由指向的距离矢量
12
r
r
11
ldI
22
ldI
例 如图3.20两个相互平行的电流元相距为r12它们之间的作用力为
z
图3.20
IdlIdl
r
12
y x
)(
4
)(
4
2
12
22110
3
12
1211220
12
x
xzz
e
r
dlIdlI
r
eredlIedlI
Fd
r
r
=
××
=
π
μ
π
μ
rrr
2
第三章 真空中的静磁场 19
从式2看到安培定律与库仑定律
2
120
21
12
4 r
F
πε
=
很相像注意到对应关系
0
0
222111
~
1
,~,~ μ
ε
dlIqdlIq
公式2与库仑定律就可以互换
因此两个电流元之间的相互作用不满足牛顿第三定律
对于两个线圈来说牛顿第三定律成立参见图3.22
图3.21
参见图3.21有
0,
4
21
22110
12
== Fde
dlIdlI
Fd
z
r
r
r
π
μ
Idl
Idl
r
12
思考
20 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
21
3
21
21
2211
2211
3
12
120
3
12
12
11212
)(
)(
4
)(
21
2121
F
r
r
ldIldI
dlIdlI
r
r
r
r
ldIlIdF
LL
LLLL
r
r
rr
rrr
=××?=
=××=
∫∫
∫∫∫∫
π
μ
rr
L
2
r
12
Idl
Idl
dF
12
图3.22 L
1
证毕
磁感应强度 从
B
r
1式可记
BdldIFd ×=
22
rrr
3
这里
3
0
4 r
r
lIdBd
rr
×=
π
μ
r
4
称为由
ldI
1
r
即
11
ldI
r
为了书写方便将可以不写的下标略去产生的磁感应强度回路线圈L电流为I所产生的磁场强度可根据叠加原理由
B
r
4式推出
3
0
4 r
r
lIdB
L
r
rr
×=
∫
π
μ
5
第三章 真空中的静磁场 21
叠加原理 这是电磁学中反复用到的原理本处设场源所产生的磁感应强度为
ii
ldI
r
i
Bd
r
则由场源联合产生的场强是的几何叠加的结果
B
r
i
Bd
r
∑
=
i
i
BdB
rr
二毕奥萨伐尔实验与定律
4式即毕奥萨伐尔定律简称为毕萨定律1820年毕奥和萨伐尔在实验上确定了载流导线和它所产生的场强
H
r
之间的关系然后拉普拉斯从数学上导出电流元及其场强
lId
r
Hd
r
或
HdBd
rr
0
μ=
之间的关系因此4式又称为毕奥萨伐尔拉普拉斯Biot-Sarvart-Laplace定律毕奥萨伐尔的重要实验是弯折导线的实验参见图3.23实验结果是
1
r
I
p
m
α
O
z
坐标架原点在O点
y x
图3.23
1
常用物理概念精析雷树人陈秉乾等编著科学出版社第189页
22
P
0
H
r
电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
2
tg
r
H ∝
αI
或者
y
etg
r
kH
r
2
1
=
I
r
α
6 由6式即可推出毕萨定律4式
证明 由于磁场的特性及对称性的分析图3.23的弯折导线的上半段和下半段所产生的磁场都是
2/
参照图3.24从A到A1的所产生的磁场
lId
r
3
1
2
1
2
2
1
1
2
1
sin
2
]
22
sec
1
2
[
2
)
2
1
2
1
(
2
r
r
lId
k
e
r
Idl
k
e
d
r
tg
r
dr
I
k
e
d
tg
drr
tg
r
I
k
Hd
y
y
y
r
r
r
r
r
r
×==
+=
+
=
α
ααα
ααα
(7)
这就是毕萨定律4参数k1需要由实验确定
π2
1
=k
1
8
Idl
图3.24
A
1
A
α+dα
α
dα
r
r+dr
第三章 真空中的静磁场 23
背景对称性如果认为静电规律和静磁规律之间有对称性即它们之间有严格的对应关系那么相应于库仑定律有磁荷的库仑定律
2
0
4
21
r
F
mm
πμ
= 9
并且从电学的讨论知道对应地在磁学中9式应当作为磁学的基础
从磁学与电学的对称性出发仿照电学的电偶极子成场公式磁偶极子的成场公式是磁场
m
p
r
]
)(3
[
4
1
23
0
r
r
rp
p
r
H
m
m
r
rr
r
r
+=?
πμ
10
利用10式计算图3.23中P0点的场强
H
r
由于电流为I的磁偶极子面积为的圈电流可看作是磁偶极矩为
zxS=?
(11) nzxIp
m
rr
=?
0
μ
的磁偶极子而折线电流I的成场效应可用在其左侧一系列圈电流代替并且考虑到10式
yy
xtg
xtg
etg
r
I
zxr
eIdzdxHH
rr
rr
∑
∫∫
=
+?
=?=
∞?
π
α
πμ
μ
α
α
2
1
2])[(4
1
22
0
0
0.
(12)
24 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
12式与6式完全一致并且确定了
π2
1
=k
1
如果采用电磁对称性仿照电学来处理磁学问题那么毕萨定理可以完全从理论中推导出来包括系数在内都是理论的自然结果
三求磁场举例
[例3-2-1] 无限长直线电流I在距I为r0处一点P1的磁场见图3.25
Z
图3.25
r
0
O
P
1
Y
z
Idl
X
解
z
eIdzlId
r
=
r
相应的用毕Bd
r
萨定律求出
2/322
0
00
)(4 zr
ezer
eIdzBd
zx
z
+
×=
rr
r
r
π
μ
第三章 真空中的静磁场 25
磁场
∫∫
+
=
∞
yy
eI
rzr
BdB
r
rr
0
0
2/322
0
0
2)(4 π
μ
π
==
∞
dz
reI
r
0
μ
[例3-2-2] 半径为r
0
的圆形电流I在轴线上距离为z的P
1
点的磁场B
r
解 见图3.26采用柱坐标系
rr
2/322
0
2
00
)(2 zr
Ir
e
z
+
rμ
2/322
0
0
0
2
0
0
)(4 zr
erez
edeIrB
rz
+
×=
∫
r
r
π
μ
θ
π
=
图3.26
r
0
I
z
Y
X
P
1
Z
附录
26 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
关于公式7的推导
参见图已知实验定律P0点的磁场强度是 6
y
etg
r
I
kH
r
r
2
1
α
=
设折转导线的顶点为A即图3.23的原点O A以上部份的电流I在P0点所产生的磁场正好是全部折线电流所产生的一半记这部份磁场为
'H
r
有
附图1
A
1
α+dα
r+dr
α
A
Idl
dα
r
附1
y
etg
r
IkH
H
r
r
222
'
1
α
==
r
可参见附图1附1成立的理由是因为以AP0为轴将折转导线旋转180则下半截导线与上半截
第三章 真空中的静磁场 27
导线重合由这个特点就能推出下半截导线与上半截导线产生的磁场是相等的都是现在A点附近取一点A1参见图5或附图1令AA1=dl考虑到A1以上段的半直线电流可以看成以A1为顶点的折线电流的上半段因它在P0点所产生的磁场为 (附2)
2
H
y
etg
r
IkH
H
r
r
r
222
"
1
1
11
α
==
drr +
附图2
dl
r
r+dr
A
1
A
P
0
这里而1是上半段载流导线与
rAP =≡
110
从附图1看到dr及d都随dl 0而趋于零关系讨论其中的P0AA1参见附图2 A1=
利用正弦定理
)sin(sin
0
α?α
=
∠ d
r
P
dl
P0A1的夹角可记
α?α=α d
1
附3
并且dr及d均是正的小量现在找出dr d与dl 的
-d A= -,P0=d
28 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
可以推出 附4
dldr =
lId
r
r
dl
d
α
=α
sin
而将折线A1AP0在A1P0上投影有关系
drrdrddl +=α+α?α cos)cos(
dl αcos
Hd
r
保留到的一阶有 (附5)
y
e
r
tgtgIk
HHHd
r
rrr
)
2/2/
("'
1
11
αα
=?=
'H
r2
从附图1知道所产生的磁场为
r
αdtgtg
r
2
sec
2222
1
1
1
==
ααααα d
r
dr
rdrr
1
11
2
2
=
+
=
这里见附1见附2注意到小量展开保留到的1阶有
dl
tg
"H
r
附7
dl
F
r
Ik
2
1
dtg
r
dr
r
Ik
dH )
2
sec
2
1
2
(
2
21
=+= α
αα
将附7代入附6保留到的一阶有
附8
第三章 真空中的静磁场 29
这里因子
α
αα
(cos)sin
2
sec
2
1
2
2
r
dl
=+
α
αα
dtg
dr
F sec
1
+=
2
r 222
将关系附4及附5代进上式得到
α
αα
αα
αα
sin
2
cos2
2
)
22
(cos
2
r
dl
tg
r
dl
tgtgtg
r
dl
F
==
+=
将所得的关系代入附8即得文中的7式
2,关于12式的证明
记积分 (附9)
2/322
0
])[(2
)(
zxr
dz
dxrG
xtg
xtg
+?
≡
∫∫
∞?
α
α
α
则按照12式需要证明 附10
0
[(r
dy
ytg
+
∫
α
2
)(
α
α tgG =
将附9中的积分变量x换成-y有
2/322
0
2/322
0
])])[(2
)(
zy
dz
r
zyr
dz
dyrG
ytg
ytg
+
=
++
≡
∫∫∫
∞
∞ α
α
α
(附11
30 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
易于算出
=1 附12
2/3222
2
11
2/3222
0
])1[(
1
sec
])[(
++
++
α
α
αα
tgyy
ydy
tgyyrd
2
0
2/322
00
)(])[(
)
2
(
yr
dy
r
zyr
dz
dyrG
+
=
++
=
π
∫∫∫
∞∞∞
现在将附11两方对参量求导
2/32
2
133
22
11
0
2/32222
1
11
0
2/32
1
2
1
2
1
11
0
2/3
1
22
1
2
11
0
11
0
2
]1)
sincos
cos
[(cossin
1
)coscos(cos
]sincos)cos[(
1
cos
]coscos2[
cos
]12sec[
sec
1
sec
)(
)(
+
+
+=
++
=
++
=
++
=
=
==′
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞
∞
∞
∞
∞
∞
αα
α
αα
ααα
ααα
α
αα
α
α
α
α
α
α
y
ydy
y
ydy
uyy
ydy
yy
ydy
dyyr
dG
G
引进代入上式有
αα
=
sincos
1
2
y
y
第三章 真空中的静磁场 31
附13
2
sec
222
sin
2
cos
2
2
α
=
+ tg
2
sec
2
1)(
2
α
=
α
α
d
dG
2/32
3
33
2/32
2
22
0
)1(
1
)(
sin
1
]1)[(
1
)(
sin
1
)(
+
=
++
+=′
∫
∫
∞
∞
y
ctgydy
ctgy
ctgctgydyG
ctg
α
α
α
αα
α
α
α
α?
π
=θ
2
令y
3
=tg更改附13中的积分变量则下限y
3
=ctg相当于上限y
3
=相当从附13有
0
C
2
π
=θ
11
cos
1
2
2
2
1
2
sincossin2
sin
1
sin
2
sin
2
cos
2
sin2
]cossin[
sin
1
]sincos[
sin
1
][cos
sin
1
)(
2
2
2/
2/
2
2
αααα
α
α
ααα
α
α
α
απ
αααα
α
θαθ
α
αθθθ
α
α
π
απ
π
α
π
=
=
=++?=
=?=′
∫
tg
tg
ctg
ctgctg
ctgctgtgdG
(附14)
22α
考虑到附14
对于这个一阶微分方程有通解下式中C0 是积分常数 附15
2
)( tgG +=
α
α
32 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
由端点条件附12定出C0=0这样得到,所以附10成立证毕
2
)(
α
α tgG =
3-3 磁场的高斯定理和环路定理
一磁感应线与磁通量
与电场中引入电场线相似磁场中可引入磁感应线又称磁力线的概念
1.磁感应线
定义磁感应线即磁场空间中一些有方向的曲线其上每点的切线方向与该点的磁感应强度方向一致
实例图3 3 1 磁感应线实例
第三章 真空中的静磁场 33
(a) 直线电流
34 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
(b) 两根平行直线电流
第三章 真空中的静磁场 35
(c) 圆环电流
(d) 有限长螺线管电流
36 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
(e) 电磁铁
第三章 真空中的静磁场 37
为了表达磁场中某点磁感强度大小我们规定绘图时作到过该点垂直于磁感应一的截面的数密度与磁感应强度成正比即
S
||
Ν
=B
v
B
Φ,称为通过S?的磁通量S ≡
vv
形像地说是垂直通过S?的磁感应线根数磁通
SB
S
vv
d?
∫∫
=Φ
Β
(3-3-1)
1Wb=1T/米
2
磁
S的磁通量等于零即
∫∫
=SB 0d
vv
(3-3-2)
2.磁通量
定义 B进一步可引
S的入通过某曲面量
磁通量的单位为韦伯(Wb),通量也和B
v
一样满足叠加原理
二高斯定理
高斯定理通过任意闭合曲面
S
物理意义反映了磁场的无源性即孤立磁荷不可能存在
38 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
[证明]因为任
B
意一磁场
v
都是由许多电流元产生的磁场叠加而成其磁通量也满足叠加原理所以只需证明电流元产生的磁场遵守高斯定理
元
vvv
取电流
ldI
为坐标原点沿电流元强度的方向作图3 3 2Z轴
图3 3 2 电流元磁场的高斯定理的证明
第三章 真空中的静磁场 39
此式表明以Z为轴的任意图上的大小相同方向与圆相切
Bd
v
θ
π
μ
=
0
)
vv
v
d
4
d
lI
B
v
2
sin
r
于是穿过以Z为轴的任一环形管内任意截面的磁通量为常量与截面在管中的位置以及取向无关见图3 3 2(a)
0
2211
=?+=?+ SBSBSBSB
vvvvvvvv
对于任一封闭曲面S上述环形管每穿过S一次均会在S上切出两个面元见图3 3 2中
S1 S2其磁通量
对曲面S上任一面元都可作一个环形管且可找到S上的另一个面元与之对应
同上理这两个面元的磁通量之和为零
故穿过S的总磁通证毕
,0d =?
∫∫
SB
S
vv
40 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
三安培环路定理
仿照引入静电场环流的作法可引入磁场的环流如下
lB
L
vv
d?
∫
环流
安培环路定理沿任何闭合曲线L磁感应强度的环流等于穿过L的电流强度的代数和的
0
倍即
3 3 3,d IlB
L
vvv
Σμ=
0
∫
物理意义反映了磁场的有旋性
I的正负根据回路L的绕行方向按右手定则规定见图3 3 3在设定了L绕行方向后采用右手定则四指沿L方向则电流方向与大姆指一致时取正反之取负
第三章 真空中的静磁场 41
图3 3 3 I和L绕行方向的右手定则
[证明]
因为任何磁场都是由一些稳恒线闭合电流产生的只要证明对其中任一稳恒线闭合电流I和任一闭合回线L满足
42 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
μ
=?
∫
正向穿过不穿过
LI
LI
l vv
vv
.(
(,0
d
0
B
L
vv
)433(
)433(
b
a
则按照叠加原理安培环路定理便成立
(1)首先证明公式3 3 4a,一闭合线电流I不穿过闭合回路L如图3 3 4
图3 3 4 闭合线电流的分解
以电流回路为边界作一任意曲面并将曲面分割成许多面元设每个面元边缘的电流强度度为I则
第三章 真空中的静磁场 43
面元间领接线上的电流相互抵消以至全体面元的总和与所考察的闭合线电流I等效
即闭合线电流I的磁场等于全体元电流I的磁场的叠加
∫
=
L
lE 0d
vv
上述任一元电流I磁偶数在远处的磁场和电偶极子的电场函数形式相同由静电场的环路定理
,0d
∫
=
L
lB
vv
对任一元电流I也有3 3 4a得证
(1) 进一步证明公式(3-3-4b)
考虑I正向穿过L的情况如图3-3-5(a))
图3 3 5 线电流正向穿过回路L
44 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
另作任一回路L,定义其正向如图I穿过L
在回路L与L上切开一小口形成一个新的回路ABL CDLA方向如图3 3 5(b)其中DLA的方向与(a)中L同BL C的方向与(a)中L规定方向相反
于是由已证明的公式(3 3 4a)知
∫∫∫
∫
∫
′′
=+++=
CLB DLAABCDLALAB
lBlBlBlBlB 0ddddd
vvvvvvvvvv
CD
lBlBlBlB
lBlB
LDLALCLB
CDAB
vvvvvvvv
vvvv
Q
dd,dd
,dd
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=?=
=
′′
lBlBlBlB
LLL
vvvvvvvv
dd,0dd?
∫
∫
∫
∫
′
==?∴即
L′
由L的任意性可将它取成半径为r
0
的圆圆心位于电流I回路上圆面垂直于I见图3 3 5(c)
使r
0
<< 电流I的曲率半径则L回路上的场近似为一无穷长直电流I的场由例3 2 1可知
第三章 真空中的静磁场 45
Ir2
r2
d
0
0
0
`
0
′
μ=π
π
μ
=
∫
I
lB
L
v
vv
安培环路定理证毕
四环路定理应用举例
[例3 3 1] 一无限长直圆柱导线截面半径为R电流沿截面均匀分布电流强度为I求导线内外的磁场分布
[解] 根据电流分布的轴对称性磁感应强度应沿与圆柱共轴的圆回路的切线方向B
v
大小只与离轴线的距离有关设圆回路L的为r则由安培环路定理得
,2
0
IrBdlB
L
∫
′μ=π=?
其中Iˊ为通过圆回路L的电流易证
≥
<
=′
.,
,,/
22
RrI
RrRIr
I
于是
46 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
>
π
.,
2
0
Rr
r
μ
<
π
μ
=
,,
2
2
0
I
Rr
R
Ir
B
[例3 3 2] 设一无限长螺丝管单位长度上的匝数为n电流强度为I求管内外的磁场
[解] 由电流分布的对称性可判断管内磁感应强度只有轴向分量其大小只与离螺线管轴的距离r
有关取矩形回路ABCD和ABCˊDˊ,AB位于螺线管轴上CD和CDˊ分别位于螺线管内和管外见图
a由例可知轴线上的磁感应强度大小为
nI
0
μ
沿轴线方向对回路ABCD应用安培环路定理得
0,AB)]([
0
=?μ?rBnI
i
.)(
0
nIrB
i
μ=
即
这表明无限长螺线管内沿轴线方向磁场均匀对回路ABCˊDˊ应用安培环路定理得
,)]([
0//0
ABnIABrBnI
e
μ=?μ
第三章 真空中的静磁场 47
由此有
,0)(
//
=rB
e
即无限长螺线管外沿轴线方向磁场处处为零
图3 3 6 无穷长螺线管内外的磁场
另一方面考虑螺线管存在一自右向左的等效轴向电流I(见图3 3 6b)且该电流可视作沿螺线管表面均匀分布的面电流由它产生的磁感应强度与同螺线管共轴的圆形环路相切设为Be按图3 3 6b选择同螺线管共
48 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
轴的圆回路并应用安培环路定理不难得出螺线管内磁场Be为零而螺线管外的磁场Be与无穷长直线电流的磁场相同即其中螺线管半径综合起来看无限长螺线管内磁场均匀分布与轴线平行管外磁场与无穷长直线电流的磁场相同
,
2
0
r
I
B
e
π
μ
=
⊥
Rr ≥
[例3 3 3] 电流均匀分布在一无穷大平面导体薄板上面电流密度为I求空间磁场分布
[解] 取直角坐标使导体板位于y z平面电流沿z方向图3 3 7由电流分布的对称性可知磁感应强度只有y分量其大小只与x有关且B(x)=-B(-x)为此考虑x轴上一点P以O中心在x y平面过点P作一矩形回路ABCD应用安培环路定理可得
.2)(
0
ABiABxB μ=
.
2
)(
0
i
xB
μ
=
于是
5 4 8
上式表明无穷大平面电流两侧为均匀磁场且磁感应强度的大小相等方向相反另外对有限大小的面电流板只要x远小于该面电流板的尺寸则它对磁感应强度的贡献也可由式5 4 8近似表示
第三章 真空中的静磁场 49
图3 3 7 无穷大平面电流的磁场
50 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
图3 3 8 螺绕环
[例3 3 4] 绕在圆环上的线圈叫螺绕环设螺绕环内径为R
1
外径为R
2
总匝数为N电流强度
第三章 真空中的静磁场 51
为I求环管内外的磁场分布
螺绕环管内,
2
0
r
NI
B
π
μ
=
,
2
0
0
nI
R
NI
B μ=
π
μ
=
[解] 设螺绕环是密绕的电流接近轴对称分布这时磁感应强度B应沿与环共轴的圆周的切线方向大小只与离轴线的距离有关在环管内部取半径为r(R
1
<r<R
2
)的圆周回路由安培环路定理有
NIrB
0
2 μ=π从而求得环管内的磁感应强度为
当螺绕环很细即R
1
R
2
R=(R
1
+R
2
)/2 R为螺绕环的平均半径时则可近似认为螺绕管内磁场大小均匀其值为
5 4 9
式中n=N/(2 R)为螺绕环单位长度上的线圈匝数这一结果恰好与无穷长直螺线管的结果5 4 7
一致
如果在螺线环管的外部取一与环共轴的圆周回路则穿过该回路的总电流为零以至由安培环路定理可证环管外部的环向磁场处处为零不过基于和例3 3 2类似的理由如图3 3 8所示的螺绕环
52 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
存在一逆时针方向的等效环向电流I该电流沿环管表面分布对于环管截面很小R
1
R
2
R的螺绕环来说该环向电流在环管外部的磁场和一电流强度I半径R的圆线圈的磁场相同见例5 2 2
五两条定理与毕奥沙萨尔定律的关系
两条定理均通过毕奥沙萨尔定律导出
从高斯定理的证明过程可知它不要求毕奥沙萨尔定律中的距离平方反比关系若令当n 2时高斯定理仍然成立
n
r
r?d ×
∝
lI
B
v
v
但安培环路定理则要求n=2从证明过程可知要利用无穷长直导线电流的磁场与例3 2
1相同步骤可推出B r
-n+1
于是当n 0时该环路值与回路半径r
0
有关使安培环路定理不能成立
2
00
d
+?
μ=?
n
rIl
v
vv
∫
B
v
实验表明对随时间变化的磁场高斯定理仍然有效但安培环路定理应予修正详见第六章
3.4 洛仑兹力及其应用
第三章 真空中的静磁场 53
一﹑运动电荷在磁场中的运动
1洛仑兹力
安培定律说明,载流导线在磁场中受到力的作用导线中的电流是导体中自由电子的定向运动形成的显然运动着的带电粒子在磁场中也将受到力的作用从安培定律可以推算每个运动的带电粒子在磁场中所受到的力
任一电流元在磁场中所受力为 lId
r
B
r
又I=nqvS,S为电流元的截面积故
BlIdFd
rrr
×=
54 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
该电流元中的运动的带电粒子数为dN=nSdl,所以每个运动的带电粒子受力为
粒子带正电与同向粒子带负电与反向故上式可写成 v
r
ld
r
v
r
ld
r
Bvqf
r
r
r
×=
以上所得结果容易通过实验验证
阴极射线偏转演示
如果电场和磁场同时存在则电荷q所受的电场力为所受的磁力为带电粒子所受的总作用力
EqF
e
rr
= Bv
r
r
r
×= qF
m
BlqnvSdFd
rrr
×=
Bl
qvd
nSdl
BlqnvSd
dN
Fd
f
r
rrr
r
×=
×
==
Bv
r
r
rr
×+= qEqF
2带电粒子在磁场中的运动
1洛仑兹力不作功洛仑兹力功率0v)Bvq(vF =?×=?
r
r
rr
r
所以在洛仑兹力作用下粒子的动能和速率不会改变变化
第三章 真空中的静磁场 55
的只是粒子的速度方向
B
2在均匀磁场中 粒子的运动方程为
r
写成分量式
定义ω
L
=qB/m,则上述方程可化为
Bvm ×= q
0z
x-qBym
yqBxm
=
=
=
&&
&&&
&&&
z
0yy
0xx
2
2
=
=+
=+
&&
&&&&
&&&&
L
0
L
vd
r
r
dt
易得解
其中v
⊥
v
δ x
0
y
0
z
0
为积分常数由初条件定v
⊥
和v
分别为垂直及平行于磁场的速度分量因为v=const,v
=const,
故v
⊥
=const,所以粒子速度与磁场的夹角投射角θ=sin
-1
(v
⊥
/ v
)在粒子运动过程中为常量
r
0
0
L
0
L
L
vz v
y)sin(
v
y )sin(vy
x)cos(
v
x )cos(vx
ztconstz
t
tt
LL
L
+===
++=+=
++=+=
⊥
⊥
⊥
⊥
&
&
&
δ?
δ?
δ?
δ?
从上述解可看出磁场中的带电粒子作轴平行于的螺旋线运动轨道在xy平面上投影是个圆圆心在x
0
y
0
处其
56 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
半径R= v
⊥
/ω
L
粒子回旋的角频率ω=eB/m回旋频率 f=eB/(2πm),回旋周期T= 2πm/ eB,ω﹑f﹑T与粒子的回旋速度无关
3在轴对称﹑缓变非均匀磁场中
r
v?v
⊥
+
+
z
rBzB
r
r
v
=
= B
z
取小圆柱高斯面从高斯定理
z
Br
z
zBzzBr
rzBzzBzr
zzz
z
zz
=
+
=
=++
→?
2
),0(),0(
lim
2
B
0)],0(),0([2B
0
r
2
r
ππ
z
Br
q
d
m
z
2
v
dt
v
⊥
=
dt
dB
B
m
m
dt
d
2
v
)v
2
1
(
2
2 ⊥
⊥
=
由于B
r
的出现z方向的运动方程
带电粒子作圆运动的磁矩
由上式可得即带电粒子在缓变磁场中磁矩守衡同样可证对任意随时间﹑空间缓变磁场粒子磁矩守衡
0=
dt
dμ
第三章 真空中的静磁场 57
二﹑应用举例
1 速度选择器
图示说明
走直线忽略重力则qE=qvB,∴v=E/B
2 质谱仪
图示说明
不同m,q离子经速度选择器v同进入均匀磁场B
r
中则回旋半径
由测量所得R可得带电粒子的荷质比并可利用来分离同位素分析丰度
3 磁聚焦
图示说明
无磁场发散开外加均匀磁场B
r
使离子束速率近同张角小速度方向近似与B
r
平行v
≈ const离子回旋频率和
B
m
RSI
2
2
1
2
v
2
q
⊥
==?= π
π
μ
r
RB
v
vv
⊥
⊥⊥
=
==
m
q
qB
m
R
58 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
周期与粒子的回旋速度无关经一个周期沿磁场B会发散离子螺旋运动的螺距h=T
≈ v
qB
4
v2 mπ
回旋加速器
r
方向上聚一次不演示图说明
调整加交变电压频率在D形盒间的使之与粒子的回旋频率同并使得粒子在通过间隙时总被间隙电场加速而增大能量
5 磁约束与等离子体
演示图说明
6 霍尔效应
图示说明
上下底出现电势差
1
U=Ib只有当洛仑兹力与电力平衡时载流子不再偏转此时Eq=qvB又I=bdnqv故
给定I B d测U可得 nq若 q 已知可得载流子浓度n
2 判定载流子带正电荷还是负电荷
三﹑运动荷的
U Κ
dnqd
==
IBIB
电电场和磁场
声音一个点电荷相对它静止的观测者测量时只能测到电场而相对它运动的观测者测量时不仅测到电场而还测到磁场且所以电场和磁场是与参考系有关的物理量是相对量不是绝对量寻找电磁场在不同参考系中的变换关是的系就个十分重要问题它将进一步加深我们对电场﹑磁场的认识有助于我们了解一系列重要的问题如静止电贺的静电场与运动电荷电场的区别运动在电场中受力与静止电荷在电中受力是否场同运动电荷的磁场与电荷运动的关系电场与磁场有何联系等
等
第三章 真空中的静磁场 59
1 狭义相对的有结论论关
备的粒子K在K
附录
2 电磁场的变换公式
按相对性原理要求电磁学的普遍规都须律具协变性既不同惯性系中形式保持不变现以洛仑兹力为桥梁求不同惯性系间电在K系中运动速度为u
r
而在′系中运动速度为u′
r
的磁场的变换公式设一带电量q系中的电磁场为B,
rr
E而在系中的为B,E ′′
rr
K′则
K系中粒子受力BuqEf ×+= q
r
r
rr
K力′系中粒子受BuqEqf
r
r
rr
′×′+′=′
其中q为与参考系无关的不变量电荷守衡定律所要求由力及速度变换公式易得
= EE
)vB(
zyy
+= EE γ
)vB(
yzz
′
′
= EE γ
′
=
x
B
x
B
′
xx
′′
)E
c
v
(
z
2
yy
′
′
= BB γ
60 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
3 运动点电荷的电场
4 运动点电荷的磁场
3.5 运动电荷的电场与磁场
一 运动电一个点电荷点荷引出的问题相对它静止的观测者测量时只能测到电场E
v
一个点电荷
相对它运动的观测者测量时不仅测量到电场E′
v
而且还测量到磁场B
v
场是与观测者的运动状态有关的即是与在什么参考系测量有关的换所以一个点电荷产生的电场和磁句话说电场和磁场是与参考系有关的物理量是相对的不是绝对的
两个相对静止的点电荷
与它们相对静止的观测者测量只有静电库仑力与它们相对运动的观测者测
)E
c
v
(
y
2
zz
′
+
′
= BB γ
第三章 真空中的静磁场 61
量它们之间不仅有静电库仑力又有磁力
在不同参考系中测量到的两点电荷的作用力的确不相同
但实验告诉我们
在静止系K中带电荷为q的点电荷受力为 BVqEqf
vvvv
×+=
中在运动系K′带电荷为q的点电荷受力为 VEqf ′=′ B′×′+
vvvv
其中
q
q是与参考系无关的不变量与光速c一样叫相对论不变量
由加电
速器中电子的量不变任何运动的原子都是显中性的尽管f ′
v
不等于f
v
LL但带撇量与不带撇定关随坐标系变换不变量有着确的系( )而形式保持称协变性电磁学的普遍规律都必须具备协变性这是相狭义对论的要求也是实验结果
62 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
二狭义相对论中的有关结
未能探测到所预期的论
我们先回顾力学在力学中有两类参考系惯性系和非惯性系牛顿第二定律相对于惯性系才成力而牛顿第一定律实际上确定了自然界中存在惯性系问题是如何找到一个惯性系? 牛顿存在纯粹的绝对静止的空间和绝对时间作为最基本惯性系伽利略所有惯性系平权不能判断哪个惯性系是处于绝对静止状态哪个是有绝对运动但牛顿运动定律却与伽利略相对性原理相洽的现在回到电磁学问题上1864年Maxwell提出了位移电流和涡旋电场假设建立了Maxwell方程组预言了电磁波
1865
-
对了从理论上解释1905 Einstein年提出了两条全新的物理学基本原理
相对性原理null 宇宙中所有各处的物理规律都相同不论观测者运动速度如何
null
的存在电磁波以光速在空间传播由此他指出光本身既电磁波年赫兹实验验证了电磁波的存在看来电磁波似以恒定速度相对于某一特殊参考系运动光速与观测者的相对速度有关由次迈克尔逊莫雷试图探测地球相对于这一绝对参考系的速度但他们的实验失败了速度光速不变原理光速是个常数与光源及观测者运动速度无关
第三章 真空中的静磁场 63
由此不同惯性系间坐标变换不能以伽利略变换描述而要用洛伦兹变换
1 洛伦兹变换
2 速度变换公式
3 质量变换关系
zz
yy
t
c
=′
=′
=′
=′
2
2
1
-1
-x
x
β
β
t
x
β
ctβ
2
x
2
2
x
c
vv
z
2
z
vv
y
2
y
c
vv
x
x
1
v1
v
-1
v1
v
-1
vv
v
′
′
=
′
β
β
x
c
=
=
64 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
在K系中以速度
u
r
运动的物体在K′中质量
4
v(p
y
xx
=
′
′
p
pγ
动量和能量的变换关系
5 力的变换关系
m)
c
vu
-(1m
2
x
γ=′
)vp(
w
x
=′
=
′
′
ww
pp
zz
γ
=
c
2
p
y
()
()
x
c
v
z
z
x
c
v
y
y
x
2
xx
2
2
-1
f
f
-1
f
f
vc
v
ff
u
u
u
γ
γ
=
′
=
′
′
=
第三章 真空中的静磁场 65
6 电磁场的变换关系按相对性原理要求兹力为桥梁求不同惯性系间的电磁场的变换公式
K′系中运动速度为
电磁学的普遍规律都须具备协变性既不同惯性系中形式保持不变现以洛仑设一带电量q的粒子在K系中运动速度为u
r
而在
u′
r
在K系中的电磁场为B,
rr
E而在K′系中的为B,E ′′
rr
则
K系中粒子受力Bu
r
r
rr
×
K′系中粒子受力
qEqf +=
BuqEqf
r
r
rr
′×′+′=′
其中q为与参考系无关的不变量电荷守衡定律所要求由力及速度变换公式易得
′
=
x
E
x
E
)vB(
zyy
′
+
′
= EE γ
)vB(
yz
′
′
E
′
=
x
B
x
B
z
=E γ
三运动点电荷的电场
)E
c
v
(
z
2
yy
′
′
= BB γ
)E
c
v
(
y
2
zz
′
+
′
= BB γ
66 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
动态演示
四运动点电荷的磁场
五一个有趣的实例两个同号点电荷间的作用力的测量问题
两个具同号等量电荷且相对静止的点电荷之间作用力的测量问题
1 如图示在相对这两个点电荷静止的坐标系
2
2
sin1 β?
=
r
E
()
2
3
2
2
1?
θ
β?rq
r
()
2
θ
K′中
3
22
2
3
0
2
sin1
1
4
v
c
1
B
β
β
πε
×
=
r
rq
rr
r
0
00
=
′
=
′
′
==
zx
y
ff
jf
r
4
1
4
1
2
2
3
2
=′
′
′ j
y
q
r
r
q
f
r
r
r
πεπε
第三章 真空中的静磁场 67
0=
′
=
′
=
′
zyx
uuu
2 在相对于K′运动的坐标系K中测
由力的变换关系
0u,0u,v
zy
===
x
u
K系中从另一角度看这时在P点产生电场的是运动点电荷其电场强度的大小为
2
v
1
)1(
β
γ
=
′
+
yy
f
u
f
c
z
2
′
′
=
=
x
y
x
f
0f,0 =f
y
E
y
q
E =
=
2
2
0 1
1
4
1
β
πε
68 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
且方向指向y,
0==
zx
EE
则
即磁力为吸引力
第三章 小结
2
2
0 1
4
β
πε
y
yy
2
)()(
)(
z
)(
x
22
0
2
)(
0f,0f,
14
β
βπε
=?=
==
=
q
fff
y
q
f
em
y
eee
y
安培定律
1212
3
12
1212210
12
,
4
)(dd
d rrr
r
rllII
F
vvv
v
v
vvvv
v
=
π
××μ
=
第三章 真空中的静磁场 69
毕奥萨尔定律
安培公式 (Idd F
v
=
3
0
4
d
r
rldI
B
v
v
vvv
v
×
π
μ
=
)Bl
vv
×
沦仑兹力 q(EF
vv
+=
d?
∫∫
B
v
)BV
vv
×
磁场的高斯定理,0=S
S
v
说明磁场的无源性即孤立的磁荷不可能存在
磁场的安培环路定理:,d
0
IlB
L
L
vvv
∑
∫
μ=
穿说明磁场的有旋性
对于所有搅性参考系带电体所带的电量q像光速c一样是不变量普遍的洛仑兹力公式的形式的是相同
电量为q的带电粒子以速度v沿x轴正向运动它在空间一点(x,y,x)产生的电场为
70 电磁学网上课件 本章撰稿人熊曹水等
[]
[]
++?
πε
=
++?
πε
=
,
)(
4
,
)(
)(
4
2/3
2222
0
2/3
2222
0
r
zytvxr
yrq
E
zytvxr
tvxrq
E
y
x
v
vv
vv
v
vv
vvv
v
其中其中
[]?
++?
πε
=
=
,
)(
4
1
2/3
2222
0
2/1
2
2
zytvxr
zrq
E
c
v
z
vv
vv
v
v
同时同时
它产生的磁场为
=
=
yz
zy
E
c
B
E
c
v
B
B
v
v
v
v
v
2
2
=
x
,0
v
v
v
