第七章 静电场与物质的相互作用 1
第七章 静电场与物质的相互作用
物质的导电性涉及其微观结构,粗略地说,我们可以将物质划分为导体和绝缘体(或称之为电介质),
导体的特征是具有大量自由电子,而电介质则相反,其中的电子作绕核运动而不易有自由运动我们也可以从能量的观点来说明,构成导体的原子的能级通常有不满的壳层,例如,,当形成晶体的时候,将存在能带,在导体中存在一个满带,一个禁带和一个导带,而在绝缘体中,禁带较宽而导带是空的
spssNa 3221:
622
11
至于半导体,它也有一个空的导带,但是它的禁带较窄,这就带来了可变的电导,出现热激发也是可能的
在以前的章节中我们已经得到了很多有关真空中电磁场的一些结论,在本章中我们着重讨论电介质在静电场中的一些行为,在这个意义上,本章的标题中的物质已是一个太大的集合,而我们在这里只关注电介质这一子集
2 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
§7-1 电介质与极化强度矢量P
7.1.1 电介质及其极化的解释
电介质的一些实例,纸张空气熔石英琥珀云母等等,其特性为电绝缘性,从微观层次上说,该类物质中的电子绕核运动而不是自由运动.下面我们从微观角度作一些相对简单的讨论,
考虑电介质中的某个原子或分子,一般情形下它当然是电中性的,其正电荷来自于一个或多个原子核,而负电荷则对应于核外运动的电子,我们可以设想一个正电荷中心和一个负电荷中心,如果正负电荷中心不重合(这涉及到有无外电场,
我们将在下面详细讨论),就相当于一个电偶极子,由此将会产生电偶极矩,实际上,这一微观层次上的电偶极矩将直接导致宏观上的极化强度,
考虑单位体积的电介质,我们有电偶极矩密度——极化强度(polarization)的定义,
)(
p
p
P n
V
==
∑
d
d
,(7.1.1)
其中n是电偶极子密度,p是每个偶极子的平均偶极矩,
电介质分为三类,极性电介质非极性电介质和铁电体,
极性电介质(polar dielectric)的分子具有永久的电偶极矩,也就是说,即使在没有外加电场的情况下,它们的正负电荷中心也不重合,例如,
电介质分子 电偶极矩( ) mC?
H
2
O
30
1003.6
×
第七章 静电场与物质的相互作用 3
CO
30
1000.4
×
HCl
30
1043.3
×
在没有外加电场时,各个电偶极子的方向是随机的,于是整个电介质不表现出电极化现象,在外电场中,
电偶极子的方向将尽可能地趋向与电场方向一致,这将在整体上有所体现,
我们知道,一个具有偶极矩的电偶极子在外电场E中具有的势能与两者间的夹角是密切相关的,即
0
p
CEpCU +?=+= θcos
00
Ep (C为常数) (7.1.2)
由于分子的热运动以及由此引起的分子间的碰撞,每个偶极子的方向并不一定是和电场方向完全一致的,
偶极矩的方向在空间中呈现一定的分布,根据统计物理学的基本原理,在温度为T时,电场中的偶极子具有某个势能的几率正比于
Tk
U
B
e
,这里为玻耳兹曼常数,这种几率分布就是所谓的波耳兹曼分布,
B
k
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选择外电场的方向为参考方向,设,则平均偶极矩为 kE
E=
=
∫
∫
d
d
0
TkU
TkU
B
B
e
ep
p (7.1.3)
其中为立体角,如上图所示,,显然的x分量和y分量的平均值均为零,于是(7.1.3)式变为?d
0
p
θθπ
θθθπ
dsin2
dcossin2
0
∫
∫
=
TkU
TkU
B
B
e
e
pkp,(7.1.4)
将U的表达式(7.1.2)代入上式,令TkEp
B0
≡η有
=
=
∫
η
η
η
η
1
coth
dln
1
10
kk
p
ye
p
y
,(7.1.5)
第七章 静电场与物质的相互作用 5
括号中的函数称之为朗之万函数(Langevin function),其函数曲线如图7-1所示,在通常的温度下,1<<η,
可以近似地认为曲线呈线性关系,于是有
kp
3
1
0
Tk
pE
p
B
=,(7.1.6)
0.8
0.6
0.4
0.2
8642
图7.1朗之万函数可以看出,对于单个电偶极子,其平均值的大小取决于它在外电场中的势能与热运动能量之比,热运动使偶极子的方向趋于混乱; 而电场则使各个偶极子的方向尽量一致,考虑到极化强度的定义(7.1.1)式,我们通常写,
EP
0
χε=,(7.1.7)
6 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
其中称作极化率(susceptibility),具体的形式为 χ
kT
np
0
2
3
0
ε
χ =
以上是有关极性电介质的讨论,我们得到了电场E与极化强度矢量P的线性关系,即(7.1.7)式,这里我们采用了标量的表示,意味着我们假定E与P的方向是一致的,要注意的是,对于某些各向异性的电介质,E与P的关系不一定是线性的,
二者的方向也不一定一致,下面我们讨论非极性电介质,同样地,我们的讨论是针对各向同性的物质而言,
非极性电介质(non-polar dielectric)分子没有永久性电偶极矩,例如氧氮等等,在没有外加电场的情形下该种分子的正负电荷中心是重合的,整体上没有电极化现象,引入外电场后,正负电荷中心发生分离,产生所谓的诱导电偶极矩,或是感应电偶极矩,其形式可以表示为
local
Ep α=
其中的称为局部电场,也被叫作有效电场,指的是单个分子所感受到的电场,我们将在
local
E下面对此稍加讨论,这里只给出直观的解释,那就是,外电场越大,正负电荷中心的分离就越大,电偶极矩就越大,所以有
Ep∝ (7.1.8)
这与(7.1.6)式有类似之处,同样地我们可以用(7.1.7)式表示该种情形下的电极化强度矢量P与外电场E的关系,只不过这时极化率的具体形式有所不同而已,以后,在一般情形下,我们就用该公式描述均匀的χ
第七章 静电场与物质的相互作用 7
线性极化的介质中P与E的关系,对于不同的介质,极化率是不同的,显然,对于真空,,0=χ
铁电体(ferroelectric)有自发的电极化强度,就是说即使没有外场,该种物质本身也会有电极化强度,钛酸钡(BaTiO
3
)就是一例,
7.1.2 P与极化电荷的关系
我们已经知道,电介质置于电场中,其分子的正负电荷中心将沿电场方向有所偏离,可以想象,如果电介质是均匀的,那么物质内部不会有净的极化电荷,但是在介质表面将会产生极化面电荷,
实际上,法拉第发现,如果在电容器的两极板间插入电介质(如云母)而同时保持电势差不变,则极板上的电荷将变大,
由此可以推知此时电容也有所增大,
1
00
≥≡=
r
dd
q
q
C
C
ε (7.1.9)
上式中的下标d表示电容器极板间有电介质存在时的情形,另一方面,如果保持电荷不变而插入电介质,
则会发现两极板间的电势差减小,
1
0
0
≥==
d
r
d
V
V
C
C
ε (7.1.10)
于是我们可以根据电介质的插入给电容器带来的某些变化来考察该电介质的宏观的电极化现象,以上两
8 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
式中出现的为相对介电常数,是一个无量纲量,而对于平板电容器而言,此时电容可以表示为
r
ε
d
A
d
A
CC
rrd
εε
εε ≡==
0
0
(7.1.11)
其中A为电容器的极板的面积,d为两板的间距,式中出现的称为绝对介电常数,虽然可以通过实验测得某种电介质的或,但是我们还是希望知道其进一步的物理意义,具体地说就是与极化强度矢量的联系,为此我们继续考虑电容器中的电介质这一简单模型,并且假设电介质布满电容器极板间的整个空间,而且,假设在电场中介质里的每一个偶极子的极化方向都沿着电场方向,即,这样的话,极化强度矢量可以简单地表示为,其中n为单位体积内的偶极子数目,q为偶极子中的正的或负的电荷的电量的绝对值,l为由负电荷指向正电荷的方向矢量,
r
εεε
0
=
r
ε ε
Ep //
lpP nqn ==
图7-2
第七章 静电场与物质的相互作用 9
将电介质置于电场中,介质表面将出现正的或负的极化电荷,在如图7-2所示情形下,由于电场的作用,与电容器的负极板相邻的介质表面上将出现正的极化电荷,在面积为A的介质表面上会有厚度为l的正的极化电荷,于是我们可以得到极化电荷的面密度,
nqlAnqAl
p
==σ (7.1.12)
注意这里我们假设每个电偶极子的方向都是与电场方向一致的,容易看出,上式中的ql就是每个偶极子的电偶极矩的大小,而n不过时单位体积内偶极子的个数,于是(7.1.12)式又可写作
P=== Pnp
p
σ (7.1.13)
这样我们看到了极化面电荷密度与极化强度矢量的关系,这里我们计算的是正的极化电荷的面密度,在介质的另一面出现的极化电荷将是负的,
将关于平板电容器的讨论继续下去,设平板电容器的带正电的极板上的自由电荷的面密度为,若极板间没有介质,
则其间的电场强度的大小为
σ
00
εσ=E,若在极板间置以电介质,则正极板附近的介质表面上的极化电荷是负的,于是
,可以想象,此时电容器极板间的场强要减小,设此时的场强的大小为E,由P
p
=σ (7.1.13)和(7.1.7)式,我们可以得到
0
0
00
ε
χεσ
ε
σ
ε
σσ
EP
E
p
=
=
+
=
从中解出
10 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
χχε
σ
+
=
+
=
1
1
1
1
0
0
EE
另一方面,当极板间不存在介质时,其间的电势差为; 置入介质时,电势差变为dEV
00
=
χχ +
=
+
==
11
1
0
0
V
dEEdV
d
,与(7.1.10)比较,有
χε +=1
r
(7.1.14)
这便是极化率与相对介电常数的关系,
图7-3
第七章 静电场与物质的相互作用 11
以上我们考虑的是平板电容器中的电介质这一简单而特殊的情形,对于任意形状的电介质,也有类似的结论,考虑如图7-3所示的介质表面的一个局部区域,其表面的法向方向用表示,电场E与极化强度矢量P的方向一致且与的夹角为θ,于是介质表面的单位面积上积聚了极化电荷,其电量为
n? n?
() () nP?coscos?== θθ nqlSlSnq
这里我们相当于计算了一个倾斜的柱体内的极化电荷的电量,该倾斜柱体的体积正是上式中的,一般地,我们有,极化电荷的面密度可以表示为
() θcoslS?
nP=
p
σ (7.1.15)
这里当然是指介质表面某处的法向方向,对于我们上面讨论过的电容器里的电介质,P和的方向是相同的,所以(7.1.15)式就简化为
n? n?
(7.1.13)式,
现在我们已经知道了介质表面极化电荷面密度的一般表达式(7.1.15),这里要注意到极化电荷的正负由P和的夹角来确定,很自然地,我们还希望知道介质内部有无极化电荷,
n?
图 7-4
一个直观的想象是,如果介质是均匀极化的,即极化强度矢量在介质内部的每一点都是大小相同且方向一致,那么就不会有净的极化电荷,而在一般情形下,可以作如下设想,如图7-4所示,在介质内部设想一个闭合曲面S,其内部体积V
12 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
在没有外电场时应该时电中性的,引入外电场E后,自然会有极化强度矢量P,我们姑且假设不同点的P可能会有大小或方向的不同,由电荷守恒可知,体积V内产生的极化电荷与穿过曲面S进出该体积的极化电荷的总和为零,于是有,
p
Q?
0d? =?+?
∫∫
S
p
sQ nP
这里我们借助了(7.1.14)式来计算穿过曲面的极化电荷,如果我们把介质内部产生极化电荷的密度(注意这里的电荷密度是体密度)用表示,则上式可以改写为
p
ρ
0d?d =?+
∫∫∫∫∫
SV
p
sV nPρ
应用Gauss定理后有
P=
p
ρ (7.1.16)
上式便是介质内部极化电荷的体密度与极化强度矢量的关系,显然,若介质是均匀极化的,则P的散度为零,介质内部不存在极化电荷,与我们的直观想象是一致的,
例 一个半径为a均匀极化的介质球,其电极化强度为P,该介质球置于空气中,球心处的电场强度是多少?
第七章 静电场与物质的相互作用 13
图7-5
如图7-5所示,设极化强度矢量P沿z方向,在介质球内部各点处P是相同的,球表面的极化电荷面电荷密度为,由对称性可知球心处的电场沿-z方向,其大小为
θcos? P=?nP
()()()
P
Pa
a
E
0
2
0
2
0
2
0
3
1
coscossindd
1
4
1
ε
θθθ?θ
πε
ππ
=
=
∫∫
(7.1.17)
结果中的负号表明球心处的电场方向与极化强度矢量的方向相反,这里我们计算的是球心处的场强,实际上在整个介质球内部由极化电荷产生的场强是均匀的,其大小正是
0
3εP,这一结果将在下面有所应用,
14 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
7.1.3 非极性电介质的进一步讨论
现在让我们对非极性电介质的极化现象作进一步的讨论,
图7-6
首先我们引入退极化场的概念,在如图7-6所示的情形中,外电场为,在介质表面将产生极化面电荷,而这一极化面电荷要在介质内部产生电场,设该电场为,显然的方向与是相反的,那么介质内部的总的电场应该比小,于是我们把由极化面电荷产生的电场称为退极化场,在这里我们不加证明地指出,在均匀极化的介质内部,退极化场与介质的具体形状有关,例如,对于均匀的球形介质,其内部的退极化场为
0
E
1
E
0
E
1
E
0
E
1
E
PE
0
1
1
ε3
=,这与上面的例题里的结论是一致的,
再来考虑非极性分子的极化,我们已经知道,该类分子之所以在外电场中表现出极化现象,其原因在于每个分子的正负电荷中心由于外电场的作用而发生分离,从而形成一个个电偶极子,然而通过对退极化场的讨论我们又知道,介质内部
第七章 静电场与物质的相互作用 15
的电场并不等于外电场,那么,若要进行更为深入的讨论,我们应当关注介质内部的每一个分子所感受到的电场,我们姑且称之为局部电场,
一个值得注意的事实是
局部电场介质内部的电场 ≠ ()()| ??è?
10
EE +≡
只是因为,根据上面对局部电场的定义,当讨论某个特定的分子(在外电场中相当于偶极子)附近的局部电场时,我们当然不能把该偶极子产生的电场计算在内,换言之,这时我们应当把这一偶极子当作一种检验类型的东西来看待; 另一方面,所谓介质内部的电场是外场与所有偶极子的产生的电场的矢量叠加,
而后者实际上是极化面电荷产生的电场(对于均匀极化的介质,其内部的极化电荷为零,即(7.1.16)式),
图7-7
16 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
为了考察介质内部某个偶极子所感受到的局部电场,我们设想,在介质中挖去一个以该偶极子为中心的小球体(如图
7-7),于是在这个特定的偶极子的附近形成一个空腔,我们有
局部电场的场强
=均匀的介质小球中的偶极子在球心处产生的场强+
含有空腔的介质体在空腔中心处产生的场强
有些细节需要注意,在这里我们人为地构造空腔是为了排除某个特定的偶极子,该空腔的体积虽然很小,
但仍然具有宏观意义,也就是说,我们假设的那个被挖去的小介质球中确实包括很多其他的偶极子,这一部分偶极子在球心处产生的场强就是上述说法中的第一项; 另一方面,当一个小介质球被挖去而就此形成空腔时,介质中所固有的极化强度矢量便会导致在空腔内壁上形成极化电荷,其分布在图中已有示意,将各种因素统一考虑,我们可以将上述说法写成更为明确的形式,
3210
EEEEE +++=
local
(7.1.18)
其中
=
0
E外场
=
1
E介质的外表面上的极化电荷在介质内部形成的退极化场
=
2
E空腔内壁上面极化电荷在其中心处形成的电场
=
3
E被挖去的小介质球中的偶极子在球心处形成的电场
第七章 静电场与物质的相互作用 17
2
E又被称为Lorentz空腔场,参考上面讨论过例题并注意极化电荷分布,我们容易知道的大小为
2
E
0
3εP,
其方向与外场的方向一致,当然也就是极化强度的方向,至于,由对称性可知,球心处的电场为零,
即,于是有
0
E
3
E
0
3
=E
PEEE
0
10
3
1
ε
++=
local
(7.1.19)
这里我们没有将退极化场的具体形式表示出来,这是因为在前面我们说过,退极化场与介质体的形状有关,对于球状介质,有
1
E
(7.1.17),即PE
0
1
3
1
ε
=,此时,这是最简单的情形,而在一般情形下,我们宁愿将局部电场写作
0=
local
E
PEPEEE
00
10
3
1
3
1
εε
+=++=
local
(7.1.20)
这里E便是介质内部的电场强度,
有了局部电场的形式,我们就可以了解非极性电介质中的一个分子或原子在外场中的行为,显然,该种分子或原子将在局部电场的作用下变成一个偶极子,其偶极矩可以表示为
local
Ep α= (7.1.21)
这里我们采用了更为一般的表示,即认为偶极矩正比于局部电场,比例系数为,当然,较为简单的形式α
18 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
是,只是l的大小不易得到,lp q=
我们姑且忽略热运动的影响,假设介质中每个偶极子的方向都一致,可以得到单位体积内偶极矩的总和,即极化强度矢量P,即
+=== PEEpP
0
3
1
ε
αα nnn
local
(7.1.22)
这里n是单位体积内的偶极子的个数由此得到
EP
0
3
1
ε
α
α
n
n
= (7.1.23)
注意到(7.1.7)式,我们有极化率
αε
α
ε
ε
α
α
χ
n
n
n
n
=
=
00
0
3
31
3
1
(7.1.24)
再由极化率与相对介电常数的关系(7.1.14)式,有
()
()2
13
0
+
=
r
r
n
ε
εε
α (7.1.25)
我们可以对(7.1.25)稍加计算,
r
ε实际上是介质的折射率,对于水,折射率为1.33,单位体积内的分子数
第七章 静电场与物质的相互作用 19
为,将相应的数值代入(7.1.25)式,有
316
m103.3
×=n
=α
328
m1066.1
×
§7-2 电介质中静电场的基本定理
在上一节中我们了解了静电场中电介质的极化行为,简单地说,介质在整体上表现出来的极化现象来自于微观层次上的电偶极子,而极化电荷——不论是在介质表面的还是在介质内部的——与极化强度矢量有密切的联系,这反映在公式(7.1.15)和(7.1.16)中,那么极化电荷对电场有怎样的影响呢?
7.2.1 Gauss定理
图7-8
我们还是对平板电容器中的电介质这一简单的例子加以分析,实际上在推导(7.1.14)的过程中已经对
20 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
此有所涉及,平板电容器的形状是规则的,易于应用Gauss定理求解其中的电场,值得注意的是,此时我们不但要考虑极板上的自由电荷,而且还要计及电介质表面的极化电荷,取如图7-8所示的圆柱形的
Gauss面,设极板上的自由电荷密度为,介质表面的极化电荷面密度为,我们有σ
p
σ ()AEA
pf
σσ
ε
+=
0
1
,其中A为圆柱的底的面积,注意到(7.1.15)式和(7.1.7)式,有
()
fr
EEE
EEPE
σεεεεχ
χεεε
===+=
+=+
00
000
1
(7.2.1)
这里,就是前面说过的绝对介电常数,上式的结果告诉我们,当有介质存在时,虽然要考虑极化电荷的贡献,但是我们可以考虑介质的绝对介电常数而使最终结果只涉及极板上的自由电荷; 再者,我们可以引入另一个与电场有关的矢量——电位移矢量D,其定义如下
r
εεε
0
=
PED +=
0
ε (7.2.2)
于是(7.2.1)式就可以简单地写成,σ=D
这里我们考虑的是一个简单的特例,并引入了电位移矢量的定义,对于一般的情形,让我们考虑Gauss定理的微分形式
0
ε
ρ
= E (7.2.3)
第七章 静电场与物质的相互作用 21
在有介质存在时,上式中的应该包括自由电荷与极化电荷,即,注意这时我们考虑的电荷的体密度,由
ρ
polfree
ρρρ +=
(7.1.16)式,(7.2.3)式可以改写为
()
free
ρε =+ PE
0
结合电位移矢量的定义(7.2.2)式,我们有
free
ρ= D (7.2.4)
上式便是一般情形下的Gauss定理的微分形式,
有以下几点值得我们注意,
1
该公式具有一般性的意义,即对于任意电场和任意介质均成立;
2
由(7.2.4)式表示的Gauss定理只涉及自由电荷;
3
电位移矢量的定义是(7.2.2)式,对于线性极化的电介质,我们可以将P表示为(7.1.7)的形式,从而D可以写为
,但是对于那些非线性极化的电介质,EED εεε ==
r0
(7.1.7)并不成立,于是D不能有上述简单的表示,
有了Gauss定理的微分形式(7.2.4)式,我们接着给出其积分形式
∫∫∫
VQ
V
freefree
S
dd
∫∫
≡=? ρsD (7.2.5)
其中Q
free
表示闭合曲面S内的自由电荷的总量,把该公式应用于本小节一开始所讨论的平板电容器中的电介质,容易得到同样的结论,
22 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
图 7-9
再让我们看看有介质存在时的Coulomb定律,如果空间中充满同一种均匀的线性极化的电介质,则只要将真空情形下的Coulomb定律中的该作即可,实际上,在如图7-9所示的情形下,我们可以由Gauss定理
0
ε ε (7.2.5)式得到点电荷形成的电位移矢量
1
q
RD
4
q
π
=
3
1
R
,由D和E的关系容易得到电场强度的表示,于是之间的Coulomb力的大小为ED ε=
21
,qq
2
21
4
1
R
qq
F
πε
=,但是,若空间中电介质的分布是不均匀的,则结论会有所不同,如图7-10所示,在计算间的静电作用力时需要考虑极化电荷的影响,
21
,qq
第七章 静电场与物质的相互作用 23
图7-10
7.2.2 环路定理
静电场的环路定理意在说明静电场是保守场或电场的无旋性,我们已经知道,在没有介质的静电场中,有,引入电介质后,当然会出现极化面电荷或极化体电荷,这些极化电荷都处于静止状态,
由它们所产生的电场与静止的自由电荷产生的电场并无本质的不同,它们同属于静电场,也同样遵从库仑定律,绝不是那种由变化的磁场产生的涡旋电场,所以我们可以认为,在有介质存在的情形下,由自由
0=×? E
24 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
电荷以及极化电荷共同形成的静电场仍然是保守场,满足下面的无旋性的要求
0=×? E (7.2.6)
一个自然的问题是 或者说?0=×? D?0d =×
∫
C
lD
0=D
如果整个空间充满(绝对)介电常数为的均匀的且线性极化的电介质,那么由可知,即在该种情形下电位移矢量也是无旋的,若空间中的介质分布不是均匀的,该结论就不一定成立,让我们考察一个简单的例子,
ε
ED ε= ×?
设空间由两种不同的电介质所填充,它们的介电常数分别为和,我们选择如图7-11所示的环路,作如下计算
1
ε
2
ε
()()
acca
cdaabc
cdaabcC
UUUU?+?=
×+×=
×+×=×
∫∫
∫∫∫
21
21
dd
ddd
εε
εε lElE
lDlDlD
第七章 静电场与物质的相互作用 25
图 7-11
一般情形下,上式不能为零,除非,即两种介质的分界面正好是等势面,这一结论也是容易理解的,
因为D的行为仅仅与自由电荷有关,另外,在上述计算中隐含了这样一个条件,在两种介质的分界面附近电势是连续的,这在考虑a
ca
UU =
c两点的电势时有所体现,这一条件将在下节得到证明
§7-3 边值关系与唯一性定理
边值关系又成为边界条件,它描述的是在一个特定的界面上某些物理量的固有性质,若空间中除了
26 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
点电荷外没有其它的具体的物质,如导体或电介质之类,那么我们遇到的与边界有关的一个设定就是,
在无穷远处电势为零,这将作为电场的一个基本条件被我们不断使用,除此以外再无别的边界,在有导体存在时,我们要求在静电平衡时导体内部的电场为零,在导体表面电场的方向垂直于该表面,或者说整个导体是一个等势体,这就是我们遇到的第一个非平庸的边界条件,
7.3.1 边值关系
实际上我们在讨论平板电容器中的电介质时已经隐含了有关结论,如图7-2所示,导体内部电场为零,
而导体于介质的接触面上的电场强度为εσ
f
,这说明电场在这一边界上是不连续的,下面我们考虑另一个稍微具有一般性的情形,电介质的周围是真空
第七章 静电场与物质的相互作用 27
图 7-12
如图7-12所示,介质的绝对介电常数为,真空中和介质内的电场强度ε电位移矢量极化强度矢量分别为和
,这些矢量的方向在图中没有画出,图中的环路C的上下两边以及闭合的圆柱曲面S的上下两底是非常接近于介质的表面的,
PDE,,
PDE ′′′,,
首先我们考虑E沿环路的积分,该环路上两条垂直于介质表面的路径很短,它们对积分的贡献可以略去,于是有
0ddd =×+×′=×
∫∫
cdabC
lElElE
∫
,而ab和cd的方向正相反,故电场在ab方向的分量应等于电场E在dc方向的分量E′
ab
E′
28 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
dc
E
t
E =
,即,由于这种小环路的选取是任意的,则我们可以有结论,在介质的表面,电场E的切向分量是连续的,即
,下标t表示切向方向,
dcab
EE =′
t
E′
∫∫
[]
E
其次,对于图中的闭合圆柱曲面S运用Gauss定理(7.2.5),注意到该曲面内没有自由电荷,且圆柱的侧面积很小,对积分的贡献可以略去,
0ddd
21
=?′+?=?
∫∫∫∫
SSS
sDsDsD
再注意到上下底的方向相反,其面积很小且接近于介质表面,故有
() 0=′+? AnDnD
这里A是圆柱的底面积,上式说明电位移矢量的法向分量连续,即,
nn
DD ′=
让我们把上面的讨论应用于更一般的情形,考虑两种不同的介质,其介电常数分别为,在这两种介质内部的电场强度
21
,εε
电位移矢量极化强度矢量分别为和,在界面上由介质1指向介质2的方向矢量为(如图7-12),
在这里我们考虑更一般的情形,设想在介质的分界面上有一定的自由电荷,其面密度为,类似于上面的讨论,由电场的无源性容易得到两种介质的界面上电场的切向分量是连续的这一结论,即
111
,,PDE
222
,,PDE n?
f
σ
tt
E
21
′=′,或 (7.3.1) ()0?
12
=?× EEn
再考虑电位移矢量在界面上的行为,类似于图7-12所示的情形,我们在两种介质的界面上作一小圆柱,
对这一闭合曲面运用Gauss定理,注意到该闭合曲面内有自由电荷,并略去小圆柱的侧面面积对电位移通
第七章 静电场与物质的相互作用 29
量的贡献,我们有
()[]AA
f
σ=+? nDnD
12
也就是
fnn
DD σ=?
12
,或 (7.3.2) ()
f
σ=
12
DDn
上式表明界面上的自由电荷将导致电位移矢量的法向分量的不连续,反之,若界面上没有自由电荷,则电位移矢量的法向分量当然是连续的,(7.3.1)和(7.3.2)两式便是电场在不同介质分界面上的边值关系,
图7-13
30 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
现在我们可以看到,电场强度或电位移矢量在穿过不同介质的界面时方向要发生改变,这一事实对应于光学中的折射现象,假设两介质的界面上没有自由电荷,则电场强度E的切向分量及电位移矢量D
的法向分量都是连续的,设在不同的介质内电场强度E与界面的法向方向的夹角分别为(如图7-13
所示),我们又知道,,
21
,θθ
ED ε=
nt
EE=θtan,于是容易得到
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
tan
tan
r
r
n
n
n
t
n
t
E
E
E
E
E
E
ε
ε
ε
ε
θ
θ
==== (7.3.3)
(7.3.2)式告诉我们,界面上的自由电荷导致的不连续,反之我们可以考察在界面附近的变化从而得知界面上有无自由电荷,对自由电荷已有如是结论,那么对于极化电荷又会怎样呢? 具体地,不同介质的界面上的极化电荷会导致怎样的不连续性? 我们已经知道,介质内部的极化电荷密度可以表示为
n
D
n
D
(7.1.6)式,于是我们可以仿照对电位移矢量的处理方法,
在界面附近作一个如图7-13中的小圆柱面,在这一闭合曲面内对作积分,有 P=
p
ρ
()AvvA
pp
nPnPsPPddd
12
====
∫∫∫∫∫∫∫∫
??
??8??8
ρσ
其中A为小圆柱的底面积,同样地,我们忽略了圆柱侧面积对面积分的贡献,上式即为
()
p
σ=
12
PPn (7.3.4)
这意味着介质界面上的极化面电荷引起了极化强度矢量在法向方向的不连续,同样地,我们也可以通过考察的改变而得知界面上的极化面电荷密度,
n
P
第七章 静电场与物质的相互作用 31
我们再来看看电势在两种不同介质表面的连续性如何,如图7-14所示,假设两种不同的介质的界面上没有自由电荷,
就是说电位移矢量的法向分量是连续的,设想在界面两侧有两个非常接近的点1和2,它们与界面的垂直距离也是非常小的,我们可以假设这个垂直距离均为h,两点的电势分别为和,我们可以沿着1
1
U
2
U 2两点的连线计算其电势差,即
01d
0
2
1
121
2
1
21
→?
+=+=?=?
→
∫
h
nnn
hEhEhEUU
ε
ε
lE
上式说明电势是连续的,这里我们用到了电位移矢量的连续性,如果界面上有自由电荷,电势当然就不再是连续的了,换句话说,界面上的极化电荷对电势的连续性是没有影响的,
$ 2 $ 1hE1212
图7-14
32 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
综上所述,相对于介质的分界面,我们有如下一系列边界关系,
()0?
12
=?× EEn
()
f
σ=
12
DDn
()
p
σ=
12
PPn
21
UU = (介质的分界面面上没有自由电荷)
从上面的边界条件可以知道,即使介质的界面上没有自由电荷,即,电场强度的变化也不是连续的,另一方面,在该种情形下,
虽然电势是连续的,但是在界面附近的变化不是光滑的,遂导致其梯度函数出现了不连续,即电场的变化是不连续,
0=
f
σ
7.3.2 静电场唯一性定理的阐述
我们时常遇到这样的一个问题,给定电荷的分布,如何知道空间各处的电场? 这便是所谓的求解静电场的问题,原则上我们可以运用库仑定理和电场的叠加原理得到空间任意一点的电场强度,但是这样的计算是非常繁杂的,这主要是因为电场强度是矢量,于是我们会转而求解电势U,电势是标量,计算其叠加要简单一些,然后再根据得到空间各处的电场强度,这便是我们求解静电场问题的基本思路,
U=E
另一方面,我们又知道Gauss定理的微分形式(7.2.3)式,将它与结合起来,我们有 U=E
第七章 静电场与物质的相互作用 33
0
2
ε
ρ
=? U (7.3.5)
虽然这是个二阶的偏微分方程,但是这里我们要求解的是一个标量函数,这在一定程度上简化了我们的计算,更进一步地,如果在空间某处没有电荷,则上式简化为
0
2
=? U (7.3.6)
(7.3.5)和(7.3.6)两式在数学上分别被称为Poisson方程和Laplace方程,在这里的讨论中,我们还没有引入边界条件,下面让我们考察一个很简单的例子,
34 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
图7-15
设想一个空腔导体,腔内有一个点电荷,导体的外表面接地(如图7-15),显然腔外的电场为零,那么腔内的电场和电势会怎样呢? 不难看出,腔内的电势来自于点电荷的电势和腔的内壁上感应电荷在腔内形成的电势的叠加,点电荷在腔内的电势是容易计算的,它是()()rq
0
41 πε,而腔的内壁上的感应电荷在腔内某处的电势却不容易计算了,一方面是由于腔的内壁不一定是一个规则的曲面,感应电荷的分布不一定是均匀的,另一方面,即使感应电荷在内壁上的分布是均匀的,在计算腔内任一点的电势时所涉及到的积分也是很复杂的,于是我们来考察(7.3.5)式和(7.3.6)式在这中情形下的运用,在O
点有一个点电荷,点电荷是一个抽象的物理概念,相应的电荷密度为无穷大,在其自身位置处的电势为无穷大,相应的能量亦为无穷大,这在物理上是不可能的,在数学上我们可以用函数来表示它,所以在O点处,我们写出与δ (7.3.5)式相应的方程
第七章 静电场与物质的相互作用 35
()
0
2
ε
δ r
=? U (7.3.7)
这里的函数的定义为 δ
()
≠
=∞
=
0,0
0,
r
r
rδ (7.3.8)
可以看出,电势在处有一个奇点,这是由于我们对电荷作了”点”的假设,而在空腔内的其它位置处,
因为没有电荷存在,我们宁愿写出
0=r
0
2
=? U
值得注意的是,仅有这一个方程是不能确定空间的电势的,换作数学上的说法,上述二阶偏微分方程在缺少初值条件的情况下不能有具体形式的解,于是我们必须考虑特定的初条件,这便是我们在这里常说的边界条件,如果用S表示导体空腔的内表面,再考虑到导体是等势体,而且接地,那么有边界条件
0=
S
U
现在我们可以由下列方程确定空腔内除O点以外的各点处的电势
=
=?
0
0
2
S
U
U
(7.3.9)
36 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
从直观上我们可以理解这样的说法,在边界S给定的情况下,方程(7.3.9)有唯一的解,实际上,在关于微分方程的理论中可以给出该说法的严格的论证,这里我们并不对此祥加说明,但是直观上的理解还是容易达到的,
虽然(7.3.9)式是针对一个很简单的情形得到的,但是该方程及其解释已经蕴涵了唯一性定理的绝大部分内容,在明确给出唯一性定理的叙述之前,且让我们将上面的简单情形加以适当推广,
推广无外乎两种,电荷分布和边界条件,首先讨论关于电荷分布的更一般的描述,上面说的是点电荷,我们完全可以将之推广为更一般的情形,例如连续电荷的分布,设空间电荷密度为,那么决定空间电势的方程就应该是Poisson方程()rρ
(7.3.5),再者我们考虑对边界条件作推广,一般地,我们总是认为无穷远处的电势为零,这一条件可谓耳熟能详,不须多作强调; 那么且让我们考虑空间中存在若干导体(注意,我们尚未引入电介质,所说的空间指的就是真空),导体可以形状各异,
可以有空腔或无空腔,也可以接地或不接地,这都是无关紧要的,我们用表示所有导体的表面——包括外表面和内表面,每一个表面上的电势都是一样的,而不同的表面上的电势可以不同(当然也可以相同,例如同一个导体的内外表面的电势就是相同的),我们用表示相应的上的电势,于是有
()L3,2,1=i
i
S
i
U
i
S
()
()
()?
=
=?
i
S
UU
U
i
r
r
r
0
2
ε
ρ
(7.3.10)
接着我们要说的是,由(7.3.10)式确定的电势U是唯一的,它对应于特定的电荷分布和特定的边界条件;
而边界条件中包含两个性质,静电性质和几何性质,前者指的是边界曲面上的电势,后者指的是边界曲
第七章 静电场与物质的相互作用 37
面的几何形状,
我们可以换一个角度考虑边界条件中的静电性质,注意到在我们的讨论中是把导体的表面当作边界的(当然还有一个无穷远的边界),在上面的讨论中我们将边界上的电势作为关注的对象,那么选择边界曲面上的面电荷分布作为边条件的描述又何尝不可呢? 实际上,这便是边界条件中静电性质的另一种描述,两种描述是等价的,
更进一步地,考虑空间中有介质存在的情形,当然,我们会首先假设电介质是可以均匀极化的线性介质,于是存在一些简单的线性关系
EDEP εχε ==,
0
这些都在这一章的开头几节讨论过,我们写出Gauss定理的微分形式,即(7.2.3)式
0
ε
ρ
= E
这里包括自由电荷和极化电荷,若用电位移矢量D表示,有 ρ
free
ρ= D或
ε
ρ
free
= E
考虑电势的分布,我们写出类似于(7.3.5)式Poisson方程
ε
ρ
free
U?=?
2
(7.3.11)
(7.3.5)式中的和ρ (7.3.11)式中的具有相同的意义,指的都是空间中存在的自由电荷,两式不同之处只
free
ρ
38 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
是在于介电常数,这一区别是容易理解的,剩下的问题就是讨论在现有情形下的边界条件,这时我们如何说明什么是边界呢? 无穷远处当然算一个,同时我们也应该容许空间中分布着一些导体,那么这些导体的内外表面也都是边界,还有就是不同电介质的分界面,这些都应该算作边界,但对最后一种边界我们应该作些说明,回顾我们在边值关系中的讨论,在那里我们说明了这样一个事实,如果不同介质的分界面上没有自由电荷,那么电势在这分界面附近是连续的,于是我们没必要把这种不带自由电荷的介质分界面当作边界来处理,而只要注意在该界面两侧有不同的介电常数就已足够,在一般情形下,介质的分界面上不易有自由电荷——除非你在分界面上填上一块带电的金属片,但这样一来就相当于引入一个导体,这一情形可以归入有关导体表面的讨论中,于是,在有电介质存在的情形下,边界条件仍然包含静电性质和几何性质两种因素,前者指的是导体表面的电势或导体表面自由电荷的面密度,后者指的是导体表面的几何形状,
现在我们可以将静电场的唯一性定理表述为,
如果静电体系内存在电荷分布和电介质分布,且关系式成立,则体系的电场由电荷和电介质分布ED ε=边界上的电势U或Dn唯一确定,?
在唯一性定理的叙述中,所谓的关系式成立,其意义在于表明电介质是均匀且线性的; 边界上的电势U也容易理解,无需多说,值得稍作解释的是n,这实际上就是导体表面上的自由电荷的面密度,
ED ε=
D?
第七章 静电场与物质的相互作用 39
§7.4 应用举例
在这一节里我们用具体的例子来说明静电场唯一性定理的一些应用
7.4.1 静电屏蔽
静电屏蔽不是一个陌生的话题,简单地说,为了使某个物体不受到附近的带电体的静电干扰,我们可以用一个接地的金属球壳将该物体罩起来(如图7-16所示),
图7-16
40 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
这时,腔内的电场仅仅取决于点电荷q以及腔的内壁上的感应电荷,可以说点电荷q不再受到腔外电荷的影响,注意到金属空腔的内外表面上的电场强度的方向都是垂直于表面的,图中的电力线也尽量显示了这一特点,
图7-17
现在让我们由静电屏蔽出发进一步讨论与静电感应有关的问题,设金属空腔内外各有一个点电荷,分别为q和Q,不过空腔倒不一定接地,于是有图7-17所示的情形,我们讨论如下几个问题
(1)q受到的来自Q的静电力是多少?
第七章 静电场与物质的相互作用 41
(2)q受到的静电力是多少?
(3)导体腔受到的静电力是多少?
请注意这些问题的陈述,在第一问中,我们想知道的是q和Q间的静电力,这时不需考虑导体空腔的内外表面上的感应电荷,于是有
2
0
4
1
r
qQ
F
qQ
πε
= (7.4.1)
F的方向取决于q和Q的带电性质,r是两个点电荷间的距离,
再来看第二个问题,这时需要考虑导体上的感应电荷对q的影响,我们分别用S和S’来表示导体空腔的内外表面,用和表示内外表面上的感应电荷,那么q受到的静电力可以定性地表示为
1
q
2
q
21
qqqqqQq
FFFF ++= (7.4.2)
让我们逐项考虑上式,是腔内感应电荷与q的相互作用,暂且不去管它; 下面我们来关注,即腔外的点电荷Q与腔的外表面上的感应电荷对q的影响,从唯一性原理的观点来讨论,
1
qq
F
2
qqqQ
FF +
2
q
既然我们关心的是,则暂不需要考虑,注意到
2
qqqQ
FF +
1
qq
F ( )
22
qqqQqqqQ
q EEFF +=+
q
,故这一问题可以转而表述为,空间中存在电荷Q和,且电荷所在的表面是一个等势面,那么在点电荷处的电场是多少? 既然考虑的是电场强度,q就被视作检验电荷,甚至视之为不存在,请注意另一个重要的事实,即点电荷q所在
2
q
2
q
位置(仅仅是所处的位置,在我们考虑该位置处的电场强度时,点电荷q是没有的)处于一个闭合的等势面的内部,那么这个所谓的内部中的电势的分布应该如何呢?
42 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
由唯一性定理可以立即得出结论,其中的电势为常数,这是因为,如果其中的电势有变化,那么必有电力线,而电力线必然从等势面上的某一点出发并中止于等势面上的另外一点(如图7-18),这显然违反等势面的定义,
图7-18
我们重申一遍唯一性定理在这一问题中的作用,在不考虑其内表面的影响时,由导体的外表面围成的空间中的电势分布取决于该空间中的电荷分布和边界条件,这正是唯一性定理的内容,而该空间中没有电荷,边界又是等势面,于是Poisson方程(7.3.10)转化为下面的简单的Laplace方程
()
()
=
=?
′
è
S
U
U
r
r 0
2
显然满足该方程,唯一性定理告诉我们,解是唯一的,那么就可以说,当闭合等势面内没有电荷è
=U
第七章 静电场与物质的相互作用 43
分布时,其中的电势为常数,
通过上面的考虑,我们有
( ) 0
22
=+=+
qqqQqqqQ
q EEFF (7.4.4)
这个结论告诉我们,金属球壳外部的电荷以及外表面上的感应电荷对球壳内部的电荷不会产生静电力,
当然它们会影响球壳内部的电势的相对大小,如果你将金属球壳接地,那么就彻底隔绝了来自球壳外部的影响,回到(7.4.2),最终有
1
qqq
FF = (7.4.5)
换句话说,q受到的静电力仅仅来自于金属球壳内表面上的感应电荷,这样我们就回答了问题(2),
上面讨论中提到的球壳外表面的电荷可以更具体地表示为
2
q =Q在球壳外表面上产生的感应电荷+q在球壳外表面上产生的感应电荷
(甚至)+导体球壳自身所带电荷中分布在外表面的部分
另外,仿照上面的分析,我们容易得到另一个类似的结论,
( ) 0
11
=+=+
QqQqQqQq
Q EEFF (7.4.6)
即球壳内的点电荷q以及内表面上的感应电荷对球壳外的点电荷的影响为零,
1
q
现在考虑第三个问题,即导体球壳所受的静电力f,显然
44 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
qqqqQqQq
1212
FFFFf +++= (7.4.7)
下标表示受到的来自Q的静电力,其它的下标与此类似,注意到,由(7.4.4)和(7.4.6)两式,
有
Qq
2 2
q
QqqQ
FF?=
0
12
=+
Qqqq
FF
也就是
0
12
=+
Qqqq
FF (7.4.8)
将上式代入(7.4.7)式,有
qqQq
12
FFf += (7.4.8)
这便是我们求得的金属空腔所受到的静电力
7.4.2 镜像法
让我们通过一个具体的例子来介绍镜像法
如图7-19所示,有一块水平放置的无穷大的接地金属板,板的上方有一点电荷q,q与平板的垂直距离为h,那么平板的上半空间的电势分布是怎样的呢? 显然,平板的上半空间的电势来源于点电荷以及金属板上感应电荷产生的电势的叠加,
第七章 静电场与物质的相互作用 45
但是,感应电荷在金属板上的分布不是均匀的,我们难以知道其面密度的确切形式,也难以计算由此形成的电势,下面让我们换一个角度,从唯一性定理出发来讨论该问题,
唯一性定理告诉我们,空间的电势分布取决于空间的电荷分布和边界条件,在金属板的上半空间中仅有一个点电荷q,
而边界条件可以这样来描述,由于金属板接地,故其电势为零,设金属板所在平面为x-y平面,那么相应的边界条件可以写为0
0
=
=z
U,至于无穷远处电势为零这一基本要求则要有更为具体的理解,我们假设金属板是无限大的,是为了较简单地描述这一问题,而实际上并不存在真正的无限大的平板,也就是说无限大的说法是数学上的而不是物理上的,我们又设定金属板接地,于是整个x-y平面的电势均为零,这时我们可以认为在上半空间的无穷远处的电势确为零,若金属板没有接地,
那么平板的整个x-y平面是一个等势面且电势不一定为零,无穷远处的电势也不一定为零,看起来有违基本的物理要求,这一悖论来自于我们在具体的物理问题中引入了抽象的数学的概念,后者能简化我们的讨论,但同时也带来了一系列与无穷有关的困境——不论是无穷大还是无穷小,所以,对于真实的物理问题,我们总可以说无穷远处的电势为零,
图7-19
46 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
重新回到唯一性定理的讨论上,着重考虑边界条件,我们已经知道,边界条件可以用电势来描述,即0
0
=
=z
U,换句话说,只要这一条件满足,平板上方的电势分布就唯一地确定了,于是我们可以有意识地构造一种情形,使得x-y平面上的电势为零,达到这一目的是很容易的,可以在金属板的下半空间放置一个点电荷,其带电量为-q,其位置与点电荷q关于金属板对称,即在金属板下方h处,然后,我们就可以把那个接地的金属板拿走,这时,x-y平面上的电势一定为零,边界条件自然满足,上半空间任意一点的电势可以表示为
′
+=
r
q
r
q
U
0
4
1
πε
(4.8.9)
这就是我们提出的问题的答案,点电荷-q就是所谓的像电荷,通过增设像电荷来满足边界条件可以使问题变得简单而形象,这就是镜像法,
有一点值得注意,在这里我们关注的是金属板的上半空间,而像电荷-q处于金属板的下半空间,也就是说,我们增设的像电荷并没有改变原有的电荷分布,其作用仅仅相当于取代了接地的金属板,这一点是我们在运用镜像法解题时要仔细考虑的地方,
想必同学们已经看到,在这一节中的内容只涉及到导体,我们并没有提及电介质,之所以这么做是因为用导体这一例子已足够说明唯一性定理的原理及应用,其叙述过程也是简单而明确的,不过我们要指出的是,唯一性定理当然适用于有介质的情形,只是分析起来要麻烦一些,在电动力学里面对此会有详细的讨论,在此我们姑且略去,
§7-5 带电体系的静电能与电场的势能
前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为,进一步的分析自然少不了有关能量的讨
第七章 静电场与物质的相互作用 47
论,在本节中,我们从较简单的点电荷系统开始分析,然后过渡到连续电荷分布的情形中去,
7.5.1 点电荷系统的静电能
我们从最简单的情形开始分析,我们知道,在一定的电场中,若一个点电荷q所在位置处的电势为
U,那么就可以说这个点电荷具有电势能,这一点和我们熟知的重力势能很相象,现在我们可以把电场说得更具体一些,最简单的,设这个电场是由另一个点电荷Q产生的,于是点电荷q具有的电势能可以写作
qUW =
r
qQ
W
0
4
1
πε
= (7.5.1)
这里我们讨论的是在真空中的情形,所以介电常数是,r是q和Q的距离,同样地,上式也表示了Q
在q的电场中的电势能,于是我们可以说,由Q和q组成静电体系具有的静电能由(7.5.1)式给出,
0
ε
可以将(7.5.1)式改写为
+=
r
Qq
r
qQ
W
00
4
1
4
1
2
1
πεπε
对上式的解释是,我们不但考虑了在Q形成的电场中q所具有的电势能,而且还考虑了在q形成的电场中Q所具有的电势能,但是对于整个静电系统而言,其静电能只能由其中一项给出,所以要对上式
48 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
右端的和乘以1/2,我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统,
设想空间中有多个点电荷,其带电量用表示,相应的位置用表示,任意两个点电荷间的距离可以由
i
q
i
r
jiijij
r rrr?==给出,我们来计算整个静电体系的静电能
我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N个点电荷组成的静电体系的静电能,当只有两个点电荷和时,静电能为
1
q
2
q
12
21
0
4
1
r
qq
W
πε
=
现在引入第三个点电荷,那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上与及之间的静电能,
即
3
q
3
q
1
q
2
q
++=
23
32
013
31
012
21
0
4
1
4
1
4
1
r
qq
r
qq
r
qq
W
πεπεπε
括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变,接着引入第四个点电荷,有
+++
++=
34
43
024
42
014
41
0
23
32
013
31
012
21
0
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
W
πεπεπε
πεπεπε
第七章 静电场与物质的相互作用 49
同样地,第二个括号里的项对应于第四个点电荷的引入所带来的静电能的变化,
重复以上过程,我们容易得到由N个点电荷组成的静电系统的静电能为
∑∑
≠
<
=
==
+
+++
++=
N
ji ij
ji
N
ji
ji ij
ji
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
r
qq
W
01,0
34
43
024
42
014
41
0
23
32
013
31
012
21
0
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
πεπε
πεπεπε
πεπεπε
L (7.5.2)
上式即为我们要求的结果,其最后一项表明对所有的满足的下标求和,我们可以对上述结果作进一步的分析,注意到对于某个特定的i,
ji ≠
∑
≠
N
ij ij
j
r
q
0
4
1
πε
就是除了电荷i以外的所有点电荷在电荷i处形成电势,令
∑
≠
=
N
ij ij
j
i
r
q
U
0
4
1
πε
(7.5.3)
则(7.5.2)式可以改写为
∑
=
N
i
ii
UqW
2
1
(7.5.4)
50 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
7.5.2 连续电荷分布的静电能
以上我们讨论的是点电荷体系的静电能,可以很容易地将已有结论推广至连续分布的静电系统,首先我们设想一个有限大小的带电体(如图7-20),其电荷密度为),那么如果在该带电体内部且位置为r
处的电势可以用来表示
(rρ
()rU当然,所谓,是指在位置r处的电势,而位置r处的电荷对是没有贡献的
()rU ()rU
则这一带电体所具有的静电能可以表示为
()()
∫
=
V
vUW d
2
1
rrρ (7.5.5)
上式中V表示整个带电体的体积,实际上,(7.5.5)式是(7.5.4)式的直接推广,是由离散的电荷分布过渡到连续的电荷分布,在表示上由求和过渡到积分,
第七章 静电场与物质的相互作用 51
图7-20
(7.5.5)式确实能够从物理概念上解释静电能的意义,静电系统的每一部分所具有的电势能的总和,但是,在实际问题中,直接利用(7.5.5)式求解静电能是很不易的,只是因为计算各点的是件很麻烦的工作,我们不妨从另一个角度考虑静电能,对于一个有限体积的带电体,我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质,那么可以说,这一带电体之所以能够结合在一起,是需要外力维持的,我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限大小的带电体,开始的时候,所有的电荷都位于无穷远处,我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓慢地移动到指定的位置,那么,在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受到的静电力想必是大小相等而方向相反的,我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量,不断地重复这一过程,直到最终组成我们所要的有限大小的带电体,在整个过程中,我们所作的功就是静电体系的静电能,这样,从功能原理的角度我们重新解释了静电能,下面通过一个简单的例子来说明这一过程,
()rU
52 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
图7-21
我们来计算一个半径为R的均匀带电球体的电势能,如果按照公式(7.5.5)的要求,则要计算球体内每一点处的电势,这将是一个难以完成的任务.现在让我们从功能原理的角度考虑这个问题,如图7-21所示,为了构造一个半径为R的带电球体,
我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当的位置,并组成球形,假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形下,
即已经有了一个半径为r的带电球体,接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷,并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上,
我们每次搬运的电荷都是很少的,设电荷密度为,那么每次搬运的电荷量可以表示为,而球表面的电势为ρ rr d4
2
ρπ
r
r
2
0
3
4
4
1
πρ
πε
,无穷远处的电势为零,故在某一次的搬运过程中我们所作的功即为电量为的电荷的电势能的改变,它就是
rr d4
2
ρπ
第七章 静电场与物质的相互作用 53
rr
r
r
d4
3
4
4
1
2
3
0
πρ
πρ
πε
最后我们要组成半径为R的带电球,于是该球体的电势能就是对上式的积分,即
()
52
2
0
0
2
3
0
5
1
3
4
4
1
d4
3
4
4
1
R
rr
r
r
W
R
ρ
π
πε
πρ
πρ
πε
=
=
∫
可以将电荷密度表示为ρ
3
3
4
R
Q
π
,这里Q是这个球体的带电量,于是上式又可以写作
R
Q
W
2
0
4
1
5
3
πε
= (7.5.6)
这便是半径为R带电量为Q的均匀球体的静电能,由于同种电荷是彼此排斥的,所以这一能量可以理解为维持这样的带电系统保持平衡所需要能量,设想另外一种情形引力,若有一个半径为R,质量为M的均匀球体,由于万有引力,其各部分是彼此吸引的,那么如果我们想击碎这一球体,需要多少能量才行呢?
54 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
结合上面的过程,不难想象,所需能量为
R
M
G
2
5
3
,其中G是万有引力常数,大家可以对这一结果稍加分析,
下面我们来比较一下这样一些概念,静电能相互作用能自能,在不少教科书及参考书中这些概念经常出现,首先要重申,点电荷这一概念是数学上的抽象而不是物理上的实在,当用点电荷这一概念讨论物理问题时,我们不再关注已经被抽象成点的电荷的大小形状及内部结构,转而关注这些点电荷对自身以外的空间或其它电荷的影响,于是,对于由点电荷组成的静电系统,所谓的静电能就只能是各个点电荷之间的相互作用能,回顾(7.5.3)式和(7.5.4)式的推导,可以容易看出这一点,对于那些有具体形状或大小的连续电荷分布,整体上的静电能可以分为自能和相互作用能两部分,让我们对此稍作分析,上面我们计算了一个均匀带电球体的静电能,这个带电球体当然是一种连续的电荷分布,而且空间中除了这个带电球体外再没有别的带电体,这时我们可以说,这个带电球所具有的静电能就是其自身的自能,再设想另有一个带电球体,那么,由这两个带电体组成的静电体系的总的静电能应该表示为,
总的静电能=带电球1的自能+带电球2的自能+两个带电球间的相互作用能
其中相互作用能的计算是这样的,把带电球1设想为源,它将在空间形成一定的电场,而带电球2位于该电场中,那么带电球2所具有的电势能便是二者间的相互作用能; 当然,你也可以将球2设想为源,
计算球1在带电球2形成电场中的电势能即可,二者只取其一,是不能相加的,
第七章 静电场与物质的相互作用 55
上面讨论的是没有电介质的空间,即真空中的情形,如果有电介质存在,那么静电能又会怎样呢? 先考虑简单的情形,
空间中充满一种均匀极化的电介质,设其相对介电常数为,而这一空间中只有两个点电荷,,那么容易得到该体系的静电能为
r
ε
1
q
2
q
()
2211
2211
21
0
2
1
4
1
UqUq
UqUq
r
qq
W
r
+=
==
=
επε
(7.5.7)
由此可以推广到任意多个点电荷组成的系统的静电能,其形式与(7.5.4)是一致,只是在计算是要注意考虑相应的介电常数,
i
U
对于稍微复杂的情形,即空间中分布着不同的电介质,我们总可以不顾电介质的存在而得到空间各点的电位移矢量; 假设介质在空间的各个点是均匀极化的,但不同点处的介电常数可以不同,则有,这里是绝对介电常数,且与空间的位置有关,由此得到各点的场强,再由得到空间各处的电势,于是电势能可以表示为
()rD () ()()rErrD ε= ()rε
U=E
()()vUW
V
free
d
2
1
∫
= rrρ (7.5.8)
上式的电荷密度是针对自由电荷而言的,因为我们在计算电位移矢量时只涉及到自由电荷,积分区域V
可以是自由电荷所在的区域,也可以是全空间,对于后者,只要将不存在自由电荷的空间区域的自由电
56 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
荷密度当作零就可以了,可以看出,(7.5.8)式与(7.5.5)式在形式上是相似的
7.5.3 电场能量与能量密度
有了上面的讨论,我们来看看静电场能量的一般表述,由(7.5.8)式,我们有
()()
()
∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫
∞
∞∞→
∞∞
=
+?=
=
=
v
vU
vUvU
vUW
S
V
d
2
1
d
2
1
d
2
1
d
2
1
d
2
1
d
2
1
ED
EDsD
DD
rD
(7.5.9)
在上面的推导中,我们用到了关于微分算子的一些基本定理,而且,我们也用到了在无穷远处电势为零这一边界条件,其中出现的无穷大符号表明全空间的体积,由(7.5.9)式可以看出,静电场的能量密度为
ED?=
2
1
w (7.5.10)
也就是说,静电场的静电能可以表示为,从上面的讨论中可以看出,静电能储存在电场中,虽然
∫
∞
= vwW d
第七章 静电场与物质的相互作用 57
我们是从电荷的带电量和电势的角度出发的,但结果显示,能量和电场有着不可分割的联系,这也从另一方面说明电场的物质性及客观上的存在性,
在一些特殊的情形下,(7.5.10)式可以写成更为简洁的形式,例如,对于真空中的静电场,我们有,于是该式变为
ED
0
ε=
2
0
2
1
Ew ε= ; 在均匀的各向同性的介质中,有,故静电能的能量密度为ED ε=
2
2
1
Ew ε=,
我们可以利用静电能得到静电场中的静电力,分两种情形讨论,
1
带电体的电量不变,
2
带电体的电势不变,
对于处在稳定状态下的带电系统,其静电能应该为最小值,此时,如果设想给该系统施加一个很小的外力,而且带电系统在这一外力的作用下有一小位移,那么在情形
ext
F
rδ
1
中,外力做的功为,并且外力做的功应该等于体系静电能的增量; 另一方面,我们设想的外力对系统的作用是准静态的,所以外力与静电力是一对平衡力,即
,于是有
rF δ?
ext
Wδ
ele
F
eleext
FF?=
W
eleext
δδδ ==? rFrF
另一方面,我们又知道,所以得到 rδδ= WW
W
ele
=F (7.5.11)
上述结果即是我们熟知的保守力场中的势能与保守力的关系,可以把该结果推广到多个带电体的情
58 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
形,设若干个带电体组成静电体系,每个带电体的带电量是不变的,那么,第i个带电体所受的静电力可以表示为
W
i
i
ele
=F
这里W是整个体系的静电能,表示对第i个带电体的坐标求梯度,
i
再来计算情形
2
中带电体受到的静电力,同样地,我们假设有一个外力作用于带电体,而外力做的功仍然等于体系的静电能的增量,即,但是,在该种情形下,即使外力的作用过程仍然是准静态的,外力的大小也不再等于带电体所受的静电力的大小,这是因为我们在当前情形下要求带电体的电势能是不变的,故外力的介入将导致带电体的带电量的改变,所以外力做的功应该写成下面的形式
ext
F
W
ext
δδ =? rF
ele
F
ext
F
WqU
eleext
δδδδ =?+=? rFrF
其中可以类比于电池搬运电荷的能力,注意到qU δ? qUW
2
1
=,且U在整个过程中是不变的,我们有
()UqqUqU
ele
δδδδ
2
1
2
1
=
=?+ rF
即
() WUq
ele
δδδ ==?
2
1
rF
第七章 静电场与物质的相互作用 59
最终,我们有
W
ele
=F (7.5.12)
和(7.5.11)相比,上式有一个符号的差别,在具体的问题中应注意这两个公式的不同,同样地我们可以推广至多个带电体的情形
W
i
i
ele
=F
小结
本章中,我们讨论了电介质的一些特性,引入了与电极化现象有关的一些物理概念,例如,极化率
极化强度矢量等等,在此基础上考虑电位移矢量,给出了有介质存在的情形下静电场的基本定律,而静电场的唯一性定理能帮助我们求解静电场的基本问题,最后我们所得到的电场能量的表达式说明能量储存在电场中
第七章 静电场与物质的相互作用
物质的导电性涉及其微观结构,粗略地说,我们可以将物质划分为导体和绝缘体(或称之为电介质),
导体的特征是具有大量自由电子,而电介质则相反,其中的电子作绕核运动而不易有自由运动我们也可以从能量的观点来说明,构成导体的原子的能级通常有不满的壳层,例如,,当形成晶体的时候,将存在能带,在导体中存在一个满带,一个禁带和一个导带,而在绝缘体中,禁带较宽而导带是空的
spssNa 3221:
622
11
至于半导体,它也有一个空的导带,但是它的禁带较窄,这就带来了可变的电导,出现热激发也是可能的
在以前的章节中我们已经得到了很多有关真空中电磁场的一些结论,在本章中我们着重讨论电介质在静电场中的一些行为,在这个意义上,本章的标题中的物质已是一个太大的集合,而我们在这里只关注电介质这一子集
2 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
§7-1 电介质与极化强度矢量P
7.1.1 电介质及其极化的解释
电介质的一些实例,纸张空气熔石英琥珀云母等等,其特性为电绝缘性,从微观层次上说,该类物质中的电子绕核运动而不是自由运动.下面我们从微观角度作一些相对简单的讨论,
考虑电介质中的某个原子或分子,一般情形下它当然是电中性的,其正电荷来自于一个或多个原子核,而负电荷则对应于核外运动的电子,我们可以设想一个正电荷中心和一个负电荷中心,如果正负电荷中心不重合(这涉及到有无外电场,
我们将在下面详细讨论),就相当于一个电偶极子,由此将会产生电偶极矩,实际上,这一微观层次上的电偶极矩将直接导致宏观上的极化强度,
考虑单位体积的电介质,我们有电偶极矩密度——极化强度(polarization)的定义,
)(
p
p
P n
V
==
∑
d
d
,(7.1.1)
其中n是电偶极子密度,p是每个偶极子的平均偶极矩,
电介质分为三类,极性电介质非极性电介质和铁电体,
极性电介质(polar dielectric)的分子具有永久的电偶极矩,也就是说,即使在没有外加电场的情况下,它们的正负电荷中心也不重合,例如,
电介质分子 电偶极矩( ) mC?
H
2
O
30
1003.6
×
第七章 静电场与物质的相互作用 3
CO
30
1000.4
×
HCl
30
1043.3
×
在没有外加电场时,各个电偶极子的方向是随机的,于是整个电介质不表现出电极化现象,在外电场中,
电偶极子的方向将尽可能地趋向与电场方向一致,这将在整体上有所体现,
我们知道,一个具有偶极矩的电偶极子在外电场E中具有的势能与两者间的夹角是密切相关的,即
0
p
CEpCU +?=+= θcos
00
Ep (C为常数) (7.1.2)
由于分子的热运动以及由此引起的分子间的碰撞,每个偶极子的方向并不一定是和电场方向完全一致的,
偶极矩的方向在空间中呈现一定的分布,根据统计物理学的基本原理,在温度为T时,电场中的偶极子具有某个势能的几率正比于
Tk
U
B
e
,这里为玻耳兹曼常数,这种几率分布就是所谓的波耳兹曼分布,
B
k
4 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
选择外电场的方向为参考方向,设,则平均偶极矩为 kE
E=
=
∫
∫
d
d
0
TkU
TkU
B
B
e
ep
p (7.1.3)
其中为立体角,如上图所示,,显然的x分量和y分量的平均值均为零,于是(7.1.3)式变为?d
0
p
θθπ
θθθπ
dsin2
dcossin2
0
∫
∫
=
TkU
TkU
B
B
e
e
pkp,(7.1.4)
将U的表达式(7.1.2)代入上式,令TkEp
B0
≡η有
=
=
∫
η
η
η
η
1
coth
dln
1
10
kk
p
ye
p
y
,(7.1.5)
第七章 静电场与物质的相互作用 5
括号中的函数称之为朗之万函数(Langevin function),其函数曲线如图7-1所示,在通常的温度下,1<<η,
可以近似地认为曲线呈线性关系,于是有
kp
3
1
0
Tk
pE
p
B
=,(7.1.6)
0.8
0.6
0.4
0.2
8642
图7.1朗之万函数可以看出,对于单个电偶极子,其平均值的大小取决于它在外电场中的势能与热运动能量之比,热运动使偶极子的方向趋于混乱; 而电场则使各个偶极子的方向尽量一致,考虑到极化强度的定义(7.1.1)式,我们通常写,
EP
0
χε=,(7.1.7)
6 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
其中称作极化率(susceptibility),具体的形式为 χ
kT
np
0
2
3
0
ε
χ =
以上是有关极性电介质的讨论,我们得到了电场E与极化强度矢量P的线性关系,即(7.1.7)式,这里我们采用了标量的表示,意味着我们假定E与P的方向是一致的,要注意的是,对于某些各向异性的电介质,E与P的关系不一定是线性的,
二者的方向也不一定一致,下面我们讨论非极性电介质,同样地,我们的讨论是针对各向同性的物质而言,
非极性电介质(non-polar dielectric)分子没有永久性电偶极矩,例如氧氮等等,在没有外加电场的情形下该种分子的正负电荷中心是重合的,整体上没有电极化现象,引入外电场后,正负电荷中心发生分离,产生所谓的诱导电偶极矩,或是感应电偶极矩,其形式可以表示为
local
Ep α=
其中的称为局部电场,也被叫作有效电场,指的是单个分子所感受到的电场,我们将在
local
E下面对此稍加讨论,这里只给出直观的解释,那就是,外电场越大,正负电荷中心的分离就越大,电偶极矩就越大,所以有
Ep∝ (7.1.8)
这与(7.1.6)式有类似之处,同样地我们可以用(7.1.7)式表示该种情形下的电极化强度矢量P与外电场E的关系,只不过这时极化率的具体形式有所不同而已,以后,在一般情形下,我们就用该公式描述均匀的χ
第七章 静电场与物质的相互作用 7
线性极化的介质中P与E的关系,对于不同的介质,极化率是不同的,显然,对于真空,,0=χ
铁电体(ferroelectric)有自发的电极化强度,就是说即使没有外场,该种物质本身也会有电极化强度,钛酸钡(BaTiO
3
)就是一例,
7.1.2 P与极化电荷的关系
我们已经知道,电介质置于电场中,其分子的正负电荷中心将沿电场方向有所偏离,可以想象,如果电介质是均匀的,那么物质内部不会有净的极化电荷,但是在介质表面将会产生极化面电荷,
实际上,法拉第发现,如果在电容器的两极板间插入电介质(如云母)而同时保持电势差不变,则极板上的电荷将变大,
由此可以推知此时电容也有所增大,
1
00
≥≡=
r
dd
q
q
C
C
ε (7.1.9)
上式中的下标d表示电容器极板间有电介质存在时的情形,另一方面,如果保持电荷不变而插入电介质,
则会发现两极板间的电势差减小,
1
0
0
≥==
d
r
d
V
V
C
C
ε (7.1.10)
于是我们可以根据电介质的插入给电容器带来的某些变化来考察该电介质的宏观的电极化现象,以上两
8 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
式中出现的为相对介电常数,是一个无量纲量,而对于平板电容器而言,此时电容可以表示为
r
ε
d
A
d
A
CC
rrd
εε
εε ≡==
0
0
(7.1.11)
其中A为电容器的极板的面积,d为两板的间距,式中出现的称为绝对介电常数,虽然可以通过实验测得某种电介质的或,但是我们还是希望知道其进一步的物理意义,具体地说就是与极化强度矢量的联系,为此我们继续考虑电容器中的电介质这一简单模型,并且假设电介质布满电容器极板间的整个空间,而且,假设在电场中介质里的每一个偶极子的极化方向都沿着电场方向,即,这样的话,极化强度矢量可以简单地表示为,其中n为单位体积内的偶极子数目,q为偶极子中的正的或负的电荷的电量的绝对值,l为由负电荷指向正电荷的方向矢量,
r
εεε
0
=
r
ε ε
Ep //
lpP nqn ==
图7-2
第七章 静电场与物质的相互作用 9
将电介质置于电场中,介质表面将出现正的或负的极化电荷,在如图7-2所示情形下,由于电场的作用,与电容器的负极板相邻的介质表面上将出现正的极化电荷,在面积为A的介质表面上会有厚度为l的正的极化电荷,于是我们可以得到极化电荷的面密度,
nqlAnqAl
p
==σ (7.1.12)
注意这里我们假设每个电偶极子的方向都是与电场方向一致的,容易看出,上式中的ql就是每个偶极子的电偶极矩的大小,而n不过时单位体积内偶极子的个数,于是(7.1.12)式又可写作
P=== Pnp
p
σ (7.1.13)
这样我们看到了极化面电荷密度与极化强度矢量的关系,这里我们计算的是正的极化电荷的面密度,在介质的另一面出现的极化电荷将是负的,
将关于平板电容器的讨论继续下去,设平板电容器的带正电的极板上的自由电荷的面密度为,若极板间没有介质,
则其间的电场强度的大小为
σ
00
εσ=E,若在极板间置以电介质,则正极板附近的介质表面上的极化电荷是负的,于是
,可以想象,此时电容器极板间的场强要减小,设此时的场强的大小为E,由P
p
=σ (7.1.13)和(7.1.7)式,我们可以得到
0
0
00
ε
χεσ
ε
σ
ε
σσ
EP
E
p
=
=
+
=
从中解出
10 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
χχε
σ
+
=
+
=
1
1
1
1
0
0
EE
另一方面,当极板间不存在介质时,其间的电势差为; 置入介质时,电势差变为dEV
00
=
χχ +
=
+
==
11
1
0
0
V
dEEdV
d
,与(7.1.10)比较,有
χε +=1
r
(7.1.14)
这便是极化率与相对介电常数的关系,
图7-3
第七章 静电场与物质的相互作用 11
以上我们考虑的是平板电容器中的电介质这一简单而特殊的情形,对于任意形状的电介质,也有类似的结论,考虑如图7-3所示的介质表面的一个局部区域,其表面的法向方向用表示,电场E与极化强度矢量P的方向一致且与的夹角为θ,于是介质表面的单位面积上积聚了极化电荷,其电量为
n? n?
() () nP?coscos?== θθ nqlSlSnq
这里我们相当于计算了一个倾斜的柱体内的极化电荷的电量,该倾斜柱体的体积正是上式中的,一般地,我们有,极化电荷的面密度可以表示为
() θcoslS?
nP=
p
σ (7.1.15)
这里当然是指介质表面某处的法向方向,对于我们上面讨论过的电容器里的电介质,P和的方向是相同的,所以(7.1.15)式就简化为
n? n?
(7.1.13)式,
现在我们已经知道了介质表面极化电荷面密度的一般表达式(7.1.15),这里要注意到极化电荷的正负由P和的夹角来确定,很自然地,我们还希望知道介质内部有无极化电荷,
n?
图 7-4
一个直观的想象是,如果介质是均匀极化的,即极化强度矢量在介质内部的每一点都是大小相同且方向一致,那么就不会有净的极化电荷,而在一般情形下,可以作如下设想,如图7-4所示,在介质内部设想一个闭合曲面S,其内部体积V
12 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
在没有外电场时应该时电中性的,引入外电场E后,自然会有极化强度矢量P,我们姑且假设不同点的P可能会有大小或方向的不同,由电荷守恒可知,体积V内产生的极化电荷与穿过曲面S进出该体积的极化电荷的总和为零,于是有,
p
Q?
0d? =?+?
∫∫
S
p
sQ nP
这里我们借助了(7.1.14)式来计算穿过曲面的极化电荷,如果我们把介质内部产生极化电荷的密度(注意这里的电荷密度是体密度)用表示,则上式可以改写为
p
ρ
0d?d =?+
∫∫∫∫∫
SV
p
sV nPρ
应用Gauss定理后有
P=
p
ρ (7.1.16)
上式便是介质内部极化电荷的体密度与极化强度矢量的关系,显然,若介质是均匀极化的,则P的散度为零,介质内部不存在极化电荷,与我们的直观想象是一致的,
例 一个半径为a均匀极化的介质球,其电极化强度为P,该介质球置于空气中,球心处的电场强度是多少?
第七章 静电场与物质的相互作用 13
图7-5
如图7-5所示,设极化强度矢量P沿z方向,在介质球内部各点处P是相同的,球表面的极化电荷面电荷密度为,由对称性可知球心处的电场沿-z方向,其大小为
θcos? P=?nP
()()()
P
Pa
a
E
0
2
0
2
0
2
0
3
1
coscossindd
1
4
1
ε
θθθ?θ
πε
ππ
=
=
∫∫
(7.1.17)
结果中的负号表明球心处的电场方向与极化强度矢量的方向相反,这里我们计算的是球心处的场强,实际上在整个介质球内部由极化电荷产生的场强是均匀的,其大小正是
0
3εP,这一结果将在下面有所应用,
14 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
7.1.3 非极性电介质的进一步讨论
现在让我们对非极性电介质的极化现象作进一步的讨论,
图7-6
首先我们引入退极化场的概念,在如图7-6所示的情形中,外电场为,在介质表面将产生极化面电荷,而这一极化面电荷要在介质内部产生电场,设该电场为,显然的方向与是相反的,那么介质内部的总的电场应该比小,于是我们把由极化面电荷产生的电场称为退极化场,在这里我们不加证明地指出,在均匀极化的介质内部,退极化场与介质的具体形状有关,例如,对于均匀的球形介质,其内部的退极化场为
0
E
1
E
0
E
1
E
0
E
1
E
PE
0
1
1
ε3
=,这与上面的例题里的结论是一致的,
再来考虑非极性分子的极化,我们已经知道,该类分子之所以在外电场中表现出极化现象,其原因在于每个分子的正负电荷中心由于外电场的作用而发生分离,从而形成一个个电偶极子,然而通过对退极化场的讨论我们又知道,介质内部
第七章 静电场与物质的相互作用 15
的电场并不等于外电场,那么,若要进行更为深入的讨论,我们应当关注介质内部的每一个分子所感受到的电场,我们姑且称之为局部电场,
一个值得注意的事实是
局部电场介质内部的电场 ≠ ()()| ??è?
10
EE +≡
只是因为,根据上面对局部电场的定义,当讨论某个特定的分子(在外电场中相当于偶极子)附近的局部电场时,我们当然不能把该偶极子产生的电场计算在内,换言之,这时我们应当把这一偶极子当作一种检验类型的东西来看待; 另一方面,所谓介质内部的电场是外场与所有偶极子的产生的电场的矢量叠加,
而后者实际上是极化面电荷产生的电场(对于均匀极化的介质,其内部的极化电荷为零,即(7.1.16)式),
图7-7
16 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
为了考察介质内部某个偶极子所感受到的局部电场,我们设想,在介质中挖去一个以该偶极子为中心的小球体(如图
7-7),于是在这个特定的偶极子的附近形成一个空腔,我们有
局部电场的场强
=均匀的介质小球中的偶极子在球心处产生的场强+
含有空腔的介质体在空腔中心处产生的场强
有些细节需要注意,在这里我们人为地构造空腔是为了排除某个特定的偶极子,该空腔的体积虽然很小,
但仍然具有宏观意义,也就是说,我们假设的那个被挖去的小介质球中确实包括很多其他的偶极子,这一部分偶极子在球心处产生的场强就是上述说法中的第一项; 另一方面,当一个小介质球被挖去而就此形成空腔时,介质中所固有的极化强度矢量便会导致在空腔内壁上形成极化电荷,其分布在图中已有示意,将各种因素统一考虑,我们可以将上述说法写成更为明确的形式,
3210
EEEEE +++=
local
(7.1.18)
其中
=
0
E外场
=
1
E介质的外表面上的极化电荷在介质内部形成的退极化场
=
2
E空腔内壁上面极化电荷在其中心处形成的电场
=
3
E被挖去的小介质球中的偶极子在球心处形成的电场
第七章 静电场与物质的相互作用 17
2
E又被称为Lorentz空腔场,参考上面讨论过例题并注意极化电荷分布,我们容易知道的大小为
2
E
0
3εP,
其方向与外场的方向一致,当然也就是极化强度的方向,至于,由对称性可知,球心处的电场为零,
即,于是有
0
E
3
E
0
3
=E
PEEE
0
10
3
1
ε
++=
local
(7.1.19)
这里我们没有将退极化场的具体形式表示出来,这是因为在前面我们说过,退极化场与介质体的形状有关,对于球状介质,有
1
E
(7.1.17),即PE
0
1
3
1
ε
=,此时,这是最简单的情形,而在一般情形下,我们宁愿将局部电场写作
0=
local
E
PEPEEE
00
10
3
1
3
1
εε
+=++=
local
(7.1.20)
这里E便是介质内部的电场强度,
有了局部电场的形式,我们就可以了解非极性电介质中的一个分子或原子在外场中的行为,显然,该种分子或原子将在局部电场的作用下变成一个偶极子,其偶极矩可以表示为
local
Ep α= (7.1.21)
这里我们采用了更为一般的表示,即认为偶极矩正比于局部电场,比例系数为,当然,较为简单的形式α
18 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
是,只是l的大小不易得到,lp q=
我们姑且忽略热运动的影响,假设介质中每个偶极子的方向都一致,可以得到单位体积内偶极矩的总和,即极化强度矢量P,即
+=== PEEpP
0
3
1
ε
αα nnn
local
(7.1.22)
这里n是单位体积内的偶极子的个数由此得到
EP
0
3
1
ε
α
α
n
n
= (7.1.23)
注意到(7.1.7)式,我们有极化率
αε
α
ε
ε
α
α
χ
n
n
n
n
=
=
00
0
3
31
3
1
(7.1.24)
再由极化率与相对介电常数的关系(7.1.14)式,有
()
()2
13
0
+
=
r
r
n
ε
εε
α (7.1.25)
我们可以对(7.1.25)稍加计算,
r
ε实际上是介质的折射率,对于水,折射率为1.33,单位体积内的分子数
第七章 静电场与物质的相互作用 19
为,将相应的数值代入(7.1.25)式,有
316
m103.3
×=n
=α
328
m1066.1
×
§7-2 电介质中静电场的基本定理
在上一节中我们了解了静电场中电介质的极化行为,简单地说,介质在整体上表现出来的极化现象来自于微观层次上的电偶极子,而极化电荷——不论是在介质表面的还是在介质内部的——与极化强度矢量有密切的联系,这反映在公式(7.1.15)和(7.1.16)中,那么极化电荷对电场有怎样的影响呢?
7.2.1 Gauss定理
图7-8
我们还是对平板电容器中的电介质这一简单的例子加以分析,实际上在推导(7.1.14)的过程中已经对
20 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
此有所涉及,平板电容器的形状是规则的,易于应用Gauss定理求解其中的电场,值得注意的是,此时我们不但要考虑极板上的自由电荷,而且还要计及电介质表面的极化电荷,取如图7-8所示的圆柱形的
Gauss面,设极板上的自由电荷密度为,介质表面的极化电荷面密度为,我们有σ
p
σ ()AEA
pf
σσ
ε
+=
0
1
,其中A为圆柱的底的面积,注意到(7.1.15)式和(7.1.7)式,有
()
fr
EEE
EEPE
σεεεεχ
χεεε
===+=
+=+
00
000
1
(7.2.1)
这里,就是前面说过的绝对介电常数,上式的结果告诉我们,当有介质存在时,虽然要考虑极化电荷的贡献,但是我们可以考虑介质的绝对介电常数而使最终结果只涉及极板上的自由电荷; 再者,我们可以引入另一个与电场有关的矢量——电位移矢量D,其定义如下
r
εεε
0
=
PED +=
0
ε (7.2.2)
于是(7.2.1)式就可以简单地写成,σ=D
这里我们考虑的是一个简单的特例,并引入了电位移矢量的定义,对于一般的情形,让我们考虑Gauss定理的微分形式
0
ε
ρ
= E (7.2.3)
第七章 静电场与物质的相互作用 21
在有介质存在时,上式中的应该包括自由电荷与极化电荷,即,注意这时我们考虑的电荷的体密度,由
ρ
polfree
ρρρ +=
(7.1.16)式,(7.2.3)式可以改写为
()
free
ρε =+ PE
0
结合电位移矢量的定义(7.2.2)式,我们有
free
ρ= D (7.2.4)
上式便是一般情形下的Gauss定理的微分形式,
有以下几点值得我们注意,
1
该公式具有一般性的意义,即对于任意电场和任意介质均成立;
2
由(7.2.4)式表示的Gauss定理只涉及自由电荷;
3
电位移矢量的定义是(7.2.2)式,对于线性极化的电介质,我们可以将P表示为(7.1.7)的形式,从而D可以写为
,但是对于那些非线性极化的电介质,EED εεε ==
r0
(7.1.7)并不成立,于是D不能有上述简单的表示,
有了Gauss定理的微分形式(7.2.4)式,我们接着给出其积分形式
∫∫∫
VQ
V
freefree
S
dd
∫∫
≡=? ρsD (7.2.5)
其中Q
free
表示闭合曲面S内的自由电荷的总量,把该公式应用于本小节一开始所讨论的平板电容器中的电介质,容易得到同样的结论,
22 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
图 7-9
再让我们看看有介质存在时的Coulomb定律,如果空间中充满同一种均匀的线性极化的电介质,则只要将真空情形下的Coulomb定律中的该作即可,实际上,在如图7-9所示的情形下,我们可以由Gauss定理
0
ε ε (7.2.5)式得到点电荷形成的电位移矢量
1
q
RD
4
q
π
=
3
1
R
,由D和E的关系容易得到电场强度的表示,于是之间的Coulomb力的大小为ED ε=
21
2
21
4
1
R
F
πε
=,但是,若空间中电介质的分布是不均匀的,则结论会有所不同,如图7-10所示,在计算间的静电作用力时需要考虑极化电荷的影响,
21
第七章 静电场与物质的相互作用 23
图7-10
7.2.2 环路定理
静电场的环路定理意在说明静电场是保守场或电场的无旋性,我们已经知道,在没有介质的静电场中,有,引入电介质后,当然会出现极化面电荷或极化体电荷,这些极化电荷都处于静止状态,
由它们所产生的电场与静止的自由电荷产生的电场并无本质的不同,它们同属于静电场,也同样遵从库仑定律,绝不是那种由变化的磁场产生的涡旋电场,所以我们可以认为,在有介质存在的情形下,由自由
0=×? E
24 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
电荷以及极化电荷共同形成的静电场仍然是保守场,满足下面的无旋性的要求
0=×? E (7.2.6)
一个自然的问题是 或者说?0=×? D?0d =×
∫
C
lD
0=D
如果整个空间充满(绝对)介电常数为的均匀的且线性极化的电介质,那么由可知,即在该种情形下电位移矢量也是无旋的,若空间中的介质分布不是均匀的,该结论就不一定成立,让我们考察一个简单的例子,
ε
ED ε= ×?
设空间由两种不同的电介质所填充,它们的介电常数分别为和,我们选择如图7-11所示的环路,作如下计算
1
ε
2
ε
()()
acca
cdaabc
cdaabcC
UUUU?+?=
×+×=
×+×=×
∫∫
∫∫∫
21
21
dd
ddd
εε
εε lElE
lDlDlD
第七章 静电场与物质的相互作用 25
图 7-11
一般情形下,上式不能为零,除非,即两种介质的分界面正好是等势面,这一结论也是容易理解的,
因为D的行为仅仅与自由电荷有关,另外,在上述计算中隐含了这样一个条件,在两种介质的分界面附近电势是连续的,这在考虑a
ca
UU =
c两点的电势时有所体现,这一条件将在下节得到证明
§7-3 边值关系与唯一性定理
边值关系又成为边界条件,它描述的是在一个特定的界面上某些物理量的固有性质,若空间中除了
26 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
点电荷外没有其它的具体的物质,如导体或电介质之类,那么我们遇到的与边界有关的一个设定就是,
在无穷远处电势为零,这将作为电场的一个基本条件被我们不断使用,除此以外再无别的边界,在有导体存在时,我们要求在静电平衡时导体内部的电场为零,在导体表面电场的方向垂直于该表面,或者说整个导体是一个等势体,这就是我们遇到的第一个非平庸的边界条件,
7.3.1 边值关系
实际上我们在讨论平板电容器中的电介质时已经隐含了有关结论,如图7-2所示,导体内部电场为零,
而导体于介质的接触面上的电场强度为εσ
f
,这说明电场在这一边界上是不连续的,下面我们考虑另一个稍微具有一般性的情形,电介质的周围是真空
第七章 静电场与物质的相互作用 27
图 7-12
如图7-12所示,介质的绝对介电常数为,真空中和介质内的电场强度ε电位移矢量极化强度矢量分别为和
,这些矢量的方向在图中没有画出,图中的环路C的上下两边以及闭合的圆柱曲面S的上下两底是非常接近于介质的表面的,
PDE,,
PDE ′′′,,
首先我们考虑E沿环路的积分,该环路上两条垂直于介质表面的路径很短,它们对积分的贡献可以略去,于是有
0ddd =×+×′=×
∫∫
cdabC
lElElE
∫
,而ab和cd的方向正相反,故电场在ab方向的分量应等于电场E在dc方向的分量E′
ab
E′
28 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
dc
E
t
E =
,即,由于这种小环路的选取是任意的,则我们可以有结论,在介质的表面,电场E的切向分量是连续的,即
,下标t表示切向方向,
dcab
EE =′
t
E′
∫∫
[]
E
其次,对于图中的闭合圆柱曲面S运用Gauss定理(7.2.5),注意到该曲面内没有自由电荷,且圆柱的侧面积很小,对积分的贡献可以略去,
0ddd
21
=?′+?=?
∫∫∫∫
SSS
sDsDsD
再注意到上下底的方向相反,其面积很小且接近于介质表面,故有
() 0=′+? AnDnD
这里A是圆柱的底面积,上式说明电位移矢量的法向分量连续,即,
nn
DD ′=
让我们把上面的讨论应用于更一般的情形,考虑两种不同的介质,其介电常数分别为,在这两种介质内部的电场强度
21
,εε
电位移矢量极化强度矢量分别为和,在界面上由介质1指向介质2的方向矢量为(如图7-12),
在这里我们考虑更一般的情形,设想在介质的分界面上有一定的自由电荷,其面密度为,类似于上面的讨论,由电场的无源性容易得到两种介质的界面上电场的切向分量是连续的这一结论,即
111
,,PDE
222
,,PDE n?
f
σ
tt
E
21
′=′,或 (7.3.1) ()0?
12
=?× EEn
再考虑电位移矢量在界面上的行为,类似于图7-12所示的情形,我们在两种介质的界面上作一小圆柱,
对这一闭合曲面运用Gauss定理,注意到该闭合曲面内有自由电荷,并略去小圆柱的侧面面积对电位移通
第七章 静电场与物质的相互作用 29
量的贡献,我们有
()[]AA
f
σ=+? nDnD
12
也就是
fnn
DD σ=?
12
,或 (7.3.2) ()
f
σ=
12
DDn
上式表明界面上的自由电荷将导致电位移矢量的法向分量的不连续,反之,若界面上没有自由电荷,则电位移矢量的法向分量当然是连续的,(7.3.1)和(7.3.2)两式便是电场在不同介质分界面上的边值关系,
图7-13
30 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
现在我们可以看到,电场强度或电位移矢量在穿过不同介质的界面时方向要发生改变,这一事实对应于光学中的折射现象,假设两介质的界面上没有自由电荷,则电场强度E的切向分量及电位移矢量D
的法向分量都是连续的,设在不同的介质内电场强度E与界面的法向方向的夹角分别为(如图7-13
所示),我们又知道,,
21
,θθ
ED ε=
nt
EE=θtan,于是容易得到
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
tan
tan
r
r
n
n
n
t
n
t
E
E
E
E
E
E
ε
ε
ε
ε
θ
θ
==== (7.3.3)
(7.3.2)式告诉我们,界面上的自由电荷导致的不连续,反之我们可以考察在界面附近的变化从而得知界面上有无自由电荷,对自由电荷已有如是结论,那么对于极化电荷又会怎样呢? 具体地,不同介质的界面上的极化电荷会导致怎样的不连续性? 我们已经知道,介质内部的极化电荷密度可以表示为
n
D
n
D
(7.1.6)式,于是我们可以仿照对电位移矢量的处理方法,
在界面附近作一个如图7-13中的小圆柱面,在这一闭合曲面内对作积分,有 P=
p
ρ
()AvvA
pp
nPnPsPPddd
12
====
∫∫∫∫∫∫∫∫
??
??8??8
ρσ
其中A为小圆柱的底面积,同样地,我们忽略了圆柱侧面积对面积分的贡献,上式即为
()
p
σ=
12
PPn (7.3.4)
这意味着介质界面上的极化面电荷引起了极化强度矢量在法向方向的不连续,同样地,我们也可以通过考察的改变而得知界面上的极化面电荷密度,
n
P
第七章 静电场与物质的相互作用 31
我们再来看看电势在两种不同介质表面的连续性如何,如图7-14所示,假设两种不同的介质的界面上没有自由电荷,
就是说电位移矢量的法向分量是连续的,设想在界面两侧有两个非常接近的点1和2,它们与界面的垂直距离也是非常小的,我们可以假设这个垂直距离均为h,两点的电势分别为和,我们可以沿着1
1
U
2
U 2两点的连线计算其电势差,即
01d
0
2
1
121
2
1
21
→?
+=+=?=?
→
∫
h
nnn
hEhEhEUU
ε
ε
lE
上式说明电势是连续的,这里我们用到了电位移矢量的连续性,如果界面上有自由电荷,电势当然就不再是连续的了,换句话说,界面上的极化电荷对电势的连续性是没有影响的,
$ 2 $ 1hE1212
图7-14
32 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
综上所述,相对于介质的分界面,我们有如下一系列边界关系,
()0?
12
=?× EEn
()
f
σ=
12
DDn
()
p
σ=
12
PPn
21
UU = (介质的分界面面上没有自由电荷)
从上面的边界条件可以知道,即使介质的界面上没有自由电荷,即,电场强度的变化也不是连续的,另一方面,在该种情形下,
虽然电势是连续的,但是在界面附近的变化不是光滑的,遂导致其梯度函数出现了不连续,即电场的变化是不连续,
0=
f
σ
7.3.2 静电场唯一性定理的阐述
我们时常遇到这样的一个问题,给定电荷的分布,如何知道空间各处的电场? 这便是所谓的求解静电场的问题,原则上我们可以运用库仑定理和电场的叠加原理得到空间任意一点的电场强度,但是这样的计算是非常繁杂的,这主要是因为电场强度是矢量,于是我们会转而求解电势U,电势是标量,计算其叠加要简单一些,然后再根据得到空间各处的电场强度,这便是我们求解静电场问题的基本思路,
U=E
另一方面,我们又知道Gauss定理的微分形式(7.2.3)式,将它与结合起来,我们有 U=E
第七章 静电场与物质的相互作用 33
0
2
ε
ρ
=? U (7.3.5)
虽然这是个二阶的偏微分方程,但是这里我们要求解的是一个标量函数,这在一定程度上简化了我们的计算,更进一步地,如果在空间某处没有电荷,则上式简化为
0
2
=? U (7.3.6)
(7.3.5)和(7.3.6)两式在数学上分别被称为Poisson方程和Laplace方程,在这里的讨论中,我们还没有引入边界条件,下面让我们考察一个很简单的例子,
34 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
图7-15
设想一个空腔导体,腔内有一个点电荷,导体的外表面接地(如图7-15),显然腔外的电场为零,那么腔内的电场和电势会怎样呢? 不难看出,腔内的电势来自于点电荷的电势和腔的内壁上感应电荷在腔内形成的电势的叠加,点电荷在腔内的电势是容易计算的,它是()()rq
0
41 πε,而腔的内壁上的感应电荷在腔内某处的电势却不容易计算了,一方面是由于腔的内壁不一定是一个规则的曲面,感应电荷的分布不一定是均匀的,另一方面,即使感应电荷在内壁上的分布是均匀的,在计算腔内任一点的电势时所涉及到的积分也是很复杂的,于是我们来考察(7.3.5)式和(7.3.6)式在这中情形下的运用,在O
点有一个点电荷,点电荷是一个抽象的物理概念,相应的电荷密度为无穷大,在其自身位置处的电势为无穷大,相应的能量亦为无穷大,这在物理上是不可能的,在数学上我们可以用函数来表示它,所以在O点处,我们写出与δ (7.3.5)式相应的方程
第七章 静电场与物质的相互作用 35
()
0
2
ε
δ r
=? U (7.3.7)
这里的函数的定义为 δ
()
≠
=∞
=
0,0
0,
r
r
rδ (7.3.8)
可以看出,电势在处有一个奇点,这是由于我们对电荷作了”点”的假设,而在空腔内的其它位置处,
因为没有电荷存在,我们宁愿写出
0=r
0
2
=? U
值得注意的是,仅有这一个方程是不能确定空间的电势的,换作数学上的说法,上述二阶偏微分方程在缺少初值条件的情况下不能有具体形式的解,于是我们必须考虑特定的初条件,这便是我们在这里常说的边界条件,如果用S表示导体空腔的内表面,再考虑到导体是等势体,而且接地,那么有边界条件
0=
S
U
现在我们可以由下列方程确定空腔内除O点以外的各点处的电势
=
=?
0
0
2
S
U
U
(7.3.9)
36 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
从直观上我们可以理解这样的说法,在边界S给定的情况下,方程(7.3.9)有唯一的解,实际上,在关于微分方程的理论中可以给出该说法的严格的论证,这里我们并不对此祥加说明,但是直观上的理解还是容易达到的,
虽然(7.3.9)式是针对一个很简单的情形得到的,但是该方程及其解释已经蕴涵了唯一性定理的绝大部分内容,在明确给出唯一性定理的叙述之前,且让我们将上面的简单情形加以适当推广,
推广无外乎两种,电荷分布和边界条件,首先讨论关于电荷分布的更一般的描述,上面说的是点电荷,我们完全可以将之推广为更一般的情形,例如连续电荷的分布,设空间电荷密度为,那么决定空间电势的方程就应该是Poisson方程()rρ
(7.3.5),再者我们考虑对边界条件作推广,一般地,我们总是认为无穷远处的电势为零,这一条件可谓耳熟能详,不须多作强调; 那么且让我们考虑空间中存在若干导体(注意,我们尚未引入电介质,所说的空间指的就是真空),导体可以形状各异,
可以有空腔或无空腔,也可以接地或不接地,这都是无关紧要的,我们用表示所有导体的表面——包括外表面和内表面,每一个表面上的电势都是一样的,而不同的表面上的电势可以不同(当然也可以相同,例如同一个导体的内外表面的电势就是相同的),我们用表示相应的上的电势,于是有
()L3,2,1=i
i
S
i
U
i
S
()
()
()?
=
=?
i
S
UU
U
i
r
r
r
0
2
ε
ρ
(7.3.10)
接着我们要说的是,由(7.3.10)式确定的电势U是唯一的,它对应于特定的电荷分布和特定的边界条件;
而边界条件中包含两个性质,静电性质和几何性质,前者指的是边界曲面上的电势,后者指的是边界曲
第七章 静电场与物质的相互作用 37
面的几何形状,
我们可以换一个角度考虑边界条件中的静电性质,注意到在我们的讨论中是把导体的表面当作边界的(当然还有一个无穷远的边界),在上面的讨论中我们将边界上的电势作为关注的对象,那么选择边界曲面上的面电荷分布作为边条件的描述又何尝不可呢? 实际上,这便是边界条件中静电性质的另一种描述,两种描述是等价的,
更进一步地,考虑空间中有介质存在的情形,当然,我们会首先假设电介质是可以均匀极化的线性介质,于是存在一些简单的线性关系
EDEP εχε ==,
0
这些都在这一章的开头几节讨论过,我们写出Gauss定理的微分形式,即(7.2.3)式
0
ε
ρ
= E
这里包括自由电荷和极化电荷,若用电位移矢量D表示,有 ρ
free
ρ= D或
ε
ρ
free
= E
考虑电势的分布,我们写出类似于(7.3.5)式Poisson方程
ε
ρ
free
U?=?
2
(7.3.11)
(7.3.5)式中的和ρ (7.3.11)式中的具有相同的意义,指的都是空间中存在的自由电荷,两式不同之处只
free
ρ
38 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
是在于介电常数,这一区别是容易理解的,剩下的问题就是讨论在现有情形下的边界条件,这时我们如何说明什么是边界呢? 无穷远处当然算一个,同时我们也应该容许空间中分布着一些导体,那么这些导体的内外表面也都是边界,还有就是不同电介质的分界面,这些都应该算作边界,但对最后一种边界我们应该作些说明,回顾我们在边值关系中的讨论,在那里我们说明了这样一个事实,如果不同介质的分界面上没有自由电荷,那么电势在这分界面附近是连续的,于是我们没必要把这种不带自由电荷的介质分界面当作边界来处理,而只要注意在该界面两侧有不同的介电常数就已足够,在一般情形下,介质的分界面上不易有自由电荷——除非你在分界面上填上一块带电的金属片,但这样一来就相当于引入一个导体,这一情形可以归入有关导体表面的讨论中,于是,在有电介质存在的情形下,边界条件仍然包含静电性质和几何性质两种因素,前者指的是导体表面的电势或导体表面自由电荷的面密度,后者指的是导体表面的几何形状,
现在我们可以将静电场的唯一性定理表述为,
如果静电体系内存在电荷分布和电介质分布,且关系式成立,则体系的电场由电荷和电介质分布ED ε=边界上的电势U或Dn唯一确定,?
在唯一性定理的叙述中,所谓的关系式成立,其意义在于表明电介质是均匀且线性的; 边界上的电势U也容易理解,无需多说,值得稍作解释的是n,这实际上就是导体表面上的自由电荷的面密度,
ED ε=
D?
第七章 静电场与物质的相互作用 39
§7.4 应用举例
在这一节里我们用具体的例子来说明静电场唯一性定理的一些应用
7.4.1 静电屏蔽
静电屏蔽不是一个陌生的话题,简单地说,为了使某个物体不受到附近的带电体的静电干扰,我们可以用一个接地的金属球壳将该物体罩起来(如图7-16所示),
图7-16
40 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
这时,腔内的电场仅仅取决于点电荷q以及腔的内壁上的感应电荷,可以说点电荷q不再受到腔外电荷的影响,注意到金属空腔的内外表面上的电场强度的方向都是垂直于表面的,图中的电力线也尽量显示了这一特点,
图7-17
现在让我们由静电屏蔽出发进一步讨论与静电感应有关的问题,设金属空腔内外各有一个点电荷,分别为q和Q,不过空腔倒不一定接地,于是有图7-17所示的情形,我们讨论如下几个问题
(1)q受到的来自Q的静电力是多少?
第七章 静电场与物质的相互作用 41
(2)q受到的静电力是多少?
(3)导体腔受到的静电力是多少?
请注意这些问题的陈述,在第一问中,我们想知道的是q和Q间的静电力,这时不需考虑导体空腔的内外表面上的感应电荷,于是有
2
0
4
1
r
F
πε
= (7.4.1)
F的方向取决于q和Q的带电性质,r是两个点电荷间的距离,
再来看第二个问题,这时需要考虑导体上的感应电荷对q的影响,我们分别用S和S’来表示导体空腔的内外表面,用和表示内外表面上的感应电荷,那么q受到的静电力可以定性地表示为
1
q
2
q
21
qqqqqQq
FFFF ++= (7.4.2)
让我们逐项考虑上式,是腔内感应电荷与q的相互作用,暂且不去管它; 下面我们来关注,即腔外的点电荷Q与腔的外表面上的感应电荷对q的影响,从唯一性原理的观点来讨论,
1
F
2
qqqQ
FF +
2
q
既然我们关心的是,则暂不需要考虑,注意到
2
qqqQ
FF +
1
F ( )
22
qqqQqqqQ
q EEFF +=+
q
,故这一问题可以转而表述为,空间中存在电荷Q和,且电荷所在的表面是一个等势面,那么在点电荷处的电场是多少? 既然考虑的是电场强度,q就被视作检验电荷,甚至视之为不存在,请注意另一个重要的事实,即点电荷q所在
2
q
2
q
位置(仅仅是所处的位置,在我们考虑该位置处的电场强度时,点电荷q是没有的)处于一个闭合的等势面的内部,那么这个所谓的内部中的电势的分布应该如何呢?
42 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
由唯一性定理可以立即得出结论,其中的电势为常数,这是因为,如果其中的电势有变化,那么必有电力线,而电力线必然从等势面上的某一点出发并中止于等势面上的另外一点(如图7-18),这显然违反等势面的定义,
图7-18
我们重申一遍唯一性定理在这一问题中的作用,在不考虑其内表面的影响时,由导体的外表面围成的空间中的电势分布取决于该空间中的电荷分布和边界条件,这正是唯一性定理的内容,而该空间中没有电荷,边界又是等势面,于是Poisson方程(7.3.10)转化为下面的简单的Laplace方程
()
()
=
=?
′
è
S
U
U
r
r 0
2
显然满足该方程,唯一性定理告诉我们,解是唯一的,那么就可以说,当闭合等势面内没有电荷è
=U
第七章 静电场与物质的相互作用 43
分布时,其中的电势为常数,
通过上面的考虑,我们有
( ) 0
22
=+=+
qqqQqqqQ
q EEFF (7.4.4)
这个结论告诉我们,金属球壳外部的电荷以及外表面上的感应电荷对球壳内部的电荷不会产生静电力,
当然它们会影响球壳内部的电势的相对大小,如果你将金属球壳接地,那么就彻底隔绝了来自球壳外部的影响,回到(7.4.2),最终有
1
qqq
FF = (7.4.5)
换句话说,q受到的静电力仅仅来自于金属球壳内表面上的感应电荷,这样我们就回答了问题(2),
上面讨论中提到的球壳外表面的电荷可以更具体地表示为
2
q =Q在球壳外表面上产生的感应电荷+q在球壳外表面上产生的感应电荷
(甚至)+导体球壳自身所带电荷中分布在外表面的部分
另外,仿照上面的分析,我们容易得到另一个类似的结论,
( ) 0
11
=+=+
QqQqQqQq
Q EEFF (7.4.6)
即球壳内的点电荷q以及内表面上的感应电荷对球壳外的点电荷的影响为零,
1
q
现在考虑第三个问题,即导体球壳所受的静电力f,显然
44 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
qqqqQqQq
1212
FFFFf +++= (7.4.7)
下标表示受到的来自Q的静电力,其它的下标与此类似,注意到,由(7.4.4)和(7.4.6)两式,
有
2 2
q
QqqQ
FF?=
0
12
=+
Qqqq
FF
也就是
0
12
=+
Qqqq
FF (7.4.8)
将上式代入(7.4.7)式,有
qqQq
12
FFf += (7.4.8)
这便是我们求得的金属空腔所受到的静电力
7.4.2 镜像法
让我们通过一个具体的例子来介绍镜像法
如图7-19所示,有一块水平放置的无穷大的接地金属板,板的上方有一点电荷q,q与平板的垂直距离为h,那么平板的上半空间的电势分布是怎样的呢? 显然,平板的上半空间的电势来源于点电荷以及金属板上感应电荷产生的电势的叠加,
第七章 静电场与物质的相互作用 45
但是,感应电荷在金属板上的分布不是均匀的,我们难以知道其面密度的确切形式,也难以计算由此形成的电势,下面让我们换一个角度,从唯一性定理出发来讨论该问题,
唯一性定理告诉我们,空间的电势分布取决于空间的电荷分布和边界条件,在金属板的上半空间中仅有一个点电荷q,
而边界条件可以这样来描述,由于金属板接地,故其电势为零,设金属板所在平面为x-y平面,那么相应的边界条件可以写为0
0
=
=z
U,至于无穷远处电势为零这一基本要求则要有更为具体的理解,我们假设金属板是无限大的,是为了较简单地描述这一问题,而实际上并不存在真正的无限大的平板,也就是说无限大的说法是数学上的而不是物理上的,我们又设定金属板接地,于是整个x-y平面的电势均为零,这时我们可以认为在上半空间的无穷远处的电势确为零,若金属板没有接地,
那么平板的整个x-y平面是一个等势面且电势不一定为零,无穷远处的电势也不一定为零,看起来有违基本的物理要求,这一悖论来自于我们在具体的物理问题中引入了抽象的数学的概念,后者能简化我们的讨论,但同时也带来了一系列与无穷有关的困境——不论是无穷大还是无穷小,所以,对于真实的物理问题,我们总可以说无穷远处的电势为零,
图7-19
46 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
重新回到唯一性定理的讨论上,着重考虑边界条件,我们已经知道,边界条件可以用电势来描述,即0
0
=
=z
U,换句话说,只要这一条件满足,平板上方的电势分布就唯一地确定了,于是我们可以有意识地构造一种情形,使得x-y平面上的电势为零,达到这一目的是很容易的,可以在金属板的下半空间放置一个点电荷,其带电量为-q,其位置与点电荷q关于金属板对称,即在金属板下方h处,然后,我们就可以把那个接地的金属板拿走,这时,x-y平面上的电势一定为零,边界条件自然满足,上半空间任意一点的电势可以表示为
′
+=
r
q
r
q
U
0
4
1
πε
(4.8.9)
这就是我们提出的问题的答案,点电荷-q就是所谓的像电荷,通过增设像电荷来满足边界条件可以使问题变得简单而形象,这就是镜像法,
有一点值得注意,在这里我们关注的是金属板的上半空间,而像电荷-q处于金属板的下半空间,也就是说,我们增设的像电荷并没有改变原有的电荷分布,其作用仅仅相当于取代了接地的金属板,这一点是我们在运用镜像法解题时要仔细考虑的地方,
想必同学们已经看到,在这一节中的内容只涉及到导体,我们并没有提及电介质,之所以这么做是因为用导体这一例子已足够说明唯一性定理的原理及应用,其叙述过程也是简单而明确的,不过我们要指出的是,唯一性定理当然适用于有介质的情形,只是分析起来要麻烦一些,在电动力学里面对此会有详细的讨论,在此我们姑且略去,
§7-5 带电体系的静电能与电场的势能
前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为,进一步的分析自然少不了有关能量的讨
第七章 静电场与物质的相互作用 47
论,在本节中,我们从较简单的点电荷系统开始分析,然后过渡到连续电荷分布的情形中去,
7.5.1 点电荷系统的静电能
我们从最简单的情形开始分析,我们知道,在一定的电场中,若一个点电荷q所在位置处的电势为
U,那么就可以说这个点电荷具有电势能,这一点和我们熟知的重力势能很相象,现在我们可以把电场说得更具体一些,最简单的,设这个电场是由另一个点电荷Q产生的,于是点电荷q具有的电势能可以写作
qUW =
r
W
0
4
1
πε
= (7.5.1)
这里我们讨论的是在真空中的情形,所以介电常数是,r是q和Q的距离,同样地,上式也表示了Q
在q的电场中的电势能,于是我们可以说,由Q和q组成静电体系具有的静电能由(7.5.1)式给出,
0
ε
可以将(7.5.1)式改写为
+=
r
r
W
00
4
1
4
1
2
1
πεπε
对上式的解释是,我们不但考虑了在Q形成的电场中q所具有的电势能,而且还考虑了在q形成的电场中Q所具有的电势能,但是对于整个静电系统而言,其静电能只能由其中一项给出,所以要对上式
48 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
右端的和乘以1/2,我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统,
设想空间中有多个点电荷,其带电量用表示,相应的位置用表示,任意两个点电荷间的距离可以由
i
q
i
r
jiijij
r rrr?==给出,我们来计算整个静电体系的静电能
我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N个点电荷组成的静电体系的静电能,当只有两个点电荷和时,静电能为
1
q
2
q
12
21
0
4
1
r
W
πε
=
现在引入第三个点电荷,那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上与及之间的静电能,
即
3
q
3
q
1
q
2
q
++=
23
32
013
31
012
21
0
4
1
4
1
4
1
r
r
r
W
πεπεπε
括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变,接着引入第四个点电荷,有
+++
++=
34
43
024
42
014
41
0
23
32
013
31
012
21
0
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
r
r
r
r
r
r
W
πεπεπε
πεπεπε
第七章 静电场与物质的相互作用 49
同样地,第二个括号里的项对应于第四个点电荷的引入所带来的静电能的变化,
重复以上过程,我们容易得到由N个点电荷组成的静电系统的静电能为
∑∑
≠
<
=
==
+
+++
++=
N
ji ij
ji
N
ji
ji ij
ji
r
r
r
r
r
r
r
r
W
01,0
34
43
024
42
014
41
0
23
32
013
31
012
21
0
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
πεπε
πεπεπε
πεπεπε
L (7.5.2)
上式即为我们要求的结果,其最后一项表明对所有的满足的下标求和,我们可以对上述结果作进一步的分析,注意到对于某个特定的i,
ji ≠
∑
≠
N
ij ij
j
r
q
0
4
1
πε
就是除了电荷i以外的所有点电荷在电荷i处形成电势,令
∑
≠
=
N
ij ij
j
i
r
q
U
0
4
1
πε
(7.5.3)
则(7.5.2)式可以改写为
∑
=
N
i
ii
UqW
2
1
(7.5.4)
50 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
7.5.2 连续电荷分布的静电能
以上我们讨论的是点电荷体系的静电能,可以很容易地将已有结论推广至连续分布的静电系统,首先我们设想一个有限大小的带电体(如图7-20),其电荷密度为),那么如果在该带电体内部且位置为r
处的电势可以用来表示
(rρ
()rU当然,所谓,是指在位置r处的电势,而位置r处的电荷对是没有贡献的
()rU ()rU
则这一带电体所具有的静电能可以表示为
()()
∫
=
V
vUW d
2
1
rrρ (7.5.5)
上式中V表示整个带电体的体积,实际上,(7.5.5)式是(7.5.4)式的直接推广,是由离散的电荷分布过渡到连续的电荷分布,在表示上由求和过渡到积分,
第七章 静电场与物质的相互作用 51
图7-20
(7.5.5)式确实能够从物理概念上解释静电能的意义,静电系统的每一部分所具有的电势能的总和,但是,在实际问题中,直接利用(7.5.5)式求解静电能是很不易的,只是因为计算各点的是件很麻烦的工作,我们不妨从另一个角度考虑静电能,对于一个有限体积的带电体,我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质,那么可以说,这一带电体之所以能够结合在一起,是需要外力维持的,我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限大小的带电体,开始的时候,所有的电荷都位于无穷远处,我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓慢地移动到指定的位置,那么,在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受到的静电力想必是大小相等而方向相反的,我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量,不断地重复这一过程,直到最终组成我们所要的有限大小的带电体,在整个过程中,我们所作的功就是静电体系的静电能,这样,从功能原理的角度我们重新解释了静电能,下面通过一个简单的例子来说明这一过程,
()rU
52 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
图7-21
我们来计算一个半径为R的均匀带电球体的电势能,如果按照公式(7.5.5)的要求,则要计算球体内每一点处的电势,这将是一个难以完成的任务.现在让我们从功能原理的角度考虑这个问题,如图7-21所示,为了构造一个半径为R的带电球体,
我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当的位置,并组成球形,假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形下,
即已经有了一个半径为r的带电球体,接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷,并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上,
我们每次搬运的电荷都是很少的,设电荷密度为,那么每次搬运的电荷量可以表示为,而球表面的电势为ρ rr d4
2
ρπ
r
r
2
0
3
4
4
1
πρ
πε
,无穷远处的电势为零,故在某一次的搬运过程中我们所作的功即为电量为的电荷的电势能的改变,它就是
rr d4
2
ρπ
第七章 静电场与物质的相互作用 53
rr
r
r
d4
3
4
4
1
2
3
0
πρ
πρ
πε
最后我们要组成半径为R的带电球,于是该球体的电势能就是对上式的积分,即
()
52
2
0
0
2
3
0
5
1
3
4
4
1
d4
3
4
4
1
R
rr
r
r
W
R
ρ
π
πε
πρ
πρ
πε
=
=
∫
可以将电荷密度表示为ρ
3
3
4
R
Q
π
,这里Q是这个球体的带电量,于是上式又可以写作
R
Q
W
2
0
4
1
5
3
πε
= (7.5.6)
这便是半径为R带电量为Q的均匀球体的静电能,由于同种电荷是彼此排斥的,所以这一能量可以理解为维持这样的带电系统保持平衡所需要能量,设想另外一种情形引力,若有一个半径为R,质量为M的均匀球体,由于万有引力,其各部分是彼此吸引的,那么如果我们想击碎这一球体,需要多少能量才行呢?
54 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
结合上面的过程,不难想象,所需能量为
R
M
G
2
5
3
,其中G是万有引力常数,大家可以对这一结果稍加分析,
下面我们来比较一下这样一些概念,静电能相互作用能自能,在不少教科书及参考书中这些概念经常出现,首先要重申,点电荷这一概念是数学上的抽象而不是物理上的实在,当用点电荷这一概念讨论物理问题时,我们不再关注已经被抽象成点的电荷的大小形状及内部结构,转而关注这些点电荷对自身以外的空间或其它电荷的影响,于是,对于由点电荷组成的静电系统,所谓的静电能就只能是各个点电荷之间的相互作用能,回顾(7.5.3)式和(7.5.4)式的推导,可以容易看出这一点,对于那些有具体形状或大小的连续电荷分布,整体上的静电能可以分为自能和相互作用能两部分,让我们对此稍作分析,上面我们计算了一个均匀带电球体的静电能,这个带电球体当然是一种连续的电荷分布,而且空间中除了这个带电球体外再没有别的带电体,这时我们可以说,这个带电球所具有的静电能就是其自身的自能,再设想另有一个带电球体,那么,由这两个带电体组成的静电体系的总的静电能应该表示为,
总的静电能=带电球1的自能+带电球2的自能+两个带电球间的相互作用能
其中相互作用能的计算是这样的,把带电球1设想为源,它将在空间形成一定的电场,而带电球2位于该电场中,那么带电球2所具有的电势能便是二者间的相互作用能; 当然,你也可以将球2设想为源,
计算球1在带电球2形成电场中的电势能即可,二者只取其一,是不能相加的,
第七章 静电场与物质的相互作用 55
上面讨论的是没有电介质的空间,即真空中的情形,如果有电介质存在,那么静电能又会怎样呢? 先考虑简单的情形,
空间中充满一种均匀极化的电介质,设其相对介电常数为,而这一空间中只有两个点电荷,,那么容易得到该体系的静电能为
r
ε
1
q
2
q
()
2211
2211
21
0
2
1
4
1
UqUq
UqUq
r
W
r
+=
==
=
επε
(7.5.7)
由此可以推广到任意多个点电荷组成的系统的静电能,其形式与(7.5.4)是一致,只是在计算是要注意考虑相应的介电常数,
i
U
对于稍微复杂的情形,即空间中分布着不同的电介质,我们总可以不顾电介质的存在而得到空间各点的电位移矢量; 假设介质在空间的各个点是均匀极化的,但不同点处的介电常数可以不同,则有,这里是绝对介电常数,且与空间的位置有关,由此得到各点的场强,再由得到空间各处的电势,于是电势能可以表示为
()rD () ()()rErrD ε= ()rε
U=E
()()vUW
V
free
d
2
1
∫
= rrρ (7.5.8)
上式的电荷密度是针对自由电荷而言的,因为我们在计算电位移矢量时只涉及到自由电荷,积分区域V
可以是自由电荷所在的区域,也可以是全空间,对于后者,只要将不存在自由电荷的空间区域的自由电
56 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
荷密度当作零就可以了,可以看出,(7.5.8)式与(7.5.5)式在形式上是相似的
7.5.3 电场能量与能量密度
有了上面的讨论,我们来看看静电场能量的一般表述,由(7.5.8)式,我们有
()()
()
∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫
∞
∞∞→
∞∞
=
+?=
=
=
v
vU
vUvU
vUW
S
V
d
2
1
d
2
1
d
2
1
d
2
1
d
2
1
d
2
1
ED
EDsD
DD
rD
(7.5.9)
在上面的推导中,我们用到了关于微分算子的一些基本定理,而且,我们也用到了在无穷远处电势为零这一边界条件,其中出现的无穷大符号表明全空间的体积,由(7.5.9)式可以看出,静电场的能量密度为
ED?=
2
1
w (7.5.10)
也就是说,静电场的静电能可以表示为,从上面的讨论中可以看出,静电能储存在电场中,虽然
∫
∞
= vwW d
第七章 静电场与物质的相互作用 57
我们是从电荷的带电量和电势的角度出发的,但结果显示,能量和电场有着不可分割的联系,这也从另一方面说明电场的物质性及客观上的存在性,
在一些特殊的情形下,(7.5.10)式可以写成更为简洁的形式,例如,对于真空中的静电场,我们有,于是该式变为
ED
0
ε=
2
0
2
1
Ew ε= ; 在均匀的各向同性的介质中,有,故静电能的能量密度为ED ε=
2
2
1
Ew ε=,
我们可以利用静电能得到静电场中的静电力,分两种情形讨论,
1
带电体的电量不变,
2
带电体的电势不变,
对于处在稳定状态下的带电系统,其静电能应该为最小值,此时,如果设想给该系统施加一个很小的外力,而且带电系统在这一外力的作用下有一小位移,那么在情形
ext
F
rδ
1
中,外力做的功为,并且外力做的功应该等于体系静电能的增量; 另一方面,我们设想的外力对系统的作用是准静态的,所以外力与静电力是一对平衡力,即
,于是有
rF δ?
ext
Wδ
ele
F
eleext
FF?=
W
eleext
δδδ ==? rFrF
另一方面,我们又知道,所以得到 rδδ= WW
W
ele
=F (7.5.11)
上述结果即是我们熟知的保守力场中的势能与保守力的关系,可以把该结果推广到多个带电体的情
58 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊
形,设若干个带电体组成静电体系,每个带电体的带电量是不变的,那么,第i个带电体所受的静电力可以表示为
W
i
i
ele
=F
这里W是整个体系的静电能,表示对第i个带电体的坐标求梯度,
i
再来计算情形
2
中带电体受到的静电力,同样地,我们假设有一个外力作用于带电体,而外力做的功仍然等于体系的静电能的增量,即,但是,在该种情形下,即使外力的作用过程仍然是准静态的,外力的大小也不再等于带电体所受的静电力的大小,这是因为我们在当前情形下要求带电体的电势能是不变的,故外力的介入将导致带电体的带电量的改变,所以外力做的功应该写成下面的形式
ext
F
W
ext
δδ =? rF
ele
F
ext
F
WqU
eleext
δδδδ =?+=? rFrF
其中可以类比于电池搬运电荷的能力,注意到qU δ? qUW
2
1
=,且U在整个过程中是不变的,我们有
()UqqUqU
ele
δδδδ
2
1
2
1
=
=?+ rF
即
() WUq
ele
δδδ ==?
2
1
rF
第七章 静电场与物质的相互作用 59
最终,我们有
W
ele
=F (7.5.12)
和(7.5.11)相比,上式有一个符号的差别,在具体的问题中应注意这两个公式的不同,同样地我们可以推广至多个带电体的情形
W
i
i
ele
=F
小结
本章中,我们讨论了电介质的一些特性,引入了与电极化现象有关的一些物理概念,例如,极化率
极化强度矢量等等,在此基础上考虑电位移矢量,给出了有介质存在的情形下静电场的基本定律,而静电场的唯一性定理能帮助我们求解静电场的基本问题,最后我们所得到的电场能量的表达式说明能量储存在电场中
