第四章 电磁感应 1
第四章 电磁感应
继1820年丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应后1831年法拉第电磁感应现象的发现和电磁感应定律的建立是电磁学发展史上最辉煌的成就之一它揭示了变化的磁场和变化的电场之间的本质联系和互相转化的规律为麦克斯韦普遍电磁理论的建立奠定了基础为电工和电子技术的发展做出了无可估量的贡献
§4-1 电磁感应定律
一电磁感应的实验现象
如图当s合上后无论左侧电路中电源的电动势有多大即无论电流有多大接在右侧电路中的
2 电磁学网上课件 戚伯云
电流计的指针都不动在一个偶然的机会1831年当法拉第把电键s闭合的瞬间他观察到了电流计指针的偏移而s断开瞬间指针会反向偏移然后回到零点他得出结论变化的磁场可以产生电场因为当电键闭合瞬间右侧线圈的电流由零开始增长从而产生了一个由零开始增长的变化的磁场这个磁场同时通过左侧线圈使其通过一个变化的磁通量从而产生电流当右侧电流增长为一个稳定值时磁场不再变化从而通过线圈的磁通量不再变化所以左侧线圈的电路电流为零当电键断开瞬间其过程刚好相反法拉第把这个由变化的磁通量产生的电流叫感应电流
1832年法拉第发现在相同的条件下不同金属导体中的感应电流的大小与导体的导电能力成正比这使法拉第意识到感应电流是由与导体性质无关的感应电动势产生的也就是说由于通过导线回路的磁通量的变化可以在导体中产生感应电动势
还有很多类似的实验,
如图空心线圈与一个电流计构成一个电路未接电源 在磁棒插入线圈的过程中电流计的指针
第四章 电磁感应 3
偏移插入的速度越大指针偏转越厉害当磁棒运动停止时指针回到零点在磁棒抽出时指针反向偏转这说明磁通量的变化使线圈电路中产生了感应电动势从而产生感应电流感应电动势的大小与线圈和磁棒的相对运动速度有关
如图所示接有电流表的导体框CDEF放于均匀的磁场中B垂直于框平面当EF以速度v无摩擦向右滑动时电流计指针发生偏转速度越大偏转越厉害EF反向运动时电流计指针反向偏转此实验中磁感强度B没有变化但由于EF向右或向左运动导体框的面积在随时间变化于是通过导体框的磁通量随时间变化所以在导体回路中产生了感应电动势从而产生了感应电流EF的速度越大单位时间内通过导体框的磁通量变化越大从另一个角度来看感应电流的产生是由于闭合导体的一段
EF切割磁力线所产生的
4 电磁学网上课件 戚伯云
上图是一直流发电机的原理图当导体圆盘绕轴以角速度w旋转时电流计指针发生偏转w越大偏转越厉害
第四章 电磁感应 5
二法拉第电磁感应定律
Michael Faraday (1791-1867)
法拉第通过各种实验不仅发现了电磁感应现象而且总结出了电磁感应的共同规律
当通过导体回路的磁通量随时间发生变化时回路中就有感应电动势产生从而产生感应电流这个磁通量的变化可以是由磁场变化引起的也可以是由于导体在磁场中运动或导体回路中的一部分切割磁力线的运动而产生的
一 感应电动势的大小与磁通量变化的快慢有关
电磁感应现象的实质是磁通量的变化产生感应电动势
二 感应电动势的方向总是企图由它产生的感应电流建立一个附加的磁通量以阻止引起感应电动势的那个磁通量的变化
法拉第实验规律可以用数学公式表示如下
6 电磁学网上课件 戚伯云
dt
dΦ
=ε
这个方程叫做法拉第电磁感应定律
关于法拉第电磁感应定律我们强调以下几点
A引起导体回路中产生感应电流的原因是由于电磁感应在回路中建立了感应电动势它比感应电流更本质即使由于回路中的电阻无限大而使电流为零感应电动势依然存在
B在回路中产生感应电动势的原因是由于通过回路平面的磁通量的变化而不是磁通量本身即使通过回路的磁通量很大但只要它不随时间变化回路中依然不会产生感应电动势
通过平面s的磁通量为
θcosBS
SB
m
=?=
Φ
式中θ是B与S的法线n之间的夹角所以根据复合函数求微商的法则有
dt
d
BS
dt
dS
B
dt
dB
S
dt
d θ
θθθε sincoscos +=
Φ
=
上式表明引起磁通量变化的原因可以是磁感应强度随时间变化也可以是回路的面积随时间变化也可以是B和S都不变而是它们之间的夹角在随时间变化
C法拉第电磁感应中-的物理意义在于负号指明了感应电动势的方向实验证明感应电动势的方向总是这样的
使由它引起的感应电流所产生的磁场通过回路的磁通量阻碍引起感应电流的那个磁通量的变化这
第四章 电磁感应 7
就是楞次定律
关于感应电动势的方向问题我们需要讨论两点
1 为什么感应电动势的方向必须是楞次定律所规定的方向
2 在法拉第电磁感应中感应电动势的正负怎样确定
对于1的原因在于它是由能量守恒定律所要求的
在前面的第二个实验中当磁铁插入线圈时穿过线圈的磁通量增加按照楞次定律感应电流激发的磁通量应与原磁通量相反线圈将对磁棒产生一个排斥力阻碍磁棒继续往下插入所以要使感应电流连续不断则外界必须克服这个排斥力对磁棒作功因此线圈中感应电流的获得是以消耗机械能为代价的反之容易得到如果感应电动势的方向与楞次定律规定的方向相反只要磁铁稍有运动在线圈中就能连续不断的产生感应电流这是不可能的因为它违背了能量守恒定律所以感应电动势的方向一定是楞次定律规定的方向
下面我们讨论问题2
如何确立感应电动势的正负问题
电动势ε与磁通量Φ的正负都与回路的绕行方向有关所以 要讨论感应电动势和磁通量的方向首先要选定回路的绕行方向作为计算磁通量和感应电动势的参考方向绕行方向选定后若计算电动势为正值 表明电动势的方向与回路绕行的方向一致反之相反但必须强调根据上述约定不管开始时选定怎样的绕行方向应用法拉第定律得到的感应电动势的方向和数值是唯一确定的与回路绕行方向的选取无关
[例1-1 ] 如图所示两个半径分别为R,r相距为z的同轴平面线圈a和b假设R>>r z>>r线圈a
载有恒定的电流I线圈B以速率v沿z轴向上运动试计算线圈B中的感应电动势并确定其方向
8 电磁学网上课件 戚伯云
[解] 载流线圈a在轴线上z点所产生的
磁感强度为
()zR
R
I
B
22 2
3
2
0
2
+
=
μ
B的方向沿z轴的正方向由于z>>R r<<R所以在线圈b所围的平面内B可以近似看作均匀分布的由于线圈b沿Z轴正方向以速度v运动因此通过线圈b的磁通量发生变化所以在线圈b中产生感应电动势从而产生感应电流
下面我们选不同的回路绕行方向来计算感应电动势
第四章 电磁感应 9
(a)选取线圈b的绕行方向为逆时针方向
b的法线n的方向为z轴的正方向即与通过线圈b的磁场B同方向通过b的磁通量为
()
0
2 22 2
3
0
2
2
>=
==?=Φ
+
∫∫∫∫
zR
R
I
rB
BdSd
ss
SB
μ
π
因为z>>R得到
r
z
R
I
π
μ
2
3
2
0
2
=Φ
根据法拉第电磁感应定律求得感应电动势为
dt
dz
z
rIR
z
dt
d
rR
I
dt
d
2
3
1
2
4
22
0
3
220
πμ
π
μ
ε?
=
Φ
=
=
dt
dz
= v
10 电磁学网上课件 戚伯云
Iv
z
rIR
2
3
4
22
0
πμ
ε =
因为ε>0所以感应电动势与回路的绕行方向一致即逆时针方向I的方向也为逆时针方向
(b)选取线圈b的绕行方向为顺时针方向
这时n与B的方向相反于是通过线圈b的磁通量为
()
0
2 22 2
3
2
0
<
+
=Φ
zR
R
I
μ
所以
0
2
3
4
22
0
<?=
Φ
= Iv
z
rIR
dt
d
πμ
ε
所以感应电动势的方向与选定的回路b的绕行方向相反即沿逆时针方向从而线圈中的感应电流的方向也沿逆时针方向结果与a相同
本例题表明为了在解题过程中计算通过回路的磁通量和考虑电动势的方向必须先选定一个绕
第四章 电磁感应 11
行方向作为参考方向但应用法拉第定律得到的感应电动势的大小和方向是唯一确定的与回路方向的选定无关
§4-2 动生电动势与感生电动势
法拉第电磁感应定律证明只要通过回路的磁通量随时间变化就会在回路中产生感应电动势而引起磁通量变化的原因不外乎有两种情况一种是导体回路或其一部分在磁场中运动使其回路面积或回路的法线与磁感应强度B的夹角随时间变化从而使回路中的磁通量发生变化第二种是回路不动磁感强度随时间变化从而使通过回路的磁通量发生变化我们把因第一种原因而在回路中产生的感应电动势称为动生电动势把因第二种原因而在回路中建立的感应电动势称为感生电动势
一动生电动势
a I
B v
b
关于动生电动势的产生原因我们可以用在磁场中运动的电荷将受到洛仑兹力加以解释如图U
12 电磁学网上课件 戚伯云
形导体框置于匀强磁场B中长为l的导体棒可以在导体框上无摩擦地滑动外力F作用于导体棒使之获得向右的速度v于是导体棒内的载流子也获得了向速度v由于导体棒在磁场中所以棒中每个电子将受到洛仑兹力Bvef ×?= f的方向垂直向下于是电子将向下运动从而引起负电荷在棒的下端的积累正电荷在棒的上端的积累从而导致了导体内部一个自上而下的静电场的建立当导体棒中的电子所受磁场力等于电场力时达到平衡ab间的电压达到一个稳定值可见ab相当于一个电源其电动势就是感应电动势
电动势的定义是使单位正电荷从电源的负极通过内部到达电源正极的过程中非静电力所作的功这里非静电力K就是单位正电荷所受的洛仑兹力即
()BvBv
F
K e
ee
×=×=?=
1
所以动生电动势为
()lBvlK dd
b
a
×=?=
∫∫
+
ε
由此可见产生动生电动势的原因是由于导体在磁场中运动时导体中的载流子获得了一个定向的宏观运动速度从而受到洛仑兹力的结果因此有时形象的说只有当导线作切割磁感应线运动时才产生感应电动势在普遍情况下一个任意形状的导体线圈L不一定闭合在任意恒定的磁场中运动或发生形变时dl和v的大小和方向都可能是不同的这时L中的感生电动势为
第四章 电磁感应 13
()lBv d
L
×=
∫
ε
综上所述动生电动势只产生于在磁场中运动的导体上若这个导体是闭合导体回路的一部分则在回路中产生感应电流若这个运动导体不构成回路则导体两端有一定的电势差相当于一个开路的电源
二再论洛仑兹再力不作功
我们知道由于洛仑兹力始终与带电粒子的运动方向垂直所以它对电荷是不作功的.但在上面讨论动生电动势的时候又认为一段导体在磁场中运动时由于导体中的载流子获得了一个定向的宏观的运动速度于是它在磁场中受到洛仑兹力所以动生电动势是非静电力----洛仑兹力移动单位正电荷所做的功但这和洛仑兹力不作功是不矛盾的在讨论动生电动势时我们只考虑了电荷随导体运动的速度v
而没有考虑电荷受到洛仑兹力f而在导体内部的运动速度u实际上载流子的运动速度应为V=v+u
如图所示
14 电磁学网上课件 戚伯云
电荷-e所受的洛仑兹力为
()
()
'ff
BuBv
Buv
BvF
ee
e
+=
×?+×?=
×+?=
×?=
F中第一项f即我们在讨论动生电动势时的非静电起源力而
Bu'f e ×?=
与f垂直与导体棒的运动速度v反向即f’阻碍导体棒的向右运动欲使导体棒保持以速度v运动外力必须克服而对棒作功'f下面我们证明把单位正电荷从a移动到b洛仑兹力f所作的功正好等于f’对导体棒所做的负功即外力克服f’所作的功
第四章 电磁感应 15
把正电荷从a移动到b
f的功率为 ( ) uBve
P
×=
1
f’的功率为 ( ) vBuep?×=
2
( ) ( ) ( ) vBuBuvuBv?×?=×=?×
又因为
所以总的洛仑兹力F的功率为
( ) ( ) 0
21
=?×+?+=+= vBuuBv ee
PPP
这就证明了洛仑兹力是不作功的
三根据法拉第电磁感应定律
S
B
SB d
t
d
dt
d
dt
d
ss
==?=
∫∫∫∫
Φ
ε
也会在导体回路中产生感应电动势这种感应电动势成为感生电动势感生电动势和涡旋电场
当置于磁场中的导体回路不动而磁场随时间变化时 那么产生感生电动势的非静电力是什么呢首先它不是洛仑兹力因为导体并没有运动所以导体中的载流子没有定向宏观的运动速度然而当磁场变化时导体回路中产生了感应电流说明带电粒子一定受到了一种力这种力不是磁场力那么只有一种可能即当磁场随时间变化时在空间激发了一种新的电场导体中的载流子在这个电场的作
16 电磁学网上课件 戚伯云
用下在闭合回路中产生了感应电流J.C.Maxwell在分析电磁感应现象的基础上提出了一个大胆的假设变化的磁场在其周围空间激发一种新的电场这种电场成为涡旋电场产生感生电动势的非静电力就是这个涡旋电场力
涡旋电场和库仑电场的共同之处是它们都是一种客观存在的物质它们对电荷都能施加力的作用它们的不同之处在于涡旋电场是由变化的磁场激发的而不是由电荷产生的涡旋电场的电力线是一些闭合的曲线所以它的环路不为零因而它不是保守力场或势场常称为有旋场而库仑电场是保守力场即有势场用数学形式表示为
B
对涡旋电场
SlE d
t
d
SL
=?
∫∫∫
对库仑场有
0=?
∫
lE d
L
当空间同时存在库仑电场和涡旋电场时总电场为
EEE
驶旋
+=
∴
S
B
lE d
t
d
SL
=?
∫∫∫
当空间不存在磁场或磁场不随时间变化时上式回到静电场的环路定理当空间不存在电荷时上式回到法拉第电磁感应定律
综上所述麦克斯韦对感生电动势成因的解释揭示了电磁感应定律更深层次的物理本质
第四章 电磁感应 17
随时间变化的磁场在其周围空间激发涡旋电场
下面我们讨论上式的微分形式
()
即
0
0
=
+×?∴
=?
+×?
=
×?=?
∫∫
∫∫
∫∫∫
t
d
t
d
t
dd
B
E
S
B
E
S
B
SElE
S
S
SL
这一公式表明变化的磁场在空间激发涡旋电场而与空间中是否有导体无关
利用磁场的矢量势A AB ×?=上式可写成0=
+×?
t
A
E
又由于任何标量函数的梯度的旋量恒等于零所以上式可写为
=
t
A
E
这就是用矢量势A和标量势?表示电场强度E的普遍表达式
为了使矢量势A有确定值在恒定磁场的情况下用附加条件
18 电磁学网上课件 戚伯云
0= A来限制A对于随时间变化的电场常采用
0
0
0
=
+
t
A
μ
ε
作为附加条件来限制A和?该条件称为洛仑兹规范
此外根据法拉第电磁感应定律有
S
B
lE d
t
d
SL
=?
∫∫∫
式中S为以l为周界的任意曲面我们选以L为周界的任意曲面S1和S2而S1 S2组成一个闭合曲面S即S=S1+S2 根据法拉第定律通过任意一个以L为周界的曲面的磁通量的时间变化率为一确定值即等于回路L中产生的感应电动势所以
S
B
S
B
d
t
d
t
SS
=?
∫∫∫∫
21
若规定闭合曲面S的面元dS的方向为S的外法线方向则上式中对S2的积分应反号所以
∫∫∫∫∫∫
=?
SSS
SSS d
t
d
t
d
t
BBB
21
根据场论中的奥-高定理有
第四章 电磁感应 19
() 0=
∫∫∫∫∫∫∫∫
=
=?
VBV
B
S d
t
d
t
d
t
VVS
B
为了使积分对任意体积都成立被积函数必须为零即
()0=
B
t?
这告诉我们如果原来没有磁场或只有稳恒电流的磁场后来虽然有了变化的磁场但该处B的散度仍然为零所以0= B对变化的磁场也适用变化的磁场也是一个无源场
四电磁感应和相对性原理
S
N
L
我们选3个坐标系S系固定在磁棒上S’系固定在线圈L上S’’系固定在地面上从3个惯性系
20 电磁学网上课件 戚伯云
的静止的观察者的角度出发考虑以速度v相对运动着的导体回路和磁棒在导体回路中产生感应电动势的情况如图所示
null 对于S中的观察者看到的是磁铁是静止的而线圈以速度-v向着磁棒运动即线圈在磁棒产生的磁场B中运动所以他认为导体回路中的电动势是动生电动势其大小为
()lBv d
L
×?=
∫
ε
null 相对于S’静止的观察者看到的是线圈L是静止不动的磁棒以速度v向着线圈运动所以使磁场的空间分布随时间变化穿过静止的导体回路的磁通量随之发生变化这一变化将在回路中产生涡旋电场所以他认为导体回路中的电动势是感生电动势其大小为
Sl d
t
d
SL
=?=
∫∫∫
B
E
旋
ε
null 对于S’’系中的观察者看到的是磁棒和导体都在运动所以他认为导体回路中的电动势是动生电动势和感生电动势的和即
() lElBv dd
LL
+?×?=
∫∫
'''ε
根据电场和磁场在不同惯性系中的相对论变换规律我们知道在不同的惯性系中所观测到的电场和磁场是可以不同的即E和E’.B 和B’都有可能不同尽管3个观察者所看到的情况有很大的差异但
第四章 电磁感应 21
导体回路中的感应电动势的大小和方向却是相同的这并不是巧合而是相对性原理的结果这一结果进一步证明磁场和电场并非彼此无关的它们的划分是相对的是与惯性系的选取有关的爱因斯坦在1905年发表的关于狭义相对论的著名论文论运动物体的电动力学中对此作了精辟的论述
五电子感应加速器
应用涡旋电场加速电子的电子感应加速器是麦克斯韦关于变化的磁场在其周围激发涡旋电场的假设的最直接的实验验证其结构如图圆形电磁铁的两极有一环形真空室在交变电流的激励下两极间出现交变磁场这个交变磁场激发一涡旋电场从电子枪射入真空室的电子受到两个力的作用一是涡旋电场力使电子沿切向加速二是径向的洛仑兹力使电子做圆周运动
交变磁场随时间的正弦变化导致涡旋电场方向随时间变化
22 电磁学网上课件 戚伯云
如图因为电子带负电显然只有第一四两个1/4周期内才能被加速但在第四个1/4周期中洛仑兹力的方向由于B向下而向外不能充当向心力因此须在每个周期的前1/4周期之末设法将电子束引力轨道进入靶室就已经能使电子加速到具有足够高的能量了
根据工程上的需要要求被加速电子维持在恒定的圆形轨道上运动设轨道半径为R设在轨道处的磁感应强度为电子受到的洛仑兹力提供向心力
BR
根据牛顿第二定律有
B
v
R
ev
R
m =
2
即
BR
eRmv =
上式表明只要电子动量mv与磁感应强度成正比例增加
BR
就能实现R不变下面我们讨论电子动量的变化规律
电子受到的涡旋电场力为
第四章 电磁感应 23
dt
de
e
R
Φ
=?
π2
E旋
根据牛顿第二定律有
()
dt
de
e
dt
mvd
R
E
Φ
=?=
π2
旋
设初始条件为t=0时Φ=0 v=0对上式积分得
B
22
eR
R
e
mv ≈Φ=
π
式中B为通过电子轨道平面的平均磁感应强度其大小为
SB
R
dB
Rr
=
∫∫
<
2
1
π
得到
BBR
2
`1
=
以上分析对相对论的情况也成立因此电子感应加速器不存在相对论限制但是做圆周运动的电子具有加速度凡是电荷作加速运动就会辐射电磁波而损失能量电子能量越大加速器尺寸越小辐射损失就越厉害只有补偿了这一辐射损失才能使电子保持其速率电子速率越大需要补充的能量就越大这是对电子感应加速器的一个严重的限制
24 电磁学网上课件 戚伯云
§4-3 自感与互感
一互感
当一个线圈中的电流发生变化时将在周围空间产生变化的磁场从而在它附近的另一个线圈中产生感应电动势这种现象称为互感现象,
一个线圈中的互感电动势的大小不仅与另一个线圈中电流改变的快慢有关而且与两个线圈的结构及它们之间的相对位置有关
如图线圈I1产生的磁场B1它穿过线圈2的磁通匝链数为
Ψ21
若线圈的形状大小相对位置均保持不变周围无磁性物质则根据毕奥-萨代尔定律有
I12121 M
=
Ψ
第四章 电磁感应 25
式中
M21
为比例系数同理有
I21212 M
=
Ψ
下面我们证明=
M21 M12
我们统一用M表示称为互感系数
根据法拉第电磁感应定律1和2中的感应电动势分别为
dt
d
M
dt
d
dt
d
M
dt
d
I
I
121
2
212
1
=?=
=?=
Ψ
Ψ
ε
ε
互感的单位为亨利用H表示
AA
sVWbH
11
111
=?=
我们假设两线圈都是单匝线圈因为
I12121 M
=
Ψ
而
SB
d
S
2121
2
=
∫∫Ψ
式中为线圈1中感应电流产生的磁感应强度
B1
磁感应强度B可以用它的矢量势A来表示即AB ×?=
对于单匝载流线圈矢量势与电流的关系为
∫∫∫
=
V
r
dVJ
A
π
μ
4
0
因为 lISJVJ ddld?=?=
26 电磁学网上课件 戚伯云
所以
()
SA
lI
A
d
S
r
d
L
2121
2
0
4
×?=
=
∫∫Ψ
∫
π
μ
根据矢量分析中的斯托克斯定理得
()
∫∫
Ψ
∫∫∫∫
∫∫∫?Ψ
==
=?=
=?×=
LL
r
dd
LL
r
dd
d
r
d
LL
d
L
d
S
ll
I
M
llI
l
lI
lASA
21
2
21
2
2
21
2
22
1
10
1
12
21
11
0
110
1221
4
44
π
μ
ππ
μ μ
所以
由此可见互感系数只取决于两个线圈的形状大小和相互位置而与线圈所载的电流无关
同理我们可以得到
()
∫∫
Ψ
∫∫
∫∫Ψ
==
=
×?=
LL
r
dd
LL
r
dd
d
S
ll
I
M
llI
SA
12
12
1
120
2
12
12
1220
1212
4
4
π
μ
π
μ
由于
l
d
2
和
l
d
1
是相互独立的所以积分的次序不影响积分结果因此
M21
=
M12
第四章 电磁感应 27
二自感
当一个线圈中的电流发生变化时它所激发的磁场穿过每匝线圈自身平面的磁通量也随之发生变化从而使线圈产生感应电动势这种因线圈中的电流发生变化而在线圈自身中引起感应电动势的现象称为自感应现象所产生的感应电动势称为自感电动势
设线圈中通有电流I在线圈的形状大小保持不变周围没有铁磁物质的情况下穿过线圈的磁通匝链数Ψ与电流I成正比即 式中LI=Ψ L为比例常数称为自感系数简称自感
当电流I随时间变化时在线圈中产生的自感电动势为
dt
dI
L
dt
d
=
Φ
=ε
三两个串联线圈的自感
两个自感分别为L1 L2的线圈它们的互感为M由这两个线圈串联等效于一个自感线圈但新线圈的自感不等于两线圈自感之和而且大小还与接法有关有顺接和逆接两种方式
28 电磁学网上课件 戚伯云
下面我们分别讨论它们的自感
当两个线圈顺接时两线圈电流的磁通互相加强每个线圈的磁通匝链数都等于自感和互感磁通匝链数之和即
ΨΨΨ
ΨΨΨ
+=
+=
12222
21111
考虑到串联时流过两个线圈的电流相等都为I所以每个线圈中产生的感应电动势为
()
()
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
LL
LL
+?=
+?=?=
+?=
+?=?=
Ψ
Ψ
22
2
2
11
1
1
ε
ε
两个串联线圈的总电动势等于每个线圈的感应电动势之和
第四章 电磁感应 29
()
dt
dI
M
LL
2
21
++?=ε
根据自感系数的定义两个线圈的串联等效于一个自感线圈其自感系数为ML
LL
2
21
++=
由此可见两线圈顺接其等效自感系数大于两个线圈的自感系数之和
对于逆接情况两线圈电流的磁通互相削弱
ΨΨΨ
ΨΨΨ
=
=
12222
21111
感应电动势为
()
()
()
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
LL
LL
LL
2
21
22
2
2
11
1
1
+?=
=
=?=
=
=?=
Ψ
Ψ
ε
ε
ε
其自感系数小于两线圈自感之和
30 电磁学网上课件 戚伯云
例[3-2]如图同轴电缆由半径分别为
R1 R2的两个无限长同轴柱面组成两柱面通过大小相等方向相反的电流求单位长度上电缆的自感系数
[解]根据安培回路定律有
r
I
B
π
μ
2
0
=
r为场点到轴线的距离
在两柱面之间作长为l宽为dr的纵截面通过此截面的磁通两为
第四章 电磁感应 31
r
dr
lI
drdd lBSB
π
μ
2
0
=?=?=Ψ
所以通过长为l的两圆柱面之间的纵截面的磁通量为
==Ψ=Ψ
∫∫
R
R
lI
r
dr
lI
d
R
R
1
2
ln
22
0
2
1
0
π
μ
π
μ
根据自感定义长为l的同轴线的自感为
=
Ψ
=
R
R
l
I
L
1
2
ln
2
0
π
μ
所以单位长度同轴电缆的自感为
==
R
R
l
L
L
1
2
ln
2
0
0
π
μ
§4-4 涡电流与趋肤效应
一涡电流
前面我们讨论了法拉第电磁感应定律随时间变化的磁场可以在其周围空间激发变化的涡旋电场
32 电磁学网上课件 戚伯云
所以当把快状的金属置于随时间变化的磁场中时金属中的载流子将在涡旋电场的作用下运动而形成电流这种电流呈涡旋状因此称为涡电流
因为金属的电阻很小所以不大的感应电动势便可产生较强的涡电流从而可以在金属内产生大量的焦耳热这就是感应加热的原理
下面我们介绍一下涡旋的机械效应
如图为一傅科摆它是一块可以在电磁铁的两极间摆动的铜板当电磁铁未通电时摆要摆动多次才停下但电磁铁一旦通电摆很快停下这种现象称为电磁阻尼
当摆的一部分进入磁场时前半部分的磁通量在增大后半部分的磁通量在减小所以两部分的涡电流方向不同而后半部分还没有进入磁场不受力前半部分的受力方向与运动方向相反阻碍摆的运动电磁阻尼常用于电学测量仪表使指针能迅速稳定
第四章 电磁感应 33
二趋肤效应
我们知道一段均匀的拄状导体中通过直流电流时电流密度在导体的横截面上是均匀分布的 然而当交变电流通过导体时由于交流电产生的交变磁场会在导体内部引起涡流所以电流密度在导体横截面上的分布不再是均匀的越靠近导体表面处电流密度越大这种现象称为趋肤效应随着交变电流频率的提高趋肤效应越明显我们来定性分析一下趋肤效应如图所示当导体中有电流Io通过时在它周围产生环形磁场B当Io变化时B随之变化于是导体中产生涡旋电场从而产生涡旋电流方向如图在轴线附近Io和涡流方向相反有抵消的趋势而在导体表面附近有加强的趋势所以导体横截面上电流密度的分布将是边缘大于中心从而产生趋肤效应
在高频电路中可以采用空心导线代替实心导线此外常采用多股绝缘细导线编织成束来削弱趋肤效
34 电磁学网上课件 戚伯云
应
§4-5暂态过程
一RL电路的暂态过程
如图当电键K合到a点时电路中的电流从零开始增长所以在线圈中将产生感应电动势从而产生感应电流这个感应电流阻碍原电流的增长所以使回路中的电流不能立即达到稳定值Io也就是说当直流电动势接入电路后电流值从零增长到稳定值需要一个暂短的过程这个过程叫暂态过程同理当电流达到稳定值后如突然把电键从a断开合到b即把电源电动势突然从电路中撤去电路中的电流开始下降此时线圈中也将产生感应电动势阻碍原电流的下降所以回路中的电流不能立即降为零这个过程也叫暂态过程
先讨论直流电动势突然引入回路的情况 如果电路中没有线圈当K合上时回路中的电流几乎
第四章 电磁感应 35
立即达到稳定值
R
I
ε
=
0
现在回路中有线圈存在当K合到a点时回路中的电流从无到有随时间变化所以0≠
dt
dI
于是在线圈中产生自感电动势
dI
dt
L
L
=
ε
这个感应电动势和原电动势串联在电路中选取逆时针方向为回路绕行方向此时感应电动势为顺时针方向得到
=
=
=
+=
=
=?=
e
c
c
t
L
R
R
I
t
L
R
R
I
R
R
t
L
R
I
R
dt
L
R
I
R
dI
I
RL
R
I
L
R
Ldt
dI
1
ln
ln
ln
1
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
εε
0=
dt
dI
lIRε我们用分离变量法求解这个一阶线性常系数非齐次微分方程
初始条件为0
0
=
=
I
t
分离变量得
两边积分
利用初始条件t=0时
I=0代入上式得
而,
0I
R
=
ε
令τ=
R
L
得到
36 电磁学网上课件 戚伯云
=
eII
t
τ
1
0
这就是在开关接通后电路中电流I的变化规律下图画出了I随时间t的变化曲线
在RL电路的暂态过程中电流I以指数方式随时间t增长最后达到稳定值从理论上说要达到稳定值须经过无限长的时间
I0
但实际上当
R
L
t ==τ时( )
IeI
I
0
1
0
63.01 =?=
即经过时间τ电流以达到稳定值的63%所以τ是反映电流达到稳定值的63%所须的时间称为回路的时间常数
第四章 电磁感应 37
当电流达到稳定值后突然把电键合到b电源突然从回路中撤去电流从急剧下降
I0
于是0≠
dt
dI
线圈中产生感应电动势企图阻碍电流的减少仍取逆时针方向为回路的绕行方向回路方程为
0= IR
dt
dI
L
初始条件为
I
I
t
0
0
=
=
方程分离变量两边积分得
eI
t
I
dt
L
R
I
dI
τ
=
=
0
式中τ为回路的时间常数这就是当电源电动势突然撤去时后回路中电流的变化规律它以指数的形式随时间下降当t=τ时电流下降到的37%
I0
二RC电路的暂态过程
RC电路的暂态过程就是电容器通过电阻的充电或放电过程
38 电磁学网上课件 戚伯云
先讨论电源电动势突然接入电路的情况如图把电键K突然合到a点电容器将被充电随着电量q
的逐渐增加电容器两极板的电压
C
q
Uc
=也随之增加电路的充电电流为
dt
dq
I =且有即 ε=+
UU
Rc
ε=+ IR
C
q
因此充电过程中q满足的微分方程为
=
=+
=
0
0
q
t
C
q
dt
dq
R ε
当电路充电完成后把电键K从a点突然接到b点于是电容器将放电电路中存在放电电流同时电路中两极板上的电荷由
q
减至零
0
放电过程中q所满足的微分方程为
第四章 电磁感应 39
=
=+
=
qq
t
C
q
dt
dq
R
0
0
0
用分离变量法并利用初始条件求解方程
得到
( ) ( )
=
=
=
e
q
e
C
eqe
C
t
RC
t
t
RC
t
q
τ
τ
ε
ε
0
1
0
1
分别为充电和放电的情况式中εC
q
=
0
RC=τ称为RC电路的时间常数
由此得到充放电过程中电容器两端电压为
()
()
==
e
e
U
t
t
C
C
tq
t
τ
τ
ε
ε 1
这就是RC电路在电源电动势接入或撤去时电容器两端电压的变化规律下图为与时间t的关系曲线
()tq
40 电磁学网上课件 戚伯云
三RLC电路的暂态过程
如图所示当RLC电路中
第四章 电磁感应 41
突然接入或撤去电源时我们讨论电容器两极板上的电荷的变化类似于前面的讨论电容器上的电荷满足的微分方程为
=++
=++
0
'''
2
2
2
2
C
q
dt
q
d
R
t
d
q
d
L
C
q
dt
dq
R
t
d
q
d
L ε
先讨论第一个方程充电
等式两边同时除以L并令
L
R
2
=β
LC
1
0
=
ω
εC
q
=
0
得到 q
q
dt
dq
t
d
q
d
0
2
0
2
02
2
2
ωω
β =++
此方程为一阻尼振荡方程β为阻尼系数
ω0
为电路的固有频率求解方程的两个初始条件为
=
=
=
=
0
0
0
0
dt
dq
q
t
t
42 电磁学网上课件 戚伯云
方程式的解的最终形式取决于β
ω0
的相对大小下面分3种情况给出结果
i,欠阻尼
当<0时
ω
β
2
0
2
称为欠阻尼其解为
+?
= tt
e
qq
q
t
ω
ω
β
ω
β
sincos
00
阻尼振荡解
式中
β
ω
ω
2
2
0
=
ii,过阻尼
当<0时
ω
β
2
0
2
称为过阻尼其解为
()()[]
eee
qq
q
ttt γγβ
γβγβ
γ
+?=
00
2
1
式中
β
ω
γ
2
2
0
=这时q随时间单调上升且β越大上升越慢当β->0时上式回到RC电路情况
iii,临界阻尼
当时
ω
β
2
0
2
=称为临界阻尼此时的解为
e
qq
q
t
t
β
β
+?= )1(
00
第四章 电磁感应 43
这时q也随时间单调上升但比过阻尼情况上升的快
上述3种情况下q随时间t的变化曲线如下图所示
下面我们再简单讨论当电路达到稳定后突然撤去电源电动势电容器放电的情况此时电路方程式可以写为
0'
'
2
'
2
02
2
=++ q
dt
dq
q
d
ω
β
dt
初始条件为
=
=
=
=
0
0
0
0
dt
dq
q
t
t
相应的解为q
q
q?=
0
'式中q为充电情况的电荷解q’的解同q一样分为3种情况如上图所示
44 电磁学网上课件 戚伯云
第二个图
下面我们对RLC电路暂态过程的物理过程作些讨论当电容器充电完毕突然把电键接到b点时电容器开始放电先假定电阻R=0电键未接到b点之前电容器中储有电场能量为
C
Q
U
c
2
2
1
2
2
1
=
线圈内没有磁场能量当电键接到b点时电容器通过线圈放电于是一方面电容器所储的能量逐渐减小另一方面由于放电时有电流通过线圈所以线圈中的磁场能逐渐增加根据能量守恒定律最后达到线圈中磁能最大并等于电容器放电前的能量但是过程至此没有完结当电容器放电完毕在自感电动势的驱动下电流将持续下去使电容器反向充电如此过程反复进行形成等幅的自由振荡
现在我们考虑电路中有电阻R存在对上诉过程的影响由于电流通过R时要消耗一部分能量所以形成阻尼振荡当电阻数值达到一定值时使时
ω
β
2
0
2
=电荷衰减过程不再具有周期性这便是临界阻尼情况当电阻继续增大使时
ω
β
2
0
2
>放电过程进行的更慢这便是过阻尼情况
§4-6 磁能
这一节里我们讨论在电流分布和磁化介质中储存的能量并证明这种能量就储存在该电流系统所产生的磁场中
第四章 电磁感应 45
一单个载流线圈的磁能
前面我们讨论了RL电路的暂态过程当突然把电键合到b后回路中电流没有立即降到零而仍维持
eI
I
τ
=
0
t
这个电流将在电阻R上产生焦耳热
dt
eI
Rdt
I
RdQ
t
τ
2
2
0
2?
==
整个暂态过程在R上产生的焦耳热为
I
L
eI
R
dt
eI
RdQQ
t
t
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
2
1
2
=
==
∞
∞
∫∫
τ
τ
τ
=
Q与线圈的自感和电流有关而当电源刚接入电路时电路的回路方程为
dt
dI
LIR+=ε
得到
+=
+=
I
L
dt
d
R
I
dt
I
d
LR
I
I
22
2
2
2
1
2
1
ε
上式表明单位时间内电源电动势供给电路的能量分为两部分一部分是消耗在电阻R上的焦耳热
46 电磁学网上课件 戚伯云
一部分是克服线圈上的自感电动势所做的功当电流达到稳定后电源电动势克服线圈上的自感电动势所做的总功为
I
L
IW
I
Ld
m
2
0
0
2
2
1
2
1
0
=
=
∫
它正好等于切断电源后电阻上放出的焦耳热这说明自感有储存能量的功能通有电流I的单个线圈储存的能量为
Wm I
L
2
0
2
1
=它与充有电荷Q的平行板电容器储存的能量
Q
C
We
21
2
1
=相对应根据自感系数
L的定义磁能又可以表示为
Φ
=
mm
I
W
2
1
二N个载流线圈系统的磁能
现在我们讨论由N个线圈组成的系统的储能情况
这时除须考虑每个线圈的自感外还要考虑它们之间的互感为简化讨论假设所给线圈的电阻很小可以忽略各线圈的电流由零逐渐增加到给定值
Ii
将各线圈的电流=0取为零态
Ii
在某一瞬时t
第I个线圈中的感应电动势由自感电动势和互感电动势两部分组成
εi
dt
dI
dt
dI k
N
ik
k
ik
i
i ML
∑
≠
=
=
1
εi
式中
Li
是第I个线圈的自感
Mik
是第I个线圈和第k个线圈的互感
第四章 电磁感应 47
第i个线圈的电源电动势在dt时间内反抗感应电动势所作的功为
εi
IIMIILI ki
N
ik
k
ikiiiiii
dddt
dW
∑
≠
=
+=?=
1
' ε
N个线圈的电源电动势所做的总功为
dW
IIMIIL ki
N
ik
ki
ikiii
N
i
dd
∑∑
≠
==
+=
1,1
'
由于
( )
II
d
MdIIMdIIM
MM
kiikikkikiik
kiik
=+
=
所以
()
ILIIM
IIMIIL
i
N
i
iki
N
ki
ki
ik
ki
N
ki
ki
ikiii
N
i
W
dd
dW
2
11,
1,1
2
1
'
'
∑∑
∑∑
=
<
=
<
==
+=
+=
该功定义为N个载流线圈系统的静磁能
Wm
ILIIMILIIMW i
N
i
iki
N
ki
ki
iki
N
i
iki
N
ki
ki
ikm
W
2
11,
2
11,2
1
2
1
2
1
'
∑∑∑∑
=
≠
==
<
=
+=+==
即系统的总磁能分为两项第一项表示N个线圈系统的互感磁能第二项表示其总的自感磁能系统的磁能与每个线圈电流的建立过程无关
48 电磁学网上课件 戚伯云
令
LM iii
=则上式可表示为更简洁的形式
IIMW ki
N
ki
ikm
∑
=
=
1,
2
1
根据互感系数的定义第k个线圈中电流的磁场通过第I个线圈的磁通量为
IMIM kkikikki =Φ
=
再令 于是有
IM k
N
i
ki
N
i
kii
∑∑
ΦΦ
==
==
11
IW i
N
i
im
∑
Φ
=
=
1
2
1
三磁场的磁能
在RL电路中当I=0时线圈中磁场为零当电流从零增长至时
I0
线圈中的磁场也在逐渐增长当I=时
I0
线圈中的磁场也达到稳定值当电流撤去时随着电流从降至零
I0
线圈中的磁场也由稳定值降为零我们说线圈中的能量是储存在磁场中的
证明如下
根据自感系数的定义有
第四章 电磁感应 49
()
dVddI
dIdI
I
I
ILI
W
VLL
SS
m
m
JAlIAlA
SASB
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
Φ
=?=?=
×?=?=
=
Φ
==
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
上述积分是对电流存在的空间积分
因为 HJ ×?=
所以
()()()
()()()AHHAHA
baabba
HAJA
×+×=×
××=×
×=?
于是
() (dVdV
dVW
AHHA
JA
V
×+×=
=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
∞∞
2
1
2
1
)
再应用矢量分析的高斯定律得到
() dVdW BHSHA
s
+?×=
∫∫∫∫∫
∞∞>?
2
1
2
1
50 电磁学网上课件 戚伯云
因为电流只分布在有限空间中所以它产生的矢量势和磁场强度也是有限的于是我们得到
dVW H?=
∫∫∫
∞
B
2
1
单位体积中的磁场能量称为磁能密度记为
1
HB
m
=
2
ω
这就证明了线圈中的磁能的确储存在磁场中或者说磁场和电场一样是物质的一种存在形式它具有能量
第四章 电磁感应
继1820年丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应后1831年法拉第电磁感应现象的发现和电磁感应定律的建立是电磁学发展史上最辉煌的成就之一它揭示了变化的磁场和变化的电场之间的本质联系和互相转化的规律为麦克斯韦普遍电磁理论的建立奠定了基础为电工和电子技术的发展做出了无可估量的贡献
§4-1 电磁感应定律
一电磁感应的实验现象
如图当s合上后无论左侧电路中电源的电动势有多大即无论电流有多大接在右侧电路中的
2 电磁学网上课件 戚伯云
电流计的指针都不动在一个偶然的机会1831年当法拉第把电键s闭合的瞬间他观察到了电流计指针的偏移而s断开瞬间指针会反向偏移然后回到零点他得出结论变化的磁场可以产生电场因为当电键闭合瞬间右侧线圈的电流由零开始增长从而产生了一个由零开始增长的变化的磁场这个磁场同时通过左侧线圈使其通过一个变化的磁通量从而产生电流当右侧电流增长为一个稳定值时磁场不再变化从而通过线圈的磁通量不再变化所以左侧线圈的电路电流为零当电键断开瞬间其过程刚好相反法拉第把这个由变化的磁通量产生的电流叫感应电流
1832年法拉第发现在相同的条件下不同金属导体中的感应电流的大小与导体的导电能力成正比这使法拉第意识到感应电流是由与导体性质无关的感应电动势产生的也就是说由于通过导线回路的磁通量的变化可以在导体中产生感应电动势
还有很多类似的实验,
如图空心线圈与一个电流计构成一个电路未接电源 在磁棒插入线圈的过程中电流计的指针
第四章 电磁感应 3
偏移插入的速度越大指针偏转越厉害当磁棒运动停止时指针回到零点在磁棒抽出时指针反向偏转这说明磁通量的变化使线圈电路中产生了感应电动势从而产生感应电流感应电动势的大小与线圈和磁棒的相对运动速度有关
如图所示接有电流表的导体框CDEF放于均匀的磁场中B垂直于框平面当EF以速度v无摩擦向右滑动时电流计指针发生偏转速度越大偏转越厉害EF反向运动时电流计指针反向偏转此实验中磁感强度B没有变化但由于EF向右或向左运动导体框的面积在随时间变化于是通过导体框的磁通量随时间变化所以在导体回路中产生了感应电动势从而产生了感应电流EF的速度越大单位时间内通过导体框的磁通量变化越大从另一个角度来看感应电流的产生是由于闭合导体的一段
EF切割磁力线所产生的
4 电磁学网上课件 戚伯云
上图是一直流发电机的原理图当导体圆盘绕轴以角速度w旋转时电流计指针发生偏转w越大偏转越厉害
第四章 电磁感应 5
二法拉第电磁感应定律
Michael Faraday (1791-1867)
法拉第通过各种实验不仅发现了电磁感应现象而且总结出了电磁感应的共同规律
当通过导体回路的磁通量随时间发生变化时回路中就有感应电动势产生从而产生感应电流这个磁通量的变化可以是由磁场变化引起的也可以是由于导体在磁场中运动或导体回路中的一部分切割磁力线的运动而产生的
一 感应电动势的大小与磁通量变化的快慢有关
电磁感应现象的实质是磁通量的变化产生感应电动势
二 感应电动势的方向总是企图由它产生的感应电流建立一个附加的磁通量以阻止引起感应电动势的那个磁通量的变化
法拉第实验规律可以用数学公式表示如下
6 电磁学网上课件 戚伯云
dt
dΦ
=ε
这个方程叫做法拉第电磁感应定律
关于法拉第电磁感应定律我们强调以下几点
A引起导体回路中产生感应电流的原因是由于电磁感应在回路中建立了感应电动势它比感应电流更本质即使由于回路中的电阻无限大而使电流为零感应电动势依然存在
B在回路中产生感应电动势的原因是由于通过回路平面的磁通量的变化而不是磁通量本身即使通过回路的磁通量很大但只要它不随时间变化回路中依然不会产生感应电动势
通过平面s的磁通量为
θcosBS
SB
m
=?=
Φ
式中θ是B与S的法线n之间的夹角所以根据复合函数求微商的法则有
dt
d
BS
dt
dS
B
dt
dB
S
dt
d θ
θθθε sincoscos +=
Φ
=
上式表明引起磁通量变化的原因可以是磁感应强度随时间变化也可以是回路的面积随时间变化也可以是B和S都不变而是它们之间的夹角在随时间变化
C法拉第电磁感应中-的物理意义在于负号指明了感应电动势的方向实验证明感应电动势的方向总是这样的
使由它引起的感应电流所产生的磁场通过回路的磁通量阻碍引起感应电流的那个磁通量的变化这
第四章 电磁感应 7
就是楞次定律
关于感应电动势的方向问题我们需要讨论两点
1 为什么感应电动势的方向必须是楞次定律所规定的方向
2 在法拉第电磁感应中感应电动势的正负怎样确定
对于1的原因在于它是由能量守恒定律所要求的
在前面的第二个实验中当磁铁插入线圈时穿过线圈的磁通量增加按照楞次定律感应电流激发的磁通量应与原磁通量相反线圈将对磁棒产生一个排斥力阻碍磁棒继续往下插入所以要使感应电流连续不断则外界必须克服这个排斥力对磁棒作功因此线圈中感应电流的获得是以消耗机械能为代价的反之容易得到如果感应电动势的方向与楞次定律规定的方向相反只要磁铁稍有运动在线圈中就能连续不断的产生感应电流这是不可能的因为它违背了能量守恒定律所以感应电动势的方向一定是楞次定律规定的方向
下面我们讨论问题2
如何确立感应电动势的正负问题
电动势ε与磁通量Φ的正负都与回路的绕行方向有关所以 要讨论感应电动势和磁通量的方向首先要选定回路的绕行方向作为计算磁通量和感应电动势的参考方向绕行方向选定后若计算电动势为正值 表明电动势的方向与回路绕行的方向一致反之相反但必须强调根据上述约定不管开始时选定怎样的绕行方向应用法拉第定律得到的感应电动势的方向和数值是唯一确定的与回路绕行方向的选取无关
[例1-1 ] 如图所示两个半径分别为R,r相距为z的同轴平面线圈a和b假设R>>r z>>r线圈a
载有恒定的电流I线圈B以速率v沿z轴向上运动试计算线圈B中的感应电动势并确定其方向
8 电磁学网上课件 戚伯云
[解] 载流线圈a在轴线上z点所产生的
磁感强度为
()zR
R
I
B
22 2
3
2
0
2
+
=
μ
B的方向沿z轴的正方向由于z>>R r<<R所以在线圈b所围的平面内B可以近似看作均匀分布的由于线圈b沿Z轴正方向以速度v运动因此通过线圈b的磁通量发生变化所以在线圈b中产生感应电动势从而产生感应电流
下面我们选不同的回路绕行方向来计算感应电动势
第四章 电磁感应 9
(a)选取线圈b的绕行方向为逆时针方向
b的法线n的方向为z轴的正方向即与通过线圈b的磁场B同方向通过b的磁通量为
()
0
2 22 2
3
0
2
2
>=
==?=Φ
+
∫∫∫∫
zR
R
I
rB
BdSd
ss
SB
μ
π
因为z>>R得到
r
z
R
I
π
μ
2
3
2
0
2
=Φ
根据法拉第电磁感应定律求得感应电动势为
dt
dz
z
rIR
z
dt
d
rR
I
dt
d
2
3
1
2
4
22
0
3
220
πμ
π
μ
ε?
=
Φ
=
=
dt
dz
= v
10 电磁学网上课件 戚伯云
Iv
z
rIR
2
3
4
22
0
πμ
ε =
因为ε>0所以感应电动势与回路的绕行方向一致即逆时针方向I的方向也为逆时针方向
(b)选取线圈b的绕行方向为顺时针方向
这时n与B的方向相反于是通过线圈b的磁通量为
()
0
2 22 2
3
2
0
<
+
=Φ
zR
R
I
μ
所以
0
2
3
4
22
0
<?=
Φ
= Iv
z
rIR
dt
d
πμ
ε
所以感应电动势的方向与选定的回路b的绕行方向相反即沿逆时针方向从而线圈中的感应电流的方向也沿逆时针方向结果与a相同
本例题表明为了在解题过程中计算通过回路的磁通量和考虑电动势的方向必须先选定一个绕
第四章 电磁感应 11
行方向作为参考方向但应用法拉第定律得到的感应电动势的大小和方向是唯一确定的与回路方向的选定无关
§4-2 动生电动势与感生电动势
法拉第电磁感应定律证明只要通过回路的磁通量随时间变化就会在回路中产生感应电动势而引起磁通量变化的原因不外乎有两种情况一种是导体回路或其一部分在磁场中运动使其回路面积或回路的法线与磁感应强度B的夹角随时间变化从而使回路中的磁通量发生变化第二种是回路不动磁感强度随时间变化从而使通过回路的磁通量发生变化我们把因第一种原因而在回路中产生的感应电动势称为动生电动势把因第二种原因而在回路中建立的感应电动势称为感生电动势
一动生电动势
a I
B v
b
关于动生电动势的产生原因我们可以用在磁场中运动的电荷将受到洛仑兹力加以解释如图U
12 电磁学网上课件 戚伯云
形导体框置于匀强磁场B中长为l的导体棒可以在导体框上无摩擦地滑动外力F作用于导体棒使之获得向右的速度v于是导体棒内的载流子也获得了向速度v由于导体棒在磁场中所以棒中每个电子将受到洛仑兹力Bvef ×?= f的方向垂直向下于是电子将向下运动从而引起负电荷在棒的下端的积累正电荷在棒的上端的积累从而导致了导体内部一个自上而下的静电场的建立当导体棒中的电子所受磁场力等于电场力时达到平衡ab间的电压达到一个稳定值可见ab相当于一个电源其电动势就是感应电动势
电动势的定义是使单位正电荷从电源的负极通过内部到达电源正极的过程中非静电力所作的功这里非静电力K就是单位正电荷所受的洛仑兹力即
()BvBv
F
K e
ee
×=×=?=
1
所以动生电动势为
()lBvlK dd
b
a
×=?=
∫∫
+
ε
由此可见产生动生电动势的原因是由于导体在磁场中运动时导体中的载流子获得了一个定向的宏观运动速度从而受到洛仑兹力的结果因此有时形象的说只有当导线作切割磁感应线运动时才产生感应电动势在普遍情况下一个任意形状的导体线圈L不一定闭合在任意恒定的磁场中运动或发生形变时dl和v的大小和方向都可能是不同的这时L中的感生电动势为
第四章 电磁感应 13
()lBv d
L
×=
∫
ε
综上所述动生电动势只产生于在磁场中运动的导体上若这个导体是闭合导体回路的一部分则在回路中产生感应电流若这个运动导体不构成回路则导体两端有一定的电势差相当于一个开路的电源
二再论洛仑兹再力不作功
我们知道由于洛仑兹力始终与带电粒子的运动方向垂直所以它对电荷是不作功的.但在上面讨论动生电动势的时候又认为一段导体在磁场中运动时由于导体中的载流子获得了一个定向的宏观的运动速度于是它在磁场中受到洛仑兹力所以动生电动势是非静电力----洛仑兹力移动单位正电荷所做的功但这和洛仑兹力不作功是不矛盾的在讨论动生电动势时我们只考虑了电荷随导体运动的速度v
而没有考虑电荷受到洛仑兹力f而在导体内部的运动速度u实际上载流子的运动速度应为V=v+u
如图所示
14 电磁学网上课件 戚伯云
电荷-e所受的洛仑兹力为
()
()
'ff
BuBv
Buv
BvF
ee
e
+=
×?+×?=
×+?=
×?=
F中第一项f即我们在讨论动生电动势时的非静电起源力而
Bu'f e ×?=
与f垂直与导体棒的运动速度v反向即f’阻碍导体棒的向右运动欲使导体棒保持以速度v运动外力必须克服而对棒作功'f下面我们证明把单位正电荷从a移动到b洛仑兹力f所作的功正好等于f’对导体棒所做的负功即外力克服f’所作的功
第四章 电磁感应 15
把正电荷从a移动到b
f的功率为 ( ) uBve
P
×=
1
f’的功率为 ( ) vBuep?×=
2
( ) ( ) ( ) vBuBuvuBv?×?=×=?×
又因为
所以总的洛仑兹力F的功率为
( ) ( ) 0
21
=?×+?+=+= vBuuBv ee
PPP
这就证明了洛仑兹力是不作功的
三根据法拉第电磁感应定律
S
B
SB d
t
d
dt
d
dt
d
ss
==?=
∫∫∫∫
Φ
ε
也会在导体回路中产生感应电动势这种感应电动势成为感生电动势感生电动势和涡旋电场
当置于磁场中的导体回路不动而磁场随时间变化时 那么产生感生电动势的非静电力是什么呢首先它不是洛仑兹力因为导体并没有运动所以导体中的载流子没有定向宏观的运动速度然而当磁场变化时导体回路中产生了感应电流说明带电粒子一定受到了一种力这种力不是磁场力那么只有一种可能即当磁场随时间变化时在空间激发了一种新的电场导体中的载流子在这个电场的作
16 电磁学网上课件 戚伯云
用下在闭合回路中产生了感应电流J.C.Maxwell在分析电磁感应现象的基础上提出了一个大胆的假设变化的磁场在其周围空间激发一种新的电场这种电场成为涡旋电场产生感生电动势的非静电力就是这个涡旋电场力
涡旋电场和库仑电场的共同之处是它们都是一种客观存在的物质它们对电荷都能施加力的作用它们的不同之处在于涡旋电场是由变化的磁场激发的而不是由电荷产生的涡旋电场的电力线是一些闭合的曲线所以它的环路不为零因而它不是保守力场或势场常称为有旋场而库仑电场是保守力场即有势场用数学形式表示为
B
对涡旋电场
SlE d
t
d
SL
=?
∫∫∫
对库仑场有
0=?
∫
lE d
L
当空间同时存在库仑电场和涡旋电场时总电场为
EEE
驶旋
+=
∴
S
B
lE d
t
d
SL
=?
∫∫∫
当空间不存在磁场或磁场不随时间变化时上式回到静电场的环路定理当空间不存在电荷时上式回到法拉第电磁感应定律
综上所述麦克斯韦对感生电动势成因的解释揭示了电磁感应定律更深层次的物理本质
第四章 电磁感应 17
随时间变化的磁场在其周围空间激发涡旋电场
下面我们讨论上式的微分形式
()
即
0
0
=
+×?∴
=?
+×?
=
×?=?
∫∫
∫∫
∫∫∫
t
d
t
d
t
dd
B
E
S
B
E
S
B
SElE
S
S
SL
这一公式表明变化的磁场在空间激发涡旋电场而与空间中是否有导体无关
利用磁场的矢量势A AB ×?=上式可写成0=
+×?
t
A
E
又由于任何标量函数的梯度的旋量恒等于零所以上式可写为
=
t
A
E
这就是用矢量势A和标量势?表示电场强度E的普遍表达式
为了使矢量势A有确定值在恒定磁场的情况下用附加条件
18 电磁学网上课件 戚伯云
0= A来限制A对于随时间变化的电场常采用
0
0
0
=
+
t
A
μ
ε
作为附加条件来限制A和?该条件称为洛仑兹规范
此外根据法拉第电磁感应定律有
S
B
lE d
t
d
SL
=?
∫∫∫
式中S为以l为周界的任意曲面我们选以L为周界的任意曲面S1和S2而S1 S2组成一个闭合曲面S即S=S1+S2 根据法拉第定律通过任意一个以L为周界的曲面的磁通量的时间变化率为一确定值即等于回路L中产生的感应电动势所以
S
B
S
B
d
t
d
t
SS
=?
∫∫∫∫
21
若规定闭合曲面S的面元dS的方向为S的外法线方向则上式中对S2的积分应反号所以
∫∫∫∫∫∫
=?
SSS
SSS d
t
d
t
d
t
BBB
21
根据场论中的奥-高定理有
第四章 电磁感应 19
() 0=
∫∫∫∫∫∫∫∫
=
=?
VBV
B
S d
t
d
t
d
t
VVS
B
为了使积分对任意体积都成立被积函数必须为零即
()0=
B
t?
这告诉我们如果原来没有磁场或只有稳恒电流的磁场后来虽然有了变化的磁场但该处B的散度仍然为零所以0= B对变化的磁场也适用变化的磁场也是一个无源场
四电磁感应和相对性原理
S
N
L
我们选3个坐标系S系固定在磁棒上S’系固定在线圈L上S’’系固定在地面上从3个惯性系
20 电磁学网上课件 戚伯云
的静止的观察者的角度出发考虑以速度v相对运动着的导体回路和磁棒在导体回路中产生感应电动势的情况如图所示
null 对于S中的观察者看到的是磁铁是静止的而线圈以速度-v向着磁棒运动即线圈在磁棒产生的磁场B中运动所以他认为导体回路中的电动势是动生电动势其大小为
()lBv d
L
×?=
∫
ε
null 相对于S’静止的观察者看到的是线圈L是静止不动的磁棒以速度v向着线圈运动所以使磁场的空间分布随时间变化穿过静止的导体回路的磁通量随之发生变化这一变化将在回路中产生涡旋电场所以他认为导体回路中的电动势是感生电动势其大小为
Sl d
t
d
SL
=?=
∫∫∫
B
E
旋
ε
null 对于S’’系中的观察者看到的是磁棒和导体都在运动所以他认为导体回路中的电动势是动生电动势和感生电动势的和即
() lElBv dd
LL
+?×?=
∫∫
'''ε
根据电场和磁场在不同惯性系中的相对论变换规律我们知道在不同的惯性系中所观测到的电场和磁场是可以不同的即E和E’.B 和B’都有可能不同尽管3个观察者所看到的情况有很大的差异但
第四章 电磁感应 21
导体回路中的感应电动势的大小和方向却是相同的这并不是巧合而是相对性原理的结果这一结果进一步证明磁场和电场并非彼此无关的它们的划分是相对的是与惯性系的选取有关的爱因斯坦在1905年发表的关于狭义相对论的著名论文论运动物体的电动力学中对此作了精辟的论述
五电子感应加速器
应用涡旋电场加速电子的电子感应加速器是麦克斯韦关于变化的磁场在其周围激发涡旋电场的假设的最直接的实验验证其结构如图圆形电磁铁的两极有一环形真空室在交变电流的激励下两极间出现交变磁场这个交变磁场激发一涡旋电场从电子枪射入真空室的电子受到两个力的作用一是涡旋电场力使电子沿切向加速二是径向的洛仑兹力使电子做圆周运动
交变磁场随时间的正弦变化导致涡旋电场方向随时间变化
22 电磁学网上课件 戚伯云
如图因为电子带负电显然只有第一四两个1/4周期内才能被加速但在第四个1/4周期中洛仑兹力的方向由于B向下而向外不能充当向心力因此须在每个周期的前1/4周期之末设法将电子束引力轨道进入靶室就已经能使电子加速到具有足够高的能量了
根据工程上的需要要求被加速电子维持在恒定的圆形轨道上运动设轨道半径为R设在轨道处的磁感应强度为电子受到的洛仑兹力提供向心力
BR
根据牛顿第二定律有
B
v
R
ev
R
m =
2
即
BR
eRmv =
上式表明只要电子动量mv与磁感应强度成正比例增加
BR
就能实现R不变下面我们讨论电子动量的变化规律
电子受到的涡旋电场力为
第四章 电磁感应 23
dt
de
e
R
Φ
=?
π2
E旋
根据牛顿第二定律有
()
dt
de
e
dt
mvd
R
E
Φ
=?=
π2
旋
设初始条件为t=0时Φ=0 v=0对上式积分得
B
22
eR
R
e
mv ≈Φ=
π
式中B为通过电子轨道平面的平均磁感应强度其大小为
SB
R
dB
Rr
=
∫∫
<
2
1
π
得到
BBR
2
`1
=
以上分析对相对论的情况也成立因此电子感应加速器不存在相对论限制但是做圆周运动的电子具有加速度凡是电荷作加速运动就会辐射电磁波而损失能量电子能量越大加速器尺寸越小辐射损失就越厉害只有补偿了这一辐射损失才能使电子保持其速率电子速率越大需要补充的能量就越大这是对电子感应加速器的一个严重的限制
24 电磁学网上课件 戚伯云
§4-3 自感与互感
一互感
当一个线圈中的电流发生变化时将在周围空间产生变化的磁场从而在它附近的另一个线圈中产生感应电动势这种现象称为互感现象,
一个线圈中的互感电动势的大小不仅与另一个线圈中电流改变的快慢有关而且与两个线圈的结构及它们之间的相对位置有关
如图线圈I1产生的磁场B1它穿过线圈2的磁通匝链数为
Ψ21
若线圈的形状大小相对位置均保持不变周围无磁性物质则根据毕奥-萨代尔定律有
I12121 M
=
Ψ
第四章 电磁感应 25
式中
M21
为比例系数同理有
I21212 M
=
Ψ
下面我们证明=
M21 M12
我们统一用M表示称为互感系数
根据法拉第电磁感应定律1和2中的感应电动势分别为
dt
d
M
dt
d
dt
d
M
dt
d
I
I
121
2
212
1
=?=
=?=
Ψ
Ψ
ε
ε
互感的单位为亨利用H表示
AA
sVWbH
11
111
=?=
我们假设两线圈都是单匝线圈因为
I12121 M
=
Ψ
而
SB
d
S
2121
2
=
∫∫Ψ
式中为线圈1中感应电流产生的磁感应强度
B1
磁感应强度B可以用它的矢量势A来表示即AB ×?=
对于单匝载流线圈矢量势与电流的关系为
∫∫∫
=
V
r
dVJ
A
π
μ
4
0
因为 lISJVJ ddld?=?=
26 电磁学网上课件 戚伯云
所以
()
SA
lI
A
d
S
r
d
L
2121
2
0
4
×?=
=
∫∫Ψ
∫
π
μ
根据矢量分析中的斯托克斯定理得
()
∫∫
Ψ
∫∫∫∫
∫∫∫?Ψ
==
=?=
=?×=
LL
r
dd
LL
r
dd
d
r
d
LL
d
L
d
S
ll
I
M
llI
l
lI
lASA
21
2
21
2
2
21
2
22
1
10
1
12
21
11
0
110
1221
4
44
π
μ
ππ
μ μ
所以
由此可见互感系数只取决于两个线圈的形状大小和相互位置而与线圈所载的电流无关
同理我们可以得到
()
∫∫
Ψ
∫∫
∫∫Ψ
==
=
×?=
LL
r
dd
LL
r
dd
d
S
ll
I
M
llI
SA
12
12
1
120
2
12
12
1220
1212
4
4
π
μ
π
μ
由于
l
d
2
和
l
d
1
是相互独立的所以积分的次序不影响积分结果因此
M21
=
M12
第四章 电磁感应 27
二自感
当一个线圈中的电流发生变化时它所激发的磁场穿过每匝线圈自身平面的磁通量也随之发生变化从而使线圈产生感应电动势这种因线圈中的电流发生变化而在线圈自身中引起感应电动势的现象称为自感应现象所产生的感应电动势称为自感电动势
设线圈中通有电流I在线圈的形状大小保持不变周围没有铁磁物质的情况下穿过线圈的磁通匝链数Ψ与电流I成正比即 式中LI=Ψ L为比例常数称为自感系数简称自感
当电流I随时间变化时在线圈中产生的自感电动势为
dt
dI
L
dt
d
=
Φ
=ε
三两个串联线圈的自感
两个自感分别为L1 L2的线圈它们的互感为M由这两个线圈串联等效于一个自感线圈但新线圈的自感不等于两线圈自感之和而且大小还与接法有关有顺接和逆接两种方式
28 电磁学网上课件 戚伯云
下面我们分别讨论它们的自感
当两个线圈顺接时两线圈电流的磁通互相加强每个线圈的磁通匝链数都等于自感和互感磁通匝链数之和即
ΨΨΨ
ΨΨΨ
+=
+=
12222
21111
考虑到串联时流过两个线圈的电流相等都为I所以每个线圈中产生的感应电动势为
()
()
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
LL
LL
+?=
+?=?=
+?=
+?=?=
Ψ
Ψ
22
2
2
11
1
1
ε
ε
两个串联线圈的总电动势等于每个线圈的感应电动势之和
第四章 电磁感应 29
()
dt
dI
M
LL
2
21
++?=ε
根据自感系数的定义两个线圈的串联等效于一个自感线圈其自感系数为ML
LL
2
21
++=
由此可见两线圈顺接其等效自感系数大于两个线圈的自感系数之和
对于逆接情况两线圈电流的磁通互相削弱
ΨΨΨ
ΨΨΨ
=
=
12222
21111
感应电动势为
()
()
()
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
dt
dI
M
dt
dI
M
dt
dI
dt
d
LL
LL
LL
2
21
22
2
2
11
1
1
+?=
=
=?=
=
=?=
Ψ
Ψ
ε
ε
ε
其自感系数小于两线圈自感之和
30 电磁学网上课件 戚伯云
例[3-2]如图同轴电缆由半径分别为
R1 R2的两个无限长同轴柱面组成两柱面通过大小相等方向相反的电流求单位长度上电缆的自感系数
[解]根据安培回路定律有
r
I
B
π
μ
2
0
=
r为场点到轴线的距离
在两柱面之间作长为l宽为dr的纵截面通过此截面的磁通两为
第四章 电磁感应 31
r
dr
lI
drdd lBSB
π
μ
2
0
=?=?=Ψ
所以通过长为l的两圆柱面之间的纵截面的磁通量为
==Ψ=Ψ
∫∫
R
R
lI
r
dr
lI
d
R
R
1
2
ln
22
0
2
1
0
π
μ
π
μ
根据自感定义长为l的同轴线的自感为
=
Ψ
=
R
R
l
I
L
1
2
ln
2
0
π
μ
所以单位长度同轴电缆的自感为
==
R
R
l
L
L
1
2
ln
2
0
0
π
μ
§4-4 涡电流与趋肤效应
一涡电流
前面我们讨论了法拉第电磁感应定律随时间变化的磁场可以在其周围空间激发变化的涡旋电场
32 电磁学网上课件 戚伯云
所以当把快状的金属置于随时间变化的磁场中时金属中的载流子将在涡旋电场的作用下运动而形成电流这种电流呈涡旋状因此称为涡电流
因为金属的电阻很小所以不大的感应电动势便可产生较强的涡电流从而可以在金属内产生大量的焦耳热这就是感应加热的原理
下面我们介绍一下涡旋的机械效应
如图为一傅科摆它是一块可以在电磁铁的两极间摆动的铜板当电磁铁未通电时摆要摆动多次才停下但电磁铁一旦通电摆很快停下这种现象称为电磁阻尼
当摆的一部分进入磁场时前半部分的磁通量在增大后半部分的磁通量在减小所以两部分的涡电流方向不同而后半部分还没有进入磁场不受力前半部分的受力方向与运动方向相反阻碍摆的运动电磁阻尼常用于电学测量仪表使指针能迅速稳定
第四章 电磁感应 33
二趋肤效应
我们知道一段均匀的拄状导体中通过直流电流时电流密度在导体的横截面上是均匀分布的 然而当交变电流通过导体时由于交流电产生的交变磁场会在导体内部引起涡流所以电流密度在导体横截面上的分布不再是均匀的越靠近导体表面处电流密度越大这种现象称为趋肤效应随着交变电流频率的提高趋肤效应越明显我们来定性分析一下趋肤效应如图所示当导体中有电流Io通过时在它周围产生环形磁场B当Io变化时B随之变化于是导体中产生涡旋电场从而产生涡旋电流方向如图在轴线附近Io和涡流方向相反有抵消的趋势而在导体表面附近有加强的趋势所以导体横截面上电流密度的分布将是边缘大于中心从而产生趋肤效应
在高频电路中可以采用空心导线代替实心导线此外常采用多股绝缘细导线编织成束来削弱趋肤效
34 电磁学网上课件 戚伯云
应
§4-5暂态过程
一RL电路的暂态过程
如图当电键K合到a点时电路中的电流从零开始增长所以在线圈中将产生感应电动势从而产生感应电流这个感应电流阻碍原电流的增长所以使回路中的电流不能立即达到稳定值Io也就是说当直流电动势接入电路后电流值从零增长到稳定值需要一个暂短的过程这个过程叫暂态过程同理当电流达到稳定值后如突然把电键从a断开合到b即把电源电动势突然从电路中撤去电路中的电流开始下降此时线圈中也将产生感应电动势阻碍原电流的下降所以回路中的电流不能立即降为零这个过程也叫暂态过程
先讨论直流电动势突然引入回路的情况 如果电路中没有线圈当K合上时回路中的电流几乎
第四章 电磁感应 35
立即达到稳定值
R
I
ε
=
0
现在回路中有线圈存在当K合到a点时回路中的电流从无到有随时间变化所以0≠
dt
dI
于是在线圈中产生自感电动势
dI
dt
L
L
=
ε
这个感应电动势和原电动势串联在电路中选取逆时针方向为回路绕行方向此时感应电动势为顺时针方向得到
=
=
=
+=
=
=?=
e
c
c
t
L
R
R
I
t
L
R
R
I
R
R
t
L
R
I
R
dt
L
R
I
R
dI
I
RL
R
I
L
R
Ldt
dI
1
ln
ln
ln
1
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
εε
0=
dt
dI
lIRε我们用分离变量法求解这个一阶线性常系数非齐次微分方程
初始条件为0
0
=
=
I
t
分离变量得
两边积分
利用初始条件t=0时
I=0代入上式得
而,
0I
R
=
ε
令τ=
R
L
得到
36 电磁学网上课件 戚伯云
=
eII
t
τ
1
0
这就是在开关接通后电路中电流I的变化规律下图画出了I随时间t的变化曲线
在RL电路的暂态过程中电流I以指数方式随时间t增长最后达到稳定值从理论上说要达到稳定值须经过无限长的时间
I0
但实际上当
R
L
t ==τ时( )
IeI
I
0
1
0
63.01 =?=
即经过时间τ电流以达到稳定值的63%所以τ是反映电流达到稳定值的63%所须的时间称为回路的时间常数
第四章 电磁感应 37
当电流达到稳定值后突然把电键合到b电源突然从回路中撤去电流从急剧下降
I0
于是0≠
dt
dI
线圈中产生感应电动势企图阻碍电流的减少仍取逆时针方向为回路的绕行方向回路方程为
0= IR
dt
dI
L
初始条件为
I
I
t
0
0
=
=
方程分离变量两边积分得
eI
t
I
dt
L
R
I
dI
τ
=
=
0
式中τ为回路的时间常数这就是当电源电动势突然撤去时后回路中电流的变化规律它以指数的形式随时间下降当t=τ时电流下降到的37%
I0
二RC电路的暂态过程
RC电路的暂态过程就是电容器通过电阻的充电或放电过程
38 电磁学网上课件 戚伯云
先讨论电源电动势突然接入电路的情况如图把电键K突然合到a点电容器将被充电随着电量q
的逐渐增加电容器两极板的电压
C
q
Uc
=也随之增加电路的充电电流为
dt
dq
I =且有即 ε=+
UU
Rc
ε=+ IR
C
q
因此充电过程中q满足的微分方程为
=
=+
=
0
0
q
t
C
q
dt
dq
R ε
当电路充电完成后把电键K从a点突然接到b点于是电容器将放电电路中存在放电电流同时电路中两极板上的电荷由
q
减至零
0
放电过程中q所满足的微分方程为
第四章 电磁感应 39
=
=+
=
t
C
q
dt
dq
R
0
0
0
用分离变量法并利用初始条件求解方程
得到
( ) ( )
=
=
=
e
q
e
C
eqe
C
t
RC
t
t
RC
t
q
τ
τ
ε
ε
0
1
0
1
分别为充电和放电的情况式中εC
q
=
0
RC=τ称为RC电路的时间常数
由此得到充放电过程中电容器两端电压为
()
()
==
e
e
U
t
t
C
C
tq
t
τ
τ
ε
ε 1
这就是RC电路在电源电动势接入或撤去时电容器两端电压的变化规律下图为与时间t的关系曲线
()tq
40 电磁学网上课件 戚伯云
三RLC电路的暂态过程
如图所示当RLC电路中
第四章 电磁感应 41
突然接入或撤去电源时我们讨论电容器两极板上的电荷的变化类似于前面的讨论电容器上的电荷满足的微分方程为
=++
=++
0
'''
2
2
2
2
C
q
dt
q
d
R
t
d
q
d
L
C
q
dt
dq
R
t
d
q
d
L ε
先讨论第一个方程充电
等式两边同时除以L并令
L
R
2
=β
LC
1
0
=
ω
εC
q
=
0
得到 q
q
dt
dq
t
d
q
d
0
2
0
2
02
2
2
ωω
β =++
此方程为一阻尼振荡方程β为阻尼系数
ω0
为电路的固有频率求解方程的两个初始条件为
=
=
=
=
0
0
0
0
dt
dq
q
t
t
42 电磁学网上课件 戚伯云
方程式的解的最终形式取决于β
ω0
的相对大小下面分3种情况给出结果
i,欠阻尼
当<0时
ω
β
2
0
2
称为欠阻尼其解为
+?
= tt
e
q
t
ω
ω
β
ω
β
sincos
00
阻尼振荡解
式中
β
ω
ω
2
2
0
=
ii,过阻尼
当<0时
ω
β
2
0
2
称为过阻尼其解为
()()[]
eee
q
ttt γγβ
γβγβ
γ
+?=
00
2
1
式中
β
ω
γ
2
2
0
=这时q随时间单调上升且β越大上升越慢当β->0时上式回到RC电路情况
iii,临界阻尼
当时
ω
β
2
0
2
=称为临界阻尼此时的解为
e
q
t
t
β
β
+?= )1(
00
第四章 电磁感应 43
这时q也随时间单调上升但比过阻尼情况上升的快
上述3种情况下q随时间t的变化曲线如下图所示
下面我们再简单讨论当电路达到稳定后突然撤去电源电动势电容器放电的情况此时电路方程式可以写为
0'
'
2
'
2
02
2
=++ q
dt
dq
q
d
ω
β
dt
初始条件为
=
=
=
=
0
0
0
0
dt
dq
q
t
t
相应的解为q
q
q?=
0
'式中q为充电情况的电荷解q’的解同q一样分为3种情况如上图所示
44 电磁学网上课件 戚伯云
第二个图
下面我们对RLC电路暂态过程的物理过程作些讨论当电容器充电完毕突然把电键接到b点时电容器开始放电先假定电阻R=0电键未接到b点之前电容器中储有电场能量为
C
Q
U
c
2
2
1
2
2
1
=
线圈内没有磁场能量当电键接到b点时电容器通过线圈放电于是一方面电容器所储的能量逐渐减小另一方面由于放电时有电流通过线圈所以线圈中的磁场能逐渐增加根据能量守恒定律最后达到线圈中磁能最大并等于电容器放电前的能量但是过程至此没有完结当电容器放电完毕在自感电动势的驱动下电流将持续下去使电容器反向充电如此过程反复进行形成等幅的自由振荡
现在我们考虑电路中有电阻R存在对上诉过程的影响由于电流通过R时要消耗一部分能量所以形成阻尼振荡当电阻数值达到一定值时使时
ω
β
2
0
2
=电荷衰减过程不再具有周期性这便是临界阻尼情况当电阻继续增大使时
ω
β
2
0
2
>放电过程进行的更慢这便是过阻尼情况
§4-6 磁能
这一节里我们讨论在电流分布和磁化介质中储存的能量并证明这种能量就储存在该电流系统所产生的磁场中
第四章 电磁感应 45
一单个载流线圈的磁能
前面我们讨论了RL电路的暂态过程当突然把电键合到b后回路中电流没有立即降到零而仍维持
eI
I
τ
=
0
t
这个电流将在电阻R上产生焦耳热
dt
eI
Rdt
I
RdQ
t
τ
2
2
0
2?
==
整个暂态过程在R上产生的焦耳热为
I
L
eI
R
dt
eI
RdQQ
t
t
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
2
1
2
=
==
∞
∞
∫∫
τ
τ
τ
=
Q与线圈的自感和电流有关而当电源刚接入电路时电路的回路方程为
dt
dI
LIR+=ε
得到
+=
+=
I
L
dt
d
R
I
dt
I
d
LR
I
I
22
2
2
2
1
2
1
ε
上式表明单位时间内电源电动势供给电路的能量分为两部分一部分是消耗在电阻R上的焦耳热
46 电磁学网上课件 戚伯云
一部分是克服线圈上的自感电动势所做的功当电流达到稳定后电源电动势克服线圈上的自感电动势所做的总功为
I
L
IW
I
Ld
m
2
0
0
2
2
1
2
1
0
=
=
∫
它正好等于切断电源后电阻上放出的焦耳热这说明自感有储存能量的功能通有电流I的单个线圈储存的能量为
Wm I
L
2
0
2
1
=它与充有电荷Q的平行板电容器储存的能量
Q
C
We
21
2
1
=相对应根据自感系数
L的定义磁能又可以表示为
Φ
=
mm
I
W
2
1
二N个载流线圈系统的磁能
现在我们讨论由N个线圈组成的系统的储能情况
这时除须考虑每个线圈的自感外还要考虑它们之间的互感为简化讨论假设所给线圈的电阻很小可以忽略各线圈的电流由零逐渐增加到给定值
Ii
将各线圈的电流=0取为零态
Ii
在某一瞬时t
第I个线圈中的感应电动势由自感电动势和互感电动势两部分组成
εi
dt
dI
dt
dI k
N
ik
k
ik
i
i ML
∑
≠
=
=
1
εi
式中
Li
是第I个线圈的自感
Mik
是第I个线圈和第k个线圈的互感
第四章 电磁感应 47
第i个线圈的电源电动势在dt时间内反抗感应电动势所作的功为
εi
IIMIILI ki
N
ik
k
ikiiiiii
dddt
dW
∑
≠
=
+=?=
1
' ε
N个线圈的电源电动势所做的总功为
dW
IIMIIL ki
N
ik
ki
ikiii
N
i
dd
∑∑
≠
==
+=
1,1
'
由于
( )
II
d
MdIIMdIIM
MM
kiikikkikiik
kiik
=+
=
所以
()
ILIIM
IIMIIL
i
N
i
iki
N
ki
ki
ik
ki
N
ki
ki
ikiii
N
i
W
dd
dW
2
11,
1,1
2
1
'
'
∑∑
∑∑
=
<
=
<
==
+=
+=
该功定义为N个载流线圈系统的静磁能
Wm
ILIIMILIIMW i
N
i
iki
N
ki
ki
iki
N
i
iki
N
ki
ki
ikm
W
2
11,
2
11,2
1
2
1
2
1
'
∑∑∑∑
=
≠
==
<
=
+=+==
即系统的总磁能分为两项第一项表示N个线圈系统的互感磁能第二项表示其总的自感磁能系统的磁能与每个线圈电流的建立过程无关
48 电磁学网上课件 戚伯云
令
LM iii
=则上式可表示为更简洁的形式
IIMW ki
N
ki
ikm
∑
=
=
1,
2
1
根据互感系数的定义第k个线圈中电流的磁场通过第I个线圈的磁通量为
IMIM kkikikki =Φ
=
再令 于是有
IM k
N
i
ki
N
i
kii
∑∑
ΦΦ
==
==
11
IW i
N
i
im
∑
Φ
=
=
1
2
1
三磁场的磁能
在RL电路中当I=0时线圈中磁场为零当电流从零增长至时
I0
线圈中的磁场也在逐渐增长当I=时
I0
线圈中的磁场也达到稳定值当电流撤去时随着电流从降至零
I0
线圈中的磁场也由稳定值降为零我们说线圈中的能量是储存在磁场中的
证明如下
根据自感系数的定义有
第四章 电磁感应 49
()
dVddI
dIdI
I
I
ILI
W
VLL
SS
m
m
JAlIAlA
SASB
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
Φ
=?=?=
×?=?=
=
Φ
==
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
上述积分是对电流存在的空间积分
因为 HJ ×?=
所以
()()()
()()()AHHAHA
baabba
HAJA
×+×=×
××=×
×=?
于是
() (dVdV
dVW
AHHA
JA
V
×+×=
=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
∞∞
2
1
2
1
)
再应用矢量分析的高斯定律得到
() dVdW BHSHA
s
+?×=
∫∫∫∫∫
∞∞>?
2
1
2
1
50 电磁学网上课件 戚伯云
因为电流只分布在有限空间中所以它产生的矢量势和磁场强度也是有限的于是我们得到
dVW H?=
∫∫∫
∞
B
2
1
单位体积中的磁场能量称为磁能密度记为
1
HB
m
=
2
ω
这就证明了线圈中的磁能的确储存在磁场中或者说磁场和电场一样是物质的一种存在形式它具有能量
