第八章 磁介质 1
第八章 磁介质
8-1 磁介质与磁化强度矢量M
8.1.1 磁化现象与磁化强度矢量M
1,磁化使物质具有磁性的物理过程
2,磁介质一切能磁化的物质
3,磁化强度矢量—磁化的物理描述
(1) 定义单位体积内所有分子磁矩的矢量和即
V
分子
m
M
∑
= 8-1-1
其中m
分子
是安培分子电流的磁矩注意?V的大小应满足分子间距 <<?V
1/3
<< M的非均匀尺度
(2) 性质
a,非磁化状态下分子固有磁矩为零见§8-2中的抗磁质或虽不为零但由于取向无规见§8-2中的顺磁质以至 ∑ m
分子
=0所以M=0
b,M反映介质内某点的磁化强度其值越大与外磁场的相互作用越强相应物质的磁性越强
2 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.1.2 磁化电流
1,定义磁化状态下由于分子电流的有序排列磁介质中出现的宏观电流
2,与传导电流比较
(1) 相同之处在激发磁场和受磁场作用方面完全等效
(2) 不同之处前者无宏观移动无焦耳效应不必处于导体中
3,与M关系
∫
′∑=?
L
IdlM 8-1-2
即M在一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过的磁化电流之和证明见附件1-1
4,推论均匀磁化介质M为常量所以
∫
=?
L
d 0lM因而磁化电流只出现在非均匀磁化介质内部和介质界面上
* 附件1-1 式8-1-2的证明
第八章 磁介质 3
引入分子平均磁矩
Vn
a
分子
m
m
∑
=其中n为分子数密度则M=nm
a
再设由一等效分子电流产生则m
a
=I
a
S
a
而?V
中各分子具有相同m
a
考虑磁介质中任一闭合回路L和以它为周线的曲面S图8-1-1 a设通过的总磁化电流为ΣI
′
其正向与绕行方向满足右手定则显然只有从S内穿过且在S外闭合的分子电流对ΣI
′
有贡献
考虑L上的一段弧元dl设该处M与dl夹θ角当θ<90°时图8-1-1 b对ΣI
′
有贡献的分子其中心应位于以dl为轴S
a
cosθ为底dl为高的圆柱体中总数为nS
a
cosθdl产生的磁化电流=I
a
nS
a
cosθdl=nm
a
·dl=M·dl当θ>90°时图8-1-1 c
磁化电流为负而cosθ也为负所以上式仍成立
所以穿过的总磁化电流满足
∫
′∑=?
L
IdlM假设分子具有不同磁矩证明该结论
4 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8-2 磁介质中静磁场的基本定理
8.2.1 高斯定理和环路定理
1,B所满足的两定理
设由传导电流I
0
和磁化电流I′ 产生的磁感应强度分别是B
0
和B′则总磁感应强度为B=B
0
+B′ B
0
和B′均由真空中的毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律确定为什么因而它们均遵守真空中的高斯定理和安培环路定理
∫∫∫∫∫∫
′∑=?′=?′∑=?=?
L
S
L
S
IddIdd
00000
,0,,0 μμ lBSBlBSB
所以B满足
∫∫
=?
S
d 0SB 8-2-1
IId
L
′∑+∑=?
∫
000
μμlB 8-2-2
2,磁场强度
为使安培环路定理中不出现磁化电流以方便计算引入辅助矢量
M
B
H?=
0
μ
8-2-3
则由式8-2-2和8-1-2可推出
∫
∑=?
L
Id
0
lH 8-2-4
第八章 磁介质 5
式8-2-1和8-2-4是一般磁介质中的高斯定理和安培环路定理
8.2.2 介质的磁化规律
1,非铁磁性各向同性磁介质
M和H之间满足线性关系
M=χ
m
H 8-2-5
代入式8-2-3可得磁介质性能方程
B=μμ
0
H 8-2-6
其中χ
m
为磁化率μ=1+χ
m
为相对磁导率
该类磁介质可分为三小类
a) 真空M =0 χ
m
=0 μ=1
b) 顺磁质χ
m
>0 μ>1 χ
m
仅10
-4
~10
-5
c) 抗磁质χ
m
<0 μ<1 |χ
m
|仅10
-5
~10
-7
2,非铁磁性各向异性磁介质
M=χ
m
·H B=μ
m
·μ
0
H其中χ
m
和μ均为对称二阶张量
3,铁磁质χ
m
很大M与H关系同磁化历史有关类似于铁电体的电滞回线铁磁质有磁滞回线图8-2-1 a和b分别是硬磁材料和软磁材料的磁滞回线
6 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.2.3 介质磁化的微观机制经典
1,分子固有磁矩分子内全部电子磁矩矢量和其中电子磁矩包括轨道磁矩和自旋磁矩为什么可以忽略原子核磁矩
2,顺磁效应若分子固有磁矩不为零在无外磁场时分子热运动使各分子的磁矩取向不定因而宏观磁矩为零有外磁场时分子受磁力矩m
分子
×B使m
分子
有顺着外场方向排列的趋势产生与外场方向一致的磁化强度定量证明见附件2-1
3,抗磁效应无外磁场时分子固有磁矩为零在外场作用下分子中每个电子的轨道运动将受影响而引起附加轨道磁矩它总与外场反向产生与外场方向相反的磁化强度定量证明见附件2-2
第八章 磁介质 7
4,铁磁效应系统的解释需要量子力学知识铁磁质的磁性主要源于电子的自旋磁矩在无外磁场时铁磁质中电子的自旋磁矩可以在小范围内自发排列形成自发磁化区----磁畴它具有很强的磁化强度但各磁畴方向不同因而不显示宏观磁性在外磁场作用下磁化方向与外磁场接近的磁畴会扩大疆界直至饱和介质将显示很强的宏观磁性
8.2.4 环路定理的应用举例
当磁场所在空间充满均匀各向同性介质且电流分布因而磁场分布具有一维对称性时可直接由安培环路定理求
H进而求B
例8-2-1 求一电流为I的无穷长直导线在磁导率为μ的无限均匀介质中的磁场分布
[解] 由对称性B线是以长直导线为轴的圆H只与r有关所以
,
2
,
2
,2
0
r
I
B
r
I
HIrHd
π
μμ
π
π =∴===?
∫
lH 为真空中的μ倍
例8-2-2 设匝数为N电流为I平均半径为R的细螺绕环内填满磁导率为μ的均匀各向同性磁介质求管内磁感应强度的大小
[解] 对管内与环同轴的半径为R的圆形回路有
,
2
,2 nI
R
NI
HNIRH ===
π
π
nIB
0
μμ=∴是真空中的μ倍
以上两例的结果包含了一普遍结论即无限均匀各向同性介质中的磁感应强度为真空中的μ倍原因是出现了与传导
8 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
电流同方向的磁化电流
000
)1(,IIIIII ∑?=′∑∴∑=′∑+∑=∑ μμ
*附件2-1顺磁效应的微观机制
设诸分子具有相同大小的固有磁矩|m
0
|分子数密度为n
0
m
0
的极角处于θ~θ+dθ方位角?任意的分子数密度为dn(θ) m
0
方向角处于θ~θ+dθ?~?+d?之中的分子数密度为
dn(θ,?)
无外场时
π
θθ
θ
4
sin
),(
0
ddn
dn =呈各向同性分布所以
2
sin
),()(
0
2
0
θθ
θθ
π
dn
dndn ==
∫
8-2-7
当存在外磁场B时取B为m
0
的z方向则 θθθ dCedn
kT
p
sin)(
∈
=即呈玻尔兹曼分布其中ε
p
是分子在外磁场中的势能ε
p
= -m
0
·B= -m
0
Bcosθ
常温下|ε
p
|<<kT所以θθ
θ
θ d
kT
Bm
Cdn sin
cos
1)(
0
+=由归一化条件求得C=n
∫
=
π
θ
0
0
)(dnn
0
/2所以
θθ
θ
θ d
kT
Bmn
dn sin
cos
1
2
)(
00
+= 8-2-8
第八章 磁介质 9
于是H
kT
mn
B
kT
mn
dnmM
33
)(cos
2
000
2
00
0
0
μ
θθ
π
≈==
∫
由对称性M的方向与H一致所以HM
kT
mn
3
2
000
μ
=即
kT
mn
m
3
2
000
μ
χ = 8-2-9
可见磁化率与温度成反比称为居里定律
讨论
a) 在上述推导中假设m
0
B<<kT成立所以磁场不能太强温度不能过低
b) 实验表明式8-2-9对气态顺磁质适用但对某些液态和固态顺磁质不成立
证明当m
0
B<<kT不成立时C的一般表达式为
kT
Bm
kT
Bmn
C
000
hcsc
2
=
*附件2-2抗磁效应的微观机制
考虑一电子以角速度ω轨道半径r绕核运动则轨道电流I=-eω/2π轨道磁矩
m=πr
2
I=-er
2
ω/2其矢量形式为
m=-er
2
ω/2 8-2-10
在外磁场的力矩
L=m×B 8-2-11
作用下该电子的轨道面绕B进动通常外磁场作用远小于分子内的库仑作用以至进动角速
10 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
度?<<ω因而近似有
L=m
e
r
2
×ω 8-2-12
其中m
e
为电子质量将式8-2-10和8-2-11代入式8-2-12可得
BΩ
e
m
e
2
= 8-2-13
可见电子轨道面的进动角速度总与B平行而与电子轨道取向及电子旋转方向快慢无关但电子荷负电所以由进动产生的附加磁矩总反平行于B
设电子轨道面各取向等几率则电子在以r为半径的球面上等几率分布形成一均匀球面电荷
2
4 r
e
e
π
σ?=各种轨道取向的电子以?进动的平均效应等效于球面电荷以?自转其磁矩为试计算之
BΩm
e
m
reer
63
222
=?= 8-2-14
设抗磁质分子数密度为n
0
一个分子中有Z个电子则磁化强度
HBmM
ee
m
rZen
m
rzen
Zn
66
22
00
22
0
0
μ
≈?==其中
2
r为各种可能的电子轨道半径的方均根值所以
2
2
00
6
r
m
Zen
χ
e
m
μ
= 8-2-15
与温度无关
式8-2-15与实验相当符合
第八章 磁介质 11
8-3 边值关系与唯一性定理
在求解包含不同磁介质的体系时需要知道磁介质界面上磁场的边值关系
8.3.1 磁感应强度B
0)(
12
=? B-Bn 8-3-1
即B的法向分量连续证明见附件3-1
8.3.2 磁化强度矢量M
)(
12
MMni -×=′ 8-3-2
证明见附件3-2
8.3.3 磁场强度H
类似于M边值关系的推导由安培环路定理可得
)(
210
HHni -×= 8-3-3
除了理想导体和超导体外通常i
0
=0所以
0)(
21
=× HHn - 8-3-4
12 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
即H的切向分量连续注意H的切向分量有两个分量边值关系要求各分量在边界上都要相等也即H的切向分量不但大小相同方向也相同
8.3.4 静磁场的唯一性定理阐述
1表述当磁场中有磁介质时事先难以确知磁化电流分布因而不便直接由毕-萨-拉定律计算磁场唯一性定理保证由高斯定理安培环路定理及B~H关系加上必要的附加条件就可以唯一确定静磁场该定理能确保猜解的正确性详见本节后续内容及§8-7
2简单情形下的附加条件
(1) 设磁场空间为一封闭曲面S包围若S有限则给定B
Sn
且满足
∫∫
=
S
Sn
dSB 0若S无限则要求B
S
趋于0
(2) 磁介质各向同性μ已知但可以出现非均匀性和界面
(3) 导体中的传导电流分布确知
3证明若解不唯一不妨设为B
1
H
1
和B
2
H
2
令B = B
1
–B
2
H = H
1
–H
2
则B和H对应传导电流为0而S面上
B
Sn
=0或B
S
=0对有限S由于B和H线不可能起止于而只能在S内闭合所以S内必有传导电流与标下划线一句矛盾对S无限情形B和H也不可能在S内闭合因而必起止于无穷远则仍有S内传导电流非0的矛盾结果可见必须B = 0 H=0也即B
1
=B
2
H
1
=H
2
8.3.5 分区均匀各向同性介质中的静磁场
1,介质界面与磁感应线重合
由唯一性定理可证
第八章 磁介质 13
H=B
0
/μ
0
8-3-5
其中B
0
是去掉介质时传导电流在真空中产生的磁感应强度证明见附件3-3
当传导电流对称分布时由
∫
∑=?
000
Id μlB可直接计算B
0
而各介质中的磁场
B
i
=μμ
0
H = μ
i
B
0
8-3-6
2,介质界面与磁感应线垂直
与B线处处正交的曲面称等磁势面以其为分界填入不同的均匀各向同性介质由唯一性定理只要在填入的过程中总电流分布形式不变B线的几何位形必也保持不变即B=αB
0
其中B
0
是无介质时的磁感应强度证明见附件
3-4
求解步骤由
0
0
0
Id
i
L
i
i
∑=?∑
∫
l
B
μμ
α
8-3-7
定出α从而得到B特别地对一维对称情形可直接由
00
Id
L
i
∑=?
∫
μ
μ
l
B
8-3-8
得到B而
BH
0
1
μμ
i
i
=
8-3-9
14 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.3.6 例子
例8-3-1 一圆环状磁介质与一无穷长直导线共轴图8-3-1设磁介质磁导率为μ
直导线电流强度为I求介质内外空间的磁感应强度的分布和介质表面的磁化面电流
[解] 本题属于介质界面与磁感应线重合的情形撤去磁介质时的磁场
r
I
B
π
μ
2
0
0
=
由式8-3-6求得介质内外空间
r
I
B
r
I
B
ei
π
μ
π
μμ
2
,
2
00
==
由式8-3-2结合式8-2-3和8-3-4求得界面磁化电流
r
I
BBMMi
eiei
π
μ
μ 2
)1(
)(
1
0
=?=?=′
例8-3-2 在一同轴电缆内外导体半径分别为r
1
r
2
中填满磁导率为μ
1
和μ
2
的两种磁介质各占一半空间且介质平面为通过电缆轴的平面图8-3-2
设通过电缆的电流强度为I求介质中的磁场分布和介质----导体毗连面上的电流分布
[解] 本题属于介质界面与磁感应线垂直的情况
第八章 磁介质 15
取半径为r r
1
<r<r
2
的圆形回路由一维对称性Ir
B
r
B
0
21
μπ
μ
π
μ
=+
r
I
M
r
I
H
B
M
r
I
H
r
IB
H
r
I
B
)(
)1(
)(
)1(
)()()(
1
21
2
1
12
1
0
1
1
1
2
1
2
10
1
1
210
μμπ
μμ
μμπ
μμ
μ
μμπ
μ
μμπ
μ
μμμμπ
μμμ
+
=
+
=?=
+
=
+
==∴
+
=∴
在r<r
1
和r>r
2
区域B=H=M=0
在r=r
1
处
+
=
+
=
=′
=
=
,2
)(
)1(
,1
)(
)1(
11
21
2
11
12
1
1
1
1
处介质处介质
r
I
M
r
I
M
i
rr
rr
μμπ
μμ
μμπ
μμ
在r=r
2
处
+
=
+
=
=′
=
=
处介质处介质
2
)(
)1(
,1
)(
)1(
21
21
2
21
12
1
2
2
2
r
I
M
r
I
M
i
rr
rr
μμπ
μμ
μμπ
μμ
可见尽管传导面电流和磁化面电流分布不均但二者之和仍各向同性也即与撤去磁介质情形有相同的磁感应强度分布形式
*附件3-1 证明B的边值关系
如图8-3-3设二介质界面为S在S上取?S n为由介质1指向2的法向单位矢量以
S为截面作一柱形高斯面其两底分别位于二介质中柱高趋于0由高斯定理
16 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
0)(,0
1221
=?∴=? B-Bn?SB?SB
nn
*附件3-2 证明M的边值关系
如图8-3-4在两介质界面上取任一面元使之位于yoz平面x轴平行于由
介质1指向2的法线在xoz平面作横跨y轴的矩形回路abcd其中ab和cd分别在介质1 2内绕行方向与y轴满足右手定则且ad<<ab由
∫
′∑=? IdlM可得abiabMM
yzz
′=? )(
21
所以
zzy
MMi
21
=′类似在xoy平面作横跨y轴的矩形回路a'b'c'd'其中a'b'和c'd'分别在介质1 2内绕行方向与y轴满足右手定则且a'b'<< c'd'则
baibaMM
zyy
′′′=′′ )(
21
所以
yyz
MMi
12
=′综上所得有 )(
12
MMni -×=′
*附件3-3 证明介质界面与磁感应线重合时H=B
0
/μ
0
由唯一性定理可知只需证明H和B
0
/μ
0
满足相同的安培环路定理和高斯定理即可
第八章 磁介质 17
由
∫
∑=?
000
Id μlB可得
0
0
0
Id ∑=
∫
l
B
μ
可见H和B
0
/μ
0
确实满足相同的安培环路定理
显然0
0
0
=?
∫∫
S
B
d
S
μ
所以只需证明0=?
∫∫
SH d
S
(1) 当S完全位于第i区介质内则0
1
0
=?=?
∫∫∫∫
SBSH dd
S
i
S
μμ
(2) 若S跨若干介质区如图8-3-5则S中处于第i介质区的部分加上该介质区与相邻介质区的边界构成一闭合高斯面S
i
由(1)知
0=?
∫∫
SH d
i
S
由于介质界面与B线重而在各向同性介质中H
线与B线平行所以界面上H的通量为零故而
0=?∑=?
∫∫∫∫
SHSH dd
i
S
i
S
*附件3-4 证明介质界面与磁感应线垂直时B= αB
0
设B的位形不变则B垂直于介质界面因而M也与界面垂直磁化电流
不可能出现在介质界面上而只能分布于介质和导体的界面只要传导电流只分布在导体表面而且能自由改变其分布以致最终与磁化电流补偿就可保证总电流分布形式不变即I= αI
0
这一结果与所设的B= αB
0
自恰
18 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8-4磁路定理
8.4.1 磁路与电路的对比
1,直流电路基本方程
(1) 稳恒条件
∫∫
=? 0Sj d 8-4-1
(2) 欧姆定律
Ej ′=σ 8-4-2
其中KEE +=′
(3) 电动势
∫∫
′=?= lElK dd 8-4-3
2,静磁场
(1) 高斯定理
∫∫
=? 0SB d 8-4-4
(2) 介质性能方程
HB
0
μμ=
8-4-5
第八章 磁介质 19
(3) 安培环路定理
=∑=?
∫
L
Id
0
lH
m
8-4-6
m
称为磁动势
3,对应关系
作如下对应j? B E′? H σ? μμ
0
m
则电路与磁路问题同构可进一步推得
(1) 电导率为σ的电流管与绝对磁导率为μμ
0
的磁感应管相对应
(2) 电流管的I=jS与磁感应管的Φ
B
=BS相对应
(3) 一闭合电流管的电阻
∫
=
S
dl
R
σ
与一闭合磁感应管的磁阻
∫
=
S
dl
R
m
0
μμ
8-4-7
相对应仿照电流管称为电路磁感应管也称磁路若μ和S沿磁路分段均匀则
mi
i
m
RR ∑=
ii
i
mi
S
l
R
0
μμ
= 8-4-8
8.4.2 磁路定理
m
mi
i
BmB
RR ∑== ΦΦ 8-4-9
其中Φ
B
R
mi
为第i段磁路的磁势降即闭合磁路的磁动势等于各段磁路的磁势降之和
提示
m
=
∫∫∫
==
=?
mBB
R
S
dld
d Φ
μμ
Φ
μμ
00
lB
lH
20 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.4.3 例子
例8-4-1 日光灯镇流器可以等效为一带气隙的矩形磁路设铁芯磁导率为μ截面积为S长度为l线圈匝数为N电流为I
0
求无气隙时铁芯中的磁通量以及该磁通量减至一半时的气隙厚度d
[解] 无气隙时
S
l
NI
B
0
0
μμ
Φ=
l
SNI
B
00
μμ
=Φ∴
当存在气隙使磁通量减半时
)(
2
0
S
d
S
l
NI
B
μμμ
Φ
+=
00
∴ d=l?μ
8-5 电流系统的磁能与磁场的能量
8.5.1 N个载流线圈系统的磁能
1,元过程
忽略所有线圈的电阻各线圈I
i
=0时记为零能态各线圈自感和彼此间的互感分别为L
i
和M
ij
当第i个线圈的电流由0渐增到I
i
时感应电动势为
i
dt
dI
M
dt
dI
L
k
ik
N
ik
i
i
≠
∑=
8-5-1
第八章 磁介质 21
电源反抗
i
作功
=′
i
Ad
kiik
N
ik
iiiii
dIIM dI IL dt I
≠
∑+=
8-5-2
对N个线圈电源作总元功
kiik
N
ik
ki
iii
N
i
dIIM dI ILAd
≠
∑+∑=′
,
8-5-3
)(,
kiikikkikiikkiik
IIdMdIIMdIIMMM =+∴=Q
)(
,
kiik
N
ki
ki
iii
N
i
IIdM dI ILAd
<
∑+∑=′∴
8-5-4
2,系统静磁能
定义电源所作总功为系统的静磁能则
2
2
1
,
2
1
ii
N
i
kiik
N
ki
ki
m
ILIIMAW ∑+∑=′=
≠
8-5-5
其中首项是N个线圈的互感磁能次项是自感磁能
讨论
(1) 上式中指标i k对称可见W
m
与各线圈电流的建立过程无关
(2) 若令W
m
=L
i
则形式更简洁
kiik
N
ki
m
IIMW
,
2
1
∑= 8-5-6
22 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
(3) 设表示第k个线圈电流的磁场通过第i个线圈的磁通
kikkkim
IMIM ==Φ再令表示所有线圈通过第i个线圈的总磁通
kik
N
k
ki
N
k
i
IM∑=∑= ΦΦ
则
ii
N
i
m
ΦIW ∑=
2
1
8-5-7
8.5.2 载流线圈在外磁场中的磁能
1,二载流线圈情形
总磁能
2112
2
222
1
2
112
1
IIMILILW
m
++= 8-5-8
互能
∫∫
===
2
)(
212212211212
S
SdrBIIIIMW
r
r
r
Φ 8-5-9
其中互能表达式的第三式已将线圈1看作外磁场源
2,定义载流线圈在外磁场中的磁能定义为该线圈与产生外磁场的线圈之间的互能
3,均匀外磁场中载流线圈和非均匀外磁场中的小载流线圈的磁能
BmSB?=?=
212
IW 8-5-10
与电偶极子在外电场中的静电能W= -p·E 相比差一负号为什么
4,N个载流线圈在外磁场中的磁能
第八章 磁介质 23
∫∫
∑=
k
S
SrB dIW
kk
N
k
m
)( 8-5-11
当外场均匀时上式简化为
BmSB?=∑?=
tk
N
k
m
IW )( 8-5-12
其中m
t
是N个线圈的总磁矩
8.5.3 磁场的能量与能量密度
1,螺绕环磁能
设螺绕环的横截面为S体积为V环内磁介质的磁导率为μ线圈匝数为N单位长度匝数为n则环内nIB
0
μμ=
VInnINSΦ
m
2
00
μμμμ ==所以自感系数VnL
2
0
μμ=
螺绕环的磁能VBHVInLIW
m 2
1
22
02
1
2
2
1
=== μμ磁能密度
BHw
m
2
1
= 8-5-13
2,线性无损耗介质的一般情形
∫∫∫
=
V
mm
dVwW 8-5-14
MHHB?+=?=
02
1
2
02
1
2
1
μμ Hw
m
8-5-15
其中首项是宏观静磁能密度次项是磁化能密度
24 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.5.4 非线性介质的磁滞损耗
1,螺绕环体系的元功分析
设在dt时间内环内磁场从B变为B+dB则穿过线圈的总磁通NSdBdΨ =电源克服电动势所作元功
=′Ad VHdBNSIdBIdIdt === Ψ单位体积元功
HdBad =′
8-5-16
2,一般磁介质的元功
BH dad?=′
8-5-17
又)(
0
MHB += μ所以
MH dHdad?+=′
0
20
)
2
( μ
μ
8-5-18
可见类似于电介质情形在一般磁介质中电源所作功一部分用来增加宏观静磁能一部分对介质作磁化功
3,磁化功与磁化能的关系
(1) 线性无损耗介质
jiijjij
i
i
HM χχχ =∑=
=
,
3
1
所以
)(
2
1
HMHMMH?=?=? ddd
8-5-19
即磁化功完全转化为磁化能
(2) 非线性磁介质以铁磁体为例当磁化状态沿磁滞回线参考图8-2-1绕行一周时电源对单位体积的铁磁体作功
第八章 磁介质 25
∫∫
=′=′ HdMada
0
μ 8-5-20
恰为磁滞回线的面积由于绕行一周时磁化状态未变磁化功完全转化为热量称为磁滞损耗
8.5.5 利用磁能求磁力
在一些情况下利用安培公式求磁力不方便可以考虑利用磁能求磁力
1,电流不变情形
(1) 考察N个载流线圈组成的系统仿照由静电能求静电力的方法假设某线圈有虚位移δr则磁力作功
zFyFxFA
zyx
δδδδδ ++=?= rF 8-5-21
若在虚过程中各线圈电流不变外部电源需反抗感应电动势作功δA′磁力作功使系统磁能减少电源作功是系统磁能增加系统净磁能变化为
AAW
Im
δδδ?′=)(
8-5-22
(2) δA′与δW
m
关系设虚过程使第i个线圈的磁通变化δΦ
i
则
=′
i
Aδ
iiii
IdtI Φδ=电源所作总功
ii
N
i
i
N
i
ΦIAA δδ
11 ==
∑=′∑=′
8-5-23
而由
ii
N
i
m
ΦIW ∑=
2
1
可得
AAΦIW
ii
N
i
Im
δδδ =′=∑=
2
1
2
1
)( 8-5-24
26 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
即当所有载流线圈电流不变时电源所作功恰为系统磁能变化的2倍而磁力所作功等于系统磁能的增加
(3) 磁力
F=(?W
m
)
I
I
m
x
x
W
F?
=
8-5-25
而磁力矩
I
m
W
L?
=
θ
θ
8-5-26
2,进一步讨论
(1) 对线性无损耗磁介质上述诸式也成立只是W
m
中还包括介质磁化能
(2) 在研究载流导线在外磁场中所受磁力和磁力矩时不必计入二者自能只需考虑导线在外磁场中的静磁能
(3) 外磁场中载流线圈上的磁力和磁力矩线圈的静磁能
θcosmBW
m
=?= Bm
8-5-27
电流不变即线圈的磁矩不变所以
F=?(m·B)
m
=(m·?)B+m×(?×B)=(m·?)B
8-5-28
注意?×B=0而
BmeeL ×=?=?
=
θθθ
θ
θ
sinmB
W
m
m
8-5-29
注意e
θ
为由B到m的右手螺旋方向恰与m×B方向相反
第八章 磁介质 27
3,磁通量不变情形
若产生虚位移时各线圈Φ
i
不变则在虚过程中无感应电动势电源不作功(δW
m
)
Φ
=?δA所以磁力和磁力矩分别为
F=?(?W
m
)
Φ
8-5-30
Φ
m
W
=
θ
θ
L 8-5-31
8.5.6 例子
例8-5-1 一同轴电缆中心是半径为a的圆柱形的导线外部是内半径为b外半径为c的导体圆筒在内外导体之间充满磁导率为μ的介质电流在内外导体中的方向如图8-5-1所示设电流沿截面均匀分布求这电缆单位长度的自感系数
[解] 原来求自感的步骤是B→Φ→L此处不同区域的环路穿过的电流不同不便按此法求解
能量的观点由B H→w
m
→W
m
→ L
I区0 ≤ r ≤ a μ=1一般导体μ~1
考虑长l的一段电缆将其分为如图所示的四个区域则
101
2
1
,
2
HB
a
Ir
H μ
π
==
28 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
π
μ
π
μ
π
16
,
8
2
0
0
2
0
11
42
22
0
1
lI
drwrdlW
a
rI
w
a
mmm
===
∫∫
II区a ≤ r ≤ b
2022
,
2
HB
r
I
H μμ
π
==
∫∫
===
b
a
mmm
a
blI
drwrdlW
r
I
w
π
π
μμ
π
μμ
2
0
2
0
22
2
2
0
2
ln
4
,
6
III区b ≤ r ≤ c
303
22
22
3
22
22
,
2
,HB
bc
rc
r
I
H
bc
rc
II μ
π
=
=
=∑
,
8
2
22
22
2
2
0
3
=
bc
rcI
w
m
π
μ
∫∫
==
c
b
mm
bcbc
a
b
c
bc
lI
drwrdlW
π
π
μ
2
0
2222
4
22
2
0
33
4
)3)((
ln
)(4
IV区r ≥ c 0,0,0,0
444
====∑ WBHI
由
2
4
1
2
1
LIW
mi
i
=∑
=
电缆单位长度自感系数
+=
)(2
lnln
2
22
2
2
22
2
0
bc
c
b
c
bc
c
a
b
l
L
μ
π
μ
例8-5-2 求相距r磁矩为m
1
和m
2
的两磁偶极子相互作用力
[解] 磁偶极子磁场
rr
rr
eemmB )(
44
1
3
0
1
3
0
1
+?=
π
μ
π
μ
第八章 磁介质 29
))((
4
3
)(
4
21
3
0
21
3
0
2112 rrm
rr
W ememmmBmBm+=?=?=∴
π
μ
π
μ
)(
4
3
)5(
4
3
)(
2112
4
0
2121
4
0
12
mmemmF
rrrrrmm
mm
r
mm
r
W ++=?=∴
π
μ
π
μ
可证F
12
=?F
21
但F
12
表达式的次项一般不沿二磁偶极子连线可见不但电流元之间的磁作用力不满足牛顿第三定律二闭合电流间的静磁力也不完全满足该定律其原因类似于电偶极子间的静电力情形
例8-5-3 具有恒定的高磁导率μ的马蹄形磁介质与一磁导率相同的条形磁介质组成一磁路它们的横截面为矩形面积为A长度为l马蹄形磁介质上绕有N匝导线通以恒定电流I求马蹄形与条形磁介质之间的吸力
[解] 设马蹄形与条形磁介质有小间隙x间隙和磁介质内的磁场强度分别为
H
g
和H
m
由磁路定理H
m
l+2H
g
x=NI由B连续得μμ
0
H
m
=μ
0
H
g
即
H
g
=μH
m
解得
xl
NI
B
xl
NI
H
mm
μ
μμ
μ 2
,
2
0
+
=
+
=
xl
IAN
ANBNΦΨ
m
μ
μμ
2
2
0
+
===
)2(22
1
22
0
xl
IAN
IΨW
m
μ
μμ
+
==
30 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
2
22
0
2
0
l
IN
A
x
W
F
x
I
m
μμ?=?
=∴
=
吸引力
8-6 磁荷法
目前实验上尚未发现磁荷因而与电流法相比磁荷法并无真实的物理基
础但是作为一种解题方法适用于无传导电流空间的静磁场问题
8.6.1 磁荷观点下的静磁场规律
1,点磁荷相互作用的库仑定律
(1) 令条形磁铁N极带正磁荷S极带负磁荷当两磁极的尺寸远小于它们之间的距离时可当作点磁荷相互间磁作用力满足库仑定律
rF
3
0
0
4 r
qq
mm
πμ
= 8-6-1
由此式推得q
m
的单位是N?m/A
(2) 定义磁场强度H=F/q
m0
对点磁荷有
rH
3
0
4 r
q
m
πμ
=
8-6-2
对连续磁荷分布引入体磁荷密度ρ
m
面磁荷密度σ
m
和线磁荷密度λ
m
由叠加原理则磁场强度分别为
第八章 磁介质 31
∫∫∫
=
V
m
dV
r
rH
3
0
4πμ
ρ
8-6-3
dS
r
S
m
∫∫
= rH
3
0
4πμ
σ
8-6-4
dl
r
L
m
∫
= rH
3
0
4πμ
λ
8-6-5
2,真空中静磁场的高斯定理和环路定理
仿照静电场的推导方法由真空中的磁库仑定律可得
m
S
qd ∑=?
∫∫
0
1
μ
SH 8-6-6
0=?
∫
L
dlH 8-6-7
由于环路积分为零可引入矢势Φ
m
定义为
H=Φ
m
8-6-8
3,磁偶极子
定义为十分靠近的一对等量异号点磁荷磁荷量q
m
相距l则磁偶极矩大小lqp
mm
=方向由负磁荷指向正磁荷其磁场强度在外磁场中的力矩和力分别为
32 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
r
rpp
H
5
0
3
0
4
3
4 rr
mm
πμπμ
+?=
8-6-9
HpL ×=
m
8-6-10
F=(p
m
·?)H=?(p
m
·H) 8-6-11
与磁矩为m的元电流环的有关公式
r
rmm
B
5
0
3
0
4
3
4 rr π
μ
π
μ?
+?=
8-6-12
BmL ×=
8-6-13
F=(m·?)B=?(m·B) 8-6-14
相比较可知只要将磁荷法中的量与电流法的量作如下对应
mpBH
0
0
,
1
μ
μ
m
8-6-15
则以上两组公式彼此等效
4,磁介质的磁极化规律
磁介质在外磁场中的磁极化实质上仍是8-2中的磁化只是在磁荷观点下外磁场对磁介质的作用类似于外电场对电介质的电极化作用
由磁极化和电极化的相似性定义磁极化强度为单位体积中全部分子磁偶极矩的矢量和
第八章 磁介质 33
V
m分子
p
J
∑
= 8-6-16
则它与极化磁荷有关系
m
S
S
qd ′∑?=?
∫∫
内
SJ 8-6-17
nJ?=′
m
σ 8-6-18
磁极化规律为
J=χ
m
μ
0
H 8-6-19
其中χ
m
是磁极化率也即8-2中的磁化率
5,磁介质中静磁场的高斯定理
引入磁感应强度
B=μ
0
H+J
8-6-20
此处B是类似于电学中D的辅助矢量由式8-6-6和8-6-17得
)(
mm
qqd ′?∑=?
∫∫
SB由于不存在自由磁荷
mm
qq ′=所以
0=?
∫∫
SB d
8-6-21
将式8-6-19代入式8-6-20得
B=μμ
0
H 8-6-22
其中μ=1+χ
m
是磁导率
34 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.6.2 磁荷法与电流法的等效性
1,等效条件
由8-6-15第二式8-6-16和8-1-1得MJ
0
μ=代入式8-6-19得
M=χ
m
H
8-6-23
此处的H与电流法中的H差别仅在于满足不同的环路定理
磁荷法0=?
∫
L
dlH电流法
0
Id
L
∑=?
∫
lH
由此可知对有传导电流的空间磁荷法失效而对不存在传导电流的单连通空间见附件8-6-1两个环路定理完全一致因而两种方法有相同解
2,被研究空间之外传导电流的处理
关键是设法找到该传导电流的等效磁荷分布稳恒电流情形特别简单因为闭合的稳恒电流总可等效为许多小电流环见3-3小电流环又可等效为磁偶极子
8.6.3 磁荷法的应用
1,磁荷法解静磁场与电荷法解静电场可一一对应如表8-6-1所示这样由一种问题的解可得到另一问题的解
表8-6-1静磁量和静电量的替换关系
静磁量 H B J q
m
σ
m
p
m
μ
0
μ χ
m
静电量 E D P q σ
e
p ε
0
ε χ
e
第八章 磁介质 35
2,磁荷分布的磁场与等效传导电流分布的磁场等效所以对磁化强度已知的磁介质既可以求其磁化电流分布用电流法求解磁场也可以求其极化磁荷分布用磁荷法求解磁场视何法简便而定
例子
例8-6-1一马蹄形永久磁铁两磁极总面积为2S磁化强度为M求它对衔铁的吸力
[解] 马蹄形磁铁两极表面上极化面磁荷密度σ
m
=J=μ
0
M衔铁两端感应出等量反号磁荷磁铁和衔铁的吸力可由电容器两极板间吸力表达式
0
2
2ε
σ S
F
e
e
=以及表8-6-1中的替换关系给出SM
S
F
m
m
2
0
0
2
μ
μ
σ
==注意作替换时
S→2S
将本题与例8-5-3相比较
例8-6-2 求平行板电容器边缘附近的电场分布设极板间距为d面电荷密度为±σ
e
计算中设场点离电容器边缘的距离
r远大于d但远小于极板尺寸
[解] 将电荷换成磁荷则面积为?S的磁偶极子的磁偶极矩p
m
=σ
m
d?S对应元电流环的磁矩m=p
m
/μ
0
而磁矩定义式为m=I?S所以I=σ
m
d/μ
0
所有电流元可等效为四条沿电容器边缘的无穷长直导线电流I但其中三条直电流离场点无穷
36 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
远所以只需考虑离场点最近的直电流
易得
r
d
r
I
H
m
0
22 πμ
σ
π
==再回到原问题有
r
d
r
I
E
e
0
22 πε
σ
π
==
本题也可不用磁荷法直接积分计算试一试
例8-6-3 如图8-6-2 两无穷长圆弧片状带电导体A和B互相绝缘两侧棱边在y轴上±b处十分靠近顶部则与z轴分别交于a和c已知a=0.4cm b=0.5cm c=0.8cm z=b处的电场强度为E
b
=8000V·cm
-1
求导体A和B间的电势差
[解] 先解相应的磁场问题通过分析位于y轴上±b处两无穷长反向直线电流的磁场位形发现其等磁势面正好是通过±b的圆弧柱面证明之所以在z轴上的磁场
222
)/(1
2
)( bz
H
zb
bI
H
b
z
+
=
+
=
π
再回到原来的静电问题则
V107.2
)(
tan2
)/(1
2
,
)/(1
2
3
2
1
2
2
×=
+
=
+
=
+
=
∫
acb
acb
bE
dz
bz
E
V
bz
E
E
b
c
a
b
ab
b
z
例8-6-4 用磁荷法求小载流线圈在非均匀外磁场中所受的力
第八章 磁介质 37
[解] 电偶极子在外电场中所受力为F=(p·?)E
所以磁偶极子所受力为F=(p
m
·?)H=(m·?)B
附件8-6-1 单连通空间
拓扑学中一基本概念在该空间中的任一闭合回路可无限缩小成一点如闭合球面外的空间为单连通空间而闭合环面外的空间则不是
8-7 磁像法
磁荷观点下的磁像法与电像法完全类似不再赘述电流观点下的磁像法关键是设法找到等效像电流以代替介质界面上的磁化电流或导体界面上的感应电流从而求得后者对考察区域磁场的贡献此处只讨论两种特例
38 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.7.1 介质界面为无限大平面
1,像电流
设介质1中电流密度分布是
zzyxjyzyxjxzyxjzyx
zyx
),,(?),,(?),,(),,( ++=j 8-7-1
参照电像法的公式可得上半空间像电流为
+
=?′
+
=?′
+
=?′
),,(
)(
),,(
),,(
)(
),,(
),,(
)(
),,(
21
121
21
121
21
121
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zz
yy
xx
μμ
μμμ
μμ
μμμ
μμ
μμμ
8-7-2
下半空间像电流
第八章 磁介质 39
),,(),,(
),,(),,(),,(),,(
zyxjzyxj
zyxjzyxjzyxjzyxj
zz
yyxx
′?=′′
′=′′?′=′′
8-7-3)
2,磁场分布由像电流分布可求得上半空间
,
),,(
4
),,(
4
3
0
3
01
∫∫∫
∫∫∫
′′′
′
′×′?′′′
+
′′′
×′′′
=
zdydxd
R
zyx
zdydxd
R
zyx
Rj
Rj
B
π
μ
π
μμ
8-7-4
下半空间
[],),,(),,(
4
3
1
0
∫∫∫
′′′×′′′′′+′′′= zdydxd
R
zyxzyx
R
jjB μ
π
μ
8-7-5
上二式中r是场点位矢r′和r″分别是源点和像点位矢R= r-r′ R′ = r-r″
注意含源电流j的项有因子μ
1
这反映了介质1的磁化效应而含像电流的项无此因子
3,检验由磁场表达式可证明试证明之
a) B自然满足高斯定理H满足安培环路定理
b) B和H分别满足边值关系 0)(,0)( =?×=
下上下上
HHnBBn
4,理想抗磁质和理想导磁质
a) 理想抗磁质
当μ
1
=μ μ
2
=0时式8-7-2简化为
40 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
=?′
=?′
=?′
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zz
yy
xx
μ
μ
μ
8-7-6
此时由8-7-3算出 j″ = -μj代入式8-7-5得B(z<0)=0
b) 理想导磁质
当μ
1
=μ μ
2
=∞时式8-7-2简化为
=?′
=?′
=?′
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zz
yy
xx
μ
μ
μ
8-7-7
此时由8-7-3算出 j″ = μ j
8.7.2 介质界面为无限大柱面
设介质1为无穷长圆柱半径为a其周围充满介质2介质2中有一无穷长直线电流与圆柱轴平行与轴相距d如图8-7-3取z轴为圆柱轴b=a
2
/d
1,像电流
可证明介质2所对应的像电流分别位于x=b和原点大小分别是
II
21
212
)(
μμ
μμμ
+
=′ 8-7-8
第八章 磁介质 41
II ′?=′
0
8-7-9
而介质1对应的像电流
I″= I′ 8-7-10
与I同位置
2,磁场分布
由源电流和像电流分布可得介质1 2中的磁场分别为
])[(2
))((
,
])[(2
)(
22
20
1
22
20
1
ydx
IIdx
B
ydx
IIy
B
yx
+?
′′+?
=
+?
′′+
=
π
μμ
π
μμ
8-7-11
+
′
+
+?
′?
+
+?
=
+
′
+
+?
′
+
+?
=
22
0
2222
20
2
22
0
2222
20
2
)(
)(
)(
)(
2
,
)()(2
yx
Ix
ybx
Ibx
ydx
Idx
B
yx
I
ybx
I
ydx
Iy
B
y
x
μ
π
μ
μ
π
μ
8-7-12
3,检验磁场满足边界条件
边界条件可变形为在r=a处 B
1
·r =B
2
·r 和 B
1
×r?μ
1
=B
2
×r?μ
2
为什么易证上述磁场表达式满足该边界条件
8.7.3 例子
例8-7-1 设下半空间z<0充满磁导率为μ的磁介质上半空间z>0为真空其中置入一无穷长直线电流I它与界面平行距离为d求空间的磁场分布
42 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
[解] 由式8-7-2取μ
1
=1 μ
2
=μ
对于上半空间其像电流位于z=-d方向同I II
1
1
+
=′
μ
μ
对于下半空间其像电流位置同I I″= I′
取I方向为x轴正向由8-7-4使用环路定理更方便上半空间磁场为
+++
+
+
=
++
+
+
+
+
=
2222
0
1
2222
0
1
)(
1
1
1
)(
1
2
,
)(1
1
)(2
dzydzy
Iy
B
dzy
dz
dzy
dzI
B
z
y
μ
μ
π
μ
μ
μ
π
μ
特别地在界面上有
))(1(
,
))(1(
22
0
1
22
0
1
dy
Iy
B
dy
Id
B
zy
++
=
++
=
μπ
μμ
μπ
μ
类似可得下半空间得磁场为
第八章 磁介质 43
])()[1(
,
])()[1(
)(
22
0
2
22
0
2
dzy
Iy
B
dzy
dzI
B
zy
++
=
++
=
μπ
μμ
μπ
μμ
特别地在界面上有
))(1(
,
))(1(
22
0
2
22
0
2
dy
Iy
B
dy
Id
B
zy
++
=
++
=
μπ
μμ
μπ
μμ
可见界面上B
z
连续H
y
连续
例8-7-2 一无限理想导体平面上方为真空其中有一无穷长直线电流I与界面平行距离为d求理想导体表面上的感应电流
[解] 将理想导体视为理想抗磁质要求初始时刻导体中无磁场将μ=0代入例8-7-1的结果中可知在界面的真空侧z=0
+
)(
22
dy
Id
H
y
+
=
π
再由边值关系求得感应电流I
x
=-H
y
小结八
本章介绍了磁场与物质的相互作用
在8-1中首先引入描述磁化现象的磁化强度矢量及其性质然后分析了磁化强度与磁化电流的关系
在8-2中首先导出一般磁介质中的高斯定理和安培环路定理接着介绍了各类磁介质的磁化规律阐述了顺磁质抗磁质磁化规律的定量微观机制及铁磁质磁化规律的定性微观机制最后讨论了一维对称电流下均匀各向同性磁介质磁场
44 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
的求解
在8-3中首先导出磁感应强度磁化强度以及磁场强度所满足的边值关系接着阐述并证明了静磁场的唯一性定理最后作为唯一性定理的应用分别讨论了当介质界面与磁感应线重合时以及当介质界面与磁感应线垂直时磁场的求解
在8-4中通过对比静磁场与直流电路的基本方程发现只要将二体系中若干物理量相对应则电路与磁路问题同构进而得到磁路定理
在8-5中首先给出N个载流线圈系统的磁能并定义了载流线圈在外磁场中的磁能随后引入线性无损耗介质的磁能和磁能密度分析了线性无损耗介质以及非线性介质中磁化功与磁化能的关系最后作为一个应用讨论了由磁能求解磁力和磁力矩问题
在8-6中首先阐述了磁荷观点下的静磁场规律接着分析了磁荷法与电流法的等效条件最后举例说明可利用电流法?磁荷法?电荷法的对应关系灵活求解静电场和静磁场问题
在8-7中介绍了利用电流观点下的磁像法分别求解介质界面为无限大平面时以及介质界面为无限大柱面时的磁场问题
第八章 磁介质
8-1 磁介质与磁化强度矢量M
8.1.1 磁化现象与磁化强度矢量M
1,磁化使物质具有磁性的物理过程
2,磁介质一切能磁化的物质
3,磁化强度矢量—磁化的物理描述
(1) 定义单位体积内所有分子磁矩的矢量和即
V
分子
m
M
∑
= 8-1-1
其中m
分子
是安培分子电流的磁矩注意?V的大小应满足分子间距 <<?V
1/3
<< M的非均匀尺度
(2) 性质
a,非磁化状态下分子固有磁矩为零见§8-2中的抗磁质或虽不为零但由于取向无规见§8-2中的顺磁质以至 ∑ m
分子
=0所以M=0
b,M反映介质内某点的磁化强度其值越大与外磁场的相互作用越强相应物质的磁性越强
2 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.1.2 磁化电流
1,定义磁化状态下由于分子电流的有序排列磁介质中出现的宏观电流
2,与传导电流比较
(1) 相同之处在激发磁场和受磁场作用方面完全等效
(2) 不同之处前者无宏观移动无焦耳效应不必处于导体中
3,与M关系
∫
′∑=?
L
IdlM 8-1-2
即M在一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过的磁化电流之和证明见附件1-1
4,推论均匀磁化介质M为常量所以
∫
=?
L
d 0lM因而磁化电流只出现在非均匀磁化介质内部和介质界面上
* 附件1-1 式8-1-2的证明
第八章 磁介质 3
引入分子平均磁矩
Vn
a
分子
m
m
∑
=其中n为分子数密度则M=nm
a
再设由一等效分子电流产生则m
a
=I
a
S
a
而?V
中各分子具有相同m
a
考虑磁介质中任一闭合回路L和以它为周线的曲面S图8-1-1 a设通过的总磁化电流为ΣI
′
其正向与绕行方向满足右手定则显然只有从S内穿过且在S外闭合的分子电流对ΣI
′
有贡献
考虑L上的一段弧元dl设该处M与dl夹θ角当θ<90°时图8-1-1 b对ΣI
′
有贡献的分子其中心应位于以dl为轴S
a
cosθ为底dl为高的圆柱体中总数为nS
a
cosθdl产生的磁化电流=I
a
nS
a
cosθdl=nm
a
·dl=M·dl当θ>90°时图8-1-1 c
磁化电流为负而cosθ也为负所以上式仍成立
所以穿过的总磁化电流满足
∫
′∑=?
L
IdlM假设分子具有不同磁矩证明该结论
4 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8-2 磁介质中静磁场的基本定理
8.2.1 高斯定理和环路定理
1,B所满足的两定理
设由传导电流I
0
和磁化电流I′ 产生的磁感应强度分别是B
0
和B′则总磁感应强度为B=B
0
+B′ B
0
和B′均由真空中的毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律确定为什么因而它们均遵守真空中的高斯定理和安培环路定理
∫∫∫∫∫∫
′∑=?′=?′∑=?=?
L
S
L
S
IddIdd
00000
,0,,0 μμ lBSBlBSB
所以B满足
∫∫
=?
S
d 0SB 8-2-1
IId
L
′∑+∑=?
∫
000
μμlB 8-2-2
2,磁场强度
为使安培环路定理中不出现磁化电流以方便计算引入辅助矢量
M
B
H?=
0
μ
8-2-3
则由式8-2-2和8-1-2可推出
∫
∑=?
L
Id
0
lH 8-2-4
第八章 磁介质 5
式8-2-1和8-2-4是一般磁介质中的高斯定理和安培环路定理
8.2.2 介质的磁化规律
1,非铁磁性各向同性磁介质
M和H之间满足线性关系
M=χ
m
H 8-2-5
代入式8-2-3可得磁介质性能方程
B=μμ
0
H 8-2-6
其中χ
m
为磁化率μ=1+χ
m
为相对磁导率
该类磁介质可分为三小类
a) 真空M =0 χ
m
=0 μ=1
b) 顺磁质χ
m
>0 μ>1 χ
m
仅10
-4
~10
-5
c) 抗磁质χ
m
<0 μ<1 |χ
m
|仅10
-5
~10
-7
2,非铁磁性各向异性磁介质
M=χ
m
·H B=μ
m
·μ
0
H其中χ
m
和μ均为对称二阶张量
3,铁磁质χ
m
很大M与H关系同磁化历史有关类似于铁电体的电滞回线铁磁质有磁滞回线图8-2-1 a和b分别是硬磁材料和软磁材料的磁滞回线
6 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.2.3 介质磁化的微观机制经典
1,分子固有磁矩分子内全部电子磁矩矢量和其中电子磁矩包括轨道磁矩和自旋磁矩为什么可以忽略原子核磁矩
2,顺磁效应若分子固有磁矩不为零在无外磁场时分子热运动使各分子的磁矩取向不定因而宏观磁矩为零有外磁场时分子受磁力矩m
分子
×B使m
分子
有顺着外场方向排列的趋势产生与外场方向一致的磁化强度定量证明见附件2-1
3,抗磁效应无外磁场时分子固有磁矩为零在外场作用下分子中每个电子的轨道运动将受影响而引起附加轨道磁矩它总与外场反向产生与外场方向相反的磁化强度定量证明见附件2-2
第八章 磁介质 7
4,铁磁效应系统的解释需要量子力学知识铁磁质的磁性主要源于电子的自旋磁矩在无外磁场时铁磁质中电子的自旋磁矩可以在小范围内自发排列形成自发磁化区----磁畴它具有很强的磁化强度但各磁畴方向不同因而不显示宏观磁性在外磁场作用下磁化方向与外磁场接近的磁畴会扩大疆界直至饱和介质将显示很强的宏观磁性
8.2.4 环路定理的应用举例
当磁场所在空间充满均匀各向同性介质且电流分布因而磁场分布具有一维对称性时可直接由安培环路定理求
H进而求B
例8-2-1 求一电流为I的无穷长直导线在磁导率为μ的无限均匀介质中的磁场分布
[解] 由对称性B线是以长直导线为轴的圆H只与r有关所以
,
2
,
2
,2
0
r
I
B
r
I
HIrHd
π
μμ
π
π =∴===?
∫
lH 为真空中的μ倍
例8-2-2 设匝数为N电流为I平均半径为R的细螺绕环内填满磁导率为μ的均匀各向同性磁介质求管内磁感应强度的大小
[解] 对管内与环同轴的半径为R的圆形回路有
,
2
,2 nI
R
NI
HNIRH ===
π
π
nIB
0
μμ=∴是真空中的μ倍
以上两例的结果包含了一普遍结论即无限均匀各向同性介质中的磁感应强度为真空中的μ倍原因是出现了与传导
8 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
电流同方向的磁化电流
000
)1(,IIIIII ∑?=′∑∴∑=′∑+∑=∑ μμ
*附件2-1顺磁效应的微观机制
设诸分子具有相同大小的固有磁矩|m
0
|分子数密度为n
0
m
0
的极角处于θ~θ+dθ方位角?任意的分子数密度为dn(θ) m
0
方向角处于θ~θ+dθ?~?+d?之中的分子数密度为
dn(θ,?)
无外场时
π
θθ
θ
4
sin
),(
0
ddn
dn =呈各向同性分布所以
2
sin
),()(
0
2
0
θθ
θθ
π
dn
dndn ==
∫
8-2-7
当存在外磁场B时取B为m
0
的z方向则 θθθ dCedn
kT
p
sin)(
∈
=即呈玻尔兹曼分布其中ε
p
是分子在外磁场中的势能ε
p
= -m
0
·B= -m
0
Bcosθ
常温下|ε
p
|<<kT所以θθ
θ
θ d
kT
Bm
Cdn sin
cos
1)(
0
+=由归一化条件求得C=n
∫
=
π
θ
0
0
)(dnn
0
/2所以
θθ
θ
θ d
kT
Bmn
dn sin
cos
1
2
)(
00
+= 8-2-8
第八章 磁介质 9
于是H
kT
mn
B
kT
mn
dnmM
33
)(cos
2
000
2
00
0
0
μ
θθ
π
≈==
∫
由对称性M的方向与H一致所以HM
kT
mn
3
2
000
μ
=即
kT
mn
m
3
2
000
μ
χ = 8-2-9
可见磁化率与温度成反比称为居里定律
讨论
a) 在上述推导中假设m
0
B<<kT成立所以磁场不能太强温度不能过低
b) 实验表明式8-2-9对气态顺磁质适用但对某些液态和固态顺磁质不成立
证明当m
0
B<<kT不成立时C的一般表达式为
kT
Bm
kT
Bmn
C
000
hcsc
2
=
*附件2-2抗磁效应的微观机制
考虑一电子以角速度ω轨道半径r绕核运动则轨道电流I=-eω/2π轨道磁矩
m=πr
2
I=-er
2
ω/2其矢量形式为
m=-er
2
ω/2 8-2-10
在外磁场的力矩
L=m×B 8-2-11
作用下该电子的轨道面绕B进动通常外磁场作用远小于分子内的库仑作用以至进动角速
10 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
度?<<ω因而近似有
L=m
e
r
2
×ω 8-2-12
其中m
e
为电子质量将式8-2-10和8-2-11代入式8-2-12可得
BΩ
e
m
e
2
= 8-2-13
可见电子轨道面的进动角速度总与B平行而与电子轨道取向及电子旋转方向快慢无关但电子荷负电所以由进动产生的附加磁矩总反平行于B
设电子轨道面各取向等几率则电子在以r为半径的球面上等几率分布形成一均匀球面电荷
2
4 r
e
e
π
σ?=各种轨道取向的电子以?进动的平均效应等效于球面电荷以?自转其磁矩为试计算之
BΩm
e
m
reer
63
222
=?= 8-2-14
设抗磁质分子数密度为n
0
一个分子中有Z个电子则磁化强度
HBmM
ee
m
rZen
m
rzen
Zn
66
22
00
22
0
0
μ
≈?==其中
2
r为各种可能的电子轨道半径的方均根值所以
2
2
00
6
r
m
Zen
χ
e
m
μ
= 8-2-15
与温度无关
式8-2-15与实验相当符合
第八章 磁介质 11
8-3 边值关系与唯一性定理
在求解包含不同磁介质的体系时需要知道磁介质界面上磁场的边值关系
8.3.1 磁感应强度B
0)(
12
=? B-Bn 8-3-1
即B的法向分量连续证明见附件3-1
8.3.2 磁化强度矢量M
)(
12
MMni -×=′ 8-3-2
证明见附件3-2
8.3.3 磁场强度H
类似于M边值关系的推导由安培环路定理可得
)(
210
HHni -×= 8-3-3
除了理想导体和超导体外通常i
0
=0所以
0)(
21
=× HHn - 8-3-4
12 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
即H的切向分量连续注意H的切向分量有两个分量边值关系要求各分量在边界上都要相等也即H的切向分量不但大小相同方向也相同
8.3.4 静磁场的唯一性定理阐述
1表述当磁场中有磁介质时事先难以确知磁化电流分布因而不便直接由毕-萨-拉定律计算磁场唯一性定理保证由高斯定理安培环路定理及B~H关系加上必要的附加条件就可以唯一确定静磁场该定理能确保猜解的正确性详见本节后续内容及§8-7
2简单情形下的附加条件
(1) 设磁场空间为一封闭曲面S包围若S有限则给定B
Sn
且满足
∫∫
=
S
Sn
dSB 0若S无限则要求B
S
趋于0
(2) 磁介质各向同性μ已知但可以出现非均匀性和界面
(3) 导体中的传导电流分布确知
3证明若解不唯一不妨设为B
1
H
1
和B
2
H
2
令B = B
1
–B
2
H = H
1
–H
2
则B和H对应传导电流为0而S面上
B
Sn
=0或B
S
=0对有限S由于B和H线不可能起止于而只能在S内闭合所以S内必有传导电流与标下划线一句矛盾对S无限情形B和H也不可能在S内闭合因而必起止于无穷远则仍有S内传导电流非0的矛盾结果可见必须B = 0 H=0也即B
1
=B
2
H
1
=H
2
8.3.5 分区均匀各向同性介质中的静磁场
1,介质界面与磁感应线重合
由唯一性定理可证
第八章 磁介质 13
H=B
0
/μ
0
8-3-5
其中B
0
是去掉介质时传导电流在真空中产生的磁感应强度证明见附件3-3
当传导电流对称分布时由
∫
∑=?
000
Id μlB可直接计算B
0
而各介质中的磁场
B
i
=μμ
0
H = μ
i
B
0
8-3-6
2,介质界面与磁感应线垂直
与B线处处正交的曲面称等磁势面以其为分界填入不同的均匀各向同性介质由唯一性定理只要在填入的过程中总电流分布形式不变B线的几何位形必也保持不变即B=αB
0
其中B
0
是无介质时的磁感应强度证明见附件
3-4
求解步骤由
0
0
0
Id
i
L
i
i
∑=?∑
∫
l
B
μμ
α
8-3-7
定出α从而得到B特别地对一维对称情形可直接由
00
Id
L
i
∑=?
∫
μ
μ
l
B
8-3-8
得到B而
BH
0
1
μμ
i
i
=
8-3-9
14 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.3.6 例子
例8-3-1 一圆环状磁介质与一无穷长直导线共轴图8-3-1设磁介质磁导率为μ
直导线电流强度为I求介质内外空间的磁感应强度的分布和介质表面的磁化面电流
[解] 本题属于介质界面与磁感应线重合的情形撤去磁介质时的磁场
r
I
B
π
μ
2
0
0
=
由式8-3-6求得介质内外空间
r
I
B
r
I
B
ei
π
μ
π
μμ
2
,
2
00
==
由式8-3-2结合式8-2-3和8-3-4求得界面磁化电流
r
I
BBMMi
eiei
π
μ
μ 2
)1(
)(
1
0
=?=?=′
例8-3-2 在一同轴电缆内外导体半径分别为r
1
r
2
中填满磁导率为μ
1
和μ
2
的两种磁介质各占一半空间且介质平面为通过电缆轴的平面图8-3-2
设通过电缆的电流强度为I求介质中的磁场分布和介质----导体毗连面上的电流分布
[解] 本题属于介质界面与磁感应线垂直的情况
第八章 磁介质 15
取半径为r r
1
<r<r
2
的圆形回路由一维对称性Ir
B
r
B
0
21
μπ
μ
π
μ
=+
r
I
M
r
I
H
B
M
r
I
H
r
IB
H
r
I
B
)(
)1(
)(
)1(
)()()(
1
21
2
1
12
1
0
1
1
1
2
1
2
10
1
1
210
μμπ
μμ
μμπ
μμ
μ
μμπ
μ
μμπ
μ
μμμμπ
μμμ
+
=
+
=?=
+
=
+
==∴
+
=∴
在r<r
1
和r>r
2
区域B=H=M=0
在r=r
1
处
+
=
+
=
=′
=
=
,2
)(
)1(
,1
)(
)1(
11
21
2
11
12
1
1
1
1
处介质处介质
r
I
M
r
I
M
i
rr
rr
μμπ
μμ
μμπ
μμ
在r=r
2
处
+
=
+
=
=′
=
=
处介质处介质
2
)(
)1(
,1
)(
)1(
21
21
2
21
12
1
2
2
2
r
I
M
r
I
M
i
rr
rr
μμπ
μμ
μμπ
μμ
可见尽管传导面电流和磁化面电流分布不均但二者之和仍各向同性也即与撤去磁介质情形有相同的磁感应强度分布形式
*附件3-1 证明B的边值关系
如图8-3-3设二介质界面为S在S上取?S n为由介质1指向2的法向单位矢量以
S为截面作一柱形高斯面其两底分别位于二介质中柱高趋于0由高斯定理
16 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
0)(,0
1221
=?∴=? B-Bn?SB?SB
nn
*附件3-2 证明M的边值关系
如图8-3-4在两介质界面上取任一面元使之位于yoz平面x轴平行于由
介质1指向2的法线在xoz平面作横跨y轴的矩形回路abcd其中ab和cd分别在介质1 2内绕行方向与y轴满足右手定则且ad<<ab由
∫
′∑=? IdlM可得abiabMM
yzz
′=? )(
21
所以
zzy
MMi
21
=′类似在xoy平面作横跨y轴的矩形回路a'b'c'd'其中a'b'和c'd'分别在介质1 2内绕行方向与y轴满足右手定则且a'b'<< c'd'则
baibaMM
zyy
′′′=′′ )(
21
所以
yyz
MMi
12
=′综上所得有 )(
12
MMni -×=′
*附件3-3 证明介质界面与磁感应线重合时H=B
0
/μ
0
由唯一性定理可知只需证明H和B
0
/μ
0
满足相同的安培环路定理和高斯定理即可
第八章 磁介质 17
由
∫
∑=?
000
Id μlB可得
0
0
0
Id ∑=
∫
l
B
μ
可见H和B
0
/μ
0
确实满足相同的安培环路定理
显然0
0
0
=?
∫∫
S
B
d
S
μ
所以只需证明0=?
∫∫
SH d
S
(1) 当S完全位于第i区介质内则0
1
0
=?=?
∫∫∫∫
SBSH dd
S
i
S
μμ
(2) 若S跨若干介质区如图8-3-5则S中处于第i介质区的部分加上该介质区与相邻介质区的边界构成一闭合高斯面S
i
由(1)知
0=?
∫∫
SH d
i
S
由于介质界面与B线重而在各向同性介质中H
线与B线平行所以界面上H的通量为零故而
0=?∑=?
∫∫∫∫
SHSH dd
i
S
i
S
*附件3-4 证明介质界面与磁感应线垂直时B= αB
0
设B的位形不变则B垂直于介质界面因而M也与界面垂直磁化电流
不可能出现在介质界面上而只能分布于介质和导体的界面只要传导电流只分布在导体表面而且能自由改变其分布以致最终与磁化电流补偿就可保证总电流分布形式不变即I= αI
0
这一结果与所设的B= αB
0
自恰
18 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8-4磁路定理
8.4.1 磁路与电路的对比
1,直流电路基本方程
(1) 稳恒条件
∫∫
=? 0Sj d 8-4-1
(2) 欧姆定律
Ej ′=σ 8-4-2
其中KEE +=′
(3) 电动势
∫∫
′=?= lElK dd 8-4-3
2,静磁场
(1) 高斯定理
∫∫
=? 0SB d 8-4-4
(2) 介质性能方程
HB
0
μμ=
8-4-5
第八章 磁介质 19
(3) 安培环路定理
=∑=?
∫
L
Id
0
lH
m
8-4-6
m
称为磁动势
3,对应关系
作如下对应j? B E′? H σ? μμ
0
m
则电路与磁路问题同构可进一步推得
(1) 电导率为σ的电流管与绝对磁导率为μμ
0
的磁感应管相对应
(2) 电流管的I=jS与磁感应管的Φ
B
=BS相对应
(3) 一闭合电流管的电阻
∫
=
S
dl
R
σ
与一闭合磁感应管的磁阻
∫
=
S
dl
R
m
0
μμ
8-4-7
相对应仿照电流管称为电路磁感应管也称磁路若μ和S沿磁路分段均匀则
mi
i
m
RR ∑=
ii
i
mi
S
l
R
0
μμ
= 8-4-8
8.4.2 磁路定理
m
mi
i
BmB
RR ∑== ΦΦ 8-4-9
其中Φ
B
R
mi
为第i段磁路的磁势降即闭合磁路的磁动势等于各段磁路的磁势降之和
提示
m
=
∫∫∫
==
=?
mBB
R
S
dld
d Φ
μμ
Φ
μμ
00
lB
lH
20 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.4.3 例子
例8-4-1 日光灯镇流器可以等效为一带气隙的矩形磁路设铁芯磁导率为μ截面积为S长度为l线圈匝数为N电流为I
0
求无气隙时铁芯中的磁通量以及该磁通量减至一半时的气隙厚度d
[解] 无气隙时
S
l
NI
B
0
0
μμ
Φ=
l
SNI
B
00
μμ
=Φ∴
当存在气隙使磁通量减半时
)(
2
0
S
d
S
l
NI
B
μμμ
Φ
+=
00
∴ d=l?μ
8-5 电流系统的磁能与磁场的能量
8.5.1 N个载流线圈系统的磁能
1,元过程
忽略所有线圈的电阻各线圈I
i
=0时记为零能态各线圈自感和彼此间的互感分别为L
i
和M
ij
当第i个线圈的电流由0渐增到I
i
时感应电动势为
i
dt
dI
M
dt
dI
L
k
ik
N
ik
i
i
≠
∑=
8-5-1
第八章 磁介质 21
电源反抗
i
作功
=′
i
Ad
kiik
N
ik
iiiii
dIIM dI IL dt I
≠
∑+=
8-5-2
对N个线圈电源作总元功
kiik
N
ik
ki
iii
N
i
dIIM dI ILAd
≠
∑+∑=′
,
8-5-3
)(,
kiikikkikiikkiik
IIdMdIIMdIIMMM =+∴=Q
)(
,
kiik
N
ki
ki
iii
N
i
IIdM dI ILAd
<
∑+∑=′∴
8-5-4
2,系统静磁能
定义电源所作总功为系统的静磁能则
2
2
1
,
2
1
ii
N
i
kiik
N
ki
ki
m
ILIIMAW ∑+∑=′=
≠
8-5-5
其中首项是N个线圈的互感磁能次项是自感磁能
讨论
(1) 上式中指标i k对称可见W
m
与各线圈电流的建立过程无关
(2) 若令W
m
=L
i
则形式更简洁
kiik
N
ki
m
IIMW
,
2
1
∑= 8-5-6
22 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
(3) 设表示第k个线圈电流的磁场通过第i个线圈的磁通
kikkkim
IMIM ==Φ再令表示所有线圈通过第i个线圈的总磁通
kik
N
k
ki
N
k
i
IM∑=∑= ΦΦ
则
ii
N
i
m
ΦIW ∑=
2
1
8-5-7
8.5.2 载流线圈在外磁场中的磁能
1,二载流线圈情形
总磁能
2112
2
222
1
2
112
1
IIMILILW
m
++= 8-5-8
互能
∫∫
===
2
)(
212212211212
S
SdrBIIIIMW
r
r
r
Φ 8-5-9
其中互能表达式的第三式已将线圈1看作外磁场源
2,定义载流线圈在外磁场中的磁能定义为该线圈与产生外磁场的线圈之间的互能
3,均匀外磁场中载流线圈和非均匀外磁场中的小载流线圈的磁能
BmSB?=?=
212
IW 8-5-10
与电偶极子在外电场中的静电能W= -p·E 相比差一负号为什么
4,N个载流线圈在外磁场中的磁能
第八章 磁介质 23
∫∫
∑=
k
S
SrB dIW
kk
N
k
m
)( 8-5-11
当外场均匀时上式简化为
BmSB?=∑?=
tk
N
k
m
IW )( 8-5-12
其中m
t
是N个线圈的总磁矩
8.5.3 磁场的能量与能量密度
1,螺绕环磁能
设螺绕环的横截面为S体积为V环内磁介质的磁导率为μ线圈匝数为N单位长度匝数为n则环内nIB
0
μμ=
VInnINSΦ
m
2
00
μμμμ ==所以自感系数VnL
2
0
μμ=
螺绕环的磁能VBHVInLIW
m 2
1
22
02
1
2
2
1
=== μμ磁能密度
BHw
m
2
1
= 8-5-13
2,线性无损耗介质的一般情形
∫∫∫
=
V
mm
dVwW 8-5-14
MHHB?+=?=
02
1
2
02
1
2
1
μμ Hw
m
8-5-15
其中首项是宏观静磁能密度次项是磁化能密度
24 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.5.4 非线性介质的磁滞损耗
1,螺绕环体系的元功分析
设在dt时间内环内磁场从B变为B+dB则穿过线圈的总磁通NSdBdΨ =电源克服电动势所作元功
=′Ad VHdBNSIdBIdIdt === Ψ单位体积元功
HdBad =′
8-5-16
2,一般磁介质的元功
BH dad?=′
8-5-17
又)(
0
MHB += μ所以
MH dHdad?+=′
0
20
)
2
( μ
μ
8-5-18
可见类似于电介质情形在一般磁介质中电源所作功一部分用来增加宏观静磁能一部分对介质作磁化功
3,磁化功与磁化能的关系
(1) 线性无损耗介质
jiijjij
i
i
HM χχχ =∑=
=
,
3
1
所以
)(
2
1
HMHMMH?=?=? ddd
8-5-19
即磁化功完全转化为磁化能
(2) 非线性磁介质以铁磁体为例当磁化状态沿磁滞回线参考图8-2-1绕行一周时电源对单位体积的铁磁体作功
第八章 磁介质 25
∫∫
=′=′ HdMada
0
μ 8-5-20
恰为磁滞回线的面积由于绕行一周时磁化状态未变磁化功完全转化为热量称为磁滞损耗
8.5.5 利用磁能求磁力
在一些情况下利用安培公式求磁力不方便可以考虑利用磁能求磁力
1,电流不变情形
(1) 考察N个载流线圈组成的系统仿照由静电能求静电力的方法假设某线圈有虚位移δr则磁力作功
zFyFxFA
zyx
δδδδδ ++=?= rF 8-5-21
若在虚过程中各线圈电流不变外部电源需反抗感应电动势作功δA′磁力作功使系统磁能减少电源作功是系统磁能增加系统净磁能变化为
AAW
Im
δδδ?′=)(
8-5-22
(2) δA′与δW
m
关系设虚过程使第i个线圈的磁通变化δΦ
i
则
=′
i
Aδ
iiii
IdtI Φδ=电源所作总功
ii
N
i
i
N
i
ΦIAA δδ
11 ==
∑=′∑=′
8-5-23
而由
ii
N
i
m
ΦIW ∑=
2
1
可得
AAΦIW
ii
N
i
Im
δδδ =′=∑=
2
1
2
1
)( 8-5-24
26 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
即当所有载流线圈电流不变时电源所作功恰为系统磁能变化的2倍而磁力所作功等于系统磁能的增加
(3) 磁力
F=(?W
m
)
I
I
m
x
x
W
F?
=
8-5-25
而磁力矩
I
m
W
L?
=
θ
θ
8-5-26
2,进一步讨论
(1) 对线性无损耗磁介质上述诸式也成立只是W
m
中还包括介质磁化能
(2) 在研究载流导线在外磁场中所受磁力和磁力矩时不必计入二者自能只需考虑导线在外磁场中的静磁能
(3) 外磁场中载流线圈上的磁力和磁力矩线圈的静磁能
θcosmBW
m
=?= Bm
8-5-27
电流不变即线圈的磁矩不变所以
F=?(m·B)
m
=(m·?)B+m×(?×B)=(m·?)B
8-5-28
注意?×B=0而
BmeeL ×=?=?
=
θθθ
θ
θ
sinmB
W
m
m
8-5-29
注意e
θ
为由B到m的右手螺旋方向恰与m×B方向相反
第八章 磁介质 27
3,磁通量不变情形
若产生虚位移时各线圈Φ
i
不变则在虚过程中无感应电动势电源不作功(δW
m
)
Φ
=?δA所以磁力和磁力矩分别为
F=?(?W
m
)
Φ
8-5-30
Φ
m
W
=
θ
θ
L 8-5-31
8.5.6 例子
例8-5-1 一同轴电缆中心是半径为a的圆柱形的导线外部是内半径为b外半径为c的导体圆筒在内外导体之间充满磁导率为μ的介质电流在内外导体中的方向如图8-5-1所示设电流沿截面均匀分布求这电缆单位长度的自感系数
[解] 原来求自感的步骤是B→Φ→L此处不同区域的环路穿过的电流不同不便按此法求解
能量的观点由B H→w
m
→W
m
→ L
I区0 ≤ r ≤ a μ=1一般导体μ~1
考虑长l的一段电缆将其分为如图所示的四个区域则
101
2
1
,
2
HB
a
Ir
H μ
π
==
28 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
π
μ
π
μ
π
16
,
8
2
0
0
2
0
11
42
22
0
1
lI
drwrdlW
a
rI
w
a
mmm
===
∫∫
II区a ≤ r ≤ b
2022
,
2
HB
r
I
H μμ
π
==
∫∫
===
b
a
mmm
a
blI
drwrdlW
r
I
w
π
π
μμ
π
μμ
2
0
2
0
22
2
2
0
2
ln
4
,
6
III区b ≤ r ≤ c
303
22
22
3
22
22
,
2
,HB
bc
rc
r
I
H
bc
rc
II μ
π
=
=
=∑
,
8
2
22
22
2
2
0
3
=
bc
rcI
w
m
π
μ
∫∫
==
c
b
mm
bcbc
a
b
c
bc
lI
drwrdlW
π
π
μ
2
0
2222
4
22
2
0
33
4
)3)((
ln
)(4
IV区r ≥ c 0,0,0,0
444
====∑ WBHI
由
2
4
1
2
1
LIW
mi
i
=∑
=
电缆单位长度自感系数
+=
)(2
lnln
2
22
2
2
22
2
0
bc
c
b
c
bc
c
a
b
l
L
μ
π
μ
例8-5-2 求相距r磁矩为m
1
和m
2
的两磁偶极子相互作用力
[解] 磁偶极子磁场
rr
rr
eemmB )(
44
1
3
0
1
3
0
1
+?=
π
μ
π
μ
第八章 磁介质 29
))((
4
3
)(
4
21
3
0
21
3
0
2112 rrm
rr
W ememmmBmBm+=?=?=∴
π
μ
π
μ
)(
4
3
)5(
4
3
)(
2112
4
0
2121
4
0
12
mmemmF
rrrrrmm
mm
r
mm
r
W ++=?=∴
π
μ
π
μ
可证F
12
=?F
21
但F
12
表达式的次项一般不沿二磁偶极子连线可见不但电流元之间的磁作用力不满足牛顿第三定律二闭合电流间的静磁力也不完全满足该定律其原因类似于电偶极子间的静电力情形
例8-5-3 具有恒定的高磁导率μ的马蹄形磁介质与一磁导率相同的条形磁介质组成一磁路它们的横截面为矩形面积为A长度为l马蹄形磁介质上绕有N匝导线通以恒定电流I求马蹄形与条形磁介质之间的吸力
[解] 设马蹄形与条形磁介质有小间隙x间隙和磁介质内的磁场强度分别为
H
g
和H
m
由磁路定理H
m
l+2H
g
x=NI由B连续得μμ
0
H
m
=μ
0
H
g
即
H
g
=μH
m
解得
xl
NI
B
xl
NI
H
mm
μ
μμ
μ 2
,
2
0
+
=
+
=
xl
IAN
ANBNΦΨ
m
μ
μμ
2
2
0
+
===
)2(22
1
22
0
xl
IAN
IΨW
m
μ
μμ
+
==
30 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
2
22
0
2
0
l
IN
A
x
W
F
x
I
m
μμ?=?
=∴
=
吸引力
8-6 磁荷法
目前实验上尚未发现磁荷因而与电流法相比磁荷法并无真实的物理基
础但是作为一种解题方法适用于无传导电流空间的静磁场问题
8.6.1 磁荷观点下的静磁场规律
1,点磁荷相互作用的库仑定律
(1) 令条形磁铁N极带正磁荷S极带负磁荷当两磁极的尺寸远小于它们之间的距离时可当作点磁荷相互间磁作用力满足库仑定律
rF
3
0
0
4 r
mm
πμ
= 8-6-1
由此式推得q
m
的单位是N?m/A
(2) 定义磁场强度H=F/q
m0
对点磁荷有
rH
3
0
4 r
q
m
πμ
=
8-6-2
对连续磁荷分布引入体磁荷密度ρ
m
面磁荷密度σ
m
和线磁荷密度λ
m
由叠加原理则磁场强度分别为
第八章 磁介质 31
∫∫∫
=
V
m
dV
r
rH
3
0
4πμ
ρ
8-6-3
dS
r
S
m
∫∫
= rH
3
0
4πμ
σ
8-6-4
dl
r
L
m
∫
= rH
3
0
4πμ
λ
8-6-5
2,真空中静磁场的高斯定理和环路定理
仿照静电场的推导方法由真空中的磁库仑定律可得
m
S
qd ∑=?
∫∫
0
1
μ
SH 8-6-6
0=?
∫
L
dlH 8-6-7
由于环路积分为零可引入矢势Φ
m
定义为
H=Φ
m
8-6-8
3,磁偶极子
定义为十分靠近的一对等量异号点磁荷磁荷量q
m
相距l则磁偶极矩大小lqp
mm
=方向由负磁荷指向正磁荷其磁场强度在外磁场中的力矩和力分别为
32 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
r
rpp
H
5
0
3
0
4
3
4 rr
mm
πμπμ
+?=
8-6-9
HpL ×=
m
8-6-10
F=(p
m
·?)H=?(p
m
·H) 8-6-11
与磁矩为m的元电流环的有关公式
r
rmm
B
5
0
3
0
4
3
4 rr π
μ
π
μ?
+?=
8-6-12
BmL ×=
8-6-13
F=(m·?)B=?(m·B) 8-6-14
相比较可知只要将磁荷法中的量与电流法的量作如下对应
mpBH
0
0
,
1
μ
μ
m
8-6-15
则以上两组公式彼此等效
4,磁介质的磁极化规律
磁介质在外磁场中的磁极化实质上仍是8-2中的磁化只是在磁荷观点下外磁场对磁介质的作用类似于外电场对电介质的电极化作用
由磁极化和电极化的相似性定义磁极化强度为单位体积中全部分子磁偶极矩的矢量和
第八章 磁介质 33
V
m分子
p
J
∑
= 8-6-16
则它与极化磁荷有关系
m
S
S
qd ′∑?=?
∫∫
内
SJ 8-6-17
nJ?=′
m
σ 8-6-18
磁极化规律为
J=χ
m
μ
0
H 8-6-19
其中χ
m
是磁极化率也即8-2中的磁化率
5,磁介质中静磁场的高斯定理
引入磁感应强度
B=μ
0
H+J
8-6-20
此处B是类似于电学中D的辅助矢量由式8-6-6和8-6-17得
)(
mm
qqd ′?∑=?
∫∫
SB由于不存在自由磁荷
mm
qq ′=所以
0=?
∫∫
SB d
8-6-21
将式8-6-19代入式8-6-20得
B=μμ
0
H 8-6-22
其中μ=1+χ
m
是磁导率
34 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.6.2 磁荷法与电流法的等效性
1,等效条件
由8-6-15第二式8-6-16和8-1-1得MJ
0
μ=代入式8-6-19得
M=χ
m
H
8-6-23
此处的H与电流法中的H差别仅在于满足不同的环路定理
磁荷法0=?
∫
L
dlH电流法
0
Id
L
∑=?
∫
lH
由此可知对有传导电流的空间磁荷法失效而对不存在传导电流的单连通空间见附件8-6-1两个环路定理完全一致因而两种方法有相同解
2,被研究空间之外传导电流的处理
关键是设法找到该传导电流的等效磁荷分布稳恒电流情形特别简单因为闭合的稳恒电流总可等效为许多小电流环见3-3小电流环又可等效为磁偶极子
8.6.3 磁荷法的应用
1,磁荷法解静磁场与电荷法解静电场可一一对应如表8-6-1所示这样由一种问题的解可得到另一问题的解
表8-6-1静磁量和静电量的替换关系
静磁量 H B J q
m
σ
m
p
m
μ
0
μ χ
m
静电量 E D P q σ
e
p ε
0
ε χ
e
第八章 磁介质 35
2,磁荷分布的磁场与等效传导电流分布的磁场等效所以对磁化强度已知的磁介质既可以求其磁化电流分布用电流法求解磁场也可以求其极化磁荷分布用磁荷法求解磁场视何法简便而定
例子
例8-6-1一马蹄形永久磁铁两磁极总面积为2S磁化强度为M求它对衔铁的吸力
[解] 马蹄形磁铁两极表面上极化面磁荷密度σ
m
=J=μ
0
M衔铁两端感应出等量反号磁荷磁铁和衔铁的吸力可由电容器两极板间吸力表达式
0
2
2ε
σ S
F
e
e
=以及表8-6-1中的替换关系给出SM
S
F
m
m
2
0
0
2
μ
μ
σ
==注意作替换时
S→2S
将本题与例8-5-3相比较
例8-6-2 求平行板电容器边缘附近的电场分布设极板间距为d面电荷密度为±σ
e
计算中设场点离电容器边缘的距离
r远大于d但远小于极板尺寸
[解] 将电荷换成磁荷则面积为?S的磁偶极子的磁偶极矩p
m
=σ
m
d?S对应元电流环的磁矩m=p
m
/μ
0
而磁矩定义式为m=I?S所以I=σ
m
d/μ
0
所有电流元可等效为四条沿电容器边缘的无穷长直导线电流I但其中三条直电流离场点无穷
36 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
远所以只需考虑离场点最近的直电流
易得
r
d
r
I
H
m
0
22 πμ
σ
π
==再回到原问题有
r
d
r
I
E
e
0
22 πε
σ
π
==
本题也可不用磁荷法直接积分计算试一试
例8-6-3 如图8-6-2 两无穷长圆弧片状带电导体A和B互相绝缘两侧棱边在y轴上±b处十分靠近顶部则与z轴分别交于a和c已知a=0.4cm b=0.5cm c=0.8cm z=b处的电场强度为E
b
=8000V·cm
-1
求导体A和B间的电势差
[解] 先解相应的磁场问题通过分析位于y轴上±b处两无穷长反向直线电流的磁场位形发现其等磁势面正好是通过±b的圆弧柱面证明之所以在z轴上的磁场
222
)/(1
2
)( bz
H
zb
bI
H
b
z
+
=
+
=
π
再回到原来的静电问题则
V107.2
)(
tan2
)/(1
2
,
)/(1
2
3
2
1
2
2
×=
+
=
+
=
+
=
∫
acb
acb
bE
dz
bz
E
V
bz
E
E
b
c
a
b
ab
b
z
例8-6-4 用磁荷法求小载流线圈在非均匀外磁场中所受的力
第八章 磁介质 37
[解] 电偶极子在外电场中所受力为F=(p·?)E
所以磁偶极子所受力为F=(p
m
·?)H=(m·?)B
附件8-6-1 单连通空间
拓扑学中一基本概念在该空间中的任一闭合回路可无限缩小成一点如闭合球面外的空间为单连通空间而闭合环面外的空间则不是
8-7 磁像法
磁荷观点下的磁像法与电像法完全类似不再赘述电流观点下的磁像法关键是设法找到等效像电流以代替介质界面上的磁化电流或导体界面上的感应电流从而求得后者对考察区域磁场的贡献此处只讨论两种特例
38 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
8.7.1 介质界面为无限大平面
1,像电流
设介质1中电流密度分布是
zzyxjyzyxjxzyxjzyx
zyx
),,(?),,(?),,(),,( ++=j 8-7-1
参照电像法的公式可得上半空间像电流为
+
=?′
+
=?′
+
=?′
),,(
)(
),,(
),,(
)(
),,(
),,(
)(
),,(
21
121
21
121
21
121
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zz
yy
xx
μμ
μμμ
μμ
μμμ
μμ
μμμ
8-7-2
下半空间像电流
第八章 磁介质 39
),,(),,(
),,(),,(),,(),,(
zyxjzyxj
zyxjzyxjzyxjzyxj
zz
yyxx
′?=′′
′=′′?′=′′
8-7-3)
2,磁场分布由像电流分布可求得上半空间
,
),,(
4
),,(
4
3
0
3
01
∫∫∫
∫∫∫
′′′
′
′×′?′′′
+
′′′
×′′′
=
zdydxd
R
zyx
zdydxd
R
zyx
Rj
Rj
B
π
μ
π
μμ
8-7-4
下半空间
[],),,(),,(
4
3
1
0
∫∫∫
′′′×′′′′′+′′′= zdydxd
R
zyxzyx
R
jjB μ
π
μ
8-7-5
上二式中r是场点位矢r′和r″分别是源点和像点位矢R= r-r′ R′ = r-r″
注意含源电流j的项有因子μ
1
这反映了介质1的磁化效应而含像电流的项无此因子
3,检验由磁场表达式可证明试证明之
a) B自然满足高斯定理H满足安培环路定理
b) B和H分别满足边值关系 0)(,0)( =?×=
下上下上
HHnBBn
4,理想抗磁质和理想导磁质
a) 理想抗磁质
当μ
1
=μ μ
2
=0时式8-7-2简化为
40 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
=?′
=?′
=?′
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zz
yy
xx
μ
μ
μ
8-7-6
此时由8-7-3算出 j″ = -μj代入式8-7-5得B(z<0)=0
b) 理想导磁质
当μ
1
=μ μ
2
=∞时式8-7-2简化为
=?′
=?′
=?′
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zyxjzyxj
zz
yy
xx
μ
μ
μ
8-7-7
此时由8-7-3算出 j″ = μ j
8.7.2 介质界面为无限大柱面
设介质1为无穷长圆柱半径为a其周围充满介质2介质2中有一无穷长直线电流与圆柱轴平行与轴相距d如图8-7-3取z轴为圆柱轴b=a
2
/d
1,像电流
可证明介质2所对应的像电流分别位于x=b和原点大小分别是
II
21
212
)(
μμ
μμμ
+
=′ 8-7-8
第八章 磁介质 41
II ′?=′
0
8-7-9
而介质1对应的像电流
I″= I′ 8-7-10
与I同位置
2,磁场分布
由源电流和像电流分布可得介质1 2中的磁场分别为
])[(2
))((
,
])[(2
)(
22
20
1
22
20
1
ydx
IIdx
B
ydx
IIy
B
yx
+?
′′+?
=
+?
′′+
=
π
μμ
π
μμ
8-7-11
+
′
+
+?
′?
+
+?
=
+
′
+
+?
′
+
+?
=
22
0
2222
20
2
22
0
2222
20
2
)(
)(
)(
)(
2
,
)()(2
yx
Ix
ybx
Ibx
ydx
Idx
B
yx
I
ybx
I
ydx
Iy
B
y
x
μ
π
μ
μ
π
μ
8-7-12
3,检验磁场满足边界条件
边界条件可变形为在r=a处 B
1
·r =B
2
·r 和 B
1
×r?μ
1
=B
2
×r?μ
2
为什么易证上述磁场表达式满足该边界条件
8.7.3 例子
例8-7-1 设下半空间z<0充满磁导率为μ的磁介质上半空间z>0为真空其中置入一无穷长直线电流I它与界面平行距离为d求空间的磁场分布
42 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
[解] 由式8-7-2取μ
1
=1 μ
2
=μ
对于上半空间其像电流位于z=-d方向同I II
1
1
+
=′
μ
μ
对于下半空间其像电流位置同I I″= I′
取I方向为x轴正向由8-7-4使用环路定理更方便上半空间磁场为
+++
+
+
=
++
+
+
+
+
=
2222
0
1
2222
0
1
)(
1
1
1
)(
1
2
,
)(1
1
)(2
dzydzy
Iy
B
dzy
dz
dzy
dzI
B
z
y
μ
μ
π
μ
μ
μ
π
μ
特别地在界面上有
))(1(
,
))(1(
22
0
1
22
0
1
dy
Iy
B
dy
Id
B
zy
++
=
++
=
μπ
μμ
μπ
μ
类似可得下半空间得磁场为
第八章 磁介质 43
])()[1(
,
])()[1(
)(
22
0
2
22
0
2
dzy
Iy
B
dzy
dzI
B
zy
++
=
++
=
μπ
μμ
μπ
μμ
特别地在界面上有
))(1(
,
))(1(
22
0
2
22
0
2
dy
Iy
B
dy
Id
B
zy
++
=
++
=
μπ
μμ
μπ
μμ
可见界面上B
z
连续H
y
连续
例8-7-2 一无限理想导体平面上方为真空其中有一无穷长直线电流I与界面平行距离为d求理想导体表面上的感应电流
[解] 将理想导体视为理想抗磁质要求初始时刻导体中无磁场将μ=0代入例8-7-1的结果中可知在界面的真空侧z=0
+
)(
22
dy
Id
H
y
+
=
π
再由边值关系求得感应电流I
x
=-H
y
小结八
本章介绍了磁场与物质的相互作用
在8-1中首先引入描述磁化现象的磁化强度矢量及其性质然后分析了磁化强度与磁化电流的关系
在8-2中首先导出一般磁介质中的高斯定理和安培环路定理接着介绍了各类磁介质的磁化规律阐述了顺磁质抗磁质磁化规律的定量微观机制及铁磁质磁化规律的定性微观机制最后讨论了一维对称电流下均匀各向同性磁介质磁场
44 电磁学网上课件 本章撰稿人秦 敢
的求解
在8-3中首先导出磁感应强度磁化强度以及磁场强度所满足的边值关系接着阐述并证明了静磁场的唯一性定理最后作为唯一性定理的应用分别讨论了当介质界面与磁感应线重合时以及当介质界面与磁感应线垂直时磁场的求解
在8-4中通过对比静磁场与直流电路的基本方程发现只要将二体系中若干物理量相对应则电路与磁路问题同构进而得到磁路定理
在8-5中首先给出N个载流线圈系统的磁能并定义了载流线圈在外磁场中的磁能随后引入线性无损耗介质的磁能和磁能密度分析了线性无损耗介质以及非线性介质中磁化功与磁化能的关系最后作为一个应用讨论了由磁能求解磁力和磁力矩问题
在8-6中首先阐述了磁荷观点下的静磁场规律接着分析了磁荷法与电流法的等效条件最后举例说明可利用电流法?磁荷法?电荷法的对应关系灵活求解静电场和静磁场问题
在8-7中介绍了利用电流观点下的磁像法分别求解介质界面为无限大平面时以及介质界面为无限大柱面时的磁场问题
