第九章 介质中的电磁理论 1
第九章 介质中的电磁理论6+4学时
§9-1 介质中的麦克斯韦方程组
在第六章中我们已经学习了真空中的电磁理论这为我们奠定了好的基础许多的实际问题要我们去解答各种介质中的电磁场这就要求我们掌握介质中的电磁理论本章将从普通物理的电磁学角度来讨论这类问题
与第六章类似真空中的电磁理论的核心是真空中的麦克斯韦方程组介质中的电磁理论的核心是介质中的麦克斯韦方程组它是麦克斯韦在前人所取得的科学成果的基础上发展和创造后取得的麦克斯韦的贡献在于作了两个大胆的推广和两个重要的假设
一两个大胆的推广
1,麦克斯韦认为介质中静电场的通量定理对变化的电场同样适用即
2 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
)119(;
000
===?
∫∫ ∫∫∫
ρρ DqdVSdD
S V
vvv
v
其中为介质中的电位移矢量D
0
ρ为介质中的自由电荷密度V为闭合曲面S所包围的体积
2,麦克斯韦认为介质中稳恒磁场的通量定理对变化的磁场同样适应即
)219(0;0==?
∫∫
BSdB
S
vvv
这两个推广的基础是设想库仑定律与安培定律在有介质时仍然成立
二两个重要的假设
1,涡旋电场假设随时间变化的磁场会激发涡旋电场或称为感应电场感生电动势正是来源于感应电场所产生的非静电力于是得到新的环路定理其数学表达式为
)319(=?
=
∫∫∫
ldESd
t
B
CS
vv
ε
v
v
它是法拉第电磁感应定律与涡旋电场假说的结果
2,位移电流假设随时间变化的电场和电流包括传导电流极化电流和磁化电流一样能激发磁
第九章 介质中的电磁理论 3
场引入位移电流密度
t
P
t
E
t
D
j
d
+
=
=
vvv
v
0
ε其中第一项表达电场随时间的变化率第二项表示电束缚电荷的微观运动产生的极化电流于是磁场的环路定理应表达为
)419()()(
00
+=?+=?
∫∫∫∫∫
Sd
t
D
jSdjjldH
S
d
SC
v
v
rvvvvv
这个假说的产生源于麦克斯韦研究稳恒磁场的环路定理他发现稳恒电流的条件
0
0
=?
∫∫
Sdj
S
vv
能保证SdjldH
C
SC
vvvv
=?
∫∫∫
0
右边积分值的唯一性所以这定理对稳恒磁场是合理的但是对于非稳恒电流这时只能有电荷守恒定律成立即
0
0
0
=+?
∫∫
dt
dq
Sdj
S
vv
将式9-1-1代入上式得 0
0
=?+?
∫∫∫∫
SdD
dt
d
Sdj
SS
vvvv
即 0)(
0
=?
+
∫∫
Sd
t
D
j
S
v
v
v
于是定义了位移电流密度0)(,
0
=?+
≡
∫∫
Sdjj
t
D
j
d
S
d
vvv
v
v
是电荷守恒定律的结果在非稳恒电流情况下成立
4 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
这就产生了新的环路定理它是电荷守恒定律和位移电流假说的结果
我们可以将介质中非稳恒情况下的电磁场规律表达为如下的麦克斯韦方程组
积分形式 微分形式
)819(..)(
)719(,0,0
)619(,,
)519(,,
00
00
+=×
+=?
==?
=×
=?
==?
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫
t
D
jHSd
t
D
jldH
BSdB
t
B
ESd
t
B
ldE
DdVSdD
SC
S
SC
VS
C
v
vvv
v
v
vv
vvv
v
vv
v
vv
ρρ
vvv
从麦克斯韦方程组的积分形式9-1-5 9-1-8出发作圆柱形曲面或矩形回路横跨并无限接近两介质的界面从而得到边值关系
v
)1219(,)(
)1119(,0)(
)1019(,0)(
)919(,)(
012
12
12
012
=?×
=
=?×
=
iHHn
BBn
EEn
DDn
vvv
v
vv
v
vv
v
σ
v
v
v
其中
0
σ是界面上的面电荷密度
0
i是界面上的面电流密度
第九章 介质中的电磁理论 5
§9-2 电磁场的能量动量和角动量
在第六章中我们已学过真空中电磁场的能量动量对静止各向同性介质中的电磁场场的能量密度w能流密度又称坡印适磁量动量密度g
v
角动量密度表达式如下l
v
9?=
S
v
)429(.
)329(,
)229(,
22
×=
×=
×=
grl
BDg
HES
vv
v
vv
v
vvv
)12(,
11
+? HBEDw
vvvv
于是体积V中电磁场的总能量总动量和总角动量分别为如下体积分
)529(,,,===
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
dVlLdVgGWdVW
vv
v
vv
VVV
能量守恒定律的表达式为
)629()(+?=?
∫∫
n
WW
d
AdS
vv
Ad
v
dt
上式中为积分的面元是非电磁的总能量可将上式与电荷守恒定律比较以便加深理解
n
W
v
6 本章撰稿人程福臻
图
我们可以作一个简单的实验如图
l充满介电常数为的均匀各向同ε
I板极充电荷为Q置电容器便绕轴旋转其角速度为ω
ω C
于是电容器内电磁场的总角动量为
L
v
放电后电磁学网上课件
为加深对电磁场角动量的理解
9-2-1一圆柱形介质电容器长度为性介质内外半径为r
1
r
2
绕轴的转动惯量为于一均匀磁场中B
v
当电容器放电后的大小可通过电磁场的角动量计算如下略去边缘效应电容器中
9-2-1 轴向均匀磁场中
的圆柱电容器
0
ε
Q
SdE
S
=?
∫∫
vv
,
2
,
2
2
,
2
0
0
Z
l
QB
grl
rl
QB
BDg
r
rl
ED
lr
E
)
vv
v
)
vv
v
)
π
ε
π
ε
π
εε
επ
=×=
=×=
==
=得
QQ
vv
ε
ZrrQBZlrr
l
QB
dVl
V
)(
2
1
)(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
===
∫∫∫
εππ
π
))v
ε
vv
电容器内00 == D CE由总角动量守恒则
第九章 介质中的电磁理论 7
).(
2
1
2
1
2
2
rrQBI CLL
n
== εω即
vv
于是得 )(
2
1
2
1
2
2
rrQB
I
= εω
上式中负号表示电容器逆时针旋转
§9-3 介质的电磁性能方程和平面电磁波
一介质的电磁性能方程是电磁场和介质相互作用的宏观描述
其形式表达为如下函数
=
=
=
)339().,(
)239(),,(
)139(),,(
00
BEjj
BEHH
BEDD
vvvv
vvvv
vvvv
研究某种介质的电磁场不知道这种介质的电磁性能方程是无法取得结果的从数学上看麦克斯韦方程是一组偏微分方程组它本身是不闭合的在任何介质中它的形式都相同只有加上所要研究
8 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
的介质的电磁性能方程才能得到这种介质中的电磁场的解所以研究某种介质中的电磁场问题必须要知道该介质的电磁性能方程
如何得到介质的电磁性能方程呢回答是由实验直接确定或是由建立在实验基础上的合理分析得到例如我们已经学过的不同性质的介质有
1,各向同性介质
实验得
=
+≡=≡=
+≡=+≡=
.
1,;
1,;
0
0
0
000
Ej
HBM
B
HHM
EPEDEP
mm
ee
vv
vvv
v
vvv
σ
χμμμ
μ
χ
χεεεεεχ
其中其中
vvvvvv
最后写成
=
=
=
)639(
)539(
)439(
0
0
0
Ej
HB
ED
vv
wv
σ
μμ
εε
vv
2,各向异性电介质
实验得 )739(.)(=
jijei
EP χ
第九章 介质中的电磁理论 9
e
χ是张量
ije
)(χ是分量于是也是张量ε其分量为
ij
ε
3,铁磁质
M
v
与的实验关系复杂H
v
且与磁化历史有关一般为形如图9-3-1的曲线关系称为磁滞回线写成公式为
图9-3-1 磁滞回线
)839().(
0
+= MHB
vvv
μ
二研究均匀各向同性介质中自由空间的平面电磁波
1,波动方程
这是一个重要的实例我们从式9-1-5 9-1-8微分形式的麦克斯韦方程和式9-3-4 9-3-6
均匀各向同性介质的电磁性能方程出发
自由空间的含意是0,00
00
=== σρ研究j C
v
的介质中的电磁场于是可得下面的方程组
10 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
=×?
=×?
=
=
)1239(.
)1139(,
)1039(,0
)939(0
0
0
t
E
H
t
H
E
H
CE
v
v
v
v
v
εε
μμ
v
将它们与真空中自由空间的麦克斯韦方程组相比较容易发现在方程9-3-11中右边项仅多了磁导率μ在方程9-3-12中右边项仅多了电容率ε在均匀各向同性介质中με和是与时间t和空间位置无关的r
v
于是可以仿效真空情况下的作法得到
=
=
)1439(.0
1
)1339(,0
1
2
00
2
2
2
00
2
H
t
H
E
t
E
v
v
v
εμεμ
εμεμ
2
v
这是典型的波动方程即脱离了场源的电磁场是以波的形式在无界的自由的均匀各向同性介质中传播它的传播速度为
)1539(.
1
00
==
με
εμεμ
C
V
C是真空中的光速
第九章 介质中的电磁理论 11
2,定态电磁波的解
进一步设电磁波的激发源以确定的频率作简谐振动ω因而辐射的电磁波也以相同频率作简谐振动这种以一定频率作简谐振动的波常称为定态电磁波或单色波一般的非单色的电磁波可以用傅里叶分析方法分解为不同频率的单色波的迭加因此只须研究定态电磁波
这时可设其解的形式为
=
=
)1739()(
)1639()(
jwt
tj
eZHH
eZEE
vv
vv
ω
意即设电磁波沿Z轴正向传播其场强在与Z轴正交的平面上各点有相同的值其中只是坐标
Z的函数
)(),( ZHZE
vv
于是H AE
vv
仅与Z和t有关与坐标y,x无关这种电磁波称为平面电磁波
将形式解9-3-16 9-3-17分别代入波动方程9-3-13 9-3-14中立即得到
=+
=+
)1939(.0)(
)(
)1839(,0)(
)(
00
2
2
2
00
2
2
2
ZH
Z
ZH
ZE
Z
ZE
v
v
v
v
εμεμω
εμεμω
其解
=
=
)2139(.)(
)2039(,)(
0
0
jKZ
jKZ
eHZH
eEZE
vv
vv
12 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
其中是积分常数
00
,HE
vv
它们是常矢量由已知的激发源确定代表电磁和磁场的振幅其中
00
εμεμω≡K于是有V
K
==
με
Cω
电磁波传播速度
λ
22
==≡
VV
K
& ππω f
又称波数表示在空间中π2米长度上有多少个电磁波
将9-3-20 9-3-21分别代入9-3-16 9-3-17中得
v
=
=
)(
0
0
),(
),(
KZtj
eHtZH
eEtZE
ω
vv
)( KZtj ω
v
更一般的写法为
=
=
)2339(),(
)2239(),(
)(
0
0
rKtj
eHtrH
eEtrE
v
v
v
v
v
ω
)( rKtj
v
v
v
v
v
ω
v
π2
v
v
其中的方向定义为电磁波的传播方向K大小为
λ
K又称波矢r是空间任意点相对于电磁波源的位置矢
3,平面电磁波的性质
现在已经得到了均匀各向同性介质中自由空间的定态平面电磁波的解9-3-22 9-3-23可以将它们代入麦克斯韦方程组9-3-9 9-3-12中考虑到ωj
t
Kj?→
,
v
有
第九章 介质中的电磁理论 13
=×
=×
=?
=?
)2739(
)2639(
)2539(,0
)2439(,0
0
0
EHK
HEK
HK
EK
vvv
vvv
vv
vv
ωεε
ωμμ
由此可知无限均匀各向同性介质中平面电磁波的性质为
1式9-3-24说明EK
vv
⊥式9-3-25说明HK
vv
⊥即电磁场强度与波的传播方向垂直故电磁波是横波
2式9-3-26与9-3-27说明HE
vv
⊥即电场强度和磁场强度垂直且和三个矢量构成一个右旋直角坐标系H A
vv
E K
v
如图
9-3-2所示
3将叉乘式K
v
9-3-27代入上结果得
(
2
K μμ
要求此式有非零解于是得
9-3-26两边再将
0)
2
00
=E
v
ωεε
vv v
即0≠E
v
则必须有
图9-3-2 和的相互关系 H AE K
,0
2
00
2
=? ωεεμμK
)2839(.
1
00
==
με
εμεμ
ω C
K
14 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
再将式9-3-28代入式9-3-26得
)2939(;
000000
== HEHE μμεεμμεε
22
式9-3-29说明的幅值成比例HE和在介质中任一点任一时刻其电场能量密度与磁场能量密度相等
vv
4式9-3-28说明电磁波的传播速度为
με
K
V ==
ω C
麦克斯韦预言光即是电磁波于是可得n
V
=
C
是介质的折射率με=n一般情况下介质是电磁波的频率的函数εμ和ω所以
με
nK
V ===
ω CC
它也是的函数ω又称色散关系
§9-4 超导介质的电磁特性
自然界中的介质按其导电性能划分为三大类导体半导体和绝缘体人类很早就发现许多金属物质具有良好的导电性能并测量出其电阻率或电导率与其温度有关ρ σ寻找电阻率为零的理想导体是人类曾经追求的目标之一
ρ
廿世纪初取得了重大突破并研究了其电磁性能这里我们把它作为例子之一向大家介绍如何从实验出发经过合理分析取得该介质的电磁性能方程再与麦克斯韦方程组合起来正确表述和研究超导介质的电磁特性
第九章 介质中的电磁理论 15
一四个重要的实验事实
1,超导电性
1911年荷兰物理学家昂纳斯Onnes第一次发现了超导电性他用水作实验使它降温并测量它的电阻在约
4.2时K水银的电阻几乎突然地完全地消失见图9 1-4-这一发现开辟了一个新的物理领域超导大量的实验和理论研究随之而来迄今我们知道大元素数百种合金和金属化合物是超导体它们从正常态跃变到超导态电阻为零的温度转变温度或称临围从约0.12K到
15
约
0K当
C
T时T >物质表跃到∞=σ,=ρ 0在表9 4-1中-
我们列出几种元素的临界银Hg
范
变零即温
T
C
和B
0
值
约廿多种有电阻界温现为常正态当
C
T≤时T它的电阻度度T
C
图9-4-1 水银电阻温度特性
T
C
表9-4-1 几种元素的临界温度
16 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
族元素 族元素 族元素
T
C
K B
0
T T
C
K B
0
T T
C
K B
0
T
Al 1.18 0.0105
Zn 0.875 0.0053 Ga 1.09 0.0051
Ca 0.56 0.0030 In 3.40 0.293
Sn白 3.72
0.0309
Hg α 4.15
0.0412 T1 2.39 0.0171 Pb 7.19 0.0803
2,临界磁场效应
1914年昂纳斯企图用超导线圈获得强磁场时发现大于某一个值时B
v v
C
B线圈的超导性受到破坏而变成正常态他把称为临界磁场
C
B
v
C
B
v
随不同的物质和不同的温度而变化对大量的超导物质B
C
与T的关系可表为
[ ] )149(,)/(1
0
=
CC
TTBB
2
第九章 介质中的电磁理论 17
其示意图为图9-4-2其含意是1当T=时T
C
B
C
=0即在临界温度时只有在无外磁场的情况下物质才是现超导B
0
是将T延伸到零时的B
C
值一些超导介质的B
0
值示于表9-4
此图可看成超导介质的超导态和正常态的相变图曲线以下区域表示物质的超导态即要求T T和B
C
B
C
两个条件曲线以上区域表示物质的正常态只满足T>T
C
或者B>B
C
两个条件之一要物质就进入正常态磁场B即包括了外场又包括超导介质内电流产生以由临界磁场容易理解必定存在临界电流态2
-1 3
的磁场所I
C
,
[ ] )249(.)/(1
2
0
=
CC
TTII
图9-4-2 临界磁场临界温度
曲线
处于超导态的介质当其内部电流I>I
C
时介质将从超导态跃变到正常态这主要是由于电流I产生的磁场B>B
C
所致
3,完全抗磁性迈斯纳效应
1933年迈斯纳Meissner和奥克逊菲尔德Ochsenfeld发现超导体除了有理想的导电性外还具有完全的抗磁性当T<T
C
且B<B
C
磁通被完全排出介质这时介质中磁场为零称为完全的抗磁性且与操作过程无关如图9-4-2所示两条路径P→ Q→ R和P→ S→ R过程前者是先加外磁场B
v
当然这时磁力线会穿入介质体内后降温使介质进入超导态T<T
C
后者是先降温进入超导态后加外磁场B
v
18 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
两种操作顺序不同但后果都一样这时介质体内0=B
v
表现为完全的抗磁性用图9-4-3更形象地表示这两种操作
是否能认为理想的导电性是完全抗磁性的原因呢如果从一般导体中的欧姆定Eσ
出律
vv
发
j =
理想的导电性意味着是常量j,∞→σ
v
则0=
σ
j
v
=E
v
另外根据麦克斯韦方程
9-1-6
常矢量则==
=×? B
t
B
t
B
E
vv
,0,
vv
磁场由初始条件确定B
v
一开始0=B
v
则进入超导态后一直为零这可解释P S R过程但是却不能解释P Q R过程一开始0≠B
v
进入超导态后按理仍有0≠B
v
与实验矛盾问题出在哪儿即出
图9-4-3 超导体的完全抗磁性与操作顺序无关
第九章 介质中的电磁理论 19
发点将一般导体的欧姆定律应用到超导体是不对的也不能认为理想导电性是完全抗磁性的原因这两种性质没有因果关系
4,同位素效应
1950年科学家在用水银的不同的同位素作实验时发现T
C
与同位素的质量相关
)349(
2
1
=∝
α
α
对水银的同位素 CMT
C
对其它超导元素α不总是
2
1
可见0→∞→
C
CTM我们知道原子的晶格形变和振动与其M有关
∞→M则原子不会振动0→
C
T即无超导特性
二唯象理论二流体模型
1,两种自由电子二流体模型
1934年戈尔特Gorter和卡西米尔Casimir提出在超导态时物质中存在两种电子
1超导电子它不会被晶格散射不发生碰撞运动不受阻尼因此具有理想的电传导其数密
20 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
度记为n
s
2正常电子与晶格碰撞而被散射时改变其能量和动量产生电阻其数密度记为n
n
在超导态时0,0 ≠≠
ns
nn而超导电子运动不受阻尼因此相当于在有电阻的电路段并联了一根无电阻的导线造成理想的电传导而正常电子不影响超导电性
在正常态时0,0 ≠=
ns
nn只有正常电子
2,BCS理论超导电子的微观解释
1957年巴丁Bardeen库珀Cooper和史列菲Schrieffer在量子力学的基础上回答了超导电子的起因和本质要点是
超导电子库珀对? Cooper pair
是一对动量和自旋正好相反的电子通过交换声子即晶格振动量子相互吸引在一起从定性上看这符合同位素效应这种电子对不受晶格散射是产生超导电流的原因由此可推断其电荷
)449(2,2
ess
mmee其质量=?=
33
量子计算表明库珀对结合能eV10—10~?当电子的热运动能?<kT k为波尔兹曼常数时库珀对能够存在介质处于超导态反之温度升高?>kT库珀对瓦解介质进入正常态所以
k
T
C
≈
我们应该指出BCS理论适用于低温超导情况对目前新发现的高温超导情况还没有公认的成熟理论
第九章 介质中的电磁理论 21
三超导介质的电磁性能方程伦敦方程
根据以上的实验和理论分析1935年伦敦兄弟提出首先将超导介质当良导体处理取11 == εμ C
于是有ED CHB
vvvv
00
εμ ==由二流体模型可设
sn
jjj
vvv
+=
n
j
v
是正常电子产生的电流密度
s
j
v
是超导电子产生的电流密度Ej
n
vv
σ=其中是正常态时的电导率σ关键是寻找),( BEj
s
vvv
他们遵循应反应两个实验特性
s
j
v
理想导电性和完全抗磁性于是他们作了如下两个推测
推测一设超导电子的平均定向速度为u
v
数密度为n
s
则
ss
s
sss
en
j
uuenj
v
vv
v
==,在电场作用下E
v
因无阻尼则为恒加速运动Eeum
ss
v
&
v
=将关系代入得
s
ju
v
v
与
)549(,
1
2/1
2
0
2
0
≡=?=
ss
s
ss
ss
ss
en
m
EjEe
en
jm
μ
λ
λ
μ其中
v
&
vv
&
v
式9-4-5被称为伦敦第一方程它反映了超导介质的理想导电性
推测二为反映完全抗磁性需找要的关系Bj
s
vv
与他们的作法是将方程9-4-5两边作运算×?
得Ej
s
v
&
v
×?=×?
2
0
1
λ
μ将麦克斯韦方程9-1-6代入其右边便有
22 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
,0
1
,
1
2
0
2
0
=
+×?
=×? Bj
tt
B
j
ss
vv
&
v
λ
μ
λ
μ
v
他们假定
)649(
1
,0
2
0
2
0
=×?
=+×?
Bj
Bj
s
s
vv
λ
μ
λ
μ
1
vv
v v
式9-4-6称为伦敦第二方程它说明维持着超导电流B如果0=B则0=×?
s
j
v
没有旋度的是不能维持的
s
j
v
必然有0=
s
j
v
而正常电流是由维持的
n
j
v v
E
归纳超导介质的电磁性能方程为
=×?
≡=
===
.
1
)749(,,
1
,,,
2
0
2/1
2
0
2
0
00
Bj
en
m
Ej
EjHBED
s
ss
s
s
n
vv
v
&
v
vvvvv
λ
μ
μ
λ
λ
μ
σμε
vvv
其中m
s
=2m
e
e
s
=-2e超导介质内
sn
jjj +=麦克斯韦方程组为
第九章 介质中的电磁理论 23
)849(
.)(
,0
,
,/
000
00
++=×?
=
=×?
=
t
E
jjB
B
t
B
E
E
sn
v
vvv
v
v
v
v
εμμ
ερ
四应用举例
1,迈斯纳效应之一 完全抗磁性的解释
当稳态时即0=
s
j
&
v
由伦敦第一方程有0=E
v
则0== Ej
n
vv
σ超导体内无正常电流即无损耗这时麦9-4-8的第四个方程为
s
jB
vv
0
μ=×?
于是
)949()(
0
×?=×?×?
s
jB
vv
μ
克斯韦方程组
图9-4-4 磁场向超导体
表面薄层的穿透
24 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
将伦敦第二方程代入式9-4-9得
)1049(0
2
2
= BB
λ
1
vv
为简单起见将图9-4-3实验中最后一步简化为图9-4-4我们讨论Z>0上半空间为超导体磁场分布
x
eZBB )(=
)
v
且在Z=0处情况
x
eBB
0
=
)
v
这时方程9-4-10变为;0)(
1)(
22
=? ZB
dZ
ZBd
λ
2
)
v
边界
xZ
eBZB
00
|)( =
=
其合理解为
)1149().0()(
0
≥= ZeeBZB
x
/?Z
)
v
λ
式9-4-11说明磁场不能透入超导体内部而只能以指数衰减形式透入导体表面薄层当时λ=Z
0
37.0 BB ≈透入深度?
2
10~λ
再由麦克斯韦方程9-4-8得
)1249(,
/
0
00
=×?=
y
Z
s
eeBBj
)
λ
λμμ
11
vv
v
表明也存在于表面一薄层内
s
j其厚度同样约为10
2
所以看成面电流这即所谓的迈斯纳电流它在超导体内产生一磁场正好抵消外磁场
s
B
v
使体内磁场0=B
v
2,迈斯纳效应之二类磁通守恒
第九章 介质中的电磁理论 25
实验介绍迈斯纳效应的实验之二如下采用中心带孔的圆柱体介质如图9-4-5所示
e
v
=
e
B
v
Q
c
T CTT <↓
0=B
v
e
B
v
e
B
v
e
B
v
1
Iv
介质跃变到超导态变化无关
e
B
v
柱体外
c
B
v
e
B
v
B
图9-4-5 迈斯纳效应之二
P
S
R
ce
BB
vv
<+
ce
BB
vv
≤
c
TTT <↓,
e
B
v
+
c
e
B
v
=B
v
0
0=B
v
2
I
2
I
B
R
正常态
1图中的上支对应着图9-4-2中PQR过程开始存在外场降温使T<T
C
且柱体内0=B
v
柱孔内
c
BB
vv
=以后改变外场
ce
BB
vv
<而柱体孔内总保持
c
B
v
与随外磁场变化
e
BB
vv
=
26 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
2图中的下支对应着图9-4-2中的PSR过程开始外场0=
e
B
v
降温使T<T
C
介质跃变到超导态然后加外场使
ce
BB
vv
<柱体内0=B
v
柱体孔内始终为零B
v
仅柱体外
e
BB
vv
=两组实验的共同特点是圆柱体孔内的磁场只与进入超导态的初始条件有关
e
B
v
解释作图9-4-6在超导体内作闭合曲线C以C为周线有任意一曲面S将麦克斯韦方程9-4-8
中第二式化为如下积分形式
0=?+?
∫∫∫
ldESdB
dt
d
SS
vvvv
或
0)( =?
+×?
∫∫
dS
t
B
E
S
v
v
图9-4-6 带孔的圆柱体超导介质
将伦敦第一方程代入上式后可化成
)1349(0
2
0
=
+?
∫∫∫
ldjSdB
dt
d
s
CS
vvvv
λμ
定义
第九章 介质中的电磁理论 27
CS
)1449(.
2
0
+?=′
∫∫∫
ldjSdB
sm
v
vvv
λμφ
m
φ′称为类磁通其第一项是通过环路C所围曲面S的磁通第二项是超导电流环量的贡献于是式
9-4-13可写成
)1549(,0=′=
′
与时间无关的恒量即得
m
m
d
φ
φ
dt
m
φ′这称类磁通守恒完全由介质进入超导态时的初值决定进一步分析由前述超导电流将集中于带孔柱体的内外表面极薄~10
2
的一层这时如果致回路C套住并略大于环孔则沿C有0≈
s
j
v
于是9-4-14化为
)1649(==′
∫∫
SdB
mm
vv
φφ
S
即穿过S的磁通守恒包括穿过圆环孔的磁通加上孔外极薄~10
2
一层超导体环内的磁通超导体环内的磁通是极小的可忽略不计实际上穿过环孔的磁通量守恒正说明孔内的磁场等于进入超导体时刻所加的外磁场且为恒量
m
φ′
§9-5 等离子体中的电磁波
28 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
等离子体称为物质的第四态其正负离子所带正负电荷总数在数值上是相等的宏观上呈电中性十九世纪末期科学家首先从气体放电现象中发现它但直到1928年由朗缪尔L,Langmuir正式命名为等离子体通常等离子体指的是电离成分超过千分之一的气体负离子的主要成分是电子有时人们也把处于固态或液态的导电物质如金属水银电解液等归入等离子体范畴因为它们也具有可自由运动的戴流子并表现出和电离气体类似的行为等离子体广泛存在于自然界特别是宇宙空间例如离地面约70 300公里的大气层称为电离层是等离子体太阳及所有的恒星是等离子体宇宙中发光物质中99%都是等离子体除了类似于地球的行星及其卫星因此它与气体放电可控热核反应空间物理天体物理等方面的物理现象有着密切的关系在人类发展到高科技时代等离子体有着广泛的应用因此已形成物理学的一个重要分支学科等离子物理学这里仅从纯电磁学的角度引入简化后把等离子看成为一种电介质讨论它与电磁场的相互作用也可作为建立和运用一种特殊介质的电磁性能方程的例子
一电磁性能方程
1,作简化及分析电子运动
主要简化为1只讨论等离子体中的高频电磁波
第九章 介质中的电磁理论 29
2限于讨论稀薄等离子体
由简化1知等离子体中大质量的离子惯性大对高频电磁波反应迟钝故只需考虑电子的运动由9-3我们知道E/B=C则电子所受磁力与电力之比为
,
C
V
eE
eVB
f
f
e
m
==
0
× B
v
通常电子运动速度V C故磁力f
m
f
e
可忽略不计由简化2知极稀薄等离子体中电子所受其它粒子包括正负离子中性粒子的作用甚至电子之间的相互作用都可忽加只需考虑电磁波对它产生的电磁力于是可得电子运动方程
)159(= V
m
e
E
m
e
dt
Vd
ee
vv
v
0
B
v
其中是一强的外磁场不是电磁波中的磁场已忽略
等离子体中电子的运动反过来对电磁场的影响如何呢有两种理解和分析一种是电子运动产生传导电流另一种是电子相对于其平衡位置产生偏移产生极化电流无论电子运动产生的是传导电流还是极化电流它们在激发电磁场方面完全等效所以两种理解和随之而来的分析处理是完全等效的这里略去证明我们采用第二种理解即把等离子体看成电介质内部电子运动产生极化电流生成极化电荷处理起来比较方便于是
30 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
vv
)259(
,
==
=
renpnP
rep
ee
vv
v
电子移动产生电偶极矩
等离子体中的极化强度矢量
0
2
B
dtm
E
mdt
en
e
e
e
e
e
×=
2,电磁性能方程
由上面的分析建立的两个方程出发将乘上式en
e
9-5-1得
222
rdenenrd
v
v
v
v
将式9-5-2中的P
v
2
vv
其中是沿的单位矢量b
)
0
B
v
,
0
=
e
c
m
eB
ω
,
0
2
=
e
e
P
m
en
ε
ω
许偏离它的平衡位置时子将向平衡位置运动以静电力称为等离子体的静电振荡代入上式
=b
B
v
)359(,
2
0
2
×
+
E
t
P
t
P
Pc
v)
ωεω
)5
)459(
0
是电子在外磁场中的回旋频率
59( 叫等离子体频率是电子在平衡位置附近振荡的角频率当电子稍等离子体中将会出现局域空间电荷分布从而激发电场在该电场作用下电恢复等离子体的电中性这就产生了围绕平衡位置的振荡运动这种振荡起因于又称为朗缪尔振荡以纪念理论上导出的科学家朗缪尔
P
ω
第九章 介质中的电磁理论 31
式9-5-3即为处于外磁场中的稀薄等离子体的电磁性能方程适用于研究高频电磁波在等离子体中的传播特性与各向同性介质不同和之间不是简单的代数关系而是一种微分关系
)(
(
B
=
=×?
=
)959(.0
859,
)759,0
)659(
0
B
t
D
B
D
v
v
v
μ
vv
=×?,
t
B
E
v
v
v
0
v
P
v
E
v
另外将等离子体视为电介质电磁场应满足如下麦克斯韦方程
HB
0
,1 μμ == D
v
D
0
=ε其中用了保留了因为的关系由式9-5-3定现在联立求解方程9-5-3
和9-5-6 9-5-9便可获得等离子体中的高频电磁场的解
0
0
=B
v
EPPE
vvvvv
与,+
二应用举例
1,均匀等离子体中的高频简谐电磁波即情况
对于沿方向传播的r
v
简谐平面电磁波可采用9-3中的复数描述
32 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
)1059(
~
~
~
)(
)(
)(
=
=
=
rktj
rktj
rktj
ePP
eBB
eEE
v
v
v
v
v
v
vv
vv
vv
ω
ω
ω
ω
)1159(,,→→ kjj
v
ω
)1259(.
2
0
= Eb
P
v)
ωε
vvv
其中为角频率为波矢为复振幅将式9-5-10代入9-5-3和9-5-6 9-5-9
注意到
× EK
vv
P AB AE
~~~ vvv
k
v
t
2
×+ PjP
c
vv
ωωω
)1259(,= Bω
)1359(,0=?DK
vv
0
0
=B
v
)1559(,
0
=× DBK ωμ
)1659(.0=?BK
vv
可得
0=
C
ω
1759(
2
0
2
= EP
P
vv
ωεω
22
PP
vv
ωω
当时由式9-5-4得式9-5-12变成
)
这时的等离子体电磁性能方程9-5-17告诉我们
)1859(,1,
0
22
=?=?= ED
e
εε
ω
ε
ω
χ
第九章 介质中的电磁理论 33
即表明无外磁性情况下的等离子体为各向同性介质
将式9-5-13用叉乘得 k
v
BkEkK
vvvvv
×=×× ω)(
2
ω
将式9-5-15代入上式得
)1959().(
2
2
0
××?= EKK
C
D
vvvv
ω
ε
将代入上式PED
vvv
+=
0
ε上式可化为
)2059()(1
2
2
22
0
= KEk
C
E
kC
P
vvvvv
ω
ε
)2159(0=?EK
v
0=?BK
vv
式9-5-20是麦克斯韦方程的直接结果当然从该式出发还不能完全确定电磁波的解还必须考虑介质的电磁性能方程为此我们应当联立求解方程9-5-17和9-5-20先得E
v
后由式9-5-13
计算 B
v
a横波平面电磁波将式9-5-18代入式9-5-14
v
由式9-5-16知
v
再看9-5-13便可分析得出和都垂直于垂直于且和构成右手坐标座这与9-3E
v
B k
v
E
v
B
v
E
v
B
v
K
v
34 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
中均匀各向同性介质中的平面电磁波一致
ω
b色散关系与下截频率联立方程9-5-17和9-5-20的结果是
01
22
=
+? E
kC
P
v
ω
ω
ω
222
,>
P
ωω即上式存在非零解的条件为
)2259(1
2
2
2
22
=
ωω
P
kC
K
V
P
ω
=
2/1?
这就是色散关系根据它立即得出电磁波的传播条件
)2359(,01
2
2
>?
P
ω
ω
即频率高于等离子频率的电磁波才能在等离子体中传播或者说电磁波的下截频率为
P
ω
c相速和群速另外由式9-5-22求得波的相速为
)2459(.1
2
2
= CV
P
P
ω
ω
其相速与频率有关因而等离子体属于色散介质读者会发现上述相速大于真空中光速C但这并不违反真空光速为极限速度这一结论实际上电磁波信号的传播速度为群速度其表达式为
第九章 介质中的电磁理论 35
)255.1
2/1
2
2
== C
dK
d
V
P
g
ω
ωω
9(
b
)
,
22
2
0
2
=+
xPyCx
EPjP ωεωωω
它是小于光速的今后在计算信号的传播时间时应当用群速而不能用相速
0≠B
v
2,各向异性等离子体中的电磁波即情况
z
当时0≠B
v
等离子体将表现出各向异性这时由于磁力的作用和不再互相平行P
v
E
v
相应的和取张量形式
e
χ ε
下面设外磁场方向沿Z轴方向由电磁性能方程式9-5-12可得三个分量方程
P
)2659(
.
,
2
0
2
0
=
=?
zP
yPxCy
EP
EPjP
ωεω
ωεωωω
)2759(
2
2
0
22
2
0
=
+
=
z
P
z
yx
C
C
P
y
E
EE
j
ω
ωε
ω
ω
ωω
ωε
由这三个分量方程可解出
22
2
0
=
y
C
x
C
P
x
P
P
E
j
E
ω
ω
ωω
ωε
我们看到由于等离子体的各向异性沿不同方向传播的电磁波将具有不同的传播条件和传播特性下
36 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
面我们就传播方向与平行
0
B
v
垂直两种特例分别进行讨论
0
// BK
vv
)2859(
0
=
ZZ
EP ε
v
1沿磁场方向传播的电磁波情况
0
B
v
此时将它代入麦克斯韦方程的直接结果式9-5-20中得其分量方程为Z
)
Zkk
)v
=
将上式与9-5-27中第三式联立求解得
)2959(.0,0=?= EkE
Z
v
或
=
+?+
+?
)3259(,01
)(
(
1
22
2
2
22
2
2
2
22
2
2
y
C
P
x
C
CP
C
P
x
C
P
EnE
j
j
En
ωω
ω
ωωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
= )3159(,0
)
2
y
C
E
ω
a这说明沿外磁场方向只可能传播横波
将式9-5-29代入式9-5-20得
)3059(1
2
22
0
= E
kC
P
vv
ω
ε
)3259(=
P
V
CCk
ω
再将式9-5-30代入9-5-27前两式得
式中 =n
第九章 介质中的电磁理论 37
为折射率联立式9-5-31与9-5-32求解时E
x
E
y
有非零解的条件为
,0
)
2
2
=
ωω
ω
C
C
(
1
2
2
2
22
2
2
+?
ω
ω
ωω
ω
P
C
P
n
)3459(
)(
1
2
2
±
=
C
P
n
ωωω
ω
)365
)3559(,
)(
1
2
2
2
=
r
C
P
l
n
n
ωωω
ω
9(,
)(
1
2
+
=
C
P
ωωω
ω
或
,=?
≡ j
E
R
y
b上式表明沿磁场方向传播的电磁波有两种模式其折射率的平方分别为
)3859(,=
≡ j
E
E
R
x
y
r
将式9-5-35和9-5-36分别代入9-5-31可求得
)3759(
E
l
x
l
38 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
x
y
E
E
R ≡称为偏振度在具体计算R时E
x
和E
y
应化为式
9-5-10的复数形式当R为实数时电磁波为线偏振当R为虚数时电磁波为椭圆偏振jR ±= R +
时
= j
E
x
超前
y
π/2E相位故对着波的传播方看去向电矢量为逆时针方向旋转称左旋圆偏振波反之= -j时R 为右旋圆偏振波作图9-5-1表示别当特时为圆偏振
一般来说对R的模为1的情况电矢量的矢尖轨迹将位于以坐标原点为中心的正方形之内这时若
j
eR =对不同?的值矢尖轨迹及旋转方向示于图9-5-2
图9-5-1 沿外磁场传播的右旋圆
0
B
v
偏振波和左旋圆偏振波
第九章 介质中的电磁理论 39
时的电场矢尖轨迹
对沿外磁场方向传播的左旋圆偏振波和右旋圆偏振波
0
B
v
等离子体具有不同的折射率35和9-5-36表示相应地左右旋圆偏振波的传播条件为
( ),4
2
1
22
CCP
ωωωω?+>或
( )
<?><
++>
)0,0(,
,4
2
1
2
22
CPC
CCP
ωωωωω
ωωωω
因为或
Bk
vv
⊥情况
图9-5-2 不同偏振度幅角通过上述分析我们得出结论分别由式9-5-
对右旋圆偏振波1
)(
2
C
P
ωωω
ω
<
+
对左旋圆偏振波<
1
)(
2
C
P
ωωω
ω
2垂直外磁场方向传播的电磁波B
v
0 0
不妨设xkK
)
v
=这时麦克斯韦方程的结果式9-5-20化为三个分量方程
40 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
=
=
=
.)1(
,)1(
,
2
0
2
0
0
zz
yy
xx
EnP
EnP
EP
ε
ε
ε
代入等离子体的电磁性能方程的分量形式9-5-27求得
( )( )[]
=
+?
=++
=+
)4159(.01
)4059(,01
)3959(,0)(
2
2
2
2222
2
2
222
z
P
yPCx
CP
y
CP
xPC
En
EnE
j
E
j
E
ω
ω
ωωω
ω
ωω
ω
ωω
ωωω
v
a E为非零解的一种可能是
,0,0 ≠==
zyx
EEE 其充分必要条件是
2
,01
2
2
=+?
ω
ω
P
n 即 )4259(1
2
2
=
ω
ω
P
n
2
此散色关系和无外磁场情况与式9-5-22比较一样它代表的波为横波由矢量与外磁场平行
zEE
z
=
)
v v
0
B
波的传播不受外磁场的影响
0
B
v
b E
v
0,0 =≠
zyx
EEE与为非零解的另一种可能是
其充分必要条件是
第九章 介质中的电磁理论 41
()( )[]().01
2
24
2222222
=++
ωω
ωωωωωω
CP
PCPC
n
ω
)
()
)4359(.
22
22
P
ωω
由此可解出
PC
ωωωω
C
m
eB
0
=ω
0
B
v
(
1
22
2
2
=
P
n
ω
由式9-5-4知
e
与外磁场有关因此这时电磁波的传播条件和传播特性将受外磁场的影响可以理解是由于垂直于外磁场的电场分量所引起的电子运动受外磁场洛仑兹力作用造成
0
B
v
波的传播条件是
1
)(
2222
222
<
PP
ωωω
)(
PC
ωωωω
),4
22
PC
ωω +或
2
(
22
C
C
P
ω
ω
ωω ++>
).4(
222222
PCC
C
PPC
ωωω
ω
ωωωω +?+>>+
2
由此可得出结论外磁场的存在是等离子各向异性的根源各向异性等离子体对电磁波的效应不仅取决于电磁波的传播方向而且还与电磁波的偏振状态有关
0
B
v
3,法拉第旋转效应即一个线偏振波在的等离子体中传播的情况0
0
≠B
v
本部分可以看成是上部分2,1,b的具体应用和深入研究
42 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
1物理解释
实验观测得知一个线偏振电磁波的电矢量通过各向异性介质后将发生旋转这种现象称为法拉第旋转效应按照波的合成理论一个线偏振波总可以分解为左右圆偏振波图9-5-3表示进入等离子体前一个线偏振波的情况
图9-5-3 一个线偏振波可以分解为等离子体前由于这两种成分在各向异性介质中传播的相速不同则在传播过程中该两波电矢量的合矢量将发生旋转如图9-5-4所示图9-5-3
的偏振面比较旋转了一个角度一般称为旋光介质各向异性等离子体便是一种旋光介质
左右旋圆偏振波进入穿过等离子体后合成的线偏振波的偏振面与进入等离子体之前
φ具有法拉第旋转效应的介质
第九章 介质中的电磁理论 43
φ
并取旋光介质中某点为坐标原点该处电磁波中电矢量沿x方向偏振右旋圆偏振波在旋光介质中的波动方程如下
0
B
v
图9-5-4 在沿外磁场方向穿过等离子体后
合成的线偏振波的偏振面转了一个角度
2定量分析旋转角与波在旋光介质中传播距离的关系φ
设传播方向沿外磁场的z轴方向
0
B
v
即0,0 =≠
yx
EE则合成该线偏振波的左左圆
=
=
.sin
,cos
0
0
z
C
n
tEE
z
C
n
tEE
l
yl
l
xl
ω
ω
右圆
=
=
.sin
,cos
0
0
z
C
n
tEE
z
C
n
tEE
r
yr
r
xr
ω
ω
9-5-44
44 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
经过介质中z距离两圆偏振波的合成波为
.
2
)(
sin
2
)(
cos2
.
2
)(
cos
2
)(
cos2
0
0
+
=+=
+
=+=
z
C
nn
z
C
nn
tEEEE
z
C
nn
z
C
nn
tEEEE
rlrl
yryly
rlrl
xrxlx
ωω
ω
ωω
ω
其中由式
l
n 9-5-35给出
r
n由式9-5-36给出
下面规定合成波电矢量右旋时为正φ则
,
2
)(
=?= z
C
nn
tg
E
tg
rl
x
y
ω
φ
E
a于是得 )4559(.
2
)(
= z
C
nn
rl
ω
φ
由上式可知当时
rl
nn > 0>φ这种介质为右旋介质当时
rl
nn < 0<φ则称为左旋介质当时
rl
nn =
法拉第旋转效应不存在只有0=
C
ω即时的均匀各向同性等离子体才满足0
0
=B
v
b如果介质不均匀只要不均匀的尺度远大于电磁波的波长这时
l
n
r
n是z的函数则法拉第旋转角可表示为如下积分φ
)4659()(
2
0
=
∫
dznn
C
rl
z
φ
ω
c当发射机与接收机发生相对运动或介质的电磁性质随时间变化亦即式9-5-46右边的积
第九章 介质中的电磁理论 45
分上限z或随时间变化时法拉第旋转角也会随时间相应变化φ这时我们定义的时间变化率为法拉第频率
φ
即
l
n
r
n
)4759(,=?
dφ
φ
dt
通常比更便于测量
法拉第旋转效应常用来测量空间等离子体的电子浓度例如通过地面站接收发自卫星的高频信号并测定该信号的法拉第旋转角或法拉第频率φ?就可以对地球上空电离层的电子浓度分布及其随时间的变化关系进行观测研究
[实例] 本世纪五十年代曾有人通过下面实验来确定地球电离层的积分电子浓度柱密度即垂直于地面单位底面积柱体中的电子总数从地面向月球发射一角频率为的强电磁波信号ω并在同一地点接收月球反射的回波设1电离层中地球磁场近似均匀并垂直于地面电磁波沿磁场方向传播2
0
ε
e
PCP
m
2
,ωωω
e
en
A =为等离子体频率
e
C
m
eB
=ω为电子的回旋频率3在电离层外电磁波的色散可以忽略试给出由回波偏振面的旋转角计算积分电子浓度的表达式
ω
[解] 由所设条件1式9-5-35和9-5-36成立
进一步利用近似条件2可得
46 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
.
)(2
1
)(
1
2
2/1
2
C
P
C
P
rl
CC
n
ωωω
ω
ωωω
ω
+
≈
+
=
,
)(2
1
)(
1
2
2/1
2
PP
l
n
ωωω
ω
ωωω
ω
≈
=
于是
.
)(
3
2
22
2
ω
ωω
ωωω
ωω
CP
C
CP
rl
nn ≈
≈?
1
φ
3
a代入式9-5-46可求得发射波电矢量的旋转角
0
C
e
ε
.
22
22
2
2
1
dzn
m
B
dz
C
e
e
P
C
∫∫
=?=
ω
ω
ω
ω
φ
B
v
b对反射波而言由于传播方向与发射波相反则反号因此反射波电矢量的旋转角为
2
φ
.
2
2
0
3
12
dzn
mC
Be
e
e
∫
=?=
ε
φφ
2
ω
3
c考虑到地球观测者的观测方向正好对着反射波的传播方向因此总旋转角为 φ
.
22
0
12
dzn
mC
Be
e
e
∫
=?=
ωε
φφφ
0>φ
当时观测到电矢量顺时针旋转这时地磁场的方向指向月球最后由观测到的可计算电离层积分电子浓度为
φ
第九章 介质中的电磁理论 47
.
3
22
0
φ
ωε
Be
mC
dzn
e
e
=
∫
φ
φ
最后说明一下月球表面反射引起的半波损失使角变化不影响观测结果也不影响积分电子浓度计算结果其次为使的值小于φ π由的公式可知应采用高频率信号或者采用两个频率不同的信号使两个观测值之差
)
2
1
φφω ′?′(
,
22
2
1
22
2
2
0
3
2
ωε
ω
φ
ωε
φ =′=′
∫∫
0
3
ε
n
m
Be
e
π
πφφ <′?′
12
.
)()(
21
12
21
3
210
ωωωω?+
=
∫
∴
Be
dzn
e
e
mC
dz
C
dzn
mC
Be
e
ee
Q
第九章 介质中的电磁理论6+4学时
§9-1 介质中的麦克斯韦方程组
在第六章中我们已经学习了真空中的电磁理论这为我们奠定了好的基础许多的实际问题要我们去解答各种介质中的电磁场这就要求我们掌握介质中的电磁理论本章将从普通物理的电磁学角度来讨论这类问题
与第六章类似真空中的电磁理论的核心是真空中的麦克斯韦方程组介质中的电磁理论的核心是介质中的麦克斯韦方程组它是麦克斯韦在前人所取得的科学成果的基础上发展和创造后取得的麦克斯韦的贡献在于作了两个大胆的推广和两个重要的假设
一两个大胆的推广
1,麦克斯韦认为介质中静电场的通量定理对变化的电场同样适用即
2 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
)119(;
000
===?
∫∫ ∫∫∫
ρρ DqdVSdD
S V
vvv
v
其中为介质中的电位移矢量D
0
ρ为介质中的自由电荷密度V为闭合曲面S所包围的体积
2,麦克斯韦认为介质中稳恒磁场的通量定理对变化的磁场同样适应即
)219(0;0==?
∫∫
BSdB
S
vvv
这两个推广的基础是设想库仑定律与安培定律在有介质时仍然成立
二两个重要的假设
1,涡旋电场假设随时间变化的磁场会激发涡旋电场或称为感应电场感生电动势正是来源于感应电场所产生的非静电力于是得到新的环路定理其数学表达式为
)319(=?
=
∫∫∫
ldESd
t
B
CS
vv
ε
v
v
它是法拉第电磁感应定律与涡旋电场假说的结果
2,位移电流假设随时间变化的电场和电流包括传导电流极化电流和磁化电流一样能激发磁
第九章 介质中的电磁理论 3
场引入位移电流密度
t
P
t
E
t
D
j
d
+
=
=
vvv
v
0
ε其中第一项表达电场随时间的变化率第二项表示电束缚电荷的微观运动产生的极化电流于是磁场的环路定理应表达为
)419()()(
00
+=?+=?
∫∫∫∫∫
Sd
t
D
jSdjjldH
S
d
SC
v
v
rvvvvv
这个假说的产生源于麦克斯韦研究稳恒磁场的环路定理他发现稳恒电流的条件
0
0
=?
∫∫
Sdj
S
vv
能保证SdjldH
C
SC
vvvv
=?
∫∫∫
0
右边积分值的唯一性所以这定理对稳恒磁场是合理的但是对于非稳恒电流这时只能有电荷守恒定律成立即
0
0
0
=+?
∫∫
dt
dq
Sdj
S
vv
将式9-1-1代入上式得 0
0
=?+?
∫∫∫∫
SdD
dt
d
Sdj
SS
vvvv
即 0)(
0
=?
+
∫∫
Sd
t
D
j
S
v
v
v
于是定义了位移电流密度0)(,
0
=?+
≡
∫∫
Sdjj
t
D
j
d
S
d
vvv
v
v
是电荷守恒定律的结果在非稳恒电流情况下成立
4 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
这就产生了新的环路定理它是电荷守恒定律和位移电流假说的结果
我们可以将介质中非稳恒情况下的电磁场规律表达为如下的麦克斯韦方程组
积分形式 微分形式
)819(..)(
)719(,0,0
)619(,,
)519(,,
00
00
+=×
+=?
==?
=×
=?
==?
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫
t
D
jHSd
t
D
jldH
BSdB
t
B
ESd
t
B
ldE
DdVSdD
SC
S
SC
VS
C
v
vvv
v
v
vv
vvv
v
vv
v
vv
ρρ
vvv
从麦克斯韦方程组的积分形式9-1-5 9-1-8出发作圆柱形曲面或矩形回路横跨并无限接近两介质的界面从而得到边值关系
v
)1219(,)(
)1119(,0)(
)1019(,0)(
)919(,)(
012
12
12
012
=?×
=
=?×
=
iHHn
BBn
EEn
DDn
vvv
v
vv
v
vv
v
σ
v
v
v
其中
0
σ是界面上的面电荷密度
0
i是界面上的面电流密度
第九章 介质中的电磁理论 5
§9-2 电磁场的能量动量和角动量
在第六章中我们已学过真空中电磁场的能量动量对静止各向同性介质中的电磁场场的能量密度w能流密度又称坡印适磁量动量密度g
v
角动量密度表达式如下l
v
9?=
S
v
)429(.
)329(,
)229(,
22
×=
×=
×=
grl
BDg
HES
vv
v
vv
v
vvv
)12(,
11
+? HBEDw
vvvv
于是体积V中电磁场的总能量总动量和总角动量分别为如下体积分
)529(,,,===
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
dVlLdVgGWdVW
vv
v
vv
VVV
能量守恒定律的表达式为
)629()(+?=?
∫∫
n
WW
d
AdS
vv
Ad
v
dt
上式中为积分的面元是非电磁的总能量可将上式与电荷守恒定律比较以便加深理解
n
W
v
6 本章撰稿人程福臻
图
我们可以作一个简单的实验如图
l充满介电常数为的均匀各向同ε
I板极充电荷为Q置电容器便绕轴旋转其角速度为ω
ω C
于是电容器内电磁场的总角动量为
L
v
放电后电磁学网上课件
为加深对电磁场角动量的理解
9-2-1一圆柱形介质电容器长度为性介质内外半径为r
1
r
2
绕轴的转动惯量为于一均匀磁场中B
v
当电容器放电后的大小可通过电磁场的角动量计算如下略去边缘效应电容器中
9-2-1 轴向均匀磁场中
的圆柱电容器
0
ε
Q
SdE
S
=?
∫∫
vv
,
2
,
2
2
,
2
0
0
Z
l
QB
grl
rl
QB
BDg
r
rl
ED
lr
E
)
vv
v
)
vv
v
)
π
ε
π
ε
π
εε
επ
=×=
=×=
==
=得
vv
ε
ZrrQBZlrr
l
QB
dVl
V
)(
2
1
)(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
===
∫∫∫
εππ
π
))v
ε
vv
电容器内00 == D CE由总角动量守恒则
第九章 介质中的电磁理论 7
).(
2
1
2
1
2
2
rrQBI CLL
n
== εω即
vv
于是得 )(
2
1
2
1
2
2
rrQB
I
= εω
上式中负号表示电容器逆时针旋转
§9-3 介质的电磁性能方程和平面电磁波
一介质的电磁性能方程是电磁场和介质相互作用的宏观描述
其形式表达为如下函数
=
=
=
)339().,(
)239(),,(
)139(),,(
00
BEjj
BEHH
BEDD
vvvv
vvvv
vvvv
研究某种介质的电磁场不知道这种介质的电磁性能方程是无法取得结果的从数学上看麦克斯韦方程是一组偏微分方程组它本身是不闭合的在任何介质中它的形式都相同只有加上所要研究
8 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
的介质的电磁性能方程才能得到这种介质中的电磁场的解所以研究某种介质中的电磁场问题必须要知道该介质的电磁性能方程
如何得到介质的电磁性能方程呢回答是由实验直接确定或是由建立在实验基础上的合理分析得到例如我们已经学过的不同性质的介质有
1,各向同性介质
实验得
=
+≡=≡=
+≡=+≡=
.
1,;
1,;
0
0
0
000
Ej
HBM
B
HHM
EPEDEP
mm
ee
vv
vvv
v
vvv
σ
χμμμ
μ
χ
χεεεεεχ
其中其中
vvvvvv
最后写成
=
=
=
)639(
)539(
)439(
0
0
0
Ej
HB
ED
vv
wv
σ
μμ
εε
vv
2,各向异性电介质
实验得 )739(.)(=
jijei
EP χ
第九章 介质中的电磁理论 9
e
χ是张量
ije
)(χ是分量于是也是张量ε其分量为
ij
ε
3,铁磁质
M
v
与的实验关系复杂H
v
且与磁化历史有关一般为形如图9-3-1的曲线关系称为磁滞回线写成公式为
图9-3-1 磁滞回线
)839().(
0
+= MHB
vvv
μ
二研究均匀各向同性介质中自由空间的平面电磁波
1,波动方程
这是一个重要的实例我们从式9-1-5 9-1-8微分形式的麦克斯韦方程和式9-3-4 9-3-6
均匀各向同性介质的电磁性能方程出发
自由空间的含意是0,00
00
=== σρ研究j C
v
的介质中的电磁场于是可得下面的方程组
10 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
=×?
=×?
=
=
)1239(.
)1139(,
)1039(,0
)939(0
0
0
t
E
H
t
H
E
H
CE
v
v
v
v
v
εε
μμ
v
将它们与真空中自由空间的麦克斯韦方程组相比较容易发现在方程9-3-11中右边项仅多了磁导率μ在方程9-3-12中右边项仅多了电容率ε在均匀各向同性介质中με和是与时间t和空间位置无关的r
v
于是可以仿效真空情况下的作法得到
=
=
)1439(.0
1
)1339(,0
1
2
00
2
2
2
00
2
H
t
H
E
t
E
v
v
v
εμεμ
εμεμ
2
v
这是典型的波动方程即脱离了场源的电磁场是以波的形式在无界的自由的均匀各向同性介质中传播它的传播速度为
)1539(.
1
00
==
με
εμεμ
C
V
C是真空中的光速
第九章 介质中的电磁理论 11
2,定态电磁波的解
进一步设电磁波的激发源以确定的频率作简谐振动ω因而辐射的电磁波也以相同频率作简谐振动这种以一定频率作简谐振动的波常称为定态电磁波或单色波一般的非单色的电磁波可以用傅里叶分析方法分解为不同频率的单色波的迭加因此只须研究定态电磁波
这时可设其解的形式为
=
=
)1739()(
)1639()(
jwt
tj
eZHH
eZEE
vv
vv
ω
意即设电磁波沿Z轴正向传播其场强在与Z轴正交的平面上各点有相同的值其中只是坐标
Z的函数
)(),( ZHZE
vv
于是H AE
vv
仅与Z和t有关与坐标y,x无关这种电磁波称为平面电磁波
将形式解9-3-16 9-3-17分别代入波动方程9-3-13 9-3-14中立即得到
=+
=+
)1939(.0)(
)(
)1839(,0)(
)(
00
2
2
2
00
2
2
2
ZH
Z
ZH
ZE
Z
ZE
v
v
v
v
εμεμω
εμεμω
其解
=
=
)2139(.)(
)2039(,)(
0
0
jKZ
jKZ
eHZH
eEZE
vv
vv
12 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
其中是积分常数
00
,HE
vv
它们是常矢量由已知的激发源确定代表电磁和磁场的振幅其中
00
εμεμω≡K于是有V
K
==
με
Cω
电磁波传播速度
λ
22
==≡
VV
K
& ππω f
又称波数表示在空间中π2米长度上有多少个电磁波
将9-3-20 9-3-21分别代入9-3-16 9-3-17中得
v
=
=
)(
0
0
),(
),(
KZtj
eHtZH
eEtZE
ω
vv
)( KZtj ω
v
更一般的写法为
=
=
)2339(),(
)2239(),(
)(
0
0
rKtj
eHtrH
eEtrE
v
v
v
v
v
ω
)( rKtj
v
v
v
v
v
ω
v
π2
v
v
其中的方向定义为电磁波的传播方向K大小为
λ
K又称波矢r是空间任意点相对于电磁波源的位置矢
3,平面电磁波的性质
现在已经得到了均匀各向同性介质中自由空间的定态平面电磁波的解9-3-22 9-3-23可以将它们代入麦克斯韦方程组9-3-9 9-3-12中考虑到ωj
t
Kj?→
,
v
有
第九章 介质中的电磁理论 13
=×
=×
=?
=?
)2739(
)2639(
)2539(,0
)2439(,0
0
0
EHK
HEK
HK
EK
vvv
vvv
vv
vv
ωεε
ωμμ
由此可知无限均匀各向同性介质中平面电磁波的性质为
1式9-3-24说明EK
vv
⊥式9-3-25说明HK
vv
⊥即电磁场强度与波的传播方向垂直故电磁波是横波
2式9-3-26与9-3-27说明HE
vv
⊥即电场强度和磁场强度垂直且和三个矢量构成一个右旋直角坐标系H A
vv
E K
v
如图
9-3-2所示
3将叉乘式K
v
9-3-27代入上结果得
(
2
K μμ
要求此式有非零解于是得
9-3-26两边再将
0)
2
00
=E
v
ωεε
vv v
即0≠E
v
则必须有
图9-3-2 和的相互关系 H AE K
,0
2
00
2
=? ωεεμμK
)2839(.
1
00
==
με
εμεμ
ω C
K
14 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
再将式9-3-28代入式9-3-26得
)2939(;
000000
== HEHE μμεεμμεε
22
式9-3-29说明的幅值成比例HE和在介质中任一点任一时刻其电场能量密度与磁场能量密度相等
vv
4式9-3-28说明电磁波的传播速度为
με
K
V ==
ω C
麦克斯韦预言光即是电磁波于是可得n
V
=
C
是介质的折射率με=n一般情况下介质是电磁波的频率的函数εμ和ω所以
με
nK
V ===
ω CC
它也是的函数ω又称色散关系
§9-4 超导介质的电磁特性
自然界中的介质按其导电性能划分为三大类导体半导体和绝缘体人类很早就发现许多金属物质具有良好的导电性能并测量出其电阻率或电导率与其温度有关ρ σ寻找电阻率为零的理想导体是人类曾经追求的目标之一
ρ
廿世纪初取得了重大突破并研究了其电磁性能这里我们把它作为例子之一向大家介绍如何从实验出发经过合理分析取得该介质的电磁性能方程再与麦克斯韦方程组合起来正确表述和研究超导介质的电磁特性
第九章 介质中的电磁理论 15
一四个重要的实验事实
1,超导电性
1911年荷兰物理学家昂纳斯Onnes第一次发现了超导电性他用水作实验使它降温并测量它的电阻在约
4.2时K水银的电阻几乎突然地完全地消失见图9 1-4-这一发现开辟了一个新的物理领域超导大量的实验和理论研究随之而来迄今我们知道大元素数百种合金和金属化合物是超导体它们从正常态跃变到超导态电阻为零的温度转变温度或称临围从约0.12K到
15
约
0K当
C
T时T >物质表跃到∞=σ,=ρ 0在表9 4-1中-
我们列出几种元素的临界银Hg
范
变零即温
T
C
和B
0
值
约廿多种有电阻界温现为常正态当
C
T≤时T它的电阻度度T
C
图9-4-1 水银电阻温度特性
T
C
表9-4-1 几种元素的临界温度
16 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
族元素 族元素 族元素
T
C
K B
0
T T
C
K B
0
T T
C
K B
0
T
Al 1.18 0.0105
Zn 0.875 0.0053 Ga 1.09 0.0051
Ca 0.56 0.0030 In 3.40 0.293
Sn白 3.72
0.0309
Hg α 4.15
0.0412 T1 2.39 0.0171 Pb 7.19 0.0803
2,临界磁场效应
1914年昂纳斯企图用超导线圈获得强磁场时发现大于某一个值时B
v v
C
B线圈的超导性受到破坏而变成正常态他把称为临界磁场
C
B
v
C
B
v
随不同的物质和不同的温度而变化对大量的超导物质B
C
与T的关系可表为
[ ] )149(,)/(1
0
=
CC
TTBB
2
第九章 介质中的电磁理论 17
其示意图为图9-4-2其含意是1当T=时T
C
B
C
=0即在临界温度时只有在无外磁场的情况下物质才是现超导B
0
是将T延伸到零时的B
C
值一些超导介质的B
0
值示于表9-4
此图可看成超导介质的超导态和正常态的相变图曲线以下区域表示物质的超导态即要求T T和B
C
B
C
两个条件曲线以上区域表示物质的正常态只满足T>T
C
或者B>B
C
两个条件之一要物质就进入正常态磁场B即包括了外场又包括超导介质内电流产生以由临界磁场容易理解必定存在临界电流态2
-1 3
的磁场所I
C
,
[ ] )249(.)/(1
2
0
=
CC
TTII
图9-4-2 临界磁场临界温度
曲线
处于超导态的介质当其内部电流I>I
C
时介质将从超导态跃变到正常态这主要是由于电流I产生的磁场B>B
C
所致
3,完全抗磁性迈斯纳效应
1933年迈斯纳Meissner和奥克逊菲尔德Ochsenfeld发现超导体除了有理想的导电性外还具有完全的抗磁性当T<T
C
且B<B
C
磁通被完全排出介质这时介质中磁场为零称为完全的抗磁性且与操作过程无关如图9-4-2所示两条路径P→ Q→ R和P→ S→ R过程前者是先加外磁场B
v
当然这时磁力线会穿入介质体内后降温使介质进入超导态T<T
C
后者是先降温进入超导态后加外磁场B
v
18 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
两种操作顺序不同但后果都一样这时介质体内0=B
v
表现为完全的抗磁性用图9-4-3更形象地表示这两种操作
是否能认为理想的导电性是完全抗磁性的原因呢如果从一般导体中的欧姆定Eσ
出律
vv
发
j =
理想的导电性意味着是常量j,∞→σ
v
则0=
σ
j
v
=E
v
另外根据麦克斯韦方程
9-1-6
常矢量则==
=×? B
t
B
t
B
E
vv
,0,
vv
磁场由初始条件确定B
v
一开始0=B
v
则进入超导态后一直为零这可解释P S R过程但是却不能解释P Q R过程一开始0≠B
v
进入超导态后按理仍有0≠B
v
与实验矛盾问题出在哪儿即出
图9-4-3 超导体的完全抗磁性与操作顺序无关
第九章 介质中的电磁理论 19
发点将一般导体的欧姆定律应用到超导体是不对的也不能认为理想导电性是完全抗磁性的原因这两种性质没有因果关系
4,同位素效应
1950年科学家在用水银的不同的同位素作实验时发现T
C
与同位素的质量相关
)349(
2
1
=∝
α
α
对水银的同位素 CMT
C
对其它超导元素α不总是
2
1
可见0→∞→
C
CTM我们知道原子的晶格形变和振动与其M有关
∞→M则原子不会振动0→
C
T即无超导特性
二唯象理论二流体模型
1,两种自由电子二流体模型
1934年戈尔特Gorter和卡西米尔Casimir提出在超导态时物质中存在两种电子
1超导电子它不会被晶格散射不发生碰撞运动不受阻尼因此具有理想的电传导其数密
20 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
度记为n
s
2正常电子与晶格碰撞而被散射时改变其能量和动量产生电阻其数密度记为n
n
在超导态时0,0 ≠≠
ns
nn而超导电子运动不受阻尼因此相当于在有电阻的电路段并联了一根无电阻的导线造成理想的电传导而正常电子不影响超导电性
在正常态时0,0 ≠=
ns
nn只有正常电子
2,BCS理论超导电子的微观解释
1957年巴丁Bardeen库珀Cooper和史列菲Schrieffer在量子力学的基础上回答了超导电子的起因和本质要点是
超导电子库珀对? Cooper pair
是一对动量和自旋正好相反的电子通过交换声子即晶格振动量子相互吸引在一起从定性上看这符合同位素效应这种电子对不受晶格散射是产生超导电流的原因由此可推断其电荷
)449(2,2
ess
mmee其质量=?=
33
量子计算表明库珀对结合能eV10—10~?当电子的热运动能?<kT k为波尔兹曼常数时库珀对能够存在介质处于超导态反之温度升高?>kT库珀对瓦解介质进入正常态所以
k
T
C
≈
我们应该指出BCS理论适用于低温超导情况对目前新发现的高温超导情况还没有公认的成熟理论
第九章 介质中的电磁理论 21
三超导介质的电磁性能方程伦敦方程
根据以上的实验和理论分析1935年伦敦兄弟提出首先将超导介质当良导体处理取11 == εμ C
于是有ED CHB
vvvv
00
εμ ==由二流体模型可设
sn
jjj
vvv
+=
n
j
v
是正常电子产生的电流密度
s
j
v
是超导电子产生的电流密度Ej
n
vv
σ=其中是正常态时的电导率σ关键是寻找),( BEj
s
vvv
他们遵循应反应两个实验特性
s
j
v
理想导电性和完全抗磁性于是他们作了如下两个推测
推测一设超导电子的平均定向速度为u
v
数密度为n
s
则
ss
s
sss
en
j
uuenj
v
vv
v
==,在电场作用下E
v
因无阻尼则为恒加速运动Eeum
ss
v
&
v
=将关系代入得
s
ju
v
v
与
)549(,
1
2/1
2
0
2
0
≡=?=
ss
s
ss
ss
ss
en
m
EjEe
en
jm
μ
λ
λ
μ其中
v
&
vv
&
v
式9-4-5被称为伦敦第一方程它反映了超导介质的理想导电性
推测二为反映完全抗磁性需找要的关系Bj
s
vv
与他们的作法是将方程9-4-5两边作运算×?
得Ej
s
v
&
v
×?=×?
2
0
1
λ
μ将麦克斯韦方程9-1-6代入其右边便有
22 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
,0
1
,
1
2
0
2
0
=
+×?
=×? Bj
tt
B
j
ss
vv
&
v
λ
μ
λ
μ
v
他们假定
)649(
1
,0
2
0
2
0
=×?
=+×?
Bj
Bj
s
s
vv
λ
μ
λ
μ
1
vv
v v
式9-4-6称为伦敦第二方程它说明维持着超导电流B如果0=B则0=×?
s
j
v
没有旋度的是不能维持的
s
j
v
必然有0=
s
j
v
而正常电流是由维持的
n
j
v v
E
归纳超导介质的电磁性能方程为
=×?
≡=
===
.
1
)749(,,
1
,,,
2
0
2/1
2
0
2
0
00
Bj
en
m
Ej
EjHBED
s
ss
s
s
n
vv
v
&
v
vvvvv
λ
μ
μ
λ
λ
μ
σμε
vvv
其中m
s
=2m
e
e
s
=-2e超导介质内
sn
jjj +=麦克斯韦方程组为
第九章 介质中的电磁理论 23
)849(
.)(
,0
,
,/
000
00
++=×?
=
=×?
=
t
E
jjB
B
t
B
E
E
sn
v
vvv
v
v
v
v
εμμ
ερ
四应用举例
1,迈斯纳效应之一 完全抗磁性的解释
当稳态时即0=
s
j
&
v
由伦敦第一方程有0=E
v
则0== Ej
n
vv
σ超导体内无正常电流即无损耗这时麦9-4-8的第四个方程为
s
jB
vv
0
μ=×?
于是
)949()(
0
×?=×?×?
s
jB
vv
μ
克斯韦方程组
图9-4-4 磁场向超导体
表面薄层的穿透
24 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
将伦敦第二方程代入式9-4-9得
)1049(0
2
2
= BB
λ
1
vv
为简单起见将图9-4-3实验中最后一步简化为图9-4-4我们讨论Z>0上半空间为超导体磁场分布
x
eZBB )(=
)
v
且在Z=0处情况
x
eBB
0
=
)
v
这时方程9-4-10变为;0)(
1)(
22
=? ZB
dZ
ZBd
λ
2
)
v
边界
xZ
eBZB
00
|)( =
=
其合理解为
)1149().0()(
0
≥= ZeeBZB
x
/?Z
)
v
λ
式9-4-11说明磁场不能透入超导体内部而只能以指数衰减形式透入导体表面薄层当时λ=Z
0
37.0 BB ≈透入深度?
2
10~λ
再由麦克斯韦方程9-4-8得
)1249(,
/
0
00
=×?=
y
Z
s
eeBBj
)
λ
λμμ
11
vv
v
表明也存在于表面一薄层内
s
j其厚度同样约为10
2
所以看成面电流这即所谓的迈斯纳电流它在超导体内产生一磁场正好抵消外磁场
s
B
v
使体内磁场0=B
v
2,迈斯纳效应之二类磁通守恒
第九章 介质中的电磁理论 25
实验介绍迈斯纳效应的实验之二如下采用中心带孔的圆柱体介质如图9-4-5所示
e
v
=
e
B
v
Q
c
T CTT <↓
0=B
v
e
B
v
e
B
v
e
B
v
1
Iv
介质跃变到超导态变化无关
e
B
v
柱体外
c
B
v
e
B
v
B
图9-4-5 迈斯纳效应之二
P
S
R
ce
BB
vv
<+
ce
BB
vv
≤
c
TTT <↓,
e
B
v
+
c
e
B
v
=B
v
0
0=B
v
2
I
2
I
B
R
正常态
1图中的上支对应着图9-4-2中PQR过程开始存在外场降温使T<T
C
且柱体内0=B
v
柱孔内
c
BB
vv
=以后改变外场
ce
BB
vv
<而柱体孔内总保持
c
B
v
与随外磁场变化
e
BB
vv
=
26 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
2图中的下支对应着图9-4-2中的PSR过程开始外场0=
e
B
v
降温使T<T
C
介质跃变到超导态然后加外场使
ce
BB
vv
<柱体内0=B
v
柱体孔内始终为零B
v
仅柱体外
e
BB
vv
=两组实验的共同特点是圆柱体孔内的磁场只与进入超导态的初始条件有关
e
B
v
解释作图9-4-6在超导体内作闭合曲线C以C为周线有任意一曲面S将麦克斯韦方程9-4-8
中第二式化为如下积分形式
0=?+?
∫∫∫
ldESdB
dt
d
SS
vvvv
或
0)( =?
+×?
∫∫
dS
t
B
E
S
v
v
图9-4-6 带孔的圆柱体超导介质
将伦敦第一方程代入上式后可化成
)1349(0
2
0
=
+?
∫∫∫
ldjSdB
dt
d
s
CS
vvvv
λμ
定义
第九章 介质中的电磁理论 27
CS
)1449(.
2
0
+?=′
∫∫∫
ldjSdB
sm
v
vvv
λμφ
m
φ′称为类磁通其第一项是通过环路C所围曲面S的磁通第二项是超导电流环量的贡献于是式
9-4-13可写成
)1549(,0=′=
′
与时间无关的恒量即得
m
m
d
φ
φ
dt
m
φ′这称类磁通守恒完全由介质进入超导态时的初值决定进一步分析由前述超导电流将集中于带孔柱体的内外表面极薄~10
2
的一层这时如果致回路C套住并略大于环孔则沿C有0≈
s
j
v
于是9-4-14化为
)1649(==′
∫∫
SdB
mm
vv
φφ
S
即穿过S的磁通守恒包括穿过圆环孔的磁通加上孔外极薄~10
2
一层超导体环内的磁通超导体环内的磁通是极小的可忽略不计实际上穿过环孔的磁通量守恒正说明孔内的磁场等于进入超导体时刻所加的外磁场且为恒量
m
φ′
§9-5 等离子体中的电磁波
28 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
等离子体称为物质的第四态其正负离子所带正负电荷总数在数值上是相等的宏观上呈电中性十九世纪末期科学家首先从气体放电现象中发现它但直到1928年由朗缪尔L,Langmuir正式命名为等离子体通常等离子体指的是电离成分超过千分之一的气体负离子的主要成分是电子有时人们也把处于固态或液态的导电物质如金属水银电解液等归入等离子体范畴因为它们也具有可自由运动的戴流子并表现出和电离气体类似的行为等离子体广泛存在于自然界特别是宇宙空间例如离地面约70 300公里的大气层称为电离层是等离子体太阳及所有的恒星是等离子体宇宙中发光物质中99%都是等离子体除了类似于地球的行星及其卫星因此它与气体放电可控热核反应空间物理天体物理等方面的物理现象有着密切的关系在人类发展到高科技时代等离子体有着广泛的应用因此已形成物理学的一个重要分支学科等离子物理学这里仅从纯电磁学的角度引入简化后把等离子看成为一种电介质讨论它与电磁场的相互作用也可作为建立和运用一种特殊介质的电磁性能方程的例子
一电磁性能方程
1,作简化及分析电子运动
主要简化为1只讨论等离子体中的高频电磁波
第九章 介质中的电磁理论 29
2限于讨论稀薄等离子体
由简化1知等离子体中大质量的离子惯性大对高频电磁波反应迟钝故只需考虑电子的运动由9-3我们知道E/B=C则电子所受磁力与电力之比为
,
C
V
eE
eVB
f
f
e
m
==
0
× B
v
通常电子运动速度V C故磁力f
m
f
e
可忽略不计由简化2知极稀薄等离子体中电子所受其它粒子包括正负离子中性粒子的作用甚至电子之间的相互作用都可忽加只需考虑电磁波对它产生的电磁力于是可得电子运动方程
)159(= V
m
e
E
m
e
dt
Vd
ee
vv
v
0
B
v
其中是一强的外磁场不是电磁波中的磁场已忽略
等离子体中电子的运动反过来对电磁场的影响如何呢有两种理解和分析一种是电子运动产生传导电流另一种是电子相对于其平衡位置产生偏移产生极化电流无论电子运动产生的是传导电流还是极化电流它们在激发电磁场方面完全等效所以两种理解和随之而来的分析处理是完全等效的这里略去证明我们采用第二种理解即把等离子体看成电介质内部电子运动产生极化电流生成极化电荷处理起来比较方便于是
30 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
vv
)259(
,
==
=
renpnP
rep
ee
vv
v
电子移动产生电偶极矩
等离子体中的极化强度矢量
0
2
B
dtm
E
mdt
en
e
e
e
e
e
×=
2,电磁性能方程
由上面的分析建立的两个方程出发将乘上式en
e
9-5-1得
222
rdenenrd
v
v
v
v
将式9-5-2中的P
v
2
vv
其中是沿的单位矢量b
)
0
B
v
,
0
=
e
c
m
eB
ω
,
0
2
=
e
e
P
m
en
ε
ω
许偏离它的平衡位置时子将向平衡位置运动以静电力称为等离子体的静电振荡代入上式
=b
B
v
)359(,
2
0
2
×
+
E
t
P
t
P
Pc
v)
ωεω
)5
)459(
0
是电子在外磁场中的回旋频率
59( 叫等离子体频率是电子在平衡位置附近振荡的角频率当电子稍等离子体中将会出现局域空间电荷分布从而激发电场在该电场作用下电恢复等离子体的电中性这就产生了围绕平衡位置的振荡运动这种振荡起因于又称为朗缪尔振荡以纪念理论上导出的科学家朗缪尔
P
ω
第九章 介质中的电磁理论 31
式9-5-3即为处于外磁场中的稀薄等离子体的电磁性能方程适用于研究高频电磁波在等离子体中的传播特性与各向同性介质不同和之间不是简单的代数关系而是一种微分关系
)(
(
B
=
=×?
=
)959(.0
859,
)759,0
)659(
0
B
t
D
B
D
v
v
v
μ
vv
=×?,
t
B
E
v
v
v
0
v
P
v
E
v
另外将等离子体视为电介质电磁场应满足如下麦克斯韦方程
HB
0
,1 μμ == D
v
D
0
=ε其中用了保留了因为的关系由式9-5-3定现在联立求解方程9-5-3
和9-5-6 9-5-9便可获得等离子体中的高频电磁场的解
0
0
=B
v
EPPE
vvvvv
与,+
二应用举例
1,均匀等离子体中的高频简谐电磁波即情况
对于沿方向传播的r
v
简谐平面电磁波可采用9-3中的复数描述
32 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
)1059(
~
~
~
)(
)(
)(
=
=
=
rktj
rktj
rktj
ePP
eBB
eEE
v
v
v
v
v
v
vv
vv
vv
ω
ω
ω
ω
)1159(,,→→ kjj
v
ω
)1259(.
2
0
= Eb
P
v)
ωε
vvv
其中为角频率为波矢为复振幅将式9-5-10代入9-5-3和9-5-6 9-5-9
注意到
× EK
vv
P AB AE
~~~ vvv
k
v
t
2
×+ PjP
c
vv
ωωω
)1259(,= Bω
)1359(,0=?DK
vv
0
0
=B
v
)1559(,
0
=× DBK ωμ
)1659(.0=?BK
vv
可得
0=
C
ω
1759(
2
0
2
= EP
P
vv
ωεω
22
PP
vv
ωω
当时由式9-5-4得式9-5-12变成
)
这时的等离子体电磁性能方程9-5-17告诉我们
)1859(,1,
0
22
=?=?= ED
e
εε
ω
ε
ω
χ
第九章 介质中的电磁理论 33
即表明无外磁性情况下的等离子体为各向同性介质
将式9-5-13用叉乘得 k
v
BkEkK
vvvvv
×=×× ω)(
2
ω
将式9-5-15代入上式得
)1959().(
2
2
0
××?= EKK
C
D
vvvv
ω
ε
将代入上式PED
vvv
+=
0
ε上式可化为
)2059()(1
2
2
22
0
= KEk
C
E
kC
P
vvvvv
ω
ε
)2159(0=?EK
v
0=?BK
vv
式9-5-20是麦克斯韦方程的直接结果当然从该式出发还不能完全确定电磁波的解还必须考虑介质的电磁性能方程为此我们应当联立求解方程9-5-17和9-5-20先得E
v
后由式9-5-13
计算 B
v
a横波平面电磁波将式9-5-18代入式9-5-14
v
由式9-5-16知
v
再看9-5-13便可分析得出和都垂直于垂直于且和构成右手坐标座这与9-3E
v
B k
v
E
v
B
v
E
v
B
v
K
v
34 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
中均匀各向同性介质中的平面电磁波一致
ω
b色散关系与下截频率联立方程9-5-17和9-5-20的结果是
01
22
=
+? E
kC
P
v
ω
ω
ω
222
,>
P
ωω即上式存在非零解的条件为
)2259(1
2
2
2
22
=
ωω
P
kC
K
V
P
ω
=
2/1?
这就是色散关系根据它立即得出电磁波的传播条件
)2359(,01
2
2
>?
P
ω
ω
即频率高于等离子频率的电磁波才能在等离子体中传播或者说电磁波的下截频率为
P
ω
c相速和群速另外由式9-5-22求得波的相速为
)2459(.1
2
2
= CV
P
P
ω
ω
其相速与频率有关因而等离子体属于色散介质读者会发现上述相速大于真空中光速C但这并不违反真空光速为极限速度这一结论实际上电磁波信号的传播速度为群速度其表达式为
第九章 介质中的电磁理论 35
)255.1
2/1
2
2
== C
dK
d
V
P
g
ω
ωω
9(
b
)
,
22
2
0
2
=+
xPyCx
EPjP ωεωωω
它是小于光速的今后在计算信号的传播时间时应当用群速而不能用相速
0≠B
v
2,各向异性等离子体中的电磁波即情况
z
当时0≠B
v
等离子体将表现出各向异性这时由于磁力的作用和不再互相平行P
v
E
v
相应的和取张量形式
e
χ ε
下面设外磁场方向沿Z轴方向由电磁性能方程式9-5-12可得三个分量方程
P
)2659(
.
,
2
0
2
0
=
=?
zP
yPxCy
EP
EPjP
ωεω
ωεωωω
)2759(
2
2
0
22
2
0
=
+
=
z
P
z
yx
C
C
P
y
E
EE
j
ω
ωε
ω
ω
ωω
ωε
由这三个分量方程可解出
22
2
0
=
y
C
x
C
P
x
P
P
E
j
E
ω
ω
ωω
ωε
我们看到由于等离子体的各向异性沿不同方向传播的电磁波将具有不同的传播条件和传播特性下
36 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
面我们就传播方向与平行
0
B
v
垂直两种特例分别进行讨论
0
// BK
vv
)2859(
0
=
ZZ
EP ε
v
1沿磁场方向传播的电磁波情况
0
B
v
此时将它代入麦克斯韦方程的直接结果式9-5-20中得其分量方程为Z
)
Zkk
)v
=
将上式与9-5-27中第三式联立求解得
)2959(.0,0=?= EkE
Z
v
或
=
+?+
+?
)3259(,01
)(
(
1
22
2
2
22
2
2
2
22
2
2
y
C
P
x
C
CP
C
P
x
C
P
EnE
j
j
En
ωω
ω
ωωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
= )3159(,0
)
2
y
C
E
ω
a这说明沿外磁场方向只可能传播横波
将式9-5-29代入式9-5-20得
)3059(1
2
22
0
= E
kC
P
vv
ω
ε
)3259(=
P
V
CCk
ω
再将式9-5-30代入9-5-27前两式得
式中 =n
第九章 介质中的电磁理论 37
为折射率联立式9-5-31与9-5-32求解时E
x
E
y
有非零解的条件为
,0
)
2
2
=
ωω
ω
C
C
(
1
2
2
2
22
2
2
+?
ω
ω
ωω
ω
P
C
P
n
)3459(
)(
1
2
2
±
=
C
P
n
ωωω
ω
)365
)3559(,
)(
1
2
2
2
=
r
C
P
l
n
n
ωωω
ω
9(,
)(
1
2
+
=
C
P
ωωω
ω
或
,=?
≡ j
E
R
y
b上式表明沿磁场方向传播的电磁波有两种模式其折射率的平方分别为
)3859(,=
≡ j
E
E
R
x
y
r
将式9-5-35和9-5-36分别代入9-5-31可求得
)3759(
E
l
x
l
38 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
x
y
E
E
R ≡称为偏振度在具体计算R时E
x
和E
y
应化为式
9-5-10的复数形式当R为实数时电磁波为线偏振当R为虚数时电磁波为椭圆偏振jR ±= R +
时
= j
E
x
超前
y
π/2E相位故对着波的传播方看去向电矢量为逆时针方向旋转称左旋圆偏振波反之= -j时R 为右旋圆偏振波作图9-5-1表示别当特时为圆偏振
一般来说对R的模为1的情况电矢量的矢尖轨迹将位于以坐标原点为中心的正方形之内这时若
j
eR =对不同?的值矢尖轨迹及旋转方向示于图9-5-2
图9-5-1 沿外磁场传播的右旋圆
0
B
v
偏振波和左旋圆偏振波
第九章 介质中的电磁理论 39
时的电场矢尖轨迹
对沿外磁场方向传播的左旋圆偏振波和右旋圆偏振波
0
B
v
等离子体具有不同的折射率35和9-5-36表示相应地左右旋圆偏振波的传播条件为
( ),4
2
1
22
CCP
ωωωω?+>或
( )
<?><
++>
)0,0(,
,4
2
1
2
22
CPC
CCP
ωωωωω
ωωωω
因为或
Bk
vv
⊥情况
图9-5-2 不同偏振度幅角通过上述分析我们得出结论分别由式9-5-
对右旋圆偏振波1
)(
2
C
P
ωωω
ω
<
+
对左旋圆偏振波<
1
)(
2
C
P
ωωω
ω
2垂直外磁场方向传播的电磁波B
v
0 0
不妨设xkK
)
v
=这时麦克斯韦方程的结果式9-5-20化为三个分量方程
40 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
=
=
=
.)1(
,)1(
,
2
0
2
0
0
zz
yy
xx
EnP
EnP
EP
ε
ε
ε
代入等离子体的电磁性能方程的分量形式9-5-27求得
( )( )[]
=
+?
=++
=+
)4159(.01
)4059(,01
)3959(,0)(
2
2
2
2222
2
2
222
z
P
yPCx
CP
y
CP
xPC
En
EnE
j
E
j
E
ω
ω
ωωω
ω
ωω
ω
ωω
ωωω
v
a E为非零解的一种可能是
,0,0 ≠==
zyx
EEE 其充分必要条件是
2
,01
2
2
=+?
ω
ω
P
n 即 )4259(1
2
2
=
ω
ω
P
n
2
此散色关系和无外磁场情况与式9-5-22比较一样它代表的波为横波由矢量与外磁场平行
zEE
z
=
)
v v
0
B
波的传播不受外磁场的影响
0
B
v
b E
v
0,0 =≠
zyx
EEE与为非零解的另一种可能是
其充分必要条件是
第九章 介质中的电磁理论 41
()( )[]().01
2
24
2222222
=++
ωω
ωωωωωω
CP
PCPC
n
ω
)
()
)4359(.
22
22
P
ωω
由此可解出
PC
ωωωω
C
m
eB
0
=ω
0
B
v
(
1
22
2
2
=
P
n
ω
由式9-5-4知
e
与外磁场有关因此这时电磁波的传播条件和传播特性将受外磁场的影响可以理解是由于垂直于外磁场的电场分量所引起的电子运动受外磁场洛仑兹力作用造成
0
B
v
波的传播条件是
1
)(
2222
222
<
PP
ωωω
)(
PC
ωωωω
),4
22
PC
ωω +或
2
(
22
C
C
P
ω
ω
ωω ++>
).4(
222222
PCC
C
PPC
ωωω
ω
ωωωω +?+>>+
2
由此可得出结论外磁场的存在是等离子各向异性的根源各向异性等离子体对电磁波的效应不仅取决于电磁波的传播方向而且还与电磁波的偏振状态有关
0
B
v
3,法拉第旋转效应即一个线偏振波在的等离子体中传播的情况0
0
≠B
v
本部分可以看成是上部分2,1,b的具体应用和深入研究
42 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
1物理解释
实验观测得知一个线偏振电磁波的电矢量通过各向异性介质后将发生旋转这种现象称为法拉第旋转效应按照波的合成理论一个线偏振波总可以分解为左右圆偏振波图9-5-3表示进入等离子体前一个线偏振波的情况
图9-5-3 一个线偏振波可以分解为等离子体前由于这两种成分在各向异性介质中传播的相速不同则在传播过程中该两波电矢量的合矢量将发生旋转如图9-5-4所示图9-5-3
的偏振面比较旋转了一个角度一般称为旋光介质各向异性等离子体便是一种旋光介质
左右旋圆偏振波进入穿过等离子体后合成的线偏振波的偏振面与进入等离子体之前
φ具有法拉第旋转效应的介质
第九章 介质中的电磁理论 43
φ
并取旋光介质中某点为坐标原点该处电磁波中电矢量沿x方向偏振右旋圆偏振波在旋光介质中的波动方程如下
0
B
v
图9-5-4 在沿外磁场方向穿过等离子体后
合成的线偏振波的偏振面转了一个角度
2定量分析旋转角与波在旋光介质中传播距离的关系φ
设传播方向沿外磁场的z轴方向
0
B
v
即0,0 =≠
yx
EE则合成该线偏振波的左左圆
=
=
.sin
,cos
0
0
z
C
n
tEE
z
C
n
tEE
l
yl
l
xl
ω
ω
右圆
=
=
.sin
,cos
0
0
z
C
n
tEE
z
C
n
tEE
r
yr
r
xr
ω
ω
9-5-44
44 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
经过介质中z距离两圆偏振波的合成波为
.
2
)(
sin
2
)(
cos2
.
2
)(
cos
2
)(
cos2
0
0
+
=+=
+
=+=
z
C
nn
z
C
nn
tEEEE
z
C
nn
z
C
nn
tEEEE
rlrl
yryly
rlrl
xrxlx
ωω
ω
ωω
ω
其中由式
l
n 9-5-35给出
r
n由式9-5-36给出
下面规定合成波电矢量右旋时为正φ则
,
2
)(
=?= z
C
nn
tg
E
tg
rl
x
y
ω
φ
E
a于是得 )4559(.
2
)(
= z
C
nn
rl
ω
φ
由上式可知当时
rl
nn > 0>φ这种介质为右旋介质当时
rl
nn < 0<φ则称为左旋介质当时
rl
nn =
法拉第旋转效应不存在只有0=
C
ω即时的均匀各向同性等离子体才满足0
0
=B
v
b如果介质不均匀只要不均匀的尺度远大于电磁波的波长这时
l
n
r
n是z的函数则法拉第旋转角可表示为如下积分φ
)4659()(
2
0
=
∫
dznn
C
rl
z
φ
ω
c当发射机与接收机发生相对运动或介质的电磁性质随时间变化亦即式9-5-46右边的积
第九章 介质中的电磁理论 45
分上限z或随时间变化时法拉第旋转角也会随时间相应变化φ这时我们定义的时间变化率为法拉第频率
φ
即
l
n
r
n
)4759(,=?
dφ
φ
dt
通常比更便于测量
法拉第旋转效应常用来测量空间等离子体的电子浓度例如通过地面站接收发自卫星的高频信号并测定该信号的法拉第旋转角或法拉第频率φ?就可以对地球上空电离层的电子浓度分布及其随时间的变化关系进行观测研究
[实例] 本世纪五十年代曾有人通过下面实验来确定地球电离层的积分电子浓度柱密度即垂直于地面单位底面积柱体中的电子总数从地面向月球发射一角频率为的强电磁波信号ω并在同一地点接收月球反射的回波设1电离层中地球磁场近似均匀并垂直于地面电磁波沿磁场方向传播2
0
ε
e
PCP
m
2
,ωωω
e
en
A =为等离子体频率
e
C
m
eB
=ω为电子的回旋频率3在电离层外电磁波的色散可以忽略试给出由回波偏振面的旋转角计算积分电子浓度的表达式
ω
[解] 由所设条件1式9-5-35和9-5-36成立
进一步利用近似条件2可得
46 电磁学网上课件 本章撰稿人程福臻
.
)(2
1
)(
1
2
2/1
2
C
P
C
P
rl
CC
n
ωωω
ω
ωωω
ω
+
≈
+
=
,
)(2
1
)(
1
2
2/1
2
PP
l
n
ωωω
ω
ωωω
ω
≈
=
于是
.
)(
3
2
22
2
ω
ωω
ωωω
ωω
CP
C
CP
rl
nn ≈
≈?
1
φ
3
a代入式9-5-46可求得发射波电矢量的旋转角
0
C
e
ε
.
22
22
2
2
1
dzn
m
B
dz
C
e
e
P
C
∫∫
=?=
ω
ω
ω
ω
φ
B
v
b对反射波而言由于传播方向与发射波相反则反号因此反射波电矢量的旋转角为
2
φ
.
2
2
0
3
12
dzn
mC
Be
e
e
∫
=?=
ε
φφ
2
ω
3
c考虑到地球观测者的观测方向正好对着反射波的传播方向因此总旋转角为 φ
.
22
0
12
dzn
mC
Be
e
e
∫
=?=
ωε
φφφ
0>φ
当时观测到电矢量顺时针旋转这时地磁场的方向指向月球最后由观测到的可计算电离层积分电子浓度为
φ
第九章 介质中的电磁理论 47
.
3
22
0
φ
ωε
Be
mC
dzn
e
e
=
∫
φ
φ
最后说明一下月球表面反射引起的半波损失使角变化不影响观测结果也不影响积分电子浓度计算结果其次为使的值小于φ π由的公式可知应采用高频率信号或者采用两个频率不同的信号使两个观测值之差
)
2
1
φφω ′?′(
,
22
2
1
22
2
2
0
3
2
ωε
ω
φ
ωε
φ =′=′
∫∫
0
3
ε
n
m
Be
e
π
πφφ <′?′
12
.
)()(
21
12
21
3
210
ωωωω?+
=
∫
∴
Be
dzn
e
e
mC
dz
C
dzn
mC
Be
e
ee
Q
