第五章 交流电路 1
第五章 交流电路 Chapter 5 Alternating Circuit (AC)
§5.1 导言 Introduction
§5.1.1 复习交流电的产生交流发电机原理Generation of AC & the principle of generator
一[交流电与简谐交流电的概念] Concept of AC and harmonic AC
交流发电机产生的感应电动势inductive efm和感应电流inductive current是随时间作周期性变化的称为交流电并且符合余弦函数的振动规律属于简谐振动harmonic vibration因而又称为简谐交流电
交流发电机原理a单线圈发电机(b)线圈在某时刻的位置
图1 交流发电机原理
2 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
二[交流发电机原理]The principle of AC generator
交流发电机是根据电磁感应原理制成的它是动生电动势的典型例子图中ABCD是一个单线圈(coil)可以绕固定的转轴在N.S磁极所激发的均匀磁场中转动为避免线圈的两根引线在转动过程中扭绞twist起来线圈两端分别接在两个与线圈一起转动的铜环上铜环通过两个带有弹性的金属触头与外电路接通当线圈在原动机如水轮机带动下在均匀磁场中匀速转动时AB和CD边切割磁力线在线圈中产生感应电动势
r
∫∫
=+=?×=
B
A
B
A
AB
vBldlvBldBv θθπξ cos)2/sin(
r
r
∫∫
=?=?×=
D
C
D
C
CD
vBldlvBldBv θθπξ cos)2/sin(
rr
r
所以 其中l是AB或CD边的长度 θξξξ cos2vB
CDABtotle
=+=
因为 ωωθ
2
,
s
vt == 其中s是BC或DA边的长度
所以 tBStBl
s
ωωωωξ coscos
2
2 == 其中S = sl为线圈面积
这一结果也可从穿过线圈的磁通量的变化来考虑当线圈处于图1 b位置时磁通量为
tBSBSBS ωθπθ sinsin)2/cos(?=?=+=Φ
根据Farady-lenz定律
dΦ
tBS
dt
ωωξ cos=?=
关于动生电动势的本质和详细讨论见上一章
§5.1.2 本章需要学习和掌握的问题 The key points in this chapter
一 交流电尤其是简谐交流电的概念与特性 concepts and characters of AC and harmonic AC
第五章 交流电路 3
二 交流电路与已学过的直流电路有什么异同点交流电路的复数解法Complex solution of AC
针对交流电路的特点用复数定义不同元件的阻抗resistor以及电源电动势emf of electrical source电压
voltage和电流current就可将交流电路的问题转化为直流电路(DC)的方式加以解决 这就是交流电路的复数解法complex solution是本章的重点
三串联谐振与并联谐振 Resonance vibration of series circuit and parallel circuit
电阻电感(inductor)和电容(capacitor)元件通过一定的形式串联或并联当元件参数elements parameters)满足某种条件时就可以实现电路的简谐共振(harmonic resonance)简称谐振当共振产生时电路的阻抗电流或电压将取极值(minimax solution)
四交流电的功率power of AC
交流电的功率的概念比直流功率的概念丰富得多这是因为
1 交流电是随时间作用作周期性变化的因此就有瞬时功率和平均功率 (instantaneous power and average power)
的概念
2 由于电感和电容是储能元件energy storage elements由于它们之间存在的位相差phasic difference以及它们与电阻之间的位相差因而有了无功功率(image power)与有功功率(real power)的的分别视在功率(apparent
output)是无功功率与有功功率迭加总和而电路的品质因素 (quality factor)则是衡量电路的有功功率在视在功率中所占的比重的一个重要参数
3 采用一定的方法可以提高电路的品质因素从而提高有功功率的比重
五变压器原理principle of transformer
1 变压器 (transformer)的一个重要作用是将高压输送电转变为安全而便于使用的市电长距离输送电需要采用高压以降低输送电流从而达到减少焦耳热损耗的目的在总功率固定的情况下由P=IU知U越大I就越小这样由于电流发热导致的欧姆损耗 (Ohmic loss)就会降低至很小我国一般采用33万伏,22万伏和11
万伏高压长距离输电
2 变压器的线圈电路和变压比(transformer ratio)的概念变压器是由铁磁芯 (ferromagnetic core)和初级线圈
4 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
(primary coil)与次级线圈(secondary coil)构成变压比为 U
1
/U
2
= N
1
/N
2
图2 一个带有变压器的输电线路图
§5.2 交流电概述outline of alternating electricity
§5.2.1交流电的形式 (style)
一 简谐交流电以正弦或余弦规律变化的有一定频率(frequency)和峰值(peak value)的简谐波(harmonic
wave)我国工业和民用交流电的频率为50Hz美国为60Hz
第五章 交流电路 5
二 其它形式的交流电
这些形式的交流电波形的共同特征是
1 具有固定的频率或作周期性的变化2且都可以通过富里叶Fourier变换分解为多种不同频率的简谐成分的迭加
2 这些简谐成分在线性电路中彼此独立
a,简谐波 b,锯齿波 c,矩形波
d,尖脉冲 e,调幅波 f,调频波
图3,各种波形的交流电
§5.2.2 描述简谐交流电的特征量characteristic variables of AC
函数表示式 电动势(emf) )cos()(
0 e
tt?ωξξ +=
6 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
电 压(voltage) )cos()(
0 u
tUtU?ω +=
电 流(current) )cos()(
0 i
tItI?ω +=
其中ω为交流发电机转子角速度它也等于交流电的角频率angular frequency ω与频率f的关系为ω = 2πf 交流电的周期
ω
π21
==
f
T
一,峰值(ξ
0
U
0
和I
0
),峰-峰值(2ξ
0
2U
0
和2I
0
)与有效值等于峰
值的1/ 2
有效值与峰值关系的推导evolution
由有效值的定义交流量的方均根值就是有效值而得电流的
有效值
∫∫
+==
T
i
T
dttI
T
dti
T
I
0
22
0
0
2
)(cos
11
ω
因为
2
]
2
)(2sin
[
2
1
)](2cos1[
2
1
)(cos
0
00
2
Tt
tdttdtt
Ti
T
ii
T
=
+
+=++=+
∫∫
ω
ω
ω?ω
代入上式得
2
0
I
I =
同理可求得
2
0
U
U =
通常所说的相电压为220V即指U = 220v线电压为380V
即指U = 380V,而相电压的峰值为2202 × v = 311v线电压的峰值为3802 × v = 537v
第五章 交流电路 7
§5.3交流电路的复数解法
本章中我们先把电阻电容和电感三种基本元件在交流电路中的作用讨论清楚下面再研究它们的组合问题对于每种元件的特性的作用都应注意Z和?两个方面
§5.3.1 交流电路中的基本元件 Basic elements in alternating circuit
一概述元件自身的特征是用阻抗和初位相(initial phase)描述的
(i)阻抗 Z = U
0
/I
0
= U/I欧姆定律
(ii)初位相
iuZ
= 是u(t)与i(t)之间的相位差
二实验交流电路中各种元件性能的演示
下图是交流电路中各种元件性能的演示实验装置此装置中电源是音频信号20~20 10
4
HZ发生器f可调频率的高低可通过扬声器监听电流的大小借助于小灯泡亮度来显示对于电容电感元件u t和i t之间的位相差还可在双踪示波器b图上观察
R
K
C
L
音频
信号
发生
器
a
图4,交流电路中各种元件性能的演示
双线示波器
(b)
8 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
三电阻元件u t与i t具有相同的位相所以
Z
R
= R,,0=?=
iu
tI
R
tU
R
tu
ti ω
ω
cos
cos)(
)(
0
0
===,
i(t)
i(t)
u(t)
ξ R u
图5 交流电路中电阻元件性能(试验中合上电键K,灯泡几乎同时发亮;
当调节f时,灯泡亮度亦不变,这说明电阻是线性元件,不随f变化),
a电路模型 b示波器显示i t和u t波形位相一致
四电容元件 Capacitor
我们知道电容器具有隔直流的作用容元件中电路中的灯泡亮了明频率愈高的交流电愈容易通过电容
喇叭也响了因而稳恒的直流电是不能通过电容器的但是图4所示实验中交流电源加于电在维持电压不变的条件下频率愈高喇叭音调愈高同时灯泡愈亮这说双踪示波器显示i t比u t在相位上超前2π
第五章 交流电路 9
i(t)
i(t)
u(t)
ξ C u
c
+q
-q
图6 交流电路中电容元件性能a电路模型b i t比u t在相位上超前π/2
下面推导电容器上电压和电容的关系
由 以及 (i) ),cos()(,cos)(
00 i
tItitQtq?ωω +== )cos()(
0 u
tUtu?ω +=
代入
dt
dq
t
q
ti
t
=
=
→? 0
lim)( 和u(t) = q / C,得
以及 (ii) )2/cos(sin)(
00
πωωωω +=?= tQtQti CtQCqtu /cos/)(
0
ω==
将(ii)式与(i)相比较得
0
= ωQ
0
,U
0
= Q
0
/ C
→
例一电容
[解]
I
UZ
C
/
0
=
=?
iu
这两点推导结论与实验结果完全一致
C = 25
20V是u
CI ω/1
0
=称为容抗(captance),与ω成反比,
表示电容元件上i2/π? t比u t在相位上落后π / 2
×10
-6
F在20V 50Hz电源作用下求I = 若f变为500HZ则I又为多少
t的有效值以下所求得的I亦为有效值
10 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
===== fCUCU
C
U
Z
U
I
C
πω
ω
2
1
由此可见电容对于高频是易通过的
1.57A,当f = 500Hz
0.157A,当f = 50Hz
(5)电感元件inductor,reactor
当图4所示的实验中交流电源加于电感元件时就会观察到与电容元件相反的现象即在维持电压不变的条件下灯泡的亮度随频率的增大而减弱这表明电感元件的阻抗随频率的增加而增大示波器波形表示u t超前于i t
i(t) A
i(t)
u(t)
ξ L u
AB
B
+
-
图7,交流电路中电感元件性能a电路模型 b u(t)比i t在相位上超前π/2
下面推导电感元件中电压与电的关系
(i)自感电动势 (self-inductive
(ii)由i(t) = I
0
cos(ωT+?
i
),
U
0
= ωLI
0
,?
u
=?
I
+
感抗 Z
L
= U
0
/ I
0
与频率成正比
例题2在一个0.1H的电感元件上加流
efm) ξ
u(t) =U
0
cos(
π/2
,其初位相
20V
dt
di
L
L
=表明电感元件是一个交流电源电感元件上的压降
dt
di
Ltu
LAB
=?= ξ)(
ωT+?
u
) 与)2/cos()sin()(
00
π?ωω?ωω ++=+?==
iiAB
tLItLI
dt
di
Ltu 比较而得
因此得出结论
=?
u
-?
I
= π/2 表明电感元件上u(t)超前于i(t) π/2相位
50HZ的电源求电流当频率为500HZ时I又为多少
第五章 交流电路 11
[解] 20V是u t的有效值以下所求I亦为有效值
===
fL
U
Z
U
I
L
π2
由此可见电感对于低频率是易通过的
0.0637A,当f = 500 Hz
0.637A,当f = 50 Hz
§5.3.2 交流电路的复数解法
一
解说主要是解决同频简谐量迭加的问题共有三种解法
三角函数法运用三角函数的和差化积求解运算复杂工作量大容易出错不能解决较复杂电路的问题
矢量图解法将各简谐量化为矢量用矢量相加法则求解此法比较直观各物理量的大小和位相关系在图上一目了然但运算仍比较复杂一般不易解决复杂电路问题
二什么要用复数法求解交流电路求解交流电路
1
2
3复数法用复数定义不同元件的阻抗以及电源电动势,电压和电流就可将交流电路问题转化为与直流电路求解相似的方式加以解决,简便扼要,可解决复杂电路问题
综上所述复数法的优点较大这是选择复数法的原因
复数法计算同频简谐量的迭加
1 欧拉公式是复数法的基础
欧拉定义 其中
sincos je
j
+= 1?=j
12 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
由于 sin)sin(,cos)cos(?=?=
sincos je
j
=→
这样 )(
2
1
sin),(
2
1
cos
jjjj
ee
j
ee
=+=
2 计算同频简谐量迭加的基本步骤如下
(i) 复数对应规则:将简谐量按下列法则和复数量对应起来
)(
11111
1
~
)cos()(
ω
ω
+
=?+=
tj
eAAtAta
)(
22222
2
~
)cos()(
ω
ω
+
=?+=
tj
eAAtAta
[注意]此处定义与欧拉定义有所不同因为多了一个虚部)]sin()[cos(
~
)(
ω?ω
ω
+++==
+
tjtAAeA
tj
但并不影响最终结果只需在最终结果中取其实部便可得到实际的模拟量
(ii)求 和 之和,,其中A为模,?为辐角,
1
~
A
2
~
A
)(
21
~~~
ω +
=+=
tj
AeAAA
下面举例说明尽管对于简谐量的定义与欧拉公式不一样但在运算过程中需要用欧拉公式
例求 a
1
(t) = 3cosωt 和a
2
(t) = 4cos(ωt+π/2) 之和
[解],
tj
eA
ω
3
~
1
=
tjtj
jtj
jeeeeA
ωω
ππ
ω
444
~
2
)
2
(
2
===
+
注意此处用了欧拉公式jje
j
=+=
2
sin
2
cos
2
ππ
π
所以,此复数的模为
tj
ejAAA
ω
)43(
~~~
21
+=+=,543
~
22
=+== AA
第五章 交流电路 13
辐角为
'1
853
3
4~
arg
o
tgA ===
取实部得a(t) = 5cos(ωt+53
o
8
’
)
三复电压复电流和复阻抗的概念
根据复数对应规则和复数运算规则可以得到如下的复电压复电流和复阻抗的表达
电压 u(t) = U
0
cos(ωt +?
u
)? 复电压
)(
0
~
u
tj
eUU
ω +
=
电流 i(t) = I
0
cos(ωt +?
i
)? 复电流
)(
0
~
i
tj
eII
ω +
=
阻抗 Z(t) = U
0
cos(ωt +?
u
)/ I
0
cos(ωt +?
i
)
复阻抗
)(
0
0
~
/
~~
iu
j
e
I
U
IUZ
==
注意到在复阻抗表达中最终表达式是一个简谐量因为在运算中使用了复数相除的规则是辐角直接相减所以十分便利这是三角法所没有的优点
我们已知道 对于电阻元件?
u
=?
i
,所以电阻没有位相差RZ
R
=
~
,
对于电容元件?
u
-?
i
,= -π/2,所以容抗为
CjC
j
eZZ
j
CC
ωω
π
1~
2
=
==
对于电感元件?
u
-?
i
,= π/2,所以感抗为LjeZZ
j
LL
ω
π
==
2
~
14 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
§5.4 两种谐振电路
学习了§5.3节我们就可以利用复数法来解决R.L.C各种元件的串联组合与并联组合电路问题本节的标题的意义在于电阻电感和电容元件通过一定的形式构成串联或并联电路当元件参数满足某种条件时就可以实现电路的简谐共振即谐振当共振产生时电路的阻抗电流或电压都要取极值
例收音机或电视机的选台即为简谐共振的例子因此每个电台都要有不同的发射频率否则就会串台
§5.4.1 RLC串联电路和谐振条件resonance condition
(1) RLC串联电路的总电流,
如图所示R.L.C串联在交流电路中设电动势 e(t) = ξ
m
cosωt,其复数表示为
tj
m
e
ω
ξξ =
~
我们的目的在于求电流的大小I
I
~
m
以及电流与电源电动势的位相差 R L C
~ ~
设,又因 I
~
I
)(
i
tj
m
eI
ω +
= U
等效总阻抗为
z
j
mCLR
eZ
C
LjR
Cj
LjRZZZZ
ω
ω
ω
ω =?+=++=++= )
1
(
1~~~~
其中
R
C
L
tg
C
LRZ
m
ω
ω
ω
ω
1
,)
1
(
122
=++=
故得电流为
)(
22
)
1
(
~
~
~
z
z
tjm
j
m
tj
m
e
C
LR
eZ
e
Z
I
ω
ω
ω
ω
ξξξ
+
===
第五章 交流电路 15
取其实部得 )cos(
)
1
(
22
z
m
t
LR
I?ω
ω
ξ
++
=
Cω
,其中
R
C
L
tg
ω
ω
1
1
+
=
,
(2) 串联谐振的讨论,在上面的表达式中如若
C
L
ω
ω
1
=即
LC
1
=ω时I可以取到极大值因而通过R.L.C上的电压都取到了极大值 这种情况称为RLC的串联谐振,此时也有? = 0下面求各个元件上的电压,
电阻两端的电压为RIZIU
R
R
~~~
~
==,
取实部得谐振时电压
()
( ) tt
C
LR
R
U
m
m
R
ωξφω
ω
ω
ξ
coscos
1
2
2
=?
+
=
电感的两端的电压为
)
2
(
~~~~
π
φω
ξωω
+?
===
tj
mLL
eLILjZIU
取实部得谐振时电压
()
()
()2/cos
/1
2/cos
22
πω
ξ
ω
ωω
πφωξω
+=
+
+?
= t
R
L
CLR
tL
U
mm
L
电容两端的电压为
===
2
1~1~~~
π
φω
ξ
ωω
tj
m
m
CC
e
ZC
I
Cj
ZIU
取实部得谐振时电压
()
()
)
2
cos(
1
/1
2/cos
2
2
π
ωξ
ω
ωωω
πφωξ
=
+
= t
CR
CLRC
t
U
m
m
C
注意到Uc与U
L
在位相上整整相差π弧度所以对于RLC谐振电路在任何时刻t恒有Uc与U
L
相互抵消电阻两端的电压等于电源电动势
16 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
§5.4.2 RLC并联电路和谐振条件
一求解RL串联再与C并联的电路
一般来说R L C三种可以构成三种不同的并联电路一是RL与C并二是RC与L并三是CL串与R并由于实际所用的电感元件自身有电阻存在因而在实际应用中取RL串再与C并联这一种方式可以避免设计和计算上的麻烦
设电源电动势为
tj
mm
et
ω
ξωξξ == cos
而
Cj
ZLjZRZ
CLR
ω
ω
1~
,
~
,
~
===所以等效阻抗Z为
+
+
+
=
+
+=
+
+=
+
+=
222222
)()()(
1111
LR
L
Cj
LR
R
LR
CjR
Cj
LjR
Cj
ZZZZ
LRC
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ω =,即
φj
Ae
φj
e
A
Z
=
1~
,
其中
2
1
2
22
2
22
)
)()(
(
+
+
+
=
LR
L
C
LR
R
A
ω
ω
ω
ω
[ ]{}
R
LLRC
tg
+
=
22
1
)(ωω
φ
总电流
)(
~
~
~
~
~
φω
ξ
ξ +
===
tj
m
Ae
ZZ
U
I
实际电流取I的实部)cos()cos( φωφωξ +=+= tItAI
mm
第五章 交流电路 17
二并联共振
在上面的表达式中当
22
)( LR
L
C
ω
ω
ω
+
=即
L
CR
LC
2
1
1
=ω时电路的阻抗达最大值
2
max
+=
R
L
RZ
ω
回路总电流达最小值
m
LR
R
I ξ
ω
22
min
)(+
=由于一般情况下频率较高而电阻较小因此有R<<ωL,这时可略去CR
2
/L项则
ω = ω
0
= 1/ LC f
0
= 2π ω
0
= 2π / LC称为共振频率 此时
Z
max
= L / RC,I
min
= Rξ
m
/ (ω
0
L)
2
= RCξ
m
/ L = Z
max
ξ
m
这种情况称为CLR并联谐振
并联谐振具有如下特点
(i) 回路总阻抗达最大值,当R<<ωL时共振频率f
0
= 2π / LC
(ii)回路总电流达最小值I
min
= Rξ
m
/ (ω
0
L)
2
= RCξ
m
/ L
(iii)由于总电流和总电源电动势位相差为零故总电压和总电源同位相电路呈
纯电阻特性
(iv)两个分支电流I
1
和I
2
在数值上达最大但I
1
与I
2
在位相上相差180
0
所以
并联共振又称为电流共振下面证明之
mmm
C
m
QII
R
L
I
R
L
C
Z
I ====
0
2
0
01
)( ωω
ω
ξ
式中
R
L
Q
0
ω
=称为电路的品质因素同样可证
mm
L
m
L
m
QII
R
L
ZRZ
I ===
+
=
0
2
ωξξ
18 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
思考题为什么I
1m
= I
2m
且I
1
与I
2
相位差为180
o
但I = I
1
+ I
2
却不为零呢
§5.5 交流电的功率
一瞬时功率稳恒电路中的功率在时间上也是稳恒的这是因为I t和U t是稳恒值但在交流电路中I t和
U t一般存在位相差所以功率P t =I t U t也随时间变化P t称为瞬时功率
注意当P(t)>0 时元件由电源获得能量P(t)<0时元件的能量回入电源
设i(t) = I
0
cosωt,u(t) = U
0
cos(ωt+φ),
则 P(t) = U
0
I
0
cosωtcos(ωt+φ) = 1/2U
0
I
0
[cosφ + 1/2U
0
I
0
cos(2ωt+φ)]
注意到 第一项是与时间无关的常数值第二项时间的2倍频项
二平均功率与功率因素
瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率记为P它是电路实际消耗的功率
∫
===
T
ee
IUIUdttP
T
P
0
00
coscos
2
1
)(
1
φφ
其中
00
2
1
,
2
1
IIUU
ee
==分别是电压和电流的有效值(effective value)
而cosφ称为电路的功率因素与时间无关它反映了交流电路中不同性质元件上的变化规律
对于纯电阻φ = 0,与稳恒电路的情况一致
对于纯电感和纯电容电路,φ 分别为 +π/2 和 - π/2 P恒为零
第五章 交流电路 19
可见cosφ是影响平均功率的重要因素
三有功电流与无功电流有功功率与视在功率以及它们与cosφ的关系
1有功电流与无功电流的矢量图示法
功率因素来源于电路I t与电压U t之间存在的位相差φ如果将I t
分解为平行与U t的分量I和垂直于U t的分量I
⊥
见图8显然I
⊥
对平均功率没有贡献而有贡献的仅仅是I =
Icosφ
所以I
⊥
是无功电流I是有功电流P = I U 为有功功率
I
⊥
I
I U
图8,有功电流I与无功电流I
⊥
2有功功率与视在功率
有功功率的物理含义是电路在一周期内实际消耗的功率与平均功率的概
念一致而 P = IU 为机械设备的总功率容量称为视在功率视在功率乘以cosφ等于有功功率
例1某电站装机容量为x千伏安指的是视在功率而不是有功功率
例2日光灯为何要在镇流器上并联一个电容
答镇流器为电感它的功率因数cos=0.4若并联一个电容就可以减少φ的值使之→0这时cosφ→1从而大大提高有功功率分量使有功功率接近于视在功率
例3计算RC并联电路的电阻和电抗证明电路电抗为容抗
20 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
解
2
)(1
)1(
1
1~
CR
CRjR
Cj
R
Z
ω
ω
ω
+
=
+
=其实部
2
)(1 CRj
R
Z
R
ω+
=为有功电阻虚部为电抗
2
)(1 CR
CR
X
ω
ω
+
= < 0,即容抗
例4把复阻抗分为实虚部有何物理意义
答实部为电阻Z
R
= Zcosφ; 虚部为电抗X = Zsinφ
R
ZIUIP
2
cos == φ是有功功率有功功率是从实部而来
P
⊥
= UIsinφ = I
2
X是无功功率无功功率由虚部而来因此电抗是无功功率的来源
§5.6 变压器原理
在长距离输送电的过程中由于电线存在着一定的电阻因此就有焦耳热损耗Ohmic loss,Q = 0.24I
2
Rt式中I为电流
R为电阻t为时间
故而在电力系统功率P=IU一定的情况下尽量提高输送电压U可以大大降低I从而大大减低焦耳热损耗但用户一般用的是低压电因此需要变压器transformer将高压high tension转换为低压low tension也有用户需要将低压电转换为高压电英文transform有传递转换之意
一变压器和理想变压器介绍
1.变压器的定义变压器是互感现象mutual inductance为基础的电磁装置electromagnetic apparatus将初级线圈上的电能通过铁芯耦合coupling传递至次级线圈
2.理想变压器符合以下三个条件的变压器称为理想变压器
1无漏磁即耦合过程不存在漏磁magnetic leak
2无铜损即变压器材料不存在因电阻而产生的焦耳热损耗
3无铁损即铁芯中的涡流voltex与磁滞损耗hysteresis loss可忽略
第五章 交流电路 21
二初级线圈1和次级线圈2之间的变比公式理想变压器情形下
1变压比的推导通过初级线圈1和次级线圈2的磁通量flux为Ψ
1
和Ψ
2
图9,(a) 一个带有初级与次级线圈的变压器(b)标准变压器符号
221112111111
~~~~~~
IMILN +=Ψ+Ψ==Ψ φ
112221222222
~~~~~~
IMILN +=Ψ+Ψ==Ψ φ
其中Ψ
21
是次级对初级线圈通过互感而造成的磁通影响Ψ
12
是初级对次级线圈通过互感而造成的磁通影响L
1
和L
2
是初级和次级线圈的自感M
21
是次级对初级线圈的互感M
12
是初级对次级线圈的互感这样初级线圈上的电动势为
22 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
)
~~
(
~
cos
~~
)
2
cos(
~~
sin
~~)
~~
(
~~
2211111
11
1
1
1
1
IMILjjtSBjtSBN
tSBN
dt
SBd
N
dt
d
N
dt
d
+?=Ψ?=?=+?=
=
=?=
Ψ
=
ωωωω
π
ωω
ωω
φ
ξ
其中N
1
,N
2
分别为初次级线圈匝数同理次级线圈上电动势为
)
~~
(
~
11222
2
2
IMILj
dt
d
+?=
Ψ
= ωξ
因为是理想情形下无损耗故而φ
1
= φ
2
=φ
,
= jωN
1φ
~
,= jωN
22
~
ξ?=V
2φ
~
因此理想变压比为
2
1
2
1
~
~
N
N
V
V
=或
2
1
2
1
N
N
U
U
=
11
~
ξ?=V
2,变流比
请自己推导通过初级线圈和次级线圈的理想电流之比为
~
1
2
2
1
~
N
N
I
I
=或
1
2
2
1
N
N
I
I
=
3.变阻比
变阻比可通过欧姆定律加变压比和变流比而得到
2
2
1
1
2
~
~
=
N
N
Z
Z
三功率比 P
1
= P
2
不变
第五章 交流电路 Chapter 5 Alternating Circuit (AC)
§5.1 导言 Introduction
§5.1.1 复习交流电的产生交流发电机原理Generation of AC & the principle of generator
一[交流电与简谐交流电的概念] Concept of AC and harmonic AC
交流发电机产生的感应电动势inductive efm和感应电流inductive current是随时间作周期性变化的称为交流电并且符合余弦函数的振动规律属于简谐振动harmonic vibration因而又称为简谐交流电
交流发电机原理a单线圈发电机(b)线圈在某时刻的位置
图1 交流发电机原理
2 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
二[交流发电机原理]The principle of AC generator
交流发电机是根据电磁感应原理制成的它是动生电动势的典型例子图中ABCD是一个单线圈(coil)可以绕固定的转轴在N.S磁极所激发的均匀磁场中转动为避免线圈的两根引线在转动过程中扭绞twist起来线圈两端分别接在两个与线圈一起转动的铜环上铜环通过两个带有弹性的金属触头与外电路接通当线圈在原动机如水轮机带动下在均匀磁场中匀速转动时AB和CD边切割磁力线在线圈中产生感应电动势
r
∫∫
=+=?×=
B
A
B
A
AB
vBldlvBldBv θθπξ cos)2/sin(
r
r
∫∫
=?=?×=
D
C
D
C
CD
vBldlvBldBv θθπξ cos)2/sin(
rr
r
所以 其中l是AB或CD边的长度 θξξξ cos2vB
CDABtotle
=+=
因为 ωωθ
2
,
s
vt == 其中s是BC或DA边的长度
所以 tBStBl
s
ωωωωξ coscos
2
2 == 其中S = sl为线圈面积
这一结果也可从穿过线圈的磁通量的变化来考虑当线圈处于图1 b位置时磁通量为
tBSBSBS ωθπθ sinsin)2/cos(?=?=+=Φ
根据Farady-lenz定律
dΦ
tBS
dt
ωωξ cos=?=
关于动生电动势的本质和详细讨论见上一章
§5.1.2 本章需要学习和掌握的问题 The key points in this chapter
一 交流电尤其是简谐交流电的概念与特性 concepts and characters of AC and harmonic AC
第五章 交流电路 3
二 交流电路与已学过的直流电路有什么异同点交流电路的复数解法Complex solution of AC
针对交流电路的特点用复数定义不同元件的阻抗resistor以及电源电动势emf of electrical source电压
voltage和电流current就可将交流电路的问题转化为直流电路(DC)的方式加以解决 这就是交流电路的复数解法complex solution是本章的重点
三串联谐振与并联谐振 Resonance vibration of series circuit and parallel circuit
电阻电感(inductor)和电容(capacitor)元件通过一定的形式串联或并联当元件参数elements parameters)满足某种条件时就可以实现电路的简谐共振(harmonic resonance)简称谐振当共振产生时电路的阻抗电流或电压将取极值(minimax solution)
四交流电的功率power of AC
交流电的功率的概念比直流功率的概念丰富得多这是因为
1 交流电是随时间作用作周期性变化的因此就有瞬时功率和平均功率 (instantaneous power and average power)
的概念
2 由于电感和电容是储能元件energy storage elements由于它们之间存在的位相差phasic difference以及它们与电阻之间的位相差因而有了无功功率(image power)与有功功率(real power)的的分别视在功率(apparent
output)是无功功率与有功功率迭加总和而电路的品质因素 (quality factor)则是衡量电路的有功功率在视在功率中所占的比重的一个重要参数
3 采用一定的方法可以提高电路的品质因素从而提高有功功率的比重
五变压器原理principle of transformer
1 变压器 (transformer)的一个重要作用是将高压输送电转变为安全而便于使用的市电长距离输送电需要采用高压以降低输送电流从而达到减少焦耳热损耗的目的在总功率固定的情况下由P=IU知U越大I就越小这样由于电流发热导致的欧姆损耗 (Ohmic loss)就会降低至很小我国一般采用33万伏,22万伏和11
万伏高压长距离输电
2 变压器的线圈电路和变压比(transformer ratio)的概念变压器是由铁磁芯 (ferromagnetic core)和初级线圈
4 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
(primary coil)与次级线圈(secondary coil)构成变压比为 U
1
/U
2
= N
1
/N
2
图2 一个带有变压器的输电线路图
§5.2 交流电概述outline of alternating electricity
§5.2.1交流电的形式 (style)
一 简谐交流电以正弦或余弦规律变化的有一定频率(frequency)和峰值(peak value)的简谐波(harmonic
wave)我国工业和民用交流电的频率为50Hz美国为60Hz
第五章 交流电路 5
二 其它形式的交流电
这些形式的交流电波形的共同特征是
1 具有固定的频率或作周期性的变化2且都可以通过富里叶Fourier变换分解为多种不同频率的简谐成分的迭加
2 这些简谐成分在线性电路中彼此独立
a,简谐波 b,锯齿波 c,矩形波
d,尖脉冲 e,调幅波 f,调频波
图3,各种波形的交流电
§5.2.2 描述简谐交流电的特征量characteristic variables of AC
函数表示式 电动势(emf) )cos()(
0 e
tt?ωξξ +=
6 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
电 压(voltage) )cos()(
0 u
tUtU?ω +=
电 流(current) )cos()(
0 i
tItI?ω +=
其中ω为交流发电机转子角速度它也等于交流电的角频率angular frequency ω与频率f的关系为ω = 2πf 交流电的周期
ω
π21
==
f
T
一,峰值(ξ
0
U
0
和I
0
),峰-峰值(2ξ
0
2U
0
和2I
0
)与有效值等于峰
值的1/ 2
有效值与峰值关系的推导evolution
由有效值的定义交流量的方均根值就是有效值而得电流的
有效值
∫∫
+==
T
i
T
dttI
T
dti
T
I
0
22
0
0
2
)(cos
11
ω
因为
2
]
2
)(2sin
[
2
1
)](2cos1[
2
1
)(cos
0
00
2
Tt
tdttdtt
Ti
T
ii
T
=
+
+=++=+
∫∫
ω
ω
ω?ω
代入上式得
2
0
I
I =
同理可求得
2
0
U
U =
通常所说的相电压为220V即指U = 220v线电压为380V
即指U = 380V,而相电压的峰值为2202 × v = 311v线电压的峰值为3802 × v = 537v
第五章 交流电路 7
§5.3交流电路的复数解法
本章中我们先把电阻电容和电感三种基本元件在交流电路中的作用讨论清楚下面再研究它们的组合问题对于每种元件的特性的作用都应注意Z和?两个方面
§5.3.1 交流电路中的基本元件 Basic elements in alternating circuit
一概述元件自身的特征是用阻抗和初位相(initial phase)描述的
(i)阻抗 Z = U
0
/I
0
= U/I欧姆定律
(ii)初位相
iuZ
= 是u(t)与i(t)之间的相位差
二实验交流电路中各种元件性能的演示
下图是交流电路中各种元件性能的演示实验装置此装置中电源是音频信号20~20 10
4
HZ发生器f可调频率的高低可通过扬声器监听电流的大小借助于小灯泡亮度来显示对于电容电感元件u t和i t之间的位相差还可在双踪示波器b图上观察
R
K
C
L
音频
信号
发生
器
a
图4,交流电路中各种元件性能的演示
双线示波器
(b)
8 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
三电阻元件u t与i t具有相同的位相所以
Z
R
= R,,0=?=
iu
tI
R
tU
R
tu
ti ω
ω
cos
cos)(
)(
0
0
===,
i(t)
i(t)
u(t)
ξ R u
图5 交流电路中电阻元件性能(试验中合上电键K,灯泡几乎同时发亮;
当调节f时,灯泡亮度亦不变,这说明电阻是线性元件,不随f变化),
a电路模型 b示波器显示i t和u t波形位相一致
四电容元件 Capacitor
我们知道电容器具有隔直流的作用容元件中电路中的灯泡亮了明频率愈高的交流电愈容易通过电容
喇叭也响了因而稳恒的直流电是不能通过电容器的但是图4所示实验中交流电源加于电在维持电压不变的条件下频率愈高喇叭音调愈高同时灯泡愈亮这说双踪示波器显示i t比u t在相位上超前2π
第五章 交流电路 9
i(t)
i(t)
u(t)
ξ C u
c
+q
-q
图6 交流电路中电容元件性能a电路模型b i t比u t在相位上超前π/2
下面推导电容器上电压和电容的关系
由 以及 (i) ),cos()(,cos)(
00 i
tItitQtq?ωω +== )cos()(
0 u
tUtu?ω +=
代入
dt
dq
t
q
ti
t
=
=
→? 0
lim)( 和u(t) = q / C,得
以及 (ii) )2/cos(sin)(
00
πωωωω +=?= tQtQti CtQCqtu /cos/)(
0
ω==
将(ii)式与(i)相比较得
0
= ωQ
0
,U
0
= Q
0
/ C
→
例一电容
[解]
I
UZ
C
/
0
=
=?
iu
这两点推导结论与实验结果完全一致
C = 25
20V是u
CI ω/1
0
=称为容抗(captance),与ω成反比,
表示电容元件上i2/π? t比u t在相位上落后π / 2
×10
-6
F在20V 50Hz电源作用下求I = 若f变为500HZ则I又为多少
t的有效值以下所求得的I亦为有效值
10 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
===== fCUCU
C
U
Z
U
I
C
πω
ω
2
1
由此可见电容对于高频是易通过的
1.57A,当f = 500Hz
0.157A,当f = 50Hz
(5)电感元件inductor,reactor
当图4所示的实验中交流电源加于电感元件时就会观察到与电容元件相反的现象即在维持电压不变的条件下灯泡的亮度随频率的增大而减弱这表明电感元件的阻抗随频率的增加而增大示波器波形表示u t超前于i t
i(t) A
i(t)
u(t)
ξ L u
AB
B
+
-
图7,交流电路中电感元件性能a电路模型 b u(t)比i t在相位上超前π/2
下面推导电感元件中电压与电的关系
(i)自感电动势 (self-inductive
(ii)由i(t) = I
0
cos(ωT+?
i
),
U
0
= ωLI
0
,?
u
=?
I
+
感抗 Z
L
= U
0
/ I
0
与频率成正比
例题2在一个0.1H的电感元件上加流
efm) ξ
u(t) =U
0
cos(
π/2
,其初位相
20V
dt
di
L
L
=表明电感元件是一个交流电源电感元件上的压降
dt
di
Ltu
LAB
=?= ξ)(
ωT+?
u
) 与)2/cos()sin()(
00
π?ωω?ωω ++=+?==
iiAB
tLItLI
dt
di
Ltu 比较而得
因此得出结论
=?
u
-?
I
= π/2 表明电感元件上u(t)超前于i(t) π/2相位
50HZ的电源求电流当频率为500HZ时I又为多少
第五章 交流电路 11
[解] 20V是u t的有效值以下所求I亦为有效值
===
fL
U
Z
U
I
L
π2
由此可见电感对于低频率是易通过的
0.0637A,当f = 500 Hz
0.637A,当f = 50 Hz
§5.3.2 交流电路的复数解法
一
解说主要是解决同频简谐量迭加的问题共有三种解法
三角函数法运用三角函数的和差化积求解运算复杂工作量大容易出错不能解决较复杂电路的问题
矢量图解法将各简谐量化为矢量用矢量相加法则求解此法比较直观各物理量的大小和位相关系在图上一目了然但运算仍比较复杂一般不易解决复杂电路问题
二什么要用复数法求解交流电路求解交流电路
1
2
3复数法用复数定义不同元件的阻抗以及电源电动势,电压和电流就可将交流电路问题转化为与直流电路求解相似的方式加以解决,简便扼要,可解决复杂电路问题
综上所述复数法的优点较大这是选择复数法的原因
复数法计算同频简谐量的迭加
1 欧拉公式是复数法的基础
欧拉定义 其中
sincos je
j
+= 1?=j
12 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
由于 sin)sin(,cos)cos(?=?=
sincos je
j
=→
这样 )(
2
1
sin),(
2
1
cos
jjjj
ee
j
ee
=+=
2 计算同频简谐量迭加的基本步骤如下
(i) 复数对应规则:将简谐量按下列法则和复数量对应起来
)(
11111
1
~
)cos()(
ω
ω
+
=?+=
tj
eAAtAta
)(
22222
2
~
)cos()(
ω
ω
+
=?+=
tj
eAAtAta
[注意]此处定义与欧拉定义有所不同因为多了一个虚部)]sin()[cos(
~
)(
ω?ω
ω
+++==
+
tjtAAeA
tj
但并不影响最终结果只需在最终结果中取其实部便可得到实际的模拟量
(ii)求 和 之和,,其中A为模,?为辐角,
1
~
A
2
~
A
)(
21
~~~
ω +
=+=
tj
AeAAA
下面举例说明尽管对于简谐量的定义与欧拉公式不一样但在运算过程中需要用欧拉公式
例求 a
1
(t) = 3cosωt 和a
2
(t) = 4cos(ωt+π/2) 之和
[解],
tj
eA
ω
3
~
1
=
tjtj
jtj
jeeeeA
ωω
ππ
ω
444
~
2
)
2
(
2
===
+
注意此处用了欧拉公式jje
j
=+=
2
sin
2
cos
2
ππ
π
所以,此复数的模为
tj
ejAAA
ω
)43(
~~~
21
+=+=,543
~
22
=+== AA
第五章 交流电路 13
辐角为
'1
853
3
4~
arg
o
tgA ===
取实部得a(t) = 5cos(ωt+53
o
8
’
)
三复电压复电流和复阻抗的概念
根据复数对应规则和复数运算规则可以得到如下的复电压复电流和复阻抗的表达
电压 u(t) = U
0
cos(ωt +?
u
)? 复电压
)(
0
~
u
tj
eUU
ω +
=
电流 i(t) = I
0
cos(ωt +?
i
)? 复电流
)(
0
~
i
tj
eII
ω +
=
阻抗 Z(t) = U
0
cos(ωt +?
u
)/ I
0
cos(ωt +?
i
)
复阻抗
)(
0
0
~
/
~~
iu
j
e
I
U
IUZ
==
注意到在复阻抗表达中最终表达式是一个简谐量因为在运算中使用了复数相除的规则是辐角直接相减所以十分便利这是三角法所没有的优点
我们已知道 对于电阻元件?
u
=?
i
,所以电阻没有位相差RZ
R
=
~
,
对于电容元件?
u
-?
i
,= -π/2,所以容抗为
CjC
j
eZZ
j
CC
ωω
π
1~
2
=
==
对于电感元件?
u
-?
i
,= π/2,所以感抗为LjeZZ
j
LL
ω
π
==
2
~
14 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
§5.4 两种谐振电路
学习了§5.3节我们就可以利用复数法来解决R.L.C各种元件的串联组合与并联组合电路问题本节的标题的意义在于电阻电感和电容元件通过一定的形式构成串联或并联电路当元件参数满足某种条件时就可以实现电路的简谐共振即谐振当共振产生时电路的阻抗电流或电压都要取极值
例收音机或电视机的选台即为简谐共振的例子因此每个电台都要有不同的发射频率否则就会串台
§5.4.1 RLC串联电路和谐振条件resonance condition
(1) RLC串联电路的总电流,
如图所示R.L.C串联在交流电路中设电动势 e(t) = ξ
m
cosωt,其复数表示为
tj
m
e
ω
ξξ =
~
我们的目的在于求电流的大小I
I
~
m
以及电流与电源电动势的位相差 R L C
~ ~
设,又因 I
~
I
)(
i
tj
m
eI
ω +
= U
等效总阻抗为
z
j
mCLR
eZ
C
LjR
Cj
LjRZZZZ
ω
ω
ω
ω =?+=++=++= )
1
(
1~~~~
其中
R
C
L
tg
C
LRZ
m
ω
ω
ω
ω
1
,)
1
(
122
=++=
故得电流为
)(
22
)
1
(
~
~
~
z
z
tjm
j
m
tj
m
e
C
LR
eZ
e
Z
I
ω
ω
ω
ω
ξξξ
+
===
第五章 交流电路 15
取其实部得 )cos(
)
1
(
22
z
m
t
LR
I?ω
ω
ξ
++
=
Cω
,其中
R
C
L
tg
ω
ω
1
1
+
=
,
(2) 串联谐振的讨论,在上面的表达式中如若
C
L
ω
ω
1
=即
LC
1
=ω时I可以取到极大值因而通过R.L.C上的电压都取到了极大值 这种情况称为RLC的串联谐振,此时也有? = 0下面求各个元件上的电压,
电阻两端的电压为RIZIU
R
R
~~~
~
==,
取实部得谐振时电压
()
( ) tt
C
LR
R
U
m
m
R
ωξφω
ω
ω
ξ
coscos
1
2
2
=?
+
=
电感的两端的电压为
)
2
(
~~~~
π
φω
ξωω
+?
===
tj
mLL
eLILjZIU
取实部得谐振时电压
()
()
()2/cos
/1
2/cos
22
πω
ξ
ω
ωω
πφωξω
+=
+
+?
= t
R
L
CLR
tL
U
mm
L
电容两端的电压为
===
2
1~1~~~
π
φω
ξ
ωω
tj
m
m
CC
e
ZC
I
Cj
ZIU
取实部得谐振时电压
()
()
)
2
cos(
1
/1
2/cos
2
2
π
ωξ
ω
ωωω
πφωξ
=
+
= t
CR
CLRC
t
U
m
m
C
注意到Uc与U
L
在位相上整整相差π弧度所以对于RLC谐振电路在任何时刻t恒有Uc与U
L
相互抵消电阻两端的电压等于电源电动势
16 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
§5.4.2 RLC并联电路和谐振条件
一求解RL串联再与C并联的电路
一般来说R L C三种可以构成三种不同的并联电路一是RL与C并二是RC与L并三是CL串与R并由于实际所用的电感元件自身有电阻存在因而在实际应用中取RL串再与C并联这一种方式可以避免设计和计算上的麻烦
设电源电动势为
tj
mm
et
ω
ξωξξ == cos
而
Cj
ZLjZRZ
CLR
ω
ω
1~
,
~
,
~
===所以等效阻抗Z为
+
+
+
=
+
+=
+
+=
+
+=
222222
)()()(
1111
LR
L
Cj
LR
R
LR
CjR
Cj
LjR
Cj
ZZZZ
LRC
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ω =,即
φj
Ae
φj
e
A
Z
=
1~
,
其中
2
1
2
22
2
22
)
)()(
(
+
+
+
=
LR
L
C
LR
R
A
ω
ω
ω
ω
[ ]{}
R
LLRC
tg
+
=
22
1
)(ωω
φ
总电流
)(
~
~
~
~
~
φω
ξ
ξ +
===
tj
m
Ae
ZZ
U
I
实际电流取I的实部)cos()cos( φωφωξ +=+= tItAI
mm
第五章 交流电路 17
二并联共振
在上面的表达式中当
22
)( LR
L
C
ω
ω
ω
+
=即
L
CR
LC
2
1
1
=ω时电路的阻抗达最大值
2
max
+=
R
L
RZ
ω
回路总电流达最小值
m
LR
R
I ξ
ω
22
min
)(+
=由于一般情况下频率较高而电阻较小因此有R<<ωL,这时可略去CR
2
/L项则
ω = ω
0
= 1/ LC f
0
= 2π ω
0
= 2π / LC称为共振频率 此时
Z
max
= L / RC,I
min
= Rξ
m
/ (ω
0
L)
2
= RCξ
m
/ L = Z
max
ξ
m
这种情况称为CLR并联谐振
并联谐振具有如下特点
(i) 回路总阻抗达最大值,当R<<ωL时共振频率f
0
= 2π / LC
(ii)回路总电流达最小值I
min
= Rξ
m
/ (ω
0
L)
2
= RCξ
m
/ L
(iii)由于总电流和总电源电动势位相差为零故总电压和总电源同位相电路呈
纯电阻特性
(iv)两个分支电流I
1
和I
2
在数值上达最大但I
1
与I
2
在位相上相差180
0
所以
并联共振又称为电流共振下面证明之
mmm
C
m
QII
R
L
I
R
L
C
Z
I ====
0
2
0
01
)( ωω
ω
ξ
式中
R
L
Q
0
ω
=称为电路的品质因素同样可证
mm
L
m
L
m
QII
R
L
ZRZ
I ===
+
=
0
2
ωξξ
18 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
思考题为什么I
1m
= I
2m
且I
1
与I
2
相位差为180
o
但I = I
1
+ I
2
却不为零呢
§5.5 交流电的功率
一瞬时功率稳恒电路中的功率在时间上也是稳恒的这是因为I t和U t是稳恒值但在交流电路中I t和
U t一般存在位相差所以功率P t =I t U t也随时间变化P t称为瞬时功率
注意当P(t)>0 时元件由电源获得能量P(t)<0时元件的能量回入电源
设i(t) = I
0
cosωt,u(t) = U
0
cos(ωt+φ),
则 P(t) = U
0
I
0
cosωtcos(ωt+φ) = 1/2U
0
I
0
[cosφ + 1/2U
0
I
0
cos(2ωt+φ)]
注意到 第一项是与时间无关的常数值第二项时间的2倍频项
二平均功率与功率因素
瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率记为P它是电路实际消耗的功率
∫
===
T
ee
IUIUdttP
T
P
0
00
coscos
2
1
)(
1
φφ
其中
00
2
1
,
2
1
IIUU
ee
==分别是电压和电流的有效值(effective value)
而cosφ称为电路的功率因素与时间无关它反映了交流电路中不同性质元件上的变化规律
对于纯电阻φ = 0,与稳恒电路的情况一致
对于纯电感和纯电容电路,φ 分别为 +π/2 和 - π/2 P恒为零
第五章 交流电路 19
可见cosφ是影响平均功率的重要因素
三有功电流与无功电流有功功率与视在功率以及它们与cosφ的关系
1有功电流与无功电流的矢量图示法
功率因素来源于电路I t与电压U t之间存在的位相差φ如果将I t
分解为平行与U t的分量I和垂直于U t的分量I
⊥
见图8显然I
⊥
对平均功率没有贡献而有贡献的仅仅是I =
Icosφ
所以I
⊥
是无功电流I是有功电流P = I U 为有功功率
I
⊥
I
I U
图8,有功电流I与无功电流I
⊥
2有功功率与视在功率
有功功率的物理含义是电路在一周期内实际消耗的功率与平均功率的概
念一致而 P = IU 为机械设备的总功率容量称为视在功率视在功率乘以cosφ等于有功功率
例1某电站装机容量为x千伏安指的是视在功率而不是有功功率
例2日光灯为何要在镇流器上并联一个电容
答镇流器为电感它的功率因数cos=0.4若并联一个电容就可以减少φ的值使之→0这时cosφ→1从而大大提高有功功率分量使有功功率接近于视在功率
例3计算RC并联电路的电阻和电抗证明电路电抗为容抗
20 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
解
2
)(1
)1(
1
1~
CR
CRjR
Cj
R
Z
ω
ω
ω
+
=
+
=其实部
2
)(1 CRj
R
Z
R
ω+
=为有功电阻虚部为电抗
2
)(1 CR
CR
X
ω
ω
+
= < 0,即容抗
例4把复阻抗分为实虚部有何物理意义
答实部为电阻Z
R
= Zcosφ; 虚部为电抗X = Zsinφ
R
ZIUIP
2
cos == φ是有功功率有功功率是从实部而来
P
⊥
= UIsinφ = I
2
X是无功功率无功功率由虚部而来因此电抗是无功功率的来源
§5.6 变压器原理
在长距离输送电的过程中由于电线存在着一定的电阻因此就有焦耳热损耗Ohmic loss,Q = 0.24I
2
Rt式中I为电流
R为电阻t为时间
故而在电力系统功率P=IU一定的情况下尽量提高输送电压U可以大大降低I从而大大减低焦耳热损耗但用户一般用的是低压电因此需要变压器transformer将高压high tension转换为低压low tension也有用户需要将低压电转换为高压电英文transform有传递转换之意
一变压器和理想变压器介绍
1.变压器的定义变压器是互感现象mutual inductance为基础的电磁装置electromagnetic apparatus将初级线圈上的电能通过铁芯耦合coupling传递至次级线圈
2.理想变压器符合以下三个条件的变压器称为理想变压器
1无漏磁即耦合过程不存在漏磁magnetic leak
2无铜损即变压器材料不存在因电阻而产生的焦耳热损耗
3无铁损即铁芯中的涡流voltex与磁滞损耗hysteresis loss可忽略
第五章 交流电路 21
二初级线圈1和次级线圈2之间的变比公式理想变压器情形下
1变压比的推导通过初级线圈1和次级线圈2的磁通量flux为Ψ
1
和Ψ
2
图9,(a) 一个带有初级与次级线圈的变压器(b)标准变压器符号
221112111111
~~~~~~
IMILN +=Ψ+Ψ==Ψ φ
112221222222
~~~~~~
IMILN +=Ψ+Ψ==Ψ φ
其中Ψ
21
是次级对初级线圈通过互感而造成的磁通影响Ψ
12
是初级对次级线圈通过互感而造成的磁通影响L
1
和L
2
是初级和次级线圈的自感M
21
是次级对初级线圈的互感M
12
是初级对次级线圈的互感这样初级线圈上的电动势为
22 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮
)
~~
(
~
cos
~~
)
2
cos(
~~
sin
~~)
~~
(
~~
2211111
11
1
1
1
1
IMILjjtSBjtSBN
tSBN
dt
SBd
N
dt
d
N
dt
d
+?=Ψ?=?=+?=
=
=?=
Ψ
=
ωωωω
π
ωω
ωω
φ
ξ
其中N
1
,N
2
分别为初次级线圈匝数同理次级线圈上电动势为
)
~~
(
~
11222
2
2
IMILj
dt
d
+?=
Ψ
= ωξ
因为是理想情形下无损耗故而φ
1
= φ
2
=φ
,
= jωN
1φ
~
,= jωN
22
~
ξ?=V
2φ
~
因此理想变压比为
2
1
2
1
~
~
N
N
V
V
=或
2
1
2
1
N
N
U
U
=
11
~
ξ?=V
2,变流比
请自己推导通过初级线圈和次级线圈的理想电流之比为
~
1
2
2
1
~
N
N
I
I
=或
1
2
2
1
N
N
I
I
=
3.变阻比
变阻比可通过欧姆定律加变压比和变流比而得到
2
2
1
1
2
~
~
=
N
N
Z
Z
三功率比 P
1
= P
2
不变
