4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
1/36
P
z
*O
FdFrMs i n
M?
F?
d
d,力臂 (The arm of the force)
刚体绕 O z 轴旋转,力 F
作用在刚体上点 P,且在转动平面内,r为由点 O 到力的作用点 P 的径矢,
FrMF 对转轴 z的力矩
0,0 ii MF 0,0 ii MF
F?F
F?
F
一 力矩
(Torque)
M?
r?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
2/36
z
O
k?
F?
r?
讨论
FFF z
FrkM z
s i n rFM z
zF
F?
1） 若力 F不 在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
2）合 力矩等于各分力矩的 矢量和
iMMMMM 321
其中 Fz对转轴的力矩为零，
故 F对转轴的力矩,
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
3/36
3） 刚体内作用力和 反 作用力的力矩互相 抵消
jiij MM
jr
ir?
i
j
ijF
jiF
d
O
ijM
jiM
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
4/36
例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1000m,水深 100m,
水面与大坝表面垂直,如图所示,求作用在大坝上的力,
以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元
dA=Ldy 作用在此面积元上的力 dF=pdA=pLdy
y
O
h y
x
Ad
yd
Q
y
O
x
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
5/36
)(0 yhgpp
令大气压为 p0,则
yLyhgpF d)]([d 0
2
00 0 2
1d)]([ g L hLhpyLyhgpF h
代入数据，得 N1091.5 10F
ypLApF ddd
y
O
h y
x
Ad
yd
100m?h m1000?L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
6/36
FyM dd?
yLyhgpyM d)]([d 0
32
0 6
1
2
1 LhgLhp h yLyhgpyM
0 0 d)]([?
代入数据，得
mN1014.2 12M
dF对通过点 Q 的轴的力矩
y
QO
h y ydF?d
yLyhgpF d)]([d 0
100m?h m1000?L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
7/36
O
r? m
z二 转动定律(The law of rotation)
F?
tF
nF
s i nrFMmrmaF
tt
2ie jjjj rmMM
2.刚体 (Rigid body)
M?1.单个质点 m与转轴刚性连接外 力矩
External torque
内 力矩
Internal torque
2mrM2
t mrrFM
O
z
jm?
jr
jFe
jFi
内 力
jFe
jFi
质量元受 外 力
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
8/36
αrmMM jj
j
j
j
j
2
ie
,0ij ji ij
j
M M M
) αrmM jj
j
j
2
e (
JM?
2
j
j
j rmJ
定义转动惯量 (Definiting moment of inertia)
O
z
jm?
jr
jFe
jFi
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
9/36
刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成正比,与刚体的 转动惯量 成反比,
转动定律 (The law of rotation)
JM
JM?
When the rigid body rotates about a fixed axis,the
angular acceleration of the rigid body is proportional
to the combined external torque that the rigid is
subject to,& it is inversely proportional to the
moment of inertia of the rigid body
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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2 dJ r m
三 转动惯量 (Moment of inertia)
物理意义,描述刚体转动惯性大小的物理量,
Physical meaning,The moment of inertia is a
physical quantity that describles the size of the
inertia in a rigid body rotation
2
jj
j
J m r
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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质量离散分布刚体的转动惯量
2 2 2
1 1 2 2,..jj
j
J m r m r m r
转动惯量的计算方法
(The calculating method of moment of inertia)
质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
j d
22
dm,质量元
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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对质量线分布的刚体,dm= λ dl
λ,质量线密度
对质量面分布的刚体,dm= σ dS
σ,质量面密度
对质量体分布的刚体,dm= ρdV
ρ,质量体密度
dm：质量元
质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
j d
22
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
13/36
lO’
O
解 设棒的线密度为 λ=m/l，取一距离转轴 OO′
为 r 处的质量元,dm= λ dl
22
0
1d
3
l
J r r m l
rd
/ 2 / 22 2 3 2
/ 2 0
11d 2 d
1 2 1 2
ll
l
J r r r r l m l
r
rrmrJ ddd 22
例 2 一 质量为 m,长为 l 的 均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,
2l2l? O’
O
如转轴过端点垂直于棒
rd
r
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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OR
R
4
0
3 π
2
dπ2 RrrJ
R?
rdr
例 3 一质量 m、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
解 设圆盘面密度为 σ，在盘上取半径为 r,宽为 dr 的圆环
2π Rm
rrm dπ2d圆环质量
2
2
1 mRJ?
rrmrJ dπ2dd 32
圆环对轴的转动惯量
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
15/36
22 d
jjJ m r r m
转动惯量 (moment of inertia)
3 / 4 2 3 2
/4
77d
4 8 4 8
l
l
J r r l m l
22d d m = d rJ r rd m = d r?
2l2l? O’
O
m
43l4l? O’
O
m
lO’
O
m
21
12J m l?
21
3J m l?
rd
r
27
48J m l?
lm /
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
16/36
决定因素
Depending on factors
1、刚体的 质量大小
2、刚体的 质量分布
3、刚体的 转轴位置,
2 dJ r m
The mass size of a rigid body
The distribution of mass of a rigid body
The position of the rotational axis of a rigid body
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
17/36
2mdJJ
CO
四 平行轴定理 (Theorem of parallel axis)
P
质量为 m的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为 JC,则对任一与该轴平行,相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C O
m
22
2
1 mRmRJ
P
R mO
21
2O
J m R?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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五 垂直轴定理 ( Theorem vertical axis )
O
z
y x
x y z
y x z
z x y
J J J
J J J
J J J
刚体对于 x,y,z的转动惯量分别为 Jx,Jy,Jz,则：
六 组合定理 ( Theorem of combination )
z iz
i
JJ
如果多个刚体,对于同一转轴的转动惯量分别为
1 2 3,,,z z z izJ J J J
则有
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
19/36
飞轮的质量为什么大都分布于轮的外缘？
竿子长些还是短些较安全
？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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22 d
jjJ m r r m
质量大小质量分布转轴位置
2mdJJ CO
,,x y z y x z z x yJ J J J J J J J J
z izJJ
转动惯量转动定律
MJ
M r F
力 矩
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
21/36
R
m
22
5CJ m R?
21
3CJ m R?
2 2 2
1
2 5 3()
5 2 2 0z
RJ m R m R m R
R
m
R
m2R
m
z
2
R
2 2 2
2
2 1 3 3( 2 )
5 2 2 0z
RJ m R m R m R
2 2 2
3
17 ()
3 2 1 2z
RJ m R m m R
2
1 2 3
593
60z z z zJ J J J m R
zJ?
2R
m
例：
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
22/36
牛顿
、
转动定律应用受力分析隔离物体牛转定律选择参考系分析物体受到的所有的力并画出示意图将标好受力示意图的每个物体从物体系中隔离出来对每个隔离体应用牛转定律 对每个物体列矢量方程选择坐标系再利用正交分解法进行标量化求解方程求解讨论
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
23/36
例 4质量为 mA的物体 A静止在光滑水平面上,和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为 R质量为 mC的圆柱形滑轮 C,并系在另一质量为 mB 的物体 B上,滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,
(3)若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为 Mf再求线加速度及绳的张力,
(2) 物体 B从静止落下距离 y时,其速率是多少? A
B
C
Am
Bm
Cm
问,(1) 两物体的线加速度为多少?水平和竖直两段绳索的张力各为多少？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
24/36
A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
AP
Aa
TAF
NF
Am
Ba
TBF
BP
Bm
A,TA A N AA F P F m a
,B TB B BB m g F m a
:
0
A T A B T B
C C T A T B
C R F R F J
P F F F
BBaR
解 （ 1）隔离物体分别对物体 A,B 及滑轮作受力分析，运用牛顿第二定律,转动定律列方程,
AAaR
TBF?
TAF?
CP
CF
AR
BRJ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
25/36
A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
AP
Aa
TAF
NF
Am
TA A AF m a?
B T B B Bm g F m a
B TB A TAR F R F J
AAaR
取坐标如图,列方程
BBaR
N A AF P m g
TB TBFF
T A T AFF
ABaa?
x
Ba
TBF
BP
Bm
yTBF?
TAF?
CP
CF
AR
BRJ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
26/36
A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
方程简化得
T A AF m a?
B TB Bm g F m a
T B T AR F R F J
Ra?
2
B
A B C
mga
mmm
2
AB
TA
A B C
m m gF
mmm
( 2 )
2
A C B
TB
A B C
m m m gF
mmm
如 0Cm?
AB
T A T B
AB
m m gFF
mm
B
AB
mga
mm
21
2 CJ m R?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
27/36
(3)考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 Mf,转动定律结合（ 1）中其它方程可得
T B T A fRF RF M J
T A AF m a?
B TB Bm g F m a
Ra?
T B T A fRF RF M J
TBF
BP
Bm
AP
TAF
NF
Am
TBF?
TAF?
fM
(2) B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率
22
/2
B
A B C
m g yay
mmm
v
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
28/36
( / )
/2
A B f
TA
A B C
m m g M R
F
mmm
( 2 )
2
B A C f
TB
A B C
m m m g M R
F
mmm
/2
Bf
A B C
m g M R
a
mmm
A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
T B T A fRF RF M J
T A AF m a?
B TB Bm g F m a
Ra?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
29/36
例 5,一轻绳跨过一定滑轮,
滑轮视为圆盘,绳的两端分别悬有质量为 m1和 m2的物体 1和 2,
m1< m2,如图所示,设滑轮的质量为 m,半径为 r,所受的摩擦阻力矩忽略不计,绳与滑轮之间无相对滑动,试求物体的加速度和绳的张力,
解,滑轮具有一定的转动惯量,两边的张力不再相等 。
m
2m
1m
r
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
30/36
1m 2m
m
2TF
2TF?
1TF
1a 2a
2G
1G
TF
2r
1TF?
1r
解,受力分析如图所示,应用牛顿定律和转动定律,得,?
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 2 2
12
:
:
:
0
T
T
TT
T T T
m F G m a
m F G m a
m r F r F J
F F F G
1 1 2 2
2
,
1
2
a r a r
J m r
G
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
31/36
因 m2>m1,物体 1向上运动,物体 2
向下运动,滑轮以顺时针方向旋转,坐标如图所示,列方程
y
O
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 2 2
12
:
:
:
0
T
T
TT
T T T
m F G m a
m F G m a
m r F r F J
F F G F
1 1 2 2 1 2
2
12
,,,
1
,,
2
T T T TF F F F a a a
r r r a r J m r?
1m 2m
m
2TF
2TF?
1TF
1a 2a
2G
1G
TF
2r
1TF?
1r
G
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
32/36
从以上各式即可解得
21
21 /2
m m g
a
m m m
21
21
()
( / 2 )
m m ga
r m m m r
12
1
21
1
( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
21
2
21
1
( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
1m 2m
m
2TF
2TF?
1TF
1a 2a
2G
1G
rM
TF
2r
1TF?
1r
G
y
O
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
33/36
当不计滑轮质量,即令 m=0时,有
12
12
21
2
TT
mmF F g
mm
g
mm
mma
12
12
上题中的装置叫阿特伍德机,是一种可用来测量重力加速度 g的简单装置 。 因为在已知 m1,m2,r和
J的情况下,能通过实验测出物体 1和 2的加速度 a，
再通过加速度把 g算出来 。 在实验中可使两物体的 m1
和 m2相近,从而使它们的加速度 a和速度 v都较小,
这样就能较精确地测出 a来 。
21
21 /2
m m ga
m m m
12
1
21
1( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
21
2
21
1( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
34/36
例 6一长为 l 质量为 m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动,试计算细杆转动到与竖直线成 θ角时的角加速度和角速度,
Jm g l?s i n
2
1
r P J
解,细杆受重力和铰链对细杆的约束力 FN
作用,由转动定律得
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
35/36
2
3
1 mlJ?
d
d
d
d
d
d
d
d
tt
得
s in
2
3
l
g?
由角加速度的定义
)co s1(3
l
g
Jm g l?s i n
2
1
ds i n
2
3d
l
g?
00
3d s i n d
2
g
l
第四章 刚体的转动物理学第五版
36/36
4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
1/36
P
z
*O
FdFrMs i n
M?
F?
d
d,力臂 (The arm of the force)
刚体绕 O z 轴旋转,力 F
作用在刚体上点 P,且在转动平面内,r为由点 O 到力的作用点 P 的径矢,
FrMF 对转轴 z的力矩
0,0 ii MF 0,0 ii MF
F?F
F?
F
一 力矩
(Torque)
M?
r?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
2/36
z
O
k?
F?
r?
讨论
FFF z
FrkM z
s i n rFM z
zF
F?
1） 若力 F不 在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
2）合 力矩等于各分力矩的 矢量和
iMMMMM 321
其中 Fz对转轴的力矩为零，
故 F对转轴的力矩,
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
3/36
3） 刚体内作用力和 反 作用力的力矩互相 抵消
jiij MM
jr
ir?
i
j
ijF
jiF
d
O
ijM
jiM
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
4/36
例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1000m,水深 100m,
水面与大坝表面垂直,如图所示,求作用在大坝上的力,
以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元
dA=Ldy 作用在此面积元上的力 dF=pdA=pLdy
y
O
h y
x
Ad
yd
Q
y
O
x
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
5/36
)(0 yhgpp
令大气压为 p0,则
yLyhgpF d)]([d 0
2
00 0 2
1d)]([ g L hLhpyLyhgpF h
代入数据，得 N1091.5 10F
ypLApF ddd
y
O
h y
x
Ad
yd
100m?h m1000?L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
6/36
FyM dd?
yLyhgpyM d)]([d 0
32
0 6
1
2
1 LhgLhp h yLyhgpyM
0 0 d)]([?
代入数据，得
mN1014.2 12M
dF对通过点 Q 的轴的力矩
y
QO
h y ydF?d
yLyhgpF d)]([d 0
100m?h m1000?L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
7/36
O
r? m
z二 转动定律(The law of rotation)
F?
tF
nF
s i nrFMmrmaF
tt
2ie jjjj rmMM
2.刚体 (Rigid body)
M?1.单个质点 m与转轴刚性连接外 力矩
External torque
内 力矩
Internal torque
2mrM2
t mrrFM
O
z
jm?
jr
jFe
jFi
内 力
jFe
jFi
质量元受 外 力
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
8/36
αrmMM jj
j
j
j
j
2
ie
,0ij ji ij
j
M M M
) αrmM jj
j
j
2
e (
JM?
2
j
j
j rmJ
定义转动惯量 (Definiting moment of inertia)
O
z
jm?
jr
jFe
jFi
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
9/36
刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成正比,与刚体的 转动惯量 成反比,
转动定律 (The law of rotation)
JM
JM?
When the rigid body rotates about a fixed axis,the
angular acceleration of the rigid body is proportional
to the combined external torque that the rigid is
subject to,& it is inversely proportional to the
moment of inertia of the rigid body
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
10/36
2 dJ r m
三 转动惯量 (Moment of inertia)
物理意义,描述刚体转动惯性大小的物理量,
Physical meaning,The moment of inertia is a
physical quantity that describles the size of the
inertia in a rigid body rotation
2
jj
j
J m r
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
11/36
质量离散分布刚体的转动惯量
2 2 2
1 1 2 2,..jj
j
J m r m r m r
转动惯量的计算方法
(The calculating method of moment of inertia)
质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
j d
22
dm,质量元
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
12/36
对质量线分布的刚体,dm= λ dl
λ,质量线密度
对质量面分布的刚体,dm= σ dS
σ,质量面密度
对质量体分布的刚体,dm= ρdV
ρ,质量体密度
dm：质量元
质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
j d
22
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
13/36
lO’
O
解 设棒的线密度为 λ=m/l，取一距离转轴 OO′
为 r 处的质量元,dm= λ dl
22
0
1d
3
l
J r r m l
rd
/ 2 / 22 2 3 2
/ 2 0
11d 2 d
1 2 1 2
ll
l
J r r r r l m l
r
rrmrJ ddd 22
例 2 一 质量为 m,长为 l 的 均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,
2l2l? O’
O
如转轴过端点垂直于棒
rd
r
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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OR
R
4
0
3 π
2
dπ2 RrrJ
R?
rdr
例 3 一质量 m、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
解 设圆盘面密度为 σ，在盘上取半径为 r,宽为 dr 的圆环
2π Rm
rrm dπ2d圆环质量
2
2
1 mRJ?
rrmrJ dπ2dd 32
圆环对轴的转动惯量
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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22 d
jjJ m r r m
转动惯量 (moment of inertia)
3 / 4 2 3 2
/4
77d
4 8 4 8
l
l
J r r l m l
22d d m = d rJ r rd m = d r?
2l2l? O’
O
m
43l4l? O’
O
m
lO’
O
m
21
12J m l?
21
3J m l?
rd
r
27
48J m l?
lm /
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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决定因素
Depending on factors
1、刚体的 质量大小
2、刚体的 质量分布
3、刚体的 转轴位置,
2 dJ r m
The mass size of a rigid body
The distribution of mass of a rigid body
The position of the rotational axis of a rigid body
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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2mdJJ
CO
四 平行轴定理 (Theorem of parallel axis)
P
质量为 m的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为 JC,则对任一与该轴平行,相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C O
m
22
2
1 mRmRJ
P
R mO
21
2O
J m R?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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五 垂直轴定理 ( Theorem vertical axis )
O
z
y x
x y z
y x z
z x y
J J J
J J J
J J J
刚体对于 x,y,z的转动惯量分别为 Jx,Jy,Jz,则：
六 组合定理 ( Theorem of combination )
z iz
i
JJ
如果多个刚体,对于同一转轴的转动惯量分别为
1 2 3,,,z z z izJ J J J
则有
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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飞轮的质量为什么大都分布于轮的外缘？
竿子长些还是短些较安全
？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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22 d
jjJ m r r m
质量大小质量分布转轴位置
2mdJJ CO
,,x y z y x z z x yJ J J J J J J J J
z izJJ
转动惯量转动定律
MJ
M r F
力 矩
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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R
m
22
5CJ m R?
21
3CJ m R?
2 2 2
1
2 5 3()
5 2 2 0z
RJ m R m R m R
R
m
R
m2R
m
z
2
R
2 2 2
2
2 1 3 3( 2 )
5 2 2 0z
RJ m R m R m R
2 2 2
3
17 ()
3 2 1 2z
RJ m R m m R
2
1 2 3
593
60z z z zJ J J J m R
zJ?
2R
m
例：
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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牛顿
、
转动定律应用受力分析隔离物体牛转定律选择参考系分析物体受到的所有的力并画出示意图将标好受力示意图的每个物体从物体系中隔离出来对每个隔离体应用牛转定律 对每个物体列矢量方程选择坐标系再利用正交分解法进行标量化求解方程求解讨论
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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例 4质量为 mA的物体 A静止在光滑水平面上,和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为 R质量为 mC的圆柱形滑轮 C,并系在另一质量为 mB 的物体 B上,滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,
(3)若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为 Mf再求线加速度及绳的张力,
(2) 物体 B从静止落下距离 y时,其速率是多少? A
B
C
Am
Bm
Cm
问,(1) 两物体的线加速度为多少?水平和竖直两段绳索的张力各为多少？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
AP
Aa
TAF
NF
Am
Ba
TBF
BP
Bm
A,TA A N AA F P F m a
,B TB B BB m g F m a
:
0
A T A B T B
C C T A T B
C R F R F J
P F F F
BBaR
解 （ 1）隔离物体分别对物体 A,B 及滑轮作受力分析，运用牛顿第二定律,转动定律列方程,
AAaR
TBF?
TAF?
CP
CF
AR
BRJ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
AP
Aa
TAF
NF
Am
TA A AF m a?
B T B B Bm g F m a
B TB A TAR F R F J
AAaR
取坐标如图,列方程
BBaR
N A AF P m g
TB TBFF
T A T AFF
ABaa?
x
Ba
TBF
BP
Bm
yTBF?
TAF?
CP
CF
AR
BRJ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
方程简化得
T A AF m a?
B TB Bm g F m a
T B T AR F R F J
Ra?
2
B
A B C
mga
mmm
2
AB
TA
A B C
m m gF
mmm
( 2 )
2
A C B
TB
A B C
m m m gF
mmm
如 0Cm?
AB
T A T B
AB
m m gFF
mm
B
AB
mga
mm
21
2 CJ m R?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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(3)考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 Mf,转动定律结合（ 1）中其它方程可得
T B T A fRF RF M J
T A AF m a?
B TB Bm g F m a
Ra?
T B T A fRF RF M J
TBF
BP
Bm
AP
TAF
NF
Am
TBF?
TAF?
fM
(2) B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率
22
/2
B
A B C
m g yay
mmm
v
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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( / )
/2
A B f
TA
A B C
m m g M R
F
mmm
( 2 )
2
B A C f
TB
A B C
m m m g M R
F
mmm
/2
Bf
A B C
m g M R
a
mmm
A
B
C
Am
Bm
Cm
TAF
TBF
T B T A fRF RF M J
T A AF m a?
B TB Bm g F m a
Ra?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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例 5,一轻绳跨过一定滑轮,
滑轮视为圆盘,绳的两端分别悬有质量为 m1和 m2的物体 1和 2,
m1< m2,如图所示,设滑轮的质量为 m,半径为 r,所受的摩擦阻力矩忽略不计,绳与滑轮之间无相对滑动,试求物体的加速度和绳的张力,
解,滑轮具有一定的转动惯量,两边的张力不再相等 。
m
2m
1m
r
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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1m 2m
m
2TF
2TF?
1TF
1a 2a
2G
1G
TF
2r
1TF?
1r
解,受力分析如图所示,应用牛顿定律和转动定律,得,?
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 2 2
12
:
:
:
0
T
T
TT
T T T
m F G m a
m F G m a
m r F r F J
F F F G
1 1 2 2
2
,
1
2
a r a r
J m r
G
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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因 m2>m1,物体 1向上运动,物体 2
向下运动,滑轮以顺时针方向旋转,坐标如图所示,列方程
y
O
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 2 2
12
:
:
:
0
T
T
TT
T T T
m F G m a
m F G m a
m r F r F J
F F G F
1 1 2 2 1 2
2
12
,,,
1
,,
2
T T T TF F F F a a a
r r r a r J m r?
1m 2m
m
2TF
2TF?
1TF
1a 2a
2G
1G
TF
2r
1TF?
1r
G
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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从以上各式即可解得
21
21 /2
m m g
a
m m m
21
21
()
( / 2 )
m m ga
r m m m r
12
1
21
1
( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
21
2
21
1
( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
1m 2m
m
2TF
2TF?
1TF
1a 2a
2G
1G
rM
TF
2r
1TF?
1r
G
y
O
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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当不计滑轮质量,即令 m=0时,有
12
12
21
2
TT
mmF F g
mm
g
mm
mma
12
12
上题中的装置叫阿特伍德机,是一种可用来测量重力加速度 g的简单装置 。 因为在已知 m1,m2,r和
J的情况下,能通过实验测出物体 1和 2的加速度 a，
再通过加速度把 g算出来 。 在实验中可使两物体的 m1
和 m2相近,从而使它们的加速度 a和速度 v都较小,
这样就能较精确地测出 a来 。
21
21 /2
m m ga
m m m
12
1
21
1( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
21
2
21
1( 2 )
2
/2T
m m m g
F
m m m
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
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例 6一长为 l 质量为 m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动,试计算细杆转动到与竖直线成 θ角时的角加速度和角速度,
Jm g l?s i n
2
1
r P J
解,细杆受重力和铰链对细杆的约束力 FN
作用,由转动定律得
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
35/36
2
3
1 mlJ?
d
d
d
d
d
d
d
d
tt
得
s in
2
3
l
g?
由角加速度的定义
)co s1(3
l
g
Jm g l?s i n
2
1
ds i n
2
3d
l
g?
00
3d s i n d
2
g
l
第四章 刚体的转动物理学第五版
36/36
4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
