4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
1/34
力 的 累积 效应
The accumulative effects of forces
对时间积累
The time accumulation
effects of forces
对空间积累
The space accumulation
effects of forces
动量 (Momentum)冲量 (Impulse)
动量定理
(Theorem of Momentum)
动量守恒
(Momentum conservation)
动能 (Kinetic enery) 功 (Work)
动能定理
(Theorem of kinetic enery)
机械能守恒
(Mechanical energy conservation)
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
2/34
力矩 的 累积 效应
The accumulative effects of torques
对时间积累
The time accumulation
effects of torques
对空间积累
The space accumulation
effects of torques
角动量 (Angular momentum)
冲量矩 (Torque of mpulse)
角动量定理
(Theorem of angularMomentum)
角动量守恒
(Angular momentum conservation)
转动动能 (Rotationalinetic energy)
力矩的功 (Work of torque)
转动动能定理
(Theorem of kinetic energy)
机械能守恒
(Mechanical energy conservation)
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
3/34
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
(The angular momentum theorem & The law of
angular momentum conservation of a mass point)
1 质点的角动量 (The angular momentum of a mass point)
质量为 m的质点以速度 v
在空间运动，某时刻相对原点
O 的位矢为 r，质点相对于原点的角动量
v mrprL
v?
r?
L?
L?
r?
x y
z
o
m
s invrmL?大小方向,符合右手法则,
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
4/34
L?
r?
p?
m
o
质点以角速度 ω作半径为 r的圆周运动,相对圆心的角动量
JmrL 2 LJ
rvvr,mL
2 质点的角动量定理
(The angular momentum theorem of a mass point)
d?
d
L
t?
ptrtprprttL?
dddd)(dddd
dd
dd
Lpr r F
tt
d,,0
d
r p m p
tv v v
prL d
d
p F
t?
d
d
L M
t?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
5/34
t
L
M
d
d
作用于质点的合力对 参考点 O
的力矩,等于质点对该点 O 的 角动量 随时间的 变化率,
The torque with respect to reference point O of the
combined force on a mass point is equal to the
change rate with respect to time of the angular
momentum of the mass point with respect to point O
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
6/34
冲量矩 (Torque of impulse) tMtt d2
1?
12d
2
1
LLtM
t
t
tLM dd
质点的角动量定理,对同一参考点 O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量
The theorem of angular momentum of the mass point:
With respect to the same reference point O the torque
of impulse the mass point is subject to is equal to the
increment of the angular momentum of the mass point.
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
7/34
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 —— 质点的角动量守恒定理
3 质点的角动量守恒定律
0M? LC?
(The law of angular momentum conservation of a mass point)
The law of angular momentum conservation of
a mass point,With respect to the same reference
point O the combined torque the mass point is
subject to is equal to zero,the angular momentum
of the mass point is the constant vector.
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
8/34
例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O的水平面上 ),然后从 A点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,
重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理
c osm gRM?
t
Lm g R
d
dc o s
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
9/34
t
Lm g R
d
dc o s
tm gRL dc osd
2,dd mRmRLt v
dco sd 32 gRmLL?
由题设条件积分上式
0320 dc o sd gRmLLL
2123 )s in2(?gmRL?
21)s in2(
R
g?
2mRL
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
14/34
二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
2
()
i i i
i
ii
i
L m r
mr?
v
JL?
LJ
(The theorem of angular momentum &The law of conservation
of angular momentum of a rigid body rotating about fixed axis )
z
O ir?
im
iv
(The angular momentum of a rigid body rotating about fixed axis )
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
15/34
e x 2d d ( )()
ddi i i
JM M m r
tt
2 刚体定轴转动的角动量定理质点 mi受合力矩 Mi(包括 Miex,Miin )
in e x 2d d ( ) d ()
d d d
ii
i i i i i
LJM M M m r
t t t
0iniM
(The theorem of angular momentum of a rigid body rotating about fixed axis )
t
L
t
JM
d
d
d
)(d
刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴 角动量 随时间的 变化率,
When a rigid body rotates about a fixed axis,the
combined external torque on the rigid body is
equal to the change rate with respect to time of
the angular momentum about the same axis.
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
16/34
t
L
t
JM
d
d
d
)(d
2
1
21d
t
t
M t J J 2
1
2 2 1 1d
t
t
M t J J
非刚体 定轴转动
Non-rigid body rotating
about a fixed axis
刚体 定轴转动
Rigid body rotating
about a fixed axis
定轴转动的角动量定理,当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量．
The theorem of angular momentum rotating
about a fixed axis,When the rotational axis is
certain,the impulsive torque on the object is
equal to the increment of the angular momentum,
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
17/34
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?M L J C
角动量守恒定律,如果物体所受的合外力矩等于零,
或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变,
(The law of conservation of angular momentum
of a rigid body rotating about fixed axis )
The law conservation of angular momentum,If the
combined torque on an object is equal to zero,or the
object is not subject to any external torque,the
angular momentum of the object remains unchanged
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
18/34
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
内力矩不改变系统的角动量,
守恒条件,M=0
若 J不变,ω不变 ; 若 J变,ω也变,但 L=Jω不变,
讨论
在 冲击 等问题中,Min>>Mex,L≈常量
0?M L J C
有许多现象都可以用角动量守恒来说明,
花样滑冰
跳水运动员跳水
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
19/34
R
m
O
/2R
OJ?
22
11
12
23O
J m R m R
2
22
4
3()
2
mm
RR
2
1
4
3
m R m
2
2
1()
23
Rmm R
1m
O
/2R
2m
2 2 2
2 2 2
11( ) ( )
2 2 2 8O
RRJ m m m R
22
1 2 1
1 1 3()
2 2 4O O O
J J J m R m R
/2R
2m
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
20/34
如图,一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块 A
和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
解
Ra
ra
JrFRF
mamgF
maFmg
B
A
AA
B
AB
B
TT
T
T
r R
A B
Ba
Aa
TA'F TB'F
TAF TBF
mgmg
TF
G
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
21/34
如图,一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块 A
和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
22
()
()B
m R ra g R
m R r J
22
()
()A
m R ra g r
m R r J
2
22
()
()AT
J m R R rF m g
J m R r
2
22
()
()BT
J m r R rF m g
J m R r
解
r R
A B
Ba
Aa
TA'F TB'F
TAF TBF
mgmg
TF
G
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
22/34
自然界中存在多种守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
电荷守恒定律
A variety of conservation law exist in nature
The law of conservation of energy
The law of conservation of charge
The law of conservation of mass
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
23/34
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
A variety of conservation law exist in nature
The law of conservation of momentum
The law of conservation of angular momentum
The law of conservation of parity
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
24/34
被 中 香 炉惯性导航仪（陀螺）
角动量守恒定律在技术中的应用
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
25/34
例 3 质量很小长度为 l 的均匀细杆,可绕过其中心
O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率 v0垂直落在距点 O为 l/4
处,并背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为 m.问,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
22
0
1[ ( ) ]
4 1 2 4
llm m l mv
l
0
7
12 v
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
26/34
l
0
7
12 v
由角动量定理
t
J
t
J
t
LM
d
d
d
)(d
d
d
t
rmrmrml
t
mgr
d
d2)
12
1(
d
dc os 22
t
)
7
12
co s (
24
7
co s
2d
d 0
0
t
l
t
g
t
r v
v
lg
此即小虫需具有的爬行速率．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
27/34
例 4一杂技演员 M由距水平跷板高为 h处自由下落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N弹了起来,设跷板是匀质的,长度为 l,质量为 m’,跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多高?
l l/2
C A
B
M
N
h
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
21
M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M,N
具有相同的线速度
2
lu?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
28/34
把 M,N和跷板作为一个系统,角动量守恒
21
M )(2 gh?v
2
lu?
22M 21121222 mllmlmuJlmv
lmm
ghm
mllm
lm
)6(
)2(6
212
2 21
22
M
v?
解得演员 N 以 u 起跳,达到的高度 h
mm
m
g
l
g
uh 2222 )
6
3(
82
l l/2
C A
B
M
N
h
第四章 刚体的转动物理学第五版
29/34
4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
1/34
力 的 累积 效应
The accumulative effects of forces
对时间积累
The time accumulation
effects of forces
对空间积累
The space accumulation
effects of forces
动量 (Momentum)冲量 (Impulse)
动量定理
(Theorem of Momentum)
动量守恒
(Momentum conservation)
动能 (Kinetic enery) 功 (Work)
动能定理
(Theorem of kinetic enery)
机械能守恒
(Mechanical energy conservation)
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
2/34
力矩 的 累积 效应
The accumulative effects of torques
对时间积累
The time accumulation
effects of torques
对空间积累
The space accumulation
effects of torques
角动量 (Angular momentum)
冲量矩 (Torque of mpulse)
角动量定理
(Theorem of angularMomentum)
角动量守恒
(Angular momentum conservation)
转动动能 (Rotationalinetic energy)
力矩的功 (Work of torque)
转动动能定理
(Theorem of kinetic energy)
机械能守恒
(Mechanical energy conservation)
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
3/34
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
(The angular momentum theorem & The law of
angular momentum conservation of a mass point)
1 质点的角动量 (The angular momentum of a mass point)
质量为 m的质点以速度 v
在空间运动，某时刻相对原点
O 的位矢为 r，质点相对于原点的角动量
v mrprL
v?
r?
L?
L?
r?
x y
z
o
m
s invrmL?大小方向,符合右手法则,
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
4/34
L?
r?
p?
m
o
质点以角速度 ω作半径为 r的圆周运动,相对圆心的角动量
JmrL 2 LJ
rvvr,mL
2 质点的角动量定理
(The angular momentum theorem of a mass point)
d?
d
L
t?
ptrtprprttL?
dddd)(dddd
dd
dd
Lpr r F
tt
d,,0
d
r p m p
tv v v
prL d
d
p F
t?
d
d
L M
t?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
5/34
t
L
M
d
d
作用于质点的合力对 参考点 O
的力矩,等于质点对该点 O 的 角动量 随时间的 变化率,
The torque with respect to reference point O of the
combined force on a mass point is equal to the
change rate with respect to time of the angular
momentum of the mass point with respect to point O
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
6/34
冲量矩 (Torque of impulse) tMtt d2
1?
12d
2
1
LLtM
t
t
tLM dd
质点的角动量定理,对同一参考点 O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量
The theorem of angular momentum of the mass point:
With respect to the same reference point O the torque
of impulse the mass point is subject to is equal to the
increment of the angular momentum of the mass point.
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
7/34
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 —— 质点的角动量守恒定理
3 质点的角动量守恒定律
0M? LC?
(The law of angular momentum conservation of a mass point)
The law of angular momentum conservation of
a mass point,With respect to the same reference
point O the combined torque the mass point is
subject to is equal to zero,the angular momentum
of the mass point is the constant vector.
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
8/34
例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O的水平面上 ),然后从 A点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,
重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理
c osm gRM?
t
Lm g R
d
dc o s
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
9/34
t
Lm g R
d
dc o s
tm gRL dc osd
2,dd mRmRLt v
dco sd 32 gRmLL?
由题设条件积分上式
0320 dc o sd gRmLLL
2123 )s in2(?gmRL?
21)s in2(
R
g?
2mRL
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
14/34
二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
2
()
i i i
i
ii
i
L m r
mr?
v
JL?
LJ
(The theorem of angular momentum &The law of conservation
of angular momentum of a rigid body rotating about fixed axis )
z
O ir?
im
iv
(The angular momentum of a rigid body rotating about fixed axis )
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
15/34
e x 2d d ( )()
ddi i i
JM M m r
tt
2 刚体定轴转动的角动量定理质点 mi受合力矩 Mi(包括 Miex,Miin )
in e x 2d d ( ) d ()
d d d
ii
i i i i i
LJM M M m r
t t t
0iniM
(The theorem of angular momentum of a rigid body rotating about fixed axis )
t
L
t
JM
d
d
d
)(d
刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴 角动量 随时间的 变化率,
When a rigid body rotates about a fixed axis,the
combined external torque on the rigid body is
equal to the change rate with respect to time of
the angular momentum about the same axis.
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
16/34
t
L
t
JM
d
d
d
)(d
2
1
21d
t
t
M t J J 2
1
2 2 1 1d
t
t
M t J J
非刚体 定轴转动
Non-rigid body rotating
about a fixed axis
刚体 定轴转动
Rigid body rotating
about a fixed axis
定轴转动的角动量定理,当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量．
The theorem of angular momentum rotating
about a fixed axis,When the rotational axis is
certain,the impulsive torque on the object is
equal to the increment of the angular momentum,
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
17/34
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?M L J C
角动量守恒定律,如果物体所受的合外力矩等于零,
或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变,
(The law of conservation of angular momentum
of a rigid body rotating about fixed axis )
The law conservation of angular momentum,If the
combined torque on an object is equal to zero,or the
object is not subject to any external torque,the
angular momentum of the object remains unchanged
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
18/34
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
内力矩不改变系统的角动量,
守恒条件,M=0
若 J不变,ω不变 ; 若 J变,ω也变,但 L=Jω不变,
讨论
在 冲击 等问题中,Min>>Mex,L≈常量
0?M L J C
有许多现象都可以用角动量守恒来说明,
花样滑冰
跳水运动员跳水
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
19/34
R
m
O
/2R
OJ?
22
11
12
23O
J m R m R
2
22
4
3()
2
mm
RR
2
1
4
3
m R m
2
2
1()
23
Rmm R
1m
O
/2R
2m
2 2 2
2 2 2
11( ) ( )
2 2 2 8O
RRJ m m m R
22
1 2 1
1 1 3()
2 2 4O O O
J J J m R m R
/2R
2m
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
20/34
如图,一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块 A
和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
解
Ra
ra
JrFRF
mamgF
maFmg
B
A
AA
B
AB
B
TT
T
T
r R
A B
Ba
Aa
TA'F TB'F
TAF TBF
mgmg
TF
G
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
21/34
如图,一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块 A
和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
22
()
()B
m R ra g R
m R r J
22
()
()A
m R ra g r
m R r J
2
22
()
()AT
J m R R rF m g
J m R r
2
22
()
()BT
J m r R rF m g
J m R r
解
r R
A B
Ba
Aa
TA'F TB'F
TAF TBF
mgmg
TF
G
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
22/34
自然界中存在多种守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
电荷守恒定律
A variety of conservation law exist in nature
The law of conservation of energy
The law of conservation of charge
The law of conservation of mass
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
23/34
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
A variety of conservation law exist in nature
The law of conservation of momentum
The law of conservation of angular momentum
The law of conservation of parity
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
24/34
被 中 香 炉惯性导航仪（陀螺）
角动量守恒定律在技术中的应用
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
25/34
例 3 质量很小长度为 l 的均匀细杆,可绕过其中心
O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率 v0垂直落在距点 O为 l/4
处,并背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为 m.问,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
22
0
1[ ( ) ]
4 1 2 4
llm m l mv
l
0
7
12 v
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
26/34
l
0
7
12 v
由角动量定理
t
J
t
J
t
LM
d
d
d
)(d
d
d
t
rmrmrml
t
mgr
d
d2)
12
1(
d
dc os 22
t
)
7
12
co s (
24
7
co s
2d
d 0
0
t
l
t
g
t
r v
v
lg
此即小虫需具有的爬行速率．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
27/34
例 4一杂技演员 M由距水平跷板高为 h处自由下落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N弹了起来,设跷板是匀质的,长度为 l,质量为 m’,跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多高?
l l/2
C A
B
M
N
h
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
21
M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M,N
具有相同的线速度
2
lu?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
28/34
把 M,N和跷板作为一个系统,角动量守恒
21
M )(2 gh?v
2
lu?
22M 21121222 mllmlmuJlmv
lmm
ghm
mllm
lm
)6(
)2(6
212
2 21
22
M
v?
解得演员 N 以 u 起跳,达到的高度 h
mm
m
g
l
g
uh 2222 )
6
3(
82
l l/2
C A
B
M
N
h
第四章 刚体的转动物理学第五版
29/34
4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
