4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
1/12
力矩 的 累积 效应
The accumulative effects of torques
对时间积累
The time accumulation
effects of torques
角动量 (Angular momentum)
冲量矩 (Torque of mpulse)
角动量定理
(Theorem of angularMomentum)
角动量守恒
(Angular momentum conservation)
对空间积累
The space accumulation
effects of torques
转动动能 (Rotationalinetic energy)
力矩的功 (Work of torque)
转动动能定理
(Theorem of kinetic energy)
机械能守恒
(Mechanical energy conservation)
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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ttd d d dW F r F s F r
dd MW?
21 dMW
一 力矩作功 (Work done by a torque)
M
t
M
t
WP
d
d
d
d
二 力矩的 功率 (The power of a torque)
o r?
v? F?
x
tF
r?d
d
dW F r
PF v
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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三 转动动能 (The kinetic energy of rotation)
2 2 2 21 1 1()
2 2 2k i i i iii
E m m r J v
四 刚体绕定轴转动的动能定理
(The theorem of kinetic energy of
a rigid body rotating about a fixed axis)
2 1 2
1 1 1
dd d d
d
W M J J
t
2
1
2
2 2
1
2
1d2
1
JJMW
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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2
1
2
2 2
1
2
1d2
1
JJMW
刚体绕定轴转动的动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量
The theorem of kinetic energy of a rigid body
rotating abouta fixed axis,The work done on a
rigid body rotating about a fixed axis by the
combined external torque is equal to the increment
of the rotational kinetic energy of the rigid body.
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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讨论以地球为参考系
v?
o
'o
m
p?
T?
R
圆锥摆子弹击入杆
o
v?
以子弹和沙袋为系统动量守恒；
角动量守恒；
机械能 不 守恒,
v?
o子弹击入沙袋细绳质量不计以子弹和杆为系统动量 不 守恒；
角动量守恒；
机械能 不 守恒,
圆锥摆系动量 不 守恒；
角动量守恒；
机械能守恒,
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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oR
h
m'
m
m
00
TT
22
0
dd
11
22
F R R F
JJ
例 1一质量为 m’半径为 R的圆盘,可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动,圆盘上绕有轻绳,一端挂质量为 m 的物体,问物体在静止下落高度 h 时,其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计,
解,拉力 FT 对圆盘做功,由刚体绕定轴转动的动能定理可得,拉力 FT的力矩所作的功为 o
TF
NF
'P?
TF?
P?
m
0 0 0:,:,tt
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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2
0
2
TT 2
1
2
1dd
00
JJFRRF
物体由静止开始下落
0,0 00v
解得
gh
m
2
)2'( m
m
2mm
m g h
2v
并考虑到圆盘的转动时
2
0
2
T 2
1
2
1d
0
vv mmFRmg h
由质点动能定理
TT FF
o
TF
NF
'P?
TF?
P?
m
21,
2R J m R?
v
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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例 2一长为 l,质量为 m’的竿可绕支点 O自由转动,一质量为 m,
速率为 v 的子弹射入竿内距支点为
a处，使竿的偏转角为 30o,问子弹的初速率为多少?
解 把子弹和竿看作一个系统,子弹射入竿的过程系统角动量守恒
)31( 22 malmamv
o
a
'm
v?
30
22 3'
3
malm
am
v?
射入竿后,以子弹、细杆和地球为系统,机械能守恒,
2 2 211 ( ) ( 1 c o s 3 0 ) ( 1 c o s 3 0 )
2 3 2
lm l m a m g a m g
mamalmmalmg 6)3)(2)(32( 22v得
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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求,(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω 时需要多长时间； (3)
在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？
例 3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 ω作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为 R，质量为 m，它与转盘间的摩擦系数为 μ，
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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lrRmgf ddπd 2
解 (1)如图取面积元 ds = drdl,
该面元所受的摩擦力为此力对点 O的力矩为
lrrRmgfr ddπd 2
R
r dr
dlf?d
o
于是，在宽为 dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为
2
22
2d d ( 2 π )d
π
m g m gM r r r r r
RR
R mgrr
R
mgM
3
2d2 R
0
2
2
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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可得 0 到 t 的时间内,转过的角度为
(2) 转动定律
R
g
J
M
3
4
g
Rt
4
3?
g
R
8
3 2
（作匀加速转动）
2202
驱动力矩做的功为
22
4
1 mRMW
得t
0
MJ 21
2
J m R?
(3)
第四章 刚体的转动物理学第五版
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4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
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力矩 的 累积 效应
The accumulative effects of torques
对时间积累
The time accumulation
effects of torques
角动量 (Angular momentum)
冲量矩 (Torque of mpulse)
角动量定理
(Theorem of angularMomentum)
角动量守恒
(Angular momentum conservation)
对空间积累
The space accumulation
effects of torques
转动动能 (Rotationalinetic energy)
力矩的功 (Work of torque)
转动动能定理
(Theorem of kinetic energy)
机械能守恒
(Mechanical energy conservation)
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
2/12
ttd d d dW F r F s F r
dd MW?
21 dMW
一 力矩作功 (Work done by a torque)
M
t
M
t
WP
d
d
d
d
二 力矩的 功率 (The power of a torque)
o r?
v? F?
x
tF
r?d
d
dW F r
PF v
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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三 转动动能 (The kinetic energy of rotation)
2 2 2 21 1 1()
2 2 2k i i i iii
E m m r J v
四 刚体绕定轴转动的动能定理
(The theorem of kinetic energy of
a rigid body rotating about a fixed axis)
2 1 2
1 1 1
dd d d
d
W M J J
t
2
1
2
2 2
1
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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1
2
2 2
1
2
1d2
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JJMW
刚体绕定轴转动的动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量
The theorem of kinetic energy of a rigid body
rotating abouta fixed axis,The work done on a
rigid body rotating about a fixed axis by the
combined external torque is equal to the increment
of the rotational kinetic energy of the rigid body.
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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讨论以地球为参考系
v?
o
'o
m
p?
T?
R
圆锥摆子弹击入杆
o
v?
以子弹和沙袋为系统动量守恒；
角动量守恒；
机械能 不 守恒,
v?
o子弹击入沙袋细绳质量不计以子弹和杆为系统动量 不 守恒；
角动量守恒；
机械能 不 守恒,
圆锥摆系动量 不 守恒；
角动量守恒；
机械能守恒,
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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oR
h
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m
m
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F R R F
JJ
例 1一质量为 m’半径为 R的圆盘,可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动,圆盘上绕有轻绳,一端挂质量为 m 的物体,问物体在静止下落高度 h 时,其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计,
解,拉力 FT 对圆盘做功,由刚体绕定轴转动的动能定理可得,拉力 FT的力矩所作的功为 o
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P?
m
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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0
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TT 2
1
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物体由静止开始下落
0,0 00v
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并考虑到圆盘的转动时
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由质点动能定理
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2R J m R?
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
8/12
例 2一长为 l,质量为 m’的竿可绕支点 O自由转动,一质量为 m,
速率为 v 的子弹射入竿内距支点为
a处，使竿的偏转角为 30o,问子弹的初速率为多少?
解 把子弹和竿看作一个系统,子弹射入竿的过程系统角动量守恒
)31( 22 malmamv
o
a
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v?
30
22 3'
3
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射入竿后,以子弹、细杆和地球为系统,机械能守恒,
2 2 211 ( ) ( 1 c o s 3 0 ) ( 1 c o s 3 0 )
2 3 2
lm l m a m g a m g
mamalmmalmg 6)3)(2)(32( 22v得
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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求,(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω 时需要多长时间； (3)
在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？
例 3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 ω作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为 R，质量为 m，它与转盘间的摩擦系数为 μ，
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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lrRmgf ddπd 2
解 (1)如图取面积元 ds = drdl,
该面元所受的摩擦力为此力对点 O的力矩为
lrrRmgfr ddπd 2
R
r dr
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o
于是，在宽为 dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为
2
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2d d ( 2 π )d
π
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R
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2d2 R
0
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理第四章 刚体的转动物理学第五版
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可得 0 到 t 的时间内,转过的角度为
(2) 转动定律
R
g
J
M
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3?
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（作匀加速转动）
2202
驱动力矩做的功为
22
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1 mRMW
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(3)
第四章 刚体的转动物理学第五版
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4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
