第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
1/45
一 电场线 (Electric field lines)
1)曲线上每一点 切线 方向为该点电场 方向
d
d
NEE
S
规定 (The regulations)
E?
S
2)通过垂直于电场方向单位面积电场 线数 为该点电场强度的 大小
The tangent at any point on the
curve is in the direction of the
electric field vector at that point
The electric field lines per unit area through
perpendicular to the direction of the electric
field is equal to the size of the electric field
intensity at that point
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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特 性 (The features)
1)始于 正 电荷,止于 负 电荷 (或来自 无穷远,去向 无穷远 ).
2)电场线在没有电荷的地方 不相交,
3)静电场电场线 永不闭合,
Away from positive charges,toward negative charge (or
away from infinite distance,toward infinite distance),
The electric field lines never intersect in the space
without charges
The electrostatic field lines never closed
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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点电荷的电场线
(Electric field lines of point charges)
正点电荷 positive
+
负点电荷 negative
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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一对等量异号点电荷的电场线
The electric field lines of a pair of charges of equal magnitude & oppsitive sign
+
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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一对等量正点电荷的电场线
The electric field lines of a pair of charges of equal magnitude & positive sign
++
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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一对不等量异号点电荷的电场线
The electric field lines of a pair of charges of non-equal magnitude & oppsitive sign
q?q2
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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带电平行板电容器的电场线
The electric field line of charged parallel-plate capacitor
+ + + + + + + + + + + +
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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二 电场强度通量 (电通量 )(The electric flux)
通过电场中某一个 面 的电场线数叫做通过这个面的电场强度 通量,简称 电通量 。
The numbers of electric field lines passed through some
surface in electric field is called the electric field intensity
flux through that surface,The electric flux
E?S
Uniform electric field,
E is vertical to plane
均匀 电场,E 垂直 平面
ESΦ?e
d
d
NEE
S
单位 (Unit),Wb
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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co se ESΦ?
均匀电场,E与平面夹角 θ
SEΦe
Uniform electric field,
E with plane included angleθ
E?
S
ne
非匀强 电场,曲面 S
Non-uniform electric
field,surface S
E? S?d
E
ne
ndd eSS?
SEΦ dd e
s SEΦΦ dc osd ee?
s SEΦ de
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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E?
2 e 2
π,d 0
2
Φ1 e 1π,d 0
2
Φ
非匀强 电场,闭合 曲面 S
e d c o s dSSΦ E S E S
SEΦ dd e
Non-uniform electric
field,closed surface S
1dS
2dS
2?
2E
1?
1E
闭合曲面 法线,
由内向外第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
11/45
例 如图所示,有一个三棱柱体放置在电场强度为 E
的匀强电场中,求通过此三棱柱体的电场强度通量,
x
y
z
E?
o
P
Q
R
N
M
ne
ne
ne
解
e ee
eee
Φ Φ Φ
Φ Φ Φ
后前下左 右
eee d 0Φ Φ Φ ESs下后前左左左左 ESESs SEΦ πc osd e
左右右右 ESESs SEΦc osd e
0 eeeeee 下右左后前 ΦΦΦΦΦΦ
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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高斯 (C.F.Gauss 1777?1855）
三 高斯定理 (Gauss theorem)
德国 数学家、天文学家和 物理学家，有,数学王子,美称，他与韦伯制成了第一台有线电报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对单位制,
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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e
100
11
d ( ) ( )
n
i V
iS
Φ E S q S d V S?
内 内在真空中,通过任一 闭合 曲面的电场强度通量,等于该曲面所 包围 的所有电荷的代数和除以 ε0,与 曲面外电荷 无关,
闭合曲面称为 高斯面三 高斯定理 (Gauss’s theorem)
In a vacuum the total electric flux through a closed
surface is equal to the total ( net ) electric charge
inside the surface,divided by ε0,it has nothing to do
with the charges outside that surface
The closed surface is called Gaussian surface
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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+
S?d
点电荷位于球面中心
3
04 π
qEr
r?
SS SrqSEΦ dπ 4d 2
0
e?
0
e?
qΦ?
r
高斯定理的导出 高斯定理库仑定律电场强度叠加原理
e 2
0
d4 π
S
qΦ S
r
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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点电荷在任意封闭曲面内
co sd
π 4
d 2
0
e Sr
qΦ?
2
0
d
π 4 r
Sq ＇
00
e d π4
qΩqΦ
Ω
r
S dd
2?
＇
其中立体角
d4Ω
+
r
1S
r
2s
S?d＇S
d
S?d
r
＇S?d
0
e?
qΦ?
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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点电荷在封闭曲面之外
q
1 1 1
0
dd
d0
4
Φ ES
q
Ω
2 2 2
0
dd
d0
4
Φ ES
q
Ω
12
12
ddd c o s c o sSSΩ
rr0dd
21 ΦΦ
0d
S
SE
2dS
2E
2r
2?
1dS
1E
1r 1?
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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由多个点电荷产生的电场
21 EEE
S
i
iS SESEΦ
dd
e
（外）内） i S
i
i S
i SESE
dd
(
e
(( 0
1d
iiS
ii
Φ E S q
内 ) 内 )
(
d0i
Si
ES
外 )
1q
iq
2q
s
S?d
E?
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
18/45
e
100
11d ( ) ( )n
iSV
i
Φ E S q S dV S?
内 内
1） 高斯面上的电场强度为 所有 内外电荷的总电场强度,
2） 仅高斯面 内 的电荷对高斯面的电场强度 通量 有贡献,
4） 高斯面为 封闭曲面,
5） 静电场是 有源场,
3） 穿 出 高斯面的电场强度通量为 正,穿 进 为 负,
总 结第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
19/45
讨论将 q2从 A移到 B点 P电场强度是否变化？ 穿过高斯面
S的 Φ e 是否变化？ s
1q
P *2q
A
2q B
0
1e
1
d
qSEΦ
S
e3 0Φ?e2
0
qΦ
在点电荷 +q和 -q的静电场中，做如下的四个闭合面
S1,S2,S3,S4,求 通过各闭合面的电通量,
1S 2S3S
q? q?
4Se4 0Φ?
eΦ E不 变,变 化 。
Фe=0,能否说明高斯面内一定无电荷？ 不一定！
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
20/45
四高斯定理的应用 (Applications of Gauss’s theorem)
(3),其步骤为：
根据对称性选择 合适 的高斯面；
应用 高斯定理 计算,
对称性 分析
(1),高斯定理中的场强 E是带电体系中所有电荷产生的总场强，而 ∑qi只是高斯面内的电荷的代数和。
(2),高斯定理适用于真空中 任何静电场,但是对于具有特殊对称性 的静电场可以 方便 地求出场强。
球对称 (Spherical symmetry)
轴对称 (Axial symmetry)
面对称 (Plane symmetry)
对称性
(The symmetry)
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
21/45
例 1 均匀带电球面的电场强度一半径为 R,均匀带电 q的薄球壳,
求球壳内外任意点的电场强度,
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
O
R q
+
0iq 0?E?
2
04 π
qE
r?
2
04 π
q
R?
rRo
E
解
( 1 ) 0 rR，
( 2 ),rR?
对称性分析,球对称
2
1
d4
S
E S r E
2
2
d4
S
E S r E
iqq
r
1Sr
2s
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
22/45
例 2 均匀带电球体的电场强度解
( 1 ) 0 rR，
对称性分析,球对称一半径为 R,均匀带电 q的球体,
求球体内外任意点的电场强度,
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R q+
++ +
+
r
1S
1
2d4
S E S r E
1 0
d i
S
qES
3
04
qrE
R
3
33
3
3
44
433
3
i
qr
q r r q
RR
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
23/45
例 2 均匀带电球体的电场强度一半径为 R,均匀带电 q的球体,
求球体内外任意点的电场强度,
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R q+
++ +
+
2
2
d4
S
E S r E
2
04 π
qE
r
r
2s
2
04 π
q
R?
rRo
E
( 2 ),rR?
3
0
2
0
,0
4
1
,
4
qr
rR
R
E
q
Rr
r
iqq
解 对称性分析,球对称第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
24/45
0q
F
E
3
0
1
4 π
qEr
ε r?
i i
EE 3
0
1
4 πq
dqEr
r
3
0
1
4 π
i
i
i i
qEr
r
d
d
V
q ds
dl
电场强度
(Electric field intensity)
e
100
11d ( ) ( )n
iSV
i
Φ E S q S dV S?
内 内第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
25/45
1),定性分析带电体的场强分布，特别是 对称性 分析,
球对称、轴对称、面对称 。
2),根据不同的对称性选取不同的 高斯面 (球、柱、
长方体面 )。 选取时注意,场强垂直于或平行于高斯面的组成部分,将所求场强包含在电通量不为零的高斯面内,
3 ),c o se S S S SE d S E d S E d S E d S利 用,
00
114 ),( )
ei Vq d V S利 用,内
0
1
5 ),,V
S
dV
E
dS
高 斯 定 理
6),讨论,E--r曲线。
高斯定理的应用 (Application of Gauss theorem)
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
26/45
球对称
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
O
R q
+
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R q+
++ +
+
2
04 π
q
R?
rRo
E
3
0
2
0
,0
4
1
,
4
qr
rR
R
E
q
Rr
r
2
04 π
q
R?
rRo
E
2
0
0,0
1
,
4
rR
E q
Rr
r
球体 球面第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
27/45
0
3
3
0
,0,
3
,,
3
r r R
E
Rr
rR
r
R
O
O?
/2R0
3
3
0
,0 / 2,
3
,/ 2,
24
r r R
E
Rr
rR
r
O?
/2R
03
O O OEr
03
O O OEr
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
28/45
坐标系 (Coordinate system )
直角坐标系
z
x
yo
P(x,y,z)
z
y
x
z
ρx y
o
z
P (ρ,?,z )
球坐 标系 柱坐标系
z
o?r
x
y
P(r,?,? )
2 2 2 2
a r c t a n /
a r c c os /
r x y z
yx
zr
c os
s i n
x
y
zz
s i n c os
s i n s i n
c os
xr
yr
zr
2 2 2
a r c t a n /
xy
yx
zz
坐 标系间相互变换第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
29/45
+
+
+
+
+
o
x
y
z
例 3 无限长均匀带电直线的电场强度
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
选取闭合的柱形高斯面无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为 λ，求距直线为 r处的电场强度,
对称性分析,轴对称解
S SE d
柱面）(
d
s
SE
E?
h
+
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
30/45
00
i
q h?
r
E
0π 2?
0
π 2
h
r h E?
(
d d 2 π
Ss
E S E S r h E
柱 面 ）
+
+
+
+
+
o
x
y
z
h
E?
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
31/45
例 4 无限长均匀带电圆柱体的电场强度
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
选取闭合的柱形高斯面无限长均匀带电圆柱体，半径为 R，电荷体密度为 ρ,求距直线为 r处的电场强度,
对称性分析,轴对称解
S SE d
柱面）(
d
s
SE
0 rR
o
x
y
z
R?
E?
h
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
32/45
2
00
i
q rh
02
Er
2
0
2 π
rh
r h E
(
d d 2 π
Ss
E S E S r h E
柱 面 ）
o
x
y
z
R?
E?
h
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
33/45
例 4 无限长均匀带电圆柱体的电场强度
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
选取闭合的柱形高斯面无限长均匀带电圆柱体，半径为 R，电荷体密度为 ρ,求距直线为 r处的电场强度,
对称性分析,轴对称解
S SE d
柱面）(
d
s
SE
o
x
y
z
R?
Rr?
h
r
E?
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
34/45
2
00
i
q Rh
2
0
1
2
R
E
r
2
0
2 π
Rh
r h E
(
d d 2 π
Ss
E S E S r h E
柱 面 ）
o
x
y
z
R?
h
r
E?
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
35/45
0
2
0
,0
2
1
,
2
r r R
E
R
Rr
r
o
x
y
z
R?
02
R?
rRo
E
例 4 无限长均匀带电圆柱体的电场强度圆柱体第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
36/45
0
0,0
1
,
rR
E R
Rr
r
o
x
y
z
R?
0
rRo
E
例 5 无限长均匀带电圆柱面的电场强度圆柱面第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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例 6 无限长带电圆柱体，半径为 R，电荷体密度为 ρ=kr(0≤r ≤ R )，距直线为 r处的电场强度,
0 rR
d2 πe
S
E S r h E
00
1i
V
q
dV?
23
00
0 0 0 0
1 1 222
3
rriq kh
r h d r k r h d r r
2
03
kEr
Rr? 23
0
0 0 0
122
3
Riq kh
k r h d r R
3
0
1
3
kRE
r?
dr
h
r
2d q d V h r d r
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
38/45
2
0
3
0
,0
3
1
,
3
k
r r R
E
kR
Rr
r
o
x
y
z
R
( 0 )k r r R
例 6无限长带电圆柱体
2
03
kR
rRo
E 圆柱体第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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例 7 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 σ,求距平面为 r处的电场强度,
对称性分析,面对称解
E? E
＇S
E?
E?
＇S?
＇S?
ne
ne
ne
E垂直平面选取闭合的柱形高斯面
02
E?
iqS ＇
底面积
d 2
S
E S E S ＇
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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02?
E
E?
E? E?
E?
E
O
)0(
x
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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0
0?
0?
0?
00
讨 论
无限大带电平面的电场叠加问题第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
42/45
1),定性分析带电体的场强分布，特别是 对称性 分析,
球对称、轴对称、面对称 。
2),根据不同的对称性选取不同的 高斯面 (球、柱、
长方体面 )。 选取时注意,场强垂直于或平行于高斯面的组成部分,将所求场强包含在电通量不为零的高斯面内,
3 ),c o se S S S SE d S E d S E d S E d S利 用,
00
114 ),( )
ei Vq d V S利 用,内
0
1
5 ),,V
S
dV
E
dS
高 斯 定 理
6),讨论,E--r曲线。
高斯定理的应用 (Application of Gauss theorem)
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
43/45
对称性 模 型 电场强度分布 E— r曲线
32
00
1,( 0 ),,( )
44
q r qr R R r
Rr
2
0
10,( 0 ),,( )
4
qr R R r
r
球对称柱对称面对称均匀带电球壳 (Q,R)
均匀带电球体 (Q,R)
均匀带电柱面 (λ,R)
均匀带电柱体 (ρ,R)
均匀带电平面 (σ )
0
0,( 0 ),,( )2 πr R R rr
0
( 0 ),,( )22 π
o
r r R R r
r
02
rRo
E
rRo
E
rRo
E
rRo
E
ro
E
(λ=ρπR2)
(λ=σ 2πR)
第五章 静电场物理学第五版
45/45
本章目录
5-3 电场强度
5-4 电场强度通量 高斯定理
*5-5 密立根测定电子电荷的实验选择进入下一节：
5-8 电场强度与电势梯度
5-6 静电场的环路定理 电势能
5-7 电势
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
1/45
一 电场线 (Electric field lines)
1)曲线上每一点 切线 方向为该点电场 方向
d
d
NEE
S
规定 (The regulations)
E?
S
2)通过垂直于电场方向单位面积电场 线数 为该点电场强度的 大小
The tangent at any point on the
curve is in the direction of the
electric field vector at that point
The electric field lines per unit area through
perpendicular to the direction of the electric
field is equal to the size of the electric field
intensity at that point
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
2/45
特 性 (The features)
1)始于 正 电荷,止于 负 电荷 (或来自 无穷远,去向 无穷远 ).
2)电场线在没有电荷的地方 不相交,
3)静电场电场线 永不闭合,
Away from positive charges,toward negative charge (or
away from infinite distance,toward infinite distance),
The electric field lines never intersect in the space
without charges
The electrostatic field lines never closed
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
3/45
点电荷的电场线
(Electric field lines of point charges)
正点电荷 positive
+
负点电荷 negative
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
4/45
一对等量异号点电荷的电场线
The electric field lines of a pair of charges of equal magnitude & oppsitive sign
+
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
5/45
一对等量正点电荷的电场线
The electric field lines of a pair of charges of equal magnitude & positive sign
++
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
6/45
一对不等量异号点电荷的电场线
The electric field lines of a pair of charges of non-equal magnitude & oppsitive sign
q?q2
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
7/45
带电平行板电容器的电场线
The electric field line of charged parallel-plate capacitor
+ + + + + + + + + + + +
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
8/45
二 电场强度通量 (电通量 )(The electric flux)
通过电场中某一个 面 的电场线数叫做通过这个面的电场强度 通量,简称 电通量 。
The numbers of electric field lines passed through some
surface in electric field is called the electric field intensity
flux through that surface,The electric flux
E?S
Uniform electric field,
E is vertical to plane
均匀 电场,E 垂直 平面
ESΦ?e
d
d
NEE
S
单位 (Unit),Wb
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
9/45
co se ESΦ?
均匀电场,E与平面夹角 θ
SEΦe
Uniform electric field,
E with plane included angleθ
E?
S
ne
非匀强 电场,曲面 S
Non-uniform electric
field,surface S
E? S?d
E
ne
ndd eSS?
SEΦ dd e
s SEΦΦ dc osd ee?
s SEΦ de
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
10/45
E?
2 e 2
π,d 0
2
Φ1 e 1π,d 0
2
Φ
非匀强 电场,闭合 曲面 S
e d c o s dSSΦ E S E S
SEΦ dd e
Non-uniform electric
field,closed surface S
1dS
2dS
2?
2E
1?
1E
闭合曲面 法线,
由内向外第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
11/45
例 如图所示,有一个三棱柱体放置在电场强度为 E
的匀强电场中,求通过此三棱柱体的电场强度通量,
x
y
z
E?
o
P
Q
R
N
M
ne
ne
ne
解
e ee
eee
Φ Φ Φ
Φ Φ Φ
后前下左 右
eee d 0Φ Φ Φ ESs下后前左左左左 ESESs SEΦ πc osd e
左右右右 ESESs SEΦc osd e
0 eeeeee 下右左后前 ΦΦΦΦΦΦ
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
12/45
高斯 (C.F.Gauss 1777?1855）
三 高斯定理 (Gauss theorem)
德国 数学家、天文学家和 物理学家，有,数学王子,美称，他与韦伯制成了第一台有线电报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对单位制,
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
13/45
e
100
11
d ( ) ( )
n
i V
iS
Φ E S q S d V S?
内 内在真空中,通过任一 闭合 曲面的电场强度通量,等于该曲面所 包围 的所有电荷的代数和除以 ε0,与 曲面外电荷 无关,
闭合曲面称为 高斯面三 高斯定理 (Gauss’s theorem)
In a vacuum the total electric flux through a closed
surface is equal to the total ( net ) electric charge
inside the surface,divided by ε0,it has nothing to do
with the charges outside that surface
The closed surface is called Gaussian surface
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
14/45
+
S?d
点电荷位于球面中心
3
04 π
qEr
r?
SS SrqSEΦ dπ 4d 2
0
e?
0
e?
qΦ?
r
高斯定理的导出 高斯定理库仑定律电场强度叠加原理
e 2
0
d4 π
S
qΦ S
r
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
15/45
点电荷在任意封闭曲面内
co sd
π 4
d 2
0
e Sr
qΦ?
2
0
d
π 4 r
Sq ＇
00
e d π4
qΩqΦ
Ω
r
S dd
2?
＇
其中立体角
d4Ω
+
r
1S
r
2s
S?d＇S
d
S?d
r
＇S?d
0
e?
qΦ?
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
16/45
点电荷在封闭曲面之外
q
1 1 1
0
dd
d0
4
Φ ES
q
Ω
2 2 2
0
dd
d0
4
Φ ES
q
Ω
12
12
ddd c o s c o sSSΩ
rr0dd
21 ΦΦ
0d
S
SE
2dS
2E
2r
2?
1dS
1E
1r 1?
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
17/45
由多个点电荷产生的电场
21 EEE
S
i
iS SESEΦ
dd
e
（外）内） i S
i
i S
i SESE
dd
(
e
(( 0
1d
iiS
ii
Φ E S q
内 ) 内 )
(
d0i
Si
ES
外 )
1q
iq
2q
s
S?d
E?
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
18/45
e
100
11d ( ) ( )n
iSV
i
Φ E S q S dV S?
内 内
1） 高斯面上的电场强度为 所有 内外电荷的总电场强度,
2） 仅高斯面 内 的电荷对高斯面的电场强度 通量 有贡献,
4） 高斯面为 封闭曲面,
5） 静电场是 有源场,
3） 穿 出 高斯面的电场强度通量为 正,穿 进 为 负,
总 结第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
19/45
讨论将 q2从 A移到 B点 P电场强度是否变化？ 穿过高斯面
S的 Φ e 是否变化？ s
1q
P *2q
A
2q B
0
1e
1
d
qSEΦ
S
e3 0Φ?e2
0
qΦ
在点电荷 +q和 -q的静电场中，做如下的四个闭合面
S1,S2,S3,S4,求 通过各闭合面的电通量,
1S 2S3S
q? q?
4Se4 0Φ?
eΦ E不 变,变 化 。
Фe=0,能否说明高斯面内一定无电荷？ 不一定！
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
20/45
四高斯定理的应用 (Applications of Gauss’s theorem)
(3),其步骤为：
根据对称性选择 合适 的高斯面；
应用 高斯定理 计算,
对称性 分析
(1),高斯定理中的场强 E是带电体系中所有电荷产生的总场强，而 ∑qi只是高斯面内的电荷的代数和。
(2),高斯定理适用于真空中 任何静电场,但是对于具有特殊对称性 的静电场可以 方便 地求出场强。
球对称 (Spherical symmetry)
轴对称 (Axial symmetry)
面对称 (Plane symmetry)
对称性
(The symmetry)
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
21/45
例 1 均匀带电球面的电场强度一半径为 R,均匀带电 q的薄球壳,
求球壳内外任意点的电场强度,
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
O
R q
+
0iq 0?E?
2
04 π
qE
r?
2
04 π
q
R?
rRo
E
解
( 1 ) 0 rR，
( 2 ),rR?
对称性分析,球对称
2
1
d4
S
E S r E
2
2
d4
S
E S r E
iqq
r
1Sr
2s
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
22/45
例 2 均匀带电球体的电场强度解
( 1 ) 0 rR，
对称性分析,球对称一半径为 R,均匀带电 q的球体,
求球体内外任意点的电场强度,
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R q+
++ +
+
r
1S
1
2d4
S E S r E
1 0
d i
S
qES
3
04
qrE
R
3
33
3
3
44
433
3
i
qr
q r r q
RR
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
23/45
例 2 均匀带电球体的电场强度一半径为 R,均匀带电 q的球体,
求球体内外任意点的电场强度,
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R q+
++ +
+
2
2
d4
S
E S r E
2
04 π
qE
r
r
2s
2
04 π
q
R?
rRo
E
( 2 ),rR?
3
0
2
0
,0
4
1
,
4
qr
rR
R
E
q
Rr
r
iqq
解 对称性分析,球对称第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
24/45
0q
F
E
3
0
1
4 π
qEr
ε r?
i i
EE 3
0
1
4 πq
dqEr
r
3
0
1
4 π
i
i
i i
qEr
r
d
d
V
q ds
dl
电场强度
(Electric field intensity)
e
100
11d ( ) ( )n
iSV
i
Φ E S q S dV S?
内 内第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
25/45
1),定性分析带电体的场强分布，特别是 对称性 分析,
球对称、轴对称、面对称 。
2),根据不同的对称性选取不同的 高斯面 (球、柱、
长方体面 )。 选取时注意,场强垂直于或平行于高斯面的组成部分,将所求场强包含在电通量不为零的高斯面内,
3 ),c o se S S S SE d S E d S E d S E d S利 用,
00
114 ),( )
ei Vq d V S利 用,内
0
1
5 ),,V
S
dV
E
dS
高 斯 定 理
6),讨论,E--r曲线。
高斯定理的应用 (Application of Gauss theorem)
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
26/45
球对称
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
O
R q
+
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R q+
++ +
+
2
04 π
q
R?
rRo
E
3
0
2
0
,0
4
1
,
4
qr
rR
R
E
q
Rr
r
2
04 π
q
R?
rRo
E
2
0
0,0
1
,
4
rR
E q
Rr
r
球体 球面第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
27/45
0
3
3
0
,0,
3
,,
3
r r R
E
Rr
rR
r
R
O
O?
/2R0
3
3
0
,0 / 2,
3
,/ 2,
24
r r R
E
Rr
rR
r
O?
/2R
03
O O OEr
03
O O OEr
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
28/45
坐标系 (Coordinate system )
直角坐标系
z
x
yo
P(x,y,z)
z
y
x
z
ρx y
o
z
P (ρ,?,z )
球坐 标系 柱坐标系
z
o?r
x
y
P(r,?,? )
2 2 2 2
a r c t a n /
a r c c os /
r x y z
yx
zr
c os
s i n
x
y
zz
s i n c os
s i n s i n
c os
xr
yr
zr
2 2 2
a r c t a n /
xy
yx
zz
坐 标系间相互变换第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
29/45
+
+
+
+
+
o
x
y
z
例 3 无限长均匀带电直线的电场强度
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
选取闭合的柱形高斯面无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为 λ，求距直线为 r处的电场强度,
对称性分析,轴对称解
S SE d
柱面）(
d
s
SE
E?
h
+
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
30/45
00
i
q h?
r
E
0π 2?
0
π 2
h
r h E?
(
d d 2 π
Ss
E S E S r h E
柱 面 ）
+
+
+
+
+
o
x
y
z
h
E?
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
31/45
例 4 无限长均匀带电圆柱体的电场强度
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
选取闭合的柱形高斯面无限长均匀带电圆柱体，半径为 R，电荷体密度为 ρ,求距直线为 r处的电场强度,
对称性分析,轴对称解
S SE d
柱面）(
d
s
SE
0 rR
o
x
y
z
R?
E?
h
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
32/45
2
00
i
q rh
02
Er
2
0
2 π
rh
r h E
(
d d 2 π
Ss
E S E S r h E
柱 面 ）
o
x
y
z
R?
E?
h
r
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
33/45
例 4 无限长均匀带电圆柱体的电场强度
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
选取闭合的柱形高斯面无限长均匀带电圆柱体，半径为 R，电荷体密度为 ρ,求距直线为 r处的电场强度,
对称性分析,轴对称解
S SE d
柱面）(
d
s
SE
o
x
y
z
R?
Rr?
h
r
E?
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
34/45
2
00
i
q Rh
2
0
1
2
R
E
r
2
0
2 π
Rh
r h E
(
d d 2 π
Ss
E S E S r h E
柱 面 ）
o
x
y
z
R?
h
r
E?
ne
ne
ne
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
35/45
0
2
0
,0
2
1
,
2
r r R
E
R
Rr
r
o
x
y
z
R?
02
R?
rRo
E
例 4 无限长均匀带电圆柱体的电场强度圆柱体第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
36/45
0
0,0
1
,
rR
E R
Rr
r
o
x
y
z
R?
0
rRo
E
例 5 无限长均匀带电圆柱面的电场强度圆柱面第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
37/45
例 6 无限长带电圆柱体，半径为 R，电荷体密度为 ρ=kr(0≤r ≤ R )，距直线为 r处的电场强度,
0 rR
d2 πe
S
E S r h E
00
1i
V
q
dV?
23
00
0 0 0 0
1 1 222
3
rriq kh
r h d r k r h d r r
2
03
kEr
Rr? 23
0
0 0 0
122
3
Riq kh
k r h d r R
3
0
1
3
kRE
r?
dr
h
r
2d q d V h r d r
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
38/45
2
0
3
0
,0
3
1
,
3
k
r r R
E
kR
Rr
r
o
x
y
z
R
( 0 )k r r R
例 6无限长带电圆柱体
2
03
kR
rRo
E 圆柱体第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
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例 7 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 σ,求距平面为 r处的电场强度,
对称性分析,面对称解
E? E
＇S
E?
E?
＇S?
＇S?
ne
ne
ne
E垂直平面选取闭合的柱形高斯面
02
E?
iqS ＇
底面积
d 2
S
E S E S ＇
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
40/45
02?
E
E?
E? E?
E?
E
O
)0(
x
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
41/45
0
0?
0?
0?
00
讨 论
无限大带电平面的电场叠加问题第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
42/45
1),定性分析带电体的场强分布，特别是 对称性 分析,
球对称、轴对称、面对称 。
2),根据不同的对称性选取不同的 高斯面 (球、柱、
长方体面 )。 选取时注意,场强垂直于或平行于高斯面的组成部分,将所求场强包含在电通量不为零的高斯面内,
3 ),c o se S S S SE d S E d S E d S E d S利 用,
00
114 ),( )
ei Vq d V S利 用,内
0
1
5 ),,V
S
dV
E
dS
高 斯 定 理
6),讨论,E--r曲线。
高斯定理的应用 (Application of Gauss theorem)
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版
43/45
对称性 模 型 电场强度分布 E— r曲线
32
00
1,( 0 ),,( )
44
q r qr R R r
Rr
2
0
10,( 0 ),,( )
4
qr R R r
r
球对称柱对称面对称均匀带电球壳 (Q,R)
均匀带电球体 (Q,R)
均匀带电柱面 (λ,R)
均匀带电柱体 (ρ,R)
均匀带电平面 (σ )
0
0,( 0 ),,( )2 πr R R rr
0
( 0 ),,( )22 π
o
r r R R r
r
02
rRo
E
rRo
E
rRo
E
rRo
E
ro
E
(λ=ρπR2)
(λ=σ 2πR)
第五章 静电场物理学第五版
45/45
本章目录
5-3 电场强度
5-4 电场强度通量 高斯定理
*5-5 密立根测定电子电荷的实验选择进入下一节：
5-8 电场强度与电势梯度
5-6 静电场的环路定理 电势能
5-7 电势
