第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
1/21
ld
I
S
B?
一安培力 (Ampère force)
洛伦兹力
Bef dm v
s i ndm Bef v?
s i ndd d lBSneF v?
SneI dv?
由于自由电子与晶格之间的相互作用，
使导线在宏观上看起来受到了磁场的作用力,
安培定律 磁场对电流元的作用 力 BlIF dd
mf
dv
d d s i n d s i nF I l B I l B
lI?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
2/21
B?
lI?d
F?d有限长载流导线所受的安培力
ddllF F I l B
BlIF dd
安培 公式
(Ampere formula )?s indd lBIF?
意义 磁场对电流元作用的力,在数值上等于电流元 Idl的大小,电流元所在处的磁感强度 B大小以及电流元和磁感应强度之间的夹角?
的正弦之乘积,dF垂直于 Idl 和 B所组成的平面,
且 dF 与 Idl × B 同向,
lI?d
B?
F?d
F Il B
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
3/21
0 2 2 1 1 2 1
21 3
21
d ( d )d
4
I l I l rF
r
安培定律 (Ampere law)
1I
2I11I dl
22I dl
21r
12r
0 1 1 2 2 1 2
12 3
12
d ( d )d
4
I l I l rF
r
21dF
12dF
0 1 1 2 1
2 1 2 2 3
21
dd d ( )
4
I l rF I l
r
0 1 1 2
1 3
21
dd
4
I l rB
r
21 2 2 1ddF I l B 111
d
l
BB
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
4/21
1I 2I
d
电流的单位 两无限长平行载流直导线间的相互作用
d
IB
π2
10
1
d
IB
π2
20
2
s i ndd 2212 lIBF?
d
lIIlIBF
π2
ddd 1120
1121
d
II
l
F
l
F
π2d
d
d
d 210
1
1
2
2
1s i n,90
d
lIIlIBF
π2
ddd 2210
2212
1B
2B
2dF
22dlI
11dlI
1dF
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
5/21
国际单位制中 电流单位 安培 的定义在真空中两平行长直导线相距
1 m,通有大小相等、方向相同的电流,当两导线每单位长度上的吸引力为 2× 10-7N/m时,规定这时的电流为 1 A(安培 ).
17 mH10π4
问 若两直导线电流方向相反二者之间的作用力如何?
270 AN10π4
可得
d
II
l
F
l
F
π2d
d
d
d 210
1
1
2
2
1I 2I
d
1B
2B
2dF
22dlI
11dlI
1dF
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
6/21
AB
C
x
y
I
0?0?
B?
o
根据对称性分析
jFF y 22?
02?xF
jBABIF1
解
s i ndd 222 FFF y 1F
2dF
r
lI?d
2dF
lI?d
例 1 如图一通有电流 I的闭合回路放在磁感应强度为 B的均匀磁场中，回路平面与磁感强度 B垂直,回路由直导线 AB 和半径为 r的圆弧导线 BCA 组成,电流为顺时针方向,求磁场作用于闭合导线的力,
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
7/21
s i ndd 222 FFF y
2 d s i nF B I l
00π2 ds i nB I rF
jABBIjrBIF )c o s2( 02?
dd rl?
jABBIF1 0
21 FFF
C
x
y
r
I
1F
lI?d
0?
B?
2dF
lI?d
o0?
B? A
d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
8/21
P
x
y
o
I
B?
L
F?d
0dd 00 yBIFF xx
jB I LFF y
B I LxBIFF Lyy 0 dd
BlIF dd
s i nds i ndd lBIFF x
解 取一段电流元 Idl
c o sdc o sdd lBIFF y 结论 任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同,
例 2求 如图不规则的平面载流导线在均匀磁场中所受的力，已知 B和 I,?
lI?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
9/21
例 3 半径为 R载有电流 I2的导体圆环与电流为 I1的长直导线放在同一平面内 (如图 ),直导线与圆心相距为
d,且 R<d 两者间绝缘,求 作用在圆电流上的磁场力,
解
0 1
1 2 π c o s
IB
dR
0 1 2
12
ddd
2 π c o s
II lF B I l
dR
dd Rl?
c o s
d
π2d
210
Rd
RIIF
x
y
O
2I
1I
d
R
lI?d2?d?
1B
F?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
10/21
c o s
ds i n
π2s i ndd
210
Rd
RIIFF
y
0 1 2 c o s dd d c o s
2 π c o sx
II RFF
dR
)1(
22210 Rd
dII
π20210 c o sdc o sπ2 RdRIIF x
0c o sds i nπ2 π2
0
210?
Rd
RIIF
y
i
Rd
dIIiFF
x
)1(
22210?
x
y
O
2I
1I
d
R
lI?d2?d?
B? F
dyF?d
xF
d
c o s
d
π2d
210
Rd
RIIF
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
11/21
B?
M
N
O
P
I
ne
二 磁场作用于载流线圈的磁力矩
(Moment of magnetic force of magnetic field role in the current loops)
如图 均匀 磁场中有一矩形载流线圈 MNOP
12 lNOlMN
21FF21 B IlF?
43FF
)s i n ( π13 B IlF
0
4
1
i
iFF
3F
4F
1F
2F
ne
M,N
O,P
B?
1F
2F
4F
3F2
π
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
12/21
s inB I SM? BmBeISM n
线圈有 N匝时
12 lNOlMN s i ns i n 1211 lB I llFM
B?
1F
3F
M
N
O
P
I
ne
2F
4F
nM N ISe B N m B
ne
M,N
O,P
B?
1F
2F
4F
3F
2
π
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
13/21
s inB I SM? BmBeISM n
线圈有 N匝时
12 lNOlMN s i ns i n 1211 lB I llFM
B?
1F
3F
M
N
O
P
I
ne
2F
4F
nM N ISe B N m B
1F
2F
4F
3F
2
π
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
14/21
I
B
.
F?
F
.,,,,
.,,,,
.,,,,
.,,,,
F?
I
BB
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
I
F?
m a x
0
,
2
π
MM
F
0
0,0
M
F
稳定平衡 不 稳定平衡讨 论
1) en与 B相同
0
0
,π
M
F
力矩最大
2) en与 B相反 3) en与 B垂直
nM N ISe B N m B
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
15/21
结论,均匀 磁场中,任意形状 刚 性闭合平面 通电线圈所受的磁场力和力矩为
0,F M m B
m a x
0,
/ /,0
,
π
,,
2
m B M
m B M M mB
稳 定 平 衡 。
力 矩 最 大 。
非 稳 。
,
定 平 衡
neN ISm磁矩 en与 I成 右 螺旋
大小,M=mBsinθ?方向：
mB?
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
16/21
例 1 边长为 0.2m的正方形线圈，共有 50 匝,通以电流 2A,把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁场中,问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？
解?s inN BI SM?
m a x,2
π MM
mN)2.0(205.050 2 N B I SM
mN2.0M
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
17/21
I
B?
R
y
z
Q
J
K
P
o x
例 2 如图半径为 0.20m，电流为 20A，可绕 Oy轴旋转的圆形载流线圈放在均匀磁场中,磁感应强度的大小为 0.08T，方向沿 x 轴正向,问线圈受力情况怎样？
线圈所受的磁力矩又为多少？
解 把线圈分为 JQP和 PKJ两部分
N64.0)2( kkRBIF J QP
N64.0)2( kkRBIF P K J
x
s i nddFd l B xIxM
dd,s i n RlRx
以 Oy为轴,Idl所受磁力矩大小?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
18/21
ds i nd 22I B RM?
π20 22 ds i nI BRM
kRIkISm 2π
iBB2πM m B I R B j
d d d s i nM x F I lB x
dd,s i n RlRx
2π RIBM?
I
B?
R
y
z
Q
J
K
P
o x
x
d
另解：
B B i?
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
19/21
磁电式电流计原理
aM
aB N IS?
KNB SaI
实验 测定 游丝反抗力矩与线圈转过角度成正比
N S 磁铁第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
20/21
1I
2I
l
b
已知,I1,I2,l,b,θ。 求,F2。
解,建立如图所示坐标
x
O
y
dl
取微元 dl
0 1
1 2
IB
bx
x
2dF
2 1 2dF B I dl?
0 12
2 2
IId F d l
bx
c o sd x d l
dx0 122
2 c o s
II dxdF
bx
c o s 0 12
22 0 2 c o s
l IIF d F d x
bx
0 1 2
2
c o sln
2 c o s
II blF
b
0 1 2
2 ln2
II blF
b
b l
2I
0
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
21/21
0 1
1 2 c o s
IB
bx
2 1 2
d F B I d x?
0 12
2 2 c o s
IId F d x
bx
0 12
22 0 2 c o s
l IIF d F d x
bx
0 1 2
2
c o sln
2 c o s
II blF
b
0 1 2
2 ln2
II blF
b
0
1I
2I
l
b
b l
2I
2dF
dx
x
x
O
y
已知,I1,I2,l,b,θ。 求,F2。
解,建立如图所示坐标 取微元 dx
第七章 恒定磁场物理学第五版
22/21
本章目录
7-4 毕奥 -萨伐尔定律
7-5 磁通量 磁场的高斯定理选择进入下一节：
7-6 安培环路定理
7-7 带电粒子在电场和磁场中的运动
7-8 载流导线在磁场中所受的力
7-9 磁场中的磁介质
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
1/21
ld
I
S
B?
一安培力 (Ampère force)
洛伦兹力
Bef dm v
s i ndm Bef v?
s i ndd d lBSneF v?
SneI dv?
由于自由电子与晶格之间的相互作用，
使导线在宏观上看起来受到了磁场的作用力,
安培定律 磁场对电流元的作用 力 BlIF dd
mf
dv
d d s i n d s i nF I l B I l B
lI?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
2/21
B?
lI?d
F?d有限长载流导线所受的安培力
ddllF F I l B
BlIF dd
安培 公式
(Ampere formula )?s indd lBIF?
意义 磁场对电流元作用的力,在数值上等于电流元 Idl的大小,电流元所在处的磁感强度 B大小以及电流元和磁感应强度之间的夹角?
的正弦之乘积,dF垂直于 Idl 和 B所组成的平面,
且 dF 与 Idl × B 同向,
lI?d
B?
F?d
F Il B
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
3/21
0 2 2 1 1 2 1
21 3
21
d ( d )d
4
I l I l rF
r
安培定律 (Ampere law)
1I
2I11I dl
22I dl
21r
12r
0 1 1 2 2 1 2
12 3
12
d ( d )d
4
I l I l rF
r
21dF
12dF
0 1 1 2 1
2 1 2 2 3
21
dd d ( )
4
I l rF I l
r
0 1 1 2
1 3
21
dd
4
I l rB
r
21 2 2 1ddF I l B 111
d
l
BB
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
4/21
1I 2I
d
电流的单位 两无限长平行载流直导线间的相互作用
d
IB
π2
10
1
d
IB
π2
20
2
s i ndd 2212 lIBF?
d
lIIlIBF
π2
ddd 1120
1121
d
II
l
F
l
F
π2d
d
d
d 210
1
1
2
2
1s i n,90
d
lIIlIBF
π2
ddd 2210
2212
1B
2B
2dF
22dlI
11dlI
1dF
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
5/21
国际单位制中 电流单位 安培 的定义在真空中两平行长直导线相距
1 m,通有大小相等、方向相同的电流,当两导线每单位长度上的吸引力为 2× 10-7N/m时,规定这时的电流为 1 A(安培 ).
17 mH10π4
问 若两直导线电流方向相反二者之间的作用力如何?
270 AN10π4
可得
d
II
l
F
l
F
π2d
d
d
d 210
1
1
2
2
1I 2I
d
1B
2B
2dF
22dlI
11dlI
1dF
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
6/21
AB
C
x
y
I
0?0?
B?
o
根据对称性分析
jFF y 22?
02?xF
jBABIF1
解
s i ndd 222 FFF y 1F
2dF
r
lI?d
2dF
lI?d
例 1 如图一通有电流 I的闭合回路放在磁感应强度为 B的均匀磁场中，回路平面与磁感强度 B垂直,回路由直导线 AB 和半径为 r的圆弧导线 BCA 组成,电流为顺时针方向,求磁场作用于闭合导线的力,
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
7/21
s i ndd 222 FFF y
2 d s i nF B I l
00π2 ds i nB I rF
jABBIjrBIF )c o s2( 02?
dd rl?
jABBIF1 0
21 FFF
C
x
y
r
I
1F
lI?d
0?
B?
2dF
lI?d
o0?
B? A
d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
8/21
P
x
y
o
I
B?
L
F?d
0dd 00 yBIFF xx
jB I LFF y
B I LxBIFF Lyy 0 dd
BlIF dd
s i nds i ndd lBIFF x
解 取一段电流元 Idl
c o sdc o sdd lBIFF y 结论 任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同,
例 2求 如图不规则的平面载流导线在均匀磁场中所受的力，已知 B和 I,?
lI?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
9/21
例 3 半径为 R载有电流 I2的导体圆环与电流为 I1的长直导线放在同一平面内 (如图 ),直导线与圆心相距为
d,且 R<d 两者间绝缘,求 作用在圆电流上的磁场力,
解
0 1
1 2 π c o s
IB
dR
0 1 2
12
ddd
2 π c o s
II lF B I l
dR
dd Rl?
c o s
d
π2d
210
Rd
RIIF
x
y
O
2I
1I
d
R
lI?d2?d?
1B
F?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
10/21
c o s
ds i n
π2s i ndd
210
Rd
RIIFF
y
0 1 2 c o s dd d c o s
2 π c o sx
II RFF
dR
)1(
22210 Rd
dII
π20210 c o sdc o sπ2 RdRIIF x
0c o sds i nπ2 π2
0
210?
Rd
RIIF
y
i
Rd
dIIiFF
x
)1(
22210?
x
y
O
2I
1I
d
R
lI?d2?d?
B? F
dyF?d
xF
d
c o s
d
π2d
210
Rd
RIIF
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
11/21
B?
M
N
O
P
I
ne
二 磁场作用于载流线圈的磁力矩
(Moment of magnetic force of magnetic field role in the current loops)
如图 均匀 磁场中有一矩形载流线圈 MNOP
12 lNOlMN
21FF21 B IlF?
43FF
)s i n ( π13 B IlF
0
4
1
i
iFF
3F
4F
1F
2F
ne
M,N
O,P
B?
1F
2F
4F
3F2
π
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
12/21
s inB I SM? BmBeISM n
线圈有 N匝时
12 lNOlMN s i ns i n 1211 lB I llFM
B?
1F
3F
M
N
O
P
I
ne
2F
4F
nM N ISe B N m B
ne
M,N
O,P
B?
1F
2F
4F
3F
2
π
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
13/21
s inB I SM? BmBeISM n
线圈有 N匝时
12 lNOlMN s i ns i n 1211 lB I llFM
B?
1F
3F
M
N
O
P
I
ne
2F
4F
nM N ISe B N m B
1F
2F
4F
3F
2
π
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
14/21
I
B
.
F?
F
.,,,,
.,,,,
.,,,,
.,,,,
F?
I
BB
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
I
F?
m a x
0
,
2
π
MM
F
0
0,0
M
F
稳定平衡 不 稳定平衡讨 论
1) en与 B相同
0
0
,π
M
F
力矩最大
2) en与 B相反 3) en与 B垂直
nM N ISe B N m B
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
15/21
结论,均匀 磁场中,任意形状 刚 性闭合平面 通电线圈所受的磁场力和力矩为
0,F M m B
m a x
0,
/ /,0
,
π
,,
2
m B M
m B M M mB
稳 定 平 衡 。
力 矩 最 大 。
非 稳 。
,
定 平 衡
neN ISm磁矩 en与 I成 右 螺旋
大小,M=mBsinθ?方向：
mB?
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
16/21
例 1 边长为 0.2m的正方形线圈，共有 50 匝,通以电流 2A,把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁场中,问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁力矩等于多少？
解?s inN BI SM?
m a x,2
π MM
mN)2.0(205.050 2 N B I SM
mN2.0M
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
17/21
I
B?
R
y
z
Q
J
K
P
o x
例 2 如图半径为 0.20m，电流为 20A，可绕 Oy轴旋转的圆形载流线圈放在均匀磁场中,磁感应强度的大小为 0.08T，方向沿 x 轴正向,问线圈受力情况怎样？
线圈所受的磁力矩又为多少？
解 把线圈分为 JQP和 PKJ两部分
N64.0)2( kkRBIF J QP
N64.0)2( kkRBIF P K J
x
s i nddFd l B xIxM
dd,s i n RlRx
以 Oy为轴,Idl所受磁力矩大小?d
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
18/21
ds i nd 22I B RM?
π20 22 ds i nI BRM
kRIkISm 2π
iBB2πM m B I R B j
d d d s i nM x F I lB x
dd,s i n RlRx
2π RIBM?
I
B?
R
y
z
Q
J
K
P
o x
x
d
另解：
B B i?
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
19/21
磁电式电流计原理
aM
aB N IS?
KNB SaI
实验 测定 游丝反抗力矩与线圈转过角度成正比
N S 磁铁第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
20/21
1I
2I
l
b
已知,I1,I2,l,b,θ。 求,F2。
解,建立如图所示坐标
x
O
y
dl
取微元 dl
0 1
1 2
IB
bx
x
2dF
2 1 2dF B I dl?
0 12
2 2
IId F d l
bx
c o sd x d l
dx0 122
2 c o s
II dxdF
bx
c o s 0 12
22 0 2 c o s
l IIF d F d x
bx
0 1 2
2
c o sln
2 c o s
II blF
b
0 1 2
2 ln2
II blF
b
b l
2I
0
第七章 恒定磁场
7-8 载流导线在磁场中所受的力物理学 第五版
21/21
0 1
1 2 c o s
IB
bx
2 1 2
d F B I d x?
0 12
2 2 c o s
IId F d x
bx
0 12
22 0 2 c o s
l IIF d F d x
bx
0 1 2
2
c o sln
2 c o s
II blF
b
0 1 2
2 ln2
II blF
b
0
1I
2I
l
b
b l
2I
2dF
dx
x
x
O
y
已知,I1,I2,l,b,θ。 求,F2。
解,建立如图所示坐标 取微元 dx
第七章 恒定磁场物理学第五版
22/21
本章目录
7-4 毕奥 -萨伐尔定律
7-5 磁通量 磁场的高斯定理选择进入下一节：
7-6 安培环路定理
7-7 带电粒子在电场和磁场中的运动
7-8 载流导线在磁场中所受的力
7-9 磁场中的磁介质
