1
ik z
y
ik z
x
y
x
yx
eAyeAxE
wtkzAy
wtkzAxE
AAAA
00
0
0
~
:
)c o s (
)c o s (
s i n,c o s






复振幅

x
y
A
Ax
Ay
第六节 偏振的矩阵表示
(Matrix Formalism of Polarization)
一、偏振光 (Polarized light)的表示
1、线偏振光 (Linearly polarized light)的分解
2
2,圆偏振光 (Circularly polarized light包括椭圆偏振光 )
)c o s(
)c o s(


wtkzAE
wtkzAE
yy
xx
x
y
A
Ax
Ay
或者表示为,
~
)](exp[
)(00
0
0


kzi
yikzx
y
x
eAyeAxE
kz wtiAyyE
)](exp[?kz wtiAxxE



3
讨论：
)(00 kziyi k zx eAyeAxE
为圆偏振光
2
且
yx AA
当 时,
为椭圆偏光。当 时,
2
或
yx AA
4
时，是线偏振光。＝当 0?
所以任意一个偏振光都可表示为,
a.光矢量互相垂直
b.沿同一方向传播且位相差恒定的两个线偏振光的合成。
5
为琼斯矢量。＝
＝
）－（
12
1
2
1
2
1
1
21
2
1
2
1
1
~
~
~
~
~

i
i
i
i
y
x
i
y
i
x
e
a
aea
ea
ea
E
E
E
eaE
eaE
二、偏振光的矩阵 (Matrices)表示
6


i
i
ae
aa
a
E
a
a
a
e
a
a
aa
a
E
1
,
1
2
2
2
1
1
1
2
12
1
2
2
2
2
1
1
12
＝
，－＝设
＝
通常将上式归一化，有
）－（
称为归一化的琼斯矢量
7
1、线偏振光的归一化 (Normalization)琼斯矢量：
若光矢量沿 x轴,Ax=1 Ay=0?=0,则：
q ax 的线偏振光，角，振幅为轴成若光矢量与



0
1E
qq 0,sin,cos



q
q
asin
acos1
a
E
aAaA yx 则有



q
q
sin
cos
8
2、求长轴 (Macro axis)沿 x轴，长短轴之比是 2,1的右旋椭圆偏振光的归一化琼斯矢量 (Jones vector)。
根据已知条件有：
i
ae
a
a
E
i
2
5
1
2
5
1
2
2
右归一化琼斯矢量为
2222 5~~,~,2~ aEEaeEaE
yx
i
yx

9
3,偏振光的叠加左旋圆偏振光和右旋圆偏振光叠加



0
2
2
11
2
11
2
1
ii
EE LR
10
11212
2221
1211
1
1
1
1
2221
1211
2
2
1221212
1121112
2
2
2
1
1
1
.,,
~~
EGGGGE
N
gg
gg
G
B
A
G
B
A
gg
gg
B
A
BgAgB
BgAgA
B
A
E
B
A
E
NN －
＝
个偏振器件，则相继通过如果偏振光琼斯矩阵为
。称为该器件的琼斯矩阵
，
，
＝式中矩阵
＝
，
，
＝写成矩阵形式：
＝
＝出射光为，经过偏振器件之后，＝设入射光为

三、偏振器件 (Polarizing optics)的矩阵表示
11
解：光线的偏振状态为：


qq 11 sincos BAA＝
沿透光轴方向的分量：
2
2
2
1
1
1
~~
B
AE
B
AE
＝出射光，＝设入射光
B
1
A
1
A
A
2
B
2
q
求透光轴 (Transmission axis)与 x轴成 q
角的线偏振器的琼斯矩阵
qq
qqq
2112
1212
sin21sin
2sin2coscos
BAAB
BAAA


q2sin
12
qq
qq
2
2221
12
2
11
s i n,2s i n
2
1
2s i n
2
1
,cos


gg
gg
可知：
由此得线偏振器的琼斯矩阵为：
qq
qq
2
2
s i n,2s i n
2
1
2s i n
2
1
,c o s
＝G
B
1
A
1
A
A
2
B
2
q
13
有一快轴与 x轴成 q角，产生位相差为?
的波片，试求其琼斯矩阵
B1
A1
q
快轴慢轴
x轴
y轴
14


1
1
B
A设入射偏振光为
A1和 B1在波片的快、慢轴上的分量为：
qq
q?q?
cosBsin-AB
sinBcosAA
111
111


+
＝
写成矩阵形式：



qq
qq
1
1
1
1
B
A
cos-sin
sincos
B
A
,
＝,
B1
A1
q
快轴
x轴
y轴
A1
′
B1
′
15
偏振光透过波片后，在 快轴 和 慢轴 上的复振幅为：
iBB
AA
e x p
''
'
1
''
1
'
11


＝
因而透过波片后有：
1
1
1
1
1
1
cos s i n
s i n cos
)e x p (0
01
)e x p (0
01
B
A
i
B
A
i
B
A
qq
qq
，
，
，
，
，
，
＝
B1
A1
q
快轴
x轴
y轴
A1
′
B1
′
16
qq
qq
cossi n
si ncos
1
''
12
112


BAB
BAA


＝



1
1
2
2
c o s s i n
s i nc o s
B
A
B
A
qq
qq
，
，
＝
)
2
e x p (
2c o s
2
1,2c o s
2
2s i n
2
,2c o s
2
1
2
c o s
c o ss i n
s i nc o s
)e x p (0
01
c o s s i n
s i nc o s
1
1
1
1
2
2
q
q
q
q
qq
qq
qq
qq
i
B
A
i t gi t g
i t gi t g
B
A
iB
A



＝
，
，
，
，
，
，
＝
将 A1”和 B1”再次分解到 x,y轴上，有
B2
A2
q
快轴
x轴
y轴
A1″B1″
17





q
q
q
q
q
01
10
0
0
2
1
2
1
1
1
2
1
4
1
2
22
22
1
2
2
1
2
45
2
2
12
2
2
2
2
2
1
2
,
,
i
,i
i
G,
,i
i
G
cos,si ni
si ni,cos
,i tg
i tg,
cosG
cosi tg,cosi tg
si ni tg,cosi tg
cosG
o
，
＝波片时，为当
，
＝波片，时，为当
＝＝
时＝当
18
自然光通过光轴夹角为 45度的线偏振器后，又通过了 1/4,1/2和 1/8波片，
波片快轴沿 Y轴方向，试用琼斯矩阵计算透射光的偏振态。
19
解：自然光通过起偏器，成为线偏振光，其琼斯矢量为：





1
1
2
1
1
1
B
A
l/4波片,l/2,l/8波片的琼斯矩阵分别为




4824 0
01
,
10
01
,
0
01?
lll i
e
GG
i
G ＝＝＝
20



44 0
01
0
01
0
01
ii
eie
出射光为：


442
2
1
2
1
1
1
0
01
2
1
ii
eeB
A
＝＝



i
e
GGGG
i,0
01
1,0
01
,0
01
4428
，，
，
lll
21
本节的学习要求
掌握偏振光的矩阵表示方法
– 会求偏振光的归一化琼斯矢量
– 掌握偏振光与其矩阵的对应关系
掌握偏振器件的矩阵表示方法
– 会求偏振器件的琼斯矢量
– 掌握简单偏振器件与其矩阵的对应关系
会用矩阵方法分析偏振器件对偏振光的作用
22
1,一束线偏振的钠黄光（ l为 589.3nm） 垂直通过一块厚度为 1.618× 10-2 mm的石英晶片（其光轴平行于入射表面）。晶片折射率为 n0=1.54424,ne=1.55335。
试求以下三种情况的出射光的偏振态。
（ 1）入射线偏光的振动方向与 晶片光 轴成 45o角；
（ 2）入射线偏光的振动方向与 晶片光 轴成－ 45o角；
（ 3）入射线偏光的振动方向与 晶片光 轴成 30o角。
2,导出长、短轴之比为 2,1，长轴沿 x轴的右旋和左旋椭圆偏振光的琼斯矢量。
3,试用矩阵方法证明：右（左）旋圆偏振光经过半波片后变为左（右）旋圆偏振光。 下一节