1
第二节 透镜的傅立叶变换性质和成像性质在夫琅合费衍射中，透镜的作用是将衍射光会聚，在透镜的后焦面上观察夫琅和费衍射图样。
夫琅和费衍射与傅立叶变换的对应关系说明,透镜可以实现傅立叶变换 。
透镜还具有成像的性质
Lens
Focal plane
Diffraction
level
Grating
Image
2
1,透镜的透射函数
(The lens's function of transmission)
)],(e x p [),(),(
),(
~
),(
~
),(
1
2
yxyxEyxt
yxE
yxE
yxt
LtL
L

设,),(~
1 yxE
),(~2 yxE
是入射光波是透射光波。
)],(e x p [),(),(
~
)],(e x p [),(),(
~
222
111
yxiyxAyxE
yxiyxAyxE


复振幅可以分别写为上，光波的在透镜的入射与出射面
z
1D 2D
0d
)y,x(E~1 )y,x(E~2
3
透镜的透射函数
))(n(nd
)]d(n[
)]y,x(nd[)y,x(
)y,x()y,x()y,x(
) ) ]y,x()y,x((ie x p [
)y,x(A
)y,x(A
)y,x(t
L
210
21021
21L
12L
12
1
2
1
22
2
2
DD
DDDD
DD







略复振幅影响）假定透镜是薄透镜（忽是透镜对光波的位相变化
z
1D 2
D
0d
),(~ yxE1 ),(~ yxE2
d(x,y)
可以略去
),(~
),(~),(
1
2
yxE
yxEyxt
L?
4
〕（代入得：
展开将由图中可以得出
22
21
L
2
22
2
1
22
1
222
222
222
111
)
2
1
2
1
1 ) ((
2
),(
2
,
2
)(,)(
yx
RR
nyx
R
yx
R
yx
yxRRyxRR

D
D
DD
(x,y)(x,y)
－ R2 R 1
1D
2D
1C
)( 2221 yxR
C2
))(1(2),( 21L D?D nyx
透镜的透射函数
5
透镜的透射函数
'
22
'
22
L
21
22
2
),(
)
11
)(1(
1
f
yx
k
f
yx
yx
RR
n
f



因而：
为薄透镜的焦距计算公式
]
2
e x p [),(
~
),(
~
),(t),(
~
]
2
e x p [
),(
~
),(
~
),( t
'
22
11L2
'
22
1
2
L
f
yx
ikyxEyxEyxyxE
f
yx
ik
yxE
yxE
yx

＝＝或写为透镜的透射系数：
〕（ 22
21
L )
111 ) ((),( yx
RRnyx

6
2、透镜的傅立叶变换性质
（ The lens's Fourier transform quality）
1）当衍射屏紧靠透镜时
f F
),( 11 yxE
),(
),(
vuE
yxE
L 1
Light
beam

) 1 (),(]
2
e x p [
),(,),(
11
2
1
2
1
111111
'
yxE
f
yx
ik
yxEyxtyxE L

)(' y1x1E,
7
透镜的傅立叶变换性质将 代入得,
),( yxE 是 ),( 11' yxE 的菲涅耳衍射
11
2
1
2
111
' ]})()[(
2e x p {),(),( dydxyyxxf
ikyxE
fi
eyxE i k f

) 1 (),(]2e x p[),( 11
2
1
2
1
11
' yxE
f
yxikyxE
11
2
1
2
1
2
1
2
1
11
]})()[(
2
e x p{
2
e x p),(),(
dydxyyxx
f
ik
f
yx
ikyxE
fi
e
yxE
i k f




8
化简得：
)](ex p [),(),( 111111
]
2
[
22
dydxyyxx
f
ikyxE
fi
eyxE f
yxfik





) 2 (),(
)](2e x p[),(),(
11
111111
22
22
yxE
fi
ee
dydxvyuxiyxE
fi
ee
vuE
vufii k f
vufii k f





f
yv
f
xu
,设透镜的傅立叶变换性质
9
结论：
上式表明除一个位相因子外，透镜后焦面上的复振幅分布是衍射屏平面复振幅分布的傅立叶变换。空间频率取值与后焦面的坐标关系为：
),(),( 11 yxECvuE
f
yv
f
xu
,
透镜的傅立叶变换性质
10
2）当衍射屏置于透镜前一定距离时从 P到 L1是菲涅尔衍射，所以有：
f F
),( 11 yxE
),(
),(
vuE
yxE
L 1
Light
beam
d0
),( 22 yxE
P
) 3 (]})()[(2e x p {),(),( 22221221
0
22
0
11
0 dydxyyxx
d
ikyxE
di
eyxE i k d

透镜的傅立叶变换性质
11
从 L1平面经过透镜到 F面，由公式（ 2）给出。
) 2 (),(
)](e x p [),(),(
11
]
2
[
111111
]
2
[
22
22
yxE
fi
e
dydxyyxx
f
ik
yxE
fi
e
yxE
f
yx
fik
f
yx
fik




透镜的傅立叶变换性质
12
将 （ 3 ）式代入 （ 2 ）式，有 ( 4 ) 式
)]2(e x p [1
22
1 f
yxfik
fiC

)e x p (
1
0
0
2 i k ddiC
其中，
2211
2
12
2
12
0
112221
1122
2
12
2
12
0
221121
}])()[(
2
ex p{
)(ex p[{),(
} ]})()[(
2
ex p{
),({)](ex p[),(
dydxdydxyyxx
d
ik
yyxx
f
k
iyxECC
dydxdydxyyxx
d
ik
yxEyyxx
f
k
iCCyxE










(4)
透镜的傅立叶变换性质
13
其中对内层积分项，设 qyypxx 1212,
qyypxx 1212,
dpdqyqxp
f
k
iqp
d
ik
yyxx
f
k
i
dpdqyyxx
f
k
iyqxp
f
k
iqp
d
ik
U
)](e x p [][
2
e x p [)](e x p [
)](e x p [)](e x p [][
2
e x p [
22
0
22
22
22
0




积分号中 ) 5 ( ]
2ex p [)](ex p [
22
0
0
22
2
0
0 f
yx
f
dikdiyx
f
didi

( 6 ) )](e x p [ ]2e x p [ 22
220
0 yyxxf
ki
f
yx
f
dikdiU
将（ 6）式代入（ 4）式透镜的傅立叶变换性质
14
7) ( )](e x p [),(
]
2
e x p [),(
222222
21
22
0
0
dydxyyxx
f
k
iyxE
CC
f
yx
f
d
ikdiyxE



由于 )]
2(e x p [
1 22
1 f
yxfik
fiC

)e x p (1 002 i k ddiC
有
]
2
)1(e x p [)](e x p [
i
1
]
2
e x p [
22
0
0
21
22
0
0
f
yx
f
d
ikdfik
f
CC
f
yx
f
d
i k fdiC


透镜的傅立叶变换性质
15
)8(]2)1(ex p [
22
0
0 f
yx
f
dikCC
( 9 ) )](e x p [i 1 00 dfikfC
10) ( )](e x p [),(),( 222222 dydxyyxxfkiyxECyxE

设,
f
yv
f
xu

代入上式
)](2e x p [),(),( 222222 dydxvyuxiyxECvuE

]2)1(e x p [)](e x p [i 1
22
0
0 f
yx
f
dikdfik
fC


C 是一个二次位相因子，称为 位相弯曲 (Phase flexure)。
透镜的傅立叶变换性质
16
当 d0=f 时，有 ]2e x p [
i
1
0 fikfC
2222220 )](2e x p [),(),( dydxvyuxiyxECvuE

位相弯曲消失,E(u,v)是 E(x2,y2) 准确的傅里叶变换。
其中,C0是光束走过 2f 距离产生的位相延迟 。
结论：当物体在透镜的前焦面上时,在透镜的后焦面上得 到准确的傅里叶变换 。
]2)1(e x p [)](e x p [i 1
22
0
0 f
yx
f
dikdfik
fC


17
3,透镜的成像性质 (Image quality of Lens)
（ 1）点物在距透镜无穷远处（平面波）
)](
2
e x p [
),(~),(~
2
1
2
1
1111
'
yx
f
ki
yxtyxE L

是以透镜后焦点为中心的会聚球面波。
's
focus
E(x1,y1) E’(x1,y1)
18
（ 2）点物在光轴上
l l'
S S'
)](2e x p [),(~ 212111 yxlkiAyxE
E(x1,y1)
透镜的成像性质
)])(
11
(
2
1
e x p [
)](
2
e x p [),(
~
),(
~
2
1
2
1
2
1
2
11111
'
yx
lf
ikA
yx
f
k
iyxEyxE


E’(x1,y1)
19
l
1
f
1
l
1
'
注意到,
故有：
)](
2
ex p [),(~ 2121'11' yx
l
kiAyxE
因此，点物在光轴上，成像后仍是一个会聚球面波，
会聚在点
's
透镜的成像性质
20
（ 3）点物在光轴外
)]
2
(ex p [)](
2
ex p [
]})()[(
2
ex p {),(
~
0101
2
1
2
12
0
2
0
2
01
2
0111
l
yyxx
l
yx
ikyx
l
k
iA
yyxx
l
k
iAyxE


l l'
(x
0
,y
0
)
( - x,- y )
E(x1,y1) E’(x1,y1)
透镜的成像性质
21
)](2e x p [ 2020' yxlkiAA
令：
)]2(e x p [),(~ 01012121'11 l yyxxl yxikA yxE
) ] })
11
(
2
[ex p {
)](
2
ex p [),(~),(~
0101
2
1
2
1'
2
1
2
11111
'
l
yyxx
lf
yx
ikA
yx
f
k
iyxEyxE



通过透镜之后，
'0'0',,
111
l
y
l
y
l
x
l
x
lfl
)]}''2[e x p {),(~ 11
2
1
2
1'
11
'
l
yyxx
l
yxikAyxE
透镜的成像性质
22
这是一个向 ( - x,- y ) 点会聚的球面波。

]}[
'2
e x p {)}(
'2
e x p {'
)]}(2[
'2
e x p {'
)]}
''2
[e x p {),(
~
2
1
2
1
22
2222
11
2
1
2
1
11
2
1
2
1'
11
'
yyxx
l
ik
yx
l
ik
A
yxyxyyxxyx
l
ik
A
l
yyxx
l
yx
ikAyxE



l l'
(x
0
,y
0
)
( - x,- y )
透镜的成像性质
23
Homework
P319 1&2
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