1
第二节 典型孔径的夫琅合费衍射一、衍射系统与透镜作用
1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。
远场与透镜后焦面对应
P (x,y)(x
1,y1)
θS
P
f
(x,y)
(x1,y1)
L2L1
S θ
2
2、夫琅合费衍射公式变化
1111
1
11 dydxyyxxz
kiyxECyxE
e x p,~,
其中
)](e xp [
1
22
1
1 2
1
z
yxzik
ziC
可以写成
11
1
1
1
111 dydxz
yy
z
xxikyxECyxE
e x p,~,
加有透镜之后，衍射公式如何变化？
3
fi
C
f
yxfik
)]([
e x p 2
22
111111 dydxfyyfxxikyxECyxE?
e x p,
~,
p'
x'p
z1
f'
xq
(x,y ) ( x',y' )
在傍轴近似下，公式中 Z1 由 f ' 代替。 计算公式变为：
在无透镜时，观察点为 P’；有透镜时,在透镜焦平面上为 P
fxzx q1
4
加有透镜之后，有两个因子与透镜有关：
（ 1）复数因子
)](ex p [ f yxfikfiC 21
22
其中 r CPyxf 222 f yxf
22
2
结论：若孔径很靠近透镜,r 是孔径原点 O处发出的子波到 P点的光程，而 kr 则是 O点到 P点的位相延迟。
二、夫琅合费衍射公式的意义
P(x,y)
f'
O
H
P(x1,y1) r
qq
D
Q
C
5
yx
1111 sinsin yfxfyxQPOPOH yxD qqqOQ＝＝
而位相差
f
yy
f
xx
11
2
恰好是积分中的位相因子，它表示孔径上各点子波的位相差。
（ 2）位相因子
P0
P(x,y)
f'
O
H
P(x1,y1) r
qq
D
Q
C
f
yy
f
xxik
11e x p
孔径上其它点发出的光波与 O 点的光程差：
6
夫琅合费衍射公式的意义（总结）
111111 dydxfyyfxxikyxECyxE?
e x p,
~,
)](ex p [ f yxfikfiC 21 22
O点到 P点的位相延迟孔径上其它点发出的光波与 O 点的位相差。
积分式表示孔径上各点子波的相干叠加。叠加结果取决于各点发出的子波与中心点发出子波的位相差。
7
三、矩孔衍射
(Diffraction by a rectangular aperture)
1、强度分布计算
（ Intensity distribution calculation）
设矩形孔的长和宽分别为 a
和 b,用单位平面波照射，即
0
1
11 yxE,
~
在矩孔以内在矩孔以外
b
a x
1
y1
a
b
8
设
f
ym
f
xl
,
11112
2
2
2
e xp,~ dydxmylxikCyxE
a
a
b
b
111111 ''e x p,~,~ dydxfyyfxxikyxECyxE?
－
将矩孔的复振幅分布代入下式：
9
1
2
2
11
2
2
1
1111
2
2
2
2
e x pe x p
e x p,
~
dyi k m ydxi k l xC
dydxmylxikCyxE
b
b
a
a
a
a
b
b
22
2
s i n
2
s i n
k m bk l a
k m bk l a
C a b
若令：
,2,2 bfyk m bafxk l a ＝＝
则
s i ns i n~,~
0EyxE
a b CE?0~和
10
2、强度分布特点先讨论沿 y轴方向的分布。
在 Y轴上，
2
0
s in
II
y＝
当? =0时,I有主极大值 Imax＝ I0，
故：
1s i n,0
2
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2?-?
I/I0
-2?
2200
22
0
s i ns i n C a bEIII
,
＝
（ 1）主极大值的位置：
11
（ 2）极小值的位置：
当?=n?,n=+1,+2,… 时，即
b
fnyn
f
yb
,
I=0,有极小值 。
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2?-?
I/I0
-2?
2
0
s in
II
y＝
主极大值的宽度：
b
fY?
2＝
＝
12
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Y=2eee
-1.43?
-2.45? 2.45?
1.43?
对于其它的极大值点，有 tgdd,即0s i n
2
可用作图求解。
（ 3）次极大值的位置：
（ 4）暗条纹的间隔
b
fe
注意：次极大值位置不在两暗纹的中间。
13
M
0
20
40
600
20
40
60
0,2
0,4
0,6
0,8
22
0
s i ns i n
II
0,0 4 7 0,0 0 2 2
0,0 0 2 2
0,0 4 7
0,0 4 7
0,0 4 7
0,0 0 2 2
0,0 0 2 2
衍射在 X轴呈现与 Y 轴同样的分布。在空间的其它点上，由两者的乘积决定。
（ 5）沿 X轴与 Y 轴有同样的分布,
14
四、单缝衍射 (Diffraction by a single slit)
已知矩孔衍射的强度分布：
s i ns i n~,~ 0EyxE
其中
bfyafx,＝
x
1
y
1
a
b
x1
y1
1,光强分布计算
（ Intensity distribution calculation）
15
当 b>>a时，矩孔变为狭缝，
此时，入射光在 Y方向上的衍射效应可以忽略。
因此单缝衍射的分布为
q s i n2,s i n
2
0 a
k l aII
16
y
x
0 0,5 1
10
10
因为 q较小,sinq=x/f’=q,
中央极大条纹的角半径半宽度：
fae
a
q
0
0＝
P ( y )
f'
O
P ( y
1
) r
q
q
衍射条纹与中央条纹
e0
2,光强分布特点
2e0
17
五、夫琅合费圆孔衍射
(Fraunhofer diffraction by a circular aperture)
1、光强分布,设圆孔半径为 a,则孔径函数变为
0
1,＝ E
ayx 2121当
ayx 2121当变为极坐标
0
1,＝ E
ar
ar
Y
X
L
2
X
1
Y
1
q
r
r
1
111
111
s i n
c o s
ry
rx
s in
c os
ry
rx
11111?ddrrdydx?
直角坐标变极坐标：
18
Y
X
L
2
X
1
Y
1
q
r
r
1
f
r
f
y
f
r
f
x
s in
c o s
直角坐标变极坐标：
f
r
f
y
f
r
f
x
111
111
s in
c o s
19
代入夫琅合费衍射公式
111
2
0 0 1111
s i ns i nc o sc o s
'
e x p
~
ddrr
rr
f
r
ikCrE a
，
设 得到：
11120 0 11qq ddrrrikCE a )c o s (e x p~ ＝，
111111 dydxfyyfxxikyxECyxE?
e x p,
~,
得到极坐标夫琅合费衍射公式：
q?fr
20
其中
qq 10120 11 2 krJdrik )c o s (e x p
q10 krJ 是零阶贝赛尔函数
21100 1
1100 1
1
2
2
~
q
qqq?
qq
q
k
krdkrJkr
drkrJrE
ak
a
，
即有qqqqq q kaJkadxxxJkrdkrJkr aka
10 01100 1
11120 0 11qq ddrrrikCE a )c o s (e x p~ ＝，
其中应用了递推公式ttJdxxxJt
10 0
21
最后得到
q qq ka kaJCaE 12 2,~?
qq
q
qqq
q
q?
q
q?q
kaJka
k
C
krdkrJkr
k
C
drkrJrC
drikdrrC
ddrrrikCE
a
a
a
a
12
110
0
12
0
1101
1
2
0
11
0
11
111
2
0 0
11
2
2
2
)c o s (ex p
)c o s (ex p
~
，
22
q qq ka kaJCaE 12 2,~?
其中 2a? 是圆孔面积，设 220 )( CaI
'fr?q
2)( 21
0 ka
kaJII
q
qq
Y
X
L
2
X
1
Y
1
q
r
r
1
23
2.衍射图样 其中,z = kaq, 21
0
2?
z
zJIzI )(
当 z=0时，
,,)(lim 010 21 IIz zJz
在中心有极大强度点。
，＝时，，当 00)(0 1 IzJz
出现暗环位置。
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
出现次级极大的位置是
021
z
zJ
z
zJ
dz
d
由二阶贝赛尔函数的零点决定。
24
q 22.1000 frkakaz
far61.00
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
其中中央亮斑称为爱里斑，
它的半径满足,z0=1.22?,即爱里斑的半径,2r
结论：相邻暗环间隔不等，
次极大光强比中央极大小得多。
0
25
3、椭圆的衍射图样 (Diffraction pattern)
衍射屏 衍射图样
x'
y' y
x
26
Homework
1,A single-slit,illuminated by red
light of 600nm wavelength,
gives first-order Fraunhofer
diffraction minima that subtend
angles of 4o with the optic axis,
How wide is the slit?
P283 1&2
下一节
第二节 典型孔径的夫琅合费衍射一、衍射系统与透镜作用
1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。
远场与透镜后焦面对应
P (x,y)(x
1,y1)
θS
P
f
(x,y)
(x1,y1)
L2L1
S θ
2
2、夫琅合费衍射公式变化
1111
1
11 dydxyyxxz
kiyxECyxE
e x p,~,
其中
)](e xp [
1
22
1
1 2
1
z
yxzik
ziC
可以写成
11
1
1
1
111 dydxz
yy
z
xxikyxECyxE
e x p,~,
加有透镜之后，衍射公式如何变化？
3
fi
C
f
yxfik
)]([
e x p 2
22
111111 dydxfyyfxxikyxECyxE?
e x p,
~,
p'
x'p
z1
f'
xq
(x,y ) ( x',y' )
在傍轴近似下，公式中 Z1 由 f ' 代替。 计算公式变为：
在无透镜时，观察点为 P’；有透镜时,在透镜焦平面上为 P
fxzx q1
4
加有透镜之后，有两个因子与透镜有关：
（ 1）复数因子
)](ex p [ f yxfikfiC 21
22
其中 r CPyxf 222 f yxf
22
2
结论：若孔径很靠近透镜,r 是孔径原点 O处发出的子波到 P点的光程，而 kr 则是 O点到 P点的位相延迟。
二、夫琅合费衍射公式的意义
P(x,y)
f'
O
H
P(x1,y1) r
D
Q
C
5
yx
1111 sinsin yfxfyxQPOPOH yxD qqqOQ＝＝
而位相差
f
yy
f
xx
11
2
恰好是积分中的位相因子，它表示孔径上各点子波的位相差。
（ 2）位相因子
P0
P(x,y)
f'
O
H
P(x1,y1) r
D
Q
C
f
yy
f
xxik
11e x p
孔径上其它点发出的光波与 O 点的光程差：
6
夫琅合费衍射公式的意义（总结）
111111 dydxfyyfxxikyxECyxE?
e x p,
~,
)](ex p [ f yxfikfiC 21 22
O点到 P点的位相延迟孔径上其它点发出的光波与 O 点的位相差。
积分式表示孔径上各点子波的相干叠加。叠加结果取决于各点发出的子波与中心点发出子波的位相差。
7
三、矩孔衍射
(Diffraction by a rectangular aperture)
1、强度分布计算
（ Intensity distribution calculation）
设矩形孔的长和宽分别为 a
和 b,用单位平面波照射，即
0
1
11 yxE,
~
在矩孔以内在矩孔以外
b
a x
1
y1
a
b
8
设
f
ym
f
xl
,
11112
2
2
2
e xp,~ dydxmylxikCyxE
a
a
b
b
111111 ''e x p,~,~ dydxfyyfxxikyxECyxE?
－
将矩孔的复振幅分布代入下式：
9
1
2
2
11
2
2
1
1111
2
2
2
2
e x pe x p
e x p,
~
dyi k m ydxi k l xC
dydxmylxikCyxE
b
b
a
a
a
a
b
b
22
2
s i n
2
s i n
k m bk l a
k m bk l a
C a b
若令：
,2,2 bfyk m bafxk l a ＝＝
则
s i ns i n~,~
0EyxE
a b CE?0~和
10
2、强度分布特点先讨论沿 y轴方向的分布。
在 Y轴上，
2
0
s in
II
y＝
当? =0时,I有主极大值 Imax＝ I0，
故：
1s i n,0
2
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2?-?
I/I0
-2?
2200
22
0
s i ns i n C a bEIII
,
＝
（ 1）主极大值的位置：
11
（ 2）极小值的位置：
当?=n?,n=+1,+2,… 时，即
b
fnyn
f
yb
,
I=0,有极小值 。
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2?-?
I/I0
-2?
2
0
s in
II
y＝
主极大值的宽度：
b
fY?
2＝
＝
12
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Y=2eee
-1.43?
-2.45? 2.45?
1.43?
对于其它的极大值点，有 tgdd,即0s i n
2
可用作图求解。
（ 3）次极大值的位置：
（ 4）暗条纹的间隔
b
fe
注意：次极大值位置不在两暗纹的中间。
13
M
0
20
40
600
20
40
60
0,2
0,4
0,6
0,8
22
0
s i ns i n
II
0,0 4 7 0,0 0 2 2
0,0 0 2 2
0,0 4 7
0,0 4 7
0,0 4 7
0,0 0 2 2
0,0 0 2 2
衍射在 X轴呈现与 Y 轴同样的分布。在空间的其它点上，由两者的乘积决定。
（ 5）沿 X轴与 Y 轴有同样的分布,
14
四、单缝衍射 (Diffraction by a single slit)
已知矩孔衍射的强度分布：
s i ns i n~,~ 0EyxE
其中
bfyafx,＝
x
1
y
1
a
b
x1
y1
1,光强分布计算
（ Intensity distribution calculation）
15
当 b>>a时，矩孔变为狭缝，
此时，入射光在 Y方向上的衍射效应可以忽略。
因此单缝衍射的分布为
q s i n2,s i n
2
0 a
k l aII
16
y
x
0 0,5 1
10
10
因为 q较小,sinq=x/f’=q,
中央极大条纹的角半径半宽度：
fae
a
q
0
0＝
P ( y )
f'
O
P ( y
1
) r
q
q
衍射条纹与中央条纹
e0
2,光强分布特点
2e0
17
五、夫琅合费圆孔衍射
(Fraunhofer diffraction by a circular aperture)
1、光强分布,设圆孔半径为 a,则孔径函数变为
0
1,＝ E
ayx 2121当
ayx 2121当变为极坐标
0
1,＝ E
ar
ar
Y
X
L
2
X
1
Y
1
q
r
r
1
111
111
s i n
c o s
ry
rx
s in
c os
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rx
11111?ddrrdydx?
直角坐标变极坐标：
18
Y
X
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2
X
1
Y
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1
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r
f
y
f
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x
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直角坐标变极坐标：
f
r
f
y
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x
111
111
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c o s
19
代入夫琅合费衍射公式
111
2
0 0 1111
s i ns i nc o sc o s
'
e x p
~
ddrr
rr
f
r
ikCrE a
，
设 得到：
11120 0 11qq ddrrrikCE a )c o s (e x p~ ＝，
111111 dydxfyyfxxikyxECyxE?
e x p,
~,
得到极坐标夫琅合费衍射公式：
q?fr
20
其中
qq 10120 11 2 krJdrik )c o s (e x p
q10 krJ 是零阶贝赛尔函数
21100 1
1100 1
1
2
2
~
q
qqq?
q
k
krdkrJkr
drkrJrE
ak
a
，
即有qqqqq q kaJkadxxxJkrdkrJkr aka
10 01100 1
11120 0 11qq ddrrrikCE a )c o s (e x p~ ＝，
其中应用了递推公式ttJdxxxJt
10 0
21
最后得到
q qq ka kaJCaE 12 2,~?
q
qqq
q
q?
q
q?q
kaJka
k
C
krdkrJkr
k
C
drkrJrC
drikdrrC
ddrrrikCE
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a
a
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12
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0
12
0
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1
2
0
11
0
11
111
2
0 0
11
2
2
2
)c o s (ex p
)c o s (ex p
~
，
22
q qq ka kaJCaE 12 2,~?
其中 2a? 是圆孔面积，设 220 )( CaI
'fr?q
2)( 21
0 ka
kaJII
q
Y
X
L
2
X
1
Y
1
q
r
r
1
23
2.衍射图样 其中,z = kaq, 21
0
2?
z
zJIzI )(
当 z=0时，
,,)(lim 010 21 IIz zJz
在中心有极大强度点。
，＝时，，当 00)(0 1 IzJz
出现暗环位置。
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
出现次级极大的位置是
021
z
zJ
z
zJ
dz
d
由二阶贝赛尔函数的零点决定。
24
q 22.1000 frkakaz
far61.00
- 1 0 -5 0 5 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
其中中央亮斑称为爱里斑，
它的半径满足,z0=1.22?,即爱里斑的半径,2r
结论：相邻暗环间隔不等，
次极大光强比中央极大小得多。
0
25
3、椭圆的衍射图样 (Diffraction pattern)
衍射屏 衍射图样
x'
y' y
x
26
Homework
1,A single-slit,illuminated by red
light of 600nm wavelength,
gives first-order Fraunhofer
diffraction minima that subtend
angles of 4o with the optic axis,
How wide is the slit?
P283 1&2
下一节
