第四节 光波的叠加
(Superposition of waves)
2、波的叠加原理：
几个波在相遇点产生的合振动是各个在该点产生振动的 矢量和 。（ p201)
)(E)(E)(E 21 ppp
1、波的叠加现象一、波的叠加原理
3、注意几个概念：
叠加结果为光波 振幅 的矢量和，而不是 光强 的和。
光波传播的独立性：两个光波相遇后又分开，每个光波仍然保持原有的特性（频率、
波长、振动方向、传播方向等）。
叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解，
式（ 10－ 20）。一个实际的光场是许多个简谐波叠加的结果。
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
（一）三角函数的叠加
)c os (
)c os (
tkraE
tkraE
222
111
＝
＝
)c os ()c os ( tataEEE
krkr
221121
2211
＋＝＋＝
＝，＝令：
2211
2211
2121
2
2
2
1
2
2
co sco s
s i ns i n
)co s (
)co s (
aa
aa
tg
aaaaA
tAE
＝式中：
＝得到的合振动：
S1
S2
（二）复函数的叠加
)](e xp [
)](e xp [
tiaE
tiaE
222
111
＝
＝
)](e x p [)](e x p [ tiatiaEEE 221121 ＋＝＋＝
2211
2211
2121
2
2
2
1
2
)(
c o sc o s
s i ns i n
)c o s (2
)](e x p [
aa
aa
tg
aaaaA
AetiAE
ti
＝式中：
＝得到的合振动：
（三）对叠加结果的分析：（主要对象为 合成的 光强）
)c o s ( 212122212 2 aaaaAI ＝＝
21
－＝
位相差合成光强的大小取决于
)210
1c o s)
2
1
()12(
1c o s2
2
2121
2
2121
，，，（
＝，有＝，＝当；＝时，有时，＝当
m
aaIImm
aaIImm
M I N
M AX
1 2 1 2
2 ()n r r
＝ －
2
物理量；分析叠加结果的重要＝光程差,)( 21 rrn
2 2 2
1 2 1 2
22
1 2 1 2
2 c o s
22 c o s
I A a a a a
I a a a a
＝ ＝
说明
1、因为,光强是位置的函数；()fP
2、只要光源的初位相不变就会在光波叠加区域里形成强弱稳定的光强分布－－干涉现象。
3、相干光波和相干光源。
三、驻波 (Standing Wave)
在波的传播路径上，对于介质不同点有不同振幅两个频率相同、振动方向相同而 传播方向 相反 的单色光波的叠加将形成 驻波 。垂直入射的光波和它的反射光波之间将形成驻波。
是反射时的位相差式中：
＋＝＋＝
)co s ()co s ( tkzatkzaEEE 21
)co s ()co s (
22
221 －＋＝＋＝叠加结果,tkzaEEE
)co s ( 22?＋＝ kzaA
0)
2
1
(
2
2
2
Amkz
aAmkz
－波节的位置：
波腹的位置：
入射波反射波四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加
)co s ()co s ( 2211 tkraEtkraE yx ＝，＝
0 0 0 1 1 0 2 2E x y x c o s ( ) y c o s ( )xyE E a t a t＝ ＋ ＝ ＋
合振动的大小和方向随时间变化，合振动矢量末端运动轨迹方程为：
)(s i n)c os ( 12212
21
2
2
2
2
1
2
2 aEaEaEaE yxyx
122
2
2
1
21 c os22
aa
aatg
2a 1
2a
2
Ey
Ex?
右旋光与左旋光
1、右旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量 顺时针 方向旋转。
Ey
Ex
顺时针：右旋
012 )s i n (此时：
2、左旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量 逆时针 方向旋转。
012 )s i n (此时：
Ey
Ex
逆时针：左旋椭圆形状和旋向的分析,( )
（图 10-30）
1212,aa
Ey
Ex
3π /2<δ <2π
Ey
Ex
δ =0
Ey
Ex
0<δ <π/2
Ey
Ex
δ =π /2
Ey
Ex
π /2<δ <π
Ey
Ex
δ =π
Ey
Ex
π <δ <3π/2
Ey
Ex
δ =3π/2
五、光学拍
（合成光波的强度随位置和时间而变化的现象）
光学拍是由 两个频率接近,振幅相同、振动方向相同且在同一方向传播的光形成的。（图 10－ 32）
)c os ()c os ( tzkaEtzkaE 222111 和＝
两个不同频率的光：
)c o s ()c o s ( tzktzkaEEE mm221 ＝＋＝合成的光波：
22
22
2121
2121
kk
k
kk
k
mm
,式中：
A
)c o s ()c o s ( tzktzkaEEE mm221 ＝＋＝合成的光波：
)c o s (
)c o s (
tzkAE
tzkaA mm
＝则有：
令 2
)](c o s[
)(c o s
tzka
tzkaAI
mm
mm
212
4
2
222合成的光强：
m
)](co s[ tzkaI mm 212 2
22 2121
kkk
mm
,其中,
合成波的强度随时间和位置而变化的现象称为 拍 。其频率称 拍频 （ Beat frequency）。
拍频的应用：利用已知的一个光频率?1，测量另一个未知的光频率?2。
212m拍频为六、群速度和相速度
1,相速度 （ Phase velocity）,等位相面传播的速度
kt
zvtzk
常数，得到令
：在空间域上k?2
z 或 t
2在时间域上：
。所走的距离在空间域上，位相变化 k 22?:
。所需的时间在时间域上，位相变化 22?T:
)c o s ()c o s ( tzktzkaE mm 2合成的光波：
2、群速度 (Group velocity)：等振幅面传播的速度
kkkkvtzk m
m
gmm?
21
21常数，得：令
)c o s ()c o s ( tzktzkaE mm 2合成的光波：
m?
2在时间域上：
z 或 t
：在空间域上
mk
2
在真空中传播时，波速相同,相速度和群速度相等 。
在色散介质中传播时，不同频率的光波传播速度不同，
合成波形在传播过程中会不断地变化,相速度和群速度便不同了 。
本课内容回顾
1、波的叠加原理
2、两个频率相同、振动方向相同的单色光波叠加
3、驻波（频率同、振动方向同、传播方向相反）
4、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波叠加
5、光学拍（小频率差、振动方向同、传播方向同、
振幅同）
6、相速度和群速度
Homework
1.The two waves are represented by
cosine functions,y1=Acos(?t+?1) and
y2=Acos(?t+?2),respectively,Find
resultant wave and magnitude of the
new amplitude,
P304 21&26
(Superposition of waves)
2、波的叠加原理：
几个波在相遇点产生的合振动是各个在该点产生振动的 矢量和 。（ p201)
)(E)(E)(E 21 ppp
1、波的叠加现象一、波的叠加原理
3、注意几个概念：
叠加结果为光波 振幅 的矢量和，而不是 光强 的和。
光波传播的独立性：两个光波相遇后又分开，每个光波仍然保持原有的特性（频率、
波长、振动方向、传播方向等）。
叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解，
式（ 10－ 20）。一个实际的光场是许多个简谐波叠加的结果。
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
（一）三角函数的叠加
)c os (
)c os (
tkraE
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222
111
＝
＝
)c os ()c os ( tataEEE
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221121
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＝式中：
＝得到的合振动：
S1
S2
（二）复函数的叠加
)](e xp [
)](e xp [
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)](e x p [)](e x p [ tiatiaEEE 221121 ＋＝＋＝
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)](e x p [
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＝得到的合振动：
（三）对叠加结果的分析：（主要对象为 合成的 光强）
)c o s ( 212122212 2 aaaaAI ＝＝
21
－＝
位相差合成光强的大小取决于
)210
1c o s)
2
1
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2
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2
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，，，（
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M I N
M AX
1 2 1 2
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＝ －
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物理量；分析叠加结果的重要＝光程差,)( 21 rrn
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1 2 1 2
22
1 2 1 2
2 c o s
22 c o s
I A a a a a
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＝ ＝
说明
1、因为,光强是位置的函数；()fP
2、只要光源的初位相不变就会在光波叠加区域里形成强弱稳定的光强分布－－干涉现象。
3、相干光波和相干光源。
三、驻波 (Standing Wave)
在波的传播路径上，对于介质不同点有不同振幅两个频率相同、振动方向相同而 传播方向 相反 的单色光波的叠加将形成 驻波 。垂直入射的光波和它的反射光波之间将形成驻波。
是反射时的位相差式中：
＋＝＋＝
)co s ()co s ( tkzatkzaEEE 21
)co s ()co s (
22
221 －＋＝＋＝叠加结果,tkzaEEE
)co s ( 22?＋＝ kzaA
0)
2
1
(
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2
2
Amkz
aAmkz
－波节的位置：
波腹的位置：
入射波反射波四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加
)co s ()co s ( 2211 tkraEtkraE yx ＝，＝
0 0 0 1 1 0 2 2E x y x c o s ( ) y c o s ( )xyE E a t a t＝ ＋ ＝ ＋
合振动的大小和方向随时间变化，合振动矢量末端运动轨迹方程为：
)(s i n)c os ( 12212
21
2
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右旋光与左旋光
1、右旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量 顺时针 方向旋转。
Ey
Ex
顺时针：右旋
012 )s i n (此时：
2、左旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量 逆时针 方向旋转。
012 )s i n (此时：
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Ex
逆时针：左旋椭圆形状和旋向的分析,( )
（图 10-30）
1212,aa
Ey
Ex
3π /2<δ <2π
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五、光学拍
（合成光波的强度随位置和时间而变化的现象）
光学拍是由 两个频率接近,振幅相同、振动方向相同且在同一方向传播的光形成的。（图 10－ 32）
)c os ()c os ( tzkaEtzkaE 222111 和＝
两个不同频率的光：
)c o s ()c o s ( tzktzkaEEE mm221 ＝＋＝合成的光波：
22
22
2121
2121
kk
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,式中：
A
)c o s ()c o s ( tzktzkaEEE mm221 ＝＋＝合成的光波：
)c o s (
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＝则有：
令 2
)](c o s[
)(c o s
tzka
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4
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222合成的光强：
m
)](co s[ tzkaI mm 212 2
22 2121
kkk
mm
,其中,
合成波的强度随时间和位置而变化的现象称为 拍 。其频率称 拍频 （ Beat frequency）。
拍频的应用：利用已知的一个光频率?1，测量另一个未知的光频率?2。
212m拍频为六、群速度和相速度
1,相速度 （ Phase velocity）,等位相面传播的速度
kt
zvtzk
常数，得到令
：在空间域上k?2
z 或 t
2在时间域上：
。所走的距离在空间域上，位相变化 k 22?:
。所需的时间在时间域上，位相变化 22?T:
)c o s ()c o s ( tzktzkaE mm 2合成的光波：
2、群速度 (Group velocity)：等振幅面传播的速度
kkkkvtzk m
m
gmm?
21
21常数，得：令
)c o s ()c o s ( tzktzkaE mm 2合成的光波：
m?
2在时间域上：
z 或 t
：在空间域上
mk
2
在真空中传播时，波速相同,相速度和群速度相等 。
在色散介质中传播时，不同频率的光波传播速度不同，
合成波形在传播过程中会不断地变化,相速度和群速度便不同了 。
本课内容回顾
1、波的叠加原理
2、两个频率相同、振动方向相同的单色光波叠加
3、驻波（频率同、振动方向同、传播方向相反）
4、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波叠加
5、光学拍（小频率差、振动方向同、传播方向同、
振幅同）
6、相速度和群速度
Homework
1.The two waves are represented by
cosine functions,y1=Acos(?t+?1) and
y2=Acos(?t+?2),respectively,Find
resultant wave and magnitude of the
new amplitude,
P304 21&26
