1
一、傅里叶变换的定义的傅里叶变换。是称
，做积分对于一个可积的复函数
),( ),(
)](2e x p [),(),(
),(
yxfvuF
d xd yyvxuiyxfvu F
yxf
d u d vyvxuivuFyxf
yxfvuF
)](2ex p [),( ),(
),( ),(
做傅里叶逆变换，得到对互为傅里叶变换对。和 )v,u(F)y,x(f
第三节 夫琅和费衍射 （ Fraunhofer diffraction）
与傅立叶变换 （ Fourier transformation）
2
。
的权重是：组合，而每个函数所占的的基频函数频率同可以分解为无穷多个不函数傅里叶变换的意义：
du dvvuF
yvxuivu
yxf
),(
)](2exp [),(
),(
dudvyvxuivuFyxf )](2e x p [),( ),(?
3
,fyvfxu ll
的傅里叶变换。振幅分布是衍射物体复分布衍射的复振幅除常数项外，夫琅和费则有：
若设：
其中对于夫琅和费衍射变换夫琅和费衍射和傅里叶
),(
),(
)](2exp[),(),(
)]2(exp[1
]/)(exp[),(),(
.1
11
111111
22
111111
yxE
vuE
dydxvyuxiyxECvuE
f
yxfik
fiC
dydxfyyxxikyxECyxE
l
二、光衍射和傅里叶变换
4
)s i n (
)]exp()[ exp(
2
1
)2exp()(
0
2
x 1
)(
2
2
ua
ua
a
uaiuai
ui
dxxuiuF
a
xf
a
a
其它例：狭缝函数
)(xf
x
2a2a?
5
)s i n (
)(
ua
ua
auF
将
f
x
u?
l
代入上式得：
s in ( ) s in ( s in )
s in
()
s in
x
a a
f
F x a a a
x
aa
f
l l
ll
与通过夫朗和费衍射积分求解方法得到的结果相同。
6
F(u)
uuaua d)s in (
u d
)s i n (
)2e x p (
)(
u
ua
ua
xuiu
xf
：而每个频率占的权重是的和，的基频函数为分解成许多个频率可以即一个方波函数
)s i n (
)(
ua
ua
auF
duxuiuFxf ]2e xp [)( )(?
则
7
1
x
x
l
f
x
A,有限光学孔径将入射的光衍射到各个方向,每个方向都可以 看成一个平面波分量 。 这些平面波被透镜汇聚在焦平面的能量大小,可以反映出此分量波在整个衍射波中所占的比重 。
2,光学衍射的物理意义
8
B,焦平面上不同的点对应着不同平面波的传播方向，如
（ x,y) 点对应的平面波在 x 方向的空间频率为：
l
l
l
c o s s in
f
xu
1
x
x
l
f
x
9
因此,在夫朗合费衍射中 u,v恰好是平面光波在 x,y 方向的空间频率 。 这些平面波各点权重与它们会聚在焦面上的光强成正比 。
111111 )](2e x p [),(),( dydxvyuxiyxECvuE?
数学与物理：衍射屏与其夫朗和费衍射在数学上：
衍射屏函数可以分解成无穷基频的和。
在光学上：
衍射屏的夫琅和费衍射，是将一个有限光波衍射成无穷个方向传输的平面光波。
10
三、夫琅和费衍射的性质
1、衍射现象的扩散程度与孔径大小成反比
a
uF
aaxf
1)( 傅立叶变换性质：
物理意义：
物函数坐标的收缩和展宽，使频谱函数坐标按同一比例展宽或收缩，同时频谱的振幅相应降低或增加。
但频谱函数的形式不变。
光的限制越严重，衍射现象越显著。
11
2、孔径（衍射屏）在自身平面内平移，不改变衍射图样的位置和形状
]2e x p [)(
00 uxiuFxxf
傅立叶变换性质：
物理意义：
孔径或衍射屏在空域中横向平移，并不影响频谱面上的光场振幅分布，只是其相位有一线性变化，频谱面上的光强分布不变。
0x
12
3、用倾斜照明波照明孔径，使衍射屏图样发生平移
00 )2e x p ()(
uuFxuixf
傅立叶变换性质：
物理意义：
空域中的线性相移引起频谱分布的横向移动。这对应着孔径或衍射屏被一束单位振幅的倾斜平面波照明的情况。
0?
f
fxu l?
0u
13
4、互补屏的夫琅和费衍射
E
1
E
2
互补屏是指这样的两个衍射屏，其一的通光部分正好对应另一个的不透明的部分。
14
设有两个互补屏 E1和 E2,则有,E1＋ E2＝ 无屏产生的衍射,PEPEPE
21 ~~~ ＋＝
除中心点 P＝ 0, 0＝PE~
则PEPE
21 ~~ ＝－
光强, 2
2
2
1 PEPE
~~ ＝
所以形状大小一样的 屏 和 孔 产生的衍射图样是一样的，
一个形状相等的 狭缝 和 细丝 的衍射图形也是一样。
巴比涅原理（ Babinet’ principle）
15
Babinet’s principle
Two diffracting objects are said to be
complementary to each other if details
in one object are opaque while the
same details in the other object are
transparent,and vice versa,The
diffraction patterns generated by two
such objects,except for the zeroth order,
are the same,an effect known as
Babinet’s principle,下一节
一、傅里叶变换的定义的傅里叶变换。是称
，做积分对于一个可积的复函数
),( ),(
)](2e x p [),(),(
),(
yxfvuF
d xd yyvxuiyxfvu F
yxf
d u d vyvxuivuFyxf
yxfvuF
)](2ex p [),( ),(
),( ),(
做傅里叶逆变换，得到对互为傅里叶变换对。和 )v,u(F)y,x(f
第三节 夫琅和费衍射 （ Fraunhofer diffraction）
与傅立叶变换 （ Fourier transformation）
2
。
的权重是：组合，而每个函数所占的的基频函数频率同可以分解为无穷多个不函数傅里叶变换的意义：
du dvvuF
yvxuivu
yxf
),(
)](2exp [),(
),(
dudvyvxuivuFyxf )](2e x p [),( ),(?
3
,fyvfxu ll
的傅里叶变换。振幅分布是衍射物体复分布衍射的复振幅除常数项外，夫琅和费则有：
若设：
其中对于夫琅和费衍射变换夫琅和费衍射和傅里叶
),(
),(
)](2exp[),(),(
)]2(exp[1
]/)(exp[),(),(
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11
111111
22
111111
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二、光衍射和傅里叶变换
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)s i n (
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2
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0
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其它例：狭缝函数
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代入上式得：
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与通过夫朗和费衍射积分求解方法得到的结果相同。
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：而每个频率占的权重是的和，的基频函数为分解成许多个频率可以即一个方波函数
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则
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x
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A,有限光学孔径将入射的光衍射到各个方向,每个方向都可以 看成一个平面波分量 。 这些平面波被透镜汇聚在焦平面的能量大小,可以反映出此分量波在整个衍射波中所占的比重 。
2,光学衍射的物理意义
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B,焦平面上不同的点对应着不同平面波的传播方向，如
（ x,y) 点对应的平面波在 x 方向的空间频率为：
l
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c o s s in
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1
x
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因此,在夫朗合费衍射中 u,v恰好是平面光波在 x,y 方向的空间频率 。 这些平面波各点权重与它们会聚在焦面上的光强成正比 。
111111 )](2e x p [),(),( dydxvyuxiyxECvuE?
数学与物理：衍射屏与其夫朗和费衍射在数学上：
衍射屏函数可以分解成无穷基频的和。
在光学上：
衍射屏的夫琅和费衍射，是将一个有限光波衍射成无穷个方向传输的平面光波。
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三、夫琅和费衍射的性质
1、衍射现象的扩散程度与孔径大小成反比
a
uF
aaxf
1)( 傅立叶变换性质：
物理意义：
物函数坐标的收缩和展宽，使频谱函数坐标按同一比例展宽或收缩，同时频谱的振幅相应降低或增加。
但频谱函数的形式不变。
光的限制越严重，衍射现象越显著。
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2、孔径（衍射屏）在自身平面内平移，不改变衍射图样的位置和形状
]2e x p [)(
00 uxiuFxxf
傅立叶变换性质：
物理意义：
孔径或衍射屏在空域中横向平移，并不影响频谱面上的光场振幅分布，只是其相位有一线性变化，频谱面上的光强分布不变。
0x
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3、用倾斜照明波照明孔径，使衍射屏图样发生平移
00 )2e x p ()(
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傅立叶变换性质：
物理意义：
空域中的线性相移引起频谱分布的横向移动。这对应着孔径或衍射屏被一束单位振幅的倾斜平面波照明的情况。
0?
f
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0u
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4、互补屏的夫琅和费衍射
E
1
E
2
互补屏是指这样的两个衍射屏，其一的通光部分正好对应另一个的不透明的部分。
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设有两个互补屏 E1和 E2,则有,E1＋ E2＝ 无屏产生的衍射,PEPEPE
21 ~~~ ＋＝
除中心点 P＝ 0, 0＝PE~
则PEPE
21 ~~ ＝－
光强, 2
2
2
1 PEPE
~~ ＝
所以形状大小一样的 屏 和 孔 产生的衍射图样是一样的，
一个形状相等的 狭缝 和 细丝 的衍射图形也是一样。
巴比涅原理（ Babinet’ principle）
15
Babinet’s principle
Two diffracting objects are said to be
complementary to each other if details
in one object are opaque while the
same details in the other object are
transparent,and vice versa,The
diffraction patterns generated by two
such objects,except for the zeroth order,
are the same,an effect known as
Babinet’s principle,下一节
