1
第六节 衍射光栅
( Diffraction gratings )
一、概述：
光栅：能对入射光波的振幅或相位进行空间周期性调制，或对振幅和相位同时进行空间周期性调制的光学元件。
光栅光谱：光栅的夫朗和费衍射图样。
光栅分类,振幅型和相位型（按调制方式）
透射型和反射型（按工作方式）
平面型和凹面型（按工作表面）
机刻光栅、复制光栅、全息光栅（制作方法）
光栅作用：分光作用。
2
二、光栅的分光性能
1、光栅方程 （ The grating equation）
mid
md
)s i n( s i n
s i n
＝修正式：
＝正入射时：
符号规则：光线位于光栅面法线异侧，取,-” 号；反之，取,+” 号
R1
R2
d?
i
mid )s i n( s i n＝
光栅面法线
R1
R2
d?
i
mid )s i n( s i n＝
光栅面法线
3
2、光栅光谱与色散
（衍射角与波长变化的关系）
md s in 体现了 衍射角?与?的关系光栅光谱线：多色光的各级亮线。
1
2>?1
0 1 2 3 4-1-2-3-4
4
由光栅光谱图可见：
1）白光经光栅产生的光谱只有 0级重合，其他各级均彼此分开；每级光谱中靠近中央条纹的一侧为紫色，远离中央条纹的一侧为红色。
2）谱线级次越高，色散越大；
3）因为衍射角 不可能大于 90o,这就限制了所能观察到的明条纹数目；
4）由于各谱线间的距离随着光谱的级次增加而增加，所以级次高的光谱彼此重叠。
5
角色散：波长相差 1埃的两条谱线之间的角距离
c o sd
m
d
d
线色散：焦平面上，波长相差 1埃的两条谱线之间的距离。
c o sd
mf
d
df
d
dl
说明几点,m,d,f,cosθ的影响。
6
若的光谱范围内，可以观察到互相分开的谱线。
)()1( mm此时，
有关和只与＝ mm
3,光栅的自由光谱范围
7
4、光栅分辨本领 (Resolvance of a grating)
是指分辨两个很靠近的谱线的能力 。
根据瑞利判据，当?＋? 产生的谱线的位置落在?的同级谱线的 1级极小值上时，
两个谱线刚好被分辩。
已知 m级谱线
0 2 4 6 8 10 12
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
md m?si n
（ 1）
8
它的 1级极小位置：
)1()][ s i n( Nmd m
（ 2）
（ 2）式展开得：
1cos,s in
Nmd mm
1s i nc o sc o ss i n
0 2 4 6 8 10 12
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Nmd mm
1c o ss i n （ 3）
9
（ 3） -（ 1）则有：
mdN?
c o s
(谱线的半角宽度 )
小角度，就是光栅所能分辨的最
mN
对 应 的 波 长 差 为,＝
是光栅的总栅数。是干涉级次，
＝＝
为光栅的分辨本领通常定义
Nm
sNmNAPFmNA )97.0,,(,
10
三、几种典型光栅
（ 一）平面光栅
1、光栅的光强分布重合）（零级谱线与中央衍射）（ 220 ])2/s i n ( )2/s i n ([s i n NII
s i na＝其中 衍射调制
s in2 d?
谱线位置
11
2.光栅方程由干涉项决定的。? md?sin
4.分辨本领：
3.角散色：
( 变化，产生的波长每增加一个 A )0
＝＝ mNA
c o sd
m?
12
能量了。干涉谱线几乎没有多少变小（能量损失）。值应大，但大时，问题,ImA
解决的方法是：
1） 将衍射的极大方向变换到高级谱线上。
（闪耀光栅）
2） 增大光程差，提高衍射级次。（阶梯光栅）
A=mN
13
（二）平面定向光栅（闪耀光栅）
栅面法线与刻划面法线分开，使光强度的分布发生改变。
1、光强度分布最大的方向满足反射定律,?=?
2、衍射级次应由光栅方程决定
i, 知衍射零级方向为＝由 mid )s i n( s i n
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
i?g i?
d
a
刻划面法线
g
衍射 0级
14
gg?g?gi
代入光栅方程
mid ＝)s i n( s i n?
式中?,m为要求具有最大光强的波长（闪耀波长）和级次，根据给定的 d和 i可求得 g 。
3、光栅闪耀角 g的控制
gg mid ＝整理得,)c o s (s i n2?
当最大光强与 m级衍射重合时，如右图所示。
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
i?g i?
d
a
刻划面法线
g
衍射 m级
15
如果选择,自准条件” 入射，即 i=g
（沿刻划面法线入射）,则有?=?=0，
＝ g。
g md ＝s i n2
4、实例：
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
=i=g?g
d
a
刻划面法线
g
=?=0
衍射 m级
)c o s (s i n2 整理得：＝代入公式?gg mid?
16
当 m＝ 1时，对应?=?B称为闪耀波长，此时光强最大值正好分布在衍射的 1级光谱上（在 g方向上）
对?B 的一级光谱闪烁的光栅 对?B /2的 2级光谱和?B /3
的 3级光谱也 闪耀。
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
=i=g?g
d
a
刻划面法线
g
=?=0
衍射 m级
17
应用时是根据?B,确定 g,由于中央衍射有一定的宽度，所以闪耀波长附近的谱线也有相当大的强度，因而闪耀光栅可用于一定的波长范围。
k
i
4 y?( )
i
z
i
k
i
4 z
i
i
0 50 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
0
2
4
B(中心波长 )
1级极大
2级极大
0级极大
18
（三）阶梯光栅 （ 用阶梯形状达到增加光程的目的 ）
a
h
入射光透射式阶梯光栅
a
h
入射光反射式阶梯光栅
组成? 基本参数? 种类
19
anh
)1(
21＝
透射式阶梯光栅光程差构成,1）偏转?产生的程差
2）玻璃厚度产生的程差 )(s i n 121 nh aa＝
入射光
a
h
20
由于 h较大,m很大，
分辨本领很大。
ah
2
12＝
a
h
入射光反射式阶梯光栅
21
例：
设一个有 20个阶梯的光栅,h=1cm,n=1.5,?=500nm,
透射光在法线方向上的衍射级次和分辨本领：
4
7
2
10
105
1015.0)1(?
hnm
反射光在法线方向上的衍射级次和分辨本领：
54 1022010 mNA
41042
hm 5108 mNA
22
（四）正弦光栅 （振幅型、位相型）
若透射系数 t(x1)按余弦或正弦函数变化的光栅称为正弦光栅。对振幅型正弦光栅，它的振幅透射率：
11
2c o s1)( x
dBxt
用一个单位振幅平面波垂直照明光栅时，出射光栅的振幅为：
Imax
x1
t(x1)
Imin
d
23
11
1
1
1
1
2
1 c o s 2
()
0 2
2
1 c o s
B x x N d
dEx
x N d
x
B x r e c t
d N d
在 光 栅 内在 光 栅 外其夫琅和费衍射的复振幅分布：
cN d uNduu
B
uu
B
u
Nd
x
r ec tx
d
B
Nd
x
r ec tx
d
BxE
s i n)(
2
)(
2
)(
2
co s1
2
co s1)(
~
00
1
1
1
1
)](s i n2)(s i n2[ s i n)(~ 00 uucN dBuucN dBcN d uNdxE
df
xu 1u,s i n
0
式中
24
所以正弦光栅衍射图样的强度分布为,
2
2
2
2
2
2
si n
si nsi n
4
si n
si nsi n
4si n
si nsi n
d
dN
d
dN
B
d
dN
d
dN
B
dN
dN
NI
＝
0?/d
0
1
-?/d
=?/Nd
sin?
25
Homework (12-6)
A grating has slits that are 0.15mm
wide and separated,center to
center,by 0.6mm,Which of the
higher-order maxima are missing?
12-15,12-20
下一节
26
Resolvance of a grating
The resolvance (resolving
power) of a grating is a
measure of its capacity to
resolve two closely spaced
spectrum lines,
27
Types of gratings
We distinguish transmission
gratings which let the light pass
through,from reflection gratings,
A grating with completely opaque
bars and clear intervals is called
an amplitude gratings.
If the bars do not block the light
but merely retard its phase,we
have a phase grating.
28
This is possible,for example,by
placing increasingly thicker glass
plates in front of successive slits,
retarding the light,from slit to slit,
by wavelengths,This is called an
echelon grating.
a blazed reflection grating
29
Diffraction gratings
Any arrangement which is
equivalent in its action to a
number of parallel equidistant
slits of the same width is called a
diffraction grating.
第六节 衍射光栅
( Diffraction gratings )
一、概述：
光栅：能对入射光波的振幅或相位进行空间周期性调制，或对振幅和相位同时进行空间周期性调制的光学元件。
光栅光谱：光栅的夫朗和费衍射图样。
光栅分类,振幅型和相位型（按调制方式）
透射型和反射型（按工作方式）
平面型和凹面型（按工作表面）
机刻光栅、复制光栅、全息光栅（制作方法）
光栅作用：分光作用。
2
二、光栅的分光性能
1、光栅方程 （ The grating equation）
mid
md
)s i n( s i n
s i n
＝修正式：
＝正入射时：
符号规则：光线位于光栅面法线异侧，取,-” 号；反之，取,+” 号
R1
R2
d?
i
mid )s i n( s i n＝
光栅面法线
R1
R2
d?
i
mid )s i n( s i n＝
光栅面法线
3
2、光栅光谱与色散
（衍射角与波长变化的关系）
md s in 体现了 衍射角?与?的关系光栅光谱线：多色光的各级亮线。
1
2>?1
0 1 2 3 4-1-2-3-4
4
由光栅光谱图可见：
1）白光经光栅产生的光谱只有 0级重合，其他各级均彼此分开；每级光谱中靠近中央条纹的一侧为紫色，远离中央条纹的一侧为红色。
2）谱线级次越高，色散越大；
3）因为衍射角 不可能大于 90o,这就限制了所能观察到的明条纹数目；
4）由于各谱线间的距离随着光谱的级次增加而增加，所以级次高的光谱彼此重叠。
5
角色散：波长相差 1埃的两条谱线之间的角距离
c o sd
m
d
d
线色散：焦平面上，波长相差 1埃的两条谱线之间的距离。
c o sd
mf
d
df
d
dl
说明几点,m,d,f,cosθ的影响。
6
若的光谱范围内，可以观察到互相分开的谱线。
)()1( mm此时，
有关和只与＝ mm
3,光栅的自由光谱范围
7
4、光栅分辨本领 (Resolvance of a grating)
是指分辨两个很靠近的谱线的能力 。
根据瑞利判据，当?＋? 产生的谱线的位置落在?的同级谱线的 1级极小值上时，
两个谱线刚好被分辩。
已知 m级谱线
0 2 4 6 8 10 12
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
md m?si n
（ 1）
8
它的 1级极小位置：
)1()][ s i n( Nmd m
（ 2）
（ 2）式展开得：
1cos,s in
Nmd mm
1s i nc o sc o ss i n
0 2 4 6 8 10 12
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Nmd mm
1c o ss i n （ 3）
9
（ 3） -（ 1）则有：
mdN?
c o s
(谱线的半角宽度 )
小角度，就是光栅所能分辨的最
mN
对 应 的 波 长 差 为,＝
是光栅的总栅数。是干涉级次，
＝＝
为光栅的分辨本领通常定义
Nm
sNmNAPFmNA )97.0,,(,
10
三、几种典型光栅
（ 一）平面光栅
1、光栅的光强分布重合）（零级谱线与中央衍射）（ 220 ])2/s i n ( )2/s i n ([s i n NII
s i na＝其中 衍射调制
s in2 d?
谱线位置
11
2.光栅方程由干涉项决定的。? md?sin
4.分辨本领：
3.角散色：
( 变化，产生的波长每增加一个 A )0
＝＝ mNA
c o sd
m?
12
能量了。干涉谱线几乎没有多少变小（能量损失）。值应大，但大时，问题,ImA
解决的方法是：
1） 将衍射的极大方向变换到高级谱线上。
（闪耀光栅）
2） 增大光程差，提高衍射级次。（阶梯光栅）
A=mN
13
（二）平面定向光栅（闪耀光栅）
栅面法线与刻划面法线分开，使光强度的分布发生改变。
1、光强度分布最大的方向满足反射定律,?=?
2、衍射级次应由光栅方程决定
i, 知衍射零级方向为＝由 mid )s i n( s i n
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
i?g i?
d
a
刻划面法线
g
衍射 0级
14
gg?g?gi
代入光栅方程
mid ＝)s i n( s i n?
式中?,m为要求具有最大光强的波长（闪耀波长）和级次，根据给定的 d和 i可求得 g 。
3、光栅闪耀角 g的控制
gg mid ＝整理得,)c o s (s i n2?
当最大光强与 m级衍射重合时，如右图所示。
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
i?g i?
d
a
刻划面法线
g
衍射 m级
15
如果选择,自准条件” 入射，即 i=g
（沿刻划面法线入射）,则有?=?=0，
＝ g。
g md ＝s i n2
4、实例：
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
=i=g?g
d
a
刻划面法线
g
=?=0
衍射 m级
)c o s (s i n2 整理得：＝代入公式?gg mid?
16
当 m＝ 1时，对应?=?B称为闪耀波长，此时光强最大值正好分布在衍射的 1级光谱上（在 g方向上）
对?B 的一级光谱闪烁的光栅 对?B /2的 2级光谱和?B /3
的 3级光谱也 闪耀。
衍射面光强度分布最大的方向栅面法线
=i=g?g
d
a
刻划面法线
g
=?=0
衍射 m级
17
应用时是根据?B,确定 g,由于中央衍射有一定的宽度，所以闪耀波长附近的谱线也有相当大的强度，因而闪耀光栅可用于一定的波长范围。
k
i
4 y?( )
i
z
i
k
i
4 z
i
i
0 50 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
0
2
4
B(中心波长 )
1级极大
2级极大
0级极大
18
（三）阶梯光栅 （ 用阶梯形状达到增加光程的目的 ）
a
h
入射光透射式阶梯光栅
a
h
入射光反射式阶梯光栅
组成? 基本参数? 种类
19
anh
)1(
21＝
透射式阶梯光栅光程差构成,1）偏转?产生的程差
2）玻璃厚度产生的程差 )(s i n 121 nh aa＝
入射光
a
h
20
由于 h较大,m很大，
分辨本领很大。
ah
2
12＝
a
h
入射光反射式阶梯光栅
21
例：
设一个有 20个阶梯的光栅,h=1cm,n=1.5,?=500nm,
透射光在法线方向上的衍射级次和分辨本领：
4
7
2
10
105
1015.0)1(?
hnm
反射光在法线方向上的衍射级次和分辨本领：
54 1022010 mNA
41042
hm 5108 mNA
22
（四）正弦光栅 （振幅型、位相型）
若透射系数 t(x1)按余弦或正弦函数变化的光栅称为正弦光栅。对振幅型正弦光栅，它的振幅透射率：
11
2c o s1)( x
dBxt
用一个单位振幅平面波垂直照明光栅时，出射光栅的振幅为：
Imax
x1
t(x1)
Imin
d
23
11
1
1
1
1
2
1 c o s 2
()
0 2
2
1 c o s
B x x N d
dEx
x N d
x
B x r e c t
d N d
在 光 栅 内在 光 栅 外其夫琅和费衍射的复振幅分布：
cN d uNduu
B
uu
B
u
Nd
x
r ec tx
d
B
Nd
x
r ec tx
d
BxE
s i n)(
2
)(
2
)(
2
co s1
2
co s1)(
~
00
1
1
1
1
)](s i n2)(s i n2[ s i n)(~ 00 uucN dBuucN dBcN d uNdxE
df
xu 1u,s i n
0
式中
24
所以正弦光栅衍射图样的强度分布为,
2
2
2
2
2
2
si n
si nsi n
4
si n
si nsi n
4si n
si nsi n
d
dN
d
dN
B
d
dN
d
dN
B
dN
dN
NI
＝
0?/d
0
1
-?/d
=?/Nd
sin?
25
Homework (12-6)
A grating has slits that are 0.15mm
wide and separated,center to
center,by 0.6mm,Which of the
higher-order maxima are missing?
12-15,12-20
下一节
26
Resolvance of a grating
The resolvance (resolving
power) of a grating is a
measure of its capacity to
resolve two closely spaced
spectrum lines,
27
Types of gratings
We distinguish transmission
gratings which let the light pass
through,from reflection gratings,
A grating with completely opaque
bars and clear intervals is called
an amplitude gratings.
If the bars do not block the light
but merely retard its phase,we
have a phase grating.
28
This is possible,for example,by
placing increasingly thicker glass
plates in front of successive slits,
retarding the light,from slit to slit,
by wavelengths,This is called an
echelon grating.
a blazed reflection grating
29
Diffraction gratings
Any arrangement which is
equivalent in its action to a
number of parallel equidistant
slits of the same width is called a
diffraction grating.
