1
第八节 菲涅尔衍射
( Fresnel Diffraction )
一、菲涅尔波带法及圆孔、圆屏的菲涅尔衍射
1、菲涅尔波带法
C
EK
y1
x1
y
z1
z1 +λ
P0
x
z1+λ/2
z1 +3λ/2
Σ
2
从中心 C向外第 j 波带在 P0产生的复振幅为
C
EK
y1
x1
y
z1
z1 +λ
P0
x
z1+λ/2
z1 +3λ/2
Σ
2
c o s1~
j
j
j r
ACE
设第 j 波带的半径为 ρj，由图得：
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
4
1
2
z
j
jz
zjzj
1
1
jz
z
j?
当 时
3
1122 zA jjj
各波带的面积近似相等知各波带在 P0产生的复振幅有以下关系：
2
c o s1~
j
j
j r
ACE
由
321 ~~~ EEE
nn EEEEEE ~1~~~~~ 4321
则各波带在 P0产生的复振幅为：
4
,2
~~
~ 31
2
EE
E
因 Ei单调下降，且变化缓慢，所以近似有：
,2
~~
~ 42
3
EE
E
2
~
2
~
~ 1 nEEE
讨论：
1,P0的振幅与强度与衍射屏所包含的波带数有关，当波带数为奇数时，强度较大，反之强度较小。
2、对于一定大小的衍射孔和光波波长，波带数取决于距离 z1，因此沿光轴移动接收屏，可见 P0忽明忽暗交替变化。
3、当圆孔非常大时,P0点的复振幅等于第 1波带产生复振幅的一半，
强度为第 1波带强度的 1/4。（符合直线传播定律）
n为奇数时取正,n为偶数时取负。
5
2、圆孔衍射图样
EK
y1
x1
y
z1
z1 +λ
P0
x
C’
z1+λ/2 z1 +3λ/2
Σ
P
z1
随 P点离开 P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的对称性，距离 P0相同的点 P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
6
3、圆屏衍射图样
2、随 P点离开 P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的对称性，距离 P0相同的点 P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
2
~
~ 1EE?
EK
y1
x1
y
r0 +λ/2
P0
x
R0
r0+?
Σ
C
讨论：
1、圆屏较小时，轴上点 P0总是亮点；
3、圆屏较大时,P0点的光强度接近于 0。
7
二、菲涅尔透镜
nn EEEEEE ~1~~~~~ 4321
若制成一个 特殊的光阑 将奇数波带或偶数波带阻挡，
则剩下的各波带在 P0产生的复振幅将同相位叠加。光强将会大大增加。
已知菲涅尔圆孔衍射 P0点复振幅为：
1、菲涅尔透镜
8
定义,将奇数波带或偶数波带挡住的特殊光阑称为菲涅尔波带。由于它的聚光作用类似于一个普通透镜，故称为 菲涅尔透镜 。
菲涅尔波带
9
2、菲涅尔透镜的焦距若波带片是对应距离为 z1的轴上点 P0设计的,当单色光垂直照射波带片时,P0 为一亮点，称为波带片的 焦点,
z1 即为波带片的 焦距 。
1 jzj?由公式
j
f j
2
1z得：
10
3、菲涅尔透镜的成像关系
j
f
fll
j
2
1z
11
'
1
其中：
s s'
波带片
l l'
11
4、菲涅尔透镜的成像特点
1）菲涅尔透镜除主焦点 P0外，还存在光强较小的次焦点 P1 P2 P3…,它们距波带片的距离分别为 f/3、
f/5,f/7,…
2）还存在一系列与实焦点对称的虚焦点 P’0 P’1 P’2 P’3…
3）菲涅尔透镜的焦距与波长成反比。
4）采用二元光学方法补偿波带相位，且增大台阶数可以获得高衍射效率、高光强的主焦点。
12
三、泰伯（ Talbot）效应定义,不用透镜可对周期性物体成像的方法成为泰伯效应或泰伯自成像 （ Selfimaging） 。
现象,当用单色平面波垂直照明具有周期结构的衍射屏时，将会在衍射屏后菲涅尔衍射区内某个距离上出现该物体的几何像。
x'x
z
13
说明,（以振幅型正弦光栅为例）
x1,y1
z
111
2c o s1),( x
dyxt
设光栅的振幅透射系数为若单位平面波垂直照射，刚刚透过光栅的光场为：
),(),(~ 1111 yxtyxE?
14
被光栅调制的光场 传播到菲涅尔衍射区到达距离 z
时的复振幅分布为：
),(~ 11 yxE
1121211 2e x p12c o s2121,~ dydxyyxxzkixdzieyxE i k z
作变量代换,并由积分 得：
1xx
21
2
1
12 zidye
yyzik
d
z
kiee
zi
eyxE xixii k z dd
222
2e x p4
1
4
1
2
1,~ 11
21
15
分别积分得：
2122 zide z
ik
2112121 222 ddd zixiz
ki
xi eezidee
d
z
kiee
zi
eyxE xixii k z dd
222
2e x p4
1
4
1
2
1,~ 11
21
2112121 222 ddd zixiz
ki
xi eezidee
代入原式得：
x
deyxE d
zi 2c o s1),(~ 21
16
x
deyxE d
zi 2c o s1),(~ 21
当 时，
1,02 2 mmdz?
菲涅尔衍射复振幅分布与光栅透射系数相同。
满足光栅自成像的距离 z称为泰伯距离。
泰伯自成像实质：它是刚刚透过光栅的光场被分解为 0级和
1级的三个平面波在菲涅尔区的叠加结果。自成像也只发生在三个平面波场的菲涅尔衍射区内，其泰伯距离是有限的。
17
Homework (12-8)
12-29,12-31
第八节 菲涅尔衍射
( Fresnel Diffraction )
一、菲涅尔波带法及圆孔、圆屏的菲涅尔衍射
1、菲涅尔波带法
C
EK
y1
x1
y
z1
z1 +λ
P0
x
z1+λ/2
z1 +3λ/2
Σ
2
从中心 C向外第 j 波带在 P0产生的复振幅为
C
EK
y1
x1
y
z1
z1 +λ
P0
x
z1+λ/2
z1 +3λ/2
Σ
2
c o s1~
j
j
j r
ACE
设第 j 波带的半径为 ρj，由图得：
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
4
1
2
z
j
jz
zjzj
1
1
jz
z
j?
当 时
3
1122 zA jjj
各波带的面积近似相等知各波带在 P0产生的复振幅有以下关系：
2
c o s1~
j
j
j r
ACE
由
321 ~~~ EEE
nn EEEEEE ~1~~~~~ 4321
则各波带在 P0产生的复振幅为：
4
,2
~~
~ 31
2
EE
E
因 Ei单调下降，且变化缓慢，所以近似有：
,2
~~
~ 42
3
EE
E
2
~
2
~
~ 1 nEEE
讨论：
1,P0的振幅与强度与衍射屏所包含的波带数有关，当波带数为奇数时，强度较大，反之强度较小。
2、对于一定大小的衍射孔和光波波长，波带数取决于距离 z1，因此沿光轴移动接收屏，可见 P0忽明忽暗交替变化。
3、当圆孔非常大时,P0点的复振幅等于第 1波带产生复振幅的一半，
强度为第 1波带强度的 1/4。（符合直线传播定律）
n为奇数时取正,n为偶数时取负。
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2、圆孔衍射图样
EK
y1
x1
y
z1
z1 +λ
P0
x
C’
z1+λ/2 z1 +3λ/2
Σ
P
z1
随 P点离开 P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的对称性，距离 P0相同的点 P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
6
3、圆屏衍射图样
2、随 P点离开 P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的对称性，距离 P0相同的点 P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
2
~
~ 1EE?
EK
y1
x1
y
r0 +λ/2
P0
x
R0
r0+?
Σ
C
讨论：
1、圆屏较小时，轴上点 P0总是亮点；
3、圆屏较大时,P0点的光强度接近于 0。
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二、菲涅尔透镜
nn EEEEEE ~1~~~~~ 4321
若制成一个 特殊的光阑 将奇数波带或偶数波带阻挡，
则剩下的各波带在 P0产生的复振幅将同相位叠加。光强将会大大增加。
已知菲涅尔圆孔衍射 P0点复振幅为：
1、菲涅尔透镜
8
定义,将奇数波带或偶数波带挡住的特殊光阑称为菲涅尔波带。由于它的聚光作用类似于一个普通透镜，故称为 菲涅尔透镜 。
菲涅尔波带
9
2、菲涅尔透镜的焦距若波带片是对应距离为 z1的轴上点 P0设计的,当单色光垂直照射波带片时,P0 为一亮点，称为波带片的 焦点,
z1 即为波带片的 焦距 。
1 jzj?由公式
j
f j
2
1z得：
10
3、菲涅尔透镜的成像关系
j
f
fll
j
2
1z
11
'
1
其中：
s s'
波带片
l l'
11
4、菲涅尔透镜的成像特点
1）菲涅尔透镜除主焦点 P0外，还存在光强较小的次焦点 P1 P2 P3…,它们距波带片的距离分别为 f/3、
f/5,f/7,…
2）还存在一系列与实焦点对称的虚焦点 P’0 P’1 P’2 P’3…
3）菲涅尔透镜的焦距与波长成反比。
4）采用二元光学方法补偿波带相位，且增大台阶数可以获得高衍射效率、高光强的主焦点。
12
三、泰伯（ Talbot）效应定义,不用透镜可对周期性物体成像的方法成为泰伯效应或泰伯自成像 （ Selfimaging） 。
现象,当用单色平面波垂直照明具有周期结构的衍射屏时，将会在衍射屏后菲涅尔衍射区内某个距离上出现该物体的几何像。
x'x
z
13
说明,（以振幅型正弦光栅为例）
x1,y1
z
111
2c o s1),( x
dyxt
设光栅的振幅透射系数为若单位平面波垂直照射，刚刚透过光栅的光场为：
),(),(~ 1111 yxtyxE?
14
被光栅调制的光场 传播到菲涅尔衍射区到达距离 z
时的复振幅分布为：
),(~ 11 yxE
1121211 2e x p12c o s2121,~ dydxyyxxzkixdzieyxE i k z
作变量代换,并由积分 得：
1xx
21
2
1
12 zidye
yyzik
d
z
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222
2e x p4
1
4
1
2
1,~ 11
21
15
分别积分得：
2122 zide z
ik
2112121 222 ddd zixiz
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kiee
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222
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1
4
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21
2112121 222 ddd zixiz
ki
xi eezidee
代入原式得：
x
deyxE d
zi 2c o s1),(~ 21
16
x
deyxE d
zi 2c o s1),(~ 21
当 时，
1,02 2 mmdz?
菲涅尔衍射复振幅分布与光栅透射系数相同。
满足光栅自成像的距离 z称为泰伯距离。
泰伯自成像实质：它是刚刚透过光栅的光场被分解为 0级和
1级的三个平面波在菲涅尔区的叠加结果。自成像也只发生在三个平面波场的菲涅尔衍射区内，其泰伯距离是有限的。
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Homework (12-8)
12-29,12-31
