2009-7-19
现代通信原理第十章 数字信号的载波传输第十章 数字信号的载波传输
§ 10.6 各种数字调制的比较
§ 10.7 带通传输系统的复函数表示和计算
1,带通的复函数表示
2,带通传输系统的复函数表示
3,窄带噪声的复包络与功率谱密度
– 第十一章 差错控制编码
§ 11.1.2 差错控制编码的基本原理
如用三位二进制编码来代表八个字母
000 A 100 E
001 B 101 F
010 C 110 G
011 D 111 H
– 不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误
如用三位字母传四个字母
000 A 011 B 101 C 110 D
– 发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。
§ 11.2 分组码 (1)
分组码的监督方程
矩阵形式
0
0
0
0346
1356
2456
aaaa
aaaa
aaaa
0
0
0
1001101
0101011
0010111
0123456
Taaaaaaa
分组码 (2)
监督矩阵
H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。
而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。
rrkrrr IPH
,
1001101
0101011
0010111
分组码 (3)
生成矩阵
，通过生成矩阵可以得到生成码组。
如果输入码组为 0011
110
101
011
111
1000
0100
0010
0001
,QIG k
TPQ?
0111100
110
101
011
111
1000
0100
0010
0001
11001100?
GA
分组码 (4)
由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，
由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。
1 1 0 0 0 1 10 0 1 1?
汉明码汉明码监督位为 位，因此它可以组成 个可能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位共要纠正一个错误，必须满足最小码距
如果 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，
这种码组称为完备码（取等号时）
r r2
12?r
12,12 rkn rr 即
3mi n?d
扩展汉明码
如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督位
– 监督码字由 r 位增加到 r+1 位
– 信息位不变
码长 码结构
纠 1 位错，检测 2 位错
如 （ 8,4），（ 16,11）
rn 2? )12,2( rrr
扩展汉明码矩阵如 (7,4)－ > (8,4)
0
0
0
1111
HH
E
缩短汉明码
(n,k) － > (n-s,k-s)
如 (15,11)－ > (12,8)
监督矩阵 Hs 是将原 H 的前 3 列 去掉
缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。
能纠 t 个错误的 (n,k)应满足取等号时为完备码
不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和
dmin 有关,dmin 越大越好。
t
i
i
n
t
nnn
knr CCCC
0
21122?
最小码距界限
上界,汉明界,普洛特金界
下界,吉尔伯特界
问题,给定码长与编码效率，寻找 dmin
例,dmin=5,码长 =63 的分组码设计从汉明界得，
因此信息位最多可以取
)2,5(22 m i n2
0
63 个错误纠
dC
i
iknr
最小监督位数 11,20172 knrkn
上界＝－?521163
最小码距界限
通过吉尔伯特界求下界
线性码
k 越接近 52,效率越高。
下界＝－信息位
481563,5
63,522
2
0
r
ndC
d
i
i
n
rnr?
5248 k
§ 11.3 循环码 (Cyclic code)
1957 年发现
特点
– 线性分组码
– 循环性 ——任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组
如 是循环码的一许用码组
则 也是一许用码组
)( 0123456 aaaaaaa
)( 1234560 aaaaaaa
码多项式表示
码组码多项式
– 码组
– 码多项式
左移一位
左移 位
)( 0121 aaaaA nn
)()( 012211 aDaDaDaDA nnnn
)1 0 1 1 1 0 0(?A
2346)( DDDDDA
)( 1012 nn aaaaA?
)()( 102312)1( nnnnn aDaDaDaDA?
)( 121 inininin aaaaA
)()( 12211)( ininninnini aDaDaDaDA
i
循环码性质
为许用码组，则 也是许用码组
性质若 是长度为 n的循环码组，则在按模 进行运算后，也是一个循环码组，
也就是 用 多项式除后所得之余式，即为所求的码组。
)(DA )()( DADDA ii?
)(DADi
1?nD
)(DA
)(DADi 1?nD
循环码例子码组左移 3 位去除 得余式如 左移 3 位后，得是许用码组
015566)( aDaDaDaDA
304185963 )( DaDaDaDaDAD
17?D
455263 aDaDaDa
1 1 0 0 1 0 1?A
0101110
循环码生成多项式 g(D)
g(D) 是 D的 (n-k) 次即 r 次多项式
信息多项式为 M(D),k 位,(k-1)次多项式
10
1)( 111
或?
i
r
r
r
g
DgDgDDg?
0111)( mDmDmDM kk
g(D)
Theo.一个 (n,k) 的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即
如 (7,3)循环码,n=7,k=3,r=4
如果信息位为 010,M(D)=D
生成码为 0111010
)()()( DgdMDA?
1)( 234 DDDDg
DDDDDgDMDA 345)()()(
生成矩阵 G(D)
由于 k 位信息位共有 个码组，都可用此法产生，如果现有信息码生成 k 个码字，且这 k 个码字都线性无关，用这 k 个码字作为一个矩阵 G 的 k行构成生成矩阵 G(D)
1)(
)(
)(
0
2
1
DDM
DDM
DDM
k
k
)(1
)(
)(
)(
2
1
Dg
DgD
DgD
DG
k
k
k2
(7,3) 循环码
(7,3) 循环码
1)( 234 DDDDg
1)1(1
)1(
)1(
)(
234
345
2456
234
234
2342
DDD
DDDD
DDDD
DDD
DDDD
DDDD
DG
0101100
0101110
0010111
)( DG
生成矩阵和监督矩阵
这样构成的循环码并非是系统码
系统码的生成矩阵典型形式
非系统码?系统码
– 生成矩阵
– 监督矩阵
QIG k?
rT IQH?
1000100
1110010
0111001
0101100
0101110
0010111
)( DG
kI
Q
1010110
0100111
0011101
H
非系统码? 系统码
系统码的码多项式为
例如,(7,4)码,1011
)()()( DrDDMDA kn
1)( 23 DDDg
1)( 3 DDDM 3463)( DDDDDM
)(
)()(
)(
)(
Dg
DrDq
Dg
DMD kn
2
245
45
356
23
34623
1
D
DDD
DD
DDD
DD
DDDDD
2)( DDr?监督位为
10111001011?
非系统码? 系统码
(7,3)码
)(1
)(
)(
)(
2
1
Dg
DgD
DgD
DG
k
k
所得的余式除是
in
in
kn
r
n
rk
n
rk
DDgDr
DrD
DrDD
DrDD
DG
)()(
)(1
)(
)(
)(
2
2
1
1
0101100
0101110
0010111
)( DG
寻找生成多项式
Theo,循环码的生成多项式必须能除尽
h(D)是监督多项式
例：要构成 (7,3)循环码，求 g(D).
解,g(D)应为 4阶
生成 (7,6)循环码
生成 (7,1)循环码
1?nD
)()(1 DhDgD n
1)1)(1()(
1)1)(1()(
)1)(1)(1(1
2343
2423
3237
DDDDDDDDg
DDDDDDDg
DDDDDD
或
1)( DDg
)1)(1()( 323 DDDDDg
循环码的编码器
原理：按系统码的生成方式以 (7,4)码为例
)()()( DrDDMDA kn
1)( 23 DDDg
)(
)()(
)(
)(
Dg
DrDq
Dg
DMD kn
D1 D2 + D3 +
输入校验位码字输出循环码的译码器
译码比编码复杂得多
译码三步
– 伴随式 S的计算
– 由 S得到错误图样
– 纠正伴随式的计算
发送码组
接收码组
误差码组
校正子只与 E 有关，根本是计算校正子
][ 021 aaaA nn
][ 021 bbbb nn
EAB
][ 021 lllE nn
iii
iii
bal
bal
则则如果
,1
,0
EAB
TTTTT )( EHEHAHHEAHBS
校正子 S的计算
生成多项式 g(D)去除接收码字 B(D)
)(M o d)()( DgDBDS?
现代通信原理第十章 数字信号的载波传输第十章 数字信号的载波传输
§ 10.6 各种数字调制的比较
§ 10.7 带通传输系统的复函数表示和计算
1,带通的复函数表示
2,带通传输系统的复函数表示
3,窄带噪声的复包络与功率谱密度
– 第十一章 差错控制编码
§ 11.1.2 差错控制编码的基本原理
如用三位二进制编码来代表八个字母
000 A 100 E
001 B 101 F
010 C 110 G
011 D 111 H
– 不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误
如用三位字母传四个字母
000 A 011 B 101 C 110 D
– 发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。
§ 11.2 分组码 (1)
分组码的监督方程
矩阵形式
0
0
0
0346
1356
2456
aaaa
aaaa
aaaa
0
0
0
1001101
0101011
0010111
0123456
Taaaaaaa
分组码 (2)
监督矩阵
H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。
而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。
rrkrrr IPH
,
1001101
0101011
0010111
分组码 (3)
生成矩阵
，通过生成矩阵可以得到生成码组。
如果输入码组为 0011
110
101
011
111
1000
0100
0010
0001
,QIG k
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0111100
110
101
011
111
1000
0100
0010
0001
11001100?
GA
分组码 (4)
由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，
由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。
1 1 0 0 0 1 10 0 1 1?
汉明码汉明码监督位为 位，因此它可以组成 个可能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位共要纠正一个错误，必须满足最小码距
如果 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，
这种码组称为完备码（取等号时）
r r2
12?r
12,12 rkn rr 即
3mi n?d
扩展汉明码
如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督位
– 监督码字由 r 位增加到 r+1 位
– 信息位不变
码长 码结构
纠 1 位错，检测 2 位错
如 （ 8,4），（ 16,11）
rn 2? )12,2( rrr
扩展汉明码矩阵如 (7,4)－ > (8,4)
0
0
0
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HH
E
缩短汉明码
(n,k) － > (n-s,k-s)
如 (15,11)－ > (12,8)
监督矩阵 Hs 是将原 H 的前 3 列 去掉
缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。
能纠 t 个错误的 (n,k)应满足取等号时为完备码
不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和
dmin 有关,dmin 越大越好。
t
i
i
n
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0
21122?
最小码距界限
上界,汉明界,普洛特金界
下界,吉尔伯特界
问题,给定码长与编码效率，寻找 dmin
例,dmin=5,码长 =63 的分组码设计从汉明界得，
因此信息位最多可以取
)2,5(22 m i n2
0
63 个错误纠
dC
i
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最小监督位数 11,20172 knrkn
上界＝－?521163
最小码距界限
通过吉尔伯特界求下界
线性码
k 越接近 52,效率越高。
下界＝－信息位
481563,5
63,522
2
0
r
ndC
d
i
i
n
rnr?
5248 k
§ 11.3 循环码 (Cyclic code)
1957 年发现
特点
– 线性分组码
– 循环性 ——任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组
如 是循环码的一许用码组
则 也是一许用码组
)( 0123456 aaaaaaa
)( 1234560 aaaaaaa
码多项式表示
码组码多项式
– 码组
– 码多项式
左移一位
左移 位
)( 0121 aaaaA nn
)()( 012211 aDaDaDaDA nnnn
)1 0 1 1 1 0 0(?A
2346)( DDDDDA
)( 1012 nn aaaaA?
)()( 102312)1( nnnnn aDaDaDaDA?
)( 121 inininin aaaaA
)()( 12211)( ininninnini aDaDaDaDA
i
循环码性质
为许用码组，则 也是许用码组
性质若 是长度为 n的循环码组，则在按模 进行运算后，也是一个循环码组，
也就是 用 多项式除后所得之余式，即为所求的码组。
)(DA )()( DADDA ii?
)(DADi
1?nD
)(DA
)(DADi 1?nD
循环码例子码组左移 3 位去除 得余式如 左移 3 位后，得是许用码组
015566)( aDaDaDaDA
304185963 )( DaDaDaDaDAD
17?D
455263 aDaDaDa
1 1 0 0 1 0 1?A
0101110
循环码生成多项式 g(D)
g(D) 是 D的 (n-k) 次即 r 次多项式
信息多项式为 M(D),k 位,(k-1)次多项式
10
1)( 111
或?
i
r
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g
DgDgDDg?
0111)( mDmDmDM kk
g(D)
Theo.一个 (n,k) 的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即
如 (7,3)循环码,n=7,k=3,r=4
如果信息位为 010,M(D)=D
生成码为 0111010
)()()( DgdMDA?
1)( 234 DDDDg
DDDDDgDMDA 345)()()(
生成矩阵 G(D)
由于 k 位信息位共有 个码组，都可用此法产生，如果现有信息码生成 k 个码字，且这 k 个码字都线性无关，用这 k 个码字作为一个矩阵 G 的 k行构成生成矩阵 G(D)
1)(
)(
)(
0
2
1
DDM
DDM
DDM
k
k
)(1
)(
)(
)(
2
1
Dg
DgD
DgD
DG
k
k
k2
(7,3) 循环码
(7,3) 循环码
1)( 234 DDDDg
1)1(1
)1(
)1(
)(
234
345
2456
234
234
2342
DDD
DDDD
DDDD
DDD
DDDD
DDDD
DG
0101100
0101110
0010111
)( DG
生成矩阵和监督矩阵
这样构成的循环码并非是系统码
系统码的生成矩阵典型形式
非系统码?系统码
– 生成矩阵
– 监督矩阵
QIG k?
rT IQH?
1000100
1110010
0111001
0101100
0101110
0010111
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Q
1010110
0100111
0011101
H
非系统码? 系统码
系统码的码多项式为
例如,(7,4)码,1011
)()()( DrDDMDA kn
1)( 23 DDDg
1)( 3 DDDM 3463)( DDDDDM
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2
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DDD
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非系统码? 系统码
(7,3)码
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Dg
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所得的余式除是
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0101100
0101110
0010111
)( DG
寻找生成多项式
Theo,循环码的生成多项式必须能除尽
h(D)是监督多项式
例：要构成 (7,3)循环码，求 g(D).
解,g(D)应为 4阶
生成 (7,6)循环码
生成 (7,1)循环码
1?nD
)()(1 DhDgD n
1)1)(1()(
1)1)(1()(
)1)(1)(1(1
2343
2423
3237
DDDDDDDDg
DDDDDDDg
DDDDDD
或
1)( DDg
)1)(1()( 323 DDDDDg
循环码的编码器
原理：按系统码的生成方式以 (7,4)码为例
)()()( DrDDMDA kn
1)( 23 DDDg
)(
)()(
)(
)(
Dg
DrDq
Dg
DMD kn
D1 D2 + D3 +
输入校验位码字输出循环码的译码器
译码比编码复杂得多
译码三步
– 伴随式 S的计算
– 由 S得到错误图样
– 纠正伴随式的计算
发送码组
接收码组
误差码组
校正子只与 E 有关，根本是计算校正子
][ 021 aaaA nn
][ 021 bbbb nn
EAB
][ 021 lllE nn
iii
iii
bal
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则则如果
,1
,0
EAB
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校正子 S的计算
生成多项式 g(D)去除接收码字 B(D)
)(M o d)()( DgDBDS?
