第四章 平面机构的运动分析
§ 4-1 机构力分析的任务、目的和方法
§ 4-2 构件惯性力的确定
§ 4-3 运动副中摩擦力的确定
§ 4-4 不考虑摩擦时机构的力分析
§ 4-5 考虑摩擦时机构的力分析返回与其作用点的速度方向相同或者成锐角；
§ 4-1 机构力分析的任务、目的和方法
1.作用在机械上的力
（ 1） 驱动力
（ 2） 阻抗力驱动机械运动的力。
其特征：
其功为正功，
阻止机械运动的力。
其特征,与其作用点的速度方向相反或成钝角；
其功为负功,称为 阻抗功 。
1）有效阻力
2）有害阻力其功称为 有效功 或 输出功 ；
称为 驱动功 或 输入功 。
（工作阻力）
（非生产阻力） 其功称为 损失功 。
2,机构力分析的任务、目的及方法
（ 1）任务确定运动副中的反力确定平衡力及平衡力矩
（ 2）方法静力分析动态静力分析图解法和解析法机构力分析的任务、目的和方法 (2/2)
§ 4-2 构件惯性力的确定
1．一般力学方法以曲柄滑块机构为例
（ 1）作平面复合运动的构件（如连杆 2）
FI2＝－ m2aS2
MI2＝－ JS2α2
可简化为总惯性力 FI2′
lh2＝ MI2/FI2
MS2(FI2)与 α2方向相反。′
A
B
C
1 2 3
4
A
B
1
S1 m1
JS1
B
C
2
S2
m2 JS2
C
3
S3m
3
FI2
MI2
lh2
aS2
α2
FI2′
（ 2）作平面移动的构件（如滑块 3）
作变速移动时，则
FI3 ＝－ m3aS3
（ 3）绕定轴转动的构件（如曲柄 1）
若曲柄轴线不通过质心，则
FI1＝－ m1aS1
MI1＝－ JS1α1
若其轴线通过质心，则
MI1＝－ JS1α1
FI3aS3 C
3
A
B
1
aS1
S1
α1
FI1
MI1
构件惯性力的确定 (2/5)
是指设想把构件的质量按一定条件集中于构件上某几个选定点上的假象集中质量来代替的方法。
2．质量代换法质量代换法假想的集中质量称为 代换质量 ；
代换质量所在的位置称为 代换点 。
（ 1）质量代换的参数条件代换前后构件的质量不变；
代换前后构件的质心位置不变；
代换前后构件对质心轴的转动惯量不变。
这样便只需求各集中质量的惯性力，而无需求惯性力偶矩,从而使构件惯性力的确定简化。
（ 2）质量动代换即同时满足上述三个条件的质量代换称为 动代换 。
构件惯性力的确定 (3/5)
如连杆 BC的分布质量可用集中在 B,K两点的集中质量 mB、
mK来代换。
mB + mK＝ m2
mB b＝ mK k
mB b2＋ mK k2＝ JS 2
在工程中，一般选定代换点 B的位置，则
k＝ JS 2 /(m2b)
mB＝ m2k/(b+k)
A
B
C
1
2
3S1
S2 S
3
m2
K
mk
mB
mK＝ m2b/(b+k)
代换后构件惯性力及惯性力偶矩不改变。
代换点及位置不能随意选择，给工程计算带来不便。
动代换,
优点,
缺点,
构件惯性力的确定 (4/5)
B
CS2m2
构件的惯性力偶会产生一定的误差，但一般工程是可接受的。
（ 3）质量静代换只满足前两个条件的质量代换称为 静代换 。
如连杆 BC的分布质量可用 B,C两点集中质量 mB,mC代换，则
mB＝ m2c/(b+c)
mC＝ m2b/(b+c)
静代换,
优缺点,
A
B
C
1
2
3S1
S2 S
3
m2
B
CS2m2
mB
mC
构件惯性力的确定 (5/5)
（ 1） 摩擦力的确定移动副中滑块在力 F 的作用下右移时,
所受的摩擦力为
Ff21 = f FN21
式中 f 为 摩擦系数。
FN21 的大小与摩擦面的几何形状有关：
1） 平面接触,FN2 = G,2） 槽面接触,FN21= G / sinθ
§ 4-3 运动副中摩擦力的确定
1．移动副中摩擦力的确定
θ θ
G
FN21
2
FN21
2G
FN21
1
2
G
FN21
F
v12
3） 半圆柱面接触,
FN21= k G,（ k = 1~π/2）
摩擦力计算的通式,
FN21 = f NN21 = fvG
其中,fv 称为 当量摩擦系数,其取值为,
平面接触,fv = f ；
槽面接触,fv = f /sinθ ；
半圆柱面接触,fv = k f,（ k = 1~π/2）。
说明 引入当量摩擦系数后,使不同接触形状的移动副中的摩擦力计算的大小比较大为简化。 因而也是工程中简化处理问题的一种重要方法。
运动副中摩擦力的确定 (2/8)
G
称为 摩擦角,
（ 2） 总反力方向的确定运动副中的法向反力与摩擦力的合力 FR21 称为运动副中的 总反力,
总反力与法向力之间的夹角 φ，
即
φ ＝ arctan f
总反力方向的确定方法：
1） FR21偏斜于法向反力一摩擦角 φ ；
2） 其偏斜的方向应与相对速度 v12的方向相反。
举例：
拧紧,M＝ Gd2tan(α +φv)
放松,M′＝ Gd2tan(α -φv)
正行程,F＝ G tan(α +φ)
反行程,F ＝ G tan(α - φ）′
FR21
Ff21
FN21
F
G
v121
2
φ
运动副中摩擦力的确定 (3/8)
例 1 斜面机构例 2 螺旋机构轴承对轴颈的总反力 FR21将始终切于摩擦圆，且与 G 大小相等，方向相反。
O
ρ称为 摩擦圆半径 。
2．转动副中摩擦力的确定
2.1 轴颈的摩擦
（ 1）摩擦力矩的确定转动副中摩擦力 Ff21对轴颈的摩擦力矩为
Mf = Ff21r = fv G r
轴颈 2 对轴颈 1 的作用力也用总反力 FR21 来表示,则 FR21 = - G,
故 Mf = fv G r
式中 ρ = fv r,具体轴颈其 ρ 为定值,故可作 摩擦圆,
结论
=FR21ρ
只要轴颈相对轴承运动，
运动副中摩擦力的确定 (4/8)
G
Md
ω12
Mf
FR21
FN21 Ff21
ρ
ρ
Ff21=fvG fv=(1～ π/2)
（ 2）总反力方向的确定
1）根据力的平衡条件，确定不计摩擦时总反力的方向；
2）计摩擦时的总反力应与摩擦圆相切；
3）总反力 FR21 对轴心之矩的方向必与轴颈 1相对轴承 2的相对角速度的方向相反。
举例：
运动副中摩擦力的确定 (5/8)
例 1 铰链四杆机构考虑摩擦时的受力分析例 2 曲柄滑块机构考虑摩擦时的受力分析轴端接触面当轴端 1在止推轴承 2上旋转时，接触面间也将产生摩擦力。
2.2 轴端的摩擦则其正压力 dFN = pds,
取环形微面积 ds = 2πρdρ,设 ds 上的压强 p为常数，
摩擦力 dFf = fdFN = fρds,故其摩擦力矩 dMf为
dMf = ρdFf = ρfpds
轴用以承受轴向力的部分称为 轴端 。
其摩擦力矩的大小确定如下：
运动副中摩擦力的确定 (6/8)
2r
2R
G
M
ω
1
2
Mf
dρ
r
ω
极易压溃，故轴端常作成空心的。
而较符合实际的假设是轴端与轴承接触面间处处等磨损，即近似符合 pρ＝常数的规律。
对于新制成的轴端和轴承，或很少相对运动的轴端和轴承，
1） 新轴端各接触面压强处处相等,即 p=G/[π (R2-r2)] = 常数，
2） 跑合轴端
= fG(R+r)/2
根据 pρ =常数的关系知,在轴端中心部分的压强非常大，
Mf = fG(R3-r3)/(R2-r2)
,则
3
2
轴端经过一定时间的工作后，称为 跑合轴端 。
此时轴端和轴承接触面各处的压强已不能再假定为处处相等。
Mf = 2πf∫r (pρ) ρdρR
则总摩擦力矩 Mf为
Mf =∫r ρ fpds = 2π f ∫r pρ 2dρR R
运动副中摩擦力的确定 (7/8)
故有滚动摩擦力和滑动摩擦力；
3．平面副中摩擦力的确定平面高副两元素之间的相对运动通常是滚动兼滑动，
因滚动摩擦力一般较小，
平面高副中摩擦力的确定，
其总反力方向的确定为：
1）总反力 FR21的方向与法向反力偏斜一摩擦角；
2）偏斜方向应与构件 1相对构件 2的相对速度 v12的方向相反。
机构力分析时通常只考虑滑动摩擦力。
通常是将摩擦力和法向反力合成一总反力来研究。
运动副中摩擦力的确定 (8/8) 1
2
t
t
n
n
V12
ω12
Mf
Ff21
FN21
FR21
φ
§ 4-4 不考虑摩擦时机构的受力分析
1．机构组的静定条件,
在不考虑摩擦时，平面运动副中的反力 的作用线、方向及大小未知要素如下：
转动副 通过转动副中心，大小及方向未知；
移动副 沿导路法线方向，作用点的位置及大小未知；
平面高副 沿高副两元素接触点的公法线上，仅大小未知。
根据每个构件可列独立力平衡方程数等于力的未知数，
设由 n个构件和 pl个低副和 ph个高副组成的构件组，
结论 基本杆组都满足静定条件。
则得此构件组得静定条件为 3n = 2p
l + ph
2．用图解法作机构的动态静力分析
（ 1）分析步骤：
首先,求出各构件的惯性力，并把它们视为外力加于产生惯性力的机构上；
其次,再根据静定条件将机构分解为若干个构件组和 平衡力作用的构件；
最后,按照由外力全部已知的构件组开始，逐步推算 到平衡力作用的构件顺序依次建立力平衡条件，并进 行作图求解。
（ 2）举例不考虑摩擦时机构的受力分析 (2/3)
平面六杆机构的受力分析其共同点都是根据力的平衡条件列出各力之间的关系式，再求解。
3．用解析法作机构的动态静力分析机构力分析的解析方法很多，
（ 2）复数法 （留给同学课外自学）
由于图解法精度不高，而且当需机构一系列位置的力分析时，
图解过程相当繁琐。为了提高分析力分析精度,所以需要采用解析法。
下面介绍三种方法：关系方程解析法、复数法和矩阵法。
不考虑摩擦时机构的受力分析 (3/3)
（ 1） 矢量方程解析法
（ 3） 矩阵法考虑不考虑摩擦力 的分析的结果可能相差一个数量级，
在考虑摩擦时进行机构力的分析，关键是确定运动副中总反力的方向，
就不难在考虑摩擦的条件下对机构进行力的分析了，
§ 4-5 考虑摩擦时机构的受力分析小结而且一般都先从二力构件作起。
此外，对冲床等设备的传动机构，
掌握了对运动副中的摩擦进行分析的方法后，
下面举例加以说明。
但有些情况下，运动副中总反力的方向不能直接定出,因而无法解。 在此情况下，可以采用逐次逼近的方法来确定。
故对此类设备在力的分析时必须计及摩擦。
例 1 铰链四杆机构考虑摩擦时的受力分析例 2 曲柄滑块机构考虑 摩擦 时的受力分析
§ 4-1 机构力分析的任务、目的和方法
§ 4-2 构件惯性力的确定
§ 4-3 运动副中摩擦力的确定
§ 4-4 不考虑摩擦时机构的力分析
§ 4-5 考虑摩擦时机构的力分析返回与其作用点的速度方向相同或者成锐角；
§ 4-1 机构力分析的任务、目的和方法
1.作用在机械上的力
（ 1） 驱动力
（ 2） 阻抗力驱动机械运动的力。
其特征：
其功为正功，
阻止机械运动的力。
其特征,与其作用点的速度方向相反或成钝角；
其功为负功,称为 阻抗功 。
1）有效阻力
2）有害阻力其功称为 有效功 或 输出功 ；
称为 驱动功 或 输入功 。
（工作阻力）
（非生产阻力） 其功称为 损失功 。
2,机构力分析的任务、目的及方法
（ 1）任务确定运动副中的反力确定平衡力及平衡力矩
（ 2）方法静力分析动态静力分析图解法和解析法机构力分析的任务、目的和方法 (2/2)
§ 4-2 构件惯性力的确定
1．一般力学方法以曲柄滑块机构为例
（ 1）作平面复合运动的构件（如连杆 2）
FI2＝－ m2aS2
MI2＝－ JS2α2
可简化为总惯性力 FI2′
lh2＝ MI2/FI2
MS2(FI2)与 α2方向相反。′
A
B
C
1 2 3
4
A
B
1
S1 m1
JS1
B
C
2
S2
m2 JS2
C
3
S3m
3
FI2
MI2
lh2
aS2
α2
FI2′
（ 2）作平面移动的构件（如滑块 3）
作变速移动时，则
FI3 ＝－ m3aS3
（ 3）绕定轴转动的构件（如曲柄 1）
若曲柄轴线不通过质心，则
FI1＝－ m1aS1
MI1＝－ JS1α1
若其轴线通过质心，则
MI1＝－ JS1α1
FI3aS3 C
3
A
B
1
aS1
S1
α1
FI1
MI1
构件惯性力的确定 (2/5)
是指设想把构件的质量按一定条件集中于构件上某几个选定点上的假象集中质量来代替的方法。
2．质量代换法质量代换法假想的集中质量称为 代换质量 ；
代换质量所在的位置称为 代换点 。
（ 1）质量代换的参数条件代换前后构件的质量不变；
代换前后构件的质心位置不变；
代换前后构件对质心轴的转动惯量不变。
这样便只需求各集中质量的惯性力，而无需求惯性力偶矩,从而使构件惯性力的确定简化。
（ 2）质量动代换即同时满足上述三个条件的质量代换称为 动代换 。
构件惯性力的确定 (3/5)
如连杆 BC的分布质量可用集中在 B,K两点的集中质量 mB、
mK来代换。
mB + mK＝ m2
mB b＝ mK k
mB b2＋ mK k2＝ JS 2
在工程中，一般选定代换点 B的位置，则
k＝ JS 2 /(m2b)
mB＝ m2k/(b+k)
A
B
C
1
2
3S1
S2 S
3
m2
K
mk
mB
mK＝ m2b/(b+k)
代换后构件惯性力及惯性力偶矩不改变。
代换点及位置不能随意选择，给工程计算带来不便。
动代换,
优点,
缺点,
构件惯性力的确定 (4/5)
B
CS2m2
构件的惯性力偶会产生一定的误差，但一般工程是可接受的。
（ 3）质量静代换只满足前两个条件的质量代换称为 静代换 。
如连杆 BC的分布质量可用 B,C两点集中质量 mB,mC代换，则
mB＝ m2c/(b+c)
mC＝ m2b/(b+c)
静代换,
优缺点,
A
B
C
1
2
3S1
S2 S
3
m2
B
CS2m2
mB
mC
构件惯性力的确定 (5/5)
（ 1） 摩擦力的确定移动副中滑块在力 F 的作用下右移时,
所受的摩擦力为
Ff21 = f FN21
式中 f 为 摩擦系数。
FN21 的大小与摩擦面的几何形状有关：
1） 平面接触,FN2 = G,2） 槽面接触,FN21= G / sinθ
§ 4-3 运动副中摩擦力的确定
1．移动副中摩擦力的确定
θ θ
G
FN21
2
FN21
2G
FN21
1
2
G
FN21
F
v12
3） 半圆柱面接触,
FN21= k G,（ k = 1~π/2）
摩擦力计算的通式,
FN21 = f NN21 = fvG
其中,fv 称为 当量摩擦系数,其取值为,
平面接触,fv = f ；
槽面接触,fv = f /sinθ ；
半圆柱面接触,fv = k f,（ k = 1~π/2）。
说明 引入当量摩擦系数后,使不同接触形状的移动副中的摩擦力计算的大小比较大为简化。 因而也是工程中简化处理问题的一种重要方法。
运动副中摩擦力的确定 (2/8)
G
称为 摩擦角,
（ 2） 总反力方向的确定运动副中的法向反力与摩擦力的合力 FR21 称为运动副中的 总反力,
总反力与法向力之间的夹角 φ，
即
φ ＝ arctan f
总反力方向的确定方法：
1） FR21偏斜于法向反力一摩擦角 φ ；
2） 其偏斜的方向应与相对速度 v12的方向相反。
举例：
拧紧,M＝ Gd2tan(α +φv)
放松,M′＝ Gd2tan(α -φv)
正行程,F＝ G tan(α +φ)
反行程,F ＝ G tan(α - φ）′
FR21
Ff21
FN21
F
G
v121
2
φ
运动副中摩擦力的确定 (3/8)
例 1 斜面机构例 2 螺旋机构轴承对轴颈的总反力 FR21将始终切于摩擦圆，且与 G 大小相等，方向相反。
O
ρ称为 摩擦圆半径 。
2．转动副中摩擦力的确定
2.1 轴颈的摩擦
（ 1）摩擦力矩的确定转动副中摩擦力 Ff21对轴颈的摩擦力矩为
Mf = Ff21r = fv G r
轴颈 2 对轴颈 1 的作用力也用总反力 FR21 来表示,则 FR21 = - G,
故 Mf = fv G r
式中 ρ = fv r,具体轴颈其 ρ 为定值,故可作 摩擦圆,
结论
=FR21ρ
只要轴颈相对轴承运动，
运动副中摩擦力的确定 (4/8)
G
Md
ω12
Mf
FR21
FN21 Ff21
ρ
ρ
Ff21=fvG fv=(1～ π/2)
（ 2）总反力方向的确定
1）根据力的平衡条件，确定不计摩擦时总反力的方向；
2）计摩擦时的总反力应与摩擦圆相切；
3）总反力 FR21 对轴心之矩的方向必与轴颈 1相对轴承 2的相对角速度的方向相反。
举例：
运动副中摩擦力的确定 (5/8)
例 1 铰链四杆机构考虑摩擦时的受力分析例 2 曲柄滑块机构考虑摩擦时的受力分析轴端接触面当轴端 1在止推轴承 2上旋转时，接触面间也将产生摩擦力。
2.2 轴端的摩擦则其正压力 dFN = pds,
取环形微面积 ds = 2πρdρ,设 ds 上的压强 p为常数，
摩擦力 dFf = fdFN = fρds,故其摩擦力矩 dMf为
dMf = ρdFf = ρfpds
轴用以承受轴向力的部分称为 轴端 。
其摩擦力矩的大小确定如下：
运动副中摩擦力的确定 (6/8)
2r
2R
G
M
ω
1
2
Mf
dρ
r
ω
极易压溃，故轴端常作成空心的。
而较符合实际的假设是轴端与轴承接触面间处处等磨损，即近似符合 pρ＝常数的规律。
对于新制成的轴端和轴承，或很少相对运动的轴端和轴承，
1） 新轴端各接触面压强处处相等,即 p=G/[π (R2-r2)] = 常数，
2） 跑合轴端
= fG(R+r)/2
根据 pρ =常数的关系知,在轴端中心部分的压强非常大，
Mf = fG(R3-r3)/(R2-r2)
,则
3
2
轴端经过一定时间的工作后，称为 跑合轴端 。
此时轴端和轴承接触面各处的压强已不能再假定为处处相等。
Mf = 2πf∫r (pρ) ρdρR
则总摩擦力矩 Mf为
Mf =∫r ρ fpds = 2π f ∫r pρ 2dρR R
运动副中摩擦力的确定 (7/8)
故有滚动摩擦力和滑动摩擦力；
3．平面副中摩擦力的确定平面高副两元素之间的相对运动通常是滚动兼滑动，
因滚动摩擦力一般较小，
平面高副中摩擦力的确定，
其总反力方向的确定为：
1）总反力 FR21的方向与法向反力偏斜一摩擦角；
2）偏斜方向应与构件 1相对构件 2的相对速度 v12的方向相反。
机构力分析时通常只考虑滑动摩擦力。
通常是将摩擦力和法向反力合成一总反力来研究。
运动副中摩擦力的确定 (8/8) 1
2
t
t
n
n
V12
ω12
Mf
Ff21
FN21
FR21
φ
§ 4-4 不考虑摩擦时机构的受力分析
1．机构组的静定条件,
在不考虑摩擦时，平面运动副中的反力 的作用线、方向及大小未知要素如下：
转动副 通过转动副中心，大小及方向未知；
移动副 沿导路法线方向，作用点的位置及大小未知；
平面高副 沿高副两元素接触点的公法线上，仅大小未知。
根据每个构件可列独立力平衡方程数等于力的未知数，
设由 n个构件和 pl个低副和 ph个高副组成的构件组，
结论 基本杆组都满足静定条件。
则得此构件组得静定条件为 3n = 2p
l + ph
2．用图解法作机构的动态静力分析
（ 1）分析步骤：
首先,求出各构件的惯性力，并把它们视为外力加于产生惯性力的机构上；
其次,再根据静定条件将机构分解为若干个构件组和 平衡力作用的构件；
最后,按照由外力全部已知的构件组开始，逐步推算 到平衡力作用的构件顺序依次建立力平衡条件，并进 行作图求解。
（ 2）举例不考虑摩擦时机构的受力分析 (2/3)
平面六杆机构的受力分析其共同点都是根据力的平衡条件列出各力之间的关系式，再求解。
3．用解析法作机构的动态静力分析机构力分析的解析方法很多，
（ 2）复数法 （留给同学课外自学）
由于图解法精度不高，而且当需机构一系列位置的力分析时，
图解过程相当繁琐。为了提高分析力分析精度,所以需要采用解析法。
下面介绍三种方法：关系方程解析法、复数法和矩阵法。
不考虑摩擦时机构的受力分析 (3/3)
（ 1） 矢量方程解析法
（ 3） 矩阵法考虑不考虑摩擦力 的分析的结果可能相差一个数量级，
在考虑摩擦时进行机构力的分析，关键是确定运动副中总反力的方向，
就不难在考虑摩擦的条件下对机构进行力的分析了，
§ 4-5 考虑摩擦时机构的受力分析小结而且一般都先从二力构件作起。
此外，对冲床等设备的传动机构，
掌握了对运动副中的摩擦进行分析的方法后，
下面举例加以说明。
但有些情况下，运动副中总反力的方向不能直接定出,因而无法解。 在此情况下，可以采用逐次逼近的方法来确定。
故对此类设备在力的分析时必须计及摩擦。
例 1 铰链四杆机构考虑摩擦时的受力分析例 2 曲柄滑块机构考虑 摩擦 时的受力分析
