普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
高等数学补充知识一、微积分基础知识
1,函数，导数与微分函数：自变量,因变量,定义域,对应法则,值域等；函数的一些基本性质 （ 如连续性,对称性,周期性,奇偶性等 ）,（ 基本 ） 初等函数等 。
导数：设函数 y=f(x)当自变量在点 x处有一增量 △ x时，函数 y相应的有一改变量 △ y=f(x+ △ x )-f(x),那么当 △ x趋于零时，若比值 △ y/
△ x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数 y=f(x)在点
x处导数，记作：
x
xfxxf
x
y
dx
dyxfy
xx?
)()(limlim)(''
00
这时称函数 y=f(x)在点 x处是可导的。
函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f’(x) 等于曲线 y=f(x) 在点 x处的切线的斜率,即：
导数的几何意义：
t a n)('?xf
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分 —— 速度矢量与加速度矢量。
注意：以下是易混淆的两个表示：
'y
和
y
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：
dt
dyy
td
yd
dy
dy
dt
d
dt
yd
y 2
2
后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数 y=y(x),则
dx
dyy?'
若自变量有多个,则应该用偏导,是函数 y=y(x,t) (同时又有 x=x(t) )对时间的偏导 。 （ 注意：,对于多元函数,一般 ） 。
t
y
t
y
t
x
x
y
dt
dy
t
y
dt
dy
基本求导公式：
( 1 6 ) ( a r c t a n x )? 2
1
1
x?
。
(1) (C)0，
(2) (xm)m xm?1，
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x，
(7) (sec x)sec x tan x，
(8) (csc x)csc x cot x，
(9) (ax)ax ln a,
(10) (ex)ex，
( 1 2 ) ( l n x ) x1,
( 1 3 ) ( a r c s i n x )
21
1
x?
,
( 1 4 ) ( a r c c o s x )
21
1
x?
,
( 1 5 ) ( a r c t a n x ) 21 1 x?,
( 1 1 ) ( l o g a x ) ax ln1?( a > 0,a? 1 ),
，
函数的和,差,积,商的求导法则：
(1) (u? v)?=u v?，
(2) (Cu)?=Cu? (C是常数 )，
(3) (uv)?=u?v+u v?，
( 4 ) 2)( v vuvuvu ( v? 0) 。
复合函数的求导法则：
[ f? 1 ( y )] )(1 xf? ( f? ( x )? 0) 。
反函数求导法：
求导法则
dxdududydxdy,或 y y? u? u? x,其 中 y = f ( u ),u =? ( x ) 。
复合函数的求导法则：
dxdududydxdy,或 y y? u?u? x 。
解,函数 y=lntan x是由 y=ln u,u=tan x复合而成，
dxdududydxdy xxxu 22 s e cc o ts e c1
xx c o ss i n 1? 。
dxdududydxdy xxxu 22 s e cc o ts e c1 dxdududydxdy xxxu 22 s ec o ts e c1
例 1 y=lntan x,求 dxdy 。
dxdududydxdy 333 2 xu xexe 。 dxdududydxdy 333 2 xu xexe 。 dxdududydxdy 332 xu xexe 。
解,函数 3xey? 是 由 y? e u,u? x 3 复合而成,
例 2 y= 3xe,求 dxdy 。
dxdududydxdy 22
22
)1(
)2()1(2c o s
x
xxu
222
2
1
2c o s
)1(
)1(2
x
x
x
x
。
解,21 2s i n xxy 是 由 y? s i n u,21 2 xxu 复合而成,
dxdududydxdy 22
22
)1(
)2()1(c o s
x
xxu
例 3 21 2sin xxy,求 dxdy 。
函数 y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导数 y’=f’(x)，这时函数的微分是：
微分,若函数 y=y(x) 的改变量可表示为：
)()( dxdxxAy 0
式中 dx=△ x，则此改变量的线性主部 A(x)dx称为函数 y的微分，
记作：
dxxAdy )(?
dxxfdy )('?
2,不定积分不定积分：对函数 y=y(x),如果在给定区间 [a,b]上有则其逆运算就是求 G(x) 的不定积分（即：求 G(x) 的原函数）：
dx
dyxfyxG )('')(
CxydydxdxdydxyxG )(')(
上式中可以看出,G(x) （被积函数）的原函数为 y(x)+C，不止一个。其中,C 为积分常数。
3,定积分由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数就是唯一确定的。
几何意义,由 y=f(x) 的函数曲线，初始条件表示的直线,x 轴所围成的曲边梯形的面积。
牛顿 —— 莱布尼兹公式（ Newton-Leibniz formula）：
若函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上连续，或分段连续，则 y=f(x) 在
[a,b]上有原函数，设 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
)()()()( aFbFxFdxxfba ba
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表
k x?C (k是常数 )，
arctan x?C,
arcsin x?C,
ln |x|?C,
sin x?C,
cos x?C,
( 1 )? k dx
( 2 )? x m dx
( 3 )? x1 dx
( 4 )? 21 1 x? dx
( 5 )? 2
1
1
x?
dx
( 7 )? si n x dx?
11?m x m 1? C,
( 6 )? c o s x dx
( 1 0 )? se c x t a n x dx? se c x? C,
( 1 1 )? c sc x c o t x dx c sc x? C,
( 1 2 )? e x dx? e 2? C,
( 1 3 )? a x dx? aa
x
ln? C,
( 1 4 )? sh x dx? c h x? C,
( 1 5 )? c h x dx? s h x? C,
( 8 )? x2c os 1 d x se c 2 x dx? ta n x? C,
( 9 )? x2s i n1 d x c sc 2 x dx c o t x? C,
( 8 )? x2c os 1 d x se c 2 x dx? ta n x? C,
( 9 )? x2s i n 1 d x c sc 2 x dx c o t x? C,
( 1 0 )? se c x t a n x dx? se x? C,
( 1 1 )? c sc x c o t x dx c sc x? C,
(1 2 )? e x dx?e 2?C,
( 1 3 )? a x dx? aa
x
ln? C,
( 1 4 )? sh x dx? c h x? C,
( 1 5 )? c h x dx? s h x? C,
基本积分表不定积分的性质性质 1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即性质 2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即
[ f ( x )? g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx,
kf ( x ) dx? k? f ( x ) dx ( k 是常数,k? 0),
2
5
x dx 5 2
1
x dx 2
5
x dx? 5? 2
1
x dx 2
5
x dx 5 2
1
x dx 2
5
x dx? 5? 2
1
x dx
72 2
7
x? 5 · 32 2
3
x? C? 72 x 3 x? 310 x x? C,
例 9? 2
3)1(
x
x? dx
2
23 133
x
xxx dx
( x? 3? x3? 21x ) dx
x dx? 3? dx? 3? x1 dx 21x dx
21 x 2? 3 x? 3 l n | x |? x1? C,
dxxxdxxx )()( 2
1
2
5
2 55例 4
dxxx2
31 )(例 5
例 1 1? 2 x e x dx (2 e ) x dx )2ln (
)2(
e
e x C
2ln1
2
xx e
C,)2ln ( )2( ee
x
C 2ln1 2
xx e
C,
例 12?
)1(
1
2
2
xx
xx
dx
)1(
)(1
2
2
xx
xx
dx
( 21 1 x x1 ) dx 21 1 x? dx x1 dx
arctan x?ln | x |?C,
2
4
1
11
x
x
dx
2
22
1
1)1)(1(
x
xx
dx
( x 2? 1? 21 1 x? ) dx x 2 dx dx 21 1 x? dx
31 x 3? x? a r c ta n x? C,
dxe xx?2例 6
dxxx xx )( 2
2
1
1例 7
dxxx 2
4
1
例 8
定积分三、矢量分析基础 (由于物理学研究的需要而产生了矢量 )
1.矢量的定义：
具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量。
矢量表示,A?
2.矢量的加法、减法：
矢量的加法应满足平行四边形法则，
而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；
如图所示。
一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减：
kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiAA zzyyxxzyxzyx?)(?)(?)()()(B
kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiAA zzyyxxzyxzyx?)(?)(?)()()(B
A?
B?
BA BA
3.矢量的数乘以实数 乘以矢量 称为矢量的数乘，记作,显然有：A A?
kAjAiAkAjAiAA zyxzyx )(
实数 只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸缩为原来的 倍。 的方向为,时，与 方向不变； 时，
与 方向相反。
A 0 A?
A?
0
4,矢量的正交分解把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。
5,矢量的标积和矢积已知两矢量 和,夹角记作：,则：A? B? ),( BA
（ 1）矢量的 标积 （又称：数量积、点乘、点积、内积）：
),c o s ( BABABABABABA zzyyxx
（结果为标量 ）
（ 2）矢量的 矢积 （又称：叉乘、叉积、外积）：
kBABAjBABAiBABA
BBB
AAA
kji
BA xyyxzxyzyzzy
zyx
zyx
)()()(
),s i n ( BABABA
∴ 矢积 的结果为矢量；大小为以
A,B为边的平行四边形的面积：
BA
6.矢量对 t 的导数对矢量函数（简称 矢函数 ）,如果极限：)(tf?
t
tfttf
t?
)()(lim
0
存在,就称它为矢函数 的导数,记作,矢函数 的导数仍为矢函数,从而还可像标量函数一样求其二阶导数,
高阶导数 。
)(tf? dt tfdtf )()(
)(tf?
对矢量函数求导数,一般是对它的各个分量分别求导,这时矢量导数就变成了标量函数的求导,但是如果坐标也在变,也必须对单位矢量求导,如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量 。
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高等数学补充知识一、微积分基础知识
1,函数，导数与微分函数：自变量,因变量,定义域,对应法则,值域等；函数的一些基本性质 （ 如连续性,对称性,周期性,奇偶性等 ）,（ 基本 ） 初等函数等 。
导数：设函数 y=f(x)当自变量在点 x处有一增量 △ x时，函数 y相应的有一改变量 △ y=f(x+ △ x )-f(x),那么当 △ x趋于零时，若比值 △ y/
△ x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数 y=f(x)在点
x处导数，记作：
x
xfxxf
x
y
dx
dyxfy
xx?
)()(limlim)(''
00
这时称函数 y=f(x)在点 x处是可导的。
函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f’(x) 等于曲线 y=f(x) 在点 x处的切线的斜率,即：
导数的几何意义：
t a n)('?xf
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分 —— 速度矢量与加速度矢量。
注意：以下是易混淆的两个表示：
'y
和
y
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：
dt
dyy
td
yd
dy
dy
dt
d
dt
yd
y 2
2
后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数 y=y(x),则
dx
dyy?'
若自变量有多个,则应该用偏导,是函数 y=y(x,t) (同时又有 x=x(t) )对时间的偏导 。 （ 注意：,对于多元函数,一般 ） 。
t
y
t
y
t
x
x
y
dt
dy
t
y
dt
dy
基本求导公式：
( 1 6 ) ( a r c t a n x )? 2
1
1
x?
。
(1) (C)0，
(2) (xm)m xm?1，
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x，
(7) (sec x)sec x tan x，
(8) (csc x)csc x cot x，
(9) (ax)ax ln a,
(10) (ex)ex，
( 1 2 ) ( l n x ) x1,
( 1 3 ) ( a r c s i n x )
21
1
x?
,
( 1 4 ) ( a r c c o s x )
21
1
x?
,
( 1 5 ) ( a r c t a n x ) 21 1 x?,
( 1 1 ) ( l o g a x ) ax ln1?( a > 0,a? 1 ),
，
函数的和,差,积,商的求导法则：
(1) (u? v)?=u v?，
(2) (Cu)?=Cu? (C是常数 )，
(3) (uv)?=u?v+u v?，
( 4 ) 2)( v vuvuvu ( v? 0) 。
复合函数的求导法则：
[ f? 1 ( y )] )(1 xf? ( f? ( x )? 0) 。
反函数求导法：
求导法则
dxdududydxdy,或 y y? u? u? x,其 中 y = f ( u ),u =? ( x ) 。
复合函数的求导法则：
dxdududydxdy,或 y y? u?u? x 。
解,函数 y=lntan x是由 y=ln u,u=tan x复合而成，
dxdududydxdy xxxu 22 s e cc o ts e c1
xx c o ss i n 1? 。
dxdududydxdy xxxu 22 s e cc o ts e c1 dxdududydxdy xxxu 22 s ec o ts e c1
例 1 y=lntan x,求 dxdy 。
dxdududydxdy 333 2 xu xexe 。 dxdududydxdy 333 2 xu xexe 。 dxdududydxdy 332 xu xexe 。
解,函数 3xey? 是 由 y? e u,u? x 3 复合而成,
例 2 y= 3xe,求 dxdy 。
dxdududydxdy 22
22
)1(
)2()1(2c o s
x
xxu
222
2
1
2c o s
)1(
)1(2
x
x
x
x
。
解,21 2s i n xxy 是 由 y? s i n u,21 2 xxu 复合而成,
dxdududydxdy 22
22
)1(
)2()1(c o s
x
xxu
例 3 21 2sin xxy,求 dxdy 。
函数 y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导数 y’=f’(x)，这时函数的微分是：
微分,若函数 y=y(x) 的改变量可表示为：
)()( dxdxxAy 0
式中 dx=△ x，则此改变量的线性主部 A(x)dx称为函数 y的微分，
记作：
dxxAdy )(?
dxxfdy )('?
2,不定积分不定积分：对函数 y=y(x),如果在给定区间 [a,b]上有则其逆运算就是求 G(x) 的不定积分（即：求 G(x) 的原函数）：
dx
dyxfyxG )('')(
CxydydxdxdydxyxG )(')(
上式中可以看出,G(x) （被积函数）的原函数为 y(x)+C，不止一个。其中,C 为积分常数。
3,定积分由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数就是唯一确定的。
几何意义,由 y=f(x) 的函数曲线，初始条件表示的直线,x 轴所围成的曲边梯形的面积。
牛顿 —— 莱布尼兹公式（ Newton-Leibniz formula）：
若函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上连续，或分段连续，则 y=f(x) 在
[a,b]上有原函数，设 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
)()()()( aFbFxFdxxfba ba
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表
k x?C (k是常数 )，
arctan x?C,
arcsin x?C,
ln |x|?C,
sin x?C,
cos x?C,
( 1 )? k dx
( 2 )? x m dx
( 3 )? x1 dx
( 4 )? 21 1 x? dx
( 5 )? 2
1
1
x?
dx
( 7 )? si n x dx?
11?m x m 1? C,
( 6 )? c o s x dx
( 1 0 )? se c x t a n x dx? se c x? C,
( 1 1 )? c sc x c o t x dx c sc x? C,
( 1 2 )? e x dx? e 2? C,
( 1 3 )? a x dx? aa
x
ln? C,
( 1 4 )? sh x dx? c h x? C,
( 1 5 )? c h x dx? s h x? C,
( 8 )? x2c os 1 d x se c 2 x dx? ta n x? C,
( 9 )? x2s i n1 d x c sc 2 x dx c o t x? C,
( 8 )? x2c os 1 d x se c 2 x dx? ta n x? C,
( 9 )? x2s i n 1 d x c sc 2 x dx c o t x? C,
( 1 0 )? se c x t a n x dx? se x? C,
( 1 1 )? c sc x c o t x dx c sc x? C,
(1 2 )? e x dx?e 2?C,
( 1 3 )? a x dx? aa
x
ln? C,
( 1 4 )? sh x dx? c h x? C,
( 1 5 )? c h x dx? s h x? C,
基本积分表不定积分的性质性质 1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即性质 2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即
[ f ( x )? g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx,
kf ( x ) dx? k? f ( x ) dx ( k 是常数,k? 0),
2
5
x dx 5 2
1
x dx 2
5
x dx? 5? 2
1
x dx 2
5
x dx 5 2
1
x dx 2
5
x dx? 5? 2
1
x dx
72 2
7
x? 5 · 32 2
3
x? C? 72 x 3 x? 310 x x? C,
例 9? 2
3)1(
x
x? dx
2
23 133
x
xxx dx
( x? 3? x3? 21x ) dx
x dx? 3? dx? 3? x1 dx 21x dx
21 x 2? 3 x? 3 l n | x |? x1? C,
dxxxdxxx )()( 2
1
2
5
2 55例 4
dxxx2
31 )(例 5
例 1 1? 2 x e x dx (2 e ) x dx )2ln (
)2(
e
e x C
2ln1
2
xx e
C,)2ln ( )2( ee
x
C 2ln1 2
xx e
C,
例 12?
)1(
1
2
2
xx
xx
dx
)1(
)(1
2
2
xx
xx
dx
( 21 1 x x1 ) dx 21 1 x? dx x1 dx
arctan x?ln | x |?C,
2
4
1
11
x
x
dx
2
22
1
1)1)(1(
x
xx
dx
( x 2? 1? 21 1 x? ) dx x 2 dx dx 21 1 x? dx
31 x 3? x? a r c ta n x? C,
dxe xx?2例 6
dxxx xx )( 2
2
1
1例 7
dxxx 2
4
1
例 8
定积分三、矢量分析基础 (由于物理学研究的需要而产生了矢量 )
1.矢量的定义：
具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量。
矢量表示,A?
2.矢量的加法、减法：
矢量的加法应满足平行四边形法则，
而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；
如图所示。
一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减：
kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiAA zzyyxxzyxzyx?)(?)(?)()()(B
kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiAA zzyyxxzyxzyx?)(?)(?)()()(B
A?
B?
BA BA
3.矢量的数乘以实数 乘以矢量 称为矢量的数乘，记作,显然有：A A?
kAjAiAkAjAiAA zyxzyx )(
实数 只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸缩为原来的 倍。 的方向为,时，与 方向不变； 时，
与 方向相反。
A 0 A?
A?
0
4,矢量的正交分解把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。
5,矢量的标积和矢积已知两矢量 和,夹角记作：,则：A? B? ),( BA
（ 1）矢量的 标积 （又称：数量积、点乘、点积、内积）：
),c o s ( BABABABABABA zzyyxx
（结果为标量 ）
（ 2）矢量的 矢积 （又称：叉乘、叉积、外积）：
kBABAjBABAiBABA
BBB
AAA
kji
BA xyyxzxyzyzzy
zyx
zyx
)()()(
),s i n ( BABABA
∴ 矢积 的结果为矢量；大小为以
A,B为边的平行四边形的面积：
BA
6.矢量对 t 的导数对矢量函数（简称 矢函数 ）,如果极限：)(tf?
t
tfttf
t?
)()(lim
0
存在,就称它为矢函数 的导数,记作,矢函数 的导数仍为矢函数,从而还可像标量函数一样求其二阶导数,
高阶导数 。
)(tf? dt tfdtf )()(
)(tf?
对矢量函数求导数,一般是对它的各个分量分别求导,这时矢量导数就变成了标量函数的求导,但是如果坐标也在变,也必须对单位矢量求导,如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量 。
