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普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 7.1 刚体运动的描述一、刚体的平动（最简单）
1,定义,在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行 。
2,特点,
①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！
②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、
速度和加速度却相同。因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动：
c
i
i aMF
3,平动的自由度,3个刚体,在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。
自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量 。
独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数 。
质元,把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。
3
二、刚体的定轴转动（较简单）
1、定义若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作 转轴 。
2、特点
① 刚体中始终保持不动的直线就是转轴。
②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。
③ 和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
4
3、定轴转动刚体的自由度,1个（刚体的角坐标 θ）
如图示：建立 O-xyz系,z轴与转轴重合,O点任意选取,截取刚体一个剖面 o-xy平面,此位置只要确定,刚体的位置就确定了,除 O点外,再选一个 A
点,此图形的位置可由矢量来确定,而 矢量的大小是不变的,方向只需由 矢量与 x轴的夹角 θ来确定,此 θ角称为：绕定轴转动刚体的 角坐标 。
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和 z 轴成右手螺旋时，
θ角为正，否则 θ角为负。
5
4、定轴转动刚体运动的描述
① 运动学方程：,即：角坐标随时间的变化规律。)(t
②描述刚体整体运动的物理量 —— 角量,包括,角位移,角速度,角加速度 。
角位移,定轴转动刚体在 时间内角坐标的增量 。? t?
任意质元的角位移 是相同的 —— 是一整体运动的量。?
面对 z轴观察：逆时针转动,；反之,。0 0
角速度 ω：在 这一过程中，ttt
dt
d
tt t 0lim)(
即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对 z轴观察逆时针转动时,；反之,。0 0
6
角加速度 β：
)()(,tttttt
)()( ttt
2
2
0 dt
d
dt
d
tt tlim)(
即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。
加速转动,β与 ω同号；,反之,。0 0
7
③ 线量,描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量,线位移,线速度,
线加速度 。
如图示,A质元的线速度不同于 B质元的线速度，
以刚体上质元 A为例：
线位移, dsrd
A?
线速度：
AA
A
A rdt
dr
dt
ds
dt
rdv
线加速度：
n
r
v
rnrr
n
r
v
dt
d
r
dt
vd
a
A
A
AAA
A
A
A
A
2
2
2
即：
2
2
A
A
A
An
AA
r
r
v
a
ra
8
由定轴转动刚体角量和线量关系可知：
角量：
描述刚体整体运动的物理量；角量充分描述了刚体的定轴转动状态线量：
描述刚体任一质元运动的物理量,
由角量可得线量物理量 单位 量纲 物理量 单位 量纲角位移 rad 1 线位移 m M
角速度 rad/s T-1 线速度 m/s MT-1
角加速度 rad/s T-2 线加速度 m/s-2 MT-2
9
三、角速度矢量
1、角速度矢量定义
kkdtd
方向规定 右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指的指向就是 的方向，沿转轴，如图示：
必须满足平行四边形法则：
21
因此：刚体上任意质元的线速度
AAAA rrOOrv
)'('
vr,,?r?
表示质元相对于转动任意点的位矢,组成右手螺旋。
10
2、角加速度矢量定义
kdtddtd?
2
2
分量形式：
dt
d
dt
d
dt
d z
z
y
y
x
x
,,
如果取 z 轴与转轴重合，则
kk zzyxyx,,,00
说明：以后带脚标的量为投影量。 如：
zx,
11
AA rv
3、线加速度 a?
nrr
rr
rrr
rr
vr
dt
rd
r
dt
d
r
dt
d
va
AA
AA
AAA
AA
AA
A
AAA
2
2
4、角位移 不是矢量，无限小角位移是矢量。?
12
四、刚体平面运动（刚体的平面平行运动）
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。
1、定义：
2、平面运动的特点刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。
3、自由度,3个。
因为,由平面运动的特点,可用与固定平面平行的刚体的任一剖面
（ 截面 ） 来研究,此截面位置一经确定,刚体的位置便确定了 。 通常选择此平面内刚体上某点的位置坐标 和绕过该点轴旋转的角度 θ来描述刚体的位置 。
),( BB yx
13
4、平面运动的描述
① 运动学方程：
)(
)(?)()(
t
jtyitxtrr BBBB
或
)(
)(
)(
t
tyy
txx
B
B
B点是任意选取的，称作 基点 。
即,)(),( tytx BB 反映任意选定基点的运动，
反映刚体绕过基点轴的转动。)(t?
因此,平面运动 可分解为随基点的 平动 和绕过基点轴的 转动 。
注意,平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。
14
② 平面运动刚体上任一点的速度如图：以 B点为基点，建立如图示的坐标系，则：
'rrr BA
'' vvrrrv BBAA
因此,'rvv
BA
（ 为 刚体绕过基点轴的角速度 ）而 A点相对于基点 B的速度矢量,'' rv
Bv?
即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点 B
的平动速度 与绕过基点 B轴转动的速度的矢量和。
注,平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。
15
圆柱体作无滑滚动的条件：滚动圆柱体边缘上各点与支承面接触的瞬时,与支承面无相对滑动,称圆柱体作无滑滚动 。 如右图：以中心 C点为基点,则：
例：
0
iRviRiv
jRkiv
rvv
CC
C
DCD
)
()(
Rv C
此即为 纯滚动的条件 。
D点常称为 瞬心 （瞬时转动中心）。
16
注：
① 与基点选取无关；
② 不要和定轴转动混淆,D点只是瞬时中心,虽然该时刻的速度为零,但加速度不为零,不是不动的轴线；
③ 瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点。
寻找瞬心的方法,过 P点与 垂直的线与过 Q点与垂直的线的交点就是瞬心 C点。 (若与 平行，不一定有瞬心，如平动）
Pv? Qv?
Qv?
17
§ 7.2 刚体的动量和质心运动定理一、刚体的质心刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样，
i
i
i
i
i
c m
rm
r
刚体的质心在刚体上是一固定点，
作为质量连续分布的不变质点系，质心的计算公式为,?
dm
dmr
r c
分量形式为：
dV
dVz
z
dV
dVy
y
dV
dVx
x ccc
,,
18
例 1：求半径为 a的均质半圆球的质心。
解：常用的方法是对称法，质点在对称面，
对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系 o-xyz，
则 C在 z轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为 dz，由于,则：?cosaz?
a
a
adaa
dV
dzaz
dV
dVz
z
a
a
a
c
8
3
3
3
2
0
2
0
0
2
)c o s()s i n()c o s(
)s i n(
总结：质心的求法
1,对称法 ；
2,分割法 ；
3,负质量法 (如图所示 )
19
二、刚体的动量与质心运动定理刚体的动量：
cvMP?
质心运动定理：
c
c
i
i aMdt
vdMF
注意,为外力的矢量和而不是合外力。
i i
F?
刚体平动时,刚体上任意一点的运动状况都是相同的,
故可以选择质心的运动来描述刚体的运动状态,所以,刚体平动时的动力学方程就是质心运动定理 。
20
例题：
质量为 m长为 l的均质杆,
其 B端放在桌上,A端用手支住,使杆成水平 。 突然释放 A
端,在 此 瞬 时,求：
（ 1） 杆质心的加速度；
（ 2） 杆 B端所受的力 。
21
§ 7.3 刚体定轴转动的角动量?转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量
1、转动惯量定义：
说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。
2、转动惯量的计算：
① 质量不连续分布情况：
2i
i iz
rmI
2i
i iz
rmI ir?
其中,表示质点对转轴的距离。
② 质量连续分布的情况, dVrdmrI
z?22
22
3、平行轴定理若两轴平行，距离为 d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为 Ic,
则刚体对一轴转动惯量为：
2mdII c
证明：如右图示，刚体的二轴分别为 z 和 z’ 轴，
2
2222
22
222
22
mdI
myxymyxmxyxm
yyxxm
yxmrmI
c
i
icc
i
iic
i
iicii
i
i
i
cicii
i
iii
i
iiz
''''
''
)(
由此可知,刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小 。
23
i
ii
i
iiiy
i
ii
i
iiix
i
iii
i
iiz
xmzxmI
ymzymI
yxmrmI
222
222
222
4、垂直轴定理 （仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度 ）0?k
yx III
即,无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，
等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。
证明：如图所示，有：
因此，
yxz III
注意,垂直轴定理适用条件,x,y,z轴过同一点，且互相垂直,z轴垂直于板面 x,y轴在板面内 。
24
2
0
224
224
222
4
1
4
2
2
2
2
2
2
2
mRdR
dR
RdRRdmyI
x
c oss i n
c oss i n
)s i n(c oss i n
例 1 均质杆长 l，质量为 m，求对过杆一端点的转动惯量。
解：由平行轴定理：
2
2
22
3
1
212
1 mllmmlmdII
c
例 2 求一质量为 m、半径为 R、密度均匀的薄板圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量 I。
解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）
25
解法二：由垂直轴定理：
IIII yxz 2
而
2
2
1 mRI
z?
因此
2
4
1 mRI?
26
二、刚体定轴转动的动力学方程 —— 对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为 z轴）的角动量：
zzz
i
iizii
i
i
ii
i
iii
i
i
i
izz
Irmrmr
vmrvmrLL
2
s i n
应用质点系对 Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：
zz
z
z
zzz
z Idt
dI
dt
Id
dt
dLM
zM
其中 为外力对 Z轴的力矩； 为刚体的角加速度在 Z轴上的投影，可正可负。
z?
27
三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量以质量相等的两质点 m，中间以一轻连杆组成刚体，绕 Z轴转动为例，
如图示：设,杆与水平方向成 α角，求此刚体对轴上任一点 O的角动量 。
aOOrAOrAO ','',' 21
A
'A
'O
oL?
irkrajrkrv
irkrajrk
rv
BB
AA
c o s
)s i n(
c o s
c o s
)s i n(
c o s
222
111
krmrmjrramrram
irjrkramirjrkram
vrmvrmL BBAAo
)c o sc o s(?c o s)s i n(c o s)s i n(
)?c o s(?c o s?)s i n(?c o s?c o s?)s i n(
22
2
22
12211
122111
28
krmrm
jrramrramL o
)c o sc o s(
c o s)s i n(c o s)s i n(
22
2
22
1
2211
若 Z轴过杆的中点，即：,则有：rrr
11
kmrjmrL o?c o s?c o ss i n 222 22
k
上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量 不一定沿转轴方向 （或 方向）。
oL?
直升机
29
grMgrmgmrgmroM c
i
ii
i
ii
i
iii
)()()(
四、刚体的重心
1、定义刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作 重心 。
2、重心的位置与质心的关系如果刚体的形状不是特别大，保证各处的 是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点 O的力矩：
g?
0
grMrmgMrgmr
i
ciic
i
iii
)(因此，
0?g?一般有,且 与 不平行，故有：
i
cii rMrm
g?
M
rm
r i
ii
c
即：重心和质心重合。
30
注意：
① 该结论 成立的条件 是：刚体不是特别大，各处的重力加速度相同。
② 重心仅在重力场中存在,若物体失重,
则无重心；但质心仍存在,故质心比重心更常用到 。
31
la 32
例 1 竖直杆可绕点 O转动,质量为 m,长为 l,水平打击力作用点 A距
O为 a,求,打击中心,（ 使点 O对杆的力不发生变化 ）,如图示：
解：由质心运动定理：
mamaNF cxx
对质心 O轴的转动定理：
cx IaNalF
0?xN若：
al
ImaF c
ma
Ima
ma
Ial cc 2
32
例 2 阿特武德机的一端悬重物 m1=0.5kg,另一端悬重物 m2
=0.46kg，可视做均质圆盘的半径为 0.05m 的滑轮绕水平光滑轴转动，
自静止开始释放重物并测得 5.0s内 m1下降 0.75m,由这些数值确定滑轮的转动惯量。不计绳质量及其伸长，不计轴承的摩擦。
33
§ 7.4 刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功下面我们来研究定轴转动刚体在外力 作用下转动 情况下,对刚体所做的功。
F F?
如右图所示，建立直角坐标系 o-xyz,z 轴垂直纸面向外，设刚体上任一点 P,初始时位于力轴上，经 △ t
时间绕 z 轴逆时针转动至如图中实线所示位置，下面我们来求力 所作的功：F?
F?将 分解为,?FFF n
rdFdrFrdFdA
所以，
00 dMrdFA
34
00 dMrdFA
上式中 表示力 对 轴的力矩，该式表明：当刚体定轴转动时，力所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。该式也称作力矩做的功。
M F? z
MA
讨论：若上式中力矩为恒量，力矩做的功为,；即 恒力矩做的功等于力矩与角位移的乘积 。
35
二、定轴转动刚体的动能定理由质点系动能定理知,
0kk EEAA 内外应用于定轴转动刚体,22
02
1
2
1
ii
i
ii
i
vmvmAA 内外而?
ii rvA,0内因此,2
0
22
0
222
2
1
2
1
2
1
2
1
zz
i
ii
i
ii IIrmrmA 外
221?zI
这就是 定轴转动刚体的动能定理,即 刚体绕定轴转动时,转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和 。 其中 为定轴转动刚体的动能,为外力矩对刚体所作的功的代数和 。
外A
注意,刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。
36
三、刚体的重力势能刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之和：
c
i
ii
i
iip M g ygymgymE
由上式知,刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关 。
例 1：均质杆的质量为 m,长为 l,一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求：
（ 1）杆在铅重位置时，下端点的线速度 ；v?
（ 2）杆在此位置时，杆对支点的作用力。
37
38
39
N?（ 3）例 1拓展：求杆在下摆过程中任一位置处，质点对杆的作用力 。
40
41
Lmmvm,,,1211 99
例 2：一子弹沿水平面运动,击中并嵌入一根静止在光滑水平面上的棒的端点,之后共同运动 。 已知子弹的速度与棒垂直,子弹的质量,速度,棒的质量,长度分别为,。 求：棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度 。
42
O
43
r?
44
45
46
§ 7.5 刚体平面运动的动力学一、刚体平面运动的基本动力学方程在运动学中，刚体平面运动视作随任意选定基点的平动和绕基点轴的转动；动力学中，基点常选取在质心上，方便使用质心运动定理和对质心轴的角动量定理。
'''' zyxc?
xyzo?
建立坐标系,质心坐标系，非惯性系,惯性系（两坐标系坐标轴平行）
oxy 平面和刚体平面运动的固定平面平行。
i
ci amF
动力学方程：
(1)c系中运用质心运动定理,（ 1）
i ci amF 分量：
i
cyiy
i
cxix maFmaF,
（ 2）
47
在 c系中应用刚体对 轴的角动量守恒定理：'z
i
czii
i
iii
i
iiiz IrmrrmvrmL ''''''' 2
（ 3）
''''' cZZcZZ
i
iZ IIdt
dL
dt
dM因此,（ 4）
表示刚体过质心对 轴的转动惯量； 表示刚体绕过质心对轴的角速度。
'cZI
'Z 'Z? 'Z
（ 3） 式表明作用与刚体各力对质心轴的合外力矩和等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积 ----刚体对质心的转动定理 。
（ 1）,（ 2）,（ 3） 式是 刚体平面运动的基本动力学方程 。
48
二、作用于刚体上的力
1．力的化简原理
,作用在刚体上的力系 + / - 平衡力系 = 原力系,
例如作用在刚体上 A点的力 （ A,B点的平衡力系
+ ）不改变力的作用效果。
也可看作,（平衡力系）
F?
1F?
'1F?
'11 FFF
因此：对于刚体,力的三要素 是,大小，方向，作用线。
例如：若作用于刚体的力通过质心，则该力只使刚体产生平动加速度，
而对质心轴的力矩为零。
49
2．力偶和力偶矩力偶,大小相等方向相反彼此平行的一对力 。
力偶作用效果,力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的转动状态。
)( k 表示的方向垂直纸面向里； d 表示力偶之间的距离。
同理，若取点，则力偶对该点的力偶矩不变。
因此,力偶矩不随取矩点位置改变而改变 。
力偶矩的大小,力偶中力的大小与力偶之间距离的乘积 (力偶臂 )。
力偶矩的方向,垂直与力偶所在的平面与二力成右手螺旋关系。
力偶矩决定力偶对刚体运动的全部影响,产生角加速度。
只要力偶矩不改变，可以改变力偶的大小、方向和作用线，则作用效果不变。
力偶对任一点的力矩,
)()(s i n
)()(
kFdkFr
FrrFrFroM
12
122211
50?
i
ii
i
i
ci
i
ci
i
c
FF
FrMM
)()()(
3．力的平移定理作用于刚体的力可以平移到另一点，平移后须加一力偶，该力偶的力偶矩等于原力对于平移点的力距。
如图示,设作用于刚体上 A点一力,则可以将该力 移至 B点的,同时增加一力偶 [,( )],作用效果不变,
力偶矩 （ 顺时针为,） 。
F? F?
F? F? F
)( kFdM
故,作用与刚体的力等效于作用线通过质心的力和力偶，力的大小和方向与原力相同，而力偶的力偶矩等与原力对质心轴的力矩 。
例如，多个力作用与刚体上，如图示，则作用于刚体的力可以平移至刚体的质心 C处：
51
三、刚体平面运动的动能分别为刚体质心在惯性系中的运动速度和刚体质元在质心坐标系中的速度。
2',ic vv
i
iicc
i
ii
i
iic
i i
ciiiiciiciciii
i
k
vmmvvvmvmmv
vvmvmvmvvvvmvmE
2222
222
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
'''
''''
证明：
22
2
1
2
1?
cck ImvE
所以,刚体平面运动动能等于随质心平动动能和刚体相对于质心系的动能（即绕质心轴转动的动能）之和,
柯尼希定理：
22
2
1
2
1 '
ii
i
ck vmmvE
52
对于刚体平面运动，动能定理表现为：
22 2121?cc ImvA 外
2222 21212121 ccck IRmImvE
例如：一圆柱体在地面上纯滚动（ ）时的动能：?Rv
c?
f?
例 1 斜面倾角为,圆柱体质量为 m，半径为 R，无滑滚动，求,和摩擦力 。
ca?
53
54
例 2 上例中，设圆柱体自静止滚下，求质心下落高度为 h时，圆柱体质心的速率？
解：因圆柱体作无滑滚动，静摩擦力 f 不做功，只有重力 做功，由动能定理：
G?
,22 2121?cc Imvm g h
2
2
1 mRI
c
Rvc?纯滚动条件：
解之得：
ghv c 332?
55
例 3 板的质量为,受水平力 的作用，沿水平面运动，板与平面间摩擦系数为,在板上放一半径为 的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动，求：板的加速度 。
M F?
R
a?
56
例 4 在水平桌面上放一线轴，其质量为 M，内半径 b,外半径 R,绕中心轴的转动惯量为 mR2/3,与地面间的摩擦系数为 μ，受到的水平拉力为,如图示,
（ 1）使线轴在桌面上保持无滑滚动的 的最大值是多少？
（ 2）若 和水平方向成 角，试证,时，线轴向前滚动；
时，线轴向后滚动。
F?
F?
F?
Rb /co s
Rb /co s
F?
57
58
r?
cmafF 0?c o s
59
总结
I
Fh
IFh
m
F
amaF
00
此时：这样看待圆柱体的运动,O点以过 O’点为瞬心轴转动。
若：,即：相对运动趋势向前,向后。ra?
0 0f? 12
r
h
，即：相对运动趋势向后,向前。ra?
0 '0f? 12
r
h
，即：无相对运动趋势，?ra?
0 00?f? 12
r
h
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
60
§ 7.6 刚体的平衡刚体的平衡方程
1．刚体在平面力系作用下平衡的充分必要条件：
000
i izi iyi ix
MFF,,
z轴是过任一点,O垂直于刚体平面的转轴。
2．刚体平衡方程的等价形式：
000
i izi izi ix
MMF ',,（ 1）
轴过质心与 轴平行'z z
'OO
000 21
i zioi zioi iz
MMM,,
（ 2） 且,连线不与 x轴垂直。
刚体的平衡：既无平动加速度，又无转动加速度。
61
000 321
i zioi zioi zio
MMM )()()(,,
（ 不在同一直线上）
321 ooo,,
i
ic
i
ii
i
ii
i
ic
i
ii
i
ic
i
iic
i
ii
i
oi
MFr
FrFr
FrFr
FrrFrM
'
'
'
'
0
i
i c z
i
i o z MM
因此，
62
r?
两轻弯杆间以及它们与支座间均用光滑小轴相连。在 D点施铅直向下的力 F=100N。 沿铅直方向而水平且 =0.5m 。 D点至 B点的水平距离为 1.0m。求直角弯杆在 B
和 C处所受的力,ACD杆在 A处所受的力。
例题
AB AC
ACAB?
63
Ax Cx
Ay Cy
Cy
Cy
Ay
C B
C
CC
Cy
Ax
64
本章习题：
7.1.3 7.1.6 7.3.3 7.3.6
7.4.2 7.5.2 7.5.7 7.6.3
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 7.1 刚体运动的描述一、刚体的平动（最简单）
1,定义,在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行 。
2,特点,
①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！
②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、
速度和加速度却相同。因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动：
c
i
i aMF
3,平动的自由度,3个刚体,在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。
自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量 。
独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数 。
质元,把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。
3
二、刚体的定轴转动（较简单）
1、定义若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作 转轴 。
2、特点
① 刚体中始终保持不动的直线就是转轴。
②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。
③ 和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
4
3、定轴转动刚体的自由度,1个（刚体的角坐标 θ）
如图示：建立 O-xyz系,z轴与转轴重合,O点任意选取,截取刚体一个剖面 o-xy平面,此位置只要确定,刚体的位置就确定了,除 O点外,再选一个 A
点,此图形的位置可由矢量来确定,而 矢量的大小是不变的,方向只需由 矢量与 x轴的夹角 θ来确定,此 θ角称为：绕定轴转动刚体的 角坐标 。
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和 z 轴成右手螺旋时，
θ角为正，否则 θ角为负。
5
4、定轴转动刚体运动的描述
① 运动学方程：,即：角坐标随时间的变化规律。)(t
②描述刚体整体运动的物理量 —— 角量,包括,角位移,角速度,角加速度 。
角位移,定轴转动刚体在 时间内角坐标的增量 。? t?
任意质元的角位移 是相同的 —— 是一整体运动的量。?
面对 z轴观察：逆时针转动,；反之,。0 0
角速度 ω：在 这一过程中，ttt
dt
d
tt t 0lim)(
即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对 z轴观察逆时针转动时,；反之,。0 0
6
角加速度 β：
)()(,tttttt
)()( ttt
2
2
0 dt
d
dt
d
tt tlim)(
即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。
加速转动,β与 ω同号；,反之,。0 0
7
③ 线量,描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量,线位移,线速度,
线加速度 。
如图示,A质元的线速度不同于 B质元的线速度，
以刚体上质元 A为例：
线位移, dsrd
A?
线速度：
AA
A
A rdt
dr
dt
ds
dt
rdv
线加速度：
n
r
v
rnrr
n
r
v
dt
d
r
dt
vd
a
A
A
AAA
A
A
A
A
2
2
2
即：
2
2
A
A
A
An
AA
r
r
v
a
ra
8
由定轴转动刚体角量和线量关系可知：
角量：
描述刚体整体运动的物理量；角量充分描述了刚体的定轴转动状态线量：
描述刚体任一质元运动的物理量,
由角量可得线量物理量 单位 量纲 物理量 单位 量纲角位移 rad 1 线位移 m M
角速度 rad/s T-1 线速度 m/s MT-1
角加速度 rad/s T-2 线加速度 m/s-2 MT-2
9
三、角速度矢量
1、角速度矢量定义
kkdtd
方向规定 右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指的指向就是 的方向，沿转轴，如图示：
必须满足平行四边形法则：
21
因此：刚体上任意质元的线速度
AAAA rrOOrv
)'('
vr,,?r?
表示质元相对于转动任意点的位矢,组成右手螺旋。
10
2、角加速度矢量定义
kdtddtd?
2
2
分量形式：
dt
d
dt
d
dt
d z
z
y
y
x
x
,,
如果取 z 轴与转轴重合，则
kk zzyxyx,,,00
说明：以后带脚标的量为投影量。 如：
zx,
11
AA rv
3、线加速度 a?
nrr
rr
rrr
rr
vr
dt
rd
r
dt
d
r
dt
d
va
AA
AA
AAA
AA
AA
A
AAA
2
2
4、角位移 不是矢量，无限小角位移是矢量。?
12
四、刚体平面运动（刚体的平面平行运动）
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。
1、定义：
2、平面运动的特点刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。
3、自由度,3个。
因为,由平面运动的特点,可用与固定平面平行的刚体的任一剖面
（ 截面 ） 来研究,此截面位置一经确定,刚体的位置便确定了 。 通常选择此平面内刚体上某点的位置坐标 和绕过该点轴旋转的角度 θ来描述刚体的位置 。
),( BB yx
13
4、平面运动的描述
① 运动学方程：
)(
)(?)()(
t
jtyitxtrr BBBB
或
)(
)(
)(
t
tyy
txx
B
B
B点是任意选取的，称作 基点 。
即,)(),( tytx BB 反映任意选定基点的运动，
反映刚体绕过基点轴的转动。)(t?
因此,平面运动 可分解为随基点的 平动 和绕过基点轴的 转动 。
注意,平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。
14
② 平面运动刚体上任一点的速度如图：以 B点为基点，建立如图示的坐标系，则：
'rrr BA
'' vvrrrv BBAA
因此,'rvv
BA
（ 为 刚体绕过基点轴的角速度 ）而 A点相对于基点 B的速度矢量,'' rv
Bv?
即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点 B
的平动速度 与绕过基点 B轴转动的速度的矢量和。
注,平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。
15
圆柱体作无滑滚动的条件：滚动圆柱体边缘上各点与支承面接触的瞬时,与支承面无相对滑动,称圆柱体作无滑滚动 。 如右图：以中心 C点为基点,则：
例：
0
iRviRiv
jRkiv
rvv
CC
C
DCD
)
()(
Rv C
此即为 纯滚动的条件 。
D点常称为 瞬心 （瞬时转动中心）。
16
注：
① 与基点选取无关；
② 不要和定轴转动混淆,D点只是瞬时中心,虽然该时刻的速度为零,但加速度不为零,不是不动的轴线；
③ 瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点。
寻找瞬心的方法,过 P点与 垂直的线与过 Q点与垂直的线的交点就是瞬心 C点。 (若与 平行，不一定有瞬心，如平动）
Pv? Qv?
Qv?
17
§ 7.2 刚体的动量和质心运动定理一、刚体的质心刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样，
i
i
i
i
i
c m
rm
r
刚体的质心在刚体上是一固定点，
作为质量连续分布的不变质点系，质心的计算公式为,?
dm
dmr
r c
分量形式为：
dV
dVz
z
dV
dVy
y
dV
dVx
x ccc
,,
18
例 1：求半径为 a的均质半圆球的质心。
解：常用的方法是对称法，质点在对称面，
对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系 o-xyz，
则 C在 z轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为 dz，由于,则：?cosaz?
a
a
adaa
dV
dzaz
dV
dVz
z
a
a
a
c
8
3
3
3
2
0
2
0
0
2
)c o s()s i n()c o s(
)s i n(
总结：质心的求法
1,对称法 ；
2,分割法 ；
3,负质量法 (如图所示 )
19
二、刚体的动量与质心运动定理刚体的动量：
cvMP?
质心运动定理：
c
c
i
i aMdt
vdMF
注意,为外力的矢量和而不是合外力。
i i
F?
刚体平动时,刚体上任意一点的运动状况都是相同的,
故可以选择质心的运动来描述刚体的运动状态,所以,刚体平动时的动力学方程就是质心运动定理 。
20
例题：
质量为 m长为 l的均质杆,
其 B端放在桌上,A端用手支住,使杆成水平 。 突然释放 A
端,在 此 瞬 时,求：
（ 1） 杆质心的加速度；
（ 2） 杆 B端所受的力 。
21
§ 7.3 刚体定轴转动的角动量?转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量
1、转动惯量定义：
说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。
2、转动惯量的计算：
① 质量不连续分布情况：
2i
i iz
rmI
2i
i iz
rmI ir?
其中,表示质点对转轴的距离。
② 质量连续分布的情况, dVrdmrI
z?22
22
3、平行轴定理若两轴平行，距离为 d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为 Ic,
则刚体对一轴转动惯量为：
2mdII c
证明：如右图示，刚体的二轴分别为 z 和 z’ 轴，
2
2222
22
222
22
mdI
myxymyxmxyxm
yyxxm
yxmrmI
c
i
icc
i
iic
i
iicii
i
i
i
cicii
i
iii
i
iiz
''''
''
)(
由此可知,刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小 。
23
i
ii
i
iiiy
i
ii
i
iiix
i
iii
i
iiz
xmzxmI
ymzymI
yxmrmI
222
222
222
4、垂直轴定理 （仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度 ）0?k
yx III
即,无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，
等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。
证明：如图所示，有：
因此，
yxz III
注意,垂直轴定理适用条件,x,y,z轴过同一点，且互相垂直,z轴垂直于板面 x,y轴在板面内 。
24
2
0
224
224
222
4
1
4
2
2
2
2
2
2
2
mRdR
dR
RdRRdmyI
x
c oss i n
c oss i n
)s i n(c oss i n
例 1 均质杆长 l，质量为 m，求对过杆一端点的转动惯量。
解：由平行轴定理：
2
2
22
3
1
212
1 mllmmlmdII
c
例 2 求一质量为 m、半径为 R、密度均匀的薄板圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量 I。
解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）
25
解法二：由垂直轴定理：
IIII yxz 2
而
2
2
1 mRI
z?
因此
2
4
1 mRI?
26
二、刚体定轴转动的动力学方程 —— 对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为 z轴）的角动量：
zzz
i
iizii
i
i
ii
i
iii
i
i
i
izz
Irmrmr
vmrvmrLL
2
s i n
应用质点系对 Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：
zz
z
z
zzz
z Idt
dI
dt
Id
dt
dLM
zM
其中 为外力对 Z轴的力矩； 为刚体的角加速度在 Z轴上的投影，可正可负。
z?
27
三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量以质量相等的两质点 m，中间以一轻连杆组成刚体，绕 Z轴转动为例，
如图示：设,杆与水平方向成 α角，求此刚体对轴上任一点 O的角动量 。
aOOrAOrAO ','',' 21
A
'A
'O
oL?
irkrajrkrv
irkrajrk
rv
BB
AA
c o s
)s i n(
c o s
c o s
)s i n(
c o s
222
111
krmrmjrramrram
irjrkramirjrkram
vrmvrmL BBAAo
)c o sc o s(?c o s)s i n(c o s)s i n(
)?c o s(?c o s?)s i n(?c o s?c o s?)s i n(
22
2
22
12211
122111
28
krmrm
jrramrramL o
)c o sc o s(
c o s)s i n(c o s)s i n(
22
2
22
1
2211
若 Z轴过杆的中点，即：,则有：rrr
11
kmrjmrL o?c o s?c o ss i n 222 22
k
上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量 不一定沿转轴方向 （或 方向）。
oL?
直升机
29
grMgrmgmrgmroM c
i
ii
i
ii
i
iii
)()()(
四、刚体的重心
1、定义刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作 重心 。
2、重心的位置与质心的关系如果刚体的形状不是特别大，保证各处的 是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点 O的力矩：
g?
0
grMrmgMrgmr
i
ciic
i
iii
)(因此，
0?g?一般有,且 与 不平行，故有：
i
cii rMrm
g?
M
rm
r i
ii
c
即：重心和质心重合。
30
注意：
① 该结论 成立的条件 是：刚体不是特别大，各处的重力加速度相同。
② 重心仅在重力场中存在,若物体失重,
则无重心；但质心仍存在,故质心比重心更常用到 。
31
la 32
例 1 竖直杆可绕点 O转动,质量为 m,长为 l,水平打击力作用点 A距
O为 a,求,打击中心,（ 使点 O对杆的力不发生变化 ）,如图示：
解：由质心运动定理：
mamaNF cxx
对质心 O轴的转动定理：
cx IaNalF
0?xN若：
al
ImaF c
ma
Ima
ma
Ial cc 2
32
例 2 阿特武德机的一端悬重物 m1=0.5kg,另一端悬重物 m2
=0.46kg，可视做均质圆盘的半径为 0.05m 的滑轮绕水平光滑轴转动，
自静止开始释放重物并测得 5.0s内 m1下降 0.75m,由这些数值确定滑轮的转动惯量。不计绳质量及其伸长，不计轴承的摩擦。
33
§ 7.4 刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功下面我们来研究定轴转动刚体在外力 作用下转动 情况下,对刚体所做的功。
F F?
如右图所示，建立直角坐标系 o-xyz,z 轴垂直纸面向外，设刚体上任一点 P,初始时位于力轴上，经 △ t
时间绕 z 轴逆时针转动至如图中实线所示位置，下面我们来求力 所作的功：F?
F?将 分解为,?FFF n
rdFdrFrdFdA
所以，
00 dMrdFA
34
00 dMrdFA
上式中 表示力 对 轴的力矩，该式表明：当刚体定轴转动时，力所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。该式也称作力矩做的功。
M F? z
MA
讨论：若上式中力矩为恒量，力矩做的功为,；即 恒力矩做的功等于力矩与角位移的乘积 。
35
二、定轴转动刚体的动能定理由质点系动能定理知,
0kk EEAA 内外应用于定轴转动刚体,22
02
1
2
1
ii
i
ii
i
vmvmAA 内外而?
ii rvA,0内因此,2
0
22
0
222
2
1
2
1
2
1
2
1
zz
i
ii
i
ii IIrmrmA 外
221?zI
这就是 定轴转动刚体的动能定理,即 刚体绕定轴转动时,转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和 。 其中 为定轴转动刚体的动能,为外力矩对刚体所作的功的代数和 。
外A
注意,刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。
36
三、刚体的重力势能刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之和：
c
i
ii
i
iip M g ygymgymE
由上式知,刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关 。
例 1：均质杆的质量为 m,长为 l,一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求：
（ 1）杆在铅重位置时，下端点的线速度 ；v?
（ 2）杆在此位置时，杆对支点的作用力。
37
38
39
N?（ 3）例 1拓展：求杆在下摆过程中任一位置处，质点对杆的作用力 。
40
41
Lmmvm,,,1211 99
例 2：一子弹沿水平面运动,击中并嵌入一根静止在光滑水平面上的棒的端点,之后共同运动 。 已知子弹的速度与棒垂直,子弹的质量,速度,棒的质量,长度分别为,。 求：棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度 。
42
O
43
r?
44
45
46
§ 7.5 刚体平面运动的动力学一、刚体平面运动的基本动力学方程在运动学中，刚体平面运动视作随任意选定基点的平动和绕基点轴的转动；动力学中，基点常选取在质心上，方便使用质心运动定理和对质心轴的角动量定理。
'''' zyxc?
xyzo?
建立坐标系,质心坐标系，非惯性系,惯性系（两坐标系坐标轴平行）
oxy 平面和刚体平面运动的固定平面平行。
i
ci amF
动力学方程：
(1)c系中运用质心运动定理,（ 1）
i ci amF 分量：
i
cyiy
i
cxix maFmaF,
（ 2）
47
在 c系中应用刚体对 轴的角动量守恒定理：'z
i
czii
i
iii
i
iiiz IrmrrmvrmL ''''''' 2
（ 3）
''''' cZZcZZ
i
iZ IIdt
dL
dt
dM因此,（ 4）
表示刚体过质心对 轴的转动惯量； 表示刚体绕过质心对轴的角速度。
'cZI
'Z 'Z? 'Z
（ 3） 式表明作用与刚体各力对质心轴的合外力矩和等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积 ----刚体对质心的转动定理 。
（ 1）,（ 2）,（ 3） 式是 刚体平面运动的基本动力学方程 。
48
二、作用于刚体上的力
1．力的化简原理
,作用在刚体上的力系 + / - 平衡力系 = 原力系,
例如作用在刚体上 A点的力 （ A,B点的平衡力系
+ ）不改变力的作用效果。
也可看作,（平衡力系）
F?
1F?
'1F?
'11 FFF
因此：对于刚体,力的三要素 是,大小，方向，作用线。
例如：若作用于刚体的力通过质心，则该力只使刚体产生平动加速度，
而对质心轴的力矩为零。
49
2．力偶和力偶矩力偶,大小相等方向相反彼此平行的一对力 。
力偶作用效果,力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的转动状态。
)( k 表示的方向垂直纸面向里； d 表示力偶之间的距离。
同理，若取点，则力偶对该点的力偶矩不变。
因此,力偶矩不随取矩点位置改变而改变 。
力偶矩的大小,力偶中力的大小与力偶之间距离的乘积 (力偶臂 )。
力偶矩的方向,垂直与力偶所在的平面与二力成右手螺旋关系。
力偶矩决定力偶对刚体运动的全部影响,产生角加速度。
只要力偶矩不改变，可以改变力偶的大小、方向和作用线，则作用效果不变。
力偶对任一点的力矩,
)()(s i n
)()(
kFdkFr
FrrFrFroM
12
122211
50?
i
ii
i
i
ci
i
ci
i
c
FF
FrMM
)()()(
3．力的平移定理作用于刚体的力可以平移到另一点，平移后须加一力偶，该力偶的力偶矩等于原力对于平移点的力距。
如图示,设作用于刚体上 A点一力,则可以将该力 移至 B点的,同时增加一力偶 [,( )],作用效果不变,
力偶矩 （ 顺时针为,） 。
F? F?
F? F? F
)( kFdM
故,作用与刚体的力等效于作用线通过质心的力和力偶，力的大小和方向与原力相同，而力偶的力偶矩等与原力对质心轴的力矩 。
例如，多个力作用与刚体上，如图示，则作用于刚体的力可以平移至刚体的质心 C处：
51
三、刚体平面运动的动能分别为刚体质心在惯性系中的运动速度和刚体质元在质心坐标系中的速度。
2',ic vv
i
iicc
i
ii
i
iic
i i
ciiiiciiciciii
i
k
vmmvvvmvmmv
vvmvmvmvvvvmvmE
2222
222
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
'''
''''
证明：
22
2
1
2
1?
cck ImvE
所以,刚体平面运动动能等于随质心平动动能和刚体相对于质心系的动能（即绕质心轴转动的动能）之和,
柯尼希定理：
22
2
1
2
1 '
ii
i
ck vmmvE
52
对于刚体平面运动，动能定理表现为：
22 2121?cc ImvA 外
2222 21212121 ccck IRmImvE
例如：一圆柱体在地面上纯滚动（ ）时的动能：?Rv
c?
f?
例 1 斜面倾角为,圆柱体质量为 m，半径为 R，无滑滚动，求,和摩擦力 。
ca?
53
54
例 2 上例中，设圆柱体自静止滚下，求质心下落高度为 h时，圆柱体质心的速率？
解：因圆柱体作无滑滚动，静摩擦力 f 不做功，只有重力 做功，由动能定理：
G?
,22 2121?cc Imvm g h
2
2
1 mRI
c
Rvc?纯滚动条件：
解之得：
ghv c 332?
55
例 3 板的质量为,受水平力 的作用，沿水平面运动，板与平面间摩擦系数为,在板上放一半径为 的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动，求：板的加速度 。
M F?
R
a?
56
例 4 在水平桌面上放一线轴，其质量为 M，内半径 b,外半径 R,绕中心轴的转动惯量为 mR2/3,与地面间的摩擦系数为 μ，受到的水平拉力为,如图示,
（ 1）使线轴在桌面上保持无滑滚动的 的最大值是多少？
（ 2）若 和水平方向成 角，试证,时，线轴向前滚动；
时，线轴向后滚动。
F?
F?
F?
Rb /co s
Rb /co s
F?
57
58
r?
cmafF 0?c o s
59
总结
I
Fh
IFh
m
F
amaF
00
此时：这样看待圆柱体的运动,O点以过 O’点为瞬心轴转动。
若：,即：相对运动趋势向前,向后。ra?
0 0f? 12
r
h
，即：相对运动趋势向后,向前。ra?
0 '0f? 12
r
h
，即：无相对运动趋势，?ra?
0 00?f? 12
r
h
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
60
§ 7.6 刚体的平衡刚体的平衡方程
1．刚体在平面力系作用下平衡的充分必要条件：
000
i izi iyi ix
MFF,,
z轴是过任一点,O垂直于刚体平面的转轴。
2．刚体平衡方程的等价形式：
000
i izi izi ix
MMF ',,（ 1）
轴过质心与 轴平行'z z
'OO
000 21
i zioi zioi iz
MMM,,
（ 2） 且,连线不与 x轴垂直。
刚体的平衡：既无平动加速度，又无转动加速度。
61
000 321
i zioi zioi zio
MMM )()()(,,
（ 不在同一直线上）
321 ooo,,
i
ic
i
ii
i
ii
i
ic
i
ii
i
ic
i
iic
i
ii
i
oi
MFr
FrFr
FrFr
FrrFrM
'
'
'
'
0
i
i c z
i
i o z MM
因此，
62
r?
两轻弯杆间以及它们与支座间均用光滑小轴相连。在 D点施铅直向下的力 F=100N。 沿铅直方向而水平且 =0.5m 。 D点至 B点的水平距离为 1.0m。求直角弯杆在 B
和 C处所受的力,ACD杆在 A处所受的力。
例题
AB AC
ACAB?
63
Ax Cx
Ay Cy
Cy
Cy
Ay
C B
C
CC
Cy
Ax
64
本章习题：
7.1.3 7.1.6 7.3.3 7.3.6
7.4.2 7.5.2 7.5.7 7.6.3
