1
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 10.1 波的基本概念
1.波,振动在媒质（介质）中的传播就是波，分为横波和纵波。
2.横波,媒质中各体元振动的方向与波传播的方向垂直。
例如：一根均匀柔软的细绳的振动，形成的波就是横波。
3.纵波,媒质中各体元振动的方向与波传播的方向平行。
例如：空气中的声波，空气中体元时而靠近，时而疏远。
4.表面波,在两中媒质的界面上传播的波。例如：水面波。
波的产生
3
5.波面,波传播时，同相位各点所组成的面。
6.波前,离波源最远，即“最前方”的波面。
7.波射线,与波面垂直且表明波的传播方向的线叫波射线。
8.平面波,波前为平面的波。波线是互相平行的。
9.球面波,波前为球面。点波源在均匀的和各向同性媒质中发生的波是球面波。波线是相交于波源的直线。
4
tAy?c o s?
§ 10.2 平面简谐波一,平面简谐波平面波传播时，媒质中体元均按正弦（或余弦）规律运动。
二,平面简谐波方程（从运动学角度考虑）
描述不同时刻不同体元的运动状态。
设：一列平面简谐波沿 x 轴正向传播，选择原点 x =0 处体元相位为 0的时刻为计时起点，即该体元的相位为零，则 x =0处体元的运动学方程：
其中,y 为体元距平衡位置的位移,A,ω为波源的 振幅 和 圆频率 。
经的时间,x =0处体元的振动状态传到位于 x 处的体元,即,t 时刻,
位于 x 处的体元的振动状态应与 时刻处体元的振动状态一样,则 x 处体元的运动学方程为：
vxt /
vxt /?
vxtAy?c o s
（ 1）
5
vxtAy?c o s
vxtAtxy?c o s),( （ 2）
vx?
⑵ 式可以看出,x处质元的振动超前于原点处的质元 。
其中,v为振动状态传播的速度，叫 波速,也叫 相速 。⑴式就是 平面简谐波方程 。
从⑴式看出,x 处质元的振动比原点处的质元落后 。若：波动沿 x轴负方向传播，则波动方程为：
vx?
6
212,,TT
三,平面简谐波方程的物理意义
1,当 一定时,表示 x处质元的振动方程，初位相是 。
vxtAyc o s
vx?
2,当 t一定时,表示 t时刻各个质元偏离平衡位置的位移，即 t时刻的波形。
vxtAyc o s
由⑴可知,x处体元振动的周期、频率和圆频率：
注意：
不一定是振动系统的固有频率而取决于波源频率，所以⑴中的形式不意味着各体元作简谐振动。
7
vxtAtxy?c o s),( （ 2）
由⑵知,t 一定时,y是 x 的周期函数，也存在空间位置上的周期，波长
vvT （ 3）
即,波长 是 波 在一个周期内传播的距离 ；
或,沿波传播方向相邻同相位两点间的距离 。
另外，由空间位置的周期性可知：
200
v
xt
v
xt
vvT
8
定义：,称为 波数,
k
2 Tk （ 4）
表示单位长度上的波数，而 表示 长度上波的数目。
都描述平面简谐波的空间周期性。
1
2?k?2?、k
3,联系平面简谐波的空间周期性与时间周期性的公式：
v
（ 5）
9
v
x
tAy
x
tAy
kxtAy
2
2
c os
c os
c os
四,平面简谐波方程的多种形式：
例题 图（ 1）、图（ 2）分别表示 t=0 和 t=2s 时的某一平面简谐波的波形图，试写出此平面简谐波方程。
10
11
§ 10.3 波动方程与波速 （波的动力学方程）
一、波动方程（平面简谐波的动力学方程）
（不是依据课本上的推导，而是从“平面简谐波的动力学方程”出发来寻找动力学方程。）
已知：
vxtAy?c o s
vxtAty s i n
(代表 t 时刻 x处质元的速度 )
vxtAt y c o s22
2 (代表 t 时刻 x处质元的加速度 )
vxtvAxy s in
(代表 t 时刻 x处的应变 )
12
vxtvAx y c o s222
2
2
2
2
2
2
x
yv
t
y
（ 1）
vxtAy?c o s
⑴式就是 波的动力学方程,而 就是 波的运动学方程 。类比于：
020 xx
（简谐振动的动力学方程 ）
tAx 0c o s （简谐振动的运动学方程 ）
13
二、波速
⒈ 横波（ 多为固体液体剪切形变，详见第八章 ）
xx
ySNxSNxF
)()(?
S
FN
由
xxx
ySNxxSNxxF
)()(?
质元所受的和外力（忽略掉质元的重力）：
2
2
)()( t yxSxFxxF 2
2
t
yxS
x
y
x
ySN
xxx?
2
2
2
2
t
yxS
x
ySN
因此，
14
2
2
2
2
t
y
Nx
y
或
2
2
2
2
x
yN
t
y
（ 2）
此式也是 波的动力学方程 。
其中,N 是剪切模量,是物块的密度。
⑴,⑵比较可知：
Nv?
横
（ 3）
15
⒉ 纵波同理：
2
2
2
2
x
yY
t
y
其中,Y 是杨氏模量,是物块的密度（固体中）。
Yv?
纵由此可知：固体中的纵波和横波的波速与媒质弹性密切相关。
另外，张紧的柔软细绳中横波波速为：
线绳?Tv?
（其中,T 是绳中的张力）
16
§ 10.4 平均能流密度一、媒质中波的能量分布主要研究某体元动能、形变势能以及总能的变化规律。
1,动能由
vxtAy?c o s
vxtAtyu s in
（体元的振动速度 ）
设：媒质密度为 ρ,d v 表示体元的体积。则该体积的动能为：
vxtAdvd v udE k 2222 s in2121
（ 1）
17
2,势能又由
vxtvAxy s in
x
y
体元的剪切应变为：,所以：体元剪切应变势能为：
v
xt
v
AV d v
x
yN d vdE
p?
2
2
222
s in2121 （ 2）
又因为横波：,所以有：
Nv?
横
vxtAdvdE p 222 s in21
（ 2’）
18
(1)和 (2’ )式比较，得,。
kp dEdE?
即：体元的动能和势能具有相同的数值，同时达最大或最小。
3,总能由前面讨论，某体元的总能等于两者之和，即：
vxtAdvdE 222 s in
（ 3）
由（ 3）式可知,某体元的总能为 空间和时间的函数 。
注意,波动过程中体元势能是由于体元的形变而为体元所有。
19
vxtAdNdE 222 s in
4,能量密度单位体积媒质所有的能量,用 ε表示，由（ 3）式知：
平均能量密度,能量密度在一周期内的平均值,?
T
A
dt
v
x
t
T
A
v
x
t
T
A
v
x
tA
T
T
T
T
22
0
22
0
2
22
0
222
2
1
2c os1
2
1
s in
s in
1
（ 4）
20
二、平均能流密度
vTds?
媒质中体元的能量由振动状态决定,而振动状态又以波动传播,所以能量也以波速传播 。 现取波面上一面元 ds,
则在一周期内体积为 vTds的柱体内的能量均得流过该面元,
流过的能量为：,则：单位时间通过单位面积的能量：
vAvT d sv T d s 2221
定义 平均能流密度,大小等于单位时间内通过与波传播方向面积的能量，方向沿波传播方向，是一矢量，符号,”,I?
vAvI 2221
即：平均能流密度的大小等于平均能量密度与波速 的乘积。v?
单位：
2mW
21
2211 SISI?
例题一球面波，不计媒质吸收的能量，设波面 S1,S2，
对应的平均能流密度为 I1,I2,则：单位时间内通过不同波面的能量相同，即：
2
1
1
2
2
2
2
1
5
2
1
2
2
2
1
2
22
2
11
44
A
A
r
r
A
A
r
r
I
I
rIrI
）式利用（
即,球面波各体元的振幅和该点到波源的距离成反比。
22
§ 10.5 波的叠加和干涉 驻波一、波的叠加波的叠加原理,两列波相独立的传播，在两列波相遇处体元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。
2
2
2
2
2
x
uv
t
y
理论上解释：因波动方程对于 t和 x 都是线形的，若,y1 和 y2是该方程的解，则 y1 +y2也是方程的解。
因此,波的叠加原理与方程的线性密切相关 。
波的叠加原理
23
二、波的干涉
１,波的干涉两列波满足一定条件，则两列波相遇各空间点的合振动能各保持恒定振幅而不同位置各点以不同动能振动，这种现象称为 波的干涉 。
２,波的干涉条件
（１）两列波具有相同的振动方向；
（２）两列波具有相同的频率；
（３）两列波在空间每一点引起的振动都有固定的相位差。
简言之，即,振动方向相同、频率相同且在各空间点保持固定的相位差 。
如：同频率同方向的正弦或余弦振动的合运动仍为正弦或余弦振动,
合振动的振幅由分振动振幅以及相位差决定 。
24
光学里，常用,光程差,：
如果光程差是波长的整数倍,则该处振动加强；
如果光程差是半波长的奇数倍，则该处振动减弱。
满足干涉条件的两列波，才能实现干涉现象所要求的空间各点振动强弱所具有的确定的分布。
25
三、驻波
１,驻波的概念振动相同而传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动，称为 驻波 。
(b) 两者叠加，产生拍的现象。(a) 两组波动的频率不同，但相差很小。
“驻波”可造成高速行车爆胎驻波演示
26
２,驻波方程相遇处各体元的合位移为：
设两列波,)c o s ( kxtAy1
)c o s ( kxtAy2
tkxA
kxtAkxtAyyy
c o s)c o s(
)c o s ()c o s (
2
21
将 代入上式得：
2?k
txAy?
c o sc o s?
22
（ 1）
27
(1)式振动介于 0~2A 之间,(1)式就是驻波方程。
驻波方程的特点：
xAA22 c o s?驻
（ 1） 振幅,令,对于不同 x处的质元，振幅不同，
介于 0~2A 之间。
当 A驻 ＝ 2A 时，
12xc o s
2102,,, nnx
2102,,, nnx?
（ 2）
即：处于 (2)式中 处的质元的振幅为 2A，最大振幅，称为驻波的 波腹,
用（ A）表示。
txAy c o sc o s 22
（ 1）
28
当 A驻 ＝ 0 时，
02?xc o s
21022,,,
nnx
210412,,, nnx?
（ 3）
即：处于 (3)式中处的质元的振幅为 0，是最小振幅，称为相邻两 波节,
用（ Ｎ ）表示。
29
2/?（ 2） 由 (2)式知，相邻两波腹间的距离为由 (3)式知，相邻两波节间的距离为 4/?
由 (2),(3)式知：相邻波节和波腹之间距离则为 4/?
（ 3） 相位 （驻波各点振动的相位关系）
（ a）相邻波节之间各点质元的相位关系由：,取两相邻的波节处的质元,txAy?
c o sc o s?
22
驻
432412 1 ixix ii,
代入驻波方程中的振幅因子,得：
xA22 c o s
2
32
2
2
1
ixix ii,
30
2
32
2
2
1
ixix ii,
x2
由此可知，处于两波节之间的各点的值 不是第 2,3象限就是第 1、
4象限，即 符号不变化。
xA22 c o s
由此可知：处于两波节间各点质元具有相同的相位 。t?
31
)c o s (c o s
c o sc o s
c o s)c o s (
c o sc o s
tiA
tiA
tiAy
tiAy
i
i
2
2
12
2
1
（ b）相邻两波腹处质元的相位关系由相邻两波腹：
2 12 1 ixix ii,
由此可知,相邻两波腹的相位是相反的 ；又由：相邻波节之间的质元的相位相同，可以得知,波节两侧各体元的振动相位相反；波腹两侧各体元的振动相位相同 。
32
4,驻波中的能量驻波中的能量以形变势能集中于波节附近,
以动能形式集中于波腹附近,某些时刻,动能和势能并存；总之,驻波中不断进行着动能和势能之间的转换和在波腹与波节之间的转移,
然而没有能量的定向传播 。
33
5,行波与驻波的区别行 波 驻 波波方程振幅 所有质元处都为 A 各质元处的振幅不同：
相位,各处的相位不同,同相位或反相位能量 由近向远传播（沿波传播方向）
波节或波腹之间的能量交换和转移（没有定向的传播）
vxtAyc o s
txAy c o sc o s 22?
)/(c o sc o s 22 ktkxAy或
xAA22 c o s?驻
kxttt或经常见到的驻波是：一列前进波与它在某一界面的反射波叠加而形成的。
34
3212,, nnl?
６,举例半波损失,反射波在边界处引起的分震动比入射波在此引起的分振动在相位上落后,即：波传播中此处相距半个波长,故这种现象称半波损失 。
如：一金属丝上传播波，金属丝两端固定，在固定端处将发生半波损失。
如：两端固定的弦振动，入射波与反射波在该处引起的分振动因半波损失而反相位，所以如形成驻波，两端点必是波节，设弦长为 l,，则有如下关系：
3212,, nn ln?
如，两端自由，反射波与入射波在该处引起的分振动无半波损失，则端点是同相位，即：端点处是波腹。
35
例题右图表示某一瞬时入射波的波形图,在固定端反射,
试画出此瞬时反射波的波形图 。 （ 无振幅损失 ）
36
§ 10.6 多谱勒效应 （纵向，横向多谱勒效应为零）
多普勒效应,由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象。
一、波源静止而观察者运动讨论：静止点波源的振动在均匀各向同性媒质中传播的情况：
O点为波源，相位差为,?2
12 rr
v?
设：观测者观测到的波速,波长,观测频率,即：'?'v '?
'
''
v? （ 1）
设：波相对于静止媒质以波速 传播,为波源振动的频率，则：v?
37
当波源和观察者都相对于媒质静止时，则,'
设：观测者以 相对于媒质朝波源 O运动，
观v
观测到的波长,观测到的波速,则观测频率'
观vvv'
'?
观vvv
'
''
将 代入得：
v?
v
v 观1 ' （ 2）
若：观测者背离波源而运动，则：观测到的波速,则：
观测频率 与波源频率 的关系为,观vvv'?'?
v
vvv 观观 1?
'
（ 3）
合并（ 2）和（ 3）式得：
38
v
v 观1 ' （ 4）
若：观测者朝波源运动，式中取正号，观测频率高于波源频率；
若：观测者背离波源运动，式中取负号，观测频率低于波源频率。
39
二,观测者静止而波源运动设：波源的速度为,假设波源静止于 A点，
发射的波在一个周期 T 内到达 B 点，
)( 是波速vvTAB
则：
v 'A
BA'
而波源以速度 运动，在一个周期 T里，波源运动到 点，在一个周期里发射的波是“挤压”在 之间，此时，波长为 '' AA
则：单位时间内进入观测者的波数为,,即：观测者的频率,
l? '?
源源源 vv
v
Tvv
v
Tv
vv
''
因此,（ 5）
40
若波源背离观测者运动，则
源vv
v
'
（ 6）
源vv
v
'
合并（ 5）、（ 6）式得：
（ 7）
例题：
两个观察者 A 和 B 携带频率均为 1000Hz 的声源，如果 A 静止，而 B 以
10m/s 的速度向 A 运动，那么 A 和 B 听到的拍是什么？设声速为 340m/s
41
42
冲击波多普勒效应之一
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 10.1 波的基本概念
1.波,振动在媒质（介质）中的传播就是波，分为横波和纵波。
2.横波,媒质中各体元振动的方向与波传播的方向垂直。
例如：一根均匀柔软的细绳的振动，形成的波就是横波。
3.纵波,媒质中各体元振动的方向与波传播的方向平行。
例如：空气中的声波，空气中体元时而靠近，时而疏远。
4.表面波,在两中媒质的界面上传播的波。例如：水面波。
波的产生
3
5.波面,波传播时，同相位各点所组成的面。
6.波前,离波源最远，即“最前方”的波面。
7.波射线,与波面垂直且表明波的传播方向的线叫波射线。
8.平面波,波前为平面的波。波线是互相平行的。
9.球面波,波前为球面。点波源在均匀的和各向同性媒质中发生的波是球面波。波线是相交于波源的直线。
4
tAy?c o s?
§ 10.2 平面简谐波一,平面简谐波平面波传播时，媒质中体元均按正弦（或余弦）规律运动。
二,平面简谐波方程（从运动学角度考虑）
描述不同时刻不同体元的运动状态。
设：一列平面简谐波沿 x 轴正向传播，选择原点 x =0 处体元相位为 0的时刻为计时起点，即该体元的相位为零，则 x =0处体元的运动学方程：
其中,y 为体元距平衡位置的位移,A,ω为波源的 振幅 和 圆频率 。
经的时间,x =0处体元的振动状态传到位于 x 处的体元,即,t 时刻,
位于 x 处的体元的振动状态应与 时刻处体元的振动状态一样,则 x 处体元的运动学方程为：
vxt /
vxt /?
vxtAy?c o s
（ 1）
5
vxtAy?c o s
vxtAtxy?c o s),( （ 2）
vx?
⑵ 式可以看出,x处质元的振动超前于原点处的质元 。
其中,v为振动状态传播的速度，叫 波速,也叫 相速 。⑴式就是 平面简谐波方程 。
从⑴式看出,x 处质元的振动比原点处的质元落后 。若：波动沿 x轴负方向传播，则波动方程为：
vx?
6
212,,TT
三,平面简谐波方程的物理意义
1,当 一定时,表示 x处质元的振动方程，初位相是 。
vxtAyc o s
vx?
2,当 t一定时,表示 t时刻各个质元偏离平衡位置的位移，即 t时刻的波形。
vxtAyc o s
由⑴可知,x处体元振动的周期、频率和圆频率：
注意：
不一定是振动系统的固有频率而取决于波源频率，所以⑴中的形式不意味着各体元作简谐振动。
7
vxtAtxy?c o s),( （ 2）
由⑵知,t 一定时,y是 x 的周期函数，也存在空间位置上的周期，波长
vvT （ 3）
即,波长 是 波 在一个周期内传播的距离 ；
或,沿波传播方向相邻同相位两点间的距离 。
另外，由空间位置的周期性可知：
200
v
xt
v
xt
vvT
8
定义：,称为 波数,
k
2 Tk （ 4）
表示单位长度上的波数，而 表示 长度上波的数目。
都描述平面简谐波的空间周期性。
1
2?k?2?、k
3,联系平面简谐波的空间周期性与时间周期性的公式：
v
（ 5）
9
v
x
tAy
x
tAy
kxtAy
2
2
c os
c os
c os
四,平面简谐波方程的多种形式：
例题 图（ 1）、图（ 2）分别表示 t=0 和 t=2s 时的某一平面简谐波的波形图，试写出此平面简谐波方程。
10
11
§ 10.3 波动方程与波速 （波的动力学方程）
一、波动方程（平面简谐波的动力学方程）
（不是依据课本上的推导，而是从“平面简谐波的动力学方程”出发来寻找动力学方程。）
已知：
vxtAy?c o s
vxtAty s i n
(代表 t 时刻 x处质元的速度 )
vxtAt y c o s22
2 (代表 t 时刻 x处质元的加速度 )
vxtvAxy s in
(代表 t 时刻 x处的应变 )
12
vxtvAx y c o s222
2
2
2
2
2
2
x
yv
t
y
（ 1）
vxtAy?c o s
⑴式就是 波的动力学方程,而 就是 波的运动学方程 。类比于：
020 xx
（简谐振动的动力学方程 ）
tAx 0c o s （简谐振动的运动学方程 ）
13
二、波速
⒈ 横波（ 多为固体液体剪切形变，详见第八章 ）
xx
ySNxSNxF
)()(?
S
FN
由
xxx
ySNxxSNxxF
)()(?
质元所受的和外力（忽略掉质元的重力）：
2
2
)()( t yxSxFxxF 2
2
t
yxS
x
y
x
ySN
xxx?
2
2
2
2
t
yxS
x
ySN
因此，
14
2
2
2
2
t
y
Nx
y
或
2
2
2
2
x
yN
t
y
（ 2）
此式也是 波的动力学方程 。
其中,N 是剪切模量,是物块的密度。
⑴,⑵比较可知：
Nv?
横
（ 3）
15
⒉ 纵波同理：
2
2
2
2
x
yY
t
y
其中,Y 是杨氏模量,是物块的密度（固体中）。
Yv?
纵由此可知：固体中的纵波和横波的波速与媒质弹性密切相关。
另外，张紧的柔软细绳中横波波速为：
线绳?Tv?
（其中,T 是绳中的张力）
16
§ 10.4 平均能流密度一、媒质中波的能量分布主要研究某体元动能、形变势能以及总能的变化规律。
1,动能由
vxtAy?c o s
vxtAtyu s in
（体元的振动速度 ）
设：媒质密度为 ρ,d v 表示体元的体积。则该体积的动能为：
vxtAdvd v udE k 2222 s in2121
（ 1）
17
2,势能又由
vxtvAxy s in
x
y
体元的剪切应变为：,所以：体元剪切应变势能为：
v
xt
v
AV d v
x
yN d vdE
p?
2
2
222
s in2121 （ 2）
又因为横波：,所以有：
Nv?
横
vxtAdvdE p 222 s in21
（ 2’）
18
(1)和 (2’ )式比较，得,。
kp dEdE?
即：体元的动能和势能具有相同的数值，同时达最大或最小。
3,总能由前面讨论，某体元的总能等于两者之和，即：
vxtAdvdE 222 s in
（ 3）
由（ 3）式可知,某体元的总能为 空间和时间的函数 。
注意,波动过程中体元势能是由于体元的形变而为体元所有。
19
vxtAdNdE 222 s in
4,能量密度单位体积媒质所有的能量,用 ε表示，由（ 3）式知：
平均能量密度,能量密度在一周期内的平均值,?
T
A
dt
v
x
t
T
A
v
x
t
T
A
v
x
tA
T
T
T
T
22
0
22
0
2
22
0
222
2
1
2c os1
2
1
s in
s in
1
（ 4）
20
二、平均能流密度
vTds?
媒质中体元的能量由振动状态决定,而振动状态又以波动传播,所以能量也以波速传播 。 现取波面上一面元 ds,
则在一周期内体积为 vTds的柱体内的能量均得流过该面元,
流过的能量为：,则：单位时间通过单位面积的能量：
vAvT d sv T d s 2221
定义 平均能流密度,大小等于单位时间内通过与波传播方向面积的能量，方向沿波传播方向，是一矢量，符号,”,I?
vAvI 2221
即：平均能流密度的大小等于平均能量密度与波速 的乘积。v?
单位：
2mW
21
2211 SISI?
例题一球面波，不计媒质吸收的能量，设波面 S1,S2，
对应的平均能流密度为 I1,I2,则：单位时间内通过不同波面的能量相同，即：
2
1
1
2
2
2
2
1
5
2
1
2
2
2
1
2
22
2
11
44
A
A
r
r
A
A
r
r
I
I
rIrI
）式利用（
即,球面波各体元的振幅和该点到波源的距离成反比。
22
§ 10.5 波的叠加和干涉 驻波一、波的叠加波的叠加原理,两列波相独立的传播，在两列波相遇处体元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。
2
2
2
2
2
x
uv
t
y
理论上解释：因波动方程对于 t和 x 都是线形的，若,y1 和 y2是该方程的解，则 y1 +y2也是方程的解。
因此,波的叠加原理与方程的线性密切相关 。
波的叠加原理
23
二、波的干涉
１,波的干涉两列波满足一定条件，则两列波相遇各空间点的合振动能各保持恒定振幅而不同位置各点以不同动能振动，这种现象称为 波的干涉 。
２,波的干涉条件
（１）两列波具有相同的振动方向；
（２）两列波具有相同的频率；
（３）两列波在空间每一点引起的振动都有固定的相位差。
简言之，即,振动方向相同、频率相同且在各空间点保持固定的相位差 。
如：同频率同方向的正弦或余弦振动的合运动仍为正弦或余弦振动,
合振动的振幅由分振动振幅以及相位差决定 。
24
光学里，常用,光程差,：
如果光程差是波长的整数倍,则该处振动加强；
如果光程差是半波长的奇数倍，则该处振动减弱。
满足干涉条件的两列波，才能实现干涉现象所要求的空间各点振动强弱所具有的确定的分布。
25
三、驻波
１,驻波的概念振动相同而传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动，称为 驻波 。
(b) 两者叠加，产生拍的现象。(a) 两组波动的频率不同，但相差很小。
“驻波”可造成高速行车爆胎驻波演示
26
２,驻波方程相遇处各体元的合位移为：
设两列波,)c o s ( kxtAy1
)c o s ( kxtAy2
tkxA
kxtAkxtAyyy
c o s)c o s(
)c o s ()c o s (
2
21
将 代入上式得：
2?k
txAy?
c o sc o s?
22
（ 1）
27
(1)式振动介于 0~2A 之间,(1)式就是驻波方程。
驻波方程的特点：
xAA22 c o s?驻
（ 1） 振幅,令,对于不同 x处的质元，振幅不同，
介于 0~2A 之间。
当 A驻 ＝ 2A 时，
12xc o s
2102,,, nnx
2102,,, nnx?
（ 2）
即：处于 (2)式中 处的质元的振幅为 2A，最大振幅，称为驻波的 波腹,
用（ A）表示。
txAy c o sc o s 22
（ 1）
28
当 A驻 ＝ 0 时，
02?xc o s
21022,,,
nnx
210412,,, nnx?
（ 3）
即：处于 (3)式中处的质元的振幅为 0，是最小振幅，称为相邻两 波节,
用（ Ｎ ）表示。
29
2/?（ 2） 由 (2)式知，相邻两波腹间的距离为由 (3)式知，相邻两波节间的距离为 4/?
由 (2),(3)式知：相邻波节和波腹之间距离则为 4/?
（ 3） 相位 （驻波各点振动的相位关系）
（ a）相邻波节之间各点质元的相位关系由：,取两相邻的波节处的质元,txAy?
c o sc o s?
22
驻
432412 1 ixix ii,
代入驻波方程中的振幅因子,得：
xA22 c o s
2
32
2
2
1
ixix ii,
30
2
32
2
2
1
ixix ii,
x2
由此可知，处于两波节之间的各点的值 不是第 2,3象限就是第 1、
4象限，即 符号不变化。
xA22 c o s
由此可知：处于两波节间各点质元具有相同的相位 。t?
31
)c o s (c o s
c o sc o s
c o s)c o s (
c o sc o s
tiA
tiA
tiAy
tiAy
i
i
2
2
12
2
1
（ b）相邻两波腹处质元的相位关系由相邻两波腹：
2 12 1 ixix ii,
由此可知,相邻两波腹的相位是相反的 ；又由：相邻波节之间的质元的相位相同，可以得知,波节两侧各体元的振动相位相反；波腹两侧各体元的振动相位相同 。
32
4,驻波中的能量驻波中的能量以形变势能集中于波节附近,
以动能形式集中于波腹附近,某些时刻,动能和势能并存；总之,驻波中不断进行着动能和势能之间的转换和在波腹与波节之间的转移,
然而没有能量的定向传播 。
33
5,行波与驻波的区别行 波 驻 波波方程振幅 所有质元处都为 A 各质元处的振幅不同：
相位,各处的相位不同,同相位或反相位能量 由近向远传播（沿波传播方向）
波节或波腹之间的能量交换和转移（没有定向的传播）
vxtAyc o s
txAy c o sc o s 22?
)/(c o sc o s 22 ktkxAy或
xAA22 c o s?驻
kxttt或经常见到的驻波是：一列前进波与它在某一界面的反射波叠加而形成的。
34
3212,, nnl?
６,举例半波损失,反射波在边界处引起的分震动比入射波在此引起的分振动在相位上落后,即：波传播中此处相距半个波长,故这种现象称半波损失 。
如：一金属丝上传播波，金属丝两端固定，在固定端处将发生半波损失。
如：两端固定的弦振动，入射波与反射波在该处引起的分振动因半波损失而反相位，所以如形成驻波，两端点必是波节，设弦长为 l,，则有如下关系：
3212,, nn ln?
如，两端自由，反射波与入射波在该处引起的分振动无半波损失，则端点是同相位，即：端点处是波腹。
35
例题右图表示某一瞬时入射波的波形图,在固定端反射,
试画出此瞬时反射波的波形图 。 （ 无振幅损失 ）
36
§ 10.6 多谱勒效应 （纵向，横向多谱勒效应为零）
多普勒效应,由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象。
一、波源静止而观察者运动讨论：静止点波源的振动在均匀各向同性媒质中传播的情况：
O点为波源，相位差为,?2
12 rr
v?
设：观测者观测到的波速,波长,观测频率,即：'?'v '?
'
''
v? （ 1）
设：波相对于静止媒质以波速 传播,为波源振动的频率，则：v?
37
当波源和观察者都相对于媒质静止时，则,'
设：观测者以 相对于媒质朝波源 O运动，
观v
观测到的波长,观测到的波速,则观测频率'
观vvv'
'?
观vvv
'
''
将 代入得：
v?
v
v 观1 ' （ 2）
若：观测者背离波源而运动，则：观测到的波速,则：
观测频率 与波源频率 的关系为,观vvv'?'?
v
vvv 观观 1?
'
（ 3）
合并（ 2）和（ 3）式得：
38
v
v 观1 ' （ 4）
若：观测者朝波源运动，式中取正号，观测频率高于波源频率；
若：观测者背离波源运动，式中取负号，观测频率低于波源频率。
39
二,观测者静止而波源运动设：波源的速度为,假设波源静止于 A点，
发射的波在一个周期 T 内到达 B 点，
)( 是波速vvTAB
则：
v 'A
BA'
而波源以速度 运动，在一个周期 T里，波源运动到 点，在一个周期里发射的波是“挤压”在 之间，此时，波长为 '' AA
则：单位时间内进入观测者的波数为,,即：观测者的频率,
l? '?
源源源 vv
v
Tvv
v
Tv
vv
''
因此,（ 5）
40
若波源背离观测者运动，则
源vv
v
'
（ 6）
源vv
v
'
合并（ 5）、（ 6）式得：
（ 7）
例题：
两个观察者 A 和 B 携带频率均为 1000Hz 的声源，如果 A 静止，而 B 以
10m/s 的速度向 A 运动，那么 A 和 B 听到的拍是什么？设声速为 340m/s
41
42
冲击波多普勒效应之一
