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普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 4.1 能量 —— 另一个守恒量能量概念的 认识 和 由来,
从“使物体运动起来需要付出代价”（人们最早对生活中实际的问题的认识）；
“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；
1686年莱布尼茨提出：物体“运动的量”与物体速度平方成反比；
221mv1695年,“运动的量”发展为,”,并称作“活力”；科里奥利称之为
“功”；
221mv
1801年，托马斯 ·杨提出将,”称作“能”，“功能原理”和“机械能守恒”
思想，
自然界一切过程都必须满足能量守恒定律； 1807年正式出现“能”这一术语。 1853年出现了“势能”,1856年出现了“动能”。
从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：
能量可连续取值 → 普朗克指出：物体只能以 hγ 为单位发射和吸收电磁波
→ 微观世界的原子光谱是线状谱 → 能级是分立的。
能量概念最早源于生产 → 经过概念的比较和辨别 → 升华为科学的概念。
3
§ 4.2 力的元功 ·用线积分表示功我们知道,自然界中能量是守恒的，但能量还是可以转移和改变形式的，而改变能量的手段就是做功 。
一、力的元功和功率在以前学过,功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积 。
其 成立的条件,力是恒力且质点沿直线运动。
对于力是一 变力,且质点沿曲线运动的一般情况：
方法,将物体的位移“细分”成许多小段，每段可视为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。
元位移,无穷小的位移，可以认为合轨迹重合。
4
1,元功,力在元位移上的功称为元功 ——标量。
力的元功等于力 与受力质点无穷小位移 的标积：F? rd?
c o sdrFrFdA
（ 1）
表示力与位移的夹角：?
负功。；
正功；
oo
o
o
90180
090
900
注意：
（ 1）功的位移指受力点的位移，若为质点，就是质点的位移例如：手握住一端固定于墙壁的绳并在绳上滑动，绳上的受力点不断变化，但受力并未发生位移，故作用于绳上的摩擦力不做功。但绳子对手的摩擦力做功。
5
例如：人在路面上行走时,不做功，因为有力时，没有位移；有位移时没有力。
静f?
常用判别式,,受力点不断转移时，应用此事来判断,为受力物体受力点相对于计算功参照系的速度。
tvr v?
例：齿轮的转动：主动轮对从动轮做正功，从动轮对主动轮做负功 。
（ 2）功和参考系有关。 （因为：位移和参考系有关系）
例：一辆汽车以 运动，突然急刹车，最后静止，求摩擦力所作的功。
0v?
g
vsgamgf
2
2
0,,
摩擦力相对于地面的功为：
g
vsfA
2
2
0 （ 2）
6
上述同样的车和另一辆并排的甲车以 作匀速直线运动,为乙车相对甲车的位移。
0v
甲x?
g
vs
g
vx
g
vt
22
2
0
2
0
甲,
2
2
1 mvxfA
甲?
(2)式表明：以甲车为参考系,f 做正功。
因此，由于位移 和参考系有关，故 摩擦力做负功的说法为错 。r
与此相联系：机械能守恒定律与参考系也有关，在一个惯性系中守恒，但在另一惯性系中就不守恒。
7
例如：斜面上的物体 m 沿光滑的斜面下滑,M 对于地面以 向左方运动，
不计摩擦力。
0v?
斜面参考系，物块 m 机械能守恒,；
地面参考系，物块 m 机械能不守恒,。
0 rN
0 rN
r另外：关于位移 的解释还可举例如下：
同样，绳子对人的拉力做功，但人对绳子的拉力不做功，因为人对绳子施力，但作用点的绳子没有位移。
2,若多个力 作用于质点，位移,则合力的功为：nFFF 21 r
i
ii
i
i
i
i rFrFrFA?c o s
即,合力所做的功等于分力所做功的 代数和 。
8
3,平均功率
t
AP
即,功与时间的比值叫做该段时间的平均功率（平均做功的快慢）。
4,瞬时功率当时间 时，力的平均功率的极限叫力的瞬时功率。0?t?
vFdt rdFdtdAP
t
0?
lim
（ 4）
即,力的功率等于力与受力点速度的 标积 。
9
二、不同坐标系元功的表示
1,平面直角坐标系力：
jFiFF yx
元位移：
jdyidxrd
元功：
dyFdxFrdFdA yx
（ 5）
例,若质点做直线运动，令 x 轴和位移重合，则：
dxFdA x?
10
2,平面自然坐标系力：
FnFF n
元位移：
dsrd?
元功：
dsFrdFdA （ 6）
即,功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。
3,极坐标系力：
FrFF r
元位移, rdrdrrd
元功,)?)((
rdrdrFrFrdFdA
r
（ 7）
一般说来，常用的形式是,直角坐标系形式 和 自然坐标系形式 。
11
三、力在有限路径上的功方法,用积分描述受力质点在有限路径上的功。
讨论,力 自 沿曲线至 做的功：F?
0r? 1r?
“细分,：位移看作由许多元位移 组成，),,( nir
i 21
力的元功,rFA
iii
“做和,：总功：
n
i
ii
n
i
i rFAA
11
“求极限”：元位移的数目 n无限增多，而,则上式和的极限给出功的精确值。
0?ri
n
i
ii
n
r
rFA
i 10
lim
12
n
i
ii
n
r
rFA
i 10
lim
该和式的极限称作力 沿曲线自 至 的线积分，记作：F?
0r? 1r?
1
0
r
r
rdFA
（ 8）
上式表明,变力的功等于元功之和。
注,(8)式的线积分除与力 有关外，还与积分路径有关。 例：F?
13
在直角坐标系中：
),(
),(
),(
),(
)(
11
00
11
00
yx
yx yx
yx
yx
yx
dyFdxFdAA
dyFdxFrdFdA
在自然坐标系中：
BAss
s
dsFdAAdsFdA,
在平面极坐标系中：
)(,)(),,(,),(
)(,
),(
),(
rrrrFrF
dFdrFdAAdFdrFdA
r
r
r rr
bb
aa
14
如图，一轻细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力 F向下拉绳。证明力 F对线作的功等于线作用于小球的拉力所作的功，线不可伸长。
例题
15
16
§ 4.3 质点和质点系动能定理一、质点的动能定理
vvmrddt vdmrdFdt vdmF
合合
22
2
1
2
1
2
1 mvdvmdvvmddA
令：
kEmv?
2
2
1 动能
（ 1）
kdEdA?
则有：
(1)式表明,合外力所做的元功等于动能的微分 。
17
例：在自然坐标系中，
dt
dvnvmF 2
kdEmvdmvddvmv
dtv
dt
dv
mds
dt
dv
mds
dt
dv
n
v
mrdF
22
2
2
1
2
1
即,质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。
质点的动能定理的积分形式：
(2)式表明,质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功,对应于非无限小的过程。
0
2
0
22
2
1
2
1
2
1
00
kk
v
v
s
s
EEmvmvmvddA
（ 2）
注,功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速度有关，是一状态量。
18
二、质点系内力的功如图示：两质点沿虚线轨迹运动,相对于参考点 O的位置矢量各为 和,表示质点 1对 2的作用力,表示质点 2对 1的作用力,,这对作用力元功之和为：
1r? 2r? 12F?
21F?
1221 FF
令：,是质点 2相对于质点 1的位矢，则：
12 rrr
12 rdrdrd
设,的单位矢量是,则：r?
0r
即,二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质点元位移的标积 。
也即,二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变 。
)( 1212212121 rdrdFrdFrdFdA
drFrdrrFdrFrrddrrrFdA
rrddrrrd
rFFrFFrrr
1200121200012
00
01221012120
)?(?
,?,?
（ 3）
19
三,质点系的动能定理设,质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于各质点的初始动能和末动能分别是：
,,,,ni AAAA 21
002010 knkikk EEEE,,,
和
knkikk EEEE,,,21
由质点的动能定理得：
),(?210 iEEA kikii
对于一切质点取和：
0
0
kk
i
ki
i
ki
i
i
EEA
EEA （ 4）
20
定义,质点系的动能 ------质点系内各质点动能之和。
将 (4) 中的功分为两部分：
外A 和0 内内 AA
则：
0kk EEAA 内外即,质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和,称作质点系的动能定理。
注：内力功的推论：① 若二质点间的距离不变 ( dr =0 )，则它们之间的内力功为零 。 ② 刚体的内力功为零 。
21
轻且不可伸长的线悬挂质量为 500g的圆柱体 。 圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内,框架槽沿铅直方向 。 框架质量为 200g。 自悬线静止于铅直位置开始,框架在水平力
F=20.0N作用下移至图中位置,
求圆柱体的速度 。 线长 20cm。
不计摩擦 。
例题：
22
23
§ 4.4 保守力与非保守力 ·势能一、力场场力 定义：质点所受的力仅与质点的位置有关 。)(rFF
例如，重力 场,弹簧的弹性力场,mgG? kxf
电磁力场和引力场,
rrMmGF 2?
洛伦兹力 和摩擦力 均不是力场。Bvqf Nf
有心力,质点所受力的作用线总通过一点，则该力称有心力。
例如：正电荷的电场是有心力场。
弹簧的弹性力场是有心力场。
24
二、保守力与非保守力
1,保守力定义,力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。
a
b
1 2
如图示：
0
0
21
2121
abba
babababa
rdFrdF
rdFrdFrdFrdF
即：
0 rdF
保守力沿闭和路径所做的功为零。
25
2,非保守力（耗散力）
定义,力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置,而且和质点经过的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零 。
例如：摩擦力。
力学中常见的保守力
0
2211
abbaab
b
a
b
a y
b
a y
b
a x
m g hyymgyymg
m g d ydyFdyFdxFA
a,重力：
gmG
26
b,弹性力：
0rlrF?)(?
drlrkrdrlrkrdFdA )(?)( 0
22
2
2
1
lrlrk
lrkdrlrkdAA
ab
r
r
r
r
b
a
b
a
)()(
用 x 表示形变量，有：
2222 2121 baab xxkxxkA
设：弹簧原长是,在图中任一位置 处（ 是 方向的单位矢量）：l
0r r
r?
27
c,万有引力：
drrMmGrdrrMmGrdFdA 202
abab
b
a
b
a r
G M m
r
G M m
rrG M mdrrG M mdAA
111
2
由此可知：静电库仑力也是保守力。
02 rr
MmGF
28
三、势能设质点由 位置 （ A） 到达 位置（ B） 。r?
0r?
重力的功：
末初 m g ym g ym g ym g yA rrBA rr 00
弹性力的功,
末初 － kxkxlrklrkA
BA
rr 2
1
2
1
2
1
2
1 2
0
2
0
万有引力的功：
末初
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
A
ABBA
rr
0
0
0
（以前谈到“增加”，指：末减初；若是初减末，则为“减少量”）
由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质点的位置的某个函数 的减少量。这个函数就叫 势能函数,用 表示。)(rV?
)(rEp
29
由此可见,保守力做正功，势能减少,即：
末初 pp EE? pfpi EEA保或者,保守力所做的功的负值，对应于势能的增加 。即：
pipf EEA 保由上述讨论可知：
1.重力势能函数,cm g yrE
p)(
2.弹性势能函数：
ckxrE p 221)(
3.万有引力势能函数：
crG M mrE p)(
c是由势能零点来决定的。
30
对于重力势能：
00 0 m g ycEyy p,
对于弹性势能：
2
00 2
10 kxcExx
p,
对于万有引力势能：
0
0 0 r
G M mcErr
p,
势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对的，依据于势能零点的选取。
若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：
保ArE p)(
即,一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。
或,一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：
000 rEArE prrp,)(
31
例如：
0
00
2
1
00
2
)(
)(
)(
rE
r
G M m
E
xEkxE
yEm gyE
pp
pp
pp
由此可见,不能说，万有引力势能总是负的，而 与势能零点的选取有关 。
势能属于质点系所共有。
32
小结 （保守力和势能的关系）
① 保守力和势能相对应；反之亦然。
② 保守力所做的功等于势能的减少量：
ppbpaba dEdAEEA,
③ 保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。
000 rEArE prrp,
④ 保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，依据于势能零点的选择，势能函数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是绝对的，不依据于势能零点的选择。
33
⑤ 保守力的方向与等势面垂直，指向势能减少的方向。
因为，沿等势面保守力不做功，则有
00 rdFdA rdF
而：
dyyEdxxEdEdyFdxFdA pppyx
y
EF
x
EF p
y
p
x?
＝，＝
对于三维情况：
kxjxixEgadEF pp,)(＝
)()( rErF p
可见：
34
四、势能是物体相对位置的函数因势能与保守力相联系，故势能是属于以保守力相互作用的，是系统所共有的，不是一个物体所具有的。
lx0
例题二仅可压缩的弹簧组成一可变刚度系数的弹簧组，弹簧 1和 2的刚度系数各为 k1
和 k2。它们自由伸展的长度相差 l。坐标原点置于弹簧 2自由伸展处。求弹簧组在和 x <0 时弹性势能的表示式。
35
36
§ 4.5 功能原理和机械能守恒定律一、质点系的功能原理由质点系的动能定理可得：
0kk EEAA 外内
00
0
0
0
0
EEEEEEAA
EEEEAA
EEAAA
pkpk
kkpp
kk
外内外内外内内非非非保即：
pk EEEEEAA 0外内 非 （ 1）
即：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的和，
称作 质点系的功能原理 。
37
① 只有外力和内非保守力才会引起机械能的改变 。
② 内保守力做功所引起的作用是：会引起质点系动能的改变,但不会引起质点系机械能的改变 。
由此可见：
注意：
在应用,功能原理,时,若左方计入保守力的功,
则右方就不再考虑对应的势能 。
在应用,功能原理,时,若右方计入势能,则左方就不再考虑对应的保守力的功 。
38
r?二、机械能守恒定律由 (1)式可知：若体系所受的外力功为零，内非保守力做功为零，则机械能守恒。即则若
,,00 非内外 AA 0EE?
（ 2）
或,若体系仅有内保守力做功，则机械能守恒 。
例题物体 Q与一刚度系数为 24N/m的橡皮筋连接,并在一水平圆环轨道上运动,物体 Q在 A处的速度为
1.0m/s,已知圆环的半径为 0.24m,物体 Q的质量为
5kg,由橡皮筋固定端至 B为 0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度 。 求 （ 1） 物体 Q的最大速度； （ 2） 物体 Q能否到达 D点,并求出在此点的速度 。
39
40
41
§ 4.6 对心碰撞 ·非对心碰撞一、碰撞的特点和简化处理
① 碰撞时间短，相互作用强，可不考虑外界的影响；
②碰撞前后状态变化突然且明显，可以认为：速度发生变化，
但位置不发生变化。
二、对心碰撞
1,对心碰撞,碰撞前后的速度都沿两球的连心线，也叫 一维碰撞 。
42
2,碰撞过程,
① 压缩过程,从两小球开始接触到两小球达到共同速度。（ b）和（ c）图，
特点：
vvvIII
vv
m
I
vmvmI
vv
m
I
vmvmI
2121
22
2
2
22222
01
1
1
11111
00
0;时压缩最甚，有共同速度
21
21
11
00 mm
Ivv
43
② 恢复过程：从共同速度到分离的过程。（ d）（ e）图，特点：
（恢复冲量）
III '' 21
vv
m
I
vmvmI
vv
m
I
vmvmI
'
'
''
'
'
''
2
2
222
1
1
111
12
12
11
mmIvv
v
'''
消去
00 21 vv?
称,为 接近速度,为 分离速度 。'' 12 vv?
44
3,牛顿碰撞公式实验表明：对于材料一定的球，碰撞后分开的相对速度与碰撞前接近的相对速度成正比，比值称为 恢复系数,
)(
''
10
00 21
12
evv
vve
:1?e 完 全 弹 性碰撞,弹性形变 → 动势能相互转化
:1?e 非完全弹性碰撞,塑性形变 → 机械能有损失
:0?e 完全非弹性碰撞,→ 机械能有损失'' 21 vv?
45
4,完全弹性碰撞（ ）1?e
1
00 21
12?
vv
vv ''
动量守恒：
00 22111122 vmvmvmvm
''
（ 1）
22222211 0201 '' vvmvvm
机械能守恒,2
2
2
1
2
11
2
22 0201 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm '' （ 2）
''
''''
22111
222111
0201
02020101
vvmvmvm
vvvvmvvvvm
（ 3）
（ 4）
'' 21
0201 vvvv 1
00 21
12?
vv
vv ''?
46
所以，可以联上三式中任意二式，不妨：
1
00 21
12?
vv
vve ''
00 22111122 vmvmvmvm
''
00
00
1
21
1
2
21
12
2
2
21
2
1
21
21
1
2
2
v
mm
m
v
mm
mm
v
v
mm
m
v
mm
mm
v
'
'
当 时，21 mm?
00 1221 vvvv
'',
当 且 时，
21 mm 0211 0 '',vvv002?v
当 且 时，
12 mm 00 1211 2 vvvv '',002?v
47
5,完全非弹性碰撞（ ）0?e
动量守恒：
21
202101
21202101 mm
vmvmvvmmvmvm
损失的动能：
2221221
2010 2
1
2
1
2
1 vmvmvmmE
48
6,完全非弹性碰撞（ ）10e
动量守恒：
'' 22112211
00 vmvmvmvm
00 21
12
vv
vve
''
000
000
21
21
1
22
21
21
2
11
1
1
vve
mm
m
vv
vve
mm
m
vv
'
'
49
三、非对心碰撞定义：如果两球相碰之前的速度不沿它们的中心连线，叫 非对心碰撞,
也叫 斜碰 。
设二球的质量,m1 和 m2,即,m2 静止。设球表面光滑，相碰时二球相互作用力沿二球接触时连心线方向，如图示 与 x
轴的夹角为,则：
00 00 21 vv,
01v
x 方向：
c o s00 111 vvv xx
50
若,m2 >>m1,即小球与光滑的无穷大的平面相碰，可知：
y 方向，对心碰撞：
yy
yy
y
yy
vmvmvm
v
vv
v
vv
e
112211
1
12
1
12
0
00
s i n
21
01
2
21
021
1
1
mm
vme
v
mm
vemm
v
y
y
s i n
s i n
0
0
00
22
111
xx
xx
vv
vvv?c os
0
0
2
2
01
11 0
y
x
y
x
v
v
evv
vv
s in
c os
51
例题：
1 （ ZY ）,一 质量 为
200g的框架,用一弹簧悬挂起来,使弹簧伸长 10cm,今有一质量为 200g的铅块在高
30cm处从静止开始落进框架 。
求此框架向下移动的最大距离 。 弹簧质量不计,空气阻力不计 。
52
53
2,质量为 m1=0.790kg和 m2= 0.800 kg 的物体以刚度系数为 10N/m 的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面上 。 最初弹簧自由伸张,质量为 0.01kg 的子弹以速度 v =100m/s 沿水平方向射于 m1内,问弹簧最多压缩了多少？
54
55
本章习题：
4.2.3 4.2.5 4.3.2 4.5.3
4.6.5 4.6.9 4.7.1
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 4.1 能量 —— 另一个守恒量能量概念的 认识 和 由来,
从“使物体运动起来需要付出代价”（人们最早对生活中实际的问题的认识）；
“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；
1686年莱布尼茨提出：物体“运动的量”与物体速度平方成反比；
221mv1695年,“运动的量”发展为,”,并称作“活力”；科里奥利称之为
“功”；
221mv
1801年，托马斯 ·杨提出将,”称作“能”，“功能原理”和“机械能守恒”
思想，
自然界一切过程都必须满足能量守恒定律； 1807年正式出现“能”这一术语。 1853年出现了“势能”,1856年出现了“动能”。
从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：
能量可连续取值 → 普朗克指出：物体只能以 hγ 为单位发射和吸收电磁波
→ 微观世界的原子光谱是线状谱 → 能级是分立的。
能量概念最早源于生产 → 经过概念的比较和辨别 → 升华为科学的概念。
3
§ 4.2 力的元功 ·用线积分表示功我们知道,自然界中能量是守恒的，但能量还是可以转移和改变形式的，而改变能量的手段就是做功 。
一、力的元功和功率在以前学过,功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积 。
其 成立的条件,力是恒力且质点沿直线运动。
对于力是一 变力,且质点沿曲线运动的一般情况：
方法,将物体的位移“细分”成许多小段，每段可视为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。
元位移,无穷小的位移，可以认为合轨迹重合。
4
1,元功,力在元位移上的功称为元功 ——标量。
力的元功等于力 与受力质点无穷小位移 的标积：F? rd?
c o sdrFrFdA
（ 1）
表示力与位移的夹角：?
负功。；
正功；
oo
o
o
90180
090
900
注意：
（ 1）功的位移指受力点的位移，若为质点，就是质点的位移例如：手握住一端固定于墙壁的绳并在绳上滑动，绳上的受力点不断变化，但受力并未发生位移，故作用于绳上的摩擦力不做功。但绳子对手的摩擦力做功。
5
例如：人在路面上行走时,不做功，因为有力时，没有位移；有位移时没有力。
静f?
常用判别式,,受力点不断转移时，应用此事来判断,为受力物体受力点相对于计算功参照系的速度。
tvr v?
例：齿轮的转动：主动轮对从动轮做正功，从动轮对主动轮做负功 。
（ 2）功和参考系有关。 （因为：位移和参考系有关系）
例：一辆汽车以 运动，突然急刹车，最后静止，求摩擦力所作的功。
0v?
g
vsgamgf
2
2
0,,
摩擦力相对于地面的功为：
g
vsfA
2
2
0 （ 2）
6
上述同样的车和另一辆并排的甲车以 作匀速直线运动,为乙车相对甲车的位移。
0v
甲x?
g
vs
g
vx
g
vt
22
2
0
2
0
甲,
2
2
1 mvxfA
甲?
(2)式表明：以甲车为参考系,f 做正功。
因此，由于位移 和参考系有关，故 摩擦力做负功的说法为错 。r
与此相联系：机械能守恒定律与参考系也有关，在一个惯性系中守恒，但在另一惯性系中就不守恒。
7
例如：斜面上的物体 m 沿光滑的斜面下滑,M 对于地面以 向左方运动，
不计摩擦力。
0v?
斜面参考系，物块 m 机械能守恒,；
地面参考系，物块 m 机械能不守恒,。
0 rN
0 rN
r另外：关于位移 的解释还可举例如下：
同样，绳子对人的拉力做功，但人对绳子的拉力不做功，因为人对绳子施力，但作用点的绳子没有位移。
2,若多个力 作用于质点，位移,则合力的功为：nFFF 21 r
i
ii
i
i
i
i rFrFrFA?c o s
即,合力所做的功等于分力所做功的 代数和 。
8
3,平均功率
t
AP
即,功与时间的比值叫做该段时间的平均功率（平均做功的快慢）。
4,瞬时功率当时间 时，力的平均功率的极限叫力的瞬时功率。0?t?
vFdt rdFdtdAP
t
0?
lim
（ 4）
即,力的功率等于力与受力点速度的 标积 。
9
二、不同坐标系元功的表示
1,平面直角坐标系力：
jFiFF yx
元位移：
jdyidxrd
元功：
dyFdxFrdFdA yx
（ 5）
例,若质点做直线运动，令 x 轴和位移重合，则：
dxFdA x?
10
2,平面自然坐标系力：
FnFF n
元位移：
dsrd?
元功：
dsFrdFdA （ 6）
即,功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。
3,极坐标系力：
FrFF r
元位移, rdrdrrd
元功,)?)((
rdrdrFrFrdFdA
r
（ 7）
一般说来，常用的形式是,直角坐标系形式 和 自然坐标系形式 。
11
三、力在有限路径上的功方法,用积分描述受力质点在有限路径上的功。
讨论,力 自 沿曲线至 做的功：F?
0r? 1r?
“细分,：位移看作由许多元位移 组成，),,( nir
i 21
力的元功,rFA
iii
“做和,：总功：
n
i
ii
n
i
i rFAA
11
“求极限”：元位移的数目 n无限增多，而,则上式和的极限给出功的精确值。
0?ri
n
i
ii
n
r
rFA
i 10
lim
12
n
i
ii
n
r
rFA
i 10
lim
该和式的极限称作力 沿曲线自 至 的线积分，记作：F?
0r? 1r?
1
0
r
r
rdFA
（ 8）
上式表明,变力的功等于元功之和。
注,(8)式的线积分除与力 有关外，还与积分路径有关。 例：F?
13
在直角坐标系中：
),(
),(
),(
),(
)(
11
00
11
00
yx
yx yx
yx
yx
yx
dyFdxFdAA
dyFdxFrdFdA
在自然坐标系中：
BAss
s
dsFdAAdsFdA,
在平面极坐标系中：
)(,)(),,(,),(
)(,
),(
),(
rrrrFrF
dFdrFdAAdFdrFdA
r
r
r rr
bb
aa
14
如图，一轻细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力 F向下拉绳。证明力 F对线作的功等于线作用于小球的拉力所作的功，线不可伸长。
例题
15
16
§ 4.3 质点和质点系动能定理一、质点的动能定理
vvmrddt vdmrdFdt vdmF
合合
22
2
1
2
1
2
1 mvdvmdvvmddA
令：
kEmv?
2
2
1 动能
（ 1）
kdEdA?
则有：
(1)式表明,合外力所做的元功等于动能的微分 。
17
例：在自然坐标系中，
dt
dvnvmF 2
kdEmvdmvddvmv
dtv
dt
dv
mds
dt
dv
mds
dt
dv
n
v
mrdF
22
2
2
1
2
1
即,质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。
质点的动能定理的积分形式：
(2)式表明,质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功,对应于非无限小的过程。
0
2
0
22
2
1
2
1
2
1
00
kk
v
v
s
s
EEmvmvmvddA
（ 2）
注,功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速度有关，是一状态量。
18
二、质点系内力的功如图示：两质点沿虚线轨迹运动,相对于参考点 O的位置矢量各为 和,表示质点 1对 2的作用力,表示质点 2对 1的作用力,,这对作用力元功之和为：
1r? 2r? 12F?
21F?
1221 FF
令：,是质点 2相对于质点 1的位矢，则：
12 rrr
12 rdrdrd
设,的单位矢量是,则：r?
0r
即,二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质点元位移的标积 。
也即,二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变 。
)( 1212212121 rdrdFrdFrdFdA
drFrdrrFdrFrrddrrrFdA
rrddrrrd
rFFrFFrrr
1200121200012
00
01221012120
)?(?
,?,?
（ 3）
19
三,质点系的动能定理设,质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于各质点的初始动能和末动能分别是：
,,,,ni AAAA 21
002010 knkikk EEEE,,,
和
knkikk EEEE,,,21
由质点的动能定理得：
),(?210 iEEA kikii
对于一切质点取和：
0
0
kk
i
ki
i
ki
i
i
EEA
EEA （ 4）
20
定义,质点系的动能 ------质点系内各质点动能之和。
将 (4) 中的功分为两部分：
外A 和0 内内 AA
则：
0kk EEAA 内外即,质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和,称作质点系的动能定理。
注：内力功的推论：① 若二质点间的距离不变 ( dr =0 )，则它们之间的内力功为零 。 ② 刚体的内力功为零 。
21
轻且不可伸长的线悬挂质量为 500g的圆柱体 。 圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内,框架槽沿铅直方向 。 框架质量为 200g。 自悬线静止于铅直位置开始,框架在水平力
F=20.0N作用下移至图中位置,
求圆柱体的速度 。 线长 20cm。
不计摩擦 。
例题：
22
23
§ 4.4 保守力与非保守力 ·势能一、力场场力 定义：质点所受的力仅与质点的位置有关 。)(rFF
例如，重力 场,弹簧的弹性力场,mgG? kxf
电磁力场和引力场,
rrMmGF 2?
洛伦兹力 和摩擦力 均不是力场。Bvqf Nf
有心力,质点所受力的作用线总通过一点，则该力称有心力。
例如：正电荷的电场是有心力场。
弹簧的弹性力场是有心力场。
24
二、保守力与非保守力
1,保守力定义,力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。
a
b
1 2
如图示：
0
0
21
2121
abba
babababa
rdFrdF
rdFrdFrdFrdF
即：
0 rdF
保守力沿闭和路径所做的功为零。
25
2,非保守力（耗散力）
定义,力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置,而且和质点经过的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零 。
例如：摩擦力。
力学中常见的保守力
0
2211
abbaab
b
a
b
a y
b
a y
b
a x
m g hyymgyymg
m g d ydyFdyFdxFA
a,重力：
gmG
26
b,弹性力：
0rlrF?)(?
drlrkrdrlrkrdFdA )(?)( 0
22
2
2
1
lrlrk
lrkdrlrkdAA
ab
r
r
r
r
b
a
b
a
)()(
用 x 表示形变量，有：
2222 2121 baab xxkxxkA
设：弹簧原长是,在图中任一位置 处（ 是 方向的单位矢量）：l
0r r
r?
27
c,万有引力：
drrMmGrdrrMmGrdFdA 202
abab
b
a
b
a r
G M m
r
G M m
rrG M mdrrG M mdAA
111
2
由此可知：静电库仑力也是保守力。
02 rr
MmGF
28
三、势能设质点由 位置 （ A） 到达 位置（ B） 。r?
0r?
重力的功：
末初 m g ym g ym g ym g yA rrBA rr 00
弹性力的功,
末初 － kxkxlrklrkA
BA
rr 2
1
2
1
2
1
2
1 2
0
2
0
万有引力的功：
末初
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
r
G M m
A
ABBA
rr
0
0
0
（以前谈到“增加”，指：末减初；若是初减末，则为“减少量”）
由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质点的位置的某个函数 的减少量。这个函数就叫 势能函数,用 表示。)(rV?
)(rEp
29
由此可见,保守力做正功，势能减少,即：
末初 pp EE? pfpi EEA保或者,保守力所做的功的负值，对应于势能的增加 。即：
pipf EEA 保由上述讨论可知：
1.重力势能函数,cm g yrE
p)(
2.弹性势能函数：
ckxrE p 221)(
3.万有引力势能函数：
crG M mrE p)(
c是由势能零点来决定的。
30
对于重力势能：
00 0 m g ycEyy p,
对于弹性势能：
2
00 2
10 kxcExx
p,
对于万有引力势能：
0
0 0 r
G M mcErr
p,
势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对的，依据于势能零点的选取。
若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：
保ArE p)(
即,一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。
或,一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：
000 rEArE prrp,)(
31
例如：
0
00
2
1
00
2
)(
)(
)(
rE
r
G M m
E
xEkxE
yEm gyE
pp
pp
pp
由此可见,不能说，万有引力势能总是负的，而 与势能零点的选取有关 。
势能属于质点系所共有。
32
小结 （保守力和势能的关系）
① 保守力和势能相对应；反之亦然。
② 保守力所做的功等于势能的减少量：
ppbpaba dEdAEEA,
③ 保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。
000 rEArE prrp,
④ 保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，依据于势能零点的选择，势能函数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是绝对的，不依据于势能零点的选择。
33
⑤ 保守力的方向与等势面垂直，指向势能减少的方向。
因为，沿等势面保守力不做功，则有
00 rdFdA rdF
而：
dyyEdxxEdEdyFdxFdA pppyx
y
EF
x
EF p
y
p
x?
＝，＝
对于三维情况：
kxjxixEgadEF pp,)(＝
)()( rErF p
可见：
34
四、势能是物体相对位置的函数因势能与保守力相联系，故势能是属于以保守力相互作用的，是系统所共有的，不是一个物体所具有的。
lx0
例题二仅可压缩的弹簧组成一可变刚度系数的弹簧组，弹簧 1和 2的刚度系数各为 k1
和 k2。它们自由伸展的长度相差 l。坐标原点置于弹簧 2自由伸展处。求弹簧组在和 x <0 时弹性势能的表示式。
35
36
§ 4.5 功能原理和机械能守恒定律一、质点系的功能原理由质点系的动能定理可得：
0kk EEAA 外内
00
0
0
0
0
EEEEEEAA
EEEEAA
EEAAA
pkpk
kkpp
kk
外内外内外内内非非非保即：
pk EEEEEAA 0外内 非 （ 1）
即：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的和，
称作 质点系的功能原理 。
37
① 只有外力和内非保守力才会引起机械能的改变 。
② 内保守力做功所引起的作用是：会引起质点系动能的改变,但不会引起质点系机械能的改变 。
由此可见：
注意：
在应用,功能原理,时,若左方计入保守力的功,
则右方就不再考虑对应的势能 。
在应用,功能原理,时,若右方计入势能,则左方就不再考虑对应的保守力的功 。
38
r?二、机械能守恒定律由 (1)式可知：若体系所受的外力功为零，内非保守力做功为零，则机械能守恒。即则若
,,00 非内外 AA 0EE?
（ 2）
或,若体系仅有内保守力做功，则机械能守恒 。
例题物体 Q与一刚度系数为 24N/m的橡皮筋连接,并在一水平圆环轨道上运动,物体 Q在 A处的速度为
1.0m/s,已知圆环的半径为 0.24m,物体 Q的质量为
5kg,由橡皮筋固定端至 B为 0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度 。 求 （ 1） 物体 Q的最大速度； （ 2） 物体 Q能否到达 D点,并求出在此点的速度 。
39
40
41
§ 4.6 对心碰撞 ·非对心碰撞一、碰撞的特点和简化处理
① 碰撞时间短，相互作用强，可不考虑外界的影响；
②碰撞前后状态变化突然且明显，可以认为：速度发生变化，
但位置不发生变化。
二、对心碰撞
1,对心碰撞,碰撞前后的速度都沿两球的连心线，也叫 一维碰撞 。
42
2,碰撞过程,
① 压缩过程,从两小球开始接触到两小球达到共同速度。（ b）和（ c）图，
特点：
vvvIII
vv
m
I
vmvmI
vv
m
I
vmvmI
2121
22
2
2
22222
01
1
1
11111
00
0;时压缩最甚，有共同速度
21
21
11
00 mm
Ivv
43
② 恢复过程：从共同速度到分离的过程。（ d）（ e）图，特点：
（恢复冲量）
III '' 21
vv
m
I
vmvmI
vv
m
I
vmvmI
'
'
''
'
'
''
2
2
222
1
1
111
12
12
11
mmIvv
v
'''
消去
00 21 vv?
称,为 接近速度,为 分离速度 。'' 12 vv?
44
3,牛顿碰撞公式实验表明：对于材料一定的球，碰撞后分开的相对速度与碰撞前接近的相对速度成正比，比值称为 恢复系数,
)(
''
10
00 21
12
evv
vve
:1?e 完 全 弹 性碰撞,弹性形变 → 动势能相互转化
:1?e 非完全弹性碰撞,塑性形变 → 机械能有损失
:0?e 完全非弹性碰撞,→ 机械能有损失'' 21 vv?
45
4,完全弹性碰撞（ ）1?e
1
00 21
12?
vv
vv ''
动量守恒：
00 22111122 vmvmvmvm
''
（ 1）
22222211 0201 '' vvmvvm
机械能守恒,2
2
2
1
2
11
2
22 0201 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm '' （ 2）
''
''''
22111
222111
0201
02020101
vvmvmvm
vvvvmvvvvm
（ 3）
（ 4）
'' 21
0201 vvvv 1
00 21
12?
vv
vv ''?
46
所以，可以联上三式中任意二式，不妨：
1
00 21
12?
vv
vve ''
00 22111122 vmvmvmvm
''
00
00
1
21
1
2
21
12
2
2
21
2
1
21
21
1
2
2
v
mm
m
v
mm
mm
v
v
mm
m
v
mm
mm
v
'
'
当 时，21 mm?
00 1221 vvvv
'',
当 且 时，
21 mm 0211 0 '',vvv002?v
当 且 时，
12 mm 00 1211 2 vvvv '',002?v
47
5,完全非弹性碰撞（ ）0?e
动量守恒：
21
202101
21202101 mm
vmvmvvmmvmvm
损失的动能：
2221221
2010 2
1
2
1
2
1 vmvmvmmE
48
6,完全非弹性碰撞（ ）10e
动量守恒：
'' 22112211
00 vmvmvmvm
00 21
12
vv
vve
''
000
000
21
21
1
22
21
21
2
11
1
1
vve
mm
m
vv
vve
mm
m
vv
'
'
49
三、非对心碰撞定义：如果两球相碰之前的速度不沿它们的中心连线，叫 非对心碰撞,
也叫 斜碰 。
设二球的质量,m1 和 m2,即,m2 静止。设球表面光滑，相碰时二球相互作用力沿二球接触时连心线方向，如图示 与 x
轴的夹角为,则：
00 00 21 vv,
01v
x 方向：
c o s00 111 vvv xx
50
若,m2 >>m1,即小球与光滑的无穷大的平面相碰，可知：
y 方向，对心碰撞：
yy
yy
y
yy
vmvmvm
v
vv
v
vv
e
112211
1
12
1
12
0
00
s i n
21
01
2
21
021
1
1
mm
vme
v
mm
vemm
v
y
y
s i n
s i n
0
0
00
22
111
xx
xx
vv
vvv?c os
0
0
2
2
01
11 0
y
x
y
x
v
v
evv
vv
s in
c os
51
例题：
1 （ ZY ）,一 质量 为
200g的框架,用一弹簧悬挂起来,使弹簧伸长 10cm,今有一质量为 200g的铅块在高
30cm处从静止开始落进框架 。
求此框架向下移动的最大距离 。 弹簧质量不计,空气阻力不计 。
52
53
2,质量为 m1=0.790kg和 m2= 0.800 kg 的物体以刚度系数为 10N/m 的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面上 。 最初弹簧自由伸张,质量为 0.01kg 的子弹以速度 v =100m/s 沿水平方向射于 m1内,问弹簧最多压缩了多少？
54
55
本章习题：
4.2.3 4.2.5 4.3.2 4.5.3
4.6.5 4.6.9 4.7.1
