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普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 5.1 力 矩一、力的元功和功率
1．力和轴平行时,例如开门, 0?ZFM
Z
2．力和轴垂直时：
s i nrFdFZFM Z （ 1）
如图 (1)中,Z轴向上，则,
如图 (2)中,Z轴向下，则, 2',,'
此时, 0s i nrFZFM
Z
角的规定：从 的正方向到力 的正方向的转动方向所经过的 角和 Z轴正向成右手螺旋 。
r? F
3
3.力和轴既不平行也不垂直时,
//FFF
s i nrFdFFMFM ZZ （ 2）
二、力对某点的力矩 (矢量 )
如图 (4)示,A点是受力质点,O为任意的参考点。
定义,力 对参考点 O的力矩 为力 的作用点 A
相对于参考点 O的位置矢量 与力 的矢积 (叉积 )：
F?
F?
F?
r?
FrM （ 3）
大小,0 FrFrM,s i n
MFr,,方向,构成右手螺旋系统 。 (注意,由 转至 的角 是 )F?r0
4
FMFM ZZo
三、力对某点的力矩和力对轴的力矩的关系
s i nFrdFFM Z (沿 Z轴正向 )
s i n,FrMFrM oo
(沿 Z轴正向 )
Zo MZM?
因此,
F?1,特例,若力 位于和 Z轴垂直的平面内,
FrFrFooFrooFrM o ''''
结论,力 对 Z轴的力矩等于力 对 Z轴上任意一点的力矩在 Z轴上的投影 。F?F?
5
2,一般情况
FMFMFFF ZZ,//
FrFrFrFrFM o //
FMFMFrFM ZZoZZo
FMFMFMFM ZZoZZo （ 4）
'O同理,对 Z轴上任意一点 也同样成立 。
6
总结,
1,力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关,还与轴与力的分力 之间的距离 d 有关,即,与 和夹角 有关 。
若轴改变,力矩也变 。
F? rF?
、
Fr,
2,力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置 。
3,力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的 。
7
§ 5.2 质点的角动量定理及守恒定律一、角动量
1,质点对某点的角动量,
定义,质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积 （ 叉乘 ） 称为质点对该点的 角动量,公式为：
vmrprL 000
（ 1）
构成右手螺旋系统 。
oLpr,、
注意,
(1) 因为 与 有关,故角动量 与参考系有关 。
oL?
p? oL?
r?(2) 与 有关,故角动量与参考点 O的位置有关 。oL?
8
2,质点对某轴的角动量
s i nrpdpL Z （ 2）
角：面对 Z轴观察,由 逆时针转至 所经过的角度 。r p?
或者：从 的正方向到动量 的正方向转动方向所经过的 角和 Z
轴正向构成右手螺旋法则 。
r? p
3,二者之间的关系即：质点对轴的角动量等于对轴上任一点的角动量在该轴上的投影 。
ZZZ prLL 00 （ 3）
9
二、角动量定理和守恒定律
1,对点的角动量定理由质点的动量定理可知：
dt
vdmF
i
i
dt
Ld
pv
dt
Ld
p
dt
rd
dt
prd
dt
pd
r
dt
vmd
rFrFr
i
i
i
i
则
dt
vdmrFr
i
i
（ 是自参考点指向质点的位置矢量 ）r?
（ 4）即：
dt
LdFrM
i
i
0
0
注,和 是对惯性系中同一点 o的力矩和角动量 。0M?
0L?
10
（ 4）
（ 4） 式表明：质点对参考点 O的角动量对时间的变化率等于作用于质点的合力对该点的力矩,叫作 质点对参考点 O的角动量定理 。
dt
LdM 0
0
即,若质点所受的合力矩为零,则质点的角动量是守恒的 。
注意：
若 （ 4） 式中的,则,00?M? 恒矢量 CL （ 5）
由于角动量取决于参考点,而角动量守恒也与参考点的选择有关,可能对某一点的角动量守恒,但对另一点的角动量不守恒 。
11
定义,对轴的角动量定理：质点对参考点 O 的角动量定理 （ 4） 式在
Z轴上的投影称为质点对轴的角动量定理：
2,对轴的角动量定理和守恒律
dt
dLM Z
Z?
（ 6）
若,则：0?ZM 恒量 CL Z 质点对轴的角动量守恒定律（ 7）
当然：由 （ 4） 式
dt
LdM
dt
dL
M
dt
dL
M
dt
dL
M
z
z
y
y
x
x
（ 8）
12
例如：
1,质点受弹簧的拉力是一有心力,该力对力心的力矩为零,则质点对该力心的角动量守恒；但换为另一点时,角动量不一定守恒 。
2,行星受万有引力作用,是一有心力,力心在太阳中心,行星受的力对太阳中心的力矩为零,故行星的角动量守恒 。
即,CvmrCpr
（ 1） 面积速度 （ 单位时间内扫过的面积 ） 相等vrs
2
1
（ 2） 平面运动,即 的矢量方向不变,而此方向又垂直于,
所决定的平面,即运动平面 。
vmr r? v?
注意,有心力作用下,角动量不一定守恒,取决于参考点的选取 。
13
jtittF?)(?)( 612423
例题
1,一个具有单位质量的质点在力场中运动,其中 t是时间,
设该质点在 t=0时位于原点,且速度为零 。
求 t=2时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量 。
14
§ 5.3 质点系的角动量定理及守恒定律一．质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1,质点系的角动量定义：质点系内各质点对于参考点 O的角动量的矢量和称为质点系对 O
点的角动量,
i
iii
i
ii vmrprL
（ 1）
iv?
注意,（ 1） 式中的 是相对于惯性系的 。
15
2,质点对于参考点的角动量定理取第 i个质点：
dt
Ldfrfr i
iiii
＝内外
对式中所有质点求和得：
i
i
i
iii dt
Ldffr ＝
内外因对 O点的力矩为,
012121221
122121212121
frfrr
frfrfrfr
故,
0＝内
i
ii fr
16
0＝内
i ii
fr
即：质点系的内力矩的矢量和为零；另一种定性解释：如图示,是以 为底,高为 h 的三角形面积的 2倍 ;同理,是以 为底,高为 h 的三角形面积的 2倍,这二个三角形是同底等高的,故而面积相等,即,＝,但二者的方向是相反的 。 所以,二者的和为零 。
121 fr 12f?
212 fr 21f?
121 fr 212 fr
因此,
i
i
i
i
i
ii Ldt
d
dt
LdFr ＝
外质点系对某参考点的角动量定理即,
dt
LdM ＝ （ 2）
0?M?若 (2)式中,则,即：若质点系所受外力对某点的力矩的矢量和为零,则该 质点系对该点的角动量守恒 。
常矢量 CL
17
二,质点系对轴的角动量定理及守恒定律由质点 i对轴的角动量定理：
dt
dLM iZ
iZ?
而,
i
iZ
i
iZ
i
iZ MMM 内外又
0
i
iZM
0
i
iZM 内
i iZM 外 为质点系所受一切外力对 Z轴的力矩之和,为质点系对 Z轴的角动量 。? i iZZ LL
对质点系内所有质点求和得：
i
iZ
i
iZ dt
dLM （ 3）
因此,
Z
i
iZ
i
iZ
i
iZ Ldt
dL
dt
d
dt
dLM
外
（ 4）
18
上式表明：质点系对于 Z轴的角动量对时间的变化率等于质点系所受一切外力对 Z轴的力矩之和,叫做 质点系对 Z轴的角动量定理 。
Z
i
iZ
i
iZ
i
iZ Ldt
dL
dt
d
dt
dLM
外
（ 4）
若 (4)式中,则,(5)
0
i iZ
M 外 恒量?ZL
(5) 式表明：若质点系所受一切外力对 Z轴的力矩之和始终为零,则质点系对轴的角动量保持不变,叫做 质点系对 Z轴的角动量守恒定律 。
O
例题：
悬挂于光滑轴承 O处的轻杆连接质量均为 1kg的两个圆球如图 。 一子弹质量为 100kg,以 6m/s的速度与杆成 45o
射向下方的圆球,并嵌入球内 。 求嵌入后瞬时轻杆摆动的角速度 。
19
20
§ 5.4 质点系对质心的角动量定理和守恒定律
*本节研究,质心参考系中质点系角动量的变化规律 。
表示质心参考系,c为质心,为质心加速度 。''' zyxc?
ca?
表示惯性参考系,与 总保持平行,xyzc? xyz ''' zyx
一、体系相对于质心的角动量下面分别讨论式中四项的物理含义,
已知,
''' ici
i iciii iciii i
vvmrrvmrrvmrL0
展开得,
i
iiic
i
ii
i
iiccc
i
iii
i
cii
i
iic
i
cic
vmrvrmvmrvMr
vmrvmrvmrvmr
''''
''''
（ 1）
21
cv?
第一项,相当于质点系的所有质点的质量集中在质心处具有质心的速度相对于 O 点的角动量；也相当于质点系的所有质点以质心的速度 运动时对 O点的角动量,又称作 轨道角动量,
cc vMr
cci ciii ciic vrMvrmvmrL
'
i iic
vmr
第二项,0 ''''
c
i
ii
i
i
i
i
ii rMdt
drm
dt
d
dt
rdmvm
c
i
ii vrm
'第三项,0
ci ii rMrm
'
i iiis vmrL ''
第四项,?
i iii
vmr ''
表示质点系中各个质点相对于质心的角动量的矢量和也叫做自旋角动量：
因此 （ 1） 式即变为,
''
ii
i
cc vmrvrML i
0
（ 2）
故,质点系相对于质心的角动量：
'''
ii
i
vmrL i
（ 3）
22
二、质点系对质心的角动量定理已知,对点的角动量定理,
dt
LdM o
o
而外i
i
co FrM
dtLdvrMdtdvmrvrMdtddtLd cc
i
iiicc
o '''
因此,
dtLddtvdrMvdtrdMFrr cccci
i
ic
'' ＝
外
dt
LdFr
i
i
i
'' ＝
外
（ 4）
23
dt
LdFr
i
i
i
'' ＝
外
（ 4）
（ 4） 式表明,质点系所有外力对质心的力矩的矢量和等于质点系相对于质心的角动量对时间的变化率 。
（ 4） 式的形式同于惯性系中的角动量定理形式,
翻筋斗
24
§ 5.5 对称性 ·对称性与守恒律若图形通过某种 操作 后又回到它自身,则图形对该操作具有 对称性 。
应用于物理量或物理定律 。
伽利略变换：加速度,牛顿第二定律,动量守恒定律 。
对称操作,旋转,反映,反演,象转,反转 。
25
§ 5.6 经典力学的适用范围经典力学,即牛顿力学 。
一,经典力学适用于低速运动的质点；
0?h二,运用牛顿定律时,普朗克常量 。
26
本章习题：
5.1.3 5.1.9 5.1.10 5.2.2
5.2.3
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
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§ 5.1 力 矩一、力的元功和功率
1．力和轴平行时,例如开门, 0?ZFM
Z
2．力和轴垂直时：
s i nrFdFZFM Z （ 1）
如图 (1)中,Z轴向上，则,
如图 (2)中,Z轴向下，则, 2',,'
此时, 0s i nrFZFM
Z
角的规定：从 的正方向到力 的正方向的转动方向所经过的 角和 Z轴正向成右手螺旋 。
r? F
3
3.力和轴既不平行也不垂直时,
//FFF
s i nrFdFFMFM ZZ （ 2）
二、力对某点的力矩 (矢量 )
如图 (4)示,A点是受力质点,O为任意的参考点。
定义,力 对参考点 O的力矩 为力 的作用点 A
相对于参考点 O的位置矢量 与力 的矢积 (叉积 )：
F?
F?
F?
r?
FrM （ 3）
大小,0 FrFrM,s i n
MFr,,方向,构成右手螺旋系统 。 (注意,由 转至 的角 是 )F?r0
4
FMFM ZZo
三、力对某点的力矩和力对轴的力矩的关系
s i nFrdFFM Z (沿 Z轴正向 )
s i n,FrMFrM oo
(沿 Z轴正向 )
Zo MZM?
因此,
F?1,特例,若力 位于和 Z轴垂直的平面内,
FrFrFooFrooFrM o ''''
结论,力 对 Z轴的力矩等于力 对 Z轴上任意一点的力矩在 Z轴上的投影 。F?F?
5
2,一般情况
FMFMFFF ZZ,//
FrFrFrFrFM o //
FMFMFrFM ZZoZZo
FMFMFMFM ZZoZZo （ 4）
'O同理,对 Z轴上任意一点 也同样成立 。
6
总结,
1,力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关,还与轴与力的分力 之间的距离 d 有关,即,与 和夹角 有关 。
若轴改变,力矩也变 。
F? rF?
、
Fr,
2,力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置 。
3,力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的 。
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§ 5.2 质点的角动量定理及守恒定律一、角动量
1,质点对某点的角动量,
定义,质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积 （ 叉乘 ） 称为质点对该点的 角动量,公式为：
vmrprL 000
（ 1）
构成右手螺旋系统 。
oLpr,、
注意,
(1) 因为 与 有关,故角动量 与参考系有关 。
oL?
p? oL?
r?(2) 与 有关,故角动量与参考点 O的位置有关 。oL?
8
2,质点对某轴的角动量
s i nrpdpL Z （ 2）
角：面对 Z轴观察,由 逆时针转至 所经过的角度 。r p?
或者：从 的正方向到动量 的正方向转动方向所经过的 角和 Z
轴正向构成右手螺旋法则 。
r? p
3,二者之间的关系即：质点对轴的角动量等于对轴上任一点的角动量在该轴上的投影 。
ZZZ prLL 00 （ 3）
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二、角动量定理和守恒定律
1,对点的角动量定理由质点的动量定理可知：
dt
vdmF
i
i
dt
Ld
pv
dt
Ld
p
dt
rd
dt
prd
dt
pd
r
dt
vmd
rFrFr
i
i
i
i
则
dt
vdmrFr
i
i
（ 是自参考点指向质点的位置矢量 ）r?
（ 4）即：
dt
LdFrM
i
i
0
0
注,和 是对惯性系中同一点 o的力矩和角动量 。0M?
0L?
10
（ 4）
（ 4） 式表明：质点对参考点 O的角动量对时间的变化率等于作用于质点的合力对该点的力矩,叫作 质点对参考点 O的角动量定理 。
dt
LdM 0
0
即,若质点所受的合力矩为零,则质点的角动量是守恒的 。
注意：
若 （ 4） 式中的,则,00?M? 恒矢量 CL （ 5）
由于角动量取决于参考点,而角动量守恒也与参考点的选择有关,可能对某一点的角动量守恒,但对另一点的角动量不守恒 。
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定义,对轴的角动量定理：质点对参考点 O 的角动量定理 （ 4） 式在
Z轴上的投影称为质点对轴的角动量定理：
2,对轴的角动量定理和守恒律
dt
dLM Z
Z?
（ 6）
若,则：0?ZM 恒量 CL Z 质点对轴的角动量守恒定律（ 7）
当然：由 （ 4） 式
dt
LdM
dt
dL
M
dt
dL
M
dt
dL
M
z
z
y
y
x
x
（ 8）
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例如：
1,质点受弹簧的拉力是一有心力,该力对力心的力矩为零,则质点对该力心的角动量守恒；但换为另一点时,角动量不一定守恒 。
2,行星受万有引力作用,是一有心力,力心在太阳中心,行星受的力对太阳中心的力矩为零,故行星的角动量守恒 。
即,CvmrCpr
（ 1） 面积速度 （ 单位时间内扫过的面积 ） 相等vrs
2
1
（ 2） 平面运动,即 的矢量方向不变,而此方向又垂直于,
所决定的平面,即运动平面 。
vmr r? v?
注意,有心力作用下,角动量不一定守恒,取决于参考点的选取 。
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jtittF?)(?)( 612423
例题
1,一个具有单位质量的质点在力场中运动,其中 t是时间,
设该质点在 t=0时位于原点,且速度为零 。
求 t=2时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量 。
14
§ 5.3 质点系的角动量定理及守恒定律一．质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1,质点系的角动量定义：质点系内各质点对于参考点 O的角动量的矢量和称为质点系对 O
点的角动量,
i
iii
i
ii vmrprL
（ 1）
iv?
注意,（ 1） 式中的 是相对于惯性系的 。
15
2,质点对于参考点的角动量定理取第 i个质点：
dt
Ldfrfr i
iiii
＝内外
对式中所有质点求和得：
i
i
i
iii dt
Ldffr ＝
内外因对 O点的力矩为,
012121221
122121212121
frfrr
frfrfrfr
故,
0＝内
i
ii fr
16
0＝内
i ii
fr
即：质点系的内力矩的矢量和为零；另一种定性解释：如图示,是以 为底,高为 h 的三角形面积的 2倍 ;同理,是以 为底,高为 h 的三角形面积的 2倍,这二个三角形是同底等高的,故而面积相等,即,＝,但二者的方向是相反的 。 所以,二者的和为零 。
121 fr 12f?
212 fr 21f?
121 fr 212 fr
因此,
i
i
i
i
i
ii Ldt
d
dt
LdFr ＝
外质点系对某参考点的角动量定理即,
dt
LdM ＝ （ 2）
0?M?若 (2)式中,则,即：若质点系所受外力对某点的力矩的矢量和为零,则该 质点系对该点的角动量守恒 。
常矢量 CL
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二,质点系对轴的角动量定理及守恒定律由质点 i对轴的角动量定理：
dt
dLM iZ
iZ?
而,
i
iZ
i
iZ
i
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0
i
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0
i
iZM 内
i iZM 外 为质点系所受一切外力对 Z轴的力矩之和,为质点系对 Z轴的角动量 。? i iZZ LL
对质点系内所有质点求和得：
i
iZ
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iZ dt
dLM （ 3）
因此,
Z
i
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i
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i
iZ Ldt
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dt
d
dt
dLM
外
（ 4）
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上式表明：质点系对于 Z轴的角动量对时间的变化率等于质点系所受一切外力对 Z轴的力矩之和,叫做 质点系对 Z轴的角动量定理 。
Z
i
iZ
i
iZ
i
iZ Ldt
dL
dt
d
dt
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外
（ 4）
若 (4)式中,则,(5)
0
i iZ
M 外 恒量?ZL
(5) 式表明：若质点系所受一切外力对 Z轴的力矩之和始终为零,则质点系对轴的角动量保持不变,叫做 质点系对 Z轴的角动量守恒定律 。
O
例题：
悬挂于光滑轴承 O处的轻杆连接质量均为 1kg的两个圆球如图 。 一子弹质量为 100kg,以 6m/s的速度与杆成 45o
射向下方的圆球,并嵌入球内 。 求嵌入后瞬时轻杆摆动的角速度 。
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20
§ 5.4 质点系对质心的角动量定理和守恒定律
*本节研究,质心参考系中质点系角动量的变化规律 。
表示质心参考系,c为质心,为质心加速度 。''' zyxc?
ca?
表示惯性参考系,与 总保持平行,xyzc? xyz ''' zyx
一、体系相对于质心的角动量下面分别讨论式中四项的物理含义,
已知,
''' ici
i iciii iciii i
vvmrrvmrrvmrL0
展开得,
i
iiic
i
ii
i
iiccc
i
iii
i
cii
i
iic
i
cic
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vmrvmrvmrvmr
''''
''''
（ 1）
21
cv?
第一项,相当于质点系的所有质点的质量集中在质心处具有质心的速度相对于 O 点的角动量；也相当于质点系的所有质点以质心的速度 运动时对 O点的角动量,又称作 轨道角动量,
cc vMr
cci ciii ciic vrMvrmvmrL
'
i iic
vmr
第二项,0 ''''
c
i
ii
i
i
i
i
ii rMdt
drm
dt
d
dt
rdmvm
c
i
ii vrm
'第三项,0
ci ii rMrm
'
i iiis vmrL ''
第四项,?
i iii
vmr ''
表示质点系中各个质点相对于质心的角动量的矢量和也叫做自旋角动量：
因此 （ 1） 式即变为,
''
ii
i
cc vmrvrML i
0
（ 2）
故,质点系相对于质心的角动量：
'''
ii
i
vmrL i
（ 3）
22
二、质点系对质心的角动量定理已知,对点的角动量定理,
dt
LdM o
o
而外i
i
co FrM
dtLdvrMdtdvmrvrMdtddtLd cc
i
iiicc
o '''
因此,
dtLddtvdrMvdtrdMFrr cccci
i
ic
'' ＝
外
dt
LdFr
i
i
i
'' ＝
外
（ 4）
23
dt
LdFr
i
i
i
'' ＝
外
（ 4）
（ 4） 式表明,质点系所有外力对质心的力矩的矢量和等于质点系相对于质心的角动量对时间的变化率 。
（ 4） 式的形式同于惯性系中的角动量定理形式,
翻筋斗
24
§ 5.5 对称性 ·对称性与守恒律若图形通过某种 操作 后又回到它自身,则图形对该操作具有 对称性 。
应用于物理量或物理定律 。
伽利略变换：加速度,牛顿第二定律,动量守恒定律 。
对称操作,旋转,反映,反演,象转,反转 。
25
§ 5.6 经典力学的适用范围经典力学,即牛顿力学 。
一,经典力学适用于低速运动的质点；
0?h二,运用牛顿定律时,普朗克常量 。
26
本章习题：
5.1.3 5.1.9 5.1.10 5.2.2
5.2.3
