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普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
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§ 8.0 弹性力学简介弹性力学是固体力学的重要分支,它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力,也称为弹性理论 。 它是 材料力学,结构力学,塑性力学 和某些交叉学科的基础,广泛应用于建筑,机械,化工,航天等工程领域 。
弹性体是变形体的一种,它的 特征 为：在外力作用下物体变形,当外力不超过某一限度时,除去外力后物体即恢复原状 。 绝对弹性体是不存在的 。 物体在外力除去后的残余变形很小时,一般就把它当作弹性体处理 。
3
弹性力学的发展简史人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从 17世纪 开始的。
弹性力学的发展 初期 主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的 胡克 和法国的 马略特 于 1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687年确立了力学三定律。
同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入 第二个时期 。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。
在 17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到 19世纪 20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。 柯西在 1822～ 1828年间 发表的一系列论文中，明确地提出了 应变、应变分量、应力和应力分量 的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动 (平衡 )方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期 是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的 主要标志 是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。
4
1855～ 1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文,可以说是第三个时期的开始 。 在他的论文中,理论结果和实验结果密切吻合,为弹性力学的正确性提供了有力的证据； 1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布； 1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时,发现了 应力集中 。 这些成就解释了过去无法解释的实验现象,在提高机械,结构等零件的设计水平方面起了重要作用,使弹性力学得到工程界的重视 。
在这个时期,弹性力学的一般理论也有很大的发展 。 一方面建立了各种关于能量的定理
(原理 )。 另一方面发展了许多有效的近似计算,数值计算和其他计算方法,如著名的瑞利 —
— 里兹法,为直接求解泛函极值问题开辟了道路,推动了力学,物理,工程中近似计算的蓬勃发展 。
从 20世纪 20年代起,弹性力学在发展经典理论的同时,广泛地探讨了许多复杂的问题,
出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论,非线性板壳理论和非线性弹性力学,考虑温度影响的热弹性力学,研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等 。 磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来 。 此外,还建立了弹性力学广义变分原理 。 这些新领域的发展,丰富了弹性力学的内容,促进了有关工程技术的发展 。
5
弹性力学的基本内容弹性力学所依据的 基本规律 有三个,变形连续规律,应力 -应变关系 和运动 (或平衡 )规律,它们有时被称为弹性力学三大基本规律 。 弹性力学中许多定理,公式和结论等,都可以从三大基本规律推导出来 。
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时,只考虑经过连续变形后仍为连续的物体,如果物体中本来就有裂纹,则只考虑 裂纹不扩展 的情况 。 这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识 。
求解一个弹性力学问题,就是设法确定弹性体中各点的位移,应变和应力共 15个函数 。 从理论上讲,只有 15个函数全部确定后,问题才算解决 。
但在各种实际问题中,起主要作用的常常只是其中的几个函数,有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数 。 所以常常用实验和数学相结合的方法,
就可求解 。
6
数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论,柱体扭转和弯曲,
平面问题,变截面轴扭转,回转体轴对称变形 等方面 。
在近代,经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如,把切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程 (保证物体变形后连续,各应变分量必须满足的关系 )发展为非协调弹性力学；推广胡克定律,除机械运动本身外,还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程,除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响,发展为非局部弹性力学等 。
但是,由于课程所限,我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单的介绍,为振动部分和波动部分作准备 。
7
§ 8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介弹性体有 四种形变,拉伸压缩,剪切,扭转 和 弯曲 。其实，最基本的形变只有 两种,拉伸压缩 和 剪切形变 ；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
弹性体的拉伸和压缩形变
1,正压力（拉伸压缩应力）
S
Fn＝? （ 1）
其中,沿作用力截面的法线方向。F?
例：如图示,0
8
2,线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：
0l
l （ 2）
当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变 (或形变 )为：
0 0
00
0
1 b
b
b
bb （ 3）
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为,横向形变后为 。
0b b
横向形变和纵向形变之比为 泊松系数,
1? （ 4）
9
3,胡克定律当应变较小时，应力与应变成正比：
Y＝ （ 5）
或
0l
lY
S
F n
（ 6）
其中,Y 称为 杨氏模量,反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
设一纵波传播中,t 时刻 x 处媒质的变形情况,表示所取媒质的长度,x 处媒质的位移为 y(x),处媒质的位移为,因此 媒质的应变为：,取,即为 x 处媒质的应变：
x?
xx
)( xxy xy / 0?x?
xyx xyxxyx )()(lim 0
x
yY
S
F n
所以,（ 7）
10
4,拉伸或压缩的形变势能 —— 属于形变物体本身所有
VYE p 221
（ 8）
同时有,弹性势能密度,即单位体积中的弹性势能：
20
2
1?YE
p?
（ 9）
11
§ 8.2 弹性体的剪切形变一、剪切形变当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做 剪切形变 。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。
二、剪应力
S
F （ 1）
其中,S为假想截面 ABCD的面积，力 F在该面上均匀分布。
三、剪切形变
l
ltg特征：表现为平行截面间的相对滑移。如图示：
切应角若 很小，则?
l
ltg （ 2）
12
四、剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：
其中,N为 剪切模量,反映材料抵抗剪切应变的能力。
N? （ 3）
通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：
)(
12
YN
上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中,Y 是 杨氏模量,反映材料抵抗拉伸与压缩的能力； N 是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力； 是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。但几个不同特性的量是有联系的。
13
同理，例如，在横波中：
x
xyxxy
)()(＝
当 时：0?x?
x
y
x
xyxxy
x?
)()(lim
0
＝
x
yN
＝?
因此，
14
五、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：
20
2
1?NE
p?
（ 5）
注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。
15
§ 8.3 梁的弯曲和杆的扭曲一,梁的弯曲中性层,一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的 层。'CC
对于纯梁弯曲形变有：
3
121
Y b hRk
其中,R 和 k 分别为中性层的半径和曲率； h 和 b 分别为梁的或度和宽度,τ为梁仅受的靠端部的力偶。
16
l
NRc
2
4?
二,杆的扭曲产生扭转的力偶 和实心圆柱扭转角 的关系：
clNR 2
4
其中：和分别为圆柱的半径和长度,N 是 剪切模量,式中 c 是圆柱的 扭转系数,
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
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§ 8.0 弹性力学简介弹性力学是固体力学的重要分支,它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力,也称为弹性理论 。 它是 材料力学,结构力学,塑性力学 和某些交叉学科的基础,广泛应用于建筑,机械,化工,航天等工程领域 。
弹性体是变形体的一种,它的 特征 为：在外力作用下物体变形,当外力不超过某一限度时,除去外力后物体即恢复原状 。 绝对弹性体是不存在的 。 物体在外力除去后的残余变形很小时,一般就把它当作弹性体处理 。
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弹性力学的发展简史人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从 17世纪 开始的。
弹性力学的发展 初期 主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的 胡克 和法国的 马略特 于 1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687年确立了力学三定律。
同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入 第二个时期 。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。
在 17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到 19世纪 20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。 柯西在 1822～ 1828年间 发表的一系列论文中，明确地提出了 应变、应变分量、应力和应力分量 的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动 (平衡 )方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期 是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的 主要标志 是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。
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1855～ 1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文,可以说是第三个时期的开始 。 在他的论文中,理论结果和实验结果密切吻合,为弹性力学的正确性提供了有力的证据； 1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布； 1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时,发现了 应力集中 。 这些成就解释了过去无法解释的实验现象,在提高机械,结构等零件的设计水平方面起了重要作用,使弹性力学得到工程界的重视 。
在这个时期,弹性力学的一般理论也有很大的发展 。 一方面建立了各种关于能量的定理
(原理 )。 另一方面发展了许多有效的近似计算,数值计算和其他计算方法,如著名的瑞利 —
— 里兹法,为直接求解泛函极值问题开辟了道路,推动了力学,物理,工程中近似计算的蓬勃发展 。
从 20世纪 20年代起,弹性力学在发展经典理论的同时,广泛地探讨了许多复杂的问题,
出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论,非线性板壳理论和非线性弹性力学,考虑温度影响的热弹性力学,研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等 。 磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来 。 此外,还建立了弹性力学广义变分原理 。 这些新领域的发展,丰富了弹性力学的内容,促进了有关工程技术的发展 。
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弹性力学的基本内容弹性力学所依据的 基本规律 有三个,变形连续规律,应力 -应变关系 和运动 (或平衡 )规律,它们有时被称为弹性力学三大基本规律 。 弹性力学中许多定理,公式和结论等,都可以从三大基本规律推导出来 。
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时,只考虑经过连续变形后仍为连续的物体,如果物体中本来就有裂纹,则只考虑 裂纹不扩展 的情况 。 这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识 。
求解一个弹性力学问题,就是设法确定弹性体中各点的位移,应变和应力共 15个函数 。 从理论上讲,只有 15个函数全部确定后,问题才算解决 。
但在各种实际问题中,起主要作用的常常只是其中的几个函数,有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数 。 所以常常用实验和数学相结合的方法,
就可求解 。
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数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论,柱体扭转和弯曲,
平面问题,变截面轴扭转,回转体轴对称变形 等方面 。
在近代,经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如,把切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程 (保证物体变形后连续,各应变分量必须满足的关系 )发展为非协调弹性力学；推广胡克定律,除机械运动本身外,还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程,除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响,发展为非局部弹性力学等 。
但是,由于课程所限,我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单的介绍,为振动部分和波动部分作准备 。
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§ 8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介弹性体有 四种形变,拉伸压缩,剪切,扭转 和 弯曲 。其实，最基本的形变只有 两种,拉伸压缩 和 剪切形变 ；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
弹性体的拉伸和压缩形变
1,正压力（拉伸压缩应力）
S
Fn＝? （ 1）
其中,沿作用力截面的法线方向。F?
例：如图示,0
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2,线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：
0l
l （ 2）
当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变 (或形变 )为：
0 0
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其中：设想直杆横截面是正方形每边长为,横向形变后为 。
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横向形变和纵向形变之比为 泊松系数,
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3,胡克定律当应变较小时，应力与应变成正比：
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或
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其中,Y 称为 杨氏模量,反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
设一纵波传播中,t 时刻 x 处媒质的变形情况,表示所取媒质的长度,x 处媒质的位移为 y(x),处媒质的位移为,因此 媒质的应变为：,取,即为 x 处媒质的应变：
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所以,（ 7）
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4,拉伸或压缩的形变势能 —— 属于形变物体本身所有
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同时有,弹性势能密度,即单位体积中的弹性势能：
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§ 8.2 弹性体的剪切形变一、剪切形变当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做 剪切形变 。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。
二、剪应力
S
F （ 1）
其中,S为假想截面 ABCD的面积，力 F在该面上均匀分布。
三、剪切形变
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切应角若 很小，则?
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四、剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：
其中,N为 剪切模量,反映材料抵抗剪切应变的能力。
N? （ 3）
通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：
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上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中,Y 是 杨氏模量,反映材料抵抗拉伸与压缩的能力； N 是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力； 是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。但几个不同特性的量是有联系的。
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同理，例如，在横波中：
x
xyxxy
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当 时：0?x?
x
y
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xyxxy
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)()(lim
0
＝
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因此，
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五、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：
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注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。
15
§ 8.3 梁的弯曲和杆的扭曲一,梁的弯曲中性层,一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的 层。'CC
对于纯梁弯曲形变有：
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Y b hRk
其中,R 和 k 分别为中性层的半径和曲率； h 和 b 分别为梁的或度和宽度,τ为梁仅受的靠端部的力偶。
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二,杆的扭曲产生扭转的力偶 和实心圆柱扭转角 的关系：
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其中：和分别为圆柱的半径和长度,N 是 剪切模量,式中 c 是圆柱的 扭转系数,
