1
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 9.1 简谐振动的动力学特征一,基本概念
1,平衡位置质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。
2,线性回复力若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）
成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。
xkkxf x,,0公式,是相对于平衡位置的位移。
3,简谐振动质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
振动
3
二、简谐振动的几个例子
1,弹簧振子如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点
（即平衡位置）,x表示位移：
kxf x
由牛顿第二定律：
0 xmkxkxxm
令,可得到如下二阶常系数齐次线性方程：
2
m
k
02 xx （ 1）
4
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为,的形式，且其中 决定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
020 xx 0?
02 xx （ 1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
5
2,单摆建立自然坐标系,)?,?( n
n
:
ml
dt
dml
dt
dvmmamg s i n
:?n?
l
vmmgT 2c o s
若 很小，则近似：,则：sin
0 gl
因此，
g
l 2
0
2
0 0,
（ 2）
上式即为 单摆简谐振动的动力学方程
6
3,复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫 复摆 。如图示：
一刚体悬挂于 O 点，刚体的质心 C 距刚体的悬挂点 O
之间的距离是 a。选 角增加的方向为正方向，即,z轴垂直纸面向外，,很小时：
，故：
Im g aM z s i n?
sin?
0 Im g a
因此，
，020
I
m ga?
0?
7
4,L-C振荡回路（详见,电磁学,）
总结：
0?
任何物理量 （ 例：长度,角度,电量等 ） 的变化规律满足方程 ⑴ 式,且常量 决定于系统本身的性质,则该物理量作简谐振动 。
x
判断,是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
8
§ 9.2 简谐振动的运动学本节主要讲解,根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。
一、简谐振动的运动学方程方程 的解为：
0202
2
dt xd
)c o s ( tAx 0 （ 1）
上式就是 简谐振动的运动学方程,该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
9
二、描述简谐振动的物理量
1,周期（ T）
完成一次全振动所用的时间：
2?T
对弹簧振子：
m
kT?
22
2,频率（ ）?
单位时间内完成的全振动的次数：
2
1
T
2
的含义,个单位时间内完成的全振动的次数，即 圆频率 。2
10
3,振幅定义,物体离开平衡位置的最大位移。
振幅可以由初始条件决定。如,t =0时刻，
xvvxx 00,
由⑴式可得：
s i n,c o s 000 AvxAx t
因此，
2
0
2
02
0?
xvxA
（ 2）
11
4,位相和初位相振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
叫简谐振动的相位。 t
0
当 时,叫 初相位 。0?t
由：
s i n)s i n (
c o s)c o s (
000
0
AtAv
AtAx
可得：
0?
A vAx s i n;c o s
（ 3）
12
若已知初始条件,t =0时，,则⑶式有：
xvvxx 00,
⑷,⑸式中的任意二个即可确定初位相。
)(
s i n;c os
00
0
0
00
x
v
tg
A
v
A
x
x
x（ 4）
（ 5）
13
)( 21相位差,两振动相位之差 。
讨论：
（ 1）若 是 的整数倍，则振动同相位； k221 )(?2
（ 2）若 是 的奇数倍，则振动相位相反； k )( 21?
（ 3）若,则称 超前 ；021 )( 1? 2?
（ 4）若,则称 落后 ； )( 212 1? 2?
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
14
例 1 一弹簧振子,t＝ 0 时,求振动的初位相。0
2
1
00 vAx,
解：
021
0
00
A
v
A
x xs i nc o s
因此，
3
＝在第一象限，
15
例 2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解,)c o s ( tx
0
2000
tAtAxv c o ss i n?
tAtAxva 020020 c o sc o s
设：
ttt avx 000 2,,
则，
xavaxv,,22
所以：速度的位相比位移的位相超前 ；2/?
加速度的位相比速度的位相超前 ；2/?
加速度的位相比位移的位相超前 。
理解,加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移 。
16
总结：
⑴ 简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A,频率 及初相位 决定，
或者说，由振幅和相位决定。
0
⑶ 简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三,简谐振动的图象,x-t图线描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。
中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
17
四,简谐振动的矢量表示法用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示, tAx
0c o s
tA
tAv
0
00 2
s i n
c o s
tAtAxa 020020 c o sc o s
为一长度不变的矢量,的始点在坐标轴的原点处，记时起点
t=0时，矢量 与坐标轴的夹角为,矢量 以角速度 逆时针匀速转动。
A? A?
A 0?
18
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。
⑵ 矢端的速度大小为,在 x 轴上的投影为：A
0?
200 tA c o s
⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：,在 x 轴上的投影,20?A
tA 020 c o s
19
总结：
旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫 简谐振动的矢量表示法 。
20
例 1 （ 1）一简谐振动的运动规律为,若计时起点提前 0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？
484 /c o s tx
（ 2）一简谐振动的运动学方程为,若计时起点推迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？
tx 38 s in
（ 3）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后 t=0时的旋转矢量的位置。
21
22
23
24
§ 9.3 简谐振动的能量转换简谐振动系统的总机械能守恒。
由弹簧振子系统,
tAx 0c o s
tAxv 00 s in－＝?
tmAmvE k 022022 s in2121 ＝
而
mk /20
因此，
tkAkxEtkAE pk 022022 c o s2121,s in21
pk EEE
故，弹簧振子的总能为：
由此可见,动能和势能互相转化 。
25
0?
例 若单摆的振幅为,试证明悬线所受的最大拉力等于 )1( 2
0mg
26
27
§ 9.4 简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：
2022
1011
tAx
tAx
c o s
c o s
合位移：
tAAtAA
ttAttA
tAtAxxx
0221102211
2020210101
20210121
s i ns i ns i nc o sc o sc o s
s i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o s
c o sc o s
令：
2211
2211
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
AAA
AAA
28
)c o s ( 12212221 2 AAAAA
则：
AAA
AAA
2211
2211
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
因此，
tAtAtAx 000 c o ss i ns i nc o sc o s （ 1）
⑴式表明,同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同 。
或者,由简谐振动的旋转矢量法表示：,以频率 旋转,,之间的夹角不变,也以 旋转，平行四边形的形状不变。
1A? 2A?
0? 1A? 2A? 21 AA
0?
29
讨论：
)c o s ( 12212221 2 AAAAA
（ 1）若相位差,即同相位，则：,振幅最大；
n212 )( 21 AAA
（ 2）若相位差,即反相位，则：,
振幅最小；
)()( 1212 n 21 AAA
（ 3）一般情况下，振幅 A 介于 与 之间。21 AA?21 AA?
同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。
30
二、同方向不同频率简谐振动的合成若：两振动的周期之比：,n,m 有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。
mnTT?21
若：周期之比 不是整数比（如：无理数之比 )，则合振动没有周期性。
21 TT
tAxtAx 00 2211 c o s,c o s
为了简单方便，设：
则：
ttA
tAtAxxx
22
2 0000
00
1212
2121
)(
c o s
)(
c o s
c o sc o s
（ 2）
31
假如：
0000 1212
则：
t2 00 12 )(c o s
的周期远大于 的周期。
t2 00 12 )(c o s
令：
2
2
2
2 0000 1212
调调调 ＝ tAtAA c o s
)(
c o s
则⑵式就成为：
tAx 2 00 12 )(c o s 调
（ 3）
32
tAx 2 00 12 )(c o s 调
（ 3）
⑶式可以看作：振幅按照 缓慢变化的，而圆频率等于的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。
调A
2
00 12 )(
平均圆频率令：
2
00 21
)(
平A
2
00 12
＝调A
调制圆频率
⑶ 式就成为：
tAx 平调?c o s?
（ 3）’
33
tAx 平调?c o s?
（ 3）’
（ 3）’式即,合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化 。
拍,振动方向相同,频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时,
合振动振幅周期变化的现象叫拍 。
合振动变化一个周期叫 一拍 ；单位时间内拍出现的次数叫 拍频 。
不论 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
)(tA调
00 12拍
34
00 12拍拍调（拍）?
22
2
0000 12
12
因此，
拍频为：
12（拍）调问题,若二分振动的振幅不同，但初位相 仍都为零，则合振动仍会形成拍吗？？
拍（合振动振幅周期变化的现象）形成的条件：
振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成，都可形成拍！
35
三、互相垂直相同频率简谐振动的合成二分振动方程如下：
tAytAx c o s,c o s 21 （ 4）
合成的振动表示：质点既沿 x 轴运动，又沿 y 轴运动，实际上在 平面上运动。⑷式中消去时间 t，得质点运动的轨迹：
12212
21
2
2
2
2
1
2 2
s i nc o sAA xyAyAx
（ 5）
此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅 和以及初位相差 所决定。
1A
2A12
36
讨论：
1,分振动相位相同或相反时
012① 相位相同，即,或 。k2
则⑸式成为：
002
2
21
12
21
2
2
2
2
1
2
A
y
A
x
AA
xy
A
y
A
xc o s
xAAyAyAx
1
2
21
（ 6）
37
)c o s (
)(c o s)(c o s
0
2
2
2
1
0
22
20
22
1
22
AA
AAyxr
则⑹式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任意一点的位移 r 为：
上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为 2
221 AA?
② 相位相反，即：,k 为奇数 )( 1212 k
（ 7）
则⑸式成为：
xAAyA yAxAA xyAyAx
1
2
2
2121
2
2
2
2
1
2
02
38
则⑺式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振动任一点的位移为：
)c o s (
)(c o s)(c o s
0
2
2
2
1
0
22
20
22
1
22
AA
AAyxr
上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。
39
2/?2,相位差为 时，
则⑻式表明：合振动的轨迹为以 x 和 y 轴为轴的椭圆。
若,即 x方向的振动比 y 方向的振动超前,即：212 / 2/?
202201 2
tAytAx c o s,c o s
⑸ 式变为：
12
2
2
2
1
2
AyAx
（ 8）
如某一瞬间,,则,。 经过很短的时间后,略大于 0,y 将略小于 为正,
而 大于,x 为负,故质点运动到第二象限,即质点沿椭圆逆时针方向运动 。
020 t 20 Ayx,
20t 2A
220 /t 2/?
40
3,振幅相等，频率相同，相位差为 时2/?
合振动的轨迹为一圆周运动：
222 Ayx
总之,两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、
圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定 。
41
四、互相垂直、不同频率简谐振动的合成 利萨如图形一般来说,互相垂直的分振动频率不同的条件下,合振动的轨迹不能形成稳定的图案 。 但如果分振动的频率成整数比,则合振动的轨迹为稳定的曲线,曲线的花样和分振动的频率比,初位相有关,得出的图形叫 利萨如图 。
利萨如图形的应用,利用利萨如图形的花样判断二分振动的频率比，再由已知频率测量未知频率。
42
不同频率比例的利萨如图形
1,1 1,1 1,2 4,3
4,3 8,6 9,7 8,6 (方波 )
7,4
利萨如图形的演示及绘制
43
00
x
m
k
xkxxm
xmmg
k
mg
xk
例 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动。
解：以弹簧和物块静止时的位置为原点 O，
此时弹簧的伸长长度为,设物块处于任一位置 x 时：
kmg /
44
dt
dxvf
x
§ 9.6 阻尼振动振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫 阻尼振动 。
一、阻尼振动的动力学方程假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：
对物块应用牛顿第二定律：
0 xmxmkxxmxkx
令：
220 ＝，＝ mmk
则：
0220 xxx
（ 1）
为二阶线性常系数齐次方程，即 阻尼振动的动力学方程 。
45
202 －＝－?
二,阻尼振动方程的解上述⑴式方程的特征根：
即：
0
220 ','i
22 TT
''
（说明振动变慢，由于阻力作用）
解为：
tAetx t 'c o s)( （ 2）
1,欠阻尼时
46
tAetx t 'c o s)(
振幅为 随时间的推移，呈指数递减,越大，振动衰减越快；
越小，振幅衰减越慢。
tAe
表示阻尼大小的标志，称 对数减缩,即经过一个周期后，振幅的衰减系数。
定义：
'ln )'( TAe AeD Tt
t
47
2,过阻尼状态即：
0
，则方程的解为：
tt eCeCx 202202
21
（ 3）
其中,由初始条件决定。
21 CC、
随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。
48
3,临界阻尼状态即：
0
，则方程的解为：
teCCx 21 （ 4）
其中,由初始条件决定。
21 CC、
应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）
电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。
此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。如图示。
49
某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的 1/3，
问震动频率比震动系统的固有频率少几分之几？ （ 弱阻尼状态 ）
例题
50
§ 9.7 受迫振动振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫 受迫振动 。
一、受迫振动的动力学方程设质点受到：弹性力,阻尼力,周期性外力（驱动力） 。
kx?
dt
dx
tFtF?c o s0?
由牛二定律得：
tFdtdxkxxm c o s0
令：
m
Ff
mm
k 0
0
2
0,2,
则上式变为：
tfxx c o s2 020 （ 1）
⑴式就是 受迫振动的动力学方程形式,是一个二阶常系数线性非齐次微分方程。
51
二、受迫振动动力学方程的解
1,方程的通解（齐次方程的解）
设：,欠阻尼状态，则受迫振动动力学方程的通解为：
0＜
teAtx t 'c o s00
其中：,和 由初始条件决定。22'
0A?
2,特解（非齐次方程）
tAtx c o s11
其中：,待定，代入方程来确定；而,是由初始条件来确定的参数。
1A? 0A?
52
3,非齐次方程的通解：
tAteA
txtxtx
t c o s'c o s
10
10 （ 2）
下面来确定 和,1A?
2111 tAtAtx c o ss i n?
tAtAtx c o sc o s 12211
代入非齐次方程中得：
tftA
tAtA
c o sc o s
s i nc o s
0
2
1
1
2
1
0
2
利用和差化积公式得：
53
tfttA
ttA
ttA
c o ss i ns i nc o sc o s
s i nc o sc o ss i n
s i ns i nc o sc o s
0
2
1
1
2
1
0
2
02
2
2
11
2
1
0
2
11
2
1
0
0
s i nc o ss i n
c o ss i nc o s
AAA
fAAA
所以，;22
0
2
tg
22222001 4
fA （ 3）
54
讨论：
受迫振动方程的解（ 2）式,（ 2） 式由二项之和组成。第一项表示阻尼振动随着时间的增加而趋于零；第二项是简谐振动，振幅为,频率为 。随着时间的增加，第一项的阻尼振动可忽略不计，质点进行由第二项所决定的与驱动力同频率的振动，不是简谐振动。（因为 不是系统固有的频率，而是策动力的频率）
1A
tAteAtx t c o s'c o s 10 （ 2）
另外，用矢量图法也可求得 和 的大小：
矢量超前 矢量
0A?
OA OB
由图可知：,且有：0
55
2
0
2
1
222
1
2
22
0
22
0
4
2
fAA
tg
22222001 4 fA
56
4,稳态解的位相由上图可知：
)0(4
2
s i n
4
c o s
22222
0
22222
0
222
0
讨论：
0①策动力频率 时：
即：稳定状态振动的位移与驱动力的相位差为零，二者同步。
，0sin,1cos 0
② 时,在第四象限，即：位移的相位落后于驱动力的相位。
0,＞ 0c o s,0s in?
57
关于受迫振动位移与驱动力的相位差和驱动力频率的关系如图所示。
④ 时,在第三象限。0＞,＜ 0c o s,0s in?
③ 时，,即：位移的相位落后于驱动力的相位 。
，＝－，＝＝ 20c o s,1s in0
2?－
⑤ 时，,即：位移的相位落后于驱动力的相位,即二者相位相反。
,0,0s in tg
58
三,位移共振由 ⑶ 式可知：受迫振动振幅随驱动力频率变化情况：对于一定振动系统,
在阻尼一定的条件下,最初,振幅随驱动力频率 的增加而增加,达到最大后,又随驱动力频率的增加而减小,最后,驱动力达到很高频率而质点几乎不动 。
位移共振,振动系统受迫振动时，振幅达极大值的现象叫位移共振。
22222001 4
fA （ 3）
1A
利用微分法关于极大值的判据：⑶式中 对 求一阶导数等于 0，二阶导数小于 0，则该点就是振幅 的极大处。
1A
220 2r
位移共振条件：驱动力的圆频率为
（ 4）
59
0?
由此可知：位移共振频率不等于系统的固有频率,仅当阻尼无限小时,共振频率无限接近于固有频率 。 当 时,产生极激烈的位移共振 。
，1A0
共振时，位移与驱动力的相位差为：
220 2
rtg
（ 5）
所以，当 时, rtg,0
2
60
tFF?c o s0?
四,受迫振动的能量转换由于弹簧弹性力是保守力，动能和势能互相转化，不影响总机械能。
如果阻力做负功，机械能损失。
那么驱动力做功如何呢？下面我们来分析：
所以，稳定态振动时位移为：
2
c o ss i n
c o s
00
0
tAtAx
tAx
当 与 同相位时,做功恒为正，不同相位时，做功时正时负，机械能增加，位移越大。（阻尼较小时）
当相位相同时，即：,此时振幅最大。
F x?
202
＝－＝
F
普通物理学教程讲授,物理学院基础物理教研室光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平
68384963 jungxp@163.com
2
§ 9.1 简谐振动的动力学特征一,基本概念
1,平衡位置质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。
2,线性回复力若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）
成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。
xkkxf x,,0公式,是相对于平衡位置的位移。
3,简谐振动质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
振动
3
二、简谐振动的几个例子
1,弹簧振子如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点
（即平衡位置）,x表示位移：
kxf x
由牛顿第二定律：
0 xmkxkxxm
令,可得到如下二阶常系数齐次线性方程：
2
m
k
02 xx （ 1）
4
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为,的形式，且其中 决定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
020 xx 0?
02 xx （ 1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
5
2,单摆建立自然坐标系,)?,?( n
n
:
ml
dt
dml
dt
dvmmamg s i n
:?n?
l
vmmgT 2c o s
若 很小，则近似：,则：sin
0 gl
因此，
g
l 2
0
2
0 0,
（ 2）
上式即为 单摆简谐振动的动力学方程
6
3,复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫 复摆 。如图示：
一刚体悬挂于 O 点，刚体的质心 C 距刚体的悬挂点 O
之间的距离是 a。选 角增加的方向为正方向，即,z轴垂直纸面向外，,很小时：
，故：
Im g aM z s i n?
sin?
0 Im g a
因此，
，020
I
m ga?
0?
7
4,L-C振荡回路（详见,电磁学,）
总结：
0?
任何物理量 （ 例：长度,角度,电量等 ） 的变化规律满足方程 ⑴ 式,且常量 决定于系统本身的性质,则该物理量作简谐振动 。
x
判断,是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
8
§ 9.2 简谐振动的运动学本节主要讲解,根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。
一、简谐振动的运动学方程方程 的解为：
0202
2
dt xd
)c o s ( tAx 0 （ 1）
上式就是 简谐振动的运动学方程,该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
9
二、描述简谐振动的物理量
1,周期（ T）
完成一次全振动所用的时间：
2?T
对弹簧振子：
m
kT?
22
2,频率（ ）?
单位时间内完成的全振动的次数：
2
1
T
2
的含义,个单位时间内完成的全振动的次数，即 圆频率 。2
10
3,振幅定义,物体离开平衡位置的最大位移。
振幅可以由初始条件决定。如,t =0时刻，
xvvxx 00,
由⑴式可得：
s i n,c o s 000 AvxAx t
因此，
2
0
2
02
0?
xvxA
（ 2）
11
4,位相和初位相振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
叫简谐振动的相位。 t
0
当 时,叫 初相位 。0?t
由：
s i n)s i n (
c o s)c o s (
000
0
AtAv
AtAx
可得：
0?
A vAx s i n;c o s
（ 3）
12
若已知初始条件,t =0时，,则⑶式有：
xvvxx 00,
⑷,⑸式中的任意二个即可确定初位相。
)(
s i n;c os
00
0
0
00
x
v
tg
A
v
A
x
x
x（ 4）
（ 5）
13
)( 21相位差,两振动相位之差 。
讨论：
（ 1）若 是 的整数倍，则振动同相位； k221 )(?2
（ 2）若 是 的奇数倍，则振动相位相反； k )( 21?
（ 3）若,则称 超前 ；021 )( 1? 2?
（ 4）若,则称 落后 ； )( 212 1? 2?
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
14
例 1 一弹簧振子,t＝ 0 时,求振动的初位相。0
2
1
00 vAx,
解：
021
0
00
A
v
A
x xs i nc o s
因此，
3
＝在第一象限，
15
例 2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解,)c o s ( tx
0
2000
tAtAxv c o ss i n?
tAtAxva 020020 c o sc o s
设：
ttt avx 000 2,,
则，
xavaxv,,22
所以：速度的位相比位移的位相超前 ；2/?
加速度的位相比速度的位相超前 ；2/?
加速度的位相比位移的位相超前 。
理解,加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移 。
16
总结：
⑴ 简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A,频率 及初相位 决定，
或者说，由振幅和相位决定。
0
⑶ 简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三,简谐振动的图象,x-t图线描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。
中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
17
四,简谐振动的矢量表示法用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示, tAx
0c o s
tA
tAv
0
00 2
s i n
c o s
tAtAxa 020020 c o sc o s
为一长度不变的矢量,的始点在坐标轴的原点处，记时起点
t=0时，矢量 与坐标轴的夹角为,矢量 以角速度 逆时针匀速转动。
A? A?
A 0?
18
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。
⑵ 矢端的速度大小为,在 x 轴上的投影为：A
0?
200 tA c o s
⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：,在 x 轴上的投影,20?A
tA 020 c o s
19
总结：
旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫 简谐振动的矢量表示法 。
20
例 1 （ 1）一简谐振动的运动规律为,若计时起点提前 0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？
484 /c o s tx
（ 2）一简谐振动的运动学方程为,若计时起点推迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？
tx 38 s in
（ 3）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后 t=0时的旋转矢量的位置。
21
22
23
24
§ 9.3 简谐振动的能量转换简谐振动系统的总机械能守恒。
由弹簧振子系统,
tAx 0c o s
tAxv 00 s in－＝?
tmAmvE k 022022 s in2121 ＝
而
mk /20
因此，
tkAkxEtkAE pk 022022 c o s2121,s in21
pk EEE
故，弹簧振子的总能为：
由此可见,动能和势能互相转化 。
25
0?
例 若单摆的振幅为,试证明悬线所受的最大拉力等于 )1( 2
0mg
26
27
§ 9.4 简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：
2022
1011
tAx
tAx
c o s
c o s
合位移：
tAAtAA
ttAttA
tAtAxxx
0221102211
2020210101
20210121
s i ns i ns i nc o sc o sc o s
s i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o s
c o sc o s
令：
2211
2211
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
AAA
AAA
28
)c o s ( 12212221 2 AAAAA
则：
AAA
AAA
2211
2211
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
因此，
tAtAtAx 000 c o ss i ns i nc o sc o s （ 1）
⑴式表明,同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同 。
或者,由简谐振动的旋转矢量法表示：,以频率 旋转,,之间的夹角不变,也以 旋转，平行四边形的形状不变。
1A? 2A?
0? 1A? 2A? 21 AA
0?
29
讨论：
)c o s ( 12212221 2 AAAAA
（ 1）若相位差,即同相位，则：,振幅最大；
n212 )( 21 AAA
（ 2）若相位差,即反相位，则：,
振幅最小；
)()( 1212 n 21 AAA
（ 3）一般情况下，振幅 A 介于 与 之间。21 AA?21 AA?
同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。
30
二、同方向不同频率简谐振动的合成若：两振动的周期之比：,n,m 有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。
mnTT?21
若：周期之比 不是整数比（如：无理数之比 )，则合振动没有周期性。
21 TT
tAxtAx 00 2211 c o s,c o s
为了简单方便，设：
则：
ttA
tAtAxxx
22
2 0000
00
1212
2121
)(
c o s
)(
c o s
c o sc o s
（ 2）
31
假如：
0000 1212
则：
t2 00 12 )(c o s
的周期远大于 的周期。
t2 00 12 )(c o s
令：
2
2
2
2 0000 1212
调调调 ＝ tAtAA c o s
)(
c o s
则⑵式就成为：
tAx 2 00 12 )(c o s 调
（ 3）
32
tAx 2 00 12 )(c o s 调
（ 3）
⑶式可以看作：振幅按照 缓慢变化的，而圆频率等于的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。
调A
2
00 12 )(
平均圆频率令：
2
00 21
)(
平A
2
00 12
＝调A
调制圆频率
⑶ 式就成为：
tAx 平调?c o s?
（ 3）’
33
tAx 平调?c o s?
（ 3）’
（ 3）’式即,合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化 。
拍,振动方向相同,频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时,
合振动振幅周期变化的现象叫拍 。
合振动变化一个周期叫 一拍 ；单位时间内拍出现的次数叫 拍频 。
不论 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
)(tA调
00 12拍
34
00 12拍拍调（拍）?
22
2
0000 12
12
因此，
拍频为：
12（拍）调问题,若二分振动的振幅不同，但初位相 仍都为零，则合振动仍会形成拍吗？？
拍（合振动振幅周期变化的现象）形成的条件：
振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成，都可形成拍！
35
三、互相垂直相同频率简谐振动的合成二分振动方程如下：
tAytAx c o s,c o s 21 （ 4）
合成的振动表示：质点既沿 x 轴运动，又沿 y 轴运动，实际上在 平面上运动。⑷式中消去时间 t，得质点运动的轨迹：
12212
21
2
2
2
2
1
2 2
s i nc o sAA xyAyAx
（ 5）
此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅 和以及初位相差 所决定。
1A
2A12
36
讨论：
1,分振动相位相同或相反时
012① 相位相同，即,或 。k2
则⑸式成为：
002
2
21
12
21
2
2
2
2
1
2
A
y
A
x
AA
xy
A
y
A
xc o s
xAAyAyAx
1
2
21
（ 6）
37
)c o s (
)(c o s)(c o s
0
2
2
2
1
0
22
20
22
1
22
AA
AAyxr
则⑹式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任意一点的位移 r 为：
上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为 2
221 AA?
② 相位相反，即：,k 为奇数 )( 1212 k
（ 7）
则⑸式成为：
xAAyA yAxAA xyAyAx
1
2
2
2121
2
2
2
2
1
2
02
38
则⑺式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振动任一点的位移为：
)c o s (
)(c o s)(c o s
0
2
2
2
1
0
22
20
22
1
22
AA
AAyxr
上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。
39
2/?2,相位差为 时，
则⑻式表明：合振动的轨迹为以 x 和 y 轴为轴的椭圆。
若,即 x方向的振动比 y 方向的振动超前,即：212 / 2/?
202201 2
tAytAx c o s,c o s
⑸ 式变为：
12
2
2
2
1
2
AyAx
（ 8）
如某一瞬间,,则,。 经过很短的时间后,略大于 0,y 将略小于 为正,
而 大于,x 为负,故质点运动到第二象限,即质点沿椭圆逆时针方向运动 。
020 t 20 Ayx,
20t 2A
220 /t 2/?
40
3,振幅相等，频率相同，相位差为 时2/?
合振动的轨迹为一圆周运动：
222 Ayx
总之,两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、
圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定 。
41
四、互相垂直、不同频率简谐振动的合成 利萨如图形一般来说,互相垂直的分振动频率不同的条件下,合振动的轨迹不能形成稳定的图案 。 但如果分振动的频率成整数比,则合振动的轨迹为稳定的曲线,曲线的花样和分振动的频率比,初位相有关,得出的图形叫 利萨如图 。
利萨如图形的应用,利用利萨如图形的花样判断二分振动的频率比，再由已知频率测量未知频率。
42
不同频率比例的利萨如图形
1,1 1,1 1,2 4,3
4,3 8,6 9,7 8,6 (方波 )
7,4
利萨如图形的演示及绘制
43
00
x
m
k
xkxxm
xmmg
k
mg
xk
例 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动。
解：以弹簧和物块静止时的位置为原点 O，
此时弹簧的伸长长度为,设物块处于任一位置 x 时：
kmg /
44
dt
dxvf
x
§ 9.6 阻尼振动振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫 阻尼振动 。
一、阻尼振动的动力学方程假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：
对物块应用牛顿第二定律：
0 xmxmkxxmxkx
令：
220 ＝，＝ mmk
则：
0220 xxx
（ 1）
为二阶线性常系数齐次方程，即 阻尼振动的动力学方程 。
45
202 －＝－?
二,阻尼振动方程的解上述⑴式方程的特征根：
即：
0
220 ','i
22 TT
''
（说明振动变慢，由于阻力作用）
解为：
tAetx t 'c o s)( （ 2）
1,欠阻尼时
46
tAetx t 'c o s)(
振幅为 随时间的推移，呈指数递减,越大，振动衰减越快；
越小，振幅衰减越慢。
tAe
表示阻尼大小的标志，称 对数减缩,即经过一个周期后，振幅的衰减系数。
定义：
'ln )'( TAe AeD Tt
t
47
2,过阻尼状态即：
0
，则方程的解为：
tt eCeCx 202202
21
（ 3）
其中,由初始条件决定。
21 CC、
随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。
48
3,临界阻尼状态即：
0
，则方程的解为：
teCCx 21 （ 4）
其中,由初始条件决定。
21 CC、
应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）
电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。
此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。如图示。
49
某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的 1/3，
问震动频率比震动系统的固有频率少几分之几？ （ 弱阻尼状态 ）
例题
50
§ 9.7 受迫振动振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫 受迫振动 。
一、受迫振动的动力学方程设质点受到：弹性力,阻尼力,周期性外力（驱动力） 。
kx?
dt
dx
tFtF?c o s0?
由牛二定律得：
tFdtdxkxxm c o s0
令：
m
Ff
mm
k 0
0
2
0,2,
则上式变为：
tfxx c o s2 020 （ 1）
⑴式就是 受迫振动的动力学方程形式,是一个二阶常系数线性非齐次微分方程。
51
二、受迫振动动力学方程的解
1,方程的通解（齐次方程的解）
设：,欠阻尼状态，则受迫振动动力学方程的通解为：
0＜
teAtx t 'c o s00
其中：,和 由初始条件决定。22'
0A?
2,特解（非齐次方程）
tAtx c o s11
其中：,待定，代入方程来确定；而,是由初始条件来确定的参数。
1A? 0A?
52
3,非齐次方程的通解：
tAteA
txtxtx
t c o s'c o s
10
10 （ 2）
下面来确定 和,1A?
2111 tAtAtx c o ss i n?
tAtAtx c o sc o s 12211
代入非齐次方程中得：
tftA
tAtA
c o sc o s
s i nc o s
0
2
1
1
2
1
0
2
利用和差化积公式得：
53
tfttA
ttA
ttA
c o ss i ns i nc o sc o s
s i nc o sc o ss i n
s i ns i nc o sc o s
0
2
1
1
2
1
0
2
02
2
2
11
2
1
0
2
11
2
1
0
0
s i nc o ss i n
c o ss i nc o s
AAA
fAAA
所以，;22
0
2
tg
22222001 4
fA （ 3）
54
讨论：
受迫振动方程的解（ 2）式,（ 2） 式由二项之和组成。第一项表示阻尼振动随着时间的增加而趋于零；第二项是简谐振动，振幅为,频率为 。随着时间的增加，第一项的阻尼振动可忽略不计，质点进行由第二项所决定的与驱动力同频率的振动，不是简谐振动。（因为 不是系统固有的频率，而是策动力的频率）
1A
tAteAtx t c o s'c o s 10 （ 2）
另外，用矢量图法也可求得 和 的大小：
矢量超前 矢量
0A?
OA OB
由图可知：,且有：0
55
2
0
2
1
222
1
2
22
0
22
0
4
2
fAA
tg
22222001 4 fA
56
4,稳态解的位相由上图可知：
)0(4
2
s i n
4
c o s
22222
0
22222
0
222
0
讨论：
0①策动力频率 时：
即：稳定状态振动的位移与驱动力的相位差为零，二者同步。
，0sin,1cos 0
② 时,在第四象限，即：位移的相位落后于驱动力的相位。
0,＞ 0c o s,0s in?
57
关于受迫振动位移与驱动力的相位差和驱动力频率的关系如图所示。
④ 时,在第三象限。0＞,＜ 0c o s,0s in?
③ 时，,即：位移的相位落后于驱动力的相位 。
，＝－，＝＝ 20c o s,1s in0
2?－
⑤ 时，,即：位移的相位落后于驱动力的相位,即二者相位相反。
,0,0s in tg
58
三,位移共振由 ⑶ 式可知：受迫振动振幅随驱动力频率变化情况：对于一定振动系统,
在阻尼一定的条件下,最初,振幅随驱动力频率 的增加而增加,达到最大后,又随驱动力频率的增加而减小,最后,驱动力达到很高频率而质点几乎不动 。
位移共振,振动系统受迫振动时，振幅达极大值的现象叫位移共振。
22222001 4
fA （ 3）
1A
利用微分法关于极大值的判据：⑶式中 对 求一阶导数等于 0，二阶导数小于 0，则该点就是振幅 的极大处。
1A
220 2r
位移共振条件：驱动力的圆频率为
（ 4）
59
0?
由此可知：位移共振频率不等于系统的固有频率,仅当阻尼无限小时,共振频率无限接近于固有频率 。 当 时,产生极激烈的位移共振 。
，1A0
共振时，位移与驱动力的相位差为：
220 2
rtg
（ 5）
所以，当 时, rtg,0
2
60
tFF?c o s0?
四,受迫振动的能量转换由于弹簧弹性力是保守力，动能和势能互相转化，不影响总机械能。
如果阻力做负功，机械能损失。
那么驱动力做功如何呢？下面我们来分析：
所以，稳定态振动时位移为：
2
c o ss i n
c o s
00
0
tAtAx
tAx
当 与 同相位时,做功恒为正，不同相位时，做功时正时负，机械能增加，位移越大。（阻尼较小时）
当相位相同时，即：,此时振幅最大。
F x?
202
＝－＝
F
