杨维纮第一章 质点运动学
§ 1.1 引言
§ 1.2 质点和参考系
§ 1.3 速度与加速度
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
§ 1.7 相对运动中国科学技术大学杨维纮
1.1.1 力学的研究对象
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量
1.1.3 宇宙的层次和数量级
§ 1.1 引 言中国科学技术大学杨维纮运动学：
动力学：
静力学,研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。
（ 平衡方程的应用和受力分析 ）
研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因 。（ 位移，速度，加速度，轨迹等的描述和计算 ）
研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系 。（ 运动微分方程的建立和求解 ）
§ 1.1 引 言经典力学适用范围,弱引力场中宏观物体的低速运动。
1.1.1 力学的研究对象中国科学技术大学杨维纮时间,
空间,
时间用以表述事物之间的顺序空间用以表述事件相互之间的位形在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，
这个问题将在相对论一章中详细讨论。
没有满意的“严格”的理论定义，并不妨碍时间和空间二者在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学，在考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定义，而是应当了解它们是怎样量度的。
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量中国科学技术大学杨维纮真太阳日,太阳视面中心连续两次出现在地面某处正南方所需的时间时间的测量,
平太阳日,一年之内全部真太阳日的平均秒,一个平均太阳日的 1/86,400，这种以地球自转为基础的计时标准叫 世界时 （ UT）
1956年起改用以地球公转周期为基准的时间标准，
称为 历书时（ ET）,并规定 秒 为 1900年回归年的
1/31,556,925.9747
任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的循环称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，
如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振动等等，也都可以用作测时的工具）
中国科学技术大学杨维纮时间的测量,
1967年 10月在第十三届国际度量衡会议上规定：
位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级在零磁场中跃迁辐射的周期 T与 1秒的关系为
1秒 = 9,192,631,770 T
这样的时间标准称为 原子时用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量精度要比秒表作时计提高 倍，即误差下降到秒表的 之一1010
1010
自从人类发明机械计时的时钟以来,400年来时间计量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差已小于 秒 /天。目前,时间是测量得最准确的一个基本量
1010?
中国科学技术大学杨维纮空间的测量,
长度是空间的一个基本性质对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。对于不能用尺直接加以测量的小尺度，可以求助于光学方法。
在精密机床上常有光学测量装置；测定胰岛素中原子的位置，是用调光衍射方法。对于大的尺度，也不能直接用尺去测量，也要求助于光。测量月亮与地球的距离可以用激光测距的方法，测量一些不太远的恒星，
可以用三角学方法。至于银河系之外的遥远天体的距离，同样是用它们发光的一些特征来测定的。
中国科学技术大学杨维纮空间的测量,
米,规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度的 1/10,000,000
1875年起，决定改用米原器（截面呈,X”形的铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米不易复制，精度又不高
1960年在第十一届国际计量大会上规定：
1米等于氪 86原子的和能级之间跃迁时所对应的辐射（橙色谱线）在真空中的波长 λ的 1,650,763.73倍。
这样规定的米叫 原子米
1983年 10月在第十七届国际计量大会上规定：
米是光在真空中在 1/299,792,458秒的时间间隔内所传播的路程长度光速,c = 299,792,458米／秒中国科学技术大学杨维纮
1,空间尺度：从极小到极大最遥远星系银河系邻近恒星太阳地球人类细胞原子质子夸克
1026 m
10-20 m
10-10 m
100 m
1010 m
1020 m
1.1.3 宇宙的层次和数量级中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级天体空间尺度 （ 1 光年 ～ 10
16
米）
地球直径 1,3 × 10
- 9
光年
太阳直径 1,47 × 10
- 7
光年
太阳系范围 1,2 × 10
- 3
光年
最近的恒星 4,3 光年
银河系范围 10
5
光年
最近的星系 10
6
光年
富星系团 10
7
光年
可测宇宙 1,5 × 10
10
光年中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级星系的直径大约是 1021米人造物体和自然物体的电子显微镜照片，图中垂线是 20纳米的聚合物纤维，有短尾的物体是 T-4噬菌病毒中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级宇宙年龄地球年龄太阳绕银河系中心的轨道周期古人类的出现钚的半衰期人的寿命地球的公转周期 （ 1年 ）
地球的自转周期 （ 1天 ）
人的脉搏人的神经系统反应时间可听见的最高频率的声音周期
μ子的寿命典型的分子转动周期实验室能产生的最短光脉冲周期
π介子的半衰期共振粒子寿命从宇宙诞生到已知的物理定律可用的时间
6× 1017 秒
1.5× 1017 秒
8× 1015 秒
6× 1013 秒
8× 1011 秒
2× 109 秒
3× 107 秒
8.6× 104 秒
1 秒
1× 10-1 秒
5× 10-5 秒
2× 10-6 秒
1× 10-12 秒
1× 10-15 秒
2× 10-16 秒
1× 10-25 秒
1× 10-43 秒一些典型的时间尺度中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级我们研究的对象跨越如此巨大的数量级范围，
单一的单位（如秒、米），用起来就很不方便了，
通常的做法是采用一些词冠来代表一个单位的十进倍数或十进分数，如千（ kilo）代表倍数 103，厘
（ centi）代表分数 10-2，等等。在国际单位制中，原来从 10-18到 1018的 36个数量级之间规定了 16个词冠，
最近又建议在大、小两头再各增加两个，共 20个词冠，一并列在下表 1.1中。表内中译名在方括弧里的字可以省略。这些词冠与各种物理量的单位组合在一起，构成尺度相差甚为悬殊的大小各种单位，在现代物理学中广泛使用着。其中有的已化作物理学名词的一部分，如纳米（ nm）结构、飞秒（ fs）光谱等，成为一些新兴技术的标志和象征。
中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级数量级
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
英文名
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
缩写符号
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
中译名分厘毫微纳 [诺 ]
皮 [可 ]
飞 [母托 ]
阿 [托 ]
仄 [普托 ]
幼 [克托 ]
国际单位制所用的词冠中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级数量级
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
英文名
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zeta
yota
缩写符号
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
中译名十百千兆吉 [咖 ]
太 [拉 ]
拍 [它 ]
艾 [克萨 ]
泽 [塔 ]
尤 [塔 ]
国际单位制所用的词冠（续）
中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级目前，物理学中涉及的最长的时间是 1038 秒，它是质子寿命的下限。宇宙的年龄大约是 6x1017秒，即
200亿年。牛顿力学所涉及的时间尺度大约是 10-5 ～
1015秒，即从声振动的周期到太阳绕银河中心转动的周期。粒子物理的时间尺度都很小,μ子的寿命是
2x10-6秒，已经算是极长寿的了，最短寿的是一些共振粒子，它们的寿命只约有 10-24秒，目前物理学中涉及的最小的时间是 10-43秒，称为普朗克时间。普朗克时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范围内，时间的概念可能就不再适用了。
最长的时间和最短的时间中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级目前，物理学中涉及的最大长度是 1028米，它是宇宙曲率半径的下限；弱电统一的特征长度为 10-20米；
普朗克长度约为 10-35米，被认为是最小的长度，意思是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可能就不再适用了。
最大的长度和最小的长度中国科学技术大学杨维纮
1.2.1 质点和参考系
1.2.2 轨迹和运动方程
§ 1.2 质点和参考系中国科学技术大学杨维纮质点,
参考物,
参考坐标系,固定在参考物上的坐标架（简称 参考系 ）
突出了“物体具有质量”、“物体占有位置”
为了研究运动，固定坐标系的物体
§ 1.2 质点和参考系参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
1.2.1 质点和参考系中国科学技术大学杨维纮
1.2.1 质点和参考系质点 的 位置矢量 r（简称 位矢 ）的大小为 OP
的长度，而方向从 O指向 P。用这个矢量就完全确定了质点 P的位置
kjir zyx
其中 i,j,k分别分别表示空间的三个坐标方向
（ 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢zyx,,
参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
中国科学技术大学杨维纮质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这条曲线我们称之为 轨迹 。
一般曲线方程可以表示成：
轨迹可以利用曲线方程来描写。
譬如，曲线方程：
0
222
z
Ryx
就描写了在平面上半径为 R的圆周运动的轨迹。
0),,(
0),,(
2
1
zyxf
zyxf
1.2.2 轨迹和运动方程中国科学技术大学杨维纮
1.2.2 轨迹和运动方程在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状的研究，例如行星走圆形，落体走直线。我们知道，
质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。
轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。我们不仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点的时刻。 运动是在时间、空间里的现象，关键是把时间描写和空间描写联系起来。 直到牛顿之前不久，才特别强调了这一点。
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1.2.2 轨迹和运动方程我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。
质点的位置关于时间的函数称为 运动方程 或 运动解,
知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。
质点的运动方程可以表示成：
)(trr?
当然，也可以用坐标系中三个坐标分量来描述运动
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
并有关系式 kjir )()()()( tztytxt
从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程中国科学技术大学杨维纮
1.2.2 轨迹和运动方程应当指出，同一物体，相对于不同的参考系，显示出不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。
在日常生活中，我们习惯于认为地面是静止的，在讲到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，
大家知道，地球以大约 30公里 /秒的速度绕太阳公转，根本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在描述某个运动较为方便的参考系。
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1.3.1 位移、路程与速度
1.3.2 加速度
§ 1.3 速度与加速度中国科学技术大学杨维纮瞬时速度 （简称 速度 ）定义为：
1,直线运动
§ 1.3 速度与加速度通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时速度的绝对值被称为速率。
质点在 t1到 t2时间间隔内的 平均速度
12
12 )()(
21 tt
txtxv
tt?
dt
tdx
t
x
t
txttxtv
tt
)()()()( limlim
00
1.3.1 位移、路程与速度中国科学技术大学杨维纮这个平均速度的定义表明，平均速度是矢量。
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均速度
ttt
tt
tt?
rrrv
12
12 )()(
21
是在时间间隔 △ t 内质点位置矢量的改变量，称为 位移矢量 （简称 位移 ）
)()( 12 tt rrr
中国科学技术大学杨维纮
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度由右图很清楚知道，在 t1到 t2
时间间隔内质点的运动方向并非总是沿着 1到 2的方向的，而是先从 1向 4,3方向运动，然后从 3向 2
方向运动，这些运动方向并不平行于 1到 2的方向。
所以平均速度所指的方向，只是质点真实运动方向的平均。
也就是说，平均速度不但对于运动快慢的描写是粗略的，而且对于运动方向的描写也是粗略的。但当 △ t减小时，矢量相继从 1，
2变到 1,3，变到 1,4……,在 △ t→0 的极限情况下,△ r的方向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近似相等。这样，我们就得到一个结论,瞬时速度的方向，就是轨迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是时平均速率的大小。
中国科学技术大学杨维纮由此可以定义 平均速率,
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度质点从 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内所走过的路程路程函数 s(t),质点从 t1 =0 到
t2 = t 时刻所走过的路程长度
)()( 12 tstss
t
s
tt
tstsw
tt?
12
12 )()(
21
中国科学技术大学杨维纮
(1) 位移与路程不同于位矢，
它们与坐标原点的选取无关。
2,三维曲线运动
(3) 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。
1.3.1 位移、路程与速度由右图可以看出，位移△ r与路程△ s有如下的异同点：
(2) 路程△ s是由 M到 M′的曲线的实际长度，是一个标量。而位移是由始点至终点的有向线段，是一个矢量。而且位移的大小通常也不等于路程。
中国科学技术大学杨维纮瞬时速度 （简称 速度 ）定义为：
2,三维曲线运动在国际单位制中，速度的单位是 米 /秒,常用的单位还有 厘米 /秒、千米 /小时 等
1.3.1 位移、路程与速度
dt
d
tt
tttt
tt
rrrrv?
limlim 00
)()()(
速度的数值大小（绝对值）称为 速率,由上式知：
dt
tds
t
s
ttttv ttt
)(|| |)(| )( limlimlim
000
rrv
中国科学技术大学杨维纮瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为：
1,直线运动质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均加速度
t
tvttva
ttt?
)()(
2
2
00
)()()()()( limlim
dt
txd
dt
tdv
t
v
t
tvttvta
tt
1.3.2 加速度中国科学技术大学杨维纮瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为：
2,曲线运动
1.3.2 加速度质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均加速度
t
ttt
tttt
)() (
vvva
2
2
0 0
)( )(
t t
)() t( )( limlim
dt
td
dt
tdttt
tt
rvvvva
在国际单位制中，加速度的单位是 米 /秒 2，常用的单位还有 厘米 /秒 2等。
中国科学技术大学杨维纮
质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬时性
速度、加速度是矢量，它具有矢量性
从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什么我们应当到此为止，而不去讨论加加速度、加加加速度 …… 。其中的原因在动力学，学过动力学后，
我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢量、速度和加速度这三个量。
§ 1.3 速度与加速度
选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性小结：
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1.4.1 直线运动
1.4.2 曲线运动
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述中国科学技术大学杨维纮
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述运动方程,)(txx?
平均速度：
0
0 )()(
0 tt
txtxv
tt?
右图表示的是质点做直线运动时的位置、
速度和加速度关于时间的图形。由图上可见，当位置最大时，速度为零（此时曲线的斜率为零），同样当速度最大时，其加速度为零。
瞬时速度：
dt
tdx
t
txttxtv
t
)(
)() ()( lim
0
1.4.1 直线运动中国科学技术大学杨维纮
1.4.1 直线运动平均加速度：
0
0 )()(
0 tt
tvtva
tt?
瞬时加速度,220 )()( )() ()( lim dt txddt tdvt tvttvta t
瞬时速率：
dt
tdstvtw )(|)(|)(
由此可见，如知道运动方程，则速度、加速度等皆可求得。
故古希腊自然哲学家亚里士多德 (Aristotle,384~322 B.C.) 认为：轨迹是最基本的，速度次之（当时并不知道加速度）。
这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，往往从对称性入手，然后再涉及局部细节。就人类的认识过程来看，的确是先看到轨迹的形状，然后有了运动快慢的概念，最后认识到速度的变化，即加速度。
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1.4.1 直线运动若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置,
利用：
如果已知质点运动的加速度,
可以解得：
运动学的反问题
)(taa?
0)0( vtv 0)0( xtx
dtdxtv /)(?dtdvta /)(?
tdtavtv t )()( 0 0
tdtvxtx t )()( 0 0
tdtvsts t |)(|)( 0 0
可以完全描述运动。
中国科学技术大学杨维纮
1.4.1 直线运动牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的整体方面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。
这种方法，是现代物理学的一个基本方法，至今在大多数情况下，物理学家们都采用牛顿这种方法。
从哲学上看，本小节处理运动问题的两种方法（正问题和反问题）反映了人们的两种不同信念,一种认为整体的大的方面简单些，因此，主张从大到小的研究顺序； 另一种认为局部的单元过程更简单些，因此，主张从小到大的研究顺序。 现在看来，这两种“简单性”可能是分不开的，虽然在大多数情况下，我们偏爱第二种研究顺序，但在某些局部过程不得要领的情况下，第一种研究顺序也有其独到之处。在第四、五章我们再讨论这个问题。
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1,运动方程
2,速度
kjir )()()()( tztytxt
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
)()()( txdt tdxtv x )()()( tydt tdytv y )()()( tzdt tdztv z
分量式：
速率,2/1222)(
)(
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
tdstv
其中,2222 dzdydxds
kjiv )()()()( tvtvtvt zyx
1.4.2 曲线运动中国科学技术大学杨维纮
3,加速度
1.4.2 曲线运动
kjia )()()()( tatatat zyx
分量式：
)()()(
2
txdt txdta x
)()()( 2 tydt tydta y
)()()(
2
tzdt tzdta z
中国科学技术大学杨维纮运动的重要性质,
运动的独立性运动的独立性 的实验演示
1.4.2 曲线运动由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质点的复杂的曲线运动时，其方向的坐标、速度和加速度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向和方向也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质称为运动的独立性。
中国科学技术大学杨维纮如果已知：
路程：
运动学的反问题
1.4.2 曲线运动
)( ),( ),( 00 ttt rva
可以完全描述运动。
tdtt tt )()( 0
0
avv
t
t
zzz
t
t
yyy
t
t
xxx
tdtavtv
tdtavtv
tdtavtv
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
分量式：
tdtt tt )()( 0
0
vrr
t
t
z
t
t
y
t
t
x
tdtvztz
tdtvyty
tdtvxtx
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
)()()( |)(| )()( 222 tvtvtvttvdt tds zyx v
tt yyx tdtvtvtvtsts 2220 0 )()()()()(
速度：
位矢：
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
1.5.2 自然坐标系
1.5.3 圆周运动
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述中国科学技术大学杨维纮
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为：
若我们研究的运动是 受约束的运动,比如火车的行驶（它不能离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往往轨迹的形状是给定的，由于约束力的参与（本章中我们不讨论力，仅研究运动），加速度往往与轨迹上点的位置有关（有时还与质点在该点速度有关），此时运动的独立性往往失效。
沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。
即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得数学计算简单了，但我们 对其中的一些物理细节却并不很清楚 。
比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？
于是，我们需要引入一种新的坐标系,自然坐标系 。
中国科学技术大学杨维纮
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
1.5.1 切向加速度和法向加速度我们现在考虑加速度的方向。对于沿直线的运动，只有一个方向，故速度与加速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减速运动，加速度的方向与运动方向相反，
我们仍视加速度与速度方向平行，有时也称其为反平行），如图 1.11(a)；对于匀速圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图
1.11(b)；而对于一般的曲线运动，加速度的方向比较复杂，它往往与速度的方向即不平行又不垂直，如图 1.11(c)。
由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质点的运动不是直线运动。
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1.5.1 切向加速度和法向加速度速度矢量,)(?)()( ttvt vv?
其中 是沿着轨道切向，
指向运动方向的单位矢量。
v(t)没有法向分量。
)(? tv
加速度,
t
t
dt
tdt
t?
)()()( l i m
0
vva
tt
tttvttvttttv
t
t
ttvttttv
t
ttt
t
t
21) (?)() ()(?) (?)(
1
)(?)() (?) (
)() ()(
vv
vvv
vvvvv
ttt tt?
2
0
1
0 limlim
)( vva
中国科学技术大学杨维纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?)() (? )() ( limlimlim
00
2
0
tdt tdvttt tvttvt
ttt
vvv
该项沿轨迹的切向，
也即是速度的方向，
我们称这一项为 切向加速度 。
中国科学技术大学杨维纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度如图知，求瞬时加速度至少需要在轨迹上取三个点。
在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为 密切平面 （简称 密切面 ）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆为 密切圆,又称 曲率圆,这个圆的半经称为 曲率半径 。
设我们取三个点 P,Q、
Q1来求加速度。
中国科学技术大学杨维纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?
)(
)(?
)(
)(?) (?
)(
2
00
0
1
0
limlim
limlim
t
tR
tv
t
s
R
v
t
tv
t
ttt
tv
t
tt
tt
nnn
vvv
nvnva)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt
dt
tdva
t
)( va
)(
)(? 2
tR
tva
n na
其中：
切向加速度，表示速度大小的变化法向加速度，表示速度方向的变化于是：
)(tR 曲率半径中国科学技术大学杨维纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
nvnva)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt
加速度的大小（绝对值）：
加速度：
222
2
2222
22 1)(
dt
ds
Rdt
sd
R
v
dt
dvaata
nt
)(trr?如果运动方程 已知：
可以求得,)(,)( tt av
可得轨迹上任意一点的曲率半径为：
|)()(|
)()( 3
tt
tvtR
va
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1.5.1 切向加速度和法向加速度如果以弧长 s 为坐标，则,
dt
dsv?
2
2
dt
sd
dt
dva
t
dtavv ttt 0
0
dtdtavv dtss ttttttt 0 0
000
可得：
质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的是，质点走的实际上是曲线。
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1.5.2 自然坐标系
neve, 21
bnve 3
这样构成的正交坐标系称为 自然坐标系 （有的书上称为 内禀坐标系、
本性坐标系、路径坐标系 等）
当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。
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1.5.3 圆周运动
0)(,1 RtR?
2,轨道在一个平面上则称为 匀速圆周运动 。
称这样的运动为 圆周运动 。
0)( vtv若同时有 常数
)(? )(?,)(?)()( ttttvt rvvv
)(?)(?)(?)()(?)()(?)()(?)()(
0
2
tatatR tvtdt tdvdt tdtvtdt tdvt nt nvrvvva
向心加速度切向加速度
)(
)(
0
2
R
tv
a
dt
tdv
a
n
t
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1.5.3 圆周运动圆周运动的另一种描述法：
定义,角速度矢量,大小为,方向按右手系指向平行于转轴方向。
ω
dtd /?
有了上述定义，则当坐标原点选在转轴上 时，如图，有：
rωrv dtd
dt
d
dt
d
dt
d rωrωva )( rωωrω
dt
d
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1.5.3 圆周运动我们曾指出，对于一个物理对象，用什么数学语言来描写，这并不是一件很自然的事情，任何一种数学只是一种逻辑体系，一种逻辑体系能不能正确地描写我们的物理对象，是要认真研究的。物理上，寻找那种能正确地、简洁地描写物理对象的数学是一个难点。在这里，我们定义了角速度矢量，这似乎很自然，它又有大小，又有方向。这里要提醒大家注意的是，有大小又有方向的量可不一定就是矢量，若要是矢量还必须满足矢量的运算法则。
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1.6.1 平面极坐标
1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述中国科学技术大学杨维纮
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
1.6.1 平面极坐标直角坐标系是最常用的坐标系，但对有些运动，如圆周运动、
速度或加速度指向空间某固定点的运动等，直角坐标就不那么方便，而用平面极坐标（简称极坐标）会有许多优点。
极坐标法 (只对平面曲线运动时可用 )：
极坐标的建立：规定极点，极轴，极径，极角极角：极径和极轴的夹角称为极角两个单位矢量 和,它们分别表示 r 增加的方向（称为 径向 ）和 增加的方向（称为 横向 ）r
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1.6.1 平面极坐标
)(dd r
r? )(dd
)( ),( ttrr在极坐标系中，质点的运动方程为：
从该方程组中消去时间 t，可得轨迹方程为：
0),(rf
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
)(?)()( ttrt rr?
limlim
00
rrtrtr
tt
rr
前者叫 径向速度,用 vr表示；后者叫 横向速度,用 表示，即：?v
vvrv rr vv
, rrr vrv
其中：
rr rr
tt?
rv li m
0
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
dtddddtd rr r dtddddtd
)(?)(]?)([)()( rrdtdtrdt tdrtrdtddt tdt rrrrrv
) ()()( rrdtddt tdt rva
)? ( rr rrrrr
利用矢量的求导公式 推导：
由于：
可得：
ra? )( 2 rrr
)2( rra
径向加速度横向加速度
dt
tdrrr
dt
tdrr )( )( rr
)2(? )( 2 rrrr r
中国科学技术大学杨维纮例,设质点在匀速转动（角速度为）的水平转盘上从开始自中心出发以恆定的速率沿一半径运动，求质点的轨迹、速度和加速度。
解,取质点运动所沿的半径在时的位置为极轴，得：
t
utr
rdtrdv
udtdrv r
/
/
2? )( 2 urt ra
轨迹方程：
ur?
此曲线为阿基米德螺线中国科学技术大学杨维纮一般地，当加速度为常量（如重力加速度），应选取直角坐标系；当加速度总指向空间一点时（有心力情形），选极坐标系较方便；当质点的轨迹已知时（譬如限定在某曲线轨道上滑动），则可选用自然坐标系。
总结：中国科学技术大学杨维纮
§ 1.7 相对运动通常，把相对观察者静止的参考系称为定参考系或 静参考系,
把相对观察者运动的参考系称为动参考系 ； 把物体相对于动参考系的运动称为 相对运动 （相应的有相对速度和相对加速度），物体相对静参考系的运动称为 绝对运动 （相应的有绝对速度和绝对加速度）。动参考系相对静参考系的运动称为 牵连运动 （相应的有牵连速度和牵连加速度）。
当相对作平动（如的坐标轴在运动中始终与的坐标轴保持平行）时，牵连速度和牵连加速度不因物体在上的位置不同而异。
当相对转动时，牵连速度和牵连加速度均与物体的位置有关。为了讨论问题简单起见，本节中动参考系和静参考系中的坐标系都取直角坐标系。
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
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1.7.1 动参考系作任意方式的平动
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
§ 1.7 相对运动中国科学技术大学杨维纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动注意：平动不一定是直线运动！
)()()( 0 ttt rrr
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv
20
20
000
)()()(,)()( dt tddt tdtdt tdt rvarv
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv
)()()( 0 ttt vvv )()()( 0 ttt aaa
对静参考系 K：
对动参考系 K/:
于是，我们有：
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
)()()( 0 ttt rrr
kjir )()()()( tztytxt
kjir )()()()( tztytxt
kjir )()()()( 0000 tztytxt
P点在 K系的坐标：
P点在 K/系的坐标：
O/点在 K系的坐标、速度和加速度：
2
0
2
0000 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv
现在,和 不能象平动参考系那样称其为牵连速度和牵连加速度
)(0 tv )(0 ta
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时 与 完全相同。
定义,
在静参考系 K中对时间的微商称为 绝对微商,符号：
在动参考系 K/中对时间的微商称为 相对微商,符号：
DtD
dtd
它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同绝对微商视 为变量，视 为常量；kji,,kji,,
相对微商视 为变量，视 为常量；kji,,kji,,
DtD dtd
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
Dt
D
tD
D varv,
td
d
td
d
,
varv
K 系：
K/ 系：
当 K/系只平动而不转动时，
坐标基矢 都是常矢量，则 对它们作用后结果为零；
kji,,
DtD/
而当 K/系只转动而不平动时，坐标基矢 都在以角速度 ω作圆周运动 kji,,
,,kωkjωjiωi DtDDtDDtD
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
用 D/Dt作用于 K/系中任意随时间 t变化的矢量：
kjib )()()( tbtbtb zyx
)( kjib zyx bbbtDDtDD
tD
Db
tD
Db
tD
Db
tD
bD
tD
bD
tD
bD
zyx
zyx
kji
kji
kωj ωi ωkji zyxzyx bbbtd bdtd bdtd bd
)( )( kjiωkji zyxzyx bbbbbbdtd b ωb dtd
b ωbb tddtDD
即：
r ωrr tddtDD v ωvv tddtDD
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有：
0,0 tddtdd varv
)( 0 rrrvv tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr r ωrr
0
td
d
tD
D r ωv 0
r ωvvv 0 f即牵连速度：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
r ωvvv 0 f
) ( r ωvvaa 0 tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv
) ( rωr ωa 0 tdd
) ( rωωa 0
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 av
) ( r ω ωaa f rrωω ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有：
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有：
即：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
0, tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv tDDtDD
rωrr 0 tddtDD rωvv 0
fvvr ωvvv 0
其中 是牵连速度fv
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
) ( r ωvvva 0 tDDtDD
tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvvωv
) ( rωr ωv ωaa 0 tdd
) (2 r ω ωv ωa 0
) ( 0 r ω ωaaf
令：
v ωa 2c o r
c o rf aaa
则得：
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。cora
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§ 1.1 引言
§ 1.2 质点和参考系
§ 1.3 速度与加速度
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
§ 1.7 相对运动中国科学技术大学杨维纮
1.1.1 力学的研究对象
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量
1.1.3 宇宙的层次和数量级
§ 1.1 引 言中国科学技术大学杨维纮运动学：
动力学：
静力学,研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。
（ 平衡方程的应用和受力分析 ）
研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因 。（ 位移，速度，加速度，轨迹等的描述和计算 ）
研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系 。（ 运动微分方程的建立和求解 ）
§ 1.1 引 言经典力学适用范围,弱引力场中宏观物体的低速运动。
1.1.1 力学的研究对象中国科学技术大学杨维纮时间,
空间,
时间用以表述事物之间的顺序空间用以表述事件相互之间的位形在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，
这个问题将在相对论一章中详细讨论。
没有满意的“严格”的理论定义，并不妨碍时间和空间二者在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学，在考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定义，而是应当了解它们是怎样量度的。
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量中国科学技术大学杨维纮真太阳日,太阳视面中心连续两次出现在地面某处正南方所需的时间时间的测量,
平太阳日,一年之内全部真太阳日的平均秒,一个平均太阳日的 1/86,400，这种以地球自转为基础的计时标准叫 世界时 （ UT）
1956年起改用以地球公转周期为基准的时间标准，
称为 历书时（ ET）,并规定 秒 为 1900年回归年的
1/31,556,925.9747
任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的循环称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，
如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振动等等，也都可以用作测时的工具）
中国科学技术大学杨维纮时间的测量,
1967年 10月在第十三届国际度量衡会议上规定：
位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级在零磁场中跃迁辐射的周期 T与 1秒的关系为
1秒 = 9,192,631,770 T
这样的时间标准称为 原子时用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量精度要比秒表作时计提高 倍，即误差下降到秒表的 之一1010
1010
自从人类发明机械计时的时钟以来,400年来时间计量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差已小于 秒 /天。目前,时间是测量得最准确的一个基本量
1010?
中国科学技术大学杨维纮空间的测量,
长度是空间的一个基本性质对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。对于不能用尺直接加以测量的小尺度，可以求助于光学方法。
在精密机床上常有光学测量装置；测定胰岛素中原子的位置，是用调光衍射方法。对于大的尺度，也不能直接用尺去测量，也要求助于光。测量月亮与地球的距离可以用激光测距的方法，测量一些不太远的恒星，
可以用三角学方法。至于银河系之外的遥远天体的距离，同样是用它们发光的一些特征来测定的。
中国科学技术大学杨维纮空间的测量,
米,规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度的 1/10,000,000
1875年起，决定改用米原器（截面呈,X”形的铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米不易复制，精度又不高
1960年在第十一届国际计量大会上规定：
1米等于氪 86原子的和能级之间跃迁时所对应的辐射（橙色谱线）在真空中的波长 λ的 1,650,763.73倍。
这样规定的米叫 原子米
1983年 10月在第十七届国际计量大会上规定：
米是光在真空中在 1/299,792,458秒的时间间隔内所传播的路程长度光速,c = 299,792,458米／秒中国科学技术大学杨维纮
1,空间尺度：从极小到极大最遥远星系银河系邻近恒星太阳地球人类细胞原子质子夸克
1026 m
10-20 m
10-10 m
100 m
1010 m
1020 m
1.1.3 宇宙的层次和数量级中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级天体空间尺度 （ 1 光年 ～ 10
16
米）
地球直径 1,3 × 10
- 9
光年
太阳直径 1,47 × 10
- 7
光年
太阳系范围 1,2 × 10
- 3
光年
最近的恒星 4,3 光年
银河系范围 10
5
光年
最近的星系 10
6
光年
富星系团 10
7
光年
可测宇宙 1,5 × 10
10
光年中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级星系的直径大约是 1021米人造物体和自然物体的电子显微镜照片，图中垂线是 20纳米的聚合物纤维，有短尾的物体是 T-4噬菌病毒中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级宇宙年龄地球年龄太阳绕银河系中心的轨道周期古人类的出现钚的半衰期人的寿命地球的公转周期 （ 1年 ）
地球的自转周期 （ 1天 ）
人的脉搏人的神经系统反应时间可听见的最高频率的声音周期
μ子的寿命典型的分子转动周期实验室能产生的最短光脉冲周期
π介子的半衰期共振粒子寿命从宇宙诞生到已知的物理定律可用的时间
6× 1017 秒
1.5× 1017 秒
8× 1015 秒
6× 1013 秒
8× 1011 秒
2× 109 秒
3× 107 秒
8.6× 104 秒
1 秒
1× 10-1 秒
5× 10-5 秒
2× 10-6 秒
1× 10-12 秒
1× 10-15 秒
2× 10-16 秒
1× 10-25 秒
1× 10-43 秒一些典型的时间尺度中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级我们研究的对象跨越如此巨大的数量级范围，
单一的单位（如秒、米），用起来就很不方便了，
通常的做法是采用一些词冠来代表一个单位的十进倍数或十进分数，如千（ kilo）代表倍数 103，厘
（ centi）代表分数 10-2，等等。在国际单位制中，原来从 10-18到 1018的 36个数量级之间规定了 16个词冠，
最近又建议在大、小两头再各增加两个，共 20个词冠，一并列在下表 1.1中。表内中译名在方括弧里的字可以省略。这些词冠与各种物理量的单位组合在一起，构成尺度相差甚为悬殊的大小各种单位，在现代物理学中广泛使用着。其中有的已化作物理学名词的一部分，如纳米（ nm）结构、飞秒（ fs）光谱等，成为一些新兴技术的标志和象征。
中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级数量级
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
英文名
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
缩写符号
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
中译名分厘毫微纳 [诺 ]
皮 [可 ]
飞 [母托 ]
阿 [托 ]
仄 [普托 ]
幼 [克托 ]
国际单位制所用的词冠中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级数量级
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
英文名
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zeta
yota
缩写符号
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
中译名十百千兆吉 [咖 ]
太 [拉 ]
拍 [它 ]
艾 [克萨 ]
泽 [塔 ]
尤 [塔 ]
国际单位制所用的词冠（续）
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1.1.3 宇宙的层次和数量级目前，物理学中涉及的最长的时间是 1038 秒，它是质子寿命的下限。宇宙的年龄大约是 6x1017秒，即
200亿年。牛顿力学所涉及的时间尺度大约是 10-5 ～
1015秒，即从声振动的周期到太阳绕银河中心转动的周期。粒子物理的时间尺度都很小,μ子的寿命是
2x10-6秒，已经算是极长寿的了，最短寿的是一些共振粒子，它们的寿命只约有 10-24秒，目前物理学中涉及的最小的时间是 10-43秒，称为普朗克时间。普朗克时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范围内，时间的概念可能就不再适用了。
最长的时间和最短的时间中国科学技术大学杨维纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级目前，物理学中涉及的最大长度是 1028米，它是宇宙曲率半径的下限；弱电统一的特征长度为 10-20米；
普朗克长度约为 10-35米，被认为是最小的长度，意思是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可能就不再适用了。
最大的长度和最小的长度中国科学技术大学杨维纮
1.2.1 质点和参考系
1.2.2 轨迹和运动方程
§ 1.2 质点和参考系中国科学技术大学杨维纮质点,
参考物,
参考坐标系,固定在参考物上的坐标架（简称 参考系 ）
突出了“物体具有质量”、“物体占有位置”
为了研究运动，固定坐标系的物体
§ 1.2 质点和参考系参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
1.2.1 质点和参考系中国科学技术大学杨维纮
1.2.1 质点和参考系质点 的 位置矢量 r（简称 位矢 ）的大小为 OP
的长度，而方向从 O指向 P。用这个矢量就完全确定了质点 P的位置
kjir zyx
其中 i,j,k分别分别表示空间的三个坐标方向
（ 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢zyx,,
参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
中国科学技术大学杨维纮质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这条曲线我们称之为 轨迹 。
一般曲线方程可以表示成：
轨迹可以利用曲线方程来描写。
譬如，曲线方程：
0
222
z
Ryx
就描写了在平面上半径为 R的圆周运动的轨迹。
0),,(
0),,(
2
1
zyxf
zyxf
1.2.2 轨迹和运动方程中国科学技术大学杨维纮
1.2.2 轨迹和运动方程在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状的研究，例如行星走圆形，落体走直线。我们知道，
质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。
轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。我们不仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点的时刻。 运动是在时间、空间里的现象，关键是把时间描写和空间描写联系起来。 直到牛顿之前不久，才特别强调了这一点。
中国科学技术大学杨维纮
1.2.2 轨迹和运动方程我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。
质点的位置关于时间的函数称为 运动方程 或 运动解,
知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。
质点的运动方程可以表示成：
)(trr?
当然，也可以用坐标系中三个坐标分量来描述运动
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
并有关系式 kjir )()()()( tztytxt
从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程中国科学技术大学杨维纮
1.2.2 轨迹和运动方程应当指出，同一物体，相对于不同的参考系，显示出不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。
在日常生活中，我们习惯于认为地面是静止的，在讲到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，
大家知道，地球以大约 30公里 /秒的速度绕太阳公转，根本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在描述某个运动较为方便的参考系。
中国科学技术大学杨维纮
1.3.1 位移、路程与速度
1.3.2 加速度
§ 1.3 速度与加速度中国科学技术大学杨维纮瞬时速度 （简称 速度 ）定义为：
1,直线运动
§ 1.3 速度与加速度通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时速度的绝对值被称为速率。
质点在 t1到 t2时间间隔内的 平均速度
12
12 )()(
21 tt
txtxv
tt?
dt
tdx
t
x
t
txttxtv
tt
)()()()( limlim
00
1.3.1 位移、路程与速度中国科学技术大学杨维纮这个平均速度的定义表明，平均速度是矢量。
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均速度
ttt
tt
tt?
rrrv
12
12 )()(
21
是在时间间隔 △ t 内质点位置矢量的改变量，称为 位移矢量 （简称 位移 ）
)()( 12 tt rrr
中国科学技术大学杨维纮
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度由右图很清楚知道，在 t1到 t2
时间间隔内质点的运动方向并非总是沿着 1到 2的方向的，而是先从 1向 4,3方向运动，然后从 3向 2
方向运动，这些运动方向并不平行于 1到 2的方向。
所以平均速度所指的方向，只是质点真实运动方向的平均。
也就是说，平均速度不但对于运动快慢的描写是粗略的，而且对于运动方向的描写也是粗略的。但当 △ t减小时，矢量相继从 1，
2变到 1,3，变到 1,4……,在 △ t→0 的极限情况下,△ r的方向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近似相等。这样，我们就得到一个结论,瞬时速度的方向，就是轨迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是时平均速率的大小。
中国科学技术大学杨维纮由此可以定义 平均速率,
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度质点从 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内所走过的路程路程函数 s(t),质点从 t1 =0 到
t2 = t 时刻所走过的路程长度
)()( 12 tstss
t
s
tt
tstsw
tt?
12
12 )()(
21
中国科学技术大学杨维纮
(1) 位移与路程不同于位矢，
它们与坐标原点的选取无关。
2,三维曲线运动
(3) 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。
1.3.1 位移、路程与速度由右图可以看出，位移△ r与路程△ s有如下的异同点：
(2) 路程△ s是由 M到 M′的曲线的实际长度，是一个标量。而位移是由始点至终点的有向线段，是一个矢量。而且位移的大小通常也不等于路程。
中国科学技术大学杨维纮瞬时速度 （简称 速度 ）定义为：
2,三维曲线运动在国际单位制中，速度的单位是 米 /秒,常用的单位还有 厘米 /秒、千米 /小时 等
1.3.1 位移、路程与速度
dt
d
tt
tttt
tt
rrrrv?
limlim 00
)()()(
速度的数值大小（绝对值）称为 速率,由上式知：
dt
tds
t
s
ttttv ttt
)(|| |)(| )( limlimlim
000
rrv
中国科学技术大学杨维纮瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为：
1,直线运动质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均加速度
t
tvttva
ttt?
)()(
2
2
00
)()()()()( limlim
dt
txd
dt
tdv
t
v
t
tvttvta
tt
1.3.2 加速度中国科学技术大学杨维纮瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为：
2,曲线运动
1.3.2 加速度质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均加速度
t
ttt
tttt
)() (
vvva
2
2
0 0
)( )(
t t
)() t( )( limlim
dt
td
dt
tdttt
tt
rvvvva
在国际单位制中，加速度的单位是 米 /秒 2，常用的单位还有 厘米 /秒 2等。
中国科学技术大学杨维纮
质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬时性
速度、加速度是矢量，它具有矢量性
从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什么我们应当到此为止，而不去讨论加加速度、加加加速度 …… 。其中的原因在动力学，学过动力学后，
我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢量、速度和加速度这三个量。
§ 1.3 速度与加速度
选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性小结：
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1.4.1 直线运动
1.4.2 曲线运动
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述中国科学技术大学杨维纮
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述运动方程,)(txx?
平均速度：
0
0 )()(
0 tt
txtxv
tt?
右图表示的是质点做直线运动时的位置、
速度和加速度关于时间的图形。由图上可见，当位置最大时，速度为零（此时曲线的斜率为零），同样当速度最大时，其加速度为零。
瞬时速度：
dt
tdx
t
txttxtv
t
)(
)() ()( lim
0
1.4.1 直线运动中国科学技术大学杨维纮
1.4.1 直线运动平均加速度：
0
0 )()(
0 tt
tvtva
tt?
瞬时加速度,220 )()( )() ()( lim dt txddt tdvt tvttvta t
瞬时速率：
dt
tdstvtw )(|)(|)(
由此可见，如知道运动方程，则速度、加速度等皆可求得。
故古希腊自然哲学家亚里士多德 (Aristotle,384~322 B.C.) 认为：轨迹是最基本的，速度次之（当时并不知道加速度）。
这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，往往从对称性入手，然后再涉及局部细节。就人类的认识过程来看，的确是先看到轨迹的形状，然后有了运动快慢的概念，最后认识到速度的变化，即加速度。
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1.4.1 直线运动若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置,
利用：
如果已知质点运动的加速度,
可以解得：
运动学的反问题
)(taa?
0)0( vtv 0)0( xtx
dtdxtv /)(?dtdvta /)(?
tdtavtv t )()( 0 0
tdtvxtx t )()( 0 0
tdtvsts t |)(|)( 0 0
可以完全描述运动。
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1.4.1 直线运动牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的整体方面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。
这种方法，是现代物理学的一个基本方法，至今在大多数情况下，物理学家们都采用牛顿这种方法。
从哲学上看，本小节处理运动问题的两种方法（正问题和反问题）反映了人们的两种不同信念,一种认为整体的大的方面简单些，因此，主张从大到小的研究顺序； 另一种认为局部的单元过程更简单些，因此，主张从小到大的研究顺序。 现在看来，这两种“简单性”可能是分不开的，虽然在大多数情况下，我们偏爱第二种研究顺序，但在某些局部过程不得要领的情况下，第一种研究顺序也有其独到之处。在第四、五章我们再讨论这个问题。
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1,运动方程
2,速度
kjir )()()()( tztytxt
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
)()()( txdt tdxtv x )()()( tydt tdytv y )()()( tzdt tdztv z
分量式：
速率,2/1222)(
)(
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
tdstv
其中,2222 dzdydxds
kjiv )()()()( tvtvtvt zyx
1.4.2 曲线运动中国科学技术大学杨维纮
3,加速度
1.4.2 曲线运动
kjia )()()()( tatatat zyx
分量式：
)()()(
2
txdt txdta x
)()()( 2 tydt tydta y
)()()(
2
tzdt tzdta z
中国科学技术大学杨维纮运动的重要性质,
运动的独立性运动的独立性 的实验演示
1.4.2 曲线运动由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质点的复杂的曲线运动时，其方向的坐标、速度和加速度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向和方向也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质称为运动的独立性。
中国科学技术大学杨维纮如果已知：
路程：
运动学的反问题
1.4.2 曲线运动
)( ),( ),( 00 ttt rva
可以完全描述运动。
tdtt tt )()( 0
0
avv
t
t
zzz
t
t
yyy
t
t
xxx
tdtavtv
tdtavtv
tdtavtv
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
分量式：
tdtt tt )()( 0
0
vrr
t
t
z
t
t
y
t
t
x
tdtvztz
tdtvyty
tdtvxtx
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
)()()( |)(| )()( 222 tvtvtvttvdt tds zyx v
tt yyx tdtvtvtvtsts 2220 0 )()()()()(
速度：
位矢：
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
1.5.2 自然坐标系
1.5.3 圆周运动
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述中国科学技术大学杨维纮
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为：
若我们研究的运动是 受约束的运动,比如火车的行驶（它不能离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往往轨迹的形状是给定的，由于约束力的参与（本章中我们不讨论力，仅研究运动），加速度往往与轨迹上点的位置有关（有时还与质点在该点速度有关），此时运动的独立性往往失效。
沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。
即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得数学计算简单了，但我们 对其中的一些物理细节却并不很清楚 。
比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？
于是，我们需要引入一种新的坐标系,自然坐标系 。
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§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
1.5.1 切向加速度和法向加速度我们现在考虑加速度的方向。对于沿直线的运动，只有一个方向，故速度与加速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减速运动，加速度的方向与运动方向相反，
我们仍视加速度与速度方向平行，有时也称其为反平行），如图 1.11(a)；对于匀速圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图
1.11(b)；而对于一般的曲线运动，加速度的方向比较复杂，它往往与速度的方向即不平行又不垂直，如图 1.11(c)。
由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质点的运动不是直线运动。
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1.5.1 切向加速度和法向加速度速度矢量,)(?)()( ttvt vv?
其中 是沿着轨道切向，
指向运动方向的单位矢量。
v(t)没有法向分量。
)(? tv
加速度,
t
t
dt
tdt
t?
)()()( l i m
0
vva
tt
tttvttvttttv
t
t
ttvttttv
t
ttt
t
t
21) (?)() ()(?) (?)(
1
)(?)() (?) (
)() ()(
vv
vvv
vvvvv
ttt tt?
2
0
1
0 limlim
)( vva
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?)() (? )() ( limlimlim
00
2
0
tdt tdvttt tvttvt
ttt
vvv
该项沿轨迹的切向，
也即是速度的方向，
我们称这一项为 切向加速度 。
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1.5.1 切向加速度和法向加速度如图知，求瞬时加速度至少需要在轨迹上取三个点。
在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为 密切平面 （简称 密切面 ）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆为 密切圆,又称 曲率圆,这个圆的半经称为 曲率半径 。
设我们取三个点 P,Q、
Q1来求加速度。
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1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?
)(
)(?
)(
)(?) (?
)(
2
00
0
1
0
limlim
limlim
t
tR
tv
t
s
R
v
t
tv
t
ttt
tv
t
tt
tt
nnn
vvv
nvnva)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt
dt
tdva
t
)( va
)(
)(? 2
tR
tva
n na
其中：
切向加速度，表示速度大小的变化法向加速度，表示速度方向的变化于是：
)(tR 曲率半径中国科学技术大学杨维纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
nvnva)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt
加速度的大小（绝对值）：
加速度：
222
2
2222
22 1)(
dt
ds
Rdt
sd
R
v
dt
dvaata
nt
)(trr?如果运动方程 已知：
可以求得,)(,)( tt av
可得轨迹上任意一点的曲率半径为：
|)()(|
)()( 3
tt
tvtR
va
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1.5.1 切向加速度和法向加速度如果以弧长 s 为坐标，则,
dt
dsv?
2
2
dt
sd
dt
dva
t
dtavv ttt 0
0
dtdtavv dtss ttttttt 0 0
000
可得：
质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的是，质点走的实际上是曲线。
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1.5.2 自然坐标系
neve, 21
bnve 3
这样构成的正交坐标系称为 自然坐标系 （有的书上称为 内禀坐标系、
本性坐标系、路径坐标系 等）
当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。
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1.5.3 圆周运动
0)(,1 RtR?
2,轨道在一个平面上则称为 匀速圆周运动 。
称这样的运动为 圆周运动 。
0)( vtv若同时有 常数
)(? )(?,)(?)()( ttttvt rvvv
)(?)(?)(?)()(?)()(?)()(?)()(
0
2
tatatR tvtdt tdvdt tdtvtdt tdvt nt nvrvvva
向心加速度切向加速度
)(
)(
0
2
R
tv
a
dt
tdv
a
n
t
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1.5.3 圆周运动圆周运动的另一种描述法：
定义,角速度矢量,大小为,方向按右手系指向平行于转轴方向。
ω
dtd /?
有了上述定义，则当坐标原点选在转轴上 时，如图，有：
rωrv dtd
dt
d
dt
d
dt
d rωrωva )( rωωrω
dt
d
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1.5.3 圆周运动我们曾指出，对于一个物理对象，用什么数学语言来描写，这并不是一件很自然的事情，任何一种数学只是一种逻辑体系，一种逻辑体系能不能正确地描写我们的物理对象，是要认真研究的。物理上，寻找那种能正确地、简洁地描写物理对象的数学是一个难点。在这里，我们定义了角速度矢量，这似乎很自然，它又有大小，又有方向。这里要提醒大家注意的是，有大小又有方向的量可不一定就是矢量，若要是矢量还必须满足矢量的运算法则。
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1.6.1 平面极坐标
1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述中国科学技术大学杨维纮
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
1.6.1 平面极坐标直角坐标系是最常用的坐标系，但对有些运动，如圆周运动、
速度或加速度指向空间某固定点的运动等，直角坐标就不那么方便，而用平面极坐标（简称极坐标）会有许多优点。
极坐标法 (只对平面曲线运动时可用 )：
极坐标的建立：规定极点，极轴，极径，极角极角：极径和极轴的夹角称为极角两个单位矢量 和,它们分别表示 r 增加的方向（称为 径向 ）和 增加的方向（称为 横向 ）r
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1.6.1 平面极坐标
)(dd r
r? )(dd
)( ),( ttrr在极坐标系中，质点的运动方程为：
从该方程组中消去时间 t，可得轨迹方程为：
0),(rf
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
)(?)()( ttrt rr?
limlim
00
rrtrtr
tt
rr
前者叫 径向速度,用 vr表示；后者叫 横向速度,用 表示，即：?v
vvrv rr vv
, rrr vrv
其中：
rr rr
tt?
rv li m
0
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1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
dtddddtd rr r dtddddtd
)(?)(]?)([)()( rrdtdtrdt tdrtrdtddt tdt rrrrrv
) ()()( rrdtddt tdt rva
)? ( rr rrrrr
利用矢量的求导公式 推导：
由于：
可得：
ra? )( 2 rrr
)2( rra
径向加速度横向加速度
dt
tdrrr
dt
tdrr )( )( rr
)2(? )( 2 rrrr r
中国科学技术大学杨维纮例,设质点在匀速转动（角速度为）的水平转盘上从开始自中心出发以恆定的速率沿一半径运动，求质点的轨迹、速度和加速度。
解,取质点运动所沿的半径在时的位置为极轴，得：
t
utr
rdtrdv
udtdrv r
/
/
2? )( 2 urt ra
轨迹方程：
ur?
此曲线为阿基米德螺线中国科学技术大学杨维纮一般地，当加速度为常量（如重力加速度），应选取直角坐标系；当加速度总指向空间一点时（有心力情形），选极坐标系较方便；当质点的轨迹已知时（譬如限定在某曲线轨道上滑动），则可选用自然坐标系。
总结：中国科学技术大学杨维纮
§ 1.7 相对运动通常，把相对观察者静止的参考系称为定参考系或 静参考系,
把相对观察者运动的参考系称为动参考系 ； 把物体相对于动参考系的运动称为 相对运动 （相应的有相对速度和相对加速度），物体相对静参考系的运动称为 绝对运动 （相应的有绝对速度和绝对加速度）。动参考系相对静参考系的运动称为 牵连运动 （相应的有牵连速度和牵连加速度）。
当相对作平动（如的坐标轴在运动中始终与的坐标轴保持平行）时，牵连速度和牵连加速度不因物体在上的位置不同而异。
当相对转动时，牵连速度和牵连加速度均与物体的位置有关。为了讨论问题简单起见，本节中动参考系和静参考系中的坐标系都取直角坐标系。
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
中国科学技术大学杨维纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
§ 1.7 相对运动中国科学技术大学杨维纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动注意：平动不一定是直线运动！
)()()( 0 ttt rrr
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv
20
20
000
)()()(,)()( dt tddt tdtdt tdt rvarv
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv
)()()( 0 ttt vvv )()()( 0 ttt aaa
对静参考系 K：
对动参考系 K/:
于是，我们有：
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
)()()( 0 ttt rrr
kjir )()()()( tztytxt
kjir )()()()( tztytxt
kjir )()()()( 0000 tztytxt
P点在 K系的坐标：
P点在 K/系的坐标：
O/点在 K系的坐标、速度和加速度：
2
0
2
0000 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv
现在,和 不能象平动参考系那样称其为牵连速度和牵连加速度
)(0 tv )(0 ta
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时 与 完全相同。
定义,
在静参考系 K中对时间的微商称为 绝对微商,符号：
在动参考系 K/中对时间的微商称为 相对微商,符号：
DtD
dtd
它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同绝对微商视 为变量，视 为常量；kji,,kji,,
相对微商视 为变量，视 为常量；kji,,kji,,
DtD dtd
中国科学技术大学杨维纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
Dt
D
tD
D varv,
td
d
td
d
,
varv
K 系：
K/ 系：
当 K/系只平动而不转动时，
坐标基矢 都是常矢量，则 对它们作用后结果为零；
kji,,
DtD/
而当 K/系只转动而不平动时，坐标基矢 都在以角速度 ω作圆周运动 kji,,
,,kωkjωjiωi DtDDtDDtD
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
用 D/Dt作用于 K/系中任意随时间 t变化的矢量：
kjib )()()( tbtbtb zyx
)( kjib zyx bbbtDDtDD
tD
Db
tD
Db
tD
Db
tD
bD
tD
bD
tD
bD
zyx
zyx
kji
kji
kωj ωi ωkji zyxzyx bbbtd bdtd bdtd bd
)( )( kjiωkji zyxzyx bbbbbbdtd b ωb dtd
b ωbb tddtDD
即：
r ωrr tddtDD v ωvv tddtDD
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有：
0,0 tddtdd varv
)( 0 rrrvv tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr r ωrr
0
td
d
tD
D r ωv 0
r ωvvv 0 f即牵连速度：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
中国科学技术大学杨维纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
r ωvvv 0 f
) ( r ωvvaa 0 tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv
) ( rωr ωa 0 tdd
) ( rωωa 0
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 av
) ( r ω ωaa f rrωω ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有：
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1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有：
即：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
0, tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv tDDtDD
rωrr 0 tddtDD rωvv 0
fvvr ωvvv 0
其中 是牵连速度fv
中国科学技术大学杨维纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
) ( r ωvvva 0 tDDtDD
tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvvωv
) ( rωr ωv ωaa 0 tdd
) (2 r ω ωv ωa 0
) ( 0 r ω ωaaf
令：
v ωa 2c o r
c o rf aaa
则得：
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。cora
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