杨维纮第五章 角动量定理在描述转动的问题时，我们需要引进另一个物理量 —— 角动量 。这一概念在物理学上经历了一段有趣的演变过程。 18世纪在力学中才定义和开始利用它，直到 19世纪人们才把它看成力学中的最基本的概念之一，到 20世纪它加入了动量和能量的行列，成为力学中最重要的概念之一。角动量之所以能有这样的地位，是由于它也服从守恒定律，在近代物理学中其运用是极为广泛的。
中国科学技术大学杨维纮第五章 角动量定理
§ 5.1 孤立体系的角动量守恒
§ 5.2 质点系角动量定理
§ 5.3 质心系的角动量定理
§ 5.4 万有引力
§ 5.5 关于万有引力的讨论
§ 5.6 质点在有心力场中的运动中国科学技术大学杨维纮
§ 5.1 孤立体系的角动量守恒第三章我们介绍了与平动相联系的守恒量 —— 动量，
对于转动我们希望能找到这样一个物理量 —— 角动量，
它具备以下的条件：
1,若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非零值表示质点关于该空间点作转动；
2,对于孤立体系，它保持守恒。
下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
§ 5.1 孤立体系的角动量守恒中国科学技术大学杨维纮
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度单质点的孤立体系就是不受外力作用的自由质点，它作匀速直线运动（我们取惯性参考系，且静止看成是匀速直线运动的特例）。
如图 5.1，设该质点位于 P
点，沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动，在相等的时间间隔 ⊿ t
的位移是 ⊿ s = v⊿ t。
我们在 AB 上取一个参考点 Q，随着 P 点的运动，
由于 QP 的方向不发生改变，故 P 点相对于 Q 点没有转动。但如果参考点取不在 AB 上的点，譬如 O 点，由于
OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于
O 点有转动。我们现在来寻找守恒量。
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度由图可见，各时间间隔 ⊿ t
内矢径 r 扫过的那些小三角形具有公共的高线 OH，因而有相等的面积，于是我们找到的守恒量是：矢径 r 在单位时间内扫过的面积 S，我们称 该面积 S 为质点
P 的 掠面速度 。设矢径 r 与 AB
线的夹角为 θ，故对单质点的孤立体系有：
常量 s i n21s i n21 rvtsrS
该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微商为零：
0?dtdS
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度当然，上面所考虑的只是平面运动的情况，对于单个的自由质点，它只可能在某个平面上运动。但是我们接下来要考虑多个质点，仅考虑某一个平面就不行了，我们可以利用矢量运算法则，将掠面速度定义为与该平面垂直的矢量。即：
vrS 21
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量对于两个质点的孤立体系，
它们虽然不受外力作用，但两个质点之间是有作用力的。我们现在来寻找守恒量，首先我们能想到的是它们每个质点掠面速度的和。为此，在空间建立惯性参考系，如图 5.2，两个质点的质量分别为 m1,m2，其位矢和速度分别为 r1,r2 和 v1,v2 。设其掠面速度分别为 S1,S2,有：
111 2
1 vrS
222 2
1 vrS
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量而掠面速度对时间的微商为：
dt
d
dt
d
dt
d i
iiii
vrvrS
2
1
2
1
dt
d i
iii
vrvv
2
1
2
1 d i
i
vr
2
1
其中 i =1,2。为了对上式中的 i
求和，我们列出质点运动的牛顿方程：
ffv 12dtdm 11 ffv 2 122 dtdm
frvrS 1
1
1
1
1
2
1
2
1
mdt
d
dt
d frvrS
2
2
2
2
2
2
1
2
1
mdt
d
dt
d
021 dtddtd SS
因 m1,m2 可以为任意值，故中国科学技术大学杨维纮
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量但从前几式可看出：
0)()22( 212211 frrSS mmdtd
其中利用了牛顿第三定律,f 的方向沿两质点 m1,m2 的连线，
即 f // (r1﹣ r2 )。于是我们找到了守恒量：
2211 22 SSL mm
常矢量 222111 vrvr mm
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量称为 单个质点对于原点的角动量 或 动量矩 ；
定义,prvrl m
ii
i
iii
ii
i m prvrlL
称为 体系对于原点的角动量 或 动量矩 。
由上述的推导可知,两个质点孤立体系的角动量守恒。
对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结论，我们在下一节介绍。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
1,角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积，
因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确定的平面，其指向由右手定则决定。
2,单个质点的角动量与其掠面速度成正比，比例系数为其质量的两倍。
3,角动量是相对给定的参考点定义的，且 参考点在所选的参考系中必须是固定点,对不同的参考点体系的角动量是不同的。通常我们把参考点取为坐标原点，这时的角动量的定义才如 (5.1.12),(5.1.13)式所示。
4,角动量的单位是千克 ·米 2 /秒，量纲为 ML2T -1
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5.2.1 质点角动量定理
5.2.2 质点系角动量定理
5.2.3 角动量守恒定律与空间各向同性
§ 5.2 质点系角动量定理中国科学技术大学杨维纮
§ 5.2 质点系角动量定理
5.2.1 质点角动量定理我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。
在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r，
动量为 p，角动量为 l，有：
prvrlpF mdtd,
角动量对时间的变化率为：
)( prl dtddtd dtddtd prpr Frpv
Fr
定义,M = r× F 称为 力 F 对于原点的力矩 。
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5.2.1 质点角动量定理于是 (5.2.2)式又可写为：
Ml?dtd
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。这就是 质点角动量定理 的微分形式。对上式积分，得：
0
0 llM dt
t
力矩对时间的积分 称为 冲量矩 。上式表示质点角动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。
dtt M? 0
不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量形式。
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5.2.1 质点角动量定理例 5-1：讨论行星运动性质解,取太阳为原点建立坐标系，设太阳和行星的质量分别为 m2,m1，利用第四章 4.4.3节中引入的约化质量
μ= m1 m2/(m1+ m2),就可以将该参考系视为惯性系，则行星受到的力矩为 M = r× F = 0，故 l = r× μv = 不变量，或掠面速度 S = r× v/2 = 不变量。故有：
1,行星轨道是一条平面曲线。（因 S 的方向不变）
2,行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。（因
S 的大小不变）
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5.2.2 质点系角动量定理设体系有 n 个质点。
nnnnnnn
n
n
n
Fffffp
fFffp
ffFfp
fffFp
)1(321
3332313
2232212
1131211
令
iiiiiii m FrMvrl,
分别表示体系内第 i 个质点的角动量和所受的外力矩
ijiij frM
表示第 j 个质点对第 i 个质点的内力产生的力矩
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d i
iiiiiiii
prprprprl )(
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5.2.2 质点系角动量定理用 ri× (5.2.5)的第 i 个方程，得：
iniiiiiiiidt
d MMMMMMl
)1()1(21
由牛顿第三定律知,)/ / (
jiij rrf?
于是可得,0)( ijjijijijijiij frrfrfrMM
将 (5.2.6)式对求和，并利用 (5.2.7)式可得：
nndt
d MMMlll
2121 )(
令：
nn MMMMlllL 2121,
则 L 为体系的总角动量,M 为体系所受的总外力矩。
于是 (5.2-9)为：
ML?dtd
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5.2.2 质点系角动量定理
ML?dtd
即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩之和。这就是 体系角动量定理的微分形式 。
对 (5.2.10)式积分，可得体系角动量定理的积分形式：
0
0 LLM dt
t
体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的。
角动量守恒定律,当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
1,关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况：
(1) 对孤立体系，体系不受外力作用 Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。但一般讲来，当体系受外力作用时，即使外力的矢量和为零，外力矩的矢量和未必为零，力偶就是这种情况。
(2) 所有的外力通过定点，关于该点每个外力的力矩皆为零，因而总外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。
(3) 每个外力的力矩不为零，但总外力矩 M = 0。如重力场中重力对质心的力矩。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
2,角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定律或能量守恒定律中。
3,角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒。
(1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量；
(2) 当 My = 0，则 Ly = 常量；
(3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
4,角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。
我们知道，银河系呈扁平的圆盘形结构。观察表明，还有许多星系也呈圆盘形。这可能与角动量守恒有关。银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒
（ r2ω=常量）要求转速随 r 的减小而增大 ω∝ r -2，因而使离心力增大（离心力 ∝ v2/r = rω2∝ r -3），它往往比引力增大（引力
∝ r -2）得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
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5.2.3 角动量守恒定律与空间各向同性如第四章 4.7.3节里一样，我们仍考虑一对粒子 A 和 B。固定 B，将 A
沿以 B 为圆心的圆弧 ⊿ s 移动到 A/（如图 5.4），从而相互作用势能改变：
sV AB 切)( f
空间各向同性意味着，两粒子之间的相互作用势能只与它们的距离有关，与二者之间联线在空间的取向无关。所以上述操作不应改变它们之间的势能，从而 ⊿ V = 0，即相互作用力的切向分量：
或者说，“两粒子之间的相互作用力沿二者的联线”。
这说法与“角动量守恒”是等价的。于是，我们从空间的各向同性推出了角动量守恒定律。
0)(?切ABf
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5.3.1 质心系的角动量定理
5.3.2 体系的角量与质心的角动量
§ 5.3 质心系的角动量定理中国科学技术大学杨维纮
§ 5.3 质心系的角动量定理
5.3.1 质心系的角动量定理由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。
如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。
因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成立。
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5.3.1 质心系的角动量定理设 LC 为质心系中体系对质心的角动量,MC为外力对质心的力矩,MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
dt
d C
CC
LMM
惯由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为：
0)()( ararM iCiiiCC mm惯
dt
d C
C
LM?
即：
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍然适用。
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5.3.1 质心系的角动量定理在这里我们再一次看到质心系的独特优越性。行星绕太阳运动时，把太阳看成静止是一种近似。利用第四章 4.4.3节的约化质量虽然精确，但是只能处理两体问题。对于多体问题，当行星的质量与太阳质量相比不能忽略，或者我们求解问题要求高精度时，都应该考虑太阳的运动，在这种情况下用质心系就能显示其优点了。
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5.3.2 体系的角量与质心的角动量虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往往还是一个运动的点。
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5.3.2 体系的角量与质心的角动量设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量为 LC，则有：
)]()([) ( iCCiiCC
iiiii
mm vvrrvrL
iCiiCCiiCiCiCCiC
i
mmmm vrvrvrvr
) ( iCiiC
i
CiCi
i
iCi
i
CCCC mmmm vrvrvrvr
) ( iCiiC
iCCC
mm vrvr
CCCC m vrL
) ( iCiiC
iCM
m vrL
令,称为质心角动量称为体系相对于质心的角动量则有：
CMC LLL
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心的角动量之和。
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§ 5.4 万有引力在西方，一些物理学家提出这样的问题：如果一个人未读过莎士比亚的著作，会被人认为没有教养；但是一个人不知道牛顿、爱因斯坦的理论，却不被看做没有文化。这不奇怪吗？于是他们仿照
“艺术欣赏”、“歌剧欣赏”那样，在大学文科开设起“科学欣赏”、“物理欣赏”课来。
在我国，情况可能更是这样。在一般人心目中，物理是那样枯燥，那样难懂，难道还有什么可欣赏的？其实物理学是优美的，
它的美表现在基本物理规律的简洁和普适性。然而这些规律的外在表现（各种物理现象）却往往非常复杂。物理学的规律是有层次的，
层次越深，则规律越基本，就越简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。
物理学的简洁性是隐蔽的，它所具有的是深奥而含蓄的内在美。
不懂得它的语言，是很难领会到的。天文学先于物理学，事实上物理学的发端始于对理解星体运行的追求。万有引力定律的发现堪称一部逐步揭示物理规律简洁美的壮丽史诗，让我们从开普勒谈起。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
5.4.2 牛顿的理论
5.4.3 引力的线性叠加性
§ 5.4 万有引力中国科学技术大学杨维纮
5.4.1 开普勒的行星运动三定律在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运动现象就是行星的运行。肉限可以看到五颗行星：水、金、火、
木、土。对这五颗行星的运动有过长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（ Tyeho Brahe,1546~1601）连续进行了二十年的仔细观测、记录，他的学生开普勒（ Kepler
Johamnes,1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析这些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律：
1,所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆的一个焦点上。这称为 轨道定律 。
2,任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积。这称为 面积定律 。
3,任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨道的半长轴的立方成正比，即,T∝ r3/2 (式中,T 是行星运动的周期； r 是椭圆轨道的半长轴。这称为 周期定律 。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律开普勒本人在得到上述的行星运动的规律之后，
也曾企图寻找运动的原因，
来解释行星运动的现象。
但是他并不着眼于力，而是着眼于 对称性 。开普勒首先要解释各行星半长轴为什么取某些特定值。他认为这是 宇宙的对称 和 和谐 的表现。他设计了一个由正多面体构成的宇宙。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律如图 5.5所示，土星的轨道在最外的一个大圆上；
在该球内作一内接的 正六面体,木星轨道在该六面体的内切球面上；
在这球内再作一 正四面体,火星轨道则在该四面体的内切球面上；
相继地，再在这球面内作一内接正十二面体,地球轨道在这十二面体的内切球面上；
再继续作一内接的 正二十面体,金星轨道就在二十面体的内切球面上；
最后，作内接的 正八面体,其内切球面就是水星的轨道所在之处。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律我们知道，正多面体的种类是不多的，只有 5种，所以开普勒相信行星只有 6颗，用上述的一系列正多面体的套装，开普勒能给出符合观测的行星轨道半径之间的比例（只是水星和木星的情况有显著的偏差），
不能不说这是一个很有意义的尝试。
虽然现在已经证明，开普勒的解释并不正确，但是这个事例告诉我们，“从运动的现象去研究对称性”确是一种有价值的方法。在一些现代物理的研究中往往是首先着眼于对称性的。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律开普勒获此结果欣喜若狂，他不加掩饰他说：“十六年了，我立志要探索一件事，所以我和第谷结合起来,…… 我终于走向光明，认识到的真理远超出我最热切的期望。如今木已成舟，书已完稿。至于是否现在就有读者，抑或将留待后世？正像上帝已等了观察者六千多年那样，我也许要整整等上一个世纪才会有读者。对此我毫不在意。”
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律把 20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的,天机” 。 我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力；
而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小，
开普勒的周期定律给出了定量的描述。
开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
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5.4.2 牛顿的理论牛顿在他的划时代的著作,自然哲学的数学原理,中写道：我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因为哲学的全部责任似乎在于 —— 从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其他的现象。
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1,引力的表达式由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看作圆形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有向心加速度 a = v2/r,其中 v 是行星的速率； r 是圆轨道的半径。根据开普勒第三定律,T∝ r3/2，而 v =2πr/T，故
rr
rv 1
2/3
于是：
2
1
ra? 2 r
mmaF
其中 m 是行星的质量。取比例系数为 k，则得：
2 r
mkF?
显然,k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重要结果,如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和的平方成反比。
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1,引力的表达式在牛顿之前，也有人提出过引力应遵循平方反比律，但那并不是基于力的明确定义而得到的，只是一种猜测，或者是从几何类比推出。在牛顿体系中，
力具有定量的定义，由运动学规律及太阳是行星运动原因的假设，平方反比律就是必然的结论了。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的,即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万有引力 。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性就是基于这种统一观的一种猜测。
如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么，
地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引行星的力那样。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的地球对月亮的吸引力应为：
2
月月地月地 r
mkF?
其中 r月 为月亮绕地球公转的半径,m月 为月球的质量，
k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月亮绕地球公转所需的向心力，即：
222 2
T
r
r
m
r
vmF 月月月月月月月地
其中,v月 为月球的公转速度,T 为月亮绕地球的公转周期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为：
mgRmkF 2地其中,m 是物体的质量,R 是地球半径，于是得：
2gRk?地中国科学技术大学杨维纮
2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的
2
月月地月地 r
mkF?
222 2
T
r
r
m
r
vmF 月月月月月月月地
2gRk?地于是得：
2
2
2 2?
T
r
r
m
r
mgR 月月月月月?
即：
2
22
3
4?
gTRr?
月该式就是从引力普适性得出的预言。在这个关系式中，
所有量都是可测量的，因此，可以用实验加以检验。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的
2
22
3
4?
gTRr?
月其中有关量的数值为,R = 6400千米,g = 9.8米 /秒 2,T =
27天 7小时 43分或 27.3215天,r月 = 384000 千米，这些测量结果能很好地满足该式，这就验证了万有引力假设的正确性。
早在 1665年，牛顿就得到了该式，当时的测量数据是：古希腊的天文学家伊巴谷（ Hipparchus）通过观测月全食持续的时间（即月球通过地球阴影的时间），相当精确地估算出月亮与地球之间的距离是地球半径的 60倍；
地球表面大圆弧上一度为 60 mile（ 1mile = 1609.3米，这是当时海员们通用的计算方法），得到地球半径为 3500
mile，即 5632公里；牛顿发现这些数据并不满足上式。
因而，牛顿并没有及时发表他的成果。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的直到后来，天文学家重新测定了地球半径，发现以前的观测值错了。牛顿用新的数据再进行计算，所得结果完全符合 (5.4.9)式。这可能是牛顿推迟于 1685年发表他的万有引力理论的一个原因。
牛顿的上述论证说明，地上物体的运动规律与月亮运动的规律实质上是一样的。这个结果的意义很重大，
它打破了亚里士多德关于天上运动和地面运动是本质不同的两类运动的基本观念。按照牛顿的理论,天体运动与地面运动之间并无根本的差别，也没有不可渡过的界限。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的牛顿曾描述过在高山顶上用大炮发射炮弹的运动情形，我们知道，炮弹作抛体运动。按牛顿理论，只要炮弹的初速度足够大，炮弹就能绕地球运动，而不再落回地面，成为地球的卫星。因此落体或抛体运动与地球卫星的运动之间的差别，只不过是初速度不同。今天看来，
这些结果已没有什么希奇，因为已经成功地发射了很多人造地球卫星。但在三百多年前，就认为原则上我们可制造天体那样的运动，是一个非常大胆的想法。
上面的讨论我们只利用了开普勒的第二、第三定律，还应当证明万有引力定律 (5.4-4) 式也符合开普勒的轨道定律。牛顿在 1677 年完成了这个证明，使万有引力理论形成了完整的体系。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的牛顿在他的小传中，总结过自己这一段的工作，他说：“在 1665年开始 …… 我从开普勒关于行星的周期是和行星到轨道中心的距离的 3/2次方成比例的定律，推出了使行星保持在它们的轨道上的力必定和它们与绕行中心之间的距离平方成反比；尔后，把使月球保持在它轨道上所需要的力和地球表面上的重力作了比较，并发现它们近似相同。所有这些发现都是在 1665和 1666的鼠疫年代里作出来的 …… 最后在 1676和 1677年之间的冬季，
我发现了一个命题，那就是 —— 一个行星必然要作一个椭圆形的运动，力心在椭圆的一个焦点上，同时，它所扫过的面积（从力心算起）的大小和所用的时间成正比。”从这个总结中，我们可以看到,“从运动现象研究力，再从力去说明其它现象” 的完整过程。这种物理的研究方法一直沿用到今天。
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3,引力常数利用万有引力的普适性，可以确定 (5.4.5)式中的 k地值。由 (5.4.5)，地球对月亮的引力为：
2
月月地月地 r
mkF?
同理，由万有引力的普适性，月亮对地球的引力应为：
2
月地月地月 r
mkF?
其中 m地 为地球的质量,k月 是和月亮有关的常数。根据牛顿第三定律地月月地 FF
由上两式得：
月月地地
m
k
m
k?
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3,引力常数月月地地
m
k
m
k?
上式左边只与地球有关，而右边只与月亮有关，且两边相等，故其值是一个与地球和月亮都无关的普适常数，
设其为 G，有：
地地 Gmk?
月月 Gmk?
于是地月之间引力为：
2r
mmGF 月地?
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3,引力常数普适的万有引力定律,任何具有质量 m1 和 m2、相距为 r 的两质点之间的引力，总是沿着两质点之间的连线方向，其引力的大小为：
2
21
r
mmGF?
式中 G 是对所有质点都具有相同数值的常数，称为万有引力常数。 m1 和 m2 称为两质点的 引力质量 。为了和引力质量相区别，我们以前定义的质量称为 惯性质量 。由上式可知 G的量纲为：
231
2
2
][
]][[][ TLM
m
rfG
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5.4.3 引力的线性叠加性我们知道，牛顿的万有引力定律 (5.4.15)式是对两个质点而言的。而牛顿在发展引力理论的过程中，重要的一步是把月亮运动和地球上的落体运动统一起来，其关键的问题是牛顿认为地球表面落体运动的加速度可以写成：
2R
Gmg 地?
其中 R 是地球半径。这里有一个很大的疑问，为什么能把地球看成质点？牛顿一开始就意识到这一点，后来，
他给出了严格的证明。下面我们来讨论多质点体系的引力问题。
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5.4.3 引力的线性叠加性如图 5.6所示，在原点有一质量为 m 的质点，空间分布着质量分别为 m1,m2,……,mn
的 n 个质点组成的体系，它们的位置矢径分别为 r1,r2,……,
rn,则我们认为该体系对质点的引力可以写成：
ii
i
i
n rr
mmG irFFFF
221
这在本质上是认为两质点之间的引力作用只与这两质点有关，而与第三者、第四者等等是否存在毫无关系，可以不加顾及。
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5.4.3 引力的线性叠加性这个新的物理内容是引力的一个重要性质，我们称之为 引力的线性迭加性 。于是我们引入的新假定为：
两质点间的引力大小与是否存在其它质点无关。 （即只有两体作用，没有多体作用）
并不是所有的力都有这种性质，譬如，强相互作用就没有这种性质。
做了上述的推广，就可以来讨论牛顿所遇到的问题了。
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5.4.3 引力的线性叠加性考虑一密度均匀的球壳，如图 5.7，它的厚度 t 比它的半径
r 小得多。我们要求出它对球壳外一个质量为 m
的质点 P 的引力。
可以把球壳看成许多小块的集合，每个小块在点 P 上都有作用力，这力的大小应当与该小块的质量成正比，而与它和 P 点之间的距离的平方成反比，方向沿着它们之间的连线。然后，我们再求球壳上所有部分对 P 点的合力。
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5.4.3 引力的线性叠加性设在球壳 A 点处的一小块对 m 的引力为 F1，由球壳的对称性，
我们可以找到与 A 相对称的点 B，该处的一小块对的引力为 F2。
由于对称，故 F1 与 F2 这两个力的竖直分量彼此抵消，而水平分量
F1cosα与 F1cosα相等。通过把球壳分为这样一对一对的小块，我们立刻可以看出，所有作用在 m 上的力的竖直分量都成对地相互抵消了。
为了求出球壳对 m 的合引力，我们只需考虑水平分量。
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5.4.3 引力的线性叠加性
dxx rRR mrGtdF 1 2
22
2
这就是环带上的物质作用在质点 m 上的引力。而整个球壳的作用为上式对所有环带求和，即对 x 从最小值到最大值积分。
1,R > r，即 m 在球外,x 的变化范围是,rRxrR
由于：
rdxx rRrR
R - r
4 12
22
2
2
2 4 R
MmGtr
R
mGF
得：
该结果表明，一个密度均匀的球壳对球壳外一质点的引力，等效于它的所有质量都集中于它的中心时的引力。
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5.4.3 引力的线性叠加性
dxx rRR mrGtdF 1 2
22
2
2,R < r，即 m 在球内,x 的变化范围是：
由于：
得：
rRxRr
0 12
22
dxx rRRr
Rr
0?F
该结果表明,一个密度均匀的球壳对球壳内任一质点的引力为零 ！
为什么会有这样的结果？其原因恰恰是因为引力与两质点之间距离的反平方关系。
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5.4.3 引力的线性叠加性一个密度均匀的球壳对球壳内任一质点的引力为零 ！
这个结果有很大的意义。若假设星际间星球分布均匀，各向同性。则考虑太阳系内情况时，来自太阳系外的引力可以不予考虑。否则难以解释为什么可以忽略无限多的星体在局部范围的引力效应。
现代天文观测的确已逐步证明，宇宙在大尺度的物质分布是相当均匀的。
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应当强调，之所以有上述这些结果，是我们用了引力的迭加性和引力的距离平方反比律。因此上述结果对其他类型的力就不一定成立。
一个实心球体可当作由大量同心球壳所构成。如果各层球壳具有不同密度，但每一球壳都具有均匀密度，则同样的论证也适用于这种实心球体。因此，对于象地球、月球或太阳这类近似于球体的天体来说，在讨论它们的吸引力时，就可以把它们当作质量集中在球心的质点来处理。其实，地球并不是标准的球体，而是有点象梨的形状，“梨”的较小一端在北半球。因此,(5.4-17)式是不严格的。若考虑地球的真实形状，引力表达式将非常复杂。譬如，在地球附近运行的人造地球卫星，明显地偏离了开普勒定律所描述的轨道。
实际上，现代的研究正是利用了这一点。我们是反过来，由人造地球卫星实际轨道对开普勒定律的偏离，来研究地球的形状和质量的分布。
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5.5.1 G的测定
5.5.2 引力的几何性
5.5.3 逃逸速度
5.5.4 引力是什么
§ 5.5 关于万有引力的讨论中国科学技术大学杨维纮
5.5.1 G的测定
1798年，即牛顿发表万有引力定律之后 111年，英国物理学家卡文迪许（ Henry Cavendish，
1731~1810）对做了第一次精确的测量，他所用的是扭秤装置，如图
5.9所示，两个质量均为的直径 5厘米的小铅球被固定在轻杆的两端，
用一根系在杆的中点的极细石英丝把杆沿水平方向悬挂起来，细丝上固定着一面小镜子。
小铅球的附近对称地安放着两个质量为的直径 30厘米的大铅球，这两对大质量和小质量之间的引力使杆在水平面上转动。当石英丝的扭转所产生的弹性恢复力矩恰好与引力力矩平衡时，杆就停在一个平衡方向上，反射光把微小的角偏转放大为光点相当大的位移。
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5.5.1 G的测定根据石英丝扭转的角度可以测出力的强度，从而测定了万有引力常数的数值为 G = 6.754× 10-11米 3
/千克 ·秒 2。他的实验如此精巧，在八九十年间竟无人超过他的测量精度。
万有引力常数是目前测得最不精确的一个基本物理常量，因为引力太弱，又不能屏蔽它的干扰，实验很难做。
1969年 Rose测得的结果为 G = 6.674× 10-11米 3/千克 ·秒 2。
国际科学联盟理事会科技数据委员会 1986年推荐的数值为：
2311 /10)85(67259.6 秒千克米G
其不确定度为 128 ppm（百万分之 128，即万分之 1.28）。
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5.5.1 G的测定卡文迪许把自己的实验说成“称地球的重量”，这是不无道理的（用现代物理教学中严谨的字眼，应该说是
“测量地球的质量”），因为由 (5.4.8)式和 (5.4.13)式可得：
G
gRm 2?
地知道 G 的数值后，利用地球半径以及 g 的数值即可算出地球的质量和地球的平均密度：
千克地 241097.5m
33 /52.54/3 厘米克地 Rm
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5.5.1 G的测定在地球上的实验室里测量几个铅球之间的相互作用力，就可以称量地球，这不能不说是个奇迹。其中的思想基础和牛顿的月地检验是一致的，即相信天上人间服从共同的规律，引力常数的数值都是一样的。要知道，
在那个时代人们并不以为这一点很显然。
有了 G 的数值，我们可以用同样的道理去“称太阳的重量”（即计算太阳的质量）。例如在 (5.4.17)式中，若 g 是地球公转的向心加速度,R 是太阳与地球之间的距离，则所求得的就是太阳的质量。
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5.5.2 引力的几何性若用 m引 和 m惯 分别表示一个质点的引力质量和惯性质量，实验得出：
普适常数惯引?
m
m
1890年实验精度为 10-8,1971年实验精度为 10-11。
当然在 m引 和 m惯 取了合适的单位时，可以让该普适常数为 1。即当我们用 (5.5.1)式定义 G 时，相当于认为惯引 mm?
该式具有深刻的物理意义，我们来作些探讨。由于该式成立，下面我们不再区分引力质量和惯性质量，仅用 m
表示。
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5.5.2 引力的几何性考虑质点 m 在 M 的引力场中运动，如图 5.10，设 M 位于原点,m 的矢径为 r，由运动定律和万有引力定律可得运动方程为：
ar mrrMmG?2
即：
ar?rrMG 2
式中不含有运动物体的质量！于是我们得到结论,在引力场中质点的运动与其质量无关 。
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5.5.2 引力的几何性在引力场中的任何物体，
不管其质料和质量如何，均具有相同的加速度，当初始位置和初始速度相同的情况下，必有相同的运动，包括空间轨道。
因此，在引力场中运动的动力学问题，变成与动力学性质（物性）无关，纯属时空中的几何问题。
于是，零质量物体也会受到引力作用，因而 光在引力场中传播也会弯曲 （广义相对论的结论）。
引力场的几何性是其它力场（如电场、磁场）没有的，
爱因斯坦把 引力场的这一性质看成是纯粹的时空几何属性,
广义相对论就是引力场的几何理论。
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5.5.3 逃逸速度在引力场中质量为 m 的质点的机械能为零时，该质点可以运动到无穷远处。若质点位于质量为 M，半径为
R 的星体表面，则机械能为零时应有：
021 22 RMmGmv
此时质点 m 的速度称为逃逸速度，用 v逃 表示，由上式有：
R
GMv 2?
逃中国科学技术大学杨维纮
5.5.3 逃逸速度星球表面逃逸速度的不同，星球的性质会有很大的不同。
1,行星表面的逃逸速度如果太小，则不可能有大气。
水星,M = 0.056 M地,R = 0.38 R地,v逃 = 4.3km/s,无大气；
金星,M = 0.82 M地,R = 0.95 R地,v逃 = 10.4km/s,90大气压；
地球,M = M地,R = R地,v逃 = 11.2km/s,1大气压；
火星,M = 0.108 M地,R = 0.53 R地,v逃 = 5.06km/s,0.008大气压；
月球,M = 0.012 M地,R = 0.27 R地,v逃 = 2.4km/s,无大气；
2,星球表面的逃逸速度如果太大，以致于达到光速，则称为黑洞。
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5.5.3 逃逸速度大约 200年前，法国数学家、天文学家拉普拉斯于
1796年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它。
由于这个原因，宇宙中最大的发光物体也不会被我们发现。”拉普拉斯的思想可以理解为在这个天体上,v逃 =
c（光速）。将此式代入 (5.5.7)式可得天体的半径为：
2
2
c
GMR
S?
RS 叫做天体的引力半径或史瓦西 (Schwarzchild)半径。
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5.5.3 逃逸速度拉普拉斯的预言并未受到人们的重视，渐渐也就被淡忘了。现在我们知道，按照狭义相对论，一切物体的速度都不能超过光速 c，当 v逃 = c 时，任何物体都逃脱不掉。由广义相对论知，光子也要受到引力的作用，在这样的天体上就连光也传播不出来。这种奇怪的天体就是广义相对论所预言的,黑洞” 。
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5.5.4 引力是什么牛顿万有引力定律的伟大意义不仅在于定律本身在以后年代里所起的作用，而且给人类对其它自然现象的理解指出了希望。然而，万有引力的物理机制是什么？牛顿没有给出任何说明，从那以后也没有人提出过正确的机制，尽管有人试图这样做，最终均以失败告终，事实上，物理定律的抽象性质是其固有的特征，能量守恒是这样，力学中的其它重要定律也是这样，它们仅仅是一些数学定律，无法给出起作用的机制。不过由这些定律出发我们能够发现更多的东西。
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1,引力和惯性具有相同的起因在牛顿的经典物理学中，引力质量和惯性质量相等，
都是时空的性质，因而可以认为,引力和惯性具有相同的起因 。爱因斯坦正是利用这一点提出了他的广义相对论。
引力和惯性力都是万有的，引力只与引力质量有关，
惯性力只与惯性质量有关。它们与物质的其它特性（如电荷、磁荷）均无关。引力质量与惯性质量的严格相等暗示我们，这两种质量是同一个东西。马赫原理与等效原理又告诉我们，引力与惯性力本质上相同。等效原理还进一步告诉我们，当只有引力场与惯性场存在时，任何质点，不论质量大小，在时空中都会描出同样的曲线。
这就是说，质点在纯引力和惯性力作用下的运动，
与它的质量无关。
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1,引力和惯性具有相同的起因于是，爱因斯坦推测，引力效应可能是一种几何效应。
万有引力不是一般的力，而是时空弯曲的表现。由于引力和惯性起源于质量，爱因斯坦认为时空弯曲起源于物质的存在和运动。
这里所说的弯曲空间是与我们所熟知的平直空间相对应的。平直时空是用欧几里得几何描述的，直线在其中占有重要地位。它是两点间的最短线。我们知道，物理上若要给出“直线”的定义，必须同时给出测量方法。
按照牛顿定律，我们不妨认为，自由质点沿“直线”作惯性匀速运动。或者更一般地，光线沿“直线”以光速运动。由上述引力的几何性可知，光线在引力场中会弯曲，这实际上是时空的弯曲。弯曲时空中一般不存在直线，但是，两点间会有最短线或最长线,统称短程线或测地线 。
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1,引力和惯性具有相同的起因伽利略认为惯性运动是一种自由运动。静止和匀速直线运动均属于惯性运动。这一观点毫无疑问是正确的。
但伽利略又认为匀速圆周运动也属于惯性运动。行星之所以能围绕太阳不停地转动，就是因为行星的运动是匀速圆周运动，因而也就是不需要外力的惯性运动。长期以来，人们一直认为这是伽利略的一个失误。然而从广义相对论的角度看，伽利略把行星绕日运动看作惯性运动的观点其实是正确的。
爱因斯坦的广义相对论认为,万有引力不是真正的力，而是时空弯曲的表现。
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1,引力和惯性具有相同的起因行星绕日运动，就是弯曲时空中的自由运动（即惯性运动）。它们在四维时空中描出的轨道是测地线（即短程线）。测地线就是直线在弯曲时空中的推广，或者说测地线就是广义的“直线”。这种弯曲由物质的存在和运动造成。质点在万有引力场中的运动实质上是一种没有受到力的惯性运动。
在平直时空中，惯性运动是直线运动。弯曲时空中没有直线，但有短程线。爱因斯坦认为，质点在万有引力场中的运动，既然是弯曲时空中的惯性运动，就应沿弯曲时空中的“直线”（短程线）进行。广义相对论的基本方程有两个,一个是描述物质如何造成时空弯曲的，
称为场方程；另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动的，称为运动方程。
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1,引力和惯性具有相同的起因物质告诉时空：如何弯曲时空告诉物质：如何运动中国科学技术大学杨维纮
2,引力在天体领域中的主导作用引力如此之弱，是四种基本相互作用中最弱者，但是在天文学和天体物理领域里引力作用起着主导作用。
万有引力和电磁力均属长程作用，但由于致密混和物中存在的电磁相互作用是那样完善地被抵消，总是试图保持正与负的电荷最细致的平衡。这个事实一方面使物质拥有很大的强度和硬度，另一方面作为物质的星体之间的电磁作用力已被降至极其微弱的程度，万有引力变成主宰天体运动的决定性因素。
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2,引力在天体领域中的主导作用一个星体（例如恒星），由于自身引力作用，将收缩呈球状，同时引力势能将转变成热能使其温度升高。温度升高最终导致恒星核心区域的热核聚变，当物质粒子热运动的压力抗衡引力达平衡时收缩停止，粒子热运动的能量来自恒星的热核聚变。
当恒星中心部分的氢全部燃烧掉之后，恒星中部的热核反应就停止了，这时万有引力战胜了热排斥，星体开始收缩。由于恒星表面的温度远低于中心部分（例如太阳中心部分温度为 1500万度，而表面温度只有 6000
度），那里还不曾发生过氢合成氦的热核反应。这时，
随着星体的塌缩，恒星外层的温度开始升高，那里的氢开始燃烧，这就导致恒星外壳的膨胀。
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2,引力在天体领域中的主导作用外壳的膨胀和中心部分的收缩同时进行，中心部分在收缩中温度升高到 1亿度，开始点燃那里的氦，使之合成碳，再合成氧，这些热核反应短暂而猛烈，像爆炸一样，称为,氦闪” 。这种过程大约经历 100万年，在整个天体演化中，这是一个很短的“瞬间”。
此后几亿年中，恒星进入一个短暂的平稳期。当中心部分的氦逐渐燃烧完之后，外层氢的燃烧不断向更外部扩展，星体膨胀得越来越大，膨胀到原来的 10亿倍。由于外壳离高温的中心越来越远，恒星表面的温度逐渐降低，
从黄色变成红色。由于体积巨大，这种红色巨星看来很明亮，称为 红巨星 。
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2,引力在天体领域中的主导作用
50亿年后，我们的太阳也将演化成这样的红巨星，膨胀的太阳将逐步燃烧吞食掉水星、金星和地球。地球的轨道将被包在红巨星之内，海洋将全部沸腾蒸干，地球的残骸将继续在红巨星内部公转，红巨星外层气体灼热而稀薄，比我们实验室中所能得到的最好的真空还要空，所以地球仍能存在，并继续转动。当然，生命已不可能在地球上生存。
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2,引力在天体领域中的主导作用核能源进一步枯竭之后，红巨星将抛出一些气体，
形成,行星状星云” 。一般来说，恒星在望远镜中看是一个点，而行星离地球近，在望远镜中呈现为一个圆面。所谓“行星状星云”，实际上是恒星周围的云状物质，在地球上用望远镜看，像行星一样是一个小圆面，其实与行星毫无关系。这个阶段，红巨星的中心部分将塌缩，形成小而高密、高温的 白矮星 。白矮星温度高，呈白色，体积小，因而亮度小。随着热核反应的逐渐停止，白矮星将逐渐冷却成为 黑矮星,黑矮星是一颗比钻石还要硬的巨大星体。白矮星冷却成黑矮星的过程十分缓慢，可能需要 100亿年左右。可以说，在宇宙间，至今还没有生成一颗黑矮星。
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2,引力在天体领域中的主导作用白矮星的质量有一个上限，称为钱德拉塞卡极限，
它等于 1.4倍的太阳质量。不存在大于该极限的白矮星。
这是因为质量超过钱德拉塞卡极限的星体在塌缩成白矮星时，内部电子的运动速度会接近光速，成为相对论电子气。这时电子气的简并压强（即泡利不相容原理产生的排斥力）会减小，以至于抵抗不住星体自身的万有引力，星体将进一步塌缩，电子将被压人原子核中，与其中的质子中和生成中子，成为 中子星 。中子星与白矮星有些类似，它不是靠热排斥或电磁作用来抗衡引力，而是靠中子间的简并压强（泡利斥力）
来抗衡引力。
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2,引力在天体领域中的主导作用中子星也有一个质量上限，称为奥本海默极限，大约为 3～ 4倍的太阳质量。超过这一极限的中子星不稳定，会进一步塌缩形成黑洞 。这颗星从此消失，没有任何信息可以从它的内部传到外部世界。
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3,热与引力热和引力是任何物质都有的两种最普遍的属性。而且，只有这两种属性是任何物质都有的，找不出第三种。电磁相互作用只出现在带有电荷、磁荷的物体之间，强作用只出现在强子之间，弱作用也不是任何微观粒子之间都存在。但是，万有引力是万有的，任何物质都有。热运动也是万有的，任何物质都有。
万有引力不可屏蔽，热运动也不可屏蔽，所谓的绝热壁只不过是一种想象的东西。
恒星和星系之所以能够存在，是靠着万有引力把物质凝聚在一起，又靠着热运动的排斥作用，而使物质不至于在引力下无限制地塌缩。热与引力，是维持恒星和星系生存的一对矛盾，一个起排斥作用，另一个起吸引作用，最后达到一定的平衡。
特别值得注意的是，当通常的热运动停止下来，星体只剩下万有引力的吸引作用而彻底塌缩时，形成的黑洞居然会有温度出现，
居然会有辐射产生。
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3,热与引力可见，热与引力具有深刻的本质联系。不能把引力与电磁力、强力、弱力等同看待，引力不是真正的力，它不仅是时空的弯曲，而且与热不可分割。
物理学中有两个特别值得注意的领域：
一个是广义相对论，一个是热力学。
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3,热与引力除去广义相对论之外的所有物理领域（包括热力学），都把时空看作不依赖于物质及其运动的背景和舞台。时空永远是平直的，像个空架子，不受物质和运动的影响。所有物质都在平直不变的时空背景下运动，展现自己的规律。只有广义相对论，认为时空背景不能脱离物质和运动。它们之间相互影响，物质和运动会使时空弯曲。换句话说,只有广义相对论中的时空是弯曲的，其它所有物理领域中的时空都是平直的。
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3,热与引力另一方面，除去热力学之外的所有物理领域（包括广义相对论），都不认为时间有方向，
都是可逆的。时间反演成立的理论，都是绝对零度的理论。 只有热力学，它的第二定律显示出时间箭头，认为时间有方向，认为真实的物理过程应该是不可逆的。 它的第三定律告诉我们，真实的物理过程不应该处在绝对零度。
这两个具有鲜明特色的理论，其实存在着本质的 联系。
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3,热与引力任何不考虑“热”的引力研究都会碰到不可逾越的困难。 广义相对论中的奇点困难就是其中之一。 广义相对论的场方程本质上是绝对零度的方程。在不考虑热效应的情况下，得出了奇点定理，导致了严重的奇点困难。广义相对论中的另一个基本困难，引力场量子化的困难，也可能与不考虑“热”有关。如果讨论有限温度下的引力理论，也许能同时克服奇点困难和引力场量子化中碰到的困难。
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3,热与引力另一方面，狭义相对论的热力学理论至今存在问题，更不用说广义相对论的热力学了。
一个匀速运动的物体，与静止的同种物体相比，
其温度升高。降低还是不变？现在居然有三种答案，而且谁也说服不了谁。实际上，热学理论至今未能纳入相对论的框架。爱因斯坦在
1905年之后，碰到了万有引力定律纳不进相对论框架的困难。今天我们碰到了类似的困难，
并且也许是更大的困难。
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3,热与引力在热学中，把温度每升高一度所需的热量叫做物体的热容量。研究结果表明，对于引力系统，需要减少能量来提高它的温度，这就是说，它的“热容量”是负的。
负热容的系统是不稳定的，它没有平衡态。
一个通常的热力学系统处在一种较冷的介质中时会损失能量。它的温度降低而介质的温度升高，直到实现平衡为止，我们说这个系统有正热容。量子黑洞的行为则正相反，它失去能量时温度升高，反之亦然。如果周围介质的温度较高，黑洞就总是倾向于吸收能量，增大尺度，因而冷却，直至所有可得到的能量都已被吸收为止。反过来，如果介质温度较低，它就辐射，减小尺度，
直至蒸发和消散掉自己所有的能量为止。这就是说，黑洞有着负热容，因而它根本上是不稳定的。
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3,热与引力所有平衡只依赖于引力的系统，不论是量子系统与否，都是不稳定的。例如，在围绕地球轨道上的人造卫星会由于大气摩擦而损失引力能，因而沿螺旋线缓慢地朝地球下落。在这个过程中其速度和动能是增大的，所以它不能获得一个稳定轨道，最后只能坠落到地球上。
大家在后续的热力学课程中会学到热力学的第二定律，它的一个推论是,热寂说”,这是一个无论从理智上和感情上都令人难以接受的结论。在 100多年里虽遭到许多物理上和哲学上的批判，但大多没有击中要害。现在我们清楚了，“热寂说”的要害是没有充分考虑引力的作用，宇宙是个引力系统，根本没有平衡态，从而热力学的前提对宇宙从头起就不适用。不过，对该问题的深入探讨已远远超出了本课程的范围。
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§ 5.6 质点在有心力场中的运动质点在有心力场中的运动问题是常见的，如小物体在大物体的万有引力、库仑力或分子力等作用下的运动问题都是质点在有心力场中的运动问题，因为此时力的中心
（大物体）可近似视为固定。即使是一般的两个物体的运动，只要它们远离其他物体，它们之间的作用力又沿着它们的连线，且仅与两者间距离有关，它们的运动也可以利用约化质量（参见第四章 4.4.3节）化为单个物体在固定力心的有心力场中的运动问题。
rF?)( rf?
这样的有心力称为 中心对称有心力 。当 f ( r ) > 0 时,F
为斥力； f ( r ) < 0时,F 为引力，我们主要讨论质点在这种中心对称有心力作用下的运动。为叙述简单起见，
以后我们讲有心力，就是指中心对称有心力。
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程
5.6.2 有心力问题的定性处理，有效势能与轨道特征
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
§ 5.6 质点在有心力场中的运动中国科学技术大学杨维纮
5.6.1 研究有心力问题的基本方程设物体（视为质点）的质量为 m，在有心力 F 作用下，其运动方程为：
rr?)( rfm
由于有心力是保守力（参见第四章 4.3节），故在有心力场中质点运动的一般特征为：
1,运动必定在一个平面上。（因为角动量守恒或掠面速度守恒）
2,质点的机械能守恒。（因为保守力场可以定义势能）
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程显然，讨论质点在有心力场中的运动，选平面极坐标系比较方便。方程 (5.6.3)沿径向和横向的分量式为：
)()( 2 rfrrm
0)2( rrm
考虑其第二式，容易验证，它可以改写成：
0)(1 2mrdtdr lmr2
上式实际上是角动量守恒。这是因为：
)()(? 2 rrrvrl mrrrmrm
令,mhl?
其中 h 是有物理意义的，它为质点掠面速度的两倍，当然应为常量中国科学技术大学杨维纮
5.6.1 研究有心力问题的基本方程角动量守恒,hr2
将 (5.6.10)式代入方程 (5.6.4)，得：
drrfdrrhrdrm )()( 3
2
积分，得：
ErUrmhrmrUrmhrm )( 221)( 221 02
0
2
2
02
2
2
其中 U( r)为质点在保守力场中的势能，即：
)]()([)( 0
0
rUrUdrrfrr
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程将 (5.6.10)代入 (5.6.12)消去 h，得：
ErUmrrm )(2121 222
角动量守恒,hr2
机械能守恒质点在有心力场中运动的牛顿方程 (5.6.4),(5.6.5)，
含有二阶微商，而上述方程只含有一阶微商，用它们取代方程 (5.6.4),(5.6.5)，比较容易研究，且物理意义也十分清楚。下面我们就用这两个方程作为我们研究有心力问题的基本方程。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
ErUrmhrm )( 221 2
2
2?
令：
2
2
2)()( r
mhrUrU
e f f
表示这等效的一维运动质点的势能，称为 有效势能 。
有效势能由两部分组成,mh2/2r2 是一等效的斥力势能，它对应一斥力 mh2/r3 作用在质点上； U( r) 则视有心力的具体形式决定。利用方程 (5.6.15)可以进行一维定性分析，通过对有效势能的分析可以给出各种复杂有心力情况下的轨道在空间中的分布。
下面仅就引力场情况对轨道特征作些定性讨论。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征对于在力源 M 的万有引力作用下的质点，其势能为
r
MmGrU)(
于是有效势能为：
r
MmG
r
mhrU
e f f 2
2
2)(
机械能守恒：
ErUrmhrm )( 221 2
2
2?
图 5.11画出了对应的势能曲线，其中虚线分别为等效的斥力势能曲线和引力势能曲线，实线为有效势能曲线，
它由斥力势能和引力势能两曲线叠加而成。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征利用有效势能曲线可以讨论质点运动矢径大小的变化范围，
此范围取决于质点的总能量 E。
代表总能量为 E 的水平线与有效势能曲线相交的点叫做 拱点 。
在拱点处 r 取极值，那里径向速度 vr = 0，只有角向速度，将代入 (5.6.18)得：
0?r?
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
由该式可求得拱点处的 r 值。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征由于 r→∞ 时等效斥力势能趋于 0的速度比 U( r) 的绝对值快，故有效势能曲线当 r→∞ 时是从负的一侧趋于 0的。所以 E
> 0 和 E = 0 时水平线与有效势能曲线只有一个交点，在这里 r
取极小值；另一头轨道是开放的,r 延伸到无穷远。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E1 > 0，由有效势能曲线图可知 r 有最小值 r1，但最大值无限制，即 r1≤ r <∞。由方程
(5.6.18)可求得 r 只有一个正根，
为：
E
mh
E
MmG
E
MmGr
222
22
1
可以证明，此轨道为一双曲线。
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E2 = 0，由有效势能曲线图可知 r 有最小值 r2，但最大值无限制，即 r2≤ r < ∞。 r2 比 r1
略大，由方程 (5.6.18)可求得 r
只有一个正根，为：
可以证明，此轨道为一抛物线 。
GM
hr
2
2
2?
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E3 < 0,由有效势能曲线图可知 r 是有界的，即 r3min≤ r ≤
r3max，由方程 (5.6.19)可求得：
E
mh
E
MmG
E
MmGr
222
22
m a x3
E
mh
E
MmG
E
MmGr
222
22
m i n3
可以证明，对应的轨道为一椭圆，力心为椭圆的一个焦点。
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E4 为有效势能曲线的最小值点，则 r = r4，该值为方程
(5.6.19)的重根，利用条件
022
22
EmhEMmG
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
即：
222 2/ hmMGE
于是可求得方程 (5.6.19)的重根为：
GM
hr
2
4?
即质点 m 到力心 M 的距离恒定不变，对应的轨道为圆。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征中国科学技术大学杨维纮
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
1,运动的详尽情况
ErUrmhrm )( 221 2
2
2?
2r
h
2
2)(22
r
h
m
rU
m
E
dt
dr dt
r
h
m
rU
m
E
dr
2
2)(22
)(trr? )(t
应当指出，有时并不能得到显函数形式的 (5.6.30)、
(5.6.31)，这是因为方程 (5.6.29)的积分可能不能写成有限形式。其解决的途经有二：
1,求出 r,θ关于 t 的隐函数表达式；
2,数值求解方程 (5.6.29),(5.6.27)
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5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2,轨道问题如果要求比较低，并不要求掌握质点运动的详尽情况，而仅仅要求轨道。则计算工作量自然要减轻不少。
d
d
r
h
d
d
dt
d
dt
d
2
ErUrmhddrrmh )(22 2
22
4
2
d
r
l
m
rUEr
hdr?
2
2
2 )]([2
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5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2,轨道问题如果不想通过 U( r) 绕弯子，则应将方程 (5.6.4)、
(5.6.5)作为基本方程组，从中消去 t 来求解。
)()( 2 rfrrm
通常作变换：
ru /1?
利用 (5.6.32),(5.6.35)可得：
2
2
222
2
2
2
2
1
d
ud
uh
d
du
m
l
d
d
hu
d
du
h
dt
d
dt
rd
d
du
h
ud
d
hu
d
dr
r
h
dt
dr
消去 t，得：
hr2
m
fu
d
uduh
2
2
22
此即轨道的微分方程，称为 比内公式 。
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5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2,轨道问题只要知道 f( r)的表达式，即可求得轨道方程式；反之，若已知轨道方程，则可以求得 f( r)的表达式。
m
fu
d
uduh
2
2
22
例如，对于万有引力
2
2 GM mur
MmGf
0
22
2 1
rh
GMu
d
ud
解为：
)co s (1 0
00
rru
c o s1 0 rr
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中国科学技术大学杨维纮第五章 角动量定理
§ 5.1 孤立体系的角动量守恒
§ 5.2 质点系角动量定理
§ 5.3 质心系的角动量定理
§ 5.4 万有引力
§ 5.5 关于万有引力的讨论
§ 5.6 质点在有心力场中的运动中国科学技术大学杨维纮
§ 5.1 孤立体系的角动量守恒第三章我们介绍了与平动相联系的守恒量 —— 动量，
对于转动我们希望能找到这样一个物理量 —— 角动量，
它具备以下的条件：
1,若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非零值表示质点关于该空间点作转动；
2,对于孤立体系，它保持守恒。
下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
§ 5.1 孤立体系的角动量守恒中国科学技术大学杨维纮
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度单质点的孤立体系就是不受外力作用的自由质点，它作匀速直线运动（我们取惯性参考系，且静止看成是匀速直线运动的特例）。
如图 5.1，设该质点位于 P
点，沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动，在相等的时间间隔 ⊿ t
的位移是 ⊿ s = v⊿ t。
我们在 AB 上取一个参考点 Q，随着 P 点的运动，
由于 QP 的方向不发生改变，故 P 点相对于 Q 点没有转动。但如果参考点取不在 AB 上的点，譬如 O 点，由于
OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于
O 点有转动。我们现在来寻找守恒量。
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度由图可见，各时间间隔 ⊿ t
内矢径 r 扫过的那些小三角形具有公共的高线 OH，因而有相等的面积，于是我们找到的守恒量是：矢径 r 在单位时间内扫过的面积 S，我们称 该面积 S 为质点
P 的 掠面速度 。设矢径 r 与 AB
线的夹角为 θ，故对单质点的孤立体系有：
常量 s i n21s i n21 rvtsrS
该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微商为零：
0?dtdS
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度当然，上面所考虑的只是平面运动的情况，对于单个的自由质点，它只可能在某个平面上运动。但是我们接下来要考虑多个质点，仅考虑某一个平面就不行了，我们可以利用矢量运算法则，将掠面速度定义为与该平面垂直的矢量。即：
vrS 21
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量对于两个质点的孤立体系，
它们虽然不受外力作用，但两个质点之间是有作用力的。我们现在来寻找守恒量，首先我们能想到的是它们每个质点掠面速度的和。为此，在空间建立惯性参考系，如图 5.2，两个质点的质量分别为 m1,m2，其位矢和速度分别为 r1,r2 和 v1,v2 。设其掠面速度分别为 S1,S2,有：
111 2
1 vrS
222 2
1 vrS
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量而掠面速度对时间的微商为：
dt
d
dt
d
dt
d i
iiii
vrvrS
2
1
2
1
dt
d i
iii
vrvv
2
1
2
1 d i
i
vr
2
1
其中 i =1,2。为了对上式中的 i
求和，我们列出质点运动的牛顿方程：
ffv 12dtdm 11 ffv 2 122 dtdm
frvrS 1
1
1
1
1
2
1
2
1
mdt
d
dt
d frvrS
2
2
2
2
2
2
1
2
1
mdt
d
dt
d
021 dtddtd SS
因 m1,m2 可以为任意值，故中国科学技术大学杨维纮
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量但从前几式可看出：
0)()22( 212211 frrSS mmdtd
其中利用了牛顿第三定律,f 的方向沿两质点 m1,m2 的连线，
即 f // (r1﹣ r2 )。于是我们找到了守恒量：
2211 22 SSL mm
常矢量 222111 vrvr mm
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量称为 单个质点对于原点的角动量 或 动量矩 ；
定义,prvrl m
ii
i
iii
ii
i m prvrlL
称为 体系对于原点的角动量 或 动量矩 。
由上述的推导可知,两个质点孤立体系的角动量守恒。
对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结论，我们在下一节介绍。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
1,角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积，
因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确定的平面，其指向由右手定则决定。
2,单个质点的角动量与其掠面速度成正比，比例系数为其质量的两倍。
3,角动量是相对给定的参考点定义的，且 参考点在所选的参考系中必须是固定点,对不同的参考点体系的角动量是不同的。通常我们把参考点取为坐标原点，这时的角动量的定义才如 (5.1.12),(5.1.13)式所示。
4,角动量的单位是千克 ·米 2 /秒，量纲为 ML2T -1
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5.2.1 质点角动量定理
5.2.2 质点系角动量定理
5.2.3 角动量守恒定律与空间各向同性
§ 5.2 质点系角动量定理中国科学技术大学杨维纮
§ 5.2 质点系角动量定理
5.2.1 质点角动量定理我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。
在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r，
动量为 p，角动量为 l，有：
prvrlpF mdtd,
角动量对时间的变化率为：
)( prl dtddtd dtddtd prpr Frpv
Fr
定义,M = r× F 称为 力 F 对于原点的力矩 。
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5.2.1 质点角动量定理于是 (5.2.2)式又可写为：
Ml?dtd
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。这就是 质点角动量定理 的微分形式。对上式积分，得：
0
0 llM dt
t
力矩对时间的积分 称为 冲量矩 。上式表示质点角动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。
dtt M? 0
不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量形式。
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5.2.1 质点角动量定理例 5-1：讨论行星运动性质解,取太阳为原点建立坐标系，设太阳和行星的质量分别为 m2,m1，利用第四章 4.4.3节中引入的约化质量
μ= m1 m2/(m1+ m2),就可以将该参考系视为惯性系，则行星受到的力矩为 M = r× F = 0，故 l = r× μv = 不变量，或掠面速度 S = r× v/2 = 不变量。故有：
1,行星轨道是一条平面曲线。（因 S 的方向不变）
2,行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。（因
S 的大小不变）
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5.2.2 质点系角动量定理设体系有 n 个质点。
nnnnnnn
n
n
n
Fffffp
fFffp
ffFfp
fffFp
)1(321
3332313
2232212
1131211
令
iiiiiii m FrMvrl,
分别表示体系内第 i 个质点的角动量和所受的外力矩
ijiij frM
表示第 j 个质点对第 i 个质点的内力产生的力矩
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d i
iiiiiiii
prprprprl )(
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5.2.2 质点系角动量定理用 ri× (5.2.5)的第 i 个方程，得：
iniiiiiiiidt
d MMMMMMl
)1()1(21
由牛顿第三定律知,)/ / (
jiij rrf?
于是可得,0)( ijjijijijijiij frrfrfrMM
将 (5.2.6)式对求和，并利用 (5.2.7)式可得：
nndt
d MMMlll
2121 )(
令：
nn MMMMlllL 2121,
则 L 为体系的总角动量,M 为体系所受的总外力矩。
于是 (5.2-9)为：
ML?dtd
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5.2.2 质点系角动量定理
ML?dtd
即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩之和。这就是 体系角动量定理的微分形式 。
对 (5.2.10)式积分，可得体系角动量定理的积分形式：
0
0 LLM dt
t
体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的。
角动量守恒定律,当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
1,关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况：
(1) 对孤立体系，体系不受外力作用 Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。但一般讲来，当体系受外力作用时，即使外力的矢量和为零，外力矩的矢量和未必为零，力偶就是这种情况。
(2) 所有的外力通过定点，关于该点每个外力的力矩皆为零，因而总外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。
(3) 每个外力的力矩不为零，但总外力矩 M = 0。如重力场中重力对质心的力矩。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
2,角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定律或能量守恒定律中。
3,角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒。
(1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量；
(2) 当 My = 0，则 Ly = 常量；
(3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
4,角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。
我们知道，银河系呈扁平的圆盘形结构。观察表明，还有许多星系也呈圆盘形。这可能与角动量守恒有关。银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒
（ r2ω=常量）要求转速随 r 的减小而增大 ω∝ r -2，因而使离心力增大（离心力 ∝ v2/r = rω2∝ r -3），它往往比引力增大（引力
∝ r -2）得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
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5.2.3 角动量守恒定律与空间各向同性如第四章 4.7.3节里一样，我们仍考虑一对粒子 A 和 B。固定 B，将 A
沿以 B 为圆心的圆弧 ⊿ s 移动到 A/（如图 5.4），从而相互作用势能改变：
sV AB 切)( f
空间各向同性意味着，两粒子之间的相互作用势能只与它们的距离有关，与二者之间联线在空间的取向无关。所以上述操作不应改变它们之间的势能，从而 ⊿ V = 0，即相互作用力的切向分量：
或者说，“两粒子之间的相互作用力沿二者的联线”。
这说法与“角动量守恒”是等价的。于是，我们从空间的各向同性推出了角动量守恒定律。
0)(?切ABf
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5.3.1 质心系的角动量定理
5.3.2 体系的角量与质心的角动量
§ 5.3 质心系的角动量定理中国科学技术大学杨维纮
§ 5.3 质心系的角动量定理
5.3.1 质心系的角动量定理由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。
如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。
因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成立。
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5.3.1 质心系的角动量定理设 LC 为质心系中体系对质心的角动量,MC为外力对质心的力矩,MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
dt
d C
CC
LMM
惯由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为：
0)()( ararM iCiiiCC mm惯
dt
d C
C
LM?
即：
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍然适用。
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5.3.1 质心系的角动量定理在这里我们再一次看到质心系的独特优越性。行星绕太阳运动时，把太阳看成静止是一种近似。利用第四章 4.4.3节的约化质量虽然精确，但是只能处理两体问题。对于多体问题，当行星的质量与太阳质量相比不能忽略，或者我们求解问题要求高精度时，都应该考虑太阳的运动，在这种情况下用质心系就能显示其优点了。
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5.3.2 体系的角量与质心的角动量虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往往还是一个运动的点。
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5.3.2 体系的角量与质心的角动量设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量为 LC，则有：
)]()([) ( iCCiiCC
iiiii
mm vvrrvrL
iCiiCCiiCiCiCCiC
i
mmmm vrvrvrvr
) ( iCiiC
i
CiCi
i
iCi
i
CCCC mmmm vrvrvrvr
) ( iCiiC
iCCC
mm vrvr
CCCC m vrL
) ( iCiiC
iCM
m vrL
令,称为质心角动量称为体系相对于质心的角动量则有：
CMC LLL
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心的角动量之和。
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§ 5.4 万有引力在西方，一些物理学家提出这样的问题：如果一个人未读过莎士比亚的著作，会被人认为没有教养；但是一个人不知道牛顿、爱因斯坦的理论，却不被看做没有文化。这不奇怪吗？于是他们仿照
“艺术欣赏”、“歌剧欣赏”那样，在大学文科开设起“科学欣赏”、“物理欣赏”课来。
在我国，情况可能更是这样。在一般人心目中，物理是那样枯燥，那样难懂，难道还有什么可欣赏的？其实物理学是优美的，
它的美表现在基本物理规律的简洁和普适性。然而这些规律的外在表现（各种物理现象）却往往非常复杂。物理学的规律是有层次的，
层次越深，则规律越基本，就越简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。
物理学的简洁性是隐蔽的，它所具有的是深奥而含蓄的内在美。
不懂得它的语言，是很难领会到的。天文学先于物理学，事实上物理学的发端始于对理解星体运行的追求。万有引力定律的发现堪称一部逐步揭示物理规律简洁美的壮丽史诗，让我们从开普勒谈起。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
5.4.2 牛顿的理论
5.4.3 引力的线性叠加性
§ 5.4 万有引力中国科学技术大学杨维纮
5.4.1 开普勒的行星运动三定律在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运动现象就是行星的运行。肉限可以看到五颗行星：水、金、火、
木、土。对这五颗行星的运动有过长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（ Tyeho Brahe,1546~1601）连续进行了二十年的仔细观测、记录，他的学生开普勒（ Kepler
Johamnes,1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析这些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律：
1,所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆的一个焦点上。这称为 轨道定律 。
2,任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积。这称为 面积定律 。
3,任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨道的半长轴的立方成正比，即,T∝ r3/2 (式中,T 是行星运动的周期； r 是椭圆轨道的半长轴。这称为 周期定律 。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律开普勒本人在得到上述的行星运动的规律之后，
也曾企图寻找运动的原因，
来解释行星运动的现象。
但是他并不着眼于力，而是着眼于 对称性 。开普勒首先要解释各行星半长轴为什么取某些特定值。他认为这是 宇宙的对称 和 和谐 的表现。他设计了一个由正多面体构成的宇宙。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律如图 5.5所示，土星的轨道在最外的一个大圆上；
在该球内作一内接的 正六面体,木星轨道在该六面体的内切球面上；
在这球内再作一 正四面体,火星轨道则在该四面体的内切球面上；
相继地，再在这球面内作一内接正十二面体,地球轨道在这十二面体的内切球面上；
再继续作一内接的 正二十面体,金星轨道就在二十面体的内切球面上；
最后，作内接的 正八面体,其内切球面就是水星的轨道所在之处。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律我们知道，正多面体的种类是不多的，只有 5种，所以开普勒相信行星只有 6颗，用上述的一系列正多面体的套装，开普勒能给出符合观测的行星轨道半径之间的比例（只是水星和木星的情况有显著的偏差），
不能不说这是一个很有意义的尝试。
虽然现在已经证明，开普勒的解释并不正确，但是这个事例告诉我们，“从运动的现象去研究对称性”确是一种有价值的方法。在一些现代物理的研究中往往是首先着眼于对称性的。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律开普勒获此结果欣喜若狂，他不加掩饰他说：“十六年了，我立志要探索一件事，所以我和第谷结合起来,…… 我终于走向光明，认识到的真理远超出我最热切的期望。如今木已成舟，书已完稿。至于是否现在就有读者，抑或将留待后世？正像上帝已等了观察者六千多年那样，我也许要整整等上一个世纪才会有读者。对此我毫不在意。”
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律把 20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的,天机” 。 我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力；
而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小，
开普勒的周期定律给出了定量的描述。
开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
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5.4.2 牛顿的理论牛顿在他的划时代的著作,自然哲学的数学原理,中写道：我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因为哲学的全部责任似乎在于 —— 从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其他的现象。
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1,引力的表达式由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看作圆形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有向心加速度 a = v2/r,其中 v 是行星的速率； r 是圆轨道的半径。根据开普勒第三定律,T∝ r3/2，而 v =2πr/T，故
rr
rv 1
2/3
于是：
2
1
ra? 2 r
mmaF
其中 m 是行星的质量。取比例系数为 k，则得：
2 r
mkF?
显然,k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重要结果,如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和的平方成反比。
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1,引力的表达式在牛顿之前，也有人提出过引力应遵循平方反比律，但那并不是基于力的明确定义而得到的，只是一种猜测，或者是从几何类比推出。在牛顿体系中，
力具有定量的定义，由运动学规律及太阳是行星运动原因的假设，平方反比律就是必然的结论了。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的,即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万有引力 。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性就是基于这种统一观的一种猜测。
如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么，
地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引行星的力那样。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的地球对月亮的吸引力应为：
2
月月地月地 r
mkF?
其中 r月 为月亮绕地球公转的半径,m月 为月球的质量，
k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月亮绕地球公转所需的向心力，即：
222 2
T
r
r
m
r
vmF 月月月月月月月地
其中,v月 为月球的公转速度,T 为月亮绕地球的公转周期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为：
mgRmkF 2地其中,m 是物体的质量,R 是地球半径，于是得：
2gRk?地中国科学技术大学杨维纮
2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的
2
月月地月地 r
mkF?
222 2
T
r
r
m
r
vmF 月月月月月月月地
2gRk?地于是得：
2
2
2 2?
T
r
r
m
r
mgR 月月月月月?
即：
2
22
3
4?
gTRr?
月该式就是从引力普适性得出的预言。在这个关系式中，
所有量都是可测量的，因此，可以用实验加以检验。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的
2
22
3
4?
gTRr?
月其中有关量的数值为,R = 6400千米,g = 9.8米 /秒 2,T =
27天 7小时 43分或 27.3215天,r月 = 384000 千米，这些测量结果能很好地满足该式，这就验证了万有引力假设的正确性。
早在 1665年，牛顿就得到了该式，当时的测量数据是：古希腊的天文学家伊巴谷（ Hipparchus）通过观测月全食持续的时间（即月球通过地球阴影的时间），相当精确地估算出月亮与地球之间的距离是地球半径的 60倍；
地球表面大圆弧上一度为 60 mile（ 1mile = 1609.3米，这是当时海员们通用的计算方法），得到地球半径为 3500
mile，即 5632公里；牛顿发现这些数据并不满足上式。
因而，牛顿并没有及时发表他的成果。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的直到后来，天文学家重新测定了地球半径，发现以前的观测值错了。牛顿用新的数据再进行计算，所得结果完全符合 (5.4.9)式。这可能是牛顿推迟于 1685年发表他的万有引力理论的一个原因。
牛顿的上述论证说明，地上物体的运动规律与月亮运动的规律实质上是一样的。这个结果的意义很重大，
它打破了亚里士多德关于天上运动和地面运动是本质不同的两类运动的基本观念。按照牛顿的理论,天体运动与地面运动之间并无根本的差别，也没有不可渡过的界限。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的牛顿曾描述过在高山顶上用大炮发射炮弹的运动情形，我们知道，炮弹作抛体运动。按牛顿理论，只要炮弹的初速度足够大，炮弹就能绕地球运动，而不再落回地面，成为地球的卫星。因此落体或抛体运动与地球卫星的运动之间的差别，只不过是初速度不同。今天看来，
这些结果已没有什么希奇，因为已经成功地发射了很多人造地球卫星。但在三百多年前，就认为原则上我们可制造天体那样的运动，是一个非常大胆的想法。
上面的讨论我们只利用了开普勒的第二、第三定律，还应当证明万有引力定律 (5.4-4) 式也符合开普勒的轨道定律。牛顿在 1677 年完成了这个证明，使万有引力理论形成了完整的体系。
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2,认为这种引力是万有的、普适的、统一的牛顿在他的小传中，总结过自己这一段的工作，他说：“在 1665年开始 …… 我从开普勒关于行星的周期是和行星到轨道中心的距离的 3/2次方成比例的定律，推出了使行星保持在它们的轨道上的力必定和它们与绕行中心之间的距离平方成反比；尔后，把使月球保持在它轨道上所需要的力和地球表面上的重力作了比较，并发现它们近似相同。所有这些发现都是在 1665和 1666的鼠疫年代里作出来的 …… 最后在 1676和 1677年之间的冬季，
我发现了一个命题，那就是 —— 一个行星必然要作一个椭圆形的运动，力心在椭圆的一个焦点上，同时，它所扫过的面积（从力心算起）的大小和所用的时间成正比。”从这个总结中，我们可以看到,“从运动现象研究力，再从力去说明其它现象” 的完整过程。这种物理的研究方法一直沿用到今天。
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3,引力常数利用万有引力的普适性，可以确定 (5.4.5)式中的 k地值。由 (5.4.5)，地球对月亮的引力为：
2
月月地月地 r
mkF?
同理，由万有引力的普适性，月亮对地球的引力应为：
2
月地月地月 r
mkF?
其中 m地 为地球的质量,k月 是和月亮有关的常数。根据牛顿第三定律地月月地 FF
由上两式得：
月月地地
m
k
m
k?
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3,引力常数月月地地
m
k
m
k?
上式左边只与地球有关，而右边只与月亮有关，且两边相等，故其值是一个与地球和月亮都无关的普适常数，
设其为 G，有：
地地 Gmk?
月月 Gmk?
于是地月之间引力为：
2r
mmGF 月地?
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3,引力常数普适的万有引力定律,任何具有质量 m1 和 m2、相距为 r 的两质点之间的引力，总是沿着两质点之间的连线方向，其引力的大小为：
2
21
r
mmGF?
式中 G 是对所有质点都具有相同数值的常数，称为万有引力常数。 m1 和 m2 称为两质点的 引力质量 。为了和引力质量相区别，我们以前定义的质量称为 惯性质量 。由上式可知 G的量纲为：
231
2
2
][
]][[][ TLM
m
rfG
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5.4.3 引力的线性叠加性我们知道，牛顿的万有引力定律 (5.4.15)式是对两个质点而言的。而牛顿在发展引力理论的过程中，重要的一步是把月亮运动和地球上的落体运动统一起来，其关键的问题是牛顿认为地球表面落体运动的加速度可以写成：
2R
Gmg 地?
其中 R 是地球半径。这里有一个很大的疑问，为什么能把地球看成质点？牛顿一开始就意识到这一点，后来，
他给出了严格的证明。下面我们来讨论多质点体系的引力问题。
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5.4.3 引力的线性叠加性如图 5.6所示，在原点有一质量为 m 的质点，空间分布着质量分别为 m1,m2,……,mn
的 n 个质点组成的体系，它们的位置矢径分别为 r1,r2,……,
rn,则我们认为该体系对质点的引力可以写成：
ii
i
i
n rr
mmG irFFFF
221
这在本质上是认为两质点之间的引力作用只与这两质点有关，而与第三者、第四者等等是否存在毫无关系，可以不加顾及。
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5.4.3 引力的线性叠加性这个新的物理内容是引力的一个重要性质，我们称之为 引力的线性迭加性 。于是我们引入的新假定为：
两质点间的引力大小与是否存在其它质点无关。 （即只有两体作用，没有多体作用）
并不是所有的力都有这种性质，譬如，强相互作用就没有这种性质。
做了上述的推广，就可以来讨论牛顿所遇到的问题了。
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5.4.3 引力的线性叠加性考虑一密度均匀的球壳，如图 5.7，它的厚度 t 比它的半径
r 小得多。我们要求出它对球壳外一个质量为 m
的质点 P 的引力。
可以把球壳看成许多小块的集合，每个小块在点 P 上都有作用力，这力的大小应当与该小块的质量成正比，而与它和 P 点之间的距离的平方成反比，方向沿着它们之间的连线。然后，我们再求球壳上所有部分对 P 点的合力。
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5.4.3 引力的线性叠加性设在球壳 A 点处的一小块对 m 的引力为 F1，由球壳的对称性，
我们可以找到与 A 相对称的点 B，该处的一小块对的引力为 F2。
由于对称，故 F1 与 F2 这两个力的竖直分量彼此抵消，而水平分量
F1cosα与 F1cosα相等。通过把球壳分为这样一对一对的小块，我们立刻可以看出，所有作用在 m 上的力的竖直分量都成对地相互抵消了。
为了求出球壳对 m 的合引力，我们只需考虑水平分量。
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5.4.3 引力的线性叠加性
dxx rRR mrGtdF 1 2
22
2
这就是环带上的物质作用在质点 m 上的引力。而整个球壳的作用为上式对所有环带求和，即对 x 从最小值到最大值积分。
1,R > r，即 m 在球外,x 的变化范围是,rRxrR
由于：
rdxx rRrR
R - r
4 12
22
2
2
2 4 R
MmGtr
R
mGF
得：
该结果表明，一个密度均匀的球壳对球壳外一质点的引力，等效于它的所有质量都集中于它的中心时的引力。
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5.4.3 引力的线性叠加性
dxx rRR mrGtdF 1 2
22
2
2,R < r，即 m 在球内,x 的变化范围是：
由于：
得：
rRxRr
0 12
22
dxx rRRr
Rr
0?F
该结果表明,一个密度均匀的球壳对球壳内任一质点的引力为零 ！
为什么会有这样的结果？其原因恰恰是因为引力与两质点之间距离的反平方关系。
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5.4.3 引力的线性叠加性一个密度均匀的球壳对球壳内任一质点的引力为零 ！
这个结果有很大的意义。若假设星际间星球分布均匀，各向同性。则考虑太阳系内情况时，来自太阳系外的引力可以不予考虑。否则难以解释为什么可以忽略无限多的星体在局部范围的引力效应。
现代天文观测的确已逐步证明，宇宙在大尺度的物质分布是相当均匀的。
中国科学技术大学杨维纮讨论：
应当强调，之所以有上述这些结果，是我们用了引力的迭加性和引力的距离平方反比律。因此上述结果对其他类型的力就不一定成立。
一个实心球体可当作由大量同心球壳所构成。如果各层球壳具有不同密度，但每一球壳都具有均匀密度，则同样的论证也适用于这种实心球体。因此，对于象地球、月球或太阳这类近似于球体的天体来说，在讨论它们的吸引力时，就可以把它们当作质量集中在球心的质点来处理。其实，地球并不是标准的球体，而是有点象梨的形状，“梨”的较小一端在北半球。因此,(5.4-17)式是不严格的。若考虑地球的真实形状，引力表达式将非常复杂。譬如，在地球附近运行的人造地球卫星，明显地偏离了开普勒定律所描述的轨道。
实际上，现代的研究正是利用了这一点。我们是反过来，由人造地球卫星实际轨道对开普勒定律的偏离，来研究地球的形状和质量的分布。
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5.5.1 G的测定
5.5.2 引力的几何性
5.5.3 逃逸速度
5.5.4 引力是什么
§ 5.5 关于万有引力的讨论中国科学技术大学杨维纮
5.5.1 G的测定
1798年，即牛顿发表万有引力定律之后 111年，英国物理学家卡文迪许（ Henry Cavendish，
1731~1810）对做了第一次精确的测量，他所用的是扭秤装置，如图
5.9所示，两个质量均为的直径 5厘米的小铅球被固定在轻杆的两端，
用一根系在杆的中点的极细石英丝把杆沿水平方向悬挂起来，细丝上固定着一面小镜子。
小铅球的附近对称地安放着两个质量为的直径 30厘米的大铅球，这两对大质量和小质量之间的引力使杆在水平面上转动。当石英丝的扭转所产生的弹性恢复力矩恰好与引力力矩平衡时，杆就停在一个平衡方向上，反射光把微小的角偏转放大为光点相当大的位移。
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5.5.1 G的测定根据石英丝扭转的角度可以测出力的强度，从而测定了万有引力常数的数值为 G = 6.754× 10-11米 3
/千克 ·秒 2。他的实验如此精巧，在八九十年间竟无人超过他的测量精度。
万有引力常数是目前测得最不精确的一个基本物理常量，因为引力太弱，又不能屏蔽它的干扰，实验很难做。
1969年 Rose测得的结果为 G = 6.674× 10-11米 3/千克 ·秒 2。
国际科学联盟理事会科技数据委员会 1986年推荐的数值为：
2311 /10)85(67259.6 秒千克米G
其不确定度为 128 ppm（百万分之 128，即万分之 1.28）。
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5.5.1 G的测定卡文迪许把自己的实验说成“称地球的重量”，这是不无道理的（用现代物理教学中严谨的字眼，应该说是
“测量地球的质量”），因为由 (5.4.8)式和 (5.4.13)式可得：
G
gRm 2?
地知道 G 的数值后，利用地球半径以及 g 的数值即可算出地球的质量和地球的平均密度：
千克地 241097.5m
33 /52.54/3 厘米克地 Rm
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5.5.1 G的测定在地球上的实验室里测量几个铅球之间的相互作用力，就可以称量地球，这不能不说是个奇迹。其中的思想基础和牛顿的月地检验是一致的，即相信天上人间服从共同的规律，引力常数的数值都是一样的。要知道，
在那个时代人们并不以为这一点很显然。
有了 G 的数值，我们可以用同样的道理去“称太阳的重量”（即计算太阳的质量）。例如在 (5.4.17)式中，若 g 是地球公转的向心加速度,R 是太阳与地球之间的距离，则所求得的就是太阳的质量。
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5.5.2 引力的几何性若用 m引 和 m惯 分别表示一个质点的引力质量和惯性质量，实验得出：
普适常数惯引?
m
m
1890年实验精度为 10-8,1971年实验精度为 10-11。
当然在 m引 和 m惯 取了合适的单位时，可以让该普适常数为 1。即当我们用 (5.5.1)式定义 G 时，相当于认为惯引 mm?
该式具有深刻的物理意义，我们来作些探讨。由于该式成立，下面我们不再区分引力质量和惯性质量，仅用 m
表示。
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5.5.2 引力的几何性考虑质点 m 在 M 的引力场中运动，如图 5.10，设 M 位于原点,m 的矢径为 r，由运动定律和万有引力定律可得运动方程为：
ar mrrMmG?2
即：
ar?rrMG 2
式中不含有运动物体的质量！于是我们得到结论,在引力场中质点的运动与其质量无关 。
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5.5.2 引力的几何性在引力场中的任何物体，
不管其质料和质量如何，均具有相同的加速度，当初始位置和初始速度相同的情况下，必有相同的运动，包括空间轨道。
因此，在引力场中运动的动力学问题，变成与动力学性质（物性）无关，纯属时空中的几何问题。
于是，零质量物体也会受到引力作用，因而 光在引力场中传播也会弯曲 （广义相对论的结论）。
引力场的几何性是其它力场（如电场、磁场）没有的，
爱因斯坦把 引力场的这一性质看成是纯粹的时空几何属性,
广义相对论就是引力场的几何理论。
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5.5.3 逃逸速度在引力场中质量为 m 的质点的机械能为零时，该质点可以运动到无穷远处。若质点位于质量为 M，半径为
R 的星体表面，则机械能为零时应有：
021 22 RMmGmv
此时质点 m 的速度称为逃逸速度，用 v逃 表示，由上式有：
R
GMv 2?
逃中国科学技术大学杨维纮
5.5.3 逃逸速度星球表面逃逸速度的不同，星球的性质会有很大的不同。
1,行星表面的逃逸速度如果太小，则不可能有大气。
水星,M = 0.056 M地,R = 0.38 R地,v逃 = 4.3km/s,无大气；
金星,M = 0.82 M地,R = 0.95 R地,v逃 = 10.4km/s,90大气压；
地球,M = M地,R = R地,v逃 = 11.2km/s,1大气压；
火星,M = 0.108 M地,R = 0.53 R地,v逃 = 5.06km/s,0.008大气压；
月球,M = 0.012 M地,R = 0.27 R地,v逃 = 2.4km/s,无大气；
2,星球表面的逃逸速度如果太大，以致于达到光速，则称为黑洞。
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5.5.3 逃逸速度大约 200年前，法国数学家、天文学家拉普拉斯于
1796年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它。
由于这个原因，宇宙中最大的发光物体也不会被我们发现。”拉普拉斯的思想可以理解为在这个天体上,v逃 =
c（光速）。将此式代入 (5.5.7)式可得天体的半径为：
2
2
c
GMR
S?
RS 叫做天体的引力半径或史瓦西 (Schwarzchild)半径。
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5.5.3 逃逸速度拉普拉斯的预言并未受到人们的重视，渐渐也就被淡忘了。现在我们知道，按照狭义相对论，一切物体的速度都不能超过光速 c，当 v逃 = c 时，任何物体都逃脱不掉。由广义相对论知，光子也要受到引力的作用，在这样的天体上就连光也传播不出来。这种奇怪的天体就是广义相对论所预言的,黑洞” 。
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5.5.4 引力是什么牛顿万有引力定律的伟大意义不仅在于定律本身在以后年代里所起的作用，而且给人类对其它自然现象的理解指出了希望。然而，万有引力的物理机制是什么？牛顿没有给出任何说明，从那以后也没有人提出过正确的机制，尽管有人试图这样做，最终均以失败告终，事实上，物理定律的抽象性质是其固有的特征，能量守恒是这样，力学中的其它重要定律也是这样，它们仅仅是一些数学定律，无法给出起作用的机制。不过由这些定律出发我们能够发现更多的东西。
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1,引力和惯性具有相同的起因在牛顿的经典物理学中，引力质量和惯性质量相等，
都是时空的性质，因而可以认为,引力和惯性具有相同的起因 。爱因斯坦正是利用这一点提出了他的广义相对论。
引力和惯性力都是万有的，引力只与引力质量有关，
惯性力只与惯性质量有关。它们与物质的其它特性（如电荷、磁荷）均无关。引力质量与惯性质量的严格相等暗示我们，这两种质量是同一个东西。马赫原理与等效原理又告诉我们，引力与惯性力本质上相同。等效原理还进一步告诉我们，当只有引力场与惯性场存在时，任何质点，不论质量大小，在时空中都会描出同样的曲线。
这就是说，质点在纯引力和惯性力作用下的运动，
与它的质量无关。
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1,引力和惯性具有相同的起因于是，爱因斯坦推测，引力效应可能是一种几何效应。
万有引力不是一般的力，而是时空弯曲的表现。由于引力和惯性起源于质量，爱因斯坦认为时空弯曲起源于物质的存在和运动。
这里所说的弯曲空间是与我们所熟知的平直空间相对应的。平直时空是用欧几里得几何描述的，直线在其中占有重要地位。它是两点间的最短线。我们知道，物理上若要给出“直线”的定义，必须同时给出测量方法。
按照牛顿定律，我们不妨认为，自由质点沿“直线”作惯性匀速运动。或者更一般地，光线沿“直线”以光速运动。由上述引力的几何性可知，光线在引力场中会弯曲，这实际上是时空的弯曲。弯曲时空中一般不存在直线，但是，两点间会有最短线或最长线,统称短程线或测地线 。
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1,引力和惯性具有相同的起因伽利略认为惯性运动是一种自由运动。静止和匀速直线运动均属于惯性运动。这一观点毫无疑问是正确的。
但伽利略又认为匀速圆周运动也属于惯性运动。行星之所以能围绕太阳不停地转动，就是因为行星的运动是匀速圆周运动，因而也就是不需要外力的惯性运动。长期以来，人们一直认为这是伽利略的一个失误。然而从广义相对论的角度看，伽利略把行星绕日运动看作惯性运动的观点其实是正确的。
爱因斯坦的广义相对论认为,万有引力不是真正的力，而是时空弯曲的表现。
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1,引力和惯性具有相同的起因行星绕日运动，就是弯曲时空中的自由运动（即惯性运动）。它们在四维时空中描出的轨道是测地线（即短程线）。测地线就是直线在弯曲时空中的推广，或者说测地线就是广义的“直线”。这种弯曲由物质的存在和运动造成。质点在万有引力场中的运动实质上是一种没有受到力的惯性运动。
在平直时空中，惯性运动是直线运动。弯曲时空中没有直线，但有短程线。爱因斯坦认为，质点在万有引力场中的运动，既然是弯曲时空中的惯性运动，就应沿弯曲时空中的“直线”（短程线）进行。广义相对论的基本方程有两个,一个是描述物质如何造成时空弯曲的，
称为场方程；另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动的，称为运动方程。
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1,引力和惯性具有相同的起因物质告诉时空：如何弯曲时空告诉物质：如何运动中国科学技术大学杨维纮
2,引力在天体领域中的主导作用引力如此之弱，是四种基本相互作用中最弱者，但是在天文学和天体物理领域里引力作用起着主导作用。
万有引力和电磁力均属长程作用，但由于致密混和物中存在的电磁相互作用是那样完善地被抵消，总是试图保持正与负的电荷最细致的平衡。这个事实一方面使物质拥有很大的强度和硬度，另一方面作为物质的星体之间的电磁作用力已被降至极其微弱的程度，万有引力变成主宰天体运动的决定性因素。
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2,引力在天体领域中的主导作用一个星体（例如恒星），由于自身引力作用，将收缩呈球状，同时引力势能将转变成热能使其温度升高。温度升高最终导致恒星核心区域的热核聚变，当物质粒子热运动的压力抗衡引力达平衡时收缩停止，粒子热运动的能量来自恒星的热核聚变。
当恒星中心部分的氢全部燃烧掉之后，恒星中部的热核反应就停止了，这时万有引力战胜了热排斥，星体开始收缩。由于恒星表面的温度远低于中心部分（例如太阳中心部分温度为 1500万度，而表面温度只有 6000
度），那里还不曾发生过氢合成氦的热核反应。这时，
随着星体的塌缩，恒星外层的温度开始升高，那里的氢开始燃烧，这就导致恒星外壳的膨胀。
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2,引力在天体领域中的主导作用外壳的膨胀和中心部分的收缩同时进行，中心部分在收缩中温度升高到 1亿度，开始点燃那里的氦，使之合成碳，再合成氧，这些热核反应短暂而猛烈，像爆炸一样，称为,氦闪” 。这种过程大约经历 100万年，在整个天体演化中，这是一个很短的“瞬间”。
此后几亿年中，恒星进入一个短暂的平稳期。当中心部分的氦逐渐燃烧完之后，外层氢的燃烧不断向更外部扩展，星体膨胀得越来越大，膨胀到原来的 10亿倍。由于外壳离高温的中心越来越远，恒星表面的温度逐渐降低，
从黄色变成红色。由于体积巨大，这种红色巨星看来很明亮，称为 红巨星 。
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2,引力在天体领域中的主导作用
50亿年后，我们的太阳也将演化成这样的红巨星，膨胀的太阳将逐步燃烧吞食掉水星、金星和地球。地球的轨道将被包在红巨星之内，海洋将全部沸腾蒸干，地球的残骸将继续在红巨星内部公转，红巨星外层气体灼热而稀薄，比我们实验室中所能得到的最好的真空还要空，所以地球仍能存在，并继续转动。当然，生命已不可能在地球上生存。
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2,引力在天体领域中的主导作用核能源进一步枯竭之后，红巨星将抛出一些气体，
形成,行星状星云” 。一般来说，恒星在望远镜中看是一个点，而行星离地球近，在望远镜中呈现为一个圆面。所谓“行星状星云”，实际上是恒星周围的云状物质，在地球上用望远镜看，像行星一样是一个小圆面，其实与行星毫无关系。这个阶段，红巨星的中心部分将塌缩，形成小而高密、高温的 白矮星 。白矮星温度高，呈白色，体积小，因而亮度小。随着热核反应的逐渐停止，白矮星将逐渐冷却成为 黑矮星,黑矮星是一颗比钻石还要硬的巨大星体。白矮星冷却成黑矮星的过程十分缓慢，可能需要 100亿年左右。可以说，在宇宙间，至今还没有生成一颗黑矮星。
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2,引力在天体领域中的主导作用白矮星的质量有一个上限，称为钱德拉塞卡极限，
它等于 1.4倍的太阳质量。不存在大于该极限的白矮星。
这是因为质量超过钱德拉塞卡极限的星体在塌缩成白矮星时，内部电子的运动速度会接近光速，成为相对论电子气。这时电子气的简并压强（即泡利不相容原理产生的排斥力）会减小，以至于抵抗不住星体自身的万有引力，星体将进一步塌缩，电子将被压人原子核中，与其中的质子中和生成中子，成为 中子星 。中子星与白矮星有些类似，它不是靠热排斥或电磁作用来抗衡引力，而是靠中子间的简并压强（泡利斥力）
来抗衡引力。
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2,引力在天体领域中的主导作用中子星也有一个质量上限，称为奥本海默极限，大约为 3～ 4倍的太阳质量。超过这一极限的中子星不稳定，会进一步塌缩形成黑洞 。这颗星从此消失，没有任何信息可以从它的内部传到外部世界。
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3,热与引力热和引力是任何物质都有的两种最普遍的属性。而且，只有这两种属性是任何物质都有的，找不出第三种。电磁相互作用只出现在带有电荷、磁荷的物体之间，强作用只出现在强子之间，弱作用也不是任何微观粒子之间都存在。但是，万有引力是万有的，任何物质都有。热运动也是万有的，任何物质都有。
万有引力不可屏蔽，热运动也不可屏蔽，所谓的绝热壁只不过是一种想象的东西。
恒星和星系之所以能够存在，是靠着万有引力把物质凝聚在一起，又靠着热运动的排斥作用，而使物质不至于在引力下无限制地塌缩。热与引力，是维持恒星和星系生存的一对矛盾，一个起排斥作用，另一个起吸引作用，最后达到一定的平衡。
特别值得注意的是，当通常的热运动停止下来，星体只剩下万有引力的吸引作用而彻底塌缩时，形成的黑洞居然会有温度出现，
居然会有辐射产生。
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3,热与引力可见，热与引力具有深刻的本质联系。不能把引力与电磁力、强力、弱力等同看待，引力不是真正的力，它不仅是时空的弯曲，而且与热不可分割。
物理学中有两个特别值得注意的领域：
一个是广义相对论，一个是热力学。
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3,热与引力除去广义相对论之外的所有物理领域（包括热力学），都把时空看作不依赖于物质及其运动的背景和舞台。时空永远是平直的，像个空架子，不受物质和运动的影响。所有物质都在平直不变的时空背景下运动，展现自己的规律。只有广义相对论，认为时空背景不能脱离物质和运动。它们之间相互影响，物质和运动会使时空弯曲。换句话说,只有广义相对论中的时空是弯曲的，其它所有物理领域中的时空都是平直的。
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3,热与引力另一方面，除去热力学之外的所有物理领域（包括广义相对论），都不认为时间有方向，
都是可逆的。时间反演成立的理论，都是绝对零度的理论。 只有热力学，它的第二定律显示出时间箭头，认为时间有方向，认为真实的物理过程应该是不可逆的。 它的第三定律告诉我们，真实的物理过程不应该处在绝对零度。
这两个具有鲜明特色的理论，其实存在着本质的 联系。
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3,热与引力任何不考虑“热”的引力研究都会碰到不可逾越的困难。 广义相对论中的奇点困难就是其中之一。 广义相对论的场方程本质上是绝对零度的方程。在不考虑热效应的情况下，得出了奇点定理，导致了严重的奇点困难。广义相对论中的另一个基本困难，引力场量子化的困难，也可能与不考虑“热”有关。如果讨论有限温度下的引力理论，也许能同时克服奇点困难和引力场量子化中碰到的困难。
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3,热与引力另一方面，狭义相对论的热力学理论至今存在问题，更不用说广义相对论的热力学了。
一个匀速运动的物体，与静止的同种物体相比，
其温度升高。降低还是不变？现在居然有三种答案，而且谁也说服不了谁。实际上，热学理论至今未能纳入相对论的框架。爱因斯坦在
1905年之后，碰到了万有引力定律纳不进相对论框架的困难。今天我们碰到了类似的困难，
并且也许是更大的困难。
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3,热与引力在热学中，把温度每升高一度所需的热量叫做物体的热容量。研究结果表明，对于引力系统，需要减少能量来提高它的温度，这就是说，它的“热容量”是负的。
负热容的系统是不稳定的，它没有平衡态。
一个通常的热力学系统处在一种较冷的介质中时会损失能量。它的温度降低而介质的温度升高，直到实现平衡为止，我们说这个系统有正热容。量子黑洞的行为则正相反，它失去能量时温度升高，反之亦然。如果周围介质的温度较高，黑洞就总是倾向于吸收能量，增大尺度，因而冷却，直至所有可得到的能量都已被吸收为止。反过来，如果介质温度较低，它就辐射，减小尺度，
直至蒸发和消散掉自己所有的能量为止。这就是说，黑洞有着负热容，因而它根本上是不稳定的。
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3,热与引力所有平衡只依赖于引力的系统，不论是量子系统与否，都是不稳定的。例如，在围绕地球轨道上的人造卫星会由于大气摩擦而损失引力能，因而沿螺旋线缓慢地朝地球下落。在这个过程中其速度和动能是增大的，所以它不能获得一个稳定轨道，最后只能坠落到地球上。
大家在后续的热力学课程中会学到热力学的第二定律，它的一个推论是,热寂说”,这是一个无论从理智上和感情上都令人难以接受的结论。在 100多年里虽遭到许多物理上和哲学上的批判，但大多没有击中要害。现在我们清楚了，“热寂说”的要害是没有充分考虑引力的作用，宇宙是个引力系统，根本没有平衡态，从而热力学的前提对宇宙从头起就不适用。不过，对该问题的深入探讨已远远超出了本课程的范围。
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§ 5.6 质点在有心力场中的运动质点在有心力场中的运动问题是常见的，如小物体在大物体的万有引力、库仑力或分子力等作用下的运动问题都是质点在有心力场中的运动问题，因为此时力的中心
（大物体）可近似视为固定。即使是一般的两个物体的运动，只要它们远离其他物体，它们之间的作用力又沿着它们的连线，且仅与两者间距离有关，它们的运动也可以利用约化质量（参见第四章 4.4.3节）化为单个物体在固定力心的有心力场中的运动问题。
rF?)( rf?
这样的有心力称为 中心对称有心力 。当 f ( r ) > 0 时,F
为斥力； f ( r ) < 0时,F 为引力，我们主要讨论质点在这种中心对称有心力作用下的运动。为叙述简单起见，
以后我们讲有心力，就是指中心对称有心力。
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程
5.6.2 有心力问题的定性处理，有效势能与轨道特征
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
§ 5.6 质点在有心力场中的运动中国科学技术大学杨维纮
5.6.1 研究有心力问题的基本方程设物体（视为质点）的质量为 m，在有心力 F 作用下，其运动方程为：
rr?)( rfm
由于有心力是保守力（参见第四章 4.3节），故在有心力场中质点运动的一般特征为：
1,运动必定在一个平面上。（因为角动量守恒或掠面速度守恒）
2,质点的机械能守恒。（因为保守力场可以定义势能）
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程显然，讨论质点在有心力场中的运动，选平面极坐标系比较方便。方程 (5.6.3)沿径向和横向的分量式为：
)()( 2 rfrrm
0)2( rrm
考虑其第二式，容易验证，它可以改写成：
0)(1 2mrdtdr lmr2
上式实际上是角动量守恒。这是因为：
)()(? 2 rrrvrl mrrrmrm
令,mhl?
其中 h 是有物理意义的，它为质点掠面速度的两倍，当然应为常量中国科学技术大学杨维纮
5.6.1 研究有心力问题的基本方程角动量守恒,hr2
将 (5.6.10)式代入方程 (5.6.4)，得：
drrfdrrhrdrm )()( 3
2
积分，得：
ErUrmhrmrUrmhrm )( 221)( 221 02
0
2
2
02
2
2
其中 U( r)为质点在保守力场中的势能，即：
)]()([)( 0
0
rUrUdrrfrr
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程将 (5.6.10)代入 (5.6.12)消去 h，得：
ErUmrrm )(2121 222
角动量守恒,hr2
机械能守恒质点在有心力场中运动的牛顿方程 (5.6.4),(5.6.5)，
含有二阶微商，而上述方程只含有一阶微商，用它们取代方程 (5.6.4),(5.6.5)，比较容易研究，且物理意义也十分清楚。下面我们就用这两个方程作为我们研究有心力问题的基本方程。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
ErUrmhrm )( 221 2
2
2?
令：
2
2
2)()( r
mhrUrU
e f f
表示这等效的一维运动质点的势能，称为 有效势能 。
有效势能由两部分组成,mh2/2r2 是一等效的斥力势能，它对应一斥力 mh2/r3 作用在质点上； U( r) 则视有心力的具体形式决定。利用方程 (5.6.15)可以进行一维定性分析，通过对有效势能的分析可以给出各种复杂有心力情况下的轨道在空间中的分布。
下面仅就引力场情况对轨道特征作些定性讨论。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征对于在力源 M 的万有引力作用下的质点，其势能为
r
MmGrU)(
于是有效势能为：
r
MmG
r
mhrU
e f f 2
2
2)(
机械能守恒：
ErUrmhrm )( 221 2
2
2?
图 5.11画出了对应的势能曲线，其中虚线分别为等效的斥力势能曲线和引力势能曲线，实线为有效势能曲线，
它由斥力势能和引力势能两曲线叠加而成。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征利用有效势能曲线可以讨论质点运动矢径大小的变化范围，
此范围取决于质点的总能量 E。
代表总能量为 E 的水平线与有效势能曲线相交的点叫做 拱点 。
在拱点处 r 取极值，那里径向速度 vr = 0，只有角向速度，将代入 (5.6.18)得：
0?r?
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
由该式可求得拱点处的 r 值。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征由于 r→∞ 时等效斥力势能趋于 0的速度比 U( r) 的绝对值快，故有效势能曲线当 r→∞ 时是从负的一侧趋于 0的。所以 E
> 0 和 E = 0 时水平线与有效势能曲线只有一个交点，在这里 r
取极小值；另一头轨道是开放的,r 延伸到无穷远。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E1 > 0，由有效势能曲线图可知 r 有最小值 r1，但最大值无限制，即 r1≤ r <∞。由方程
(5.6.18)可求得 r 只有一个正根，
为：
E
mh
E
MmG
E
MmGr
222
22
1
可以证明，此轨道为一双曲线。
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E2 = 0，由有效势能曲线图可知 r 有最小值 r2，但最大值无限制，即 r2≤ r < ∞。 r2 比 r1
略大，由方程 (5.6.18)可求得 r
只有一个正根，为：
可以证明，此轨道为一抛物线 。
GM
hr
2
2
2?
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E3 < 0,由有效势能曲线图可知 r 是有界的，即 r3min≤ r ≤
r3max，由方程 (5.6.19)可求得：
E
mh
E
MmG
E
MmGr
222
22
m a x3
E
mh
E
MmG
E
MmGr
222
22
m i n3
可以证明，对应的轨道为一椭圆，力心为椭圆的一个焦点。
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征若 E = E4 为有效势能曲线的最小值点，则 r = r4，该值为方程
(5.6.19)的重根，利用条件
022
22
EmhEMmG
0E 2
2
2 mhr
E
MmGr
即：
222 2/ hmMGE
于是可求得方程 (5.6.19)的重根为：
GM
hr
2
4?
即质点 m 到力心 M 的距离恒定不变，对应的轨道为圆。
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征中国科学技术大学杨维纮
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
1,运动的详尽情况
ErUrmhrm )( 221 2
2
2?
2r
h
2
2)(22
r
h
m
rU
m
E
dt
dr dt
r
h
m
rU
m
E
dr
2
2)(22
)(trr? )(t
应当指出，有时并不能得到显函数形式的 (5.6.30)、
(5.6.31)，这是因为方程 (5.6.29)的积分可能不能写成有限形式。其解决的途经有二：
1,求出 r,θ关于 t 的隐函数表达式；
2,数值求解方程 (5.6.29),(5.6.27)
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5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2,轨道问题如果要求比较低，并不要求掌握质点运动的详尽情况，而仅仅要求轨道。则计算工作量自然要减轻不少。
d
d
r
h
d
d
dt
d
dt
d
2
ErUrmhddrrmh )(22 2
22
4
2
d
r
l
m
rUEr
hdr?
2
2
2 )]([2
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5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2,轨道问题如果不想通过 U( r) 绕弯子，则应将方程 (5.6.4)、
(5.6.5)作为基本方程组，从中消去 t 来求解。
)()( 2 rfrrm
通常作变换：
ru /1?
利用 (5.6.32),(5.6.35)可得：
2
2
222
2
2
2
2
1
d
ud
uh
d
du
m
l
d
d
hu
d
du
h
dt
d
dt
rd
d
du
h
ud
d
hu
d
dr
r
h
dt
dr
消去 t，得：
hr2
m
fu
d
uduh
2
2
22
此即轨道的微分方程，称为 比内公式 。
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5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2,轨道问题只要知道 f( r)的表达式，即可求得轨道方程式；反之，若已知轨道方程，则可以求得 f( r)的表达式。
m
fu
d
uduh
2
2
22
例如，对于万有引力
2
2 GM mur
MmGf
0
22
2 1
rh
GMu
d
ud
解为：
)co s (1 0
00
rru
c o s1 0 rr
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