杨维纮第八章 相 对 论爱因斯坦提出了相对论，相对论的核心是关于空间和时间观念的论述，它指出，作为整个牛顿力学基础的时间和空间的观念，尽管与人们已有的经验相符，实际上并不是普遍正确的。相对论涉及的是物理学中的一些最基本的观念，很难把它归属于物理学的哪一分支，相反却以不同的程度影响物理学的所有内容。
与物理学中的其他理论不同，相对论既不是直接从实验引出来的，也不是为消除分歧的观点而寻找到的。
相对论完全是在对已被普遍接受的物理概念进行慎密审查的基础上提出的，狭义相对论以爱因斯坦的两条基本假设为基础。
狭义相对论对空间和时间概念所进行的革命性的变革，对整个物理学产生了深远的影响。
中国科学技术大学杨维纮第八章 相 对 论狭义相对论也使牛顿的万有引力定律出现了新问题。牛顿提出的万有引力被认为是一种超距作用，引力以无穷大的速度传递，它的产生和到达是同时的，
这与光速是传播速度的极限相矛盾，而且与狭义相对论关于同时性的相对性相抵触。因此必须对牛顿的万有引力定律加以改造。根据物体的引力质量与惯性质量成正比的事实，爱因斯坦认为万有引力效应是空间、
时间弯曲的一种表现，从而提出了广义相对论。在引力较弱，空间和时间弯曲很小的情况下，广义相对论的预言与牛顿的万有引力定律的预言趋向一致。
中国科学技术大学杨维纮第八章 相 对 论
§ 8.1 牛顿时空观的困难
§ 8.2 相对性原理
§ 8.3 洛仑兹变换
§ 8.4 相对论时空观
§ 8.5 狭义相对论力学
§ 8.6 狭义相对论中质量、动量和力的变换公式
§ 8.7 四维时空
§ 8.8 广义相对论简介中国科学技术大学杨维纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
8.1.2,以太,理论及其困难
§ 8.1 牛顿时空观的困难中国科学技术大学杨维纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
Litz提出光传播的射击理论：光如同射出的子弹，其传播不需要借助任何介质，光相对于光源所在的参考系以速度（光速）运动。因此，光速只有在相对于光源静止的参考系才是各向同性的。
对于不同的参考系，需要利用伽利略相对性原理和他的坐标变换。
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8.1.1 光传播的射击理论的困难
1,超新星爆发
1731年英国一位天文学爱好者用望远镜在南方夜空的金牛座上发现了一团云雾状的东西。外形象个螃蟹，人们称它为“蟹状星云”。后来的观测表明，这只“螃蟹”在膨胀，膨胀的速率为每年。到 1920年，
它的半径达到。推算起来，其膨胀开始的时刻应在
860年之前，即公元 1060年左右。人们相信，蟹状星云到现在是 900多年前一次超新星爆发中抛出来的气体壳层。这一点在我国的史籍里得到了证实。
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8.1.1 光传播的射击理论的困难蟹状星云到地球的距离大约是 5千光年，而爆发中抛射物的速度大约是 1500千米 /秒，用这些数据来计算，
t/ 比 t 短 25年。亦即，我们会在 25年内持续地看到超新星开始爆发时所发出的强光。而史书明明记载着，客星从出现到隐没还不到两年。这怎么解释？
1,超新星爆发中国科学技术大学杨维纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
2,双星观测双星轨道中运动的半周期是
TT1
TT 2
222
22
c
vL
vc
vL
vc
L
vc
L?
其中 T 是双星轨道运动的半周期。设 L 是地球到双星的距离。
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8.1.1 光传播的射击理论的困难
W,de Sliter (1913) 首先讨论了上面的现象，指出对许多双星（若假定是双星的轨道速度）来说,τ
具有 T 的量级。因此，如果光速与光源速度有关，
那么，以圆轨道运动的双星的多普勒效应对时间的依赖性，就会相当于一个偏心轨道对时间的依赖性，
即双星运动规律不服从开普勒定律。但是，实际观测到的双星轨道的偏心率是很小的。上述现象并没有观测到。
2,双星观测中国科学技术大学杨维纮
8.1.2,以太,理论及其困难
“以太”的提出，是为了解释光在真空中以及高速的空间中都能传播这一事实。当时，认为光必须有一个载体才能传播，而这种载体当光在真空中传播时更显得必要，为了解释真空不空，笛卡儿（ 1596~1650）于十七世纪第一个提出了“以太”的假说、并把“以太”描述为：
以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但却有这种无所不入的“以太”。
至十九世纪上半叶，当光具有波动性被大多数物理学家承认时，以太假说又获得了新的支持，于是十九世纪末的物理学界，牢固地确立了一种思想，认为有一种到处存在的、能穿透一切的介质，并充满所有物质的内部和它们之间的空间，它的作用是作为传播光波的基础。
惠更斯把它叫作“以太”（光以太），后来又被叫做法拉第管（电磁以太），被认为是引起带电体和磁化物体之间相互作用的原因。
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8.1.2,以太,理论及其困难麦克斯韦的工作使这两种假想的介质统一起来了。他指出光是传播的电磁波，并建立了一个优美的数学理论，把所有涉及光、电和磁的现象结合在一起。光以太也就是电磁以太。这时“以太”的存在似乎无可置疑了。但是，如果用描写气体、固体和液体这类常见介质的办法来描写以太那是不可能的。这些都导致了难以解决的矛盾。不管对于光以太还是电磁以太，这些矛盾都是显而易见的。
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8.1.2,以太,理论及其困难首先，理论上遇到的困难是无法解释光为什么没有纵波。
因为光的传播速度很大，因此要求切变模量很大，即介质刚性很强（很硬）。如果这样的介质（宇宙以太）充满了我们周围整个空间的话，我们怎么能在地上跑来走去，行星又怎能千百万年地绕太阳转动而丝毫不受阻力呢？因此这种
“光以太”本身就具有很大的矛盾性。
英国的物理学家开尔文爵士，为了解决以上矛盾，认为宇宙以太有着类似鞋匠所用的鞋胶或鞋腊那样的性质，这类物质具有一种“可塑性”，当快速加上强力作用时，它们能象玻璃那样断开、但在很弱的力（例如它们本身的重力）的作用下，它们会象液体那样流动。他认为在光波的情况下，
力的方向每秒要改变千百万次，这宇宙以太的行为就象硬的弹性物质那样，而在人、行星或恒星的缓慢得多的运动情况下，它实际上不会产生什么阻力。
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8.1.2,以太,理论及其困难对于以太，人们往往以旧的观念加以认识。
如俄国化学家门捷列夫在他的元素周期表中曾把宇宙以太列为周期表中原子序数等于零的物质。
若以太真的存在，则相对于以太静止的参考系是最精确的惯性参考系（绝对静止参考系）。称以太参考系为绝对参考系，相对于以太的运动为绝对运动。
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8.1.2,以太,理论及其困难
1,菲素实验在菲素的原始实验中，发现光在流水中的速度不同于静水中的数值，并且得出光在运动液体中的速度一般地可以用如下的经验公式表示：
2
11,
nKKvn
cV
式中 n 是水的折射率,K 值正是 1817年由菲涅耳从理论上推导出的结果。只不过菲索的实验值为 0.46，而理论值为 0.44。
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8.1.2,以太,理论及其困难地球上大气层的折射率 n≈ 1，故 K = 0。
因而地球运动时，大气层应完全不带动以太，地球附近的以太仍保持静止。这一结论被天文学家证实。
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8.1.2,以太,理论及其困难
2,光行差现象所谓光行差，是指光线的视方向与“真实”方向之间的夹角。
地球上的光行差有两种。其一是周日光行差，它是由地球自转引起的，其大小随观察者所在的纬度不同而不同，由于自转速度很小，所以这种周日光行差角很小。
另一种是周年光行差，它是由地球的公转引起的，其数值在全球各地都一样。如图可得
c
vta n
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8.1.2,以太,理论及其困难地球公转速度 v = 29.75 公里 /秒，由上式可求出周年光行差角的最大值为 α=20.47//。这个数值叫做 光行差常数 。对各种恒星进行观测，所得到的光行差角都与该值相符合。
以上两实验结果一致，地球运动不带动以太。故只要测出地球相对于以太运动的速度就可以确定绝对参考系。称这种测量为 测量“以太风” 。
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8.1.2,以太,理论及其困难
3,迈克尔逊 —莫雷实验当时估计应有 0.4条纹的移动，但实验结果却只有
0.01条纹的移动，这一微小的数值可以理解为实验中的误差所引起，于是只能得出以太被地球完全拖动，或者根本不存在以太的结论。六年之后，即 1887年，迈克尔逊和莫雷（ Edward Williams
Morley,1838~1923）合作，
对原有仪器作了进一步改进，
又重复实验。但实验仍然得出“零结果”。
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8.1.2,以太,理论及其困难实验的“零结果”否定了绝对静止坐标系的存在，
同时对以太是否存在也提出了怀疑。这个结果是迈克尔逊不愿得出的。他曾说过：想不到他的实验竟引导出一个怪物（指相对论）。实验的零结果使物理学界感到震惊，也被汤姆逊说成是经典物理学上空的“一朵乌云”，
因此引导不少物理学家在不同时间（春、夏、秋、冬）、
不同地点（地下室、棚屋、高空）重复类似的实验，历时 50年之久。但实验都得出了同样的结果。
迈克尔逊实验的“零结果”，是建立相对论的前奏。迈克尔逊由于这方面的贡献，荣获 1907年诺贝尔物理奖。
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8.1.2,以太,理论及其困难迈克尔逊实验公布之后，不少物理学家企图用各种理论解释这一现象，其中以洛仑兹（ 1853~1928）的长度收缩最为典型。 1892年，荷兰人洛仑兹提出了在以太中以速度运动的物体，在沿运动的方向上，长度有所收缩，
那么就很容易解释迈克尔逊实验中条纹移动为零的结果。
洛仑兹和斐兹杰惹提出的收缩假说，是为了解释迈克尔逊实验的以太零结果，从数学上凑出来的，他们对牛顿的时空观仍是深信无疑，并加以采用。收缩假说存在致命的弱点。首先,它没有说明收缩的原因是什么？
其次，又设有说明收缩因子为什么和物质结构毫无关系。
后者引导一些人改变迈克尔逊实验为木结构和钢结构，
但是却得到了同样的结果。
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§ 8.2 相对性原理
“以太”观点带来的问题：
1,承认“以太”，即承认惯性系中，有一个惯性系地位特殊，因而最重要，但从牛顿力学是不可能找到这个惯性系的；
2,试图利用光学和电磁学的方法，测量真空中的光速来确定绝对参考系，但实验结果是否定的；
3.,以太”观点有一系列自相矛盾的假设，不易回避。
4,惯性系优越于非惯性系，绝对参考系优越于惯性系。
尤其是后一优越极不自然，又没有实验验证。
“以太”观点的困难是无法克服的。我们知道，物理学的基本思想是,宇宙应有更简明的描述方法 。
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§ 8.2 相对性原理当别人忙着在经典物理的框架内用形形色色的理论来修补“以太风”的学说时，爱因斯坦另辟溪径，
提出两个重要假设来：
1,相对性原理：所有惯性系都是平权的，在它们之中所有的物理规律都一样。
2,光速不变原理：在所有的惯性系中测量到的真空光速都是一样的。
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§ 8.2 相对性原理爱因斯坦的光速不变原理表明，真空中光沿任何方向传播的速度都相等，这是爱因斯坦的一个大胆假设。
光速不变原理可以解释迈克耳逊 —莫雷实验的零结果，
但迈克耳逊 —莫雷实验并未证明光速不变原理。 因为在这实验中涉及的是光线往返所经历的时间，故这类实验不能作为单程光速不变性的依据，至多只是双程光速不变性的实验依据。把光速作为普适常数而且放在重要地位的含义是非常深刻的。
我们知道，机械振动在媒质中的传播过程是媒质中各部分的质元相互作用的结果，研究媒质中的机械波，
可使我们获得媒质内部相互作用的某些信息，光能在真空中传播，研究真空中光波将可获得空间特性的某些信息。
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§ 8.2 相对性原理爱因斯坦提出这个假设是非常大胆的。下面我们即将看到，这个假设非同小可，一系列违反“常识”
的结论就此产生了。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/，设在某一时刻
（取为 t = 0）,K 与 K/ 的原点是重合的，并且在这时刻位于原点的光源发出一个光讯号。
设 K/ 相对于 K沿 x 方向以速率 v 运动。在 K 中，光讯号的波前是以 K 的原点为心的球面，由于光速不变，
在 K/ 中，这个光讯号的波前应是以 K/ 的原点为心的球面。
或许你要问，光脉冲的波面到底是以 K 为中心的球面还是以 K/ 为中心的球面？
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§ 8.2 相对性原理期望得到只有相对于这两个参考系中的某一个，光的波阵面才是球面的答案本身就期望存在一个特殊的惯性系，这意味着你还没有完全摆脱绝对参考系的影响。
尽管 O/ 相对于 O 作匀速直线运动，但相对于各自的参考系光的波阵面都是以各自的原点为中心的球面，这正是空间本身所具有的特性的一种反映。这一点之所以难以理解，是因为在我们的心目中，时间的流逝是绝对的，是与参考系无关的观念在作怪。
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§ 8.2 相对性原理于是我们得到结论，“同时”是相对的，只有同一个惯性系可以对钟，两个不同的惯性系，只有当两点重合时才可以对钟，如图 8.7所示，只有当 C 与 C/ 重合时，
才能将这两点的钟拨到同一时刻。
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§ 8.3 洛仑兹变换从伽利略速度合成律可以看到，光速不变原理与伽利略变换是矛盾的。为了满足光速不变原理的要求，
惯性系之间应当有不同于伽利略变换的时空坐标变换关系，现在我们就来寻求它。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/,K/ 相对于 K沿 x
方向以速率 v 运动。设在 K/ 与 K 的原点 O/,O 重合时，
将 O/,O 的钟都拨到零（对钟），即取 t/ = t = 0,并且在这时刻位于原点的光源发出一个光讯号。
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§ 8.3 洛仑兹变换在 K 中，光讯号的波前是以 K 的原点为心的球面，由下列方程所决定
022222 tczyx
由于光速不变，在 K/ 中，
这个光讯号的波前应是以 K/
的原点为心的球面，即
022222 tczyx这样，只要要求 (x,y,z,t ) 与 (x/,y /,z /,t/ )之间的变换关系满足下式：
2222222222 tczyxtczyx
就可以与光速不变原理相适应。
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§ 8.3 洛仑兹变换
2222222222 tczyxtczyx
首先我们注意到，因为只在 x 方向 K/ 与 K 有相对运动,y,z 方向并没有相对运动，所以关于 y,z 的变换应当是
zzyy,
另外，还应要求坐标变换是线性的，这个要求来源于空间的均匀性，即空间中各点的性质都是一样的，没有任何具有特别性质的点。这样,x,t 与 x/,t/ 之间的关系应有下列的一般形式
etdxt
btaxx
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§ 8.3 洛仑兹变换于是 (8.3.5)式应具有下列形式：
ch sh sh ch
ctxtc
ctxx
其中
1shch,2/)(sh,2/)(ch 22 eeee
引入新参数 th?
得
22 1/1ch,1/sh
代入 (8.3.7)得：
1
,
1
22?
c
x
t
t
ctx
x
中国科学技术大学杨维纮现在，我们来确定系数 β 。对于 K/ 中的观察者,K 的原点，即 x = y = z = 0 点的速度应是
0,0, td zdtd ydvtd xd
另一方面由式 (8.3.2),(8.3.6)可得
22 1
,0,0,
1
dttddzdyc dtxd
故
0, td zdtd ydvctd xd?
即有：
c
v
中国科学技术大学杨维纮由 (8.3.4),(8.3.8),(8.3.10)，得
22
2
22
/1
/1
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
vtx
x
/1
/1
22
2
22
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
tvx
x
(8.3.11),(8.3.12)为惯性系 K 与 K/ 之间的时空坐标变换关系，称为 洛伦兹变换。
在伽利略变换中，时间与空间是相互分开的，这正符合我们按日常经验所建立起来的观念：时间与空间是“绝对”分开的两个概念。但是，在洛伦兹变换式 (8.3.11),
(8.3.12)中，时间的变换不再与空间无关。
中国科学技术大学杨维纮显然，由洛伦兹变换所描写的时空性质，是根本不同于经典的对空观念的。为了弄清楚相对论时空观的特点，我们考查一下在新的时空观下，哪些物理量是相对的？哪些物理量是绝对的？亦即哪些度量结果依赖于所选用的参考系？哪些结果则与参考系无关？
§ 8.4 相对论时空观中国科学技术大学杨维纮
8.4.1 时间间隔的相对性
8.4.2 同时的相对性
8.4.3 长度的相对性
8.4.4 时序的相对性和因果关系
8.4.5 时空间隔的绝对性
8.4.6 速度合成律
8.4.7 角度变换公式
8.4.8 加速度变换公式
§ 8.4 相对论时空观中国科学技术大学杨维纮
8.4.1 时间间隔的相对性假定有两个物理事件，对于参考系 K/ 发生于同一地点，
但不同的时间，即
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA
按照式 (8.3-12)，对于参考系 K,这两个事件分别发生在下列时刻：
22
22
222
21
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
故有
/1 1222
12
12 ttcv
tttt
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8.4.1 时间间隔的相对性
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA
/1 1222
12
12 ttcv
tttt
这表明，在 K 中的观察者。所测得事件 A 与 B 的时间间隔大于在 K/ 中观察者的测量结果，换言之，对
K/ 静止的时钟，从 K 中的观察者看来，是走慢了。反之，同样可以证明对 K 静止的时钟，从 K/ 中的观察者看来，是走慢了。这就是说,在一个惯性系中，运动的钟比静止的钟走得慢 。这种效应叫做 爱因斯坦延缓，
时间膨胀,或 钟慢效应 。
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8.4.1 时间间隔的相对性必须指出，这里所说的“钟”应该是标准钟，把它们放在一起应该走得一样快。不是钟出了毛病，而是运动参考系中的时间节奏变缓了，在其中一切物理、
化学过程，乃至观察者自己的生命节奏都变缓了。而在运动参考系里的人认为一切正常，并不感到自己周围发生的一切变得沉闷呆滞。还必须指出，运动是相对的。在地面上的人看高速宇宙飞船里的钟慢了，而宇宙飞船里的宇航员看地面站里的钟也比自己的慢。
今后我们把相对于物体（或观察者）静止的钟所显示的时间间隔 ⊿ τ 叫做 该物体的固有时 。 (8.4.1)式中的就是固有时。
12 ttt
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8.4.1 时间间隔的相对性如何理解时间膨胀的概念呢？用光速不变原理设计一种非常简单的钟，称为光信号钟，
如图 8.8所示。图中相距两端各有一面镜子，当我们在镜子间发出一个光信号后，光信号将一直来回传送着，每一个来回相当于通常钟“滴答”响一次。
把这个钟固定于 K/ 系中，并一起以匀速 v 相对于 K 系沿垂直于 d 的方向运动。在 K/ 系中，光信号一个来回经历距离，
它的时间间隔为,cdt /2
但在 K 系中看，光信号沿之字形路径，光信号一个来回在 K 系中经历两条斜线，设时间间隔为 ⊿ t，按光速不变性，
有：
22222 )
2
1()
2
1()
2
1()
2
1( tctvdtvtc
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8.4.1 时间间隔的相对性
22
222
)
2
1
()
2
1
(
)
2
1
()
2
1
(
tctv
dtvtc
解得：
/1 22 cv
tt
该式与 (8.4.1)是一致的。时间膨胀或相对观测者运动的钟变慢的效应与钟的具体结构天关，如果仅仅是运动的光信号钟变慢，别的类型的钟不变慢，那么车厢内的观测者就可能利用两种类型的钟的不一致来确定车厢的运动，这与相对性原理是相抵触的。
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8.4.2 同时的相对性如果对于 K/ 系，当时刻 t/ 在两个点 x1/ 及 x2/ 处同时发生了两个物理事件 A 及 B。按照经典观点，在 K/ 中同时发生的两事件，在其它惯性系中来看，也是同时发生的，即“同时”是绝对的概念。
但是，在相对论中却有完全不同的结论。由式 (8.3-
12)容易得到，对于 K 系，事件 A 及 B 发生的时间应是
22
22
222
12
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
所以对 K 而言，这两个事件不是同时发生的。它们相隔的时间为
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
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8.4.2 同时的相对性
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
⊿ t 可能为正，也可能为负，这取决于 x2/ - x1/ 的符号。它表明，事件 A 可能发生于事件 B 之前，也可能发生于 B 之后。这就是说，在相对论中同时是相对的。
换句话说，只能在一个坐标系对钟，或两个坐标系中两个相接触的点对钟。
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8.4.3 长度的相对性假定有一直尺相对于 K/ 系是静止的，并且放置在沿
x 方向。如果直尺两端的坐标分别是 x1/ 及 x2/,则对于 K/
系中的观察者，直尺的长度是 L/ = | x2/ - x1/ |（称为 固有长度 ）。如果在 K 系中有一个观察者，在时刻 t，对该直尺进行测量，得到直尺两端的坐标为 x1 及 x2，则按式
(8.3.11)，有
22
2
222
1
1 /1,/1 cv
vtxx
cv
vtxx
所以对于 K 系，直尺的长度为：
LcvLxxcvxxL 2
2
212
2
21 1|| 1 ||
这表明，在 K 系中的观察者所测得的直尺长度总小于在
K/ 系中的观察者所测得的结果。
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8.4.3 长度的相对性换言之，对于 K/ 为静止的直尺，在 K 中的观察者看来，是缩短了。反之，可以证明，对于 K 为静止的直尺，
在 K/ 中的观察者看来，是缩短了。总之，相对于观察者运动着的直尺，总比静止着的直尺短一些。即,物体沿运动方向的长度比其固有长度短 。这种效应叫做 洛仑兹收缩,或 尺缩效应 。
关于这一点,K/ 系中的观察者认为,K 系中的观察者并没有“同时”测尺的两端坐标。
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8.4.3 长度的相对性这里顺便说一下直到
1955年以后才注意到的一个问题，即应该区分,观察者” 和
“观看者” 的问题。
伽莫夫著的著名科普读物,物理世界奇遇记,里有这样一段描述：主人公汤普金斯先生来到一座奇异的城市，由于这城市里的光速异乎寻常地小，当他骑自行车以接近光速的高速行驶时，发现周围一切都如图 8.9所示那样变扁了。
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8.4.3 长度的相对性汤普金斯的见闻，几十年来被物理学家们认为是正确的。
即由于洛伦兹收缩，只要能以接近光速的速度运动，我们将看到一个扁的世界。直到 1955年 James Torrell发表的一篇文章，才开始纠正了这个错误认识。其实尺缩效应的形象是人们观测物体上各点对观察者参考系同一时刻的位置构成的形象，可称为
“测量形象”，而不是物体产生的“视觉形象”，相对论中的
“观察者”指的就是这种“测量者”。我们看到的（或照相机拍摄的）形象，是由物体上各点发出后“同时到达”眼睛（或照相机）的光线所组成，而这些光线并不是同时自物体发出的，
这时我们是“观看者”而非“观察者”。运动物体上离开我们较远的点较早发出的光子与离开我们较近的点较迟发出的光子可能会同时到达视网膜或感光底片。所以我们看到的高速运动物体的形状除了应考虑由相对论效应引起的畸变外，还应考虑到由光学效应引起的畸变。有人通过分析和计算证明，高速运动的立方体或球体看起来将仍然是立方体或球体，不过转过了一个角度。具体分析牵涉到较复杂的计算，这里就不叙述了。
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8.4.3 长度的相对性由上面的讨论，我们看到与一个物体（包括时钟）固定在一起的参考系似乎特别重要，
我们称这参考系为 本征参考系,在本征参考系进行的测量称为本征测量或原测量，测得的物体长度为本征长度或固有长度，测得的时间间隔是本征时间间隔或原时间隔、固有时。我们强调本征参考系的重要性并未从相对论的观点后退一步，尽管每个观测者或每个物体，都有唯一的本征参考系，但并不存在一个对所有的观测者或所有的物体都是本征的普适参考系。
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8.4.4 时序的相对性和因果关系不仅同时是相对的，而且事件发生的时间次序也是相对的。设事件 A 及 B 对 K/ 来说，发生的地点与时间分别是 (x1/,t1/) 及 (x2/,t2/)，则对于 K 系，事件 A 及 B 发生的时间是
22
222
222
121
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
故有：
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
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8.4.4 时序的相对性和因果关系假定对于 K/,事件的时序是先 A 后 B，即 t1/- t2/ < 0，那么当 v(x1/- x2/)/c2 足够大，以致下式成立
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
0)( 21221 xxcvtt
或者
v
c
tt
xx 2
21
21?
则事件的时序在 K 中就颠倒过来了。是先 B 后 A，即,
021 tt
这就证明了时序的相对性。
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8.4.4 时序的相对性和因果关系乍一看来，时序的相对性与因果关系是矛盾的。我们知道，原因总应该发生在结果之前，如果事件与之间有因果联系，那么先后的时序就应当是绝对的，即无论在哪个惯性系中观察，总应该得到先后的结果。但是，
洛伦兹变换却可能使时序改变，亦即可能因果倒置。怎样才能把因果关系的绝对性与时序的相对性统一起来呢？
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8.4.4 时序的相对性和因果关系
v
c
tt
xx 2
21
21?
为此，我们分析一下事件之间因果联系的必要条件，
倘使事件 A 与 B 之间有因果联系，就应当有某种作用从
x1/ 出发经过时间间隔 t2/- t1/ 传递到了 B。这种作用使原因
A 得以产生结果 B。亦即，因果事件之间相互作用的传递速度至少应当为
12
12
tt
xxv
i
代入上式得：
2cvv i?
这表明，只当 v1 或 v 之一大于 c 时，才会出现因果倒置的情况。
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8.4.4 时序的相对性和因果关系也就是说，只在下列两种情况之一成立时，才会观察到先果后因的现象：
1,因果作用的传递速度 v1 超过光速；
2,事件对于观察者的运动速度超过光速。
但是，下面将讨论，在实际的情形中，我们永远不可能把原来小于光速运动的物体加速到超过光速。所以上述两种情况是不会发生的。这就统一了因果次序的绝对性与时序的相对性。即：
1,可能有因果联系的两个事件的时序不会经洛伦兹变换而改变；
2,没有因果联系的两个事件的时序是可以改变的。
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8.4.5 时空间隔的绝对性在洛伦兹变换下，两个事件 (x1,y1,z1,t1 ) 与 (x2,y2,z2,
t2 )的时间间隔及空间间隔都是相对的，而它们的时空间隔却是绝对的。 时空间隔 被定义为
2212212212212 )()()()( zzyyxxttcs
利用洛伦兹变换，容易证明
2
21
2
21
2
21
2
21
2
2
21
2
21
2
21
2
21
2
)()()()(
)()()()(
zzyyxxttc
zzyyxxttc
或 ss
这表明，对 ⊿ s 的测量结果不依赖于参考系的选择。
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8.4.5 时空间隔的绝对性对于在时空上无限邻近的两个事件，其时空间隔可以写成微分形式
22222 dzdydxdtcds
还常常利用如下定义的量
sc1
或
1 dscd
它被称为 原时间隔 。由于光速是个绝对量，故原时间隔也是个绝对量。
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8.4.5 时空间隔的绝对性一个质点的运动可以看成一系列连续出现的物理事件，这时，两个无限邻近的运动状态的原时间隔是
2
2222
2
22222
1
1
1
1
c
u
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
c
dt
dzdydxdtc
c
d
其中 u 是质点相对于 K 系的速度大小。 dτ的绝对性表明，
若质点相对于 K/ 系的速度为 u/，就将有
2
2
2
2
11 cutdcudtd
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8.4.6 速度合成律为了求得相对论的速度合成公式，我们首先把洛伦兹变换式 (8.3-12)写成微分形式
22
2
22
/1
/1
cv
xd
c
v
td
dt
zddz
yddy
cv
tvdxd
dx
显然，对于 K 系，质点的速度分量是
dt
dzu
dt
dyu
dt
dxu
zyx,,
对于 K/ 系，质点的速度分量是
td
zdu
td
ydu
td
xdu
zyx?
,,
利用式 (8.4.21)中最后一式除前面三个式子，并且利用上述表式，得中国科学技术大学杨维纮
8.4.6 速度合成律
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
其逆变换为：
1
/1,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
vu
cvuu
c
vu
cvu
u
c
vu
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
上式称为爱因斯坦速度合成律。在低速情况 v << c，略掉上式中含 v/c的顶，它就过渡为伽利略变换中的速度合成律。
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8.4.6 速度合成律爱因斯坦速度合成律 (8.4.24)有下列一些有趣的性质：
1,若 ux/ = c/n,则
2
1
c
v
n
c
v
n
c
u x
)1)((
nc
vv
n
c )11(
2 nc
v
nvn
c Kv
n
c
其中
2
11
nK
即得到菲索实验结果 (8.1.8)。
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
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8.4.6 速度合成律
2,若 v 与 两者中有一个为光速 c，则其合速度为 c，有下列几种情况：
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
222 zyx uuuu
(1) v = c,可得,0,0,
zyx uucu
(2) 若
0,0, zyx uucu
可得,0,0, zyx uucu
(3) 若 u/ = c，有
2222 zyx uuuu
22
2222
)/1(
/2
cvu
cvuvuc
x
xx
2
2
2
2
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
x
zyx
2c?
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8.4.6 速度合成律
3,两个小于或等于 c 的速度之和，永远不能超过 c。
若 cucv,
有
2
2
2
2
2222
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
uuuu
x
zyx
zyx
2
2
2
2
2222
2
2
22
)1(
)()2(
c
v
u
c
v
uvcu
c
v
uvuc
x
xx
2
2
2
2222
2
2
2
2
)1(
))((
1
)1(
c
c
v
u
vcuc
cc
v
uc
x
x
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8.4.6 速度合成律故两速度的合成，只要有一个速度为光速，则合速度为光速；若两速度皆小于光速，则合速度也小于光速。
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8.4.7 角度变换公式略中国科学技术大学杨维纮
8.4.8 加速度变换公式在经典力学中，加速度对于伽利略变换是不变量，即质点运动的加速度相对一切惯性参考系都相等，这就导致了伽利略的力学相对性原理。但是加速度经过洛仑兹变换后要改变，即在狭义相对论中，加速度并不是不变量。
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8.4.8 加速度变换公式对速度变换公式 (8.4.24)微分，得
x
x
x
x
x
x
x
x ud
c
v
u
c
v
c
uvd
c
v
u
vu
c
v
u
ud
du?
2
2
2
2
22
2
2 1
1
11
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
y
x
y
y
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
z
x
z
z
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8.4.8 加速度变换公式由 (8.4.21)的第四式得
td
cv
c
uv
cv
c
uvdtd
dt
xx
22
2
22
2
/1
1
/1
由于：
dt
dua
dt
dua
dt
dua z
z
y
y
x
x,,
td
uda
td
uda
td
uda z
z
y
y
x
x?
,,
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8.4.8 加速度变换公式得,x
x
x a
c
uv
c
v
a?
3
2
2/3
2
2
1
1
x
x
y
y
x
y
a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x
x
z
z
x
z a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
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8.4.8 加速度变换公式在相对论中，加速度不是不变量，其变换公式冗长而复杂，各分量的变换式也极不一样。加速度在牛顿力学中所具有的那种优越地位，
在相对论中不复存在。
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8.5.1 相对论动量和质量
8.5.2 相对论中的力
8.5.3 质能公式
§ 8.5 狭义相对论力学中国科学技术大学杨维纮
§ 8.5 狭义相对论力学
8.5.1 相对论动量和质量中国科学技术大学杨维纮
8.5.2 相对论中的力中国科学技术大学杨维纮
8.5.3 质能公式中国科学技术大学杨维纮
8.6.1 质量的变换公式
8.6.2 动量和能量的变换公式
8.6.3 力的变换公式
§ 8.6 狭义相对论中质量、
动量和力的变换公式中国科学技术大学杨维纮
§ 8.6 狭义相对论中质量、
动量和力的变换公式
8.6.1 质量的变换公式中国科学技术大学杨维纮
8.6.2 动 量和能量的变换公式中国科学技术大学杨维纮
8.6.3 力的变换公式中国科学技术大学杨维纮
8.7.1 四维矢量
8.7.2 时空间隔
8.7.3 四维速度矢量
8.7.4 四维动量矢量
8.7.5 多普勒效应
8.7.6 孪生子佯谬
§ 8.7 四维时空中国科学技术大学杨维纮
§ 8.7 四维时空
8.7.1 四维矢量中国科学技术大学杨维纮
8.7.2 时空间隔中国科学技术大学杨维纮
8.7.3 四维速度矢量中国科学技术大学杨维纮
8.7.4 四维动量矢量中国科学技术大学杨维纮
8.7.5 多普勒效应中国科学技术大学杨维纮
8.7.6 孪生子佯谬中国科学技术大学杨维纮
8.8.1 等效原理和广义相对性原理
8.8.2 光在引力场中的弯曲
8.8.3 引力时间延缓、引力红移
8.8.4 弯曲时空、水星的进动
§ 8.8 广义相对论简介中国科学技术大学杨维纮
§ 8.8 广义相对论简介
8.8.1 等效原理和广义相对性原理中国科学技术大学杨维纮
8.8.2 光在引力场中的弯曲中国科学技术大学杨维纮
8.8.3 引力时间延缓、引力红移中国科学技术大学杨维纮
8.8.4 弯曲时空、水星的进动中国科学技术大学杨维纮
与物理学中的其他理论不同，相对论既不是直接从实验引出来的，也不是为消除分歧的观点而寻找到的。
相对论完全是在对已被普遍接受的物理概念进行慎密审查的基础上提出的，狭义相对论以爱因斯坦的两条基本假设为基础。
狭义相对论对空间和时间概念所进行的革命性的变革，对整个物理学产生了深远的影响。
中国科学技术大学杨维纮第八章 相 对 论狭义相对论也使牛顿的万有引力定律出现了新问题。牛顿提出的万有引力被认为是一种超距作用，引力以无穷大的速度传递，它的产生和到达是同时的，
这与光速是传播速度的极限相矛盾，而且与狭义相对论关于同时性的相对性相抵触。因此必须对牛顿的万有引力定律加以改造。根据物体的引力质量与惯性质量成正比的事实，爱因斯坦认为万有引力效应是空间、
时间弯曲的一种表现，从而提出了广义相对论。在引力较弱，空间和时间弯曲很小的情况下，广义相对论的预言与牛顿的万有引力定律的预言趋向一致。
中国科学技术大学杨维纮第八章 相 对 论
§ 8.1 牛顿时空观的困难
§ 8.2 相对性原理
§ 8.3 洛仑兹变换
§ 8.4 相对论时空观
§ 8.5 狭义相对论力学
§ 8.6 狭义相对论中质量、动量和力的变换公式
§ 8.7 四维时空
§ 8.8 广义相对论简介中国科学技术大学杨维纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
8.1.2,以太,理论及其困难
§ 8.1 牛顿时空观的困难中国科学技术大学杨维纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
Litz提出光传播的射击理论：光如同射出的子弹，其传播不需要借助任何介质，光相对于光源所在的参考系以速度（光速）运动。因此，光速只有在相对于光源静止的参考系才是各向同性的。
对于不同的参考系，需要利用伽利略相对性原理和他的坐标变换。
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8.1.1 光传播的射击理论的困难
1,超新星爆发
1731年英国一位天文学爱好者用望远镜在南方夜空的金牛座上发现了一团云雾状的东西。外形象个螃蟹，人们称它为“蟹状星云”。后来的观测表明，这只“螃蟹”在膨胀，膨胀的速率为每年。到 1920年，
它的半径达到。推算起来，其膨胀开始的时刻应在
860年之前，即公元 1060年左右。人们相信，蟹状星云到现在是 900多年前一次超新星爆发中抛出来的气体壳层。这一点在我国的史籍里得到了证实。
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8.1.1 光传播的射击理论的困难蟹状星云到地球的距离大约是 5千光年，而爆发中抛射物的速度大约是 1500千米 /秒，用这些数据来计算，
t/ 比 t 短 25年。亦即，我们会在 25年内持续地看到超新星开始爆发时所发出的强光。而史书明明记载着，客星从出现到隐没还不到两年。这怎么解释？
1,超新星爆发中国科学技术大学杨维纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
2,双星观测双星轨道中运动的半周期是
TT1
TT 2
222
22
c
vL
vc
vL
vc
L
vc
L?
其中 T 是双星轨道运动的半周期。设 L 是地球到双星的距离。
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8.1.1 光传播的射击理论的困难
W,de Sliter (1913) 首先讨论了上面的现象，指出对许多双星（若假定是双星的轨道速度）来说,τ
具有 T 的量级。因此，如果光速与光源速度有关，
那么，以圆轨道运动的双星的多普勒效应对时间的依赖性，就会相当于一个偏心轨道对时间的依赖性，
即双星运动规律不服从开普勒定律。但是，实际观测到的双星轨道的偏心率是很小的。上述现象并没有观测到。
2,双星观测中国科学技术大学杨维纮
8.1.2,以太,理论及其困难
“以太”的提出，是为了解释光在真空中以及高速的空间中都能传播这一事实。当时，认为光必须有一个载体才能传播，而这种载体当光在真空中传播时更显得必要，为了解释真空不空，笛卡儿（ 1596~1650）于十七世纪第一个提出了“以太”的假说、并把“以太”描述为：
以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但却有这种无所不入的“以太”。
至十九世纪上半叶，当光具有波动性被大多数物理学家承认时，以太假说又获得了新的支持，于是十九世纪末的物理学界，牢固地确立了一种思想，认为有一种到处存在的、能穿透一切的介质，并充满所有物质的内部和它们之间的空间，它的作用是作为传播光波的基础。
惠更斯把它叫作“以太”（光以太），后来又被叫做法拉第管（电磁以太），被认为是引起带电体和磁化物体之间相互作用的原因。
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8.1.2,以太,理论及其困难麦克斯韦的工作使这两种假想的介质统一起来了。他指出光是传播的电磁波，并建立了一个优美的数学理论，把所有涉及光、电和磁的现象结合在一起。光以太也就是电磁以太。这时“以太”的存在似乎无可置疑了。但是，如果用描写气体、固体和液体这类常见介质的办法来描写以太那是不可能的。这些都导致了难以解决的矛盾。不管对于光以太还是电磁以太，这些矛盾都是显而易见的。
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8.1.2,以太,理论及其困难首先，理论上遇到的困难是无法解释光为什么没有纵波。
因为光的传播速度很大，因此要求切变模量很大，即介质刚性很强（很硬）。如果这样的介质（宇宙以太）充满了我们周围整个空间的话，我们怎么能在地上跑来走去，行星又怎能千百万年地绕太阳转动而丝毫不受阻力呢？因此这种
“光以太”本身就具有很大的矛盾性。
英国的物理学家开尔文爵士，为了解决以上矛盾，认为宇宙以太有着类似鞋匠所用的鞋胶或鞋腊那样的性质，这类物质具有一种“可塑性”，当快速加上强力作用时，它们能象玻璃那样断开、但在很弱的力（例如它们本身的重力）的作用下，它们会象液体那样流动。他认为在光波的情况下，
力的方向每秒要改变千百万次，这宇宙以太的行为就象硬的弹性物质那样，而在人、行星或恒星的缓慢得多的运动情况下，它实际上不会产生什么阻力。
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8.1.2,以太,理论及其困难对于以太，人们往往以旧的观念加以认识。
如俄国化学家门捷列夫在他的元素周期表中曾把宇宙以太列为周期表中原子序数等于零的物质。
若以太真的存在，则相对于以太静止的参考系是最精确的惯性参考系（绝对静止参考系）。称以太参考系为绝对参考系，相对于以太的运动为绝对运动。
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8.1.2,以太,理论及其困难
1,菲素实验在菲素的原始实验中，发现光在流水中的速度不同于静水中的数值，并且得出光在运动液体中的速度一般地可以用如下的经验公式表示：
2
11,
nKKvn
cV
式中 n 是水的折射率,K 值正是 1817年由菲涅耳从理论上推导出的结果。只不过菲索的实验值为 0.46，而理论值为 0.44。
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8.1.2,以太,理论及其困难地球上大气层的折射率 n≈ 1，故 K = 0。
因而地球运动时，大气层应完全不带动以太，地球附近的以太仍保持静止。这一结论被天文学家证实。
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8.1.2,以太,理论及其困难
2,光行差现象所谓光行差，是指光线的视方向与“真实”方向之间的夹角。
地球上的光行差有两种。其一是周日光行差，它是由地球自转引起的，其大小随观察者所在的纬度不同而不同，由于自转速度很小，所以这种周日光行差角很小。
另一种是周年光行差，它是由地球的公转引起的，其数值在全球各地都一样。如图可得
c
vta n
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8.1.2,以太,理论及其困难地球公转速度 v = 29.75 公里 /秒，由上式可求出周年光行差角的最大值为 α=20.47//。这个数值叫做 光行差常数 。对各种恒星进行观测，所得到的光行差角都与该值相符合。
以上两实验结果一致，地球运动不带动以太。故只要测出地球相对于以太运动的速度就可以确定绝对参考系。称这种测量为 测量“以太风” 。
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8.1.2,以太,理论及其困难
3,迈克尔逊 —莫雷实验当时估计应有 0.4条纹的移动，但实验结果却只有
0.01条纹的移动，这一微小的数值可以理解为实验中的误差所引起，于是只能得出以太被地球完全拖动，或者根本不存在以太的结论。六年之后，即 1887年，迈克尔逊和莫雷（ Edward Williams
Morley,1838~1923）合作，
对原有仪器作了进一步改进，
又重复实验。但实验仍然得出“零结果”。
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8.1.2,以太,理论及其困难实验的“零结果”否定了绝对静止坐标系的存在，
同时对以太是否存在也提出了怀疑。这个结果是迈克尔逊不愿得出的。他曾说过：想不到他的实验竟引导出一个怪物（指相对论）。实验的零结果使物理学界感到震惊，也被汤姆逊说成是经典物理学上空的“一朵乌云”，
因此引导不少物理学家在不同时间（春、夏、秋、冬）、
不同地点（地下室、棚屋、高空）重复类似的实验，历时 50年之久。但实验都得出了同样的结果。
迈克尔逊实验的“零结果”，是建立相对论的前奏。迈克尔逊由于这方面的贡献，荣获 1907年诺贝尔物理奖。
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8.1.2,以太,理论及其困难迈克尔逊实验公布之后，不少物理学家企图用各种理论解释这一现象，其中以洛仑兹（ 1853~1928）的长度收缩最为典型。 1892年，荷兰人洛仑兹提出了在以太中以速度运动的物体，在沿运动的方向上，长度有所收缩，
那么就很容易解释迈克尔逊实验中条纹移动为零的结果。
洛仑兹和斐兹杰惹提出的收缩假说，是为了解释迈克尔逊实验的以太零结果，从数学上凑出来的，他们对牛顿的时空观仍是深信无疑，并加以采用。收缩假说存在致命的弱点。首先,它没有说明收缩的原因是什么？
其次，又设有说明收缩因子为什么和物质结构毫无关系。
后者引导一些人改变迈克尔逊实验为木结构和钢结构，
但是却得到了同样的结果。
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§ 8.2 相对性原理
“以太”观点带来的问题：
1,承认“以太”，即承认惯性系中，有一个惯性系地位特殊，因而最重要，但从牛顿力学是不可能找到这个惯性系的；
2,试图利用光学和电磁学的方法，测量真空中的光速来确定绝对参考系，但实验结果是否定的；
3.,以太”观点有一系列自相矛盾的假设，不易回避。
4,惯性系优越于非惯性系，绝对参考系优越于惯性系。
尤其是后一优越极不自然，又没有实验验证。
“以太”观点的困难是无法克服的。我们知道，物理学的基本思想是,宇宙应有更简明的描述方法 。
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§ 8.2 相对性原理当别人忙着在经典物理的框架内用形形色色的理论来修补“以太风”的学说时，爱因斯坦另辟溪径，
提出两个重要假设来：
1,相对性原理：所有惯性系都是平权的，在它们之中所有的物理规律都一样。
2,光速不变原理：在所有的惯性系中测量到的真空光速都是一样的。
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§ 8.2 相对性原理爱因斯坦的光速不变原理表明，真空中光沿任何方向传播的速度都相等，这是爱因斯坦的一个大胆假设。
光速不变原理可以解释迈克耳逊 —莫雷实验的零结果，
但迈克耳逊 —莫雷实验并未证明光速不变原理。 因为在这实验中涉及的是光线往返所经历的时间，故这类实验不能作为单程光速不变性的依据，至多只是双程光速不变性的实验依据。把光速作为普适常数而且放在重要地位的含义是非常深刻的。
我们知道，机械振动在媒质中的传播过程是媒质中各部分的质元相互作用的结果，研究媒质中的机械波，
可使我们获得媒质内部相互作用的某些信息，光能在真空中传播，研究真空中光波将可获得空间特性的某些信息。
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§ 8.2 相对性原理爱因斯坦提出这个假设是非常大胆的。下面我们即将看到，这个假设非同小可，一系列违反“常识”
的结论就此产生了。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/，设在某一时刻
（取为 t = 0）,K 与 K/ 的原点是重合的，并且在这时刻位于原点的光源发出一个光讯号。
设 K/ 相对于 K沿 x 方向以速率 v 运动。在 K 中，光讯号的波前是以 K 的原点为心的球面，由于光速不变，
在 K/ 中，这个光讯号的波前应是以 K/ 的原点为心的球面。
或许你要问，光脉冲的波面到底是以 K 为中心的球面还是以 K/ 为中心的球面？
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§ 8.2 相对性原理期望得到只有相对于这两个参考系中的某一个，光的波阵面才是球面的答案本身就期望存在一个特殊的惯性系，这意味着你还没有完全摆脱绝对参考系的影响。
尽管 O/ 相对于 O 作匀速直线运动，但相对于各自的参考系光的波阵面都是以各自的原点为中心的球面，这正是空间本身所具有的特性的一种反映。这一点之所以难以理解，是因为在我们的心目中，时间的流逝是绝对的，是与参考系无关的观念在作怪。
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§ 8.2 相对性原理于是我们得到结论，“同时”是相对的，只有同一个惯性系可以对钟，两个不同的惯性系，只有当两点重合时才可以对钟，如图 8.7所示，只有当 C 与 C/ 重合时，
才能将这两点的钟拨到同一时刻。
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§ 8.3 洛仑兹变换从伽利略速度合成律可以看到，光速不变原理与伽利略变换是矛盾的。为了满足光速不变原理的要求，
惯性系之间应当有不同于伽利略变换的时空坐标变换关系，现在我们就来寻求它。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/,K/ 相对于 K沿 x
方向以速率 v 运动。设在 K/ 与 K 的原点 O/,O 重合时，
将 O/,O 的钟都拨到零（对钟），即取 t/ = t = 0,并且在这时刻位于原点的光源发出一个光讯号。
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§ 8.3 洛仑兹变换在 K 中，光讯号的波前是以 K 的原点为心的球面，由下列方程所决定
022222 tczyx
由于光速不变，在 K/ 中，
这个光讯号的波前应是以 K/
的原点为心的球面，即
022222 tczyx这样，只要要求 (x,y,z,t ) 与 (x/,y /,z /,t/ )之间的变换关系满足下式：
2222222222 tczyxtczyx
就可以与光速不变原理相适应。
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§ 8.3 洛仑兹变换
2222222222 tczyxtczyx
首先我们注意到，因为只在 x 方向 K/ 与 K 有相对运动,y,z 方向并没有相对运动，所以关于 y,z 的变换应当是
zzyy,
另外，还应要求坐标变换是线性的，这个要求来源于空间的均匀性，即空间中各点的性质都是一样的，没有任何具有特别性质的点。这样,x,t 与 x/,t/ 之间的关系应有下列的一般形式
etdxt
btaxx
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§ 8.3 洛仑兹变换于是 (8.3.5)式应具有下列形式：
ch sh sh ch
ctxtc
ctxx
其中
1shch,2/)(sh,2/)(ch 22 eeee
引入新参数 th?
得
22 1/1ch,1/sh
代入 (8.3.7)得：
1
,
1
22?
c
x
t
t
ctx
x
中国科学技术大学杨维纮现在，我们来确定系数 β 。对于 K/ 中的观察者,K 的原点，即 x = y = z = 0 点的速度应是
0,0, td zdtd ydvtd xd
另一方面由式 (8.3.2),(8.3.6)可得
22 1
,0,0,
1
dttddzdyc dtxd
故
0, td zdtd ydvctd xd?
即有：
c
v
中国科学技术大学杨维纮由 (8.3.4),(8.3.8),(8.3.10)，得
22
2
22
/1
/1
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
vtx
x
/1
/1
22
2
22
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
tvx
x
(8.3.11),(8.3.12)为惯性系 K 与 K/ 之间的时空坐标变换关系，称为 洛伦兹变换。
在伽利略变换中，时间与空间是相互分开的，这正符合我们按日常经验所建立起来的观念：时间与空间是“绝对”分开的两个概念。但是，在洛伦兹变换式 (8.3.11),
(8.3.12)中，时间的变换不再与空间无关。
中国科学技术大学杨维纮显然，由洛伦兹变换所描写的时空性质，是根本不同于经典的对空观念的。为了弄清楚相对论时空观的特点，我们考查一下在新的时空观下，哪些物理量是相对的？哪些物理量是绝对的？亦即哪些度量结果依赖于所选用的参考系？哪些结果则与参考系无关？
§ 8.4 相对论时空观中国科学技术大学杨维纮
8.4.1 时间间隔的相对性
8.4.2 同时的相对性
8.4.3 长度的相对性
8.4.4 时序的相对性和因果关系
8.4.5 时空间隔的绝对性
8.4.6 速度合成律
8.4.7 角度变换公式
8.4.8 加速度变换公式
§ 8.4 相对论时空观中国科学技术大学杨维纮
8.4.1 时间间隔的相对性假定有两个物理事件，对于参考系 K/ 发生于同一地点，
但不同的时间，即
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA
按照式 (8.3-12)，对于参考系 K,这两个事件分别发生在下列时刻：
22
22
222
21
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
故有
/1 1222
12
12 ttcv
tttt
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8.4.1 时间间隔的相对性
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA
/1 1222
12
12 ttcv
tttt
这表明，在 K 中的观察者。所测得事件 A 与 B 的时间间隔大于在 K/ 中观察者的测量结果，换言之，对
K/ 静止的时钟，从 K 中的观察者看来，是走慢了。反之，同样可以证明对 K 静止的时钟，从 K/ 中的观察者看来，是走慢了。这就是说,在一个惯性系中，运动的钟比静止的钟走得慢 。这种效应叫做 爱因斯坦延缓，
时间膨胀,或 钟慢效应 。
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8.4.1 时间间隔的相对性必须指出，这里所说的“钟”应该是标准钟，把它们放在一起应该走得一样快。不是钟出了毛病，而是运动参考系中的时间节奏变缓了，在其中一切物理、
化学过程，乃至观察者自己的生命节奏都变缓了。而在运动参考系里的人认为一切正常，并不感到自己周围发生的一切变得沉闷呆滞。还必须指出，运动是相对的。在地面上的人看高速宇宙飞船里的钟慢了，而宇宙飞船里的宇航员看地面站里的钟也比自己的慢。
今后我们把相对于物体（或观察者）静止的钟所显示的时间间隔 ⊿ τ 叫做 该物体的固有时 。 (8.4.1)式中的就是固有时。
12 ttt
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8.4.1 时间间隔的相对性如何理解时间膨胀的概念呢？用光速不变原理设计一种非常简单的钟，称为光信号钟，
如图 8.8所示。图中相距两端各有一面镜子，当我们在镜子间发出一个光信号后，光信号将一直来回传送着，每一个来回相当于通常钟“滴答”响一次。
把这个钟固定于 K/ 系中，并一起以匀速 v 相对于 K 系沿垂直于 d 的方向运动。在 K/ 系中，光信号一个来回经历距离，
它的时间间隔为,cdt /2
但在 K 系中看，光信号沿之字形路径，光信号一个来回在 K 系中经历两条斜线，设时间间隔为 ⊿ t，按光速不变性，
有：
22222 )
2
1()
2
1()
2
1()
2
1( tctvdtvtc
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8.4.1 时间间隔的相对性
22
222
)
2
1
()
2
1
(
)
2
1
()
2
1
(
tctv
dtvtc
解得：
/1 22 cv
tt
该式与 (8.4.1)是一致的。时间膨胀或相对观测者运动的钟变慢的效应与钟的具体结构天关，如果仅仅是运动的光信号钟变慢，别的类型的钟不变慢，那么车厢内的观测者就可能利用两种类型的钟的不一致来确定车厢的运动，这与相对性原理是相抵触的。
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8.4.2 同时的相对性如果对于 K/ 系，当时刻 t/ 在两个点 x1/ 及 x2/ 处同时发生了两个物理事件 A 及 B。按照经典观点，在 K/ 中同时发生的两事件，在其它惯性系中来看，也是同时发生的，即“同时”是绝对的概念。
但是，在相对论中却有完全不同的结论。由式 (8.3-
12)容易得到，对于 K 系，事件 A 及 B 发生的时间应是
22
22
222
12
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
所以对 K 而言，这两个事件不是同时发生的。它们相隔的时间为
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
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8.4.2 同时的相对性
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
⊿ t 可能为正，也可能为负，这取决于 x2/ - x1/ 的符号。它表明，事件 A 可能发生于事件 B 之前，也可能发生于 B 之后。这就是说，在相对论中同时是相对的。
换句话说，只能在一个坐标系对钟，或两个坐标系中两个相接触的点对钟。
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8.4.3 长度的相对性假定有一直尺相对于 K/ 系是静止的，并且放置在沿
x 方向。如果直尺两端的坐标分别是 x1/ 及 x2/,则对于 K/
系中的观察者，直尺的长度是 L/ = | x2/ - x1/ |（称为 固有长度 ）。如果在 K 系中有一个观察者，在时刻 t，对该直尺进行测量，得到直尺两端的坐标为 x1 及 x2，则按式
(8.3.11)，有
22
2
222
1
1 /1,/1 cv
vtxx
cv
vtxx
所以对于 K 系，直尺的长度为：
LcvLxxcvxxL 2
2
212
2
21 1|| 1 ||
这表明，在 K 系中的观察者所测得的直尺长度总小于在
K/ 系中的观察者所测得的结果。
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8.4.3 长度的相对性换言之，对于 K/ 为静止的直尺，在 K 中的观察者看来，是缩短了。反之，可以证明，对于 K 为静止的直尺，
在 K/ 中的观察者看来，是缩短了。总之，相对于观察者运动着的直尺，总比静止着的直尺短一些。即,物体沿运动方向的长度比其固有长度短 。这种效应叫做 洛仑兹收缩,或 尺缩效应 。
关于这一点,K/ 系中的观察者认为,K 系中的观察者并没有“同时”测尺的两端坐标。
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8.4.3 长度的相对性这里顺便说一下直到
1955年以后才注意到的一个问题，即应该区分,观察者” 和
“观看者” 的问题。
伽莫夫著的著名科普读物,物理世界奇遇记,里有这样一段描述：主人公汤普金斯先生来到一座奇异的城市，由于这城市里的光速异乎寻常地小，当他骑自行车以接近光速的高速行驶时，发现周围一切都如图 8.9所示那样变扁了。
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8.4.3 长度的相对性汤普金斯的见闻，几十年来被物理学家们认为是正确的。
即由于洛伦兹收缩，只要能以接近光速的速度运动，我们将看到一个扁的世界。直到 1955年 James Torrell发表的一篇文章，才开始纠正了这个错误认识。其实尺缩效应的形象是人们观测物体上各点对观察者参考系同一时刻的位置构成的形象，可称为
“测量形象”，而不是物体产生的“视觉形象”，相对论中的
“观察者”指的就是这种“测量者”。我们看到的（或照相机拍摄的）形象，是由物体上各点发出后“同时到达”眼睛（或照相机）的光线所组成，而这些光线并不是同时自物体发出的，
这时我们是“观看者”而非“观察者”。运动物体上离开我们较远的点较早发出的光子与离开我们较近的点较迟发出的光子可能会同时到达视网膜或感光底片。所以我们看到的高速运动物体的形状除了应考虑由相对论效应引起的畸变外，还应考虑到由光学效应引起的畸变。有人通过分析和计算证明，高速运动的立方体或球体看起来将仍然是立方体或球体，不过转过了一个角度。具体分析牵涉到较复杂的计算，这里就不叙述了。
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8.4.3 长度的相对性由上面的讨论，我们看到与一个物体（包括时钟）固定在一起的参考系似乎特别重要，
我们称这参考系为 本征参考系,在本征参考系进行的测量称为本征测量或原测量，测得的物体长度为本征长度或固有长度，测得的时间间隔是本征时间间隔或原时间隔、固有时。我们强调本征参考系的重要性并未从相对论的观点后退一步，尽管每个观测者或每个物体，都有唯一的本征参考系，但并不存在一个对所有的观测者或所有的物体都是本征的普适参考系。
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8.4.4 时序的相对性和因果关系不仅同时是相对的，而且事件发生的时间次序也是相对的。设事件 A 及 B 对 K/ 来说，发生的地点与时间分别是 (x1/,t1/) 及 (x2/,t2/)，则对于 K 系，事件 A 及 B 发生的时间是
22
222
222
121
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
故有：
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
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8.4.4 时序的相对性和因果关系假定对于 K/,事件的时序是先 A 后 B，即 t1/- t2/ < 0，那么当 v(x1/- x2/)/c2 足够大，以致下式成立
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
0)( 21221 xxcvtt
或者
v
c
tt
xx 2
21
21?
则事件的时序在 K 中就颠倒过来了。是先 B 后 A，即,
021 tt
这就证明了时序的相对性。
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8.4.4 时序的相对性和因果关系乍一看来，时序的相对性与因果关系是矛盾的。我们知道，原因总应该发生在结果之前，如果事件与之间有因果联系，那么先后的时序就应当是绝对的，即无论在哪个惯性系中观察，总应该得到先后的结果。但是，
洛伦兹变换却可能使时序改变，亦即可能因果倒置。怎样才能把因果关系的绝对性与时序的相对性统一起来呢？
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8.4.4 时序的相对性和因果关系
v
c
tt
xx 2
21
21?
为此，我们分析一下事件之间因果联系的必要条件，
倘使事件 A 与 B 之间有因果联系，就应当有某种作用从
x1/ 出发经过时间间隔 t2/- t1/ 传递到了 B。这种作用使原因
A 得以产生结果 B。亦即，因果事件之间相互作用的传递速度至少应当为
12
12
tt
xxv
i
代入上式得：
2cvv i?
这表明，只当 v1 或 v 之一大于 c 时，才会出现因果倒置的情况。
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8.4.4 时序的相对性和因果关系也就是说，只在下列两种情况之一成立时，才会观察到先果后因的现象：
1,因果作用的传递速度 v1 超过光速；
2,事件对于观察者的运动速度超过光速。
但是，下面将讨论，在实际的情形中，我们永远不可能把原来小于光速运动的物体加速到超过光速。所以上述两种情况是不会发生的。这就统一了因果次序的绝对性与时序的相对性。即：
1,可能有因果联系的两个事件的时序不会经洛伦兹变换而改变；
2,没有因果联系的两个事件的时序是可以改变的。
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8.4.5 时空间隔的绝对性在洛伦兹变换下，两个事件 (x1,y1,z1,t1 ) 与 (x2,y2,z2,
t2 )的时间间隔及空间间隔都是相对的，而它们的时空间隔却是绝对的。 时空间隔 被定义为
2212212212212 )()()()( zzyyxxttcs
利用洛伦兹变换，容易证明
2
21
2
21
2
21
2
21
2
2
21
2
21
2
21
2
21
2
)()()()(
)()()()(
zzyyxxttc
zzyyxxttc
或 ss
这表明，对 ⊿ s 的测量结果不依赖于参考系的选择。
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8.4.5 时空间隔的绝对性对于在时空上无限邻近的两个事件，其时空间隔可以写成微分形式
22222 dzdydxdtcds
还常常利用如下定义的量
sc1
或
1 dscd
它被称为 原时间隔 。由于光速是个绝对量，故原时间隔也是个绝对量。
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8.4.5 时空间隔的绝对性一个质点的运动可以看成一系列连续出现的物理事件，这时，两个无限邻近的运动状态的原时间隔是
2
2222
2
22222
1
1
1
1
c
u
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
c
dt
dzdydxdtc
c
d
其中 u 是质点相对于 K 系的速度大小。 dτ的绝对性表明，
若质点相对于 K/ 系的速度为 u/，就将有
2
2
2
2
11 cutdcudtd
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8.4.6 速度合成律为了求得相对论的速度合成公式，我们首先把洛伦兹变换式 (8.3-12)写成微分形式
22
2
22
/1
/1
cv
xd
c
v
td
dt
zddz
yddy
cv
tvdxd
dx
显然，对于 K 系，质点的速度分量是
dt
dzu
dt
dyu
dt
dxu
zyx,,
对于 K/ 系，质点的速度分量是
td
zdu
td
ydu
td
xdu
zyx?
,,
利用式 (8.4.21)中最后一式除前面三个式子，并且利用上述表式，得中国科学技术大学杨维纮
8.4.6 速度合成律
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
其逆变换为：
1
/1,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
vu
cvuu
c
vu
cvu
u
c
vu
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
上式称为爱因斯坦速度合成律。在低速情况 v << c，略掉上式中含 v/c的顶，它就过渡为伽利略变换中的速度合成律。
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8.4.6 速度合成律爱因斯坦速度合成律 (8.4.24)有下列一些有趣的性质：
1,若 ux/ = c/n,则
2
1
c
v
n
c
v
n
c
u x
)1)((
nc
vv
n
c )11(
2 nc
v
nvn
c Kv
n
c
其中
2
11
nK
即得到菲索实验结果 (8.1.8)。
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
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8.4.6 速度合成律
2,若 v 与 两者中有一个为光速 c，则其合速度为 c，有下列几种情况：
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
222 zyx uuuu
(1) v = c,可得,0,0,
zyx uucu
(2) 若
0,0, zyx uucu
可得,0,0, zyx uucu
(3) 若 u/ = c，有
2222 zyx uuuu
22
2222
)/1(
/2
cvu
cvuvuc
x
xx
2
2
2
2
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
x
zyx
2c?
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8.4.6 速度合成律
3,两个小于或等于 c 的速度之和，永远不能超过 c。
若 cucv,
有
2
2
2
2
2222
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
uuuu
x
zyx
zyx
2
2
2
2
2222
2
2
22
)1(
)()2(
c
v
u
c
v
uvcu
c
v
uvuc
x
xx
2
2
2
2222
2
2
2
2
)1(
))((
1
)1(
c
c
v
u
vcuc
cc
v
uc
x
x
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8.4.6 速度合成律故两速度的合成，只要有一个速度为光速，则合速度为光速；若两速度皆小于光速，则合速度也小于光速。
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8.4.7 角度变换公式略中国科学技术大学杨维纮
8.4.8 加速度变换公式在经典力学中，加速度对于伽利略变换是不变量，即质点运动的加速度相对一切惯性参考系都相等，这就导致了伽利略的力学相对性原理。但是加速度经过洛仑兹变换后要改变，即在狭义相对论中，加速度并不是不变量。
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8.4.8 加速度变换公式对速度变换公式 (8.4.24)微分，得
x
x
x
x
x
x
x
x ud
c
v
u
c
v
c
uvd
c
v
u
vu
c
v
u
ud
du?
2
2
2
2
22
2
2 1
1
11
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
y
x
y
y
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
z
x
z
z
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8.4.8 加速度变换公式由 (8.4.21)的第四式得
td
cv
c
uv
cv
c
uvdtd
dt
xx
22
2
22
2
/1
1
/1
由于：
dt
dua
dt
dua
dt
dua z
z
y
y
x
x,,
td
uda
td
uda
td
uda z
z
y
y
x
x?
,,
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8.4.8 加速度变换公式得,x
x
x a
c
uv
c
v
a?
3
2
2/3
2
2
1
1
x
x
y
y
x
y
a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x
x
z
z
x
z a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
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8.4.8 加速度变换公式在相对论中，加速度不是不变量，其变换公式冗长而复杂，各分量的变换式也极不一样。加速度在牛顿力学中所具有的那种优越地位，
在相对论中不复存在。
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8.5.1 相对论动量和质量
8.5.2 相对论中的力
8.5.3 质能公式
§ 8.5 狭义相对论力学中国科学技术大学杨维纮
§ 8.5 狭义相对论力学
8.5.1 相对论动量和质量中国科学技术大学杨维纮
8.5.2 相对论中的力中国科学技术大学杨维纮
8.5.3 质能公式中国科学技术大学杨维纮
8.6.1 质量的变换公式
8.6.2 动量和能量的变换公式
8.6.3 力的变换公式
§ 8.6 狭义相对论中质量、
动量和力的变换公式中国科学技术大学杨维纮
§ 8.6 狭义相对论中质量、
动量和力的变换公式
8.6.1 质量的变换公式中国科学技术大学杨维纮
8.6.2 动 量和能量的变换公式中国科学技术大学杨维纮
8.6.3 力的变换公式中国科学技术大学杨维纮
8.7.1 四维矢量
8.7.2 时空间隔
8.7.3 四维速度矢量
8.7.4 四维动量矢量
8.7.5 多普勒效应
8.7.6 孪生子佯谬
§ 8.7 四维时空中国科学技术大学杨维纮
§ 8.7 四维时空
8.7.1 四维矢量中国科学技术大学杨维纮
8.7.2 时空间隔中国科学技术大学杨维纮
8.7.3 四维速度矢量中国科学技术大学杨维纮
8.7.4 四维动量矢量中国科学技术大学杨维纮
8.7.5 多普勒效应中国科学技术大学杨维纮
8.7.6 孪生子佯谬中国科学技术大学杨维纮
8.8.1 等效原理和广义相对性原理
8.8.2 光在引力场中的弯曲
8.8.3 引力时间延缓、引力红移
8.8.4 弯曲时空、水星的进动
§ 8.8 广义相对论简介中国科学技术大学杨维纮
§ 8.8 广义相对论简介
8.8.1 等效原理和广义相对性原理中国科学技术大学杨维纮
8.8.2 光在引力场中的弯曲中国科学技术大学杨维纮
8.8.3 引力时间延缓、引力红移中国科学技术大学杨维纮
8.8.4 弯曲时空、水星的进动中国科学技术大学杨维纮
