杨维纮第三章 动 量有了力的定律和运动定律，动力学的根本任务，即在一定环境下求物体的运动问题，似乎就成为求解运动方程的数学问题了。其实，并非完全如此。
如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理量，如动量、能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规律（包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律），而直接用这些规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。
在力作为位置（或速度、时间）函数的具体形式不十分清楚的情况下（约束力和碰撞中的力就是例子），这种方法也能为我们求解问题提供一定的信息。
利用关于动量，能量和角动量的规律，却可以使我们获得关于质点系运动的许多知识。
即使在牛顿定律不一定适用的许多场合，包括微观领域，守恒定律仍然有效。这样，原来仅仅作为牛顿定律辅助工具而引入的运动定理的推论 —— 守恒定律，却成为比牛顿定律更为基本的规律。
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§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
§ 3.2 质心运动定理
§ 3.3 变质量物体的运动第三章 动 量中国科学技术大学杨维纮
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
3.1.2 冲量与质点的动量定理
3.1.3 质点系动量定理
§ 3.1 动量守恒定律与动量定理中国科学技术大学杨维纮
§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。在这一章里，我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。
这种问题，常称为 质点系问题,或 多体问题 。
在质点系中有一类是特别的，即所有质点都没有受到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说，整个体系不与外物相互作用，这种质点体系称为 孤立体系 。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
21
2
2
12
1
1
f
v
f
v
dt
d
m
dt
d
m
2112 ff
0)( 2211 vv mmdtd
定义：
2211 vvP mm
0?dtdP
得,或 P =不变量此式表明，对于两个质点构成的孤立体系，我们找到了一个不变量 P，称它为 动量 。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律在上述推导过程中，我们并没有用到作用力的具体形式，只用了牛顿第二、三定律，所以，这个守恒律是非常普遍的，与作用力的具体形式无关，对于任何力都适用。
对于多个质点所构成的孤立体系，可以用完全类似的方法证明体系的总动量不随时间变化，我们将它称为动量守恒定律，表述如下：
在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中，每个质点的动量都时刻在变，但它们的矢量和不变。
不变量 iPP
其中 Pi 是第 i 个质点的动量。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律几点说明：
1,与牛顿定律一样，动量守恒定律只适用于惯性系。
2,体系动量守恒并不是要求体系不受外力，只要所受外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然守恒，故孤立体系的动量守恒。
3,动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式：
若 Fx = 0,则 Px = 常量；
若 Fy = 0,则 Py = 常量；
若 Fz = 0,则 Pz = 常量；
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律几点说明：
4,动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。
这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律，而直接从空间的平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，我们将在下一章中讨论。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理力作用到质点上，可以使质点的速度或动量发生变化，我们将牛顿第二定律写成微分形式，即：
pF ddt?
式中 dp 表示质点动量的改变量,Fdt表示合外力在 dt 时间内的积累量，称为 dt 时间内质点所受合外力的 冲量
（又称为 元冲量 ），记为 dJ，即,dJ = Fdt 。
上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一时间内质点动量的增量，这一关系叫做 质点动量定理的微分形式 。 实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理对 t0 到 t1 这段有限时间积分，即考虑力在某段时间内的积累效果，则有：
01
1
0
ppFJ dttt
式中 J 表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。
上式称为 质点动量定理的积分形式 。
值得注意的是，要产生同样的动量增量，力大力小都可以，力大，时间可以短些，力小，时间需长些。只要力的时间积累冲量一样，就产生同样的动量增量。
动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，
这种力通常叫做 冲力 。关于碰撞的研究我们留到下章进行。
在相对论中，质量随速率而变,F = m a 已不再正确，
但 Fdt = dp仍然正确。
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3.1.3 质点系动量定理
1,两质点系统（ n = 2）
2122
1211
fFp
fFp
2112 ff
2121 FFpp得：
体系的总动量：
221121 vvppP mm
令,21 FFFex
Fex为体系所受的外力的矢量和，称为体系所受的总外力。
dt
d
ex
PF?
tt ex dt 00 PPF
有,积分形式微分形式中国科学技术大学杨维纮
3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
nnnnn
n
n
n
Ffffp
fFffp
ffFfp
fffFp
321
3332313
2232212
1131211
jiij ff
将方程组中的所有方程相加，由于所有内力的矢量和为零，得：
dt
d
ex
PF?
其中：
i
n
i
ii
n
i
m vpP
11
i
n
i
ex FF?
1
tt ex dt 00 PPF
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3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
作用在体系上所有外力在一段时间内的总冲量等于体系动量的增量。
dt
d
ex
PF?
tt ex dt 00 PPF
体系的动量定理：
积分形式微分形式中国科学技术大学杨维纮
3.1.3 质点系动量定理几点说明：
1,只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献；但内力对动量在体系内部的分配是有作用的。
2,动量定理与牛顿定律的关系：
(1) 对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，
而动量定理说的是力对时间的积累效果。
(2) 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系；
而动量定理可适用于质点系。
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3.1.3 质点系动量定理几点说明：
3,与牛顿定律一样，动量定理也只适用于惯性系，
要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。
4,对于孤立体系，所受外力的矢量和为零，因而外力的冲量也为零，此时体系的总动量守恒，这就是一般情况下的孤立体系动量守恒定律。
5,动量定理的微分形式 (3.1.19)式与牛顿第二定律在形式上相同，但其意义却是不一样的，关于这点，我们在下节继续讨论。
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3.2.1 质心运动定理
3.2.2 质心坐标系
§ 3.2 质心运动定理中国科学技术大学杨维纮
3.2.1 质心运动定理
dt
d
ex
PF?动量定理的微分形式：
牛顿第二定律,aF m?
形式上相同，但其含义并不相同。牛顿第二定律是对质点而言，
但由于质点系内质点的运到情况各不相同，加速度也各不相同 。
但对质点系而言，确实存在一个特殊点,这一点从图 3.3 可以看得很清楚，尽管物体在上抛运动的同时还在旋转，物体（可以看成质点系）上各点的运动比较复杂，但物体上的某一点（中间的小孔处）的运动就简单得象一个质点的上抛一样，沿着抛物线的轨迹运动。于是我们可以定义该特殊点为 质心,并认为体系的总质量都集中在质心处 。
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3.2.1 质心运动定理定义：
n
nn
i
i
i
i
i
C
i
niC
mmm
mmm
m
m
mmmmm
21
2211
21
rrr
r
r
其中 mC,rC分别称为质心的质量和质心的坐标。于是动量定理可以写成：
CCCCex mmdt
d arPF
tt CCCCex mmdt 00 vvF
上式分别称为 质心运动定理 和 质心动量定理,其中
vC,aC分别称为质心的速度和质心的加速度。
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3.2.1 质心运动定理质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
回想一下，我们为什么可以在第一章引入“质点”的概念，而把一个复杂的物体在不考虑转动和内部运动时看成是一个“质点”？其根据正是质心运动定理。
中国科学技术大学杨维纮关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
1,质心运动定理实际上是矢量方程。 可以写成三个分量方程，运动的独立性同样成立，即：若合外力在某一分量上为零，则该分量满足动量守恒定律。
2,质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是它们的带权平均值。 质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。因而，质心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动力学概念。这一点在以后各章对质心性质的进一步讨论中将更充分地体现出来。
3,体系质心的坐标（或位矢）与坐标原点的选取有关，
但质心与体系各质点（质元）的相对位置则与坐标原点的选取无关 。
中国科学技术大学杨维纮关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
4,对质量连续分布的物体，其质心质量和质心位矢为：
dV
dV
dm
dm
dVdmm
C
C
rr
r
5,质心是一个非常有用的物理量，但可能并不对应着一个实际的东西。象这种具有抽象性质的物理量，以后会越来越多地碰到。
6,质心运动定理和牛顿第三定律适用范围相同。
中国科学技术大学杨维纮关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
7,质心的质量等于各质点的质量和，似乎是显然的结果。
但是，宏观物体由原子、分子组成，而原子、分子又在各自不断运动，为什么总质量与这些复杂的运动无关？（质心质量的表达式只是牛顿力学的一个结果，
并不是不证自明的）
8,质点组的动量等于质心动量。
注：在相对论中，质量与速度有关，且速度和动量不服从经典力学的变换，而质点的质量在不同的参考系中看来是不同的。所以，“质心”这个概念在相对论中已没有多大意义。在相对论中用“动量中心系”来取代质心系。
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3.2.2 质心坐标系把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参考系（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系叫 质心坐标系 （或 质心参考系 ），
简称 质心系 。质心坐标系在讨论质点系的力学问题中，十分有用。对于不受外力作用的体系
（孤立体系）或所受外力的矢量和为零的体系，
其质心坐标系是惯性系。对于受外力作用的体系，其质心系是非惯性系。
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3.3.1 变质量体系
3.3.2 运动方程
§ 3.3 变质量物体的运动中国科学技术大学杨维纮
3.3.1 变质量体系我们来讨论体系动量定理的一个重要应用，即所谓的变质量体系。这里所说的变质量并非指相对论中描述的质量随运动物体速度而变化的相对论情况，而是指在运动过程中不断与外界交换质量的物体的运动。
所讨论的体系有两个特征：
1,它的质量不是常数，而随时间变化，这种变化是由于外界不断有新的质量进入体系，或是体系内部不断有质量输送到外界；
2,体系中所有质点运动情况相同，因而仍可用一个质点来描写体系的运动。
归纳起来，我们是研究一个质量随时间变化的质点的运动，例如喷射高速气流的火箭、过饱和蒸汽不断凝聚于水滴上的雨滴等。
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3.3.1 变质量体系显然，这样的质点运动不能直接应用牛顿定律，也不能把体系动量定理直接搬过来用，
因为无论牛顿定律或体系动量定理，都是指一个确定组成的体系（或一个确定的质点）在给定过程中所遵循的规律。只有当体系的组成是确定的，所谓内力和外力才有确定的意义，变质量体系是不断与外界交换质量的体系，体系的组成随时间不断变化，对于这样的体系，牛顿定律和体系动量定理不适用。
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3.3.1 变质量体系我们可以把体系组成变化的过程分成一系列元过程，
在每个元过程的起始时刻，原来的体系（我们把它称为主体）和即将进入主体的物体（我们不妨称它为附体）
是分离的，经过时间，在元过程的末了时刻，附体并入主体构成一个新体系。
在该元过程中，体系动量定理又适用。这样，整个体系组成变化的过程可看成一系列不同组成的确定体系的元过程的总和。在每一元过程中，对相应的体系，
均可应用体系动量定理。
由此即可导出主体的运动方程。
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3.3.2 运动方程
t 时刻,主体质量 m,速度 v，外力 Fm
附体质量△ m，速度 u，外力 F△ m
t + △ t 时刻：主体质量 m+ △ m,速度 v+△ v，外力 F = Fm+ F△ m
体系的动量定理：
tmmmm )() )(( Fuvvv
即：
t
m
t
m
tm
)(
vFvuv
令△ t→ 0，则△ v→ 0,上式取极限得：
Fvuv dtdmdtdm )(
这就是变质量质点（即主体）
的运动方程。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
Fvuv dtdmdtdm )(
1,方程中外力 F = Fm+ F△ m,附体对主体的作用力 (u－ v)dm/dt，当 u = v时，上述方程与牛顿第二定律虽然形式上一样，但要注意仍是变量。
2,当 u = 0 时，方程变为：
FPvvv dtdmdtddtdmdtdm )(
这与牛顿第二定律一样。
3,上式虽然是在 dm/dt > 0 情况下导出的，但当
dm/dt < 0 时，结论依然正确，火箭就是这种情况的例子。
中国科学技术大学杨维纮中国科学技术大学杨维纮几点说明：
Fvuv dtdmdtdm )(
4,若主体与外界两种（或两种以上）质量交换过程时，上述方程应改写为：
Fvuvuv dtdmdtdmdtdm 2211 )()(
其中 u1,u2 分别表示附体 1和 2在并入主体前的速度,dm1/dt 和 dm2/dt 则表示相应两种交换过程的质量改变速率，而主体的质量改变为：
dt
dm
dt
dm
dt
dm 21
例 3-5：雨滴开始自由下落时质量为 m0，在下落的过程中，单位时间凝聚的水汽质量为 k，忽略空气阻力，求雨滴经时间 t 下落的距离。
解,设水汽附着于水滴前的速度 u = 0，由方程 (3.3-3)，得：
gktmvktmdtd )(])[( 00
利用初始条件,t = 0 时,v = 0,由该方程可解得：
ktm
gkttm
v
0
2
0 )2
1(
)(222
1
0
2
00
ktmk
gm
k
gmgt
dt
dx
即：
积分，并利用初始条件,t = 0 时,x = 0,得：
t
m
k
k
mt
k
mtx
0
2
002 1ln
2
1
2
1
此即水滴经时间 t 下落的距离。
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如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理量，如动量、能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规律（包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律），而直接用这些规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。
在力作为位置（或速度、时间）函数的具体形式不十分清楚的情况下（约束力和碰撞中的力就是例子），这种方法也能为我们求解问题提供一定的信息。
利用关于动量，能量和角动量的规律，却可以使我们获得关于质点系运动的许多知识。
即使在牛顿定律不一定适用的许多场合，包括微观领域，守恒定律仍然有效。这样，原来仅仅作为牛顿定律辅助工具而引入的运动定理的推论 —— 守恒定律，却成为比牛顿定律更为基本的规律。
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§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
§ 3.2 质心运动定理
§ 3.3 变质量物体的运动第三章 动 量中国科学技术大学杨维纮
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
3.1.2 冲量与质点的动量定理
3.1.3 质点系动量定理
§ 3.1 动量守恒定律与动量定理中国科学技术大学杨维纮
§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。在这一章里，我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。
这种问题，常称为 质点系问题,或 多体问题 。
在质点系中有一类是特别的，即所有质点都没有受到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说，整个体系不与外物相互作用，这种质点体系称为 孤立体系 。
中国科学技术大学杨维纮
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
21
2
2
12
1
1
f
v
f
v
dt
d
m
dt
d
m
2112 ff
0)( 2211 vv mmdtd
定义：
2211 vvP mm
0?dtdP
得,或 P =不变量此式表明，对于两个质点构成的孤立体系，我们找到了一个不变量 P，称它为 动量 。
中国科学技术大学杨维纮
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律在上述推导过程中，我们并没有用到作用力的具体形式，只用了牛顿第二、三定律，所以，这个守恒律是非常普遍的，与作用力的具体形式无关，对于任何力都适用。
对于多个质点所构成的孤立体系，可以用完全类似的方法证明体系的总动量不随时间变化，我们将它称为动量守恒定律，表述如下：
在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中，每个质点的动量都时刻在变，但它们的矢量和不变。
不变量 iPP
其中 Pi 是第 i 个质点的动量。
中国科学技术大学杨维纮
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律几点说明：
1,与牛顿定律一样，动量守恒定律只适用于惯性系。
2,体系动量守恒并不是要求体系不受外力，只要所受外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然守恒，故孤立体系的动量守恒。
3,动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式：
若 Fx = 0,则 Px = 常量；
若 Fy = 0,则 Py = 常量；
若 Fz = 0,则 Pz = 常量；
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律几点说明：
4,动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。
这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律，而直接从空间的平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，我们将在下一章中讨论。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理力作用到质点上，可以使质点的速度或动量发生变化，我们将牛顿第二定律写成微分形式，即：
pF ddt?
式中 dp 表示质点动量的改变量,Fdt表示合外力在 dt 时间内的积累量，称为 dt 时间内质点所受合外力的 冲量
（又称为 元冲量 ），记为 dJ，即,dJ = Fdt 。
上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一时间内质点动量的增量，这一关系叫做 质点动量定理的微分形式 。 实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理对 t0 到 t1 这段有限时间积分，即考虑力在某段时间内的积累效果，则有：
01
1
0
ppFJ dttt
式中 J 表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。
上式称为 质点动量定理的积分形式 。
值得注意的是，要产生同样的动量增量，力大力小都可以，力大，时间可以短些，力小，时间需长些。只要力的时间积累冲量一样，就产生同样的动量增量。
动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，
这种力通常叫做 冲力 。关于碰撞的研究我们留到下章进行。
在相对论中，质量随速率而变,F = m a 已不再正确，
但 Fdt = dp仍然正确。
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3.1.3 质点系动量定理
1,两质点系统（ n = 2）
2122
1211
fFp
fFp
2112 ff
2121 FFpp得：
体系的总动量：
221121 vvppP mm
令,21 FFFex
Fex为体系所受的外力的矢量和，称为体系所受的总外力。
dt
d
ex
PF?
tt ex dt 00 PPF
有,积分形式微分形式中国科学技术大学杨维纮
3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
nnnnn
n
n
n
Ffffp
fFffp
ffFfp
fffFp
321
3332313
2232212
1131211
jiij ff
将方程组中的所有方程相加，由于所有内力的矢量和为零，得：
dt
d
ex
PF?
其中：
i
n
i
ii
n
i
m vpP
11
i
n
i
ex FF?
1
tt ex dt 00 PPF
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3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
作用在体系上所有外力在一段时间内的总冲量等于体系动量的增量。
dt
d
ex
PF?
tt ex dt 00 PPF
体系的动量定理：
积分形式微分形式中国科学技术大学杨维纮
3.1.3 质点系动量定理几点说明：
1,只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献；但内力对动量在体系内部的分配是有作用的。
2,动量定理与牛顿定律的关系：
(1) 对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，
而动量定理说的是力对时间的积累效果。
(2) 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系；
而动量定理可适用于质点系。
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3.1.3 质点系动量定理几点说明：
3,与牛顿定律一样，动量定理也只适用于惯性系，
要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。
4,对于孤立体系，所受外力的矢量和为零，因而外力的冲量也为零，此时体系的总动量守恒，这就是一般情况下的孤立体系动量守恒定律。
5,动量定理的微分形式 (3.1.19)式与牛顿第二定律在形式上相同，但其意义却是不一样的，关于这点，我们在下节继续讨论。
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3.2.1 质心运动定理
3.2.2 质心坐标系
§ 3.2 质心运动定理中国科学技术大学杨维纮
3.2.1 质心运动定理
dt
d
ex
PF?动量定理的微分形式：
牛顿第二定律,aF m?
形式上相同，但其含义并不相同。牛顿第二定律是对质点而言，
但由于质点系内质点的运到情况各不相同，加速度也各不相同 。
但对质点系而言，确实存在一个特殊点,这一点从图 3.3 可以看得很清楚，尽管物体在上抛运动的同时还在旋转，物体（可以看成质点系）上各点的运动比较复杂，但物体上的某一点（中间的小孔处）的运动就简单得象一个质点的上抛一样，沿着抛物线的轨迹运动。于是我们可以定义该特殊点为 质心,并认为体系的总质量都集中在质心处 。
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3.2.1 质心运动定理定义：
n
nn
i
i
i
i
i
C
i
niC
mmm
mmm
m
m
mmmmm
21
2211
21
rrr
r
r
其中 mC,rC分别称为质心的质量和质心的坐标。于是动量定理可以写成：
CCCCex mmdt
d arPF
tt CCCCex mmdt 00 vvF
上式分别称为 质心运动定理 和 质心动量定理,其中
vC,aC分别称为质心的速度和质心的加速度。
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3.2.1 质心运动定理质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
回想一下，我们为什么可以在第一章引入“质点”的概念，而把一个复杂的物体在不考虑转动和内部运动时看成是一个“质点”？其根据正是质心运动定理。
中国科学技术大学杨维纮关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
1,质心运动定理实际上是矢量方程。 可以写成三个分量方程，运动的独立性同样成立，即：若合外力在某一分量上为零，则该分量满足动量守恒定律。
2,质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是它们的带权平均值。 质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。因而，质心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动力学概念。这一点在以后各章对质心性质的进一步讨论中将更充分地体现出来。
3,体系质心的坐标（或位矢）与坐标原点的选取有关，
但质心与体系各质点（质元）的相对位置则与坐标原点的选取无关 。
中国科学技术大学杨维纮关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
4,对质量连续分布的物体，其质心质量和质心位矢为：
dV
dV
dm
dm
dVdmm
C
C
rr
r
5,质心是一个非常有用的物理量，但可能并不对应着一个实际的东西。象这种具有抽象性质的物理量，以后会越来越多地碰到。
6,质心运动定理和牛顿第三定律适用范围相同。
中国科学技术大学杨维纮关于质心运动定理，有下列几点需要说明：
7,质心的质量等于各质点的质量和，似乎是显然的结果。
但是，宏观物体由原子、分子组成，而原子、分子又在各自不断运动，为什么总质量与这些复杂的运动无关？（质心质量的表达式只是牛顿力学的一个结果，
并不是不证自明的）
8,质点组的动量等于质心动量。
注：在相对论中，质量与速度有关，且速度和动量不服从经典力学的变换，而质点的质量在不同的参考系中看来是不同的。所以，“质心”这个概念在相对论中已没有多大意义。在相对论中用“动量中心系”来取代质心系。
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3.2.2 质心坐标系把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参考系（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系叫 质心坐标系 （或 质心参考系 ），
简称 质心系 。质心坐标系在讨论质点系的力学问题中，十分有用。对于不受外力作用的体系
（孤立体系）或所受外力的矢量和为零的体系，
其质心坐标系是惯性系。对于受外力作用的体系，其质心系是非惯性系。
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3.3.1 变质量体系
3.3.2 运动方程
§ 3.3 变质量物体的运动中国科学技术大学杨维纮
3.3.1 变质量体系我们来讨论体系动量定理的一个重要应用，即所谓的变质量体系。这里所说的变质量并非指相对论中描述的质量随运动物体速度而变化的相对论情况，而是指在运动过程中不断与外界交换质量的物体的运动。
所讨论的体系有两个特征：
1,它的质量不是常数，而随时间变化，这种变化是由于外界不断有新的质量进入体系，或是体系内部不断有质量输送到外界；
2,体系中所有质点运动情况相同，因而仍可用一个质点来描写体系的运动。
归纳起来，我们是研究一个质量随时间变化的质点的运动，例如喷射高速气流的火箭、过饱和蒸汽不断凝聚于水滴上的雨滴等。
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3.3.1 变质量体系显然，这样的质点运动不能直接应用牛顿定律，也不能把体系动量定理直接搬过来用，
因为无论牛顿定律或体系动量定理，都是指一个确定组成的体系（或一个确定的质点）在给定过程中所遵循的规律。只有当体系的组成是确定的，所谓内力和外力才有确定的意义，变质量体系是不断与外界交换质量的体系，体系的组成随时间不断变化，对于这样的体系，牛顿定律和体系动量定理不适用。
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3.3.1 变质量体系我们可以把体系组成变化的过程分成一系列元过程，
在每个元过程的起始时刻，原来的体系（我们把它称为主体）和即将进入主体的物体（我们不妨称它为附体）
是分离的，经过时间，在元过程的末了时刻，附体并入主体构成一个新体系。
在该元过程中，体系动量定理又适用。这样，整个体系组成变化的过程可看成一系列不同组成的确定体系的元过程的总和。在每一元过程中，对相应的体系，
均可应用体系动量定理。
由此即可导出主体的运动方程。
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3.3.2 运动方程
t 时刻,主体质量 m,速度 v，外力 Fm
附体质量△ m，速度 u，外力 F△ m
t + △ t 时刻：主体质量 m+ △ m,速度 v+△ v，外力 F = Fm+ F△ m
体系的动量定理：
tmmmm )() )(( Fuvvv
即：
t
m
t
m
tm
)(
vFvuv
令△ t→ 0，则△ v→ 0,上式取极限得：
Fvuv dtdmdtdm )(
这就是变质量质点（即主体）
的运动方程。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
Fvuv dtdmdtdm )(
1,方程中外力 F = Fm+ F△ m,附体对主体的作用力 (u－ v)dm/dt，当 u = v时，上述方程与牛顿第二定律虽然形式上一样，但要注意仍是变量。
2,当 u = 0 时，方程变为：
FPvvv dtdmdtddtdmdtdm )(
这与牛顿第二定律一样。
3,上式虽然是在 dm/dt > 0 情况下导出的，但当
dm/dt < 0 时，结论依然正确，火箭就是这种情况的例子。
中国科学技术大学杨维纮中国科学技术大学杨维纮几点说明：
Fvuv dtdmdtdm )(
4,若主体与外界两种（或两种以上）质量交换过程时，上述方程应改写为：
Fvuvuv dtdmdtdmdtdm 2211 )()(
其中 u1,u2 分别表示附体 1和 2在并入主体前的速度,dm1/dt 和 dm2/dt 则表示相应两种交换过程的质量改变速率，而主体的质量改变为：
dt
dm
dt
dm
dt
dm 21
例 3-5：雨滴开始自由下落时质量为 m0，在下落的过程中，单位时间凝聚的水汽质量为 k，忽略空气阻力，求雨滴经时间 t 下落的距离。
解,设水汽附着于水滴前的速度 u = 0，由方程 (3.3-3)，得：
gktmvktmdtd )(])[( 00
利用初始条件,t = 0 时,v = 0,由该方程可解得：
ktm
gkttm
v
0
2
0 )2
1(
)(222
1
0
2
00
ktmk
gm
k
gmgt
dt
dx
即：
积分，并利用初始条件,t = 0 时,x = 0,得：
t
m
k
k
mt
k
mtx
0
2
002 1ln
2
1
2
1
此即水滴经时间 t 下落的距离。
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