杨维纮第 9 章 流体力学流体力学研究流体（气体与液体）的宏观运动与平衡，它以流体宏观模型作为基本假说。
显然，流体的运动取决于每个粒子的运动，但若求解每个粒子的运动即不可能也无必要。对于宏观问题，
必须在微观与宏观之间建立一座桥梁。
流体宏观模型认为流体是由无数 流体元 （或称流体微团）连续地组成的（即 连续介质 ）。所谓流体元指的是这样的小块流体：它的大小与放置在流体中的实物比较是微不足道的，但比分子的平均自由程却要大得多，
它包含足够多的分子，能施行统计平均求出宏观参量，
少数分子出入于流体元不会影响稳定的平均值。
中国科学技术大学杨维纮第 9 章 流体力学另一方面，对于进行统计平均的时间也应选得足够大，使得在这段时间内，微观的性质，例如分子间的碰撞等已进行了许多次，在这段时间内进行统计平均能够得到稳定的数值。于是，从统计物理中得知，分子的物理量（质量、速度、动量和能量）
经过统计平均后变成了流体元的质量，速度，压力和温度等宏观物理量，分子质量、动量和能量等输运过程，经过统计平均后表现为扩散，粘性，热传导等宏观性质。
中国科学技术大学杨维纮第 9 章 流体力学上述微观上充分大、宏观上充分小的流体元称为 流体质点,将流体运动的空间看作是由流体质点连续地无空隙地充满着的假设称为 连续介质假设 。
应该指出，有了此假设才能把一个微观问题化成宏观问题，且数学上容易处理。实验和经验也表明在一般情况下这个假设总是成立的。
中国科学技术大学杨维纮第 9 章 流体力学但是。在某些特殊问题中，连续介质的假设也可以不成立。例如在稀薄气体力学中，分子间的距离很大，它能和物体的特征尺度比拟，这样虽然获得稳定平均值的流体元还是存在的，但是不能将它看成一个质点。又如考虑激波内的气体运动，激波的尺寸与分子平均自由程同阶，激波内的流体只能看成分子而不能当作连续介质来处理了。
中国科学技术大学杨维纮第 9 章 流体力学
§ 9.1 流体的基本性质
§ 9.2 描写流体运动的两种方法
§ 9.3 应力张量
§ 9.4 流体力学基本方程中国科学技术大学杨维纮
§ 9.1 流体的基本性质
9.1.1 易流动性
9.1.2 粘性
9.1.3 压缩性中国科学技术大学杨维纮
9.1.1 易流动性流体在静止时不能承受切向应力，不管多小的切向应力，都会引起其中各流体元彼此间的相对位移，而且取消力的作用后，流体元之间并不恢复其原有位置。正是流体的这一基本特性使它能同刚体和弹性体区别开来。刚体和弹性体也是连续介质，
但是刚体中质点之间的相互距离不论其上作用的外力如何将保持不变；而在弹性体中，当作用力在数值上达到某一界限时，系统中各点间的相互距离可以改变，但消除了力的作用之后，各点相互关系又恢复原有状态。相反地，流体能够有任意大的变形。
因此 流体在静止时只有法应力而没有切应力。流体的这个宏观性质称为易流动性。
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9.1.2 粘性流体在静止时虽不能承受切应力，但在运动时，对相邻两层流体间的相对运动即相对滑动速度是有抵抗的，
这种抵抗力称为粘性应力，流体所具有的这种抵抗两层流体相对滑动的性质称为粘性，粘性大小依赖于流体的性质，并显著地随温度而变化。实验表明，粘性应力的大小与粘性及相对速度成正比。
当流体的粘性较小，运动的相对速度也不大时，所产生的粘性应力比起其它类型的力（如惯性力）可忽略不计。此时，我们可以近似地把流体看成是无粘性的，
这样的流体称为 理想流体 。十分明显，理想流体对于切向变形没有任何抗拒能力。这样对于粘性而言，我们可以将流体分成理想流体和粘性流体两大类。应该强调指出,真正的理想流体在客观实际中是不存在的。 它只是客观流体在某种条件下的一种近似模型。
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9.1.2 粘性除了粘性外，流体还有 热传导 及 扩散 等性质。
流体的宏观性质，扩散，粘性，热传导等是分子输运性质的统计平均。由于分子的不规则运动，在各层流体间将交换着质量，动量和能量，使不同流体层内的平均物理量均匀化，
这种性质称为 分子运动的输运性质 。质量输运在宏观上表现为扩散现象，动量输运表现为粘性现象，能量输运则表现为热传导现象。
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9.1.3 压缩性流体质点的体积或密度在受到一定压力或温度差的条件下可以改变，这个性质称为压缩性。真实流体都是可以压缩的。它的压缩程度依赖子流体的性质及外界的条件。液体在通常的压力或温度下，压缩性很小。因此在一般情形下液体可以近似地看成是不可压缩的。
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§ 9.2 描写流体运动的两种方法
9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
9.2.2 欧拉方法（当地法）
9.2.3 两种方法的相互转换中国科学技术大学杨维纮
9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在拉格朗日方法中，注意的中心即着眼点是流体质点，确定所有流体质点的运动规律，即它们的位置随时间变化的规律。十分明显，如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。
现在我们将描写运动的观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。设初始时刻 t = t0 时，流体质点的坐标是 a,b,c，它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
我们约定采用 a,b,c 三个数的组合来区别流体质点，不同的 a,b,c 代表不同的质点，于是流体质点的运动规律可表为下列矢量形式：
),,;( cbatrr?
其中 r 是流体质点的矢径。在直角坐标系中，有分量式：
),,;(
),,;(
),,;(
cbatzz
cbatyy
cbatxx
变数 t； a,b,c 称为拉格朗日变数。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在上式中，如果固定 a,b,c 而令 t 改变，则得某一流体质点的运动规律，该流体质点的运动轨迹称为 迹线 。如果固定时间 t
而令 a,b,c 改变，则上式表示某一时刻不同流体质点的位置分布函数。应该指出，在拉格朗日观点中，矢径函数 r 的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。
),,;( cbatrr?
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
为了得到确定流体质点的速度,只要将 上 式对时间 t
微分而把起始坐标 a,b,c 当作常数就可以了，即
t
cbat
t?
),,;(rru
其分量式为：
t
cbatz
t
z
u
t
cbaty
t
y
u
t
cbatx
t
x
u
z
y
x
),,;(
),,;(
),,;(
),,;( cbatrr?
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
同样可以得到确定流体质点的加速度：
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t?
rru?
其分量式为：
2
2
2
2
2
2
),,;(
),,;(
),,;(
t
cbatz
t
u
u
t
cbaty
t
u
u
t
cbatx
t
u
u
z
z
y
y
x
x
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在以上各式中，如给 a,b,c 以不同的值而令 t 不变，则得到在确定时刻 t
流体质点的位置、速度和加速度分布；
特别是，当 t = t0 而 a,b,c 可以改变，
则得各流体质点的起始位置、速度和加速度分布。
t
cbat
t?
),,;(rru
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t?
rru?
),,;( cbatrr?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
欧拉方法不直接考虑个别流体质点如何运动，而是用场的观点研究流体运动。它只集中注意力于那些发生在空间给定点的流动情况；对于流体质点从什么地方和如何在给定时刻达到这一点，经过这点以后又会运行到别的什么地方和怎样运行到那些地方的，这一切问题从欧拉方法观点看来并不是基本的。这样，
欧拉方法是把空间某一固定点 (x,y,z) 的流体质点的速度当作时间的函数来研究的；显然，这个速度也是坐标 (x,y,z) 的函数。因此，
)r ;( tuu?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
其分量为变数 t； x,y,z 称为欧拉变数。如果在上式中把 t 当作可变的，而把 x,y,z 当作常数，则对不同的 t 我们得到不同时刻经过空间中确定点的不同流体质点的速度；而如把 t
当作常数,x,y,z 当作变数，则可得到对于确定时刻空间中流体质点的速度分布。
),,;(
),,;(
),,;(
zyxtuu
zyxtuu
zyxtuu
zz
yy
xx
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
由于上式确定的速度函数是定义在空间点上的，
它们是空间点坐标 x,y,z 的函数，所以我们研究的是场，如速度场等。因此当我们采用欧拉观点描述运动时，就可以利用场论的知识。若场内函数不依赖矢径
r 则称之为 均匀场,反之称之为 非均匀场 ；若场内函数不依赖时间则称为 定常场,反之称为 非定常场 。
)r ;( tuu?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电力线，磁场中引入磁力线一样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定的：
流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向。
图 (a) 给出了几种常见的流线。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
一般情况下空间各点的流速随时间 t 变化,因此流线也是随时间变化的 。 由于流线分布与一定的瞬时相对应 (参见图 (c) ),所以在一般情况下,流线并不代表流体中微粒运动的轨迹 。
只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的轨迹。只有此时流线才与迹线重合。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
另外,由于流线的切线表示流体内微粒运动的方向,所以流线永远不会相交,
因为如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒经过该点时同时具有两个不同的速度,这当然是不可能的 。
在流体内部取一微小的封闭曲线,通过曲线上各点的流线所围成的细管就称为流管 。 如图 (b)所示 。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
由于流线不会相交,因此流管内,外的流体都不具有穿过流管的速度,也就是说流管内部的流体不能流到流管外面,流管外的流体也不能流入流管内 。
流线的方程：
zyx u
dz
u
dy
u
dx
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
当过渡到推演流体质点的加速度时，我们要从两个不同观点来考虑这个问题。如果我们的兴趣是在这样的问题上：即当不同流体质点经过空间中给定点时，
该点的速度怎样随时间变化？那么为了回答这个问题，
只要把上式对时间微分并设 x,y,z 为常数就可以了。
这时得到的偏微分：
)r ;( tuu?
t
u
t
u
t
u
t
zyx
; ; ;u
称为 局部微商 （或 当地微商 ）。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
另一方面，可以提出关于计算在给定时刻经过空间中 x,y,z 点的流体质点的加速度问题。在此情形，
坐标 x,y,z 就应视为可变的，因为在无限小的时间间隔 dt 中，所考虑的流体质点正在从 x,y,z 点进入到新位置。由于运动点本身的坐标 x,y,z 是时间 t 的函数，
因此上式对时间微分便得到流体质点加速度的下列表示式：
)r ;( tuu?
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xtdt
d
uuuuu
但是
zyx udt
dzu
dt
dyu
dt
dx
故有
uuuuuuuu )( tuzuyuxtdtd zyx
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
uuuuuuuu )( tuzuyuxtdtd zyx
微商 du/dt 是沿着介质（物质）的流体质点的轨道计算的，因此称为 个体微商 或 随体微商 。从解析方面看，
它就是 u =u(t; r) 对时间 t 的全微商。 (u·▽ )u 项是速度对时间的 迁移微商 或 随流微商,它给出流体质点速度由于该流体质点在空间位移而产生的变化。这样，在给定时刻经过空间中指定点的流体质点的加速度，是由在该点的速度矢量的改变（局部的改变）与流体质点运行时的速度矢量的改变（迁移的改变）之和来决定的。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
上述将随体微商分解为局部微商和随流微商的方法可以推广到与流体质点个别运动相联系的任何其它的时间与坐标的函数 ——标量、矢量或张量。例如，在一定瞬间，
流体质点在空间的每一位置都对应着一个标量 p（如流体质点的温度或密度），那么 p 的数值的集合构成某一个标量场。当流体质点运动时，由于场的非定常性（ p
的局部改变）和流体质点随时间从一点到另一点的移动
（ p 的迂移改变）,p 在改变。量 p 对时间的全微商是：
ptpdtdp )( u
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
同样，对于与运动着的个别流体质点相联系的任何矢量函数 a 或张量函数 T，我们得到：
auaa )( tdtd
TuTT )( tdtd
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9.2.3 两种方法的相互转换虽然，拉格朗日方法和欧拉方法从不同观点出发描绘了流体的运动，但是这两种方法实质上是等价的，它们之间可以相互转换，
因此它们同样完全地描绘了一个流体的运动。
现在我们证明两种方法的等价性。
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9.2.3 两种方法的相互转换
(1) 拉格朗日法?欧拉法设拉格朗日方法中的运动规律函数已知
)1( ),,;( cbatrr?
则速度函数是
)2( ),,;( t cbatt rru
由 (1)式反解得
) ;(
) ;(
) ;(
r
r
r
tcc
tbb
taa
代入 (2)式即得欧拉方法中的速度函数：
)r ;( tuu?
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9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法?拉格朗日法设拉格朗日方法中的速度函数已知
) ;( ruu t?
将其写成：
) ;( rur tdtd?
这是一个由三个方程组成的确定 r 的常微分方程组，解之得
)1( ),,;( 321 ccctrr?
其中 c1,c2,c3 是三个积分常数，由 t = t0 时 r = r0 的初始条件确定。即：
)2( ),,;( 32100 ccctrr?
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9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法?拉格朗日法
)1( ),,;( 321 ccctrr?
)2( ),,;( 32100 ccctrr?
反解得：
) ;(
) ;(
) ;(
0033
0022
0011
r
r
r
tcc
tcc
tcc
上式可视为确定曲线坐标 c1,c2,c3 的方程，将 c1,c2,c3
取为区别不同质点的曲线坐标 a,b,c，这样我们由 (1)得到
),,;( cbatrr?
这就是拉格朗日变数中的运动规律。
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§ 9.3 应力张量作用于流体质点的力，可以分为两类：
体积力 和 表面力 。体积力是作用在流体所有质点上的力，如重力，电磁力和惯性力；表面力是只作用在所分出的流体侧面上的力，
如流体压力，内摩擦力。作用在单位侧面积上的表面力称为 应力 。
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§ 9.3 应力张量为了考察流体中某点 M 附近应力的情况，我们可以通过点取一小面元，而后求前方的流体通过此面元对后方流体作用力有多大，如图所示。用 df
表示这个作用力，则?dd fp?
就代表作用在单位面积上的表面力，即应力。应力 p 在法线 n 上的投影 pn，叫作 法应力,而应力在过同一点的切面上的投影 pr 叫作 切应力 。由于流体中可以存在切应力，故 p 的方向一般不与面元的方向（即 n的方向）相同，当 n 的方向改变时,p 的大小和方向也随之改变。
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§ 9.3 应力张量由此可见体积力和表面力的基本差异是：体积力分布密度是空间点和时间的单值函数，也即它形成一个矢量场，而应力则在空间每一点随受力面取向的不同而有无穷多个值。我们可以说应力是两个矢量的函数：即空间点的位置矢量 r 和该点处小面元的法线单位矢量 n 的函数。
如果我们对于“通过 M 点、任意方向的小面元”所相应的应力都清楚了，那么可以认为我们对这一点的应力情况就完全清楚了。下面我们来证明，应力可以表示成小面元的单位法线矢量与某个张量的乘积。这个张量是空间点的位置的单值函数，也就是说，它将与小面元的方向无关，而同时却可以用来确定应力 p。
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§ 9.3 应力张量考虑在流体中割出的、
侧面平行于坐标面的一小四面体 MABC，如图所示。则这个面积的大小各为
xnx dd eσ
yny dd eσ
znz dd eσ
令 pn,px,py,pz 分别表示相应于上述四个小面元的应力，
则作用在这些小面元上的表面力就等于
zzyyxxn dddd pppp,,,n
于是有, dddddd czzyyxxn n uppppF
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§ 9.3 应力张量
dddddd czzyyxxn n uppppF
在该方程中，包含体积元的第一和第二项是三阶无穷小，它和其它与面积元成比例的各项比较起来可以舍去，于是我们得到
znzynyxnx
zzyyxxn
ddd
dddd
epepep
pppp
σσσ
n
即
zyx pppp n
这里 是斜面小面元 n 的法线的方向余弦。上式在坐标轴上的投影是：
,,
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
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§ 9.3 应力张量
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
上式中九个应力的集合，构成一个二阶张量，称为 应力张量,我们用大写字母 P 来表示它：
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ppp
ppp
ppp
P
作用在任意以 n 为单位法矢量的斜面元上的应力，可以通过用该单位矢量 n 和应力张量 P 的乘积表示，或写成
Pnpn
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§ 9.3 应力张量对于理想流体，因为假定它是无粘性的，故其应力的切向分量都等于零，作用于任一面元上的应力只是正压力。于是理想流体，或处于平衡的流体，其应力张量
P 可以表示为
I 为单位张量。
Pnpn
IP p
p
p
p
00
00
00
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§ 9.3 应力张量对于一般情况，应力张量 P 可以表示为
IuuSP )32(2 p其中
称为 粘滞系数,它只取决于流体的物理性质和温度，
而与运动的性质无关。这就是所谓的牛顿应力定律。
称为 第二粘滞系数（ 或 体积粘滞系数）,它是由流体的可压缩性带来的，它与受压缩时的内力有关；
S 为 变形速度张量,
定义为：
z
u
z
u
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
y
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
x
u
x
u
zyzxz
yzyxy
xzxyx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
S
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§ 9.4 流体力学基本方程
9.4.1 连续性方程
9.4.2 运动方程
9.4.3 能量方程中国科学技术大学杨维纮
9.4.1 连续性方程
σddt u d ) ( u
由于体积的任意性，立即得到：
0) ( ut 0 udtd
该方程称为 连续性方程。 在定常流动情况
0 t?连续性方程变为：
0) ( u?
对于不可压缩流体
0?dtd?
连续性方程变为,0 u
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9.4.2 运动方程
ddddtd npgu
dd Pg
由于体积的任意性，立即得到：
gPudtd
该方程称为 运动方程。 将 P 的具体形式代入可得：
guuuuu )(3)( pt
该方程通常称为纳维尔 -斯托克斯（ Navier-Stokes）方程。
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9.4.2 运动方程
guuuuu )(3)( pt
对于理想流体
guuu )( pt
对于定常流动
Vt g 0
V 为单位质量流体的势能。由于
uuuu )(21)( 2 u
故
)(21)( 2 uuuu u
运动方程为
01)(21 2 Vpu?uu
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9.4.2 运动方程
01)(21 2 Vpu?uu
称为涡量，对于无旋运动u 0 u
于是，对于不可压缩（ ρ= 常数）无旋定常流动，有：
0
2
1 2?
Vpv
即常数 Vpv
2
2
1
该方程称为伯努利定理。
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9.4.3 能量方程略中国科学技术大学杨维纮
显然，流体的运动取决于每个粒子的运动，但若求解每个粒子的运动即不可能也无必要。对于宏观问题，
必须在微观与宏观之间建立一座桥梁。
流体宏观模型认为流体是由无数 流体元 （或称流体微团）连续地组成的（即 连续介质 ）。所谓流体元指的是这样的小块流体：它的大小与放置在流体中的实物比较是微不足道的，但比分子的平均自由程却要大得多，
它包含足够多的分子，能施行统计平均求出宏观参量，
少数分子出入于流体元不会影响稳定的平均值。
中国科学技术大学杨维纮第 9 章 流体力学另一方面，对于进行统计平均的时间也应选得足够大，使得在这段时间内，微观的性质，例如分子间的碰撞等已进行了许多次，在这段时间内进行统计平均能够得到稳定的数值。于是，从统计物理中得知，分子的物理量（质量、速度、动量和能量）
经过统计平均后变成了流体元的质量，速度，压力和温度等宏观物理量，分子质量、动量和能量等输运过程，经过统计平均后表现为扩散，粘性，热传导等宏观性质。
中国科学技术大学杨维纮第 9 章 流体力学上述微观上充分大、宏观上充分小的流体元称为 流体质点,将流体运动的空间看作是由流体质点连续地无空隙地充满着的假设称为 连续介质假设 。
应该指出，有了此假设才能把一个微观问题化成宏观问题，且数学上容易处理。实验和经验也表明在一般情况下这个假设总是成立的。
中国科学技术大学杨维纮第 9 章 流体力学但是。在某些特殊问题中，连续介质的假设也可以不成立。例如在稀薄气体力学中，分子间的距离很大，它能和物体的特征尺度比拟，这样虽然获得稳定平均值的流体元还是存在的，但是不能将它看成一个质点。又如考虑激波内的气体运动，激波的尺寸与分子平均自由程同阶，激波内的流体只能看成分子而不能当作连续介质来处理了。
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§ 9.1 流体的基本性质
§ 9.2 描写流体运动的两种方法
§ 9.3 应力张量
§ 9.4 流体力学基本方程中国科学技术大学杨维纮
§ 9.1 流体的基本性质
9.1.1 易流动性
9.1.2 粘性
9.1.3 压缩性中国科学技术大学杨维纮
9.1.1 易流动性流体在静止时不能承受切向应力，不管多小的切向应力，都会引起其中各流体元彼此间的相对位移，而且取消力的作用后，流体元之间并不恢复其原有位置。正是流体的这一基本特性使它能同刚体和弹性体区别开来。刚体和弹性体也是连续介质，
但是刚体中质点之间的相互距离不论其上作用的外力如何将保持不变；而在弹性体中，当作用力在数值上达到某一界限时，系统中各点间的相互距离可以改变，但消除了力的作用之后，各点相互关系又恢复原有状态。相反地，流体能够有任意大的变形。
因此 流体在静止时只有法应力而没有切应力。流体的这个宏观性质称为易流动性。
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9.1.2 粘性流体在静止时虽不能承受切应力，但在运动时，对相邻两层流体间的相对运动即相对滑动速度是有抵抗的，
这种抵抗力称为粘性应力，流体所具有的这种抵抗两层流体相对滑动的性质称为粘性，粘性大小依赖于流体的性质，并显著地随温度而变化。实验表明，粘性应力的大小与粘性及相对速度成正比。
当流体的粘性较小，运动的相对速度也不大时，所产生的粘性应力比起其它类型的力（如惯性力）可忽略不计。此时，我们可以近似地把流体看成是无粘性的，
这样的流体称为 理想流体 。十分明显，理想流体对于切向变形没有任何抗拒能力。这样对于粘性而言，我们可以将流体分成理想流体和粘性流体两大类。应该强调指出,真正的理想流体在客观实际中是不存在的。 它只是客观流体在某种条件下的一种近似模型。
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9.1.2 粘性除了粘性外，流体还有 热传导 及 扩散 等性质。
流体的宏观性质，扩散，粘性，热传导等是分子输运性质的统计平均。由于分子的不规则运动，在各层流体间将交换着质量，动量和能量，使不同流体层内的平均物理量均匀化，
这种性质称为 分子运动的输运性质 。质量输运在宏观上表现为扩散现象，动量输运表现为粘性现象，能量输运则表现为热传导现象。
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9.1.3 压缩性流体质点的体积或密度在受到一定压力或温度差的条件下可以改变，这个性质称为压缩性。真实流体都是可以压缩的。它的压缩程度依赖子流体的性质及外界的条件。液体在通常的压力或温度下，压缩性很小。因此在一般情形下液体可以近似地看成是不可压缩的。
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§ 9.2 描写流体运动的两种方法
9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
9.2.2 欧拉方法（当地法）
9.2.3 两种方法的相互转换中国科学技术大学杨维纮
9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在拉格朗日方法中，注意的中心即着眼点是流体质点，确定所有流体质点的运动规律，即它们的位置随时间变化的规律。十分明显，如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。
现在我们将描写运动的观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。设初始时刻 t = t0 时，流体质点的坐标是 a,b,c，它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
我们约定采用 a,b,c 三个数的组合来区别流体质点，不同的 a,b,c 代表不同的质点，于是流体质点的运动规律可表为下列矢量形式：
),,;( cbatrr?
其中 r 是流体质点的矢径。在直角坐标系中，有分量式：
),,;(
),,;(
),,;(
cbatzz
cbatyy
cbatxx
变数 t； a,b,c 称为拉格朗日变数。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在上式中，如果固定 a,b,c 而令 t 改变，则得某一流体质点的运动规律，该流体质点的运动轨迹称为 迹线 。如果固定时间 t
而令 a,b,c 改变，则上式表示某一时刻不同流体质点的位置分布函数。应该指出，在拉格朗日观点中，矢径函数 r 的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。
),,;( cbatrr?
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
为了得到确定流体质点的速度,只要将 上 式对时间 t
微分而把起始坐标 a,b,c 当作常数就可以了，即
t
cbat
t?
),,;(rru
其分量式为：
t
cbatz
t
z
u
t
cbaty
t
y
u
t
cbatx
t
x
u
z
y
x
),,;(
),,;(
),,;(
),,;( cbatrr?
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
同样可以得到确定流体质点的加速度：
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t?
rru?
其分量式为：
2
2
2
2
2
2
),,;(
),,;(
),,;(
t
cbatz
t
u
u
t
cbaty
t
u
u
t
cbatx
t
u
u
z
z
y
y
x
x
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在以上各式中，如给 a,b,c 以不同的值而令 t 不变，则得到在确定时刻 t
流体质点的位置、速度和加速度分布；
特别是，当 t = t0 而 a,b,c 可以改变，
则得各流体质点的起始位置、速度和加速度分布。
t
cbat
t?
),,;(rru
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t?
rru?
),,;( cbatrr?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
欧拉方法不直接考虑个别流体质点如何运动，而是用场的观点研究流体运动。它只集中注意力于那些发生在空间给定点的流动情况；对于流体质点从什么地方和如何在给定时刻达到这一点，经过这点以后又会运行到别的什么地方和怎样运行到那些地方的，这一切问题从欧拉方法观点看来并不是基本的。这样，
欧拉方法是把空间某一固定点 (x,y,z) 的流体质点的速度当作时间的函数来研究的；显然，这个速度也是坐标 (x,y,z) 的函数。因此，
)r ;( tuu?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
其分量为变数 t； x,y,z 称为欧拉变数。如果在上式中把 t 当作可变的，而把 x,y,z 当作常数，则对不同的 t 我们得到不同时刻经过空间中确定点的不同流体质点的速度；而如把 t
当作常数,x,y,z 当作变数，则可得到对于确定时刻空间中流体质点的速度分布。
),,;(
),,;(
),,;(
zyxtuu
zyxtuu
zyxtuu
zz
yy
xx
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
由于上式确定的速度函数是定义在空间点上的，
它们是空间点坐标 x,y,z 的函数，所以我们研究的是场，如速度场等。因此当我们采用欧拉观点描述运动时，就可以利用场论的知识。若场内函数不依赖矢径
r 则称之为 均匀场,反之称之为 非均匀场 ；若场内函数不依赖时间则称为 定常场,反之称为 非定常场 。
)r ;( tuu?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电力线，磁场中引入磁力线一样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定的：
流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向。
图 (a) 给出了几种常见的流线。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
一般情况下空间各点的流速随时间 t 变化,因此流线也是随时间变化的 。 由于流线分布与一定的瞬时相对应 (参见图 (c) ),所以在一般情况下,流线并不代表流体中微粒运动的轨迹 。
只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的轨迹。只有此时流线才与迹线重合。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
另外,由于流线的切线表示流体内微粒运动的方向,所以流线永远不会相交,
因为如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒经过该点时同时具有两个不同的速度,这当然是不可能的 。
在流体内部取一微小的封闭曲线,通过曲线上各点的流线所围成的细管就称为流管 。 如图 (b)所示 。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu?
由于流线不会相交,因此流管内,外的流体都不具有穿过流管的速度,也就是说流管内部的流体不能流到流管外面,流管外的流体也不能流入流管内 。
流线的方程：
zyx u
dz
u
dy
u
dx
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
当过渡到推演流体质点的加速度时，我们要从两个不同观点来考虑这个问题。如果我们的兴趣是在这样的问题上：即当不同流体质点经过空间中给定点时，
该点的速度怎样随时间变化？那么为了回答这个问题，
只要把上式对时间微分并设 x,y,z 为常数就可以了。
这时得到的偏微分：
)r ;( tuu?
t
u
t
u
t
u
t
zyx
; ; ;u
称为 局部微商 （或 当地微商 ）。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
另一方面，可以提出关于计算在给定时刻经过空间中 x,y,z 点的流体质点的加速度问题。在此情形，
坐标 x,y,z 就应视为可变的，因为在无限小的时间间隔 dt 中，所考虑的流体质点正在从 x,y,z 点进入到新位置。由于运动点本身的坐标 x,y,z 是时间 t 的函数，
因此上式对时间微分便得到流体质点加速度的下列表示式：
)r ;( tuu?
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xtdt
d
uuuuu
但是
zyx udt
dzu
dt
dyu
dt
dx
故有
uuuuuuuu )( tuzuyuxtdtd zyx
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
uuuuuuuu )( tuzuyuxtdtd zyx
微商 du/dt 是沿着介质（物质）的流体质点的轨道计算的，因此称为 个体微商 或 随体微商 。从解析方面看，
它就是 u =u(t; r) 对时间 t 的全微商。 (u·▽ )u 项是速度对时间的 迁移微商 或 随流微商,它给出流体质点速度由于该流体质点在空间位移而产生的变化。这样，在给定时刻经过空间中指定点的流体质点的加速度，是由在该点的速度矢量的改变（局部的改变）与流体质点运行时的速度矢量的改变（迁移的改变）之和来决定的。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
上述将随体微商分解为局部微商和随流微商的方法可以推广到与流体质点个别运动相联系的任何其它的时间与坐标的函数 ——标量、矢量或张量。例如，在一定瞬间，
流体质点在空间的每一位置都对应着一个标量 p（如流体质点的温度或密度），那么 p 的数值的集合构成某一个标量场。当流体质点运动时，由于场的非定常性（ p
的局部改变）和流体质点随时间从一点到另一点的移动
（ p 的迂移改变）,p 在改变。量 p 对时间的全微商是：
ptpdtdp )( u
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
同样，对于与运动着的个别流体质点相联系的任何矢量函数 a 或张量函数 T，我们得到：
auaa )( tdtd
TuTT )( tdtd
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9.2.3 两种方法的相互转换虽然，拉格朗日方法和欧拉方法从不同观点出发描绘了流体的运动，但是这两种方法实质上是等价的，它们之间可以相互转换，
因此它们同样完全地描绘了一个流体的运动。
现在我们证明两种方法的等价性。
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9.2.3 两种方法的相互转换
(1) 拉格朗日法?欧拉法设拉格朗日方法中的运动规律函数已知
)1( ),,;( cbatrr?
则速度函数是
)2( ),,;( t cbatt rru
由 (1)式反解得
) ;(
) ;(
) ;(
r
r
r
tcc
tbb
taa
代入 (2)式即得欧拉方法中的速度函数：
)r ;( tuu?
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9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法?拉格朗日法设拉格朗日方法中的速度函数已知
) ;( ruu t?
将其写成：
) ;( rur tdtd?
这是一个由三个方程组成的确定 r 的常微分方程组，解之得
)1( ),,;( 321 ccctrr?
其中 c1,c2,c3 是三个积分常数，由 t = t0 时 r = r0 的初始条件确定。即：
)2( ),,;( 32100 ccctrr?
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9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法?拉格朗日法
)1( ),,;( 321 ccctrr?
)2( ),,;( 32100 ccctrr?
反解得：
) ;(
) ;(
) ;(
0033
0022
0011
r
r
r
tcc
tcc
tcc
上式可视为确定曲线坐标 c1,c2,c3 的方程，将 c1,c2,c3
取为区别不同质点的曲线坐标 a,b,c，这样我们由 (1)得到
),,;( cbatrr?
这就是拉格朗日变数中的运动规律。
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§ 9.3 应力张量作用于流体质点的力，可以分为两类：
体积力 和 表面力 。体积力是作用在流体所有质点上的力，如重力，电磁力和惯性力；表面力是只作用在所分出的流体侧面上的力，
如流体压力，内摩擦力。作用在单位侧面积上的表面力称为 应力 。
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§ 9.3 应力张量为了考察流体中某点 M 附近应力的情况，我们可以通过点取一小面元，而后求前方的流体通过此面元对后方流体作用力有多大，如图所示。用 df
表示这个作用力，则?dd fp?
就代表作用在单位面积上的表面力，即应力。应力 p 在法线 n 上的投影 pn，叫作 法应力,而应力在过同一点的切面上的投影 pr 叫作 切应力 。由于流体中可以存在切应力，故 p 的方向一般不与面元的方向（即 n的方向）相同，当 n 的方向改变时,p 的大小和方向也随之改变。
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§ 9.3 应力张量由此可见体积力和表面力的基本差异是：体积力分布密度是空间点和时间的单值函数，也即它形成一个矢量场，而应力则在空间每一点随受力面取向的不同而有无穷多个值。我们可以说应力是两个矢量的函数：即空间点的位置矢量 r 和该点处小面元的法线单位矢量 n 的函数。
如果我们对于“通过 M 点、任意方向的小面元”所相应的应力都清楚了，那么可以认为我们对这一点的应力情况就完全清楚了。下面我们来证明，应力可以表示成小面元的单位法线矢量与某个张量的乘积。这个张量是空间点的位置的单值函数，也就是说，它将与小面元的方向无关，而同时却可以用来确定应力 p。
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§ 9.3 应力张量考虑在流体中割出的、
侧面平行于坐标面的一小四面体 MABC，如图所示。则这个面积的大小各为
xnx dd eσ
yny dd eσ
znz dd eσ
令 pn,px,py,pz 分别表示相应于上述四个小面元的应力，
则作用在这些小面元上的表面力就等于
zzyyxxn dddd pppp,,,n
于是有, dddddd czzyyxxn n uppppF
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§ 9.3 应力张量
dddddd czzyyxxn n uppppF
在该方程中，包含体积元的第一和第二项是三阶无穷小，它和其它与面积元成比例的各项比较起来可以舍去，于是我们得到
znzynyxnx
zzyyxxn
ddd
dddd
epepep
pppp
σσσ
n
即
zyx pppp n
这里 是斜面小面元 n 的法线的方向余弦。上式在坐标轴上的投影是：
,,
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
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§ 9.3 应力张量
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
上式中九个应力的集合，构成一个二阶张量，称为 应力张量,我们用大写字母 P 来表示它：
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ppp
ppp
ppp
P
作用在任意以 n 为单位法矢量的斜面元上的应力，可以通过用该单位矢量 n 和应力张量 P 的乘积表示，或写成
Pnpn
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§ 9.3 应力张量对于理想流体，因为假定它是无粘性的，故其应力的切向分量都等于零，作用于任一面元上的应力只是正压力。于是理想流体，或处于平衡的流体，其应力张量
P 可以表示为
I 为单位张量。
Pnpn
IP p
p
p
p
00
00
00
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§ 9.3 应力张量对于一般情况，应力张量 P 可以表示为
IuuSP )32(2 p其中
称为 粘滞系数,它只取决于流体的物理性质和温度，
而与运动的性质无关。这就是所谓的牛顿应力定律。
称为 第二粘滞系数（ 或 体积粘滞系数）,它是由流体的可压缩性带来的，它与受压缩时的内力有关；
S 为 变形速度张量,
定义为：
z
u
z
u
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
y
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
x
u
x
u
zyzxz
yzyxy
xzxyx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
S
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§ 9.4 流体力学基本方程
9.4.1 连续性方程
9.4.2 运动方程
9.4.3 能量方程中国科学技术大学杨维纮
9.4.1 连续性方程
σddt u d ) ( u
由于体积的任意性，立即得到：
0) ( ut 0 udtd
该方程称为 连续性方程。 在定常流动情况
0 t?连续性方程变为：
0) ( u?
对于不可压缩流体
0?dtd?
连续性方程变为,0 u
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9.4.2 运动方程
ddddtd npgu
dd Pg
由于体积的任意性，立即得到：
gPudtd
该方程称为 运动方程。 将 P 的具体形式代入可得：
guuuuu )(3)( pt
该方程通常称为纳维尔 -斯托克斯（ Navier-Stokes）方程。
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9.4.2 运动方程
guuuuu )(3)( pt
对于理想流体
guuu )( pt
对于定常流动
Vt g 0
V 为单位质量流体的势能。由于
uuuu )(21)( 2 u
故
)(21)( 2 uuuu u
运动方程为
01)(21 2 Vpu?uu
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9.4.2 运动方程
01)(21 2 Vpu?uu
称为涡量，对于无旋运动u 0 u
于是，对于不可压缩（ ρ= 常数）无旋定常流动，有：
0
2
1 2?
Vpv
即常数 Vpv
2
2
1
该方程称为伯努利定理。
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9.4.3 能量方程略中国科学技术大学杨维纮
