杨维纮第七章 振动和波人们习惯于按照物质运动的形态，把经典物理学分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和波，仅从微观理论的基石 —— 量子力学又称波动力学这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。尽管在物理学的各分支学科里振动和波的具体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所以，本章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理学打基础。
中国科学技术大学杨维纮第七章 振动和波
§ 7.1 简谐振动
§ 7.2 阻尼振动
§ 7.3 受迫振动与共振
§ 7.4 二自由度振动 *
§ 7.5 机械波
§ 7.6 波在空间中的传播
§ 7.7 波的叠加
§ 7.8 多普勒效应
§ 7.9 非线性波简介中国科学技术大学杨维纮
7.1.1 平衡与振动
7.1.2 恢复力与弹性力
7.1.3 简谐振动的描述
7.1.4 谐振子的能量
7.1.5 振动的合成与分解
§ 7.1 简谐振动中国科学技术大学杨维纮
§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动处于静止状态的物体，
我们称之为平衡，此时物体不受力或所受的合力为零。
如果处于平衡位置的物体受到某种扰动而离开了平衡位置，则我们根据该物体以后能否保持平衡而将平衡分为以下四种：稳定平衡、亚稳平衡、不稳平衡和随遇平衡，
如图 7.1所示。
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§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动我们仅讨论处于稳定平衡（严格地说，稳定平衡是理想情况，绝对的稳定平衡是没有的）或亚稳平衡而扰动较小的情况，
此时物体将会发生振动。
我们把振动的物体称为 振子 。
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7.1.2 恢复力与弹性力图 7.2的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力，
物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到点，
然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡位置移动的力叫作 恢复力 。
恢复力和惯性这一对矛盾不断斗争，它们的作用交替消长，力学系统就在平衡位置左右一定范围内来回振动。
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7.1.2 恢复力与弹性力弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律：
kxF
式中 x 是物体对平衡位置的位移,k 叫作 弹性系数 （或倔强系数 ）,k 越大表示弹簧越硬。
由胡克定律可知弹性力有两个特点：
1,因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到平衡位置；
2,因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也越大。
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7.1.2 恢复力与弹性力除了弹簧外，其他的力也可能具有 (7.1.1)式的形式。
如图 7.3所示的单摆，如将小球从平衡位置拉到点再松手，
小球将在平衡位置点附近往复摆动。它的结构虽与上述弹簧振子完全不同，但它们的运动性质是十分相似的。
s i n mgmgF
式中负号表示 F 与角位移方向相反。
可见，单摆所受的虽不是弹性力，但 (7.1.2)式在形式上与 (7.1.1)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表达式的力，叫做 准弹性力 。
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7.1.2 恢复力与弹性力准弹性力的实例，还可以举出许多。例如琴弦的颤动，树木的摇曳，分子的振动等，都是在准弹性力作用下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动，大都是准弹性力作用下的运动。
现在我们来证明,一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
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7.1.2 恢复力与弹性力定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
证,设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。
把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开
2
02
2
00 )(2
1)()(
00
xxdx VdxxdxdVVxV
xxxx
因 F(x) =﹣ dV /dt,x0 是平衡点，在该点有 F(x0) = 0，故
2
02
2
0 )(2
1)(
0
xxdx VdVxV
xx
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx
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7.1.2 恢复力与弹性力
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx令
0
2
2
xxdx
Vdk
由于 x0 是平衡点，故 k > 0。将 (7.1.6)式代入 (7.1.5)，只保留第一项，得：
)( 0xxkF
可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与 (7.1.1)
式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。
[证毕 ]
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7.1.2 恢复力与弹性力取 V0 =0,x0 = 0，在 (7.1.4)中只保留一项，得势能为：
2
2
1)( kxxV?
势能的曲线示于图 7.4。
由图可见，在一个严格的弹性力作用下的质点只可能作束缚运动，对任何大的能量
E，质点都不能作自由运动，
而只能在下列有限范围内运动，即：
m a xm i n xxx
其中：
k
Ex
k
Ex 2,2
m a xm i n
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7.1.3 简谐振动的描述
1,简谐振动解如图 7.2所示，设弹簧振子的质量为 m，弹簧的倔强系数为 k，选取 x 轴，以平衡位置 O 为原点，则振子的运动方程为：
kxxm
令：
m
k?2?
解为,) c o s (
0 tAx
其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运动为 简谐振动 。0
,?A
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频率和相位。
(1) 振幅 A
) c o s ( 0 tAx
A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，
它正比于 (E)1/2，即它的平方正比于系统的机械能，
A2 ∝ E ；
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(2) 角频率 ω（也称圆频率）
) c o s ( 0 tAx
振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时间称为 周期,用 T 表示。由 (7.1.13)
可知周期 T 与角频率 ω的关系为,T = 2π /ω。周期的倒数称为 频率 ν,ν= 1/T = ω/2π。周期的单位是
“秒”；频率的单位是“秒 -1”，这有个专门的名称
“赫兹（ Hz）”；角频率的单位是“弧度／秒
（ rad/s）”。对于弹簧振子，频率与周期为
k
mT
m
k?
2,2
1
可见弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，
而与初始条件无关，故称为振子的 固有频率 。
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(3) 相位 （或 位相 ）
) c o s ( 0 tAx
0 t
其中时刻 t = 0 的相位，称为初相位 。相位是相对的，通过计时零点的选择，我们总可以使初相位：
而多个简谐运动之间的 相位差 是重要的。
00
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7.1.3 简谐振动的描述我们说振幅、角频率（或频率、周期）和相位是描绘简谐振动的三个特征参量，是因为有了它们就可以把一个简谐振动完全确定下来。振幅和相位与频率不同，
它们不是振子的固有性质，而是由初始条件决定的。
2,简谐振动的特征参量中国科学技术大学杨维纮
7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(1) x-t曲线图示法简谐振动可以用三角函数表示，也可用图 7.6的曲线图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(2) 振幅矢量法简谐振动还可以用旋转振幅矢量（也称相矢量）来表示。
自原点画一条长等于振幅的矢量 A，开始时 ( t=0 )，让矢量 A
与 x 轴的夹角等于振动的初位相，令 A 以角速度（就是振动角频率）逆时针方向旋转，则矢量在轴上的投影就是振动的位移（如图 7.7）。
这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把振幅、频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表示法。
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(3) 复数法利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示
) ( 0 tiAex
tieAx或
0?iAeA
其中：
是复数，称 复振幅,它已包含了初位相。但要注意，有意义的是 (7.1.15)式的实部。
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7.1.4 谐振子的能量下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为：
) c o s ( 0 tAx ) s i n( 0 tA
dt
dxv
其中 mk /2
动能：
)] (2c o s1[2121) (s i n221 0202222 tkAtmAmvE k
势能：
)] (2c o s1[2121) (c o s2121 020222 tkAtkAkxV
机械能：
2
0
2
0
2
2
22
2
1)] (c o s) ([ s i n
22
1
2
1 kAttkAkxmvE
此式表示简谐振动的机械能是守恒的。
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7.1.4 谐振子的能量由 (7.1.17),(7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、
势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。
dttkATdtETE TkTk )] (2c os1[212111 0200
E21?
dttkATV dtTV TT )] (2c o s1[212111 0200
E21?
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7.1.5 振动的合成与分解简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成。
1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成
2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成
3,方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）
4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形
5,振动的分解、谐波分析（ Fourier分析）
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1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，
每个振动的位移与时间关系可表为
) c o s (
) c o s (
222
111
tAx
tAx
利用振幅矢量法，由图 7.8不难看出，合运动仍是同频率的简谐振动，即
) c o s (21 tAxxx
2211
2211
1221
2
2
2
1
c o sc o s
s i ns i n
t a n
)c o s (2
AA
AA
AAAAA
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1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成从图 7.8中或 (7.1.24)式可知，合振动的振幅取决于两振动的位相差
,2,1,0,2 )1( 12 kk
则
21 AAA
,2,1,0,)12( )2( 12 kk
|| 21 AAA
12 )3(
为一般值则则
2121 || AAAAA
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成设
) c o s (
) c o s (
2222
1111
tAx
tAx
为简单起见，设 AAA
21
22
c os
22
c os2
)]c os ()[ c o s (
21212121
221121
ttA
ttAxxx
若
2121,||
2121,2
有
2c o s22c o s2 2112121 ttAx
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成
2c o s22c o s2 2112121 ttAx
此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等
21
21,
2
而振幅随时间的变化为
22co s2 2121 tA
由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定
T 2 21
故振幅变化频率：
|| || 2 1 2121 T
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成
|| || 2 1 2121 T
即两频率之差。这一现象称为 拍,⊿ v称为 拍频,拍的振动曲线如图 7.9所示。当两振动的振幅不等，
即 A1 ≠ A2 时，也有拍现象，此时合振幅仍有时大时小的变化，
但不会达到零。
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成校正乐器，例如校正钢琴，往往拿待校的钢琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个音键，细听有无拍的现象。如果听得出有拍的现象，
说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到拍完全消失为止，这一音键才算校准。
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3,方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）
振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，
例如单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个振动沿 x 方向，一个沿 y 方向，即：
) c o s (
) c o s (
yy
xx
tAy
tAx
这实际上就是合振动的坐标参量方程。
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4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形如果 x 方向振动的频率 vx 和 y 方向振动的频率 vy 不相等，它们的合成振动为：
) c o s (
) c o s (
yyy
xxx
tAy
tAx
当 ωx 与 ωy 成整数比时，
合振动的轨迹仍是一些闭合曲线，如下图所示，称为 利萨如图形 。当 ωx 与 ωy的比例一定时，初位相差不同，对应的曲线形状和走向也不同。图
7.11中给出了三种频率比，五种初位相差的图形。
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4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形当 ωx 与 ωy 不成整数比时，合振动的轨迹不再是闭合曲线。利用利萨如图形的这些性质，可精确判定两种频率是否成整数比，
并可据此由己知频率确定未知频率。
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5,振动的分解、谐波分析
（ Fourier分析）
对于非简谐振动，直接分析它们往往较困难。如果把它们分解为许多简谐振动的叠加，事情就好办得多，数学上称这种分解为傅里叶 （ Fourier） 分析。我们不打算在这里讲数学的定理和相应的推导，下面只给出一些定性的结论：
(1) 任何一个周期性的振动都可分解为一系列频率为原振动频率
（称为 基频 ）整数倍的简谐振动，在数学上这称为 谐波分析 。
以频率为横坐标、各谐频振幅为纵坐标所做的图解，叫做 频谱,
此时的频谱为分立谱。不同的乐器有不同的频谱，反映在它们不同的音色上。
(2) 非周期振动也可以用频谱来表示。这时频谱不再为分立谱，而是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分解为频率不可通约的若干个分立的分振动。
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§ 7.2 阻尼振动前面所讨论的振动，振幅保持不变，
振动能量也保持不变。这只是实际情况的一种抽象，实际振动系统的振动，当无外界能量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减，衰减的原因，一是有摩擦力存在，将振动能量逐渐变为热能耗散了；二是振动能量以波的形式向四周传播，使振动能量逐渐变为波的能量，本节讨论有摩擦力存在的振动。
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7.2.1 运动方程及其解
7.3.2 欠阻尼振动
7.2.3 临界阻尼与过阻尼
§ 7.2 阻尼振动中国科学技术大学杨维纮
7.2.1 运动方程及其解我们主要考虑摩擦力与速度成正比的情形。当速度不大时，粘滞阻力就属这种情形。在考虑了粘滞阻力后，
弹簧振子的运动方程变为
xhkxxm
其中称为 阻尼系数 。令：
m
k?2
0? m
h2
ω0 是阻力不存在时振子的 固有角频率,β 称为 阻尼因数或 衰减常数 。于是方程 (7.2.1)为：
0 2 20 xxx
这是常系数二阶线性微分方程。
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7.2.1 运动方程及其解
0 2 20 xxx
对于复杂问题，复数法能显示其优越性。该方程的解法是，视 x 为复数，用试探解
rtex?
代入，其中 r 为待定常数。可解得：
20222021, rr
于是方程 (7.2.3)的解可写成如下形式：
trtr eAeAx 21 21
其中 A1,A2 为待定常数，由初始条件决定。
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7.2.2 欠阻尼振动,
trtr eAeAx 21 21
20222021, rr
0
1,振动解令 220f
将 (7.2.4)代入 (7.2.5)，得
ttiti eeAeAx ff 2 1 )(
取上式的实部得：
) c o s ( 0 0 teAx ft
此时振子的运动严格讲己不再是周期运动，但仍可看作振幅逐渐衰减的周期运动，其振幅和周期为 teAA 02?T
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7.2.2 欠阻尼振动，
2,阻尼振子的能量
0
) c o s ( 0 0 teAx ft
)] s i n ( ) ( c o s[ 00 0 tteAdtdxv fft
动能：
2
00
22
0
2 )] s i n() c o s ([
2
1
2
1 ttemAmvE
ff
t
k
势能：
) (c o s)(
2
1
) (c o s
2
1
2
1
0
2 22
0
22
0
2 22
0
2
0
2
teAm
teAmkxV
f
t
f
f
t
机械能,
)] (c o s2) (2s i n[
2
1
2
1
2
1
0
22
0
2 22
0
22
ttemA
kxmvE
fff
t
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7.2.2 欠阻尼振动，
2,阻尼振子的能量
0
)] (c o s2) (2s i n[21 02202 220 ttemAE ffft
可见机械能并不守恒。当
0
时，有
0f
于是
2 22
0
2
0
22
0
2
2
1
2
1
2
1 kAeAmeAmE tt
f
对时间微商，得：
0)] s i n ( ) ( c o s[2 200 220 tteAmdtdE ffft
和 (7.2.11)式比较知：
vhvhvdtdE )(2
这是摩擦力的功率，即损失的能量用于克服摩擦力作功。
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7.2.2 欠阻尼振动，
3,品质因数
0
衰减常数的大小反映了阻尼的大小。我们也可用一周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼的大小。通常将 t 时刻时振子的能量 E 与经一周后损失的能量 ⊿ E 之比的 2π倍称为振子的 品质因数,并用 Q
表之：
E
EQ
2
小阻尼情况下，根据上面的能量表示式 (7.2.15)，可得
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
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7.2.2 欠阻尼振动，
3,品质因数
0
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
因
T/20
所以
2 2
2 0
TQ
可见,Q 仅由振动系统本身的性质决定。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼过阻尼情况为
0
此时 r1,r2 皆为实数
0,0 20222021 rr
由解的表达式 (7.2.5)知：
])e xp [ (])e xp [ ( 20222021 tAtAx
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时已没有振动现象。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼临界阻尼情况为
0
此时 21 rr
我们只得到了阻尼方程 (7.2.3)的一个特解，为了求另一个特解，可令
tetAx )(
代入阻尼方程 (7.2.3)，得阻尼方程 (7.2.3)的通解为：
tetAAx 21 )(
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时也没有振动现象。
临界阻尼状态之所以重要，是因为它所对应的回复时间，即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡位置（在一定观察精度内）所需的时间，比欠阻尼和过阻尼状态都要短。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼阻尼的作用：
0
0
0
欠阻尼,振动存在，但周期变长，振幅随时间减小，最终振动停止；
临界阻尼,不可能振动，但趋于平衡最快；
过阻尼,不可能振动，但趋于平衡变慢。
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§ 7.3 受迫振动与共振只受弹性力或准弹性力和粘滞阻力作用的振动系统，其振幅总是随时间衰减，
振动不能持久。如果要使振动持久不衰，
就必须由外界不断供给能量。振动系统在外界强迫力作用下的振动，叫做 受迫振动 。
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7.3.1 运动方程及其解
7.3.2 稳态解分析
7.3.3 共振
§ 7.3 受迫振动与共振中国科学技术大学杨维纮
7.3.1 运动方程及其解
1,受恒定外力作用设外界的强迫力 F0 为常数，则阻尼振动系统满足的方程为：
0Fxhkxxm
该方程有一特解,kFx /
0?
令 kFXx /
0
代入 (7.3.1)得,XhkXXm
这就是阻尼运动的方程 (7.2.1)，只是平衡位置改变了。即当外界的强迫力 F0 为常数时，不产生任何新的内容，故我们以后不考虑恒定的外力作用。
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的线性迭加。研究了振动系统对正弦型外力的响应，也就原则上解决了振动系统对任何外力的响应问题。下面我们仅考虑简谐强迫力
tF c o s0?
弹簧振子的运动方程为：
tFxhkxxm c o s0
令
m
Ff
m
k
m
h 0
0
2
0,,2
上式变为：
tfxxx co s 2 020
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7.3.1 运动方程及其解
tfxxx co s 2 020
2,受周期外力作用下面求其特解。为此，将方程写成复数形式：
tiefxxx 020 ~~ 2~
其中 xx ~Re? 令
rteBx ~~?
代入得,tirt eferrB
0202 ) 2(~
于是：
22222
0
22
00
2
0
2
0
2
0
2
0
4)(
] 2 )[(
2 2
~
if
i
f
rr
f
B
ir
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
) s i n c o s() s i n c o s(
)(~
tBtBitBtB
eiBBx
riir
ti
ir
方程 (7.3.5)的特解应为 (7.3.9)式的实部，即
) c o s ( s i n c o s
s i n c o s~Re
tBt
B
B
t
B
B
B
tBtBxx
ir
ir
其中
22222
0
022
4)(
fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
B
B
B
B
B
B iir
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
(7.3.10)式是方程 (7.3.5)的特解，该方程的通解等于该方程的一个特解加上对应的齐次方程的通解。而在小阻尼的情况下,(7.2.8)式即为对应的齐次方程的通解。于是方程 (7.3.5)的通解为：
) c o s () c o s ( 0 0 tBteAx ft
22222
0
022
4)(
fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
B
B
B
B
B
B iir
其中 为待定常数，由初始条件决定，的表达式见
(7.2.6)。 00,?A
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用对 (7.3.13)式讨论如下：
) c o s () c o s ( 0 0 tBteAx ft
(1) 其中第一项即阻尼振动，它随着时间衰减，故称 暂态解,第二项不随时间衰减，称为 稳态解 。开始时，
振子的运动比较复杂，为暂态解和稳态解的叠加，
经过一段时间以后，暂态解衰减掉了，只留下稳态解。
(2) 稳态解的特点是它的频率与强迫力频率相同，它的振幅及初位相与初始条件无关，完全由强迫力和系统的固有参量决定，而暂态解的频率由系统本身性质决定，振幅及初位相则由初始条件决定。
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7.3.2 稳态解分析下面分析受迫振动的稳态解，受迫振动的运动方程为：
tfxxx co s 2 020
稳态解：
) c os ( tBx
其中
22
0
2t an
B
B i
注意到：
)2 c os ( ) s i n ( tBtBx?
) c o s (2 tBx
故运动方程中各项可用旋转矢量表示如图 7.13所示，则各量之间的相位关系一目了然。
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7.3.2 稳态解分析我们只讨论的欠阻尼情况。
1,1
0
(频率甚低 )
此时 200,
0 2t an
2
0
1
0
2
0
0
0
k
Ff
BB
tkFx c o s0
对应的矢量旋转图见图 7.14所示。我们可得如下结论：
(1) 频率甚低时，物体加速度和速度均很小，故物体的惯性与阻力都可以忽略，弹力几乎时时与外力相平衡。
(2) 振幅矢量稍落后于矢量外力，振动与外力同位相。
tfxxx co s 2 020
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7.3.2 稳态解分析
1,2
0
(频率甚高 )
,020
)0(t an
2
t an
0
1
2
1
2
0fBB
tfx c o s 20
对应的矢量旋转图见图 7.15所示。我们可得如下结论：
(1) 因频率甚高，物体的惯性很重要。速度并不大，位移更小，阻力和弹力均可忽略，物体几乎只在外力作用下振动，而且振幅很小。此时 ) c o s (
0 tFxm
(2) 振幅矢量落后于矢量外力 f0，相位约为 π。
tfxxx co s 2 020
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7.3.3 共振
0
现在让我们来仔细讨论一下，受迫振动所给出的振幅和相位随频率变化的情况。
22
0
22222
0
0 2 t a n
4)(
fB
上式中无论选 ω或 ω0 作变量，位移和速度的振幅都有一个极大值。阻尼越小峰值越尖锐。这种现象叫做 共振 。
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7.3.3 共振
0
这里应注意到，在力学里和电学里考察的着眼点还有所不同。在机械的振动系统里，往往系统的固有频率
ω0 是固定的，驱动力的频率 ω可以调节；此外，机械振动系统中的位移是比较容易观察并产生直接效果的。
然而，在振荡电路里，固有频率 ω0 是可调的，驱动力是外来的讯号，其频率 ω是给定的；此外，电路中重要的变量是电流，它相当于这里的速度。
所以，在力学里应着重考察位移随驱动频率 ω的变化，而在电学里应着重考察电流（速度）随固有频率 ω0
的变化。然而从功率的角度看，在任何情况里我们都应着重考察速度。
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7.3.3 共振
0
1,振幅共振
) c os ( tBx
22
0222220
0 2 t a n
4)(
fB
当 dB/dω= 0 时,B 最大，由 (7.3.18)式知，
220 2 r
振幅 B 最大。此时称为达到 振幅共振 。
0
时，有
0r
共振时相移：
2t an2
2t an 1
2
1?
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
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7.3.3 共振
0
1,振幅共振
2t an2
2t an 1
2
1?
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
即位移落后于驱动力 π/2 相位，而速度恰好与驱动力同相位。
功率 = F0 v，故此时外力永远做正功。
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7.3.3 共振
0
1,振幅共振
B-ω图常称频率响应曲线或称 共振曲线 。
当 Q > 1 时，所有的曲线都有一个峰，这就是 共振峰 。品质因素 Q 越大，
曲线的峰越明显。共振峰 处
0
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7.3.3 共振
0
2,能量共振既然外力供给振子的能量等于阻力消耗的能量，则振子得到的功率：
]4)[( 2) (2
11
22222
0
22
022
0
hfBhdtxh
TP
T?
当 dP/dω= 0 时,P 最大，此时称为 能量共振 。由
(7.3.19)可得,ω=ω0 时能量共振。
共振时强迫力的功率时刻与阻力的功率相抵，因而振子的机械能恒定不变。这时振子以固有频率振动，犹如一个不受阻力的自由振子，故动能与势能之和与时间无关。同时，
共振时强迫力与速度同位相，因而时刻对体系作正功，这正是共振开始时振幅急剧增大的原因所在。但随着振幅的增大，
阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，遂使振子的振幅保持恒定。
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7.3.3 共振
0
2,能量共振与振幅共振不同的是，能量共振时 ω
和 ω0 严格相等，如图 7.18所示。
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7.3.3 共振
0
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义通常用锐度来描写共振曲线的尖锐程度,共振峰锐度 定义为：
12
0
12
rS
2112
称为 共振峰宽度 。
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7.3.3 共振
0
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义当 β很小时，由
2/rBB?
从 (7.3.18)式得
2220
2))(( 00
21
故
QS 2 0
12
0
于是共振峰锐度恰等于品质因数。这是 Q 值的第二种意义。
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7.3.3 共振
0
4,系统放大倍数,Q 的第三种意义由 (7.3.14)式知，当 ω≈ 0 时，振幅
2000 /?fBB
我们定义系统放大倍数
0B
BK r?
其中 Br 为共振时的振幅，由 (7.3.18)式知，
00 2/fB r?
代入 (7.3-23)式得
QffK 2/2/ 02
00
00
于是系统放大倍数恰等于品质因数。这是 Q 值的第三种意义。
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7.3.3 共振
0
据说,160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时，轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷坠水。几十年后，圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。
一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相近，发生共振所致。
1940年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，
这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？
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§ 7.4 二自由度振动 *
略中国科学技术大学杨维纮
§ 7.5 机械波如果在空间某处发生的扰动，以一定的速度由近及远向四处传播，则称这种传播着的扰动为 波 。机械扰动在弹性介质内的传播形成 机械波 （又称 弹性波 ），
电磁扰动在真空或介质内的传播形成 电磁波 。不同性质的扰动的传播机制虽不相同，但由此形成的波却具有共同的规律性，波是能量传播的形式之一。此外，
近代物理指出，微观粒子以至任何物体都具有波性，
这种波叫 物质波,尽管物质波与机械波或电磁波有本质的不同（例如它并不传播能量），但在传播、叠加等方面仍与上述两种波有着共同的性质。
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7.5.1 机械波的产生和传波
7.5.2 波的分类
7.5.3 平面简谐波
7.5.4 波动方程和波的传播速度
7.5.5 波的能量密度
§ 7.5 机械波中国科学技术大学杨维纮
7.5.1 机械波的产生和传播由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部分有相互作用力而且可以有相互运动，称为 连续媒质 。
若连续媒质之间的相互作用力是弹性力，则称为 弹性媒质 。
机械波特点,
1,机械波是一种机械运动形式，必须具备两个条件：振源和弹性媒质；
2,波是指媒质整体所表现的运动状态；
3,波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附近振动。
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7.5.1 机械波的产生和传播在弹性媒质中，可以设想各质点（质元）有一个平衡位置，它一离开平衡位置，即受到各附近质点的指向平衡位置的合力。
质元间的相互作用（如弹性）使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。
引起媒质振动的振动物体称为 波源 。
弹性媒质形变分类,
1,切变,物体受力后层间发生位移的现象称为切变。切变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为 切变弹性 。
2,张变,媒质伸长或压缩这种变形称为张变。张变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为 张变弹性 。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果波源振动方向与波的传播方向垂直，就会形成周期性峰、谷的传播。
这样的波称为 横波 。
其具体形成过程如图 7.21所示。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式 横波传播条件：媒质具有切变弹性 。
液体内部、气体不能产生切变弹性力，故液体内部和气体中不能传播横波。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果波源振动方向与波的传播方向平行，
就会形成周期性疏、
密的传播，
这就是 纵波 。纵波的形成过程如图
7.22所示。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式在横波中，波形曲线就是具体的波形图。
在纵波中则不是。纵波的波形曲线在图
7.22中用细实线表示，它与横波的波形曲线相似，图中虚线为各质点的振动曲线。
以质点的位置为横坐标，以质点的位移为纵坐标所画的曲线称为 波形曲线 。
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7.5.2 波的分类
2,按空间形状如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，那么，从一个点波源发出的扰动，经过一定时间后，扰动将到达一个球面上，如果扰动是周期性的，介质中各处也相继发生同频率的周期性扰动。介质中振动位相相同的点的轨迹称为 波阵面,简称 波面 。最前面的波阵面称为 波前。 波阵面是球面的波称为 球面波,在离波源足够远处，在观察的不大范围内，球面可看成平面，这种波就称为 平面波,自波源出发且沿着波的传播方向所画的线叫 波线,在各向同性介质中，波线与波面互相垂直。
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7.5.2 波的分类
2,按空间形状中国科学技术大学杨维纮
7.5.2 波的分类
3,按波源振动方式波源作周期振动形成的波称为 周期波 。
波源作间歇振动形成的波称为 脉冲波 。
波源作简谐振动形成的波称为 简谐波 。
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7.5.3 平面简谐波如果波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简谐振动，这样形成的波叫 简谐波 。如果波面为平面,则这样的波称为 平面简谐波 。由于平面简谐波的波面上每一点的振动和传播规律完全一样，故平面简谐波可以用一维的方式来处理。
如图 7.24所示，
设一简谐波沿正 x 方向传播，已知在 t 时刻坐标原点 O 处振动位移的表式为
) c o s ( 0 tAy
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7.5.3 平面简谐波于是 P 点的位移为
]) (c o s [ 0 vxtAy
v 称为 波的位相速度,
也称为 波速,它表示单位时间某一振动相位所传播的距离。
(7.5.2)式就是简谐波的运动学方程。由于波是向右传播的，又称为 右行波 。令
vT
λ称为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
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7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0 vxtAy
T/2由于
])(2c o s [ 0 xTtAy
令
2?k
k 称为 波数,它表示在 2π米内所包含的波长数。于是简谐波方程 (7.5.2)又可以写成：
) c o s ( 0 kxtAy
(7.5.2),(7.5.4)和 (7.5.6)都是简谐波的方程。
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7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0 vxtAy
])(2c o s [ 0 xTtAy
) c o s ( 0 kxtAy
T,? 是和时间有关的量
,k 是和空间有关的量其对应关系为：
时间 t,圆频率 ω 周期 T
空间 x,波数 k 波长 λ
而它们由波速相互联系：
kTv
若 v 与 ω无关，则称波是 无色散 的 。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
波的运动学方程是一个二元函数，位移既是时间 t
的函数，又是位置 x 的函数。
1,当 x 一定,y 仅为 t 的函数，例如 x = x1 时，即盯住某一位置看，
] c o s []) (c o s [ 101 tAvxtAy
它表示 x = x1 这一质点随时间作简谐振动，时刻 t 和
t + T 的振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期（频率）和振幅与波源相同，
位相落后
1
101 2
xx
v
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
2,t 一定，则 y 仅为 x 的函数，当 t = t1 时
]c o s [] c o s [ 01 tkxAkxtAy
其中
01 tt
表示任一时刻各质点离开平衡位置的位移的分布。可以看出，波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
3,y 一定，则波表达式的宗量 ) (
0 kxt
即波的位相一定,常数
0 kxt
则随着时间的增加，波必须在空间传播一定的距离。
将上式对时间求导，得
pvkdt
dxv
vp 称为 波的位相速度,简称 相速 。它表示确定的位相在单位时间内传播的距离。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
4,将以上各方程中的 v 换成 -v，即得向坐标轴负向传播的平面简谐波的运动学方程为
] c os []) (c os [ 00 kxtAvxtAy
该波又称为 左行波 。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
5,波速为波在媒质中传播的速度，它是振动位相在媒质中传播的速度，它不同于波线上各质元绕平衡位置的振动速度。波速对于各向同性媒质而言是一个常数，
而各质元的振动速度和加速度则是时间的函数，为：
]) (s i n [ 0 vxtAty
]) (c o s [ 022
2
vxtAt y
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
6,在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为
) c o s (),( 0 rkArB tt
其中 k 称为波矢，它是一个矢量，而它的绝对值就是波数。
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速设波在其中传播的介质是质量连续分布的弹性棒。
在棒中取横截面坐标为 x 到 x +⊿ x 的一段作为考察对象，
如图 7.25所示。令棒的截面积 S 为密度为 ρ。当棒中有纵向扰动传播时，各截面的位移并不相同，棒中发生纵向形变（张变），从而出现应力（弹性力）。所考察的这段棒受到左方介质所施的弹力 F (x) 和右方介质所施弹力 F (x +⊿ x)的作用,F (x) 由 x 处的相对形变决定。设
x 处的横截面的位移为 y,x + dx 处的横截面的位移为 y
+ dy，则 x 处的相对形变为 dy/dx。根据胡克定律，作用在 x 处横截面上单位面积的正应力 T 与该处纵向相对形变（应变）成正比：
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
dx
dyYT?
式中 Y 称为 杨氏模量 。
于是,x 处的弹力：
xxdx
dySYxF
)(
同理，在 x +⊿ x 处的弹力：
xxxdx
dySYxxF
)(
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7.5.4 波动方程和波的传播速度当时 dy/dx > 0 为伸长形变，应力是张力，
相应的 F (x) 应取负号，
F (x +⊿ x) 应取正号，
故所考察的这段棒的运动方程为
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
xdx ydSYdxdySYdxdySYdt ydxS
xxx
2
2
2
2
两边除以 xS
并将求导符号改为求偏导的符号，得：
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2
2
2
2
x
yY
t
y
上式就是波动过程所满足的动力学方程，称为 波动方程,
这是一个线性偏微分方程。设其解为：
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
)(co s
||v
xtAy
代入方程 (7.5.18)解得波速：
Yv
||
这就将波速与介质的常量 Y,ρ联系起来了,Y 反映介质的弹性,ρ反映介质的惯性。由于所讨论的是纵波，故在
v 旁加了脚标,||”。式中正号对应于右行波，负号对应于左行波。
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2,横波的传播速度当介质中有横向拢动传播时，介质发生切向形变，
在与波传播方向相垂直的横截面上出现切应力，因而横波的传播速度与介质的切向弹性模量有关，类似于上面的推导，可以求得横波的波速为：
Nv
式中 N 称为 切变模量,它是切应力 T 与横向相对形变
dy/dx 之比，即：
dx
dyNT?
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
3,一般形式的波动方程将 (7.5.20)式代入 (7.5.18)，以 v 表示波的相速度，可得一般形式的波动方程为：
2
2
2
2
2
x
yv
t
y
对于在三维空间中传播的波，若以 B (r,t) 表示其振幅矢量，则波动方程为：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyxvt
BBBB
如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传播的简谐波的频率无关。这样的波为 无色散波 。
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7.5.4 波动方程和波的传播速度我们知道，空气中的声波为纵波，其传播速度应由
(7.5.21)式求得，空气的杨氏模量 Y 应为空气的压强 p，
于是由 (7.5.21)式可得声波的速度：
pv?
代入上式得，而实验测得的声速约为 v = 289米 /秒，相差竟达 20% 之多！这个矛盾一个世纪内竟无法解释。后来才有人指出，不应该忽略了空气在传声中，一伸一缩，
其温度，因而其弹性，都有变化的缘故，该问题才告解决。这个问题，我们留待热学中再探讨。
对于 15o，一个大气压的空气
325 / 2.1 / 10 米千克米牛顿p
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7.5.5 波的能量密度略中国科学技术大学杨维纮
7.6.1 惠更斯原理
7.6.2 波的反射定律
7.6.3 波的折射定律
7.6.4 波的衍射
§ 7.6 波在空间中的传播中国科学技术大学杨维纮
7.6.1 惠更斯原理波在行进过程中遇到小孔、
障碍物或两种介质的交界面时，
会发生衍射、反射、折射等各中情况。在历史上，曾提出过几种理论解释这些现象，其中比较成功的是惠更斯原理
（ Huygens,1629~1695,荷兰物理学家、天文学家、数学家 ） 。
惠更斯提出：在波的传播过程中，波前上的每一点均可看成一个子波源，在 t 时刻的波前上的这些子波源发出的子波，经 ⊿ t 时间后形成半径为 v⊿ t（ v为波速）
的球面，在波的前进方向上，这些子波的包迹就成为时刻 t +⊿ t 的新波前，如图 7.27所示。这种借助于子波概念解释波前怎样推进的原理叫作 惠更斯原理 。
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7.6.1 惠更斯原理上述惠更斯原理，如果不加修饰，不仅给出朝前推进的波前，而且给出倒退的波前。因此，
子波必须修饰为前后不对称的，在正前方最强，
正后方为零，其它方位则强度在这两极端之间。
经过修饰的惠更斯原理不仅能给出波前的推进，
而且可以用来计算波强的分布。而比较严谨的理论是 基尔霍夫公式 。基尔霍夫公式已超出本书范围，这将在后续课程中讲述。
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7.6.2 波的反射定律略中国科学技术大学杨维纮
7.6.3 波的折射定律略中国科学技术大学杨维纮
7.6.4 波的衍射略中国科学技术大学杨维纮
§ 7.7 波的叠加实验表明，当空间同时存在两列或两列以上的波时，
每列波在传播中将不受其他波的干扰而保持其原有特性
（频率、波长、振幅、振动方向和传播方向）不变，而空间任一点的振动位移则等于各列波单独在该点引起的振动位移的矢量和。这一表述称为 波的叠加原理 或 惠更斯 — 菲涅尔原理 （ Fresnel,Auguston Jean,1788~1827，法国物理学家）。
就像振动的叠加原理的基础是振动的动力学方程为线性微分方程一样，波的叠加原理的基础是波动方程
(7.5-24)为线性微分方程。
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7.7.1 波的干涉
7.7.2 驻波
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
§ 7.7 波的叠加中国科学技术大学杨维纮
7.7.1 波的干涉介质中同时传播着的两列波相遇时，
在它们重叠区域的某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱，形成稳定的叠加图样，这种现象称为 波的干涉 。
能产生干涉现象的必要条件称为 波的相干条件 。满足波的相干条件而能产生干涉现象的两列波称为 相干波 。产生相干波的波源称为 相干波源 。
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7.7.1 波的干涉如图 7.31所示，设两波源 S1
和 S2 的振动方程各为：
) c o s ( 1110 tAy
) c o s ( 2220 tAy
假定振动的方向都垂直于纸面，由 S1,S2 发出的两列波在空间 P 点引起的振动各为：
) c os ( 1111 krtAy ) c o s ( 2222 krtAy
式中 k 为波数,r1,r2 为 P 点到 S1,S2 的距离。根据波的叠加原理,P 点的合振动为：
) c os () c os ( 22211121 krtAkrtAyyy
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7.7.1 波的干涉
) c os () c os ( 22211121 krtAkrtAyyy
这是两个同方向、同频率的振动的合成。根据 7.1.5
节的讨论，当两振动的位相差
nrrk 2)( 1221 ),2,1,0(n
时,P 点振动的振幅为 A1+ A2，振动加强，这样的点称为 干涉相长点 。当位相差
)12()( 1221 nrrk ),2,1,0(n
时,P 点振动的振幅为 |A1 - A2|,振动减弱，这样的点称为 干涉相消点 。
位相差等于其它值的点的振幅介于 A1+ A2 与 |A1 -
A2| 之间。
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7.7.1 波的干涉要在空间维持稳定的干涉现象，各点的振幅应保持恒定。
由此知,波的相干条件 为：
1,两列波具有相同的频率；
2,两列波的相位相同，或相位差恒定；
3,两列波的振动方向相同。
维持两个波源满足相干条件，特别是相位差条件很不易，常用同一波源产生的波通过两条狭缝后相干。
如果空间存在多个相干波源，也会产生干涉现象。
光学中的多缝干涉就是一例。这里暂不作讨论。
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7.7.2 驻波介质中有反向行进的两个同频率的波存在时，这两个波叠加后也将产生干涉现象。为简单起见，设弹性弦上传播着具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们的运动方程为
) c os ( 11 kxtAy
) c o s ( 22 kxtAy
右行波左行波合成后，弦上的运动成为
)2 c os ()2c os (2 121221 tkxAyyy
在合成波的表式中，与和的关系分别出现在两个因子之中，因此，合成波实际上是一种振动，不再是振动的传播，故称为 驻波 。
位相逐点传播的波，即通常意义下的波称为 行波 。
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7.7.2 驻波驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律：
)2 c os ()2c os (2 121221 tkxAyyy
),2,1,0(,2,1 12 nnkx
即：
222 2
1212
n
kk
nx
此时
1 )2co s ( 12kx
振幅最大，这种位置称为 波腹,这时质点的振幅为分波振幅的两倍。相邻波腹的距离为 λ/2。
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7.7.2 驻波
)2 c os ()2c os (2 121221 tkxAyyy
即：
此时振幅为零，这种位置称为 波节 。相邻波节的距离也为
λ/2。
),2,1,0(,22,2 12 nnkx
224
)12(
22
)12( 1212
n
kk
nx
0 )2co s ( 12kx
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7.7.2 驻波驻波可以用波形曲线具体地表示出来，如图 7.32
所示。
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7.7.2 驻波由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
1,没有位相的逐点不同和逐点的传播，在相邻两波节之间，各点的振动位相相同，在波节两边，振动反位相。
2,各点振幅不同，波腹处振幅最大，波节处振幅最小。
相邻波节间距、相邻波腹间距都为 λ/2。
3,如正向传播的波和反向传播的波振幅不等，仍然合成驻波，但波节的振幅不为零而是振幅绝对值最小。
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7.7.2 驻波由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
4,关于端点的反射问题。
设入射波 ) c os (1 kxtAy 设端点为 x = l
(1) 对自由端点，反射波：
)2 c os ()]2( c os [2 klkxtAxlktAy
合成的驻波为,（端点为波腹）
) c os ()c os (221 kltklkxAyyy
(2) 对固定端点，反射波应为：
)2 c o s (2 klkxtAy
合成的驻波为,（端点为波节 ）
)2/ c os ()2/c os (221 kltklkxAyyy
我们称波在端点具有 半波损失 。
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7.7.2 驻波
5,波的总能流为零，因为反向行进的波的能流相反。
但由于瞬时能流密度与时间有关，两反向波的瞬时能流密度并不时时相抵，从而使在两波节之间的区域中，仍有净能量的传播。当波节两边各质元的位移的数值最大时，能量全部为势能，主要集中在波节附近；当它们通过平衡位置时，能量全部为动能，主要集中在波腹附近。但在波节
（或波腹）两边，最终并无能量交换。因而，每一个相邻的波节与波腹之间的区域，实际上构成一个独立的振动系统，它与外界不交换能量。
由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
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7.7.2 驻波和横波一样，纵波也可以形成驻波。
在纵驻波中，波节两边的质点在某一时刻涌向波节，使波节附近成为质点密集区，
半周期后，又向两边散开，使波节附近成为质点稀疏区，相邻节点附近质点的密集和稀疏情况正好相反。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度设有两列在空间行进的波，它们均沿 x 方向传播。
为了讨论方便，可设振幅相等，即这两列波为：
)c o s ( 111 xktA )c o s ( 222 xktA
假设它们传播的速度（相位传播速度，即相速）相同，
为 v，一路上两列波叠加为：
)c o s ()c o s ( 211111 xktAxktA
])(c os [])(c os [ 2211 vxtAvxtA
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 vxtvxtA
将 (7.7.12)与 7.1.5节的 (7.1.28)作一比较，相当于将 (7.1.28)
式中的 t 换成了 t – x/v。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 vxtvxtA
这说明，这样两列传播方向相同、波速相同、频率不同的波相加，波线上每一点的振动情况都相同，
即相同的拍频振动以速度 v 沿 x 方向传播，或用无线电学中的术语，即得到以速度 v 沿 x 方向传播的调制波。
而且在空间移动中，合成波与各分波以相同速率前进，
调制波也以此速率前进。这个速率等于每一个波的相速，即
kv
拍中国科学技术大学杨维纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 xktA )c o s ( 222 xktA
现在考虑较复杂的情况。存在色散，即波速随频率不同而有所不同。反映在波的圆频率 ω与波数 k 之间关系不再那样简单。设两列波的波速有关系
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv
作为复杂情况的一个例子是，对于深水的水面波，
32 kTgk
kTkgkv
跟 k 有关，因而深水的水面波是色散波。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 xktA )c o s ( 222 xktA
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv
现在再作两列色散波的叠加：
)c o s ()c o s ( 211111 xktAxktA
222
c o s
222
c o s2
212121
212121
x
kk
t
x
kk
tA
(7.7.17)式虽然与 (7.7.12)式相似，合成波也是沿方向传播的调制波，但是由于原来的两列波的传播速度不同，合成波包络线的传播速度既不是 v1，也不是 v2。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度合成波包络线的传播速度代表信号的传播速度，我们称其为 群速度 。下面我们来求群速度，合成波包络线为：
222co s2 212121 xkktA
群速度可以认为是该包络线峰值的传播速度，在时刻 t
其峰值位于 x，且有关系：
nxkkt 2222 212121
其中 n 为任意整数。对上式微分得：
022 2121 dxkkdt
则可求得群速度为：
12
12
kkv g?
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极限情况下有
dk
dv
g
为了和波的群速度区别，我们将波的相速度记为 vp，即：
kv p
利用
/2 kkv p
代入 (7.7.21)式可得：
d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg
此式就是著名的瑞利群速公式。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg
由此式可以判定
pg
p vv
d
dv,0
pg
p vv
d
dv,0
pg
p vv
d
dv,0
无色散；
正常色散；
反常色散。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度这种相速与群速的区别大致可以作一些直观的理解，两列波在空间以略为不同的频率传播，由于相速稍有不同，于是就产生了某种新的情况。假设我们处在其中一列波上去观察另一列波，如果这两列波的速率相同，那么看到的另一列波是静止的。若处在一列波的波峰上，而另一列波也正好是波峰，两者重叠在一起，在静止参考系看到重叠处以原有的波速前进，
这就是我们一开始分析的情况。现在，两列波速率略有不同，若仍处在一列波的波峰上，你会看到另一列波的波峰就会缓慢地向前（或向后）移动。这导致合成波的包络在两列波行进时会以不同的速率前进。反映调制信号的包络的速度就是群速度。
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§ 7.8 多普勒效应一辆汽车在我们身旁急驰而过，车上喇叭的音调有一个从高到低的突然变化；站在铁路旁边听列车的汽笛声也能够发现，列车迅速迎面而来时音调较静止时为高，
而列车迅速离去时则音调较静止时为低。此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象。这种现象称为 多普勒效应 。
下面推导多普勒频移的公式。为了简单，先讨论波源 S 或观察者 D 的运动都在波源与观察者的连线上运动，
并以 vD 表示观察者相对介质的速度，以趋近波源为正；
以 vS 表示波源相对介质的速度，以趋近观察者为正；介质中的波速为 v。
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7.8.1 波源静止，观察者运动
7.8.2 波源运动，观察者静止
7.8.3 波源和观察者都运动
7.8.4 一般情况
7.8.5 马赫锥
§ 7.8 多普勒效应中国科学技术大学杨维纮
7.8.1 波源静止，观察者运动如图 7.33所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，
若观察者以速度 vD 向波源运动，则波动相对于观察者的传播速度变为
Dvvv
于是观察者感受到的频率为：
Dvvv
故它与波源频率之比为：
v
vv D
上式中 vD 可正可负，当 vD < 0 时表示观察者向离开波源的方向运动。
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7.8.2 波源运动，观察者静止如图 7.34所示，
若波源以速度 vS 向着观察者运动，它发出的球面波波面不再同心。由于波源的运动，
将使波长缩短。当波源静止时，相邻两位相相等的等相面之间的距离为 λ。
波源运动时，当第一个等相面自波源发出后，该面即以速度 v 向前行进，在第二个同位相的等相面发出时，
波源已向前移动了的距离 vST，而这时第一个等相面已向前行进 vT =λ的距离，结果两同位相等相面之间的距离变为
TvS
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7.8.2 波源运动，观察者静止即现在的波长
Tv S如图 7.34所示，于是观察者接收到的频率为：
SS
S
vv
v
Tvv
v
Tv
vv
)(
故它与波源频率之比为：
Svv
v
上式中 vS 可正可负，当 vS < 0 时表示波源向离开观察者的方向运动。
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7.8.3 波源和观察者都运动这时
0,0 DS vv
只要把上述两种情况结合起来，即可得波源和观察者都运动时观察者接收到的频率与波源频率之比为：
S
D
vv
vv
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7.8.4 一般情况略中国科学技术大学杨维纮
7.8.5 马赫锥略中国科学技术大学杨维纮
§ 7.9 非线性波简介略中国科学技术大学杨维纮
中国科学技术大学杨维纮第七章 振动和波
§ 7.1 简谐振动
§ 7.2 阻尼振动
§ 7.3 受迫振动与共振
§ 7.4 二自由度振动 *
§ 7.5 机械波
§ 7.6 波在空间中的传播
§ 7.7 波的叠加
§ 7.8 多普勒效应
§ 7.9 非线性波简介中国科学技术大学杨维纮
7.1.1 平衡与振动
7.1.2 恢复力与弹性力
7.1.3 简谐振动的描述
7.1.4 谐振子的能量
7.1.5 振动的合成与分解
§ 7.1 简谐振动中国科学技术大学杨维纮
§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动处于静止状态的物体，
我们称之为平衡，此时物体不受力或所受的合力为零。
如果处于平衡位置的物体受到某种扰动而离开了平衡位置，则我们根据该物体以后能否保持平衡而将平衡分为以下四种：稳定平衡、亚稳平衡、不稳平衡和随遇平衡，
如图 7.1所示。
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§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动我们仅讨论处于稳定平衡（严格地说，稳定平衡是理想情况，绝对的稳定平衡是没有的）或亚稳平衡而扰动较小的情况，
此时物体将会发生振动。
我们把振动的物体称为 振子 。
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7.1.2 恢复力与弹性力图 7.2的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力，
物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到点，
然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡位置移动的力叫作 恢复力 。
恢复力和惯性这一对矛盾不断斗争，它们的作用交替消长，力学系统就在平衡位置左右一定范围内来回振动。
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7.1.2 恢复力与弹性力弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律：
kxF
式中 x 是物体对平衡位置的位移,k 叫作 弹性系数 （或倔强系数 ）,k 越大表示弹簧越硬。
由胡克定律可知弹性力有两个特点：
1,因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到平衡位置；
2,因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也越大。
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7.1.2 恢复力与弹性力除了弹簧外，其他的力也可能具有 (7.1.1)式的形式。
如图 7.3所示的单摆，如将小球从平衡位置拉到点再松手，
小球将在平衡位置点附近往复摆动。它的结构虽与上述弹簧振子完全不同，但它们的运动性质是十分相似的。
s i n mgmgF
式中负号表示 F 与角位移方向相反。
可见，单摆所受的虽不是弹性力，但 (7.1.2)式在形式上与 (7.1.1)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表达式的力，叫做 准弹性力 。
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7.1.2 恢复力与弹性力准弹性力的实例，还可以举出许多。例如琴弦的颤动，树木的摇曳，分子的振动等，都是在准弹性力作用下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动，大都是准弹性力作用下的运动。
现在我们来证明,一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
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7.1.2 恢复力与弹性力定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
证,设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。
把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开
2
02
2
00 )(2
1)()(
00
xxdx VdxxdxdVVxV
xxxx
因 F(x) =﹣ dV /dt,x0 是平衡点，在该点有 F(x0) = 0，故
2
02
2
0 )(2
1)(
0
xxdx VdVxV
xx
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx
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7.1.2 恢复力与弹性力
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx令
0
2
2
xxdx
Vdk
由于 x0 是平衡点，故 k > 0。将 (7.1.6)式代入 (7.1.5)，只保留第一项，得：
)( 0xxkF
可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与 (7.1.1)
式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。
[证毕 ]
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7.1.2 恢复力与弹性力取 V0 =0,x0 = 0，在 (7.1.4)中只保留一项，得势能为：
2
2
1)( kxxV?
势能的曲线示于图 7.4。
由图可见，在一个严格的弹性力作用下的质点只可能作束缚运动，对任何大的能量
E，质点都不能作自由运动，
而只能在下列有限范围内运动，即：
m a xm i n xxx
其中：
k
Ex
k
Ex 2,2
m a xm i n
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7.1.3 简谐振动的描述
1,简谐振动解如图 7.2所示，设弹簧振子的质量为 m，弹簧的倔强系数为 k，选取 x 轴，以平衡位置 O 为原点，则振子的运动方程为：
kxxm
令：
m
k?2?
解为,) c o s (
0 tAx
其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运动为 简谐振动 。0
,?A
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频率和相位。
(1) 振幅 A
) c o s ( 0 tAx
A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，
它正比于 (E)1/2，即它的平方正比于系统的机械能，
A2 ∝ E ；
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(2) 角频率 ω（也称圆频率）
) c o s ( 0 tAx
振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时间称为 周期,用 T 表示。由 (7.1.13)
可知周期 T 与角频率 ω的关系为,T = 2π /ω。周期的倒数称为 频率 ν,ν= 1/T = ω/2π。周期的单位是
“秒”；频率的单位是“秒 -1”，这有个专门的名称
“赫兹（ Hz）”；角频率的单位是“弧度／秒
（ rad/s）”。对于弹簧振子，频率与周期为
k
mT
m
k?
2,2
1
可见弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，
而与初始条件无关，故称为振子的 固有频率 。
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(3) 相位 （或 位相 ）
) c o s ( 0 tAx
0 t
其中时刻 t = 0 的相位，称为初相位 。相位是相对的，通过计时零点的选择，我们总可以使初相位：
而多个简谐运动之间的 相位差 是重要的。
00
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7.1.3 简谐振动的描述我们说振幅、角频率（或频率、周期）和相位是描绘简谐振动的三个特征参量，是因为有了它们就可以把一个简谐振动完全确定下来。振幅和相位与频率不同，
它们不是振子的固有性质，而是由初始条件决定的。
2,简谐振动的特征参量中国科学技术大学杨维纮
7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(1) x-t曲线图示法简谐振动可以用三角函数表示，也可用图 7.6的曲线图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(2) 振幅矢量法简谐振动还可以用旋转振幅矢量（也称相矢量）来表示。
自原点画一条长等于振幅的矢量 A，开始时 ( t=0 )，让矢量 A
与 x 轴的夹角等于振动的初位相，令 A 以角速度（就是振动角频率）逆时针方向旋转，则矢量在轴上的投影就是振动的位移（如图 7.7）。
这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把振幅、频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表示法。
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(3) 复数法利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示
) ( 0 tiAex
tieAx或
0?iAeA
其中：
是复数，称 复振幅,它已包含了初位相。但要注意，有意义的是 (7.1.15)式的实部。
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7.1.4 谐振子的能量下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为：
) c o s ( 0 tAx ) s i n( 0 tA
dt
dxv
其中 mk /2
动能：
)] (2c o s1[2121) (s i n221 0202222 tkAtmAmvE k
势能：
)] (2c o s1[2121) (c o s2121 020222 tkAtkAkxV
机械能：
2
0
2
0
2
2
22
2
1)] (c o s) ([ s i n
22
1
2
1 kAttkAkxmvE
此式表示简谐振动的机械能是守恒的。
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7.1.4 谐振子的能量由 (7.1.17),(7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、
势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。
dttkATdtETE TkTk )] (2c os1[212111 0200
E21?
dttkATV dtTV TT )] (2c o s1[212111 0200
E21?
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7.1.5 振动的合成与分解简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成。
1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成
2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成
3,方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）
4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形
5,振动的分解、谐波分析（ Fourier分析）
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1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，
每个振动的位移与时间关系可表为
) c o s (
) c o s (
222
111
tAx
tAx
利用振幅矢量法，由图 7.8不难看出，合运动仍是同频率的简谐振动，即
) c o s (21 tAxxx
2211
2211
1221
2
2
2
1
c o sc o s
s i ns i n
t a n
)c o s (2
AA
AA
AAAAA
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1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合 成从图 7.8中或 (7.1.24)式可知，合振动的振幅取决于两振动的位相差
,2,1,0,2 )1( 12 kk
则
21 AAA
,2,1,0,)12( )2( 12 kk
|| 21 AAA
12 )3(
为一般值则则
2121 || AAAAA
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成设
) c o s (
) c o s (
2222
1111
tAx
tAx
为简单起见，设 AAA
21
22
c os
22
c os2
)]c os ()[ c o s (
21212121
221121
ttA
ttAxxx
若
2121,||
2121,2
有
2c o s22c o s2 2112121 ttAx
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成
2c o s22c o s2 2112121 ttAx
此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等
21
21,
2
而振幅随时间的变化为
22co s2 2121 tA
由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定
T 2 21
故振幅变化频率：
|| || 2 1 2121 T
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成
|| || 2 1 2121 T
即两频率之差。这一现象称为 拍,⊿ v称为 拍频,拍的振动曲线如图 7.9所示。当两振动的振幅不等，
即 A1 ≠ A2 时，也有拍现象，此时合振幅仍有时大时小的变化，
但不会达到零。
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2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成校正乐器，例如校正钢琴，往往拿待校的钢琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个音键，细听有无拍的现象。如果听得出有拍的现象，
说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到拍完全消失为止，这一音键才算校准。
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3,方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）
振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，
例如单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个振动沿 x 方向，一个沿 y 方向，即：
) c o s (
) c o s (
yy
xx
tAy
tAx
这实际上就是合振动的坐标参量方程。
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4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形如果 x 方向振动的频率 vx 和 y 方向振动的频率 vy 不相等，它们的合成振动为：
) c o s (
) c o s (
yyy
xxx
tAy
tAx
当 ωx 与 ωy 成整数比时，
合振动的轨迹仍是一些闭合曲线，如下图所示，称为 利萨如图形 。当 ωx 与 ωy的比例一定时，初位相差不同，对应的曲线形状和走向也不同。图
7.11中给出了三种频率比，五种初位相差的图形。
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4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形当 ωx 与 ωy 不成整数比时，合振动的轨迹不再是闭合曲线。利用利萨如图形的这些性质，可精确判定两种频率是否成整数比，
并可据此由己知频率确定未知频率。
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5,振动的分解、谐波分析
（ Fourier分析）
对于非简谐振动，直接分析它们往往较困难。如果把它们分解为许多简谐振动的叠加，事情就好办得多，数学上称这种分解为傅里叶 （ Fourier） 分析。我们不打算在这里讲数学的定理和相应的推导，下面只给出一些定性的结论：
(1) 任何一个周期性的振动都可分解为一系列频率为原振动频率
（称为 基频 ）整数倍的简谐振动，在数学上这称为 谐波分析 。
以频率为横坐标、各谐频振幅为纵坐标所做的图解，叫做 频谱,
此时的频谱为分立谱。不同的乐器有不同的频谱，反映在它们不同的音色上。
(2) 非周期振动也可以用频谱来表示。这时频谱不再为分立谱，而是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分解为频率不可通约的若干个分立的分振动。
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§ 7.2 阻尼振动前面所讨论的振动，振幅保持不变，
振动能量也保持不变。这只是实际情况的一种抽象，实际振动系统的振动，当无外界能量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减，衰减的原因，一是有摩擦力存在，将振动能量逐渐变为热能耗散了；二是振动能量以波的形式向四周传播，使振动能量逐渐变为波的能量，本节讨论有摩擦力存在的振动。
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7.2.1 运动方程及其解
7.3.2 欠阻尼振动
7.2.3 临界阻尼与过阻尼
§ 7.2 阻尼振动中国科学技术大学杨维纮
7.2.1 运动方程及其解我们主要考虑摩擦力与速度成正比的情形。当速度不大时，粘滞阻力就属这种情形。在考虑了粘滞阻力后，
弹簧振子的运动方程变为
xhkxxm
其中称为 阻尼系数 。令：
m
k?2
0? m
h2
ω0 是阻力不存在时振子的 固有角频率,β 称为 阻尼因数或 衰减常数 。于是方程 (7.2.1)为：
0 2 20 xxx
这是常系数二阶线性微分方程。
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7.2.1 运动方程及其解
0 2 20 xxx
对于复杂问题，复数法能显示其优越性。该方程的解法是，视 x 为复数，用试探解
rtex?
代入，其中 r 为待定常数。可解得：
20222021, rr
于是方程 (7.2.3)的解可写成如下形式：
trtr eAeAx 21 21
其中 A1,A2 为待定常数，由初始条件决定。
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7.2.2 欠阻尼振动,
trtr eAeAx 21 21
20222021, rr
0
1,振动解令 220f
将 (7.2.4)代入 (7.2.5)，得
ttiti eeAeAx ff 2 1 )(
取上式的实部得：
) c o s ( 0 0 teAx ft
此时振子的运动严格讲己不再是周期运动，但仍可看作振幅逐渐衰减的周期运动，其振幅和周期为 teAA 02?T
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7.2.2 欠阻尼振动，
2,阻尼振子的能量
0
) c o s ( 0 0 teAx ft
)] s i n ( ) ( c o s[ 00 0 tteAdtdxv fft
动能：
2
00
22
0
2 )] s i n() c o s ([
2
1
2
1 ttemAmvE
ff
t
k
势能：
) (c o s)(
2
1
) (c o s
2
1
2
1
0
2 22
0
22
0
2 22
0
2
0
2
teAm
teAmkxV
f
t
f
f
t
机械能,
)] (c o s2) (2s i n[
2
1
2
1
2
1
0
22
0
2 22
0
22
ttemA
kxmvE
fff
t
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7.2.2 欠阻尼振动，
2,阻尼振子的能量
0
)] (c o s2) (2s i n[21 02202 220 ttemAE ffft
可见机械能并不守恒。当
0
时，有
0f
于是
2 22
0
2
0
22
0
2
2
1
2
1
2
1 kAeAmeAmE tt
f
对时间微商，得：
0)] s i n ( ) ( c o s[2 200 220 tteAmdtdE ffft
和 (7.2.11)式比较知：
vhvhvdtdE )(2
这是摩擦力的功率，即损失的能量用于克服摩擦力作功。
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7.2.2 欠阻尼振动，
3,品质因数
0
衰减常数的大小反映了阻尼的大小。我们也可用一周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼的大小。通常将 t 时刻时振子的能量 E 与经一周后损失的能量 ⊿ E 之比的 2π倍称为振子的 品质因数,并用 Q
表之：
E
EQ
2
小阻尼情况下，根据上面的能量表示式 (7.2.15)，可得
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
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7.2.2 欠阻尼振动，
3,品质因数
0
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
因
T/20
所以
2 2
2 0
TQ
可见,Q 仅由振动系统本身的性质决定。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼过阻尼情况为
0
此时 r1,r2 皆为实数
0,0 20222021 rr
由解的表达式 (7.2.5)知：
])e xp [ (])e xp [ ( 20222021 tAtAx
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时已没有振动现象。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼临界阻尼情况为
0
此时 21 rr
我们只得到了阻尼方程 (7.2.3)的一个特解，为了求另一个特解，可令
tetAx )(
代入阻尼方程 (7.2.3)，得阻尼方程 (7.2.3)的通解为：
tetAAx 21 )(
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时也没有振动现象。
临界阻尼状态之所以重要，是因为它所对应的回复时间，即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡位置（在一定观察精度内）所需的时间，比欠阻尼和过阻尼状态都要短。
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼阻尼的作用：
0
0
0
欠阻尼,振动存在，但周期变长，振幅随时间减小，最终振动停止；
临界阻尼,不可能振动，但趋于平衡最快；
过阻尼,不可能振动，但趋于平衡变慢。
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§ 7.3 受迫振动与共振只受弹性力或准弹性力和粘滞阻力作用的振动系统，其振幅总是随时间衰减，
振动不能持久。如果要使振动持久不衰，
就必须由外界不断供给能量。振动系统在外界强迫力作用下的振动，叫做 受迫振动 。
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7.3.1 运动方程及其解
7.3.2 稳态解分析
7.3.3 共振
§ 7.3 受迫振动与共振中国科学技术大学杨维纮
7.3.1 运动方程及其解
1,受恒定外力作用设外界的强迫力 F0 为常数，则阻尼振动系统满足的方程为：
0Fxhkxxm
该方程有一特解,kFx /
0?
令 kFXx /
0
代入 (7.3.1)得,XhkXXm
这就是阻尼运动的方程 (7.2.1)，只是平衡位置改变了。即当外界的强迫力 F0 为常数时，不产生任何新的内容，故我们以后不考虑恒定的外力作用。
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的线性迭加。研究了振动系统对正弦型外力的响应，也就原则上解决了振动系统对任何外力的响应问题。下面我们仅考虑简谐强迫力
tF c o s0?
弹簧振子的运动方程为：
tFxhkxxm c o s0
令
m
Ff
m
k
m
h 0
0
2
0,,2
上式变为：
tfxxx co s 2 020
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7.3.1 运动方程及其解
tfxxx co s 2 020
2,受周期外力作用下面求其特解。为此，将方程写成复数形式：
tiefxxx 020 ~~ 2~
其中 xx ~Re? 令
rteBx ~~?
代入得,tirt eferrB
0202 ) 2(~
于是：
22222
0
22
00
2
0
2
0
2
0
2
0
4)(
] 2 )[(
2 2
~
if
i
f
rr
f
B
ir
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
) s i n c o s() s i n c o s(
)(~
tBtBitBtB
eiBBx
riir
ti
ir
方程 (7.3.5)的特解应为 (7.3.9)式的实部，即
) c o s ( s i n c o s
s i n c o s~Re
tBt
B
B
t
B
B
B
tBtBxx
ir
ir
其中
22222
0
022
4)(
fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
B
B
B
B
B
B iir
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
(7.3.10)式是方程 (7.3.5)的特解，该方程的通解等于该方程的一个特解加上对应的齐次方程的通解。而在小阻尼的情况下,(7.2.8)式即为对应的齐次方程的通解。于是方程 (7.3.5)的通解为：
) c o s () c o s ( 0 0 tBteAx ft
22222
0
022
4)(
fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
B
B
B
B
B
B iir
其中 为待定常数，由初始条件决定，的表达式见
(7.2.6)。 00,?A
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用对 (7.3.13)式讨论如下：
) c o s () c o s ( 0 0 tBteAx ft
(1) 其中第一项即阻尼振动，它随着时间衰减，故称 暂态解,第二项不随时间衰减，称为 稳态解 。开始时，
振子的运动比较复杂，为暂态解和稳态解的叠加，
经过一段时间以后，暂态解衰减掉了，只留下稳态解。
(2) 稳态解的特点是它的频率与强迫力频率相同，它的振幅及初位相与初始条件无关，完全由强迫力和系统的固有参量决定，而暂态解的频率由系统本身性质决定，振幅及初位相则由初始条件决定。
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7.3.2 稳态解分析下面分析受迫振动的稳态解，受迫振动的运动方程为：
tfxxx co s 2 020
稳态解：
) c os ( tBx
其中
22
0
2t an
B
B i
注意到：
)2 c os ( ) s i n ( tBtBx?
) c o s (2 tBx
故运动方程中各项可用旋转矢量表示如图 7.13所示，则各量之间的相位关系一目了然。
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7.3.2 稳态解分析我们只讨论的欠阻尼情况。
1,1
0
(频率甚低 )
此时 200,
0 2t an
2
0
1
0
2
0
0
0
k
Ff
BB
tkFx c o s0
对应的矢量旋转图见图 7.14所示。我们可得如下结论：
(1) 频率甚低时，物体加速度和速度均很小，故物体的惯性与阻力都可以忽略，弹力几乎时时与外力相平衡。
(2) 振幅矢量稍落后于矢量外力，振动与外力同位相。
tfxxx co s 2 020
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7.3.2 稳态解分析
1,2
0
(频率甚高 )
,020
)0(t an
2
t an
0
1
2
1
2
0fBB
tfx c o s 20
对应的矢量旋转图见图 7.15所示。我们可得如下结论：
(1) 因频率甚高，物体的惯性很重要。速度并不大，位移更小，阻力和弹力均可忽略，物体几乎只在外力作用下振动，而且振幅很小。此时 ) c o s (
0 tFxm
(2) 振幅矢量落后于矢量外力 f0，相位约为 π。
tfxxx co s 2 020
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7.3.3 共振
0
现在让我们来仔细讨论一下，受迫振动所给出的振幅和相位随频率变化的情况。
22
0
22222
0
0 2 t a n
4)(
fB
上式中无论选 ω或 ω0 作变量，位移和速度的振幅都有一个极大值。阻尼越小峰值越尖锐。这种现象叫做 共振 。
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7.3.3 共振
0
这里应注意到，在力学里和电学里考察的着眼点还有所不同。在机械的振动系统里，往往系统的固有频率
ω0 是固定的，驱动力的频率 ω可以调节；此外，机械振动系统中的位移是比较容易观察并产生直接效果的。
然而，在振荡电路里，固有频率 ω0 是可调的，驱动力是外来的讯号，其频率 ω是给定的；此外，电路中重要的变量是电流，它相当于这里的速度。
所以，在力学里应着重考察位移随驱动频率 ω的变化，而在电学里应着重考察电流（速度）随固有频率 ω0
的变化。然而从功率的角度看，在任何情况里我们都应着重考察速度。
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7.3.3 共振
0
1,振幅共振
) c os ( tBx
22
0222220
0 2 t a n
4)(
fB
当 dB/dω= 0 时,B 最大，由 (7.3.18)式知，
220 2 r
振幅 B 最大。此时称为达到 振幅共振 。
0
时，有
0r
共振时相移：
2t an2
2t an 1
2
1?
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
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7.3.3 共振
0
1,振幅共振
2t an2
2t an 1
2
1?
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
即位移落后于驱动力 π/2 相位，而速度恰好与驱动力同相位。
功率 = F0 v，故此时外力永远做正功。
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7.3.3 共振
0
1,振幅共振
B-ω图常称频率响应曲线或称 共振曲线 。
当 Q > 1 时，所有的曲线都有一个峰，这就是 共振峰 。品质因素 Q 越大，
曲线的峰越明显。共振峰 处
0
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7.3.3 共振
0
2,能量共振既然外力供给振子的能量等于阻力消耗的能量，则振子得到的功率：
]4)[( 2) (2
11
22222
0
22
022
0
hfBhdtxh
TP
T?
当 dP/dω= 0 时,P 最大，此时称为 能量共振 。由
(7.3.19)可得,ω=ω0 时能量共振。
共振时强迫力的功率时刻与阻力的功率相抵，因而振子的机械能恒定不变。这时振子以固有频率振动，犹如一个不受阻力的自由振子，故动能与势能之和与时间无关。同时，
共振时强迫力与速度同位相，因而时刻对体系作正功，这正是共振开始时振幅急剧增大的原因所在。但随着振幅的增大，
阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，遂使振子的振幅保持恒定。
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7.3.3 共振
0
2,能量共振与振幅共振不同的是，能量共振时 ω
和 ω0 严格相等，如图 7.18所示。
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7.3.3 共振
0
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义通常用锐度来描写共振曲线的尖锐程度,共振峰锐度 定义为：
12
0
12
rS
2112
称为 共振峰宽度 。
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7.3.3 共振
0
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义当 β很小时，由
2/rBB?
从 (7.3.18)式得
2220
2))(( 00
21
故
QS 2 0
12
0
于是共振峰锐度恰等于品质因数。这是 Q 值的第二种意义。
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7.3.3 共振
0
4,系统放大倍数,Q 的第三种意义由 (7.3.14)式知，当 ω≈ 0 时，振幅
2000 /?fBB
我们定义系统放大倍数
0B
BK r?
其中 Br 为共振时的振幅，由 (7.3.18)式知，
00 2/fB r?
代入 (7.3-23)式得
QffK 2/2/ 02
00
00
于是系统放大倍数恰等于品质因数。这是 Q 值的第三种意义。
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7.3.3 共振
0
据说,160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时，轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷坠水。几十年后，圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。
一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相近，发生共振所致。
1940年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，
这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？
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§ 7.4 二自由度振动 *
略中国科学技术大学杨维纮
§ 7.5 机械波如果在空间某处发生的扰动，以一定的速度由近及远向四处传播，则称这种传播着的扰动为 波 。机械扰动在弹性介质内的传播形成 机械波 （又称 弹性波 ），
电磁扰动在真空或介质内的传播形成 电磁波 。不同性质的扰动的传播机制虽不相同，但由此形成的波却具有共同的规律性，波是能量传播的形式之一。此外，
近代物理指出，微观粒子以至任何物体都具有波性，
这种波叫 物质波,尽管物质波与机械波或电磁波有本质的不同（例如它并不传播能量），但在传播、叠加等方面仍与上述两种波有着共同的性质。
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7.5.1 机械波的产生和传波
7.5.2 波的分类
7.5.3 平面简谐波
7.5.4 波动方程和波的传播速度
7.5.5 波的能量密度
§ 7.5 机械波中国科学技术大学杨维纮
7.5.1 机械波的产生和传播由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部分有相互作用力而且可以有相互运动，称为 连续媒质 。
若连续媒质之间的相互作用力是弹性力，则称为 弹性媒质 。
机械波特点,
1,机械波是一种机械运动形式，必须具备两个条件：振源和弹性媒质；
2,波是指媒质整体所表现的运动状态；
3,波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附近振动。
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7.5.1 机械波的产生和传播在弹性媒质中，可以设想各质点（质元）有一个平衡位置，它一离开平衡位置，即受到各附近质点的指向平衡位置的合力。
质元间的相互作用（如弹性）使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。
引起媒质振动的振动物体称为 波源 。
弹性媒质形变分类,
1,切变,物体受力后层间发生位移的现象称为切变。切变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为 切变弹性 。
2,张变,媒质伸长或压缩这种变形称为张变。张变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为 张变弹性 。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果波源振动方向与波的传播方向垂直，就会形成周期性峰、谷的传播。
这样的波称为 横波 。
其具体形成过程如图 7.21所示。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式 横波传播条件：媒质具有切变弹性 。
液体内部、气体不能产生切变弹性力，故液体内部和气体中不能传播横波。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果波源振动方向与波的传播方向平行，
就会形成周期性疏、
密的传播，
这就是 纵波 。纵波的形成过程如图
7.22所示。
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7.5.2 波的分类
1,按传播方式在横波中，波形曲线就是具体的波形图。
在纵波中则不是。纵波的波形曲线在图
7.22中用细实线表示，它与横波的波形曲线相似，图中虚线为各质点的振动曲线。
以质点的位置为横坐标，以质点的位移为纵坐标所画的曲线称为 波形曲线 。
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7.5.2 波的分类
2,按空间形状如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，那么，从一个点波源发出的扰动，经过一定时间后，扰动将到达一个球面上，如果扰动是周期性的，介质中各处也相继发生同频率的周期性扰动。介质中振动位相相同的点的轨迹称为 波阵面,简称 波面 。最前面的波阵面称为 波前。 波阵面是球面的波称为 球面波,在离波源足够远处，在观察的不大范围内，球面可看成平面，这种波就称为 平面波,自波源出发且沿着波的传播方向所画的线叫 波线,在各向同性介质中，波线与波面互相垂直。
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7.5.2 波的分类
2,按空间形状中国科学技术大学杨维纮
7.5.2 波的分类
3,按波源振动方式波源作周期振动形成的波称为 周期波 。
波源作间歇振动形成的波称为 脉冲波 。
波源作简谐振动形成的波称为 简谐波 。
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7.5.3 平面简谐波如果波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简谐振动，这样形成的波叫 简谐波 。如果波面为平面,则这样的波称为 平面简谐波 。由于平面简谐波的波面上每一点的振动和传播规律完全一样，故平面简谐波可以用一维的方式来处理。
如图 7.24所示，
设一简谐波沿正 x 方向传播，已知在 t 时刻坐标原点 O 处振动位移的表式为
) c o s ( 0 tAy
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7.5.3 平面简谐波于是 P 点的位移为
]) (c o s [ 0 vxtAy
v 称为 波的位相速度,
也称为 波速,它表示单位时间某一振动相位所传播的距离。
(7.5.2)式就是简谐波的运动学方程。由于波是向右传播的，又称为 右行波 。令
vT
λ称为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
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7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0 vxtAy
T/2由于
])(2c o s [ 0 xTtAy
令
2?k
k 称为 波数,它表示在 2π米内所包含的波长数。于是简谐波方程 (7.5.2)又可以写成：
) c o s ( 0 kxtAy
(7.5.2),(7.5.4)和 (7.5.6)都是简谐波的方程。
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7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0 vxtAy
])(2c o s [ 0 xTtAy
) c o s ( 0 kxtAy
T,? 是和时间有关的量
,k 是和空间有关的量其对应关系为：
时间 t,圆频率 ω 周期 T
空间 x,波数 k 波长 λ
而它们由波速相互联系：
kTv
若 v 与 ω无关，则称波是 无色散 的 。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
波的运动学方程是一个二元函数，位移既是时间 t
的函数，又是位置 x 的函数。
1,当 x 一定,y 仅为 t 的函数，例如 x = x1 时，即盯住某一位置看，
] c o s []) (c o s [ 101 tAvxtAy
它表示 x = x1 这一质点随时间作简谐振动，时刻 t 和
t + T 的振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期（频率）和振幅与波源相同，
位相落后
1
101 2
xx
v
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
2,t 一定，则 y 仅为 x 的函数，当 t = t1 时
]c o s [] c o s [ 01 tkxAkxtAy
其中
01 tt
表示任一时刻各质点离开平衡位置的位移的分布。可以看出，波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
3,y 一定，则波表达式的宗量 ) (
0 kxt
即波的位相一定,常数
0 kxt
则随着时间的增加，波必须在空间传播一定的距离。
将上式对时间求导，得
pvkdt
dxv
vp 称为 波的位相速度,简称 相速 。它表示确定的位相在单位时间内传播的距离。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
4,将以上各方程中的 v 换成 -v，即得向坐标轴负向传播的平面简谐波的运动学方程为
] c os []) (c os [ 00 kxtAvxtAy
该波又称为 左行波 。
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
5,波速为波在媒质中传播的速度，它是振动位相在媒质中传播的速度，它不同于波线上各质元绕平衡位置的振动速度。波速对于各向同性媒质而言是一个常数，
而各质元的振动速度和加速度则是时间的函数，为：
]) (s i n [ 0 vxtAty
]) (c o s [ 022
2
vxtAt y
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7.5.3 平面简谐波简谐波运动学方程的物理意义：
6,在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为
) c o s (),( 0 rkArB tt
其中 k 称为波矢，它是一个矢量，而它的绝对值就是波数。
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速设波在其中传播的介质是质量连续分布的弹性棒。
在棒中取横截面坐标为 x 到 x +⊿ x 的一段作为考察对象，
如图 7.25所示。令棒的截面积 S 为密度为 ρ。当棒中有纵向扰动传播时，各截面的位移并不相同，棒中发生纵向形变（张变），从而出现应力（弹性力）。所考察的这段棒受到左方介质所施的弹力 F (x) 和右方介质所施弹力 F (x +⊿ x)的作用,F (x) 由 x 处的相对形变决定。设
x 处的横截面的位移为 y,x + dx 处的横截面的位移为 y
+ dy，则 x 处的相对形变为 dy/dx。根据胡克定律，作用在 x 处横截面上单位面积的正应力 T 与该处纵向相对形变（应变）成正比：
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
dx
dyYT?
式中 Y 称为 杨氏模量 。
于是,x 处的弹力：
xxdx
dySYxF
)(
同理，在 x +⊿ x 处的弹力：
xxxdx
dySYxxF
)(
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7.5.4 波动方程和波的传播速度当时 dy/dx > 0 为伸长形变，应力是张力，
相应的 F (x) 应取负号，
F (x +⊿ x) 应取正号，
故所考察的这段棒的运动方程为
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
xdx ydSYdxdySYdxdySYdt ydxS
xxx
2
2
2
2
两边除以 xS
并将求导符号改为求偏导的符号，得：
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2
2
2
2
x
yY
t
y
上式就是波动过程所满足的动力学方程，称为 波动方程,
这是一个线性偏微分方程。设其解为：
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
)(co s
||v
xtAy
代入方程 (7.5.18)解得波速：
Yv
||
这就将波速与介质的常量 Y,ρ联系起来了,Y 反映介质的弹性,ρ反映介质的惯性。由于所讨论的是纵波，故在
v 旁加了脚标,||”。式中正号对应于右行波，负号对应于左行波。
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2,横波的传播速度当介质中有横向拢动传播时，介质发生切向形变，
在与波传播方向相垂直的横截面上出现切应力，因而横波的传播速度与介质的切向弹性模量有关，类似于上面的推导，可以求得横波的波速为：
Nv
式中 N 称为 切变模量,它是切应力 T 与横向相对形变
dy/dx 之比，即：
dx
dyNT?
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
3,一般形式的波动方程将 (7.5.20)式代入 (7.5.18)，以 v 表示波的相速度，可得一般形式的波动方程为：
2
2
2
2
2
x
yv
t
y
对于在三维空间中传播的波，若以 B (r,t) 表示其振幅矢量，则波动方程为：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyxvt
BBBB
如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传播的简谐波的频率无关。这样的波为 无色散波 。
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7.5.4 波动方程和波的传播速度我们知道，空气中的声波为纵波，其传播速度应由
(7.5.21)式求得，空气的杨氏模量 Y 应为空气的压强 p，
于是由 (7.5.21)式可得声波的速度：
pv?
代入上式得，而实验测得的声速约为 v = 289米 /秒，相差竟达 20% 之多！这个矛盾一个世纪内竟无法解释。后来才有人指出，不应该忽略了空气在传声中，一伸一缩，
其温度，因而其弹性，都有变化的缘故，该问题才告解决。这个问题，我们留待热学中再探讨。
对于 15o，一个大气压的空气
325 / 2.1 / 10 米千克米牛顿p
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7.5.5 波的能量密度略中国科学技术大学杨维纮
7.6.1 惠更斯原理
7.6.2 波的反射定律
7.6.3 波的折射定律
7.6.4 波的衍射
§ 7.6 波在空间中的传播中国科学技术大学杨维纮
7.6.1 惠更斯原理波在行进过程中遇到小孔、
障碍物或两种介质的交界面时，
会发生衍射、反射、折射等各中情况。在历史上，曾提出过几种理论解释这些现象，其中比较成功的是惠更斯原理
（ Huygens,1629~1695,荷兰物理学家、天文学家、数学家 ） 。
惠更斯提出：在波的传播过程中，波前上的每一点均可看成一个子波源，在 t 时刻的波前上的这些子波源发出的子波，经 ⊿ t 时间后形成半径为 v⊿ t（ v为波速）
的球面，在波的前进方向上，这些子波的包迹就成为时刻 t +⊿ t 的新波前，如图 7.27所示。这种借助于子波概念解释波前怎样推进的原理叫作 惠更斯原理 。
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7.6.1 惠更斯原理上述惠更斯原理，如果不加修饰，不仅给出朝前推进的波前，而且给出倒退的波前。因此，
子波必须修饰为前后不对称的，在正前方最强，
正后方为零，其它方位则强度在这两极端之间。
经过修饰的惠更斯原理不仅能给出波前的推进，
而且可以用来计算波强的分布。而比较严谨的理论是 基尔霍夫公式 。基尔霍夫公式已超出本书范围，这将在后续课程中讲述。
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7.6.2 波的反射定律略中国科学技术大学杨维纮
7.6.3 波的折射定律略中国科学技术大学杨维纮
7.6.4 波的衍射略中国科学技术大学杨维纮
§ 7.7 波的叠加实验表明，当空间同时存在两列或两列以上的波时，
每列波在传播中将不受其他波的干扰而保持其原有特性
（频率、波长、振幅、振动方向和传播方向）不变，而空间任一点的振动位移则等于各列波单独在该点引起的振动位移的矢量和。这一表述称为 波的叠加原理 或 惠更斯 — 菲涅尔原理 （ Fresnel,Auguston Jean,1788~1827，法国物理学家）。
就像振动的叠加原理的基础是振动的动力学方程为线性微分方程一样，波的叠加原理的基础是波动方程
(7.5-24)为线性微分方程。
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7.7.1 波的干涉
7.7.2 驻波
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
§ 7.7 波的叠加中国科学技术大学杨维纮
7.7.1 波的干涉介质中同时传播着的两列波相遇时，
在它们重叠区域的某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱，形成稳定的叠加图样，这种现象称为 波的干涉 。
能产生干涉现象的必要条件称为 波的相干条件 。满足波的相干条件而能产生干涉现象的两列波称为 相干波 。产生相干波的波源称为 相干波源 。
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7.7.1 波的干涉如图 7.31所示，设两波源 S1
和 S2 的振动方程各为：
) c o s ( 1110 tAy
) c o s ( 2220 tAy
假定振动的方向都垂直于纸面，由 S1,S2 发出的两列波在空间 P 点引起的振动各为：
) c os ( 1111 krtAy ) c o s ( 2222 krtAy
式中 k 为波数,r1,r2 为 P 点到 S1,S2 的距离。根据波的叠加原理,P 点的合振动为：
) c os () c os ( 22211121 krtAkrtAyyy
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7.7.1 波的干涉
) c os () c os ( 22211121 krtAkrtAyyy
这是两个同方向、同频率的振动的合成。根据 7.1.5
节的讨论，当两振动的位相差
nrrk 2)( 1221 ),2,1,0(n
时,P 点振动的振幅为 A1+ A2，振动加强，这样的点称为 干涉相长点 。当位相差
)12()( 1221 nrrk ),2,1,0(n
时,P 点振动的振幅为 |A1 - A2|,振动减弱，这样的点称为 干涉相消点 。
位相差等于其它值的点的振幅介于 A1+ A2 与 |A1 -
A2| 之间。
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7.7.1 波的干涉要在空间维持稳定的干涉现象，各点的振幅应保持恒定。
由此知,波的相干条件 为：
1,两列波具有相同的频率；
2,两列波的相位相同，或相位差恒定；
3,两列波的振动方向相同。
维持两个波源满足相干条件，特别是相位差条件很不易，常用同一波源产生的波通过两条狭缝后相干。
如果空间存在多个相干波源，也会产生干涉现象。
光学中的多缝干涉就是一例。这里暂不作讨论。
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7.7.2 驻波介质中有反向行进的两个同频率的波存在时，这两个波叠加后也将产生干涉现象。为简单起见，设弹性弦上传播着具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们的运动方程为
) c os ( 11 kxtAy
) c o s ( 22 kxtAy
右行波左行波合成后，弦上的运动成为
)2 c os ()2c os (2 121221 tkxAyyy
在合成波的表式中，与和的关系分别出现在两个因子之中，因此，合成波实际上是一种振动，不再是振动的传播，故称为 驻波 。
位相逐点传播的波，即通常意义下的波称为 行波 。
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7.7.2 驻波驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律：
)2 c os ()2c os (2 121221 tkxAyyy
),2,1,0(,2,1 12 nnkx
即：
222 2
1212
n
kk
nx
此时
1 )2co s ( 12kx
振幅最大，这种位置称为 波腹,这时质点的振幅为分波振幅的两倍。相邻波腹的距离为 λ/2。
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7.7.2 驻波
)2 c os ()2c os (2 121221 tkxAyyy
即：
此时振幅为零，这种位置称为 波节 。相邻波节的距离也为
λ/2。
),2,1,0(,22,2 12 nnkx
224
)12(
22
)12( 1212
n
kk
nx
0 )2co s ( 12kx
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7.7.2 驻波驻波可以用波形曲线具体地表示出来，如图 7.32
所示。
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7.7.2 驻波由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
1,没有位相的逐点不同和逐点的传播，在相邻两波节之间，各点的振动位相相同，在波节两边，振动反位相。
2,各点振幅不同，波腹处振幅最大，波节处振幅最小。
相邻波节间距、相邻波腹间距都为 λ/2。
3,如正向传播的波和反向传播的波振幅不等，仍然合成驻波，但波节的振幅不为零而是振幅绝对值最小。
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7.7.2 驻波由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
4,关于端点的反射问题。
设入射波 ) c os (1 kxtAy 设端点为 x = l
(1) 对自由端点，反射波：
)2 c os ()]2( c os [2 klkxtAxlktAy
合成的驻波为,（端点为波腹）
) c os ()c os (221 kltklkxAyyy
(2) 对固定端点，反射波应为：
)2 c o s (2 klkxtAy
合成的驻波为,（端点为波节 ）
)2/ c os ()2/c os (221 kltklkxAyyy
我们称波在端点具有 半波损失 。
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7.7.2 驻波
5,波的总能流为零，因为反向行进的波的能流相反。
但由于瞬时能流密度与时间有关，两反向波的瞬时能流密度并不时时相抵，从而使在两波节之间的区域中，仍有净能量的传播。当波节两边各质元的位移的数值最大时，能量全部为势能，主要集中在波节附近；当它们通过平衡位置时，能量全部为动能，主要集中在波腹附近。但在波节
（或波腹）两边，最终并无能量交换。因而，每一个相邻的波节与波腹之间的区域，实际上构成一个独立的振动系统，它与外界不交换能量。
由以上分析可知，驻波有以下几个特征：
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7.7.2 驻波和横波一样，纵波也可以形成驻波。
在纵驻波中，波节两边的质点在某一时刻涌向波节，使波节附近成为质点密集区，
半周期后，又向两边散开，使波节附近成为质点稀疏区，相邻节点附近质点的密集和稀疏情况正好相反。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度设有两列在空间行进的波，它们均沿 x 方向传播。
为了讨论方便，可设振幅相等，即这两列波为：
)c o s ( 111 xktA )c o s ( 222 xktA
假设它们传播的速度（相位传播速度，即相速）相同，
为 v，一路上两列波叠加为：
)c o s ()c o s ( 211111 xktAxktA
])(c os [])(c os [ 2211 vxtAvxtA
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 vxtvxtA
将 (7.7.12)与 7.1.5节的 (7.1.28)作一比较，相当于将 (7.1.28)
式中的 t 换成了 t – x/v。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 vxtvxtA
这说明，这样两列传播方向相同、波速相同、频率不同的波相加，波线上每一点的振动情况都相同，
即相同的拍频振动以速度 v 沿 x 方向传播，或用无线电学中的术语，即得到以速度 v 沿 x 方向传播的调制波。
而且在空间移动中，合成波与各分波以相同速率前进，
调制波也以此速率前进。这个速率等于每一个波的相速，即
kv
拍中国科学技术大学杨维纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 xktA )c o s ( 222 xktA
现在考虑较复杂的情况。存在色散，即波速随频率不同而有所不同。反映在波的圆频率 ω与波数 k 之间关系不再那样简单。设两列波的波速有关系
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv
作为复杂情况的一个例子是，对于深水的水面波，
32 kTgk
kTkgkv
跟 k 有关，因而深水的水面波是色散波。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 xktA )c o s ( 222 xktA
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv
现在再作两列色散波的叠加：
)c o s ()c o s ( 211111 xktAxktA
222
c o s
222
c o s2
212121
212121
x
kk
t
x
kk
tA
(7.7.17)式虽然与 (7.7.12)式相似，合成波也是沿方向传播的调制波，但是由于原来的两列波的传播速度不同，合成波包络线的传播速度既不是 v1，也不是 v2。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度合成波包络线的传播速度代表信号的传播速度，我们称其为 群速度 。下面我们来求群速度，合成波包络线为：
222co s2 212121 xkktA
群速度可以认为是该包络线峰值的传播速度，在时刻 t
其峰值位于 x，且有关系：
nxkkt 2222 212121
其中 n 为任意整数。对上式微分得：
022 2121 dxkkdt
则可求得群速度为：
12
12
kkv g?
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极限情况下有
dk
dv
g
为了和波的群速度区别，我们将波的相速度记为 vp，即：
kv p
利用
/2 kkv p
代入 (7.7.21)式可得：
d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg
此式就是著名的瑞利群速公式。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg
由此式可以判定
pg
p vv
d
dv,0
pg
p vv
d
dv,0
pg
p vv
d
dv,0
无色散；
正常色散；
反常色散。
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度这种相速与群速的区别大致可以作一些直观的理解，两列波在空间以略为不同的频率传播，由于相速稍有不同，于是就产生了某种新的情况。假设我们处在其中一列波上去观察另一列波，如果这两列波的速率相同，那么看到的另一列波是静止的。若处在一列波的波峰上，而另一列波也正好是波峰，两者重叠在一起，在静止参考系看到重叠处以原有的波速前进，
这就是我们一开始分析的情况。现在，两列波速率略有不同，若仍处在一列波的波峰上，你会看到另一列波的波峰就会缓慢地向前（或向后）移动。这导致合成波的包络在两列波行进时会以不同的速率前进。反映调制信号的包络的速度就是群速度。
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§ 7.8 多普勒效应一辆汽车在我们身旁急驰而过，车上喇叭的音调有一个从高到低的突然变化；站在铁路旁边听列车的汽笛声也能够发现，列车迅速迎面而来时音调较静止时为高，
而列车迅速离去时则音调较静止时为低。此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象。这种现象称为 多普勒效应 。
下面推导多普勒频移的公式。为了简单，先讨论波源 S 或观察者 D 的运动都在波源与观察者的连线上运动，
并以 vD 表示观察者相对介质的速度，以趋近波源为正；
以 vS 表示波源相对介质的速度，以趋近观察者为正；介质中的波速为 v。
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7.8.1 波源静止，观察者运动
7.8.2 波源运动，观察者静止
7.8.3 波源和观察者都运动
7.8.4 一般情况
7.8.5 马赫锥
§ 7.8 多普勒效应中国科学技术大学杨维纮
7.8.1 波源静止，观察者运动如图 7.33所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，
若观察者以速度 vD 向波源运动，则波动相对于观察者的传播速度变为
Dvvv
于是观察者感受到的频率为：
Dvvv
故它与波源频率之比为：
v
vv D
上式中 vD 可正可负，当 vD < 0 时表示观察者向离开波源的方向运动。
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7.8.2 波源运动，观察者静止如图 7.34所示，
若波源以速度 vS 向着观察者运动，它发出的球面波波面不再同心。由于波源的运动，
将使波长缩短。当波源静止时，相邻两位相相等的等相面之间的距离为 λ。
波源运动时，当第一个等相面自波源发出后，该面即以速度 v 向前行进，在第二个同位相的等相面发出时，
波源已向前移动了的距离 vST，而这时第一个等相面已向前行进 vT =λ的距离，结果两同位相等相面之间的距离变为
TvS
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7.8.2 波源运动，观察者静止即现在的波长
Tv S如图 7.34所示，于是观察者接收到的频率为：
SS
S
vv
v
Tvv
v
Tv
vv
)(
故它与波源频率之比为：
Svv
v
上式中 vS 可正可负，当 vS < 0 时表示波源向离开观察者的方向运动。
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7.8.3 波源和观察者都运动这时
0,0 DS vv
只要把上述两种情况结合起来，即可得波源和观察者都运动时观察者接收到的频率与波源频率之比为：
S
D
vv
vv
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7.8.4 一般情况略中国科学技术大学杨维纮
7.8.5 马赫锥略中国科学技术大学杨维纮
§ 7.9 非线性波简介略中国科学技术大学杨维纮
