杨维纮
§ 2.1 牛顿运动定律
§ 2.2 常见的力
§ 2.3 动力学问题的求解
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力第二章 质点动力学中国科学技术大学杨维纮
2.1.1 牛顿第一定律
2.1.2 牛顿第二定律
2.1.3 牛顿第三定律
§ 2.1 牛顿运动定律中国科学技术大学杨维纮
§ 2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿第一定律一个物体，如果不受其它物体作用（或所受合力为零），则它将保持静止或作匀速直线运动。
这就是牛顿第一定律，该定律的最初表述是伽利略提出的，后经笛卡尔改进，牛顿使之进一步完善。
关于第一定律，有下列几点需要说明。
1,惯性定律是不能直接用实验严格地验证的，它是理想化抽象思维的产物。
我们不妨改用下列较为现代化的说法来表述惯性定律：
自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。
2,第一定律提出了力和惯性这两个重要概念。
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2.1.1 牛顿第一定律
3,第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括。
4,第一定律定义了一类重要的参考系 ——惯性系。
牛顿第一定律的意义：
一定存在这样的参考系，在该系中，所有不受力的物体都保持自己的速度不变。这类参考系，称为惯性参考系，或称惯性系。
即,惯性定律断言，惯性系一定存在。
5,惯性不是个别物体的性质，而是参考系的性质，或者说，是时空的性质 。
虽然惯性定律保证了惯性系的存在，但惯性系究竟在哪里？牛顿给出了一个原则的标准，他认为存在着绝对时间和绝对空间，那就是我们所需要的一个最基本的惯性系。历史上，人们为了寻找这样“绝对静止”的“绝对空间”曾多次努力，但最终失败了，绝对空间（或最优越的参考系）并不存在。这个问题我们留到“相对论”一章中再来探讨。
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2.1.2 牛顿第二定律运动的改变与所加的动力成正比，并发生在所加的力的那个直线方向上。
这就是牛顿第二定律，该定律的主要思想在伽利略对抛体和斜面运动的分析中已有体现，牛顿将其总结为定律。关于第二定律，有下列几点需要说明。
1,第二定律的数学表述为：
)( vF mdtd? aF m?
其中 F是物体所受的作用力,m是质量，在牛顿力学的范围内，它是常量。
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2.1.2 牛顿第二定律
2,质量 m 和力 F 的定义 。
牛顿认为：质量是物体所含“物质的量”。
然而，这不能作为定义。什么叫“物质的量”？
仍然是不确定的。在物理学中，一个物理量的定义，
必须同时给出利用其它能够量度的量来计算它的一套规则。
定义：
质量就是质点所受外力与所产生的加速度之比。
作用在一个质点上的力就是它的质量乘以由于该力所产生的加速度。
逻辑循环?
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2.1.2 牛顿第二定律离开了具体的物理背景，去分析这两个定义，无疑会出现逻辑循环。但对于我们所碰到的具体物理情况，它是不混乱的。物理规律的作用在于把许多已知的实验结果统一起来，联系起来，给出许多实验现象的统一的解释，并且根据这种解释去预测一些新的现象或实验结果。只要定义、定律确立的联系测量数据的规则是明确的、不含糊的，那就没有任何混乱可言。
具体说来，牛顿第二定律给出了质量和力必须满足的一个关系式，在质量和力这两个物理量中，如果我们规定质量是基本量，则力可以看成是导出量。我们先定出基本量，然后再来确定导出量。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律在相同的力 F作用下的两个物体，质量与加速度成反比。
设这两个物体的质量分别为 m1,m2，加速度分别为 a1、
a2,则有：
2
1
12 a
amm?
若取 m1 的质量为标准质量（可以取为 m1=1 ），由于 a1,a2都是可以测量的，那么 m2 的质量可以完全确定。一旦确定了质量，由 m1a1 或 m2a2 就可以完全确定作为导出量的作用力 F。由此可见，我们并没有逻辑循环或逻辑混乱。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律质量的单位是千克，千克的标准是保存在巴黎国际计量局中的一个铂铱圆柱体。在原子尺度上，利用原子质量单位，用 12C作它的标准，国际协议规定 12C的原子质量精确地等于 12个原子质量单位。原子质量单位与千克的关系为
1原子质量单位 = 千克 271066 05 65 5.1
我们这里定义的质量是用来描述物体的惯性的，所以我们又称它为 惯性质量 。
有了质量的单位，我们可以定义力的单位为牛顿，
定义为：
1牛顿 = 1千克 × 1米 / 秒 2
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律
3,质量 m 是绝对量。
aFm /?由于：
同一个质点在不同的惯性系中,a,F 不变，故 m 不变。
于是在牛顿力学中，是绝对量，与时间的选取无关，与坐标系的选取无关。
实验表明，在高速运动中，质量会大大增加。这是由于高速运动会导致时空变形，我们到相对论一章再进行讨论。只是在牛顿力学中，质量才是绝对量。
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
理由？ 不是来自于牛顿第二定律，而是来自实验。
实验,在足够光滑的水平平面上，如图 2.2所示，我们做三个实验。
(1) 物体 A（质量 mA）与一弹簧相连，
把弹簧拉到长 L，然后释放物体 A，
在弹簧的牵动下,A作加速运动，
测量出开始时刻的加速度 aA；
(2) 用上述弹簧与物体 B相连，仍拉长到 L，测出释放时刻的加速度 aB ；
(3) 仍是上述弹簧，拉长到 L，和捆绑在一起的 A,B相连，测出释放时刻的加速度 aAB 。
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
ABAB
BB
AA
amF
amF
amF
B
B
A
A a
Fm
a
Fm,
BAAB mmm如果：
则：
BA
BA
BA
BA
AB aa
aa
a
F
a
F
F
mm
Fa
而 aA,aB,aAB都可以测量，如上式满足，则质量有可加性。
实验表明，在宏观低速运动时，质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律注意,
只依靠牛顿第二定律来分析运动性质，还是不够的，必须扩充其它假定，如弹簧拉到同样长度产生同样大小的弹力，这与数学不同。
外加的假设，反映了我们对客观世界的看法，
或说是客观世界的一种模型。在什么地方应当补充些什么，或者说用什么模型去描述客观世界，是物理的难点。
4,质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律
5,第二定律适用的参考系是惯性系。
6,第二定律是矢量式，因而力是矢量。
7,第二定律是瞬时关系式。
8,第二定律中的各量可直接测定，因而所给出的预言是明确的，可以用实验证伪。
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2.1.2 牛顿第二定律我们知道，任何实验都是有误差的。这样就会出现一个问题，牛顿第二定律为什么不会是 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,
△ =10-n 为一个正数？当 n 的值较大时（比方说 n > 20），那么目前我们的任何实验都无法区分 F=ma1+△ 或 F=ma1-△ 与
F=ma 有什么差别。牛顿第二定律的形式为 F=ma,究竟理由何在？
这是由于我们相信：自然规律是简单的、和谐的。如果牛顿第二定律的形式为 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,我们就要问，这个△的物理意义是什么？为什么自然界会是这么一种不和谐的样子？这里我们看到，物理学来自于自然哲学，在物理学的发展过程中，一旦物理学的知识不够用了，它就要到自然哲学中去寻找武器，到数学中去寻找工具。这一点，
相对论的发展给了我们极好的例子，我们到相对论一章中再详谈。
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2.1.2 牛顿第二定律
9,物理学的量纲和量纲分析。
由于物理量之间有定义和定律相联系，所以在量度物理量时，
不必给所有的物理量规定单位，当少数几个物理量的单位规定后，
其他物理量的单位即可由它们导出。这些被选定并规定单位的物理量叫 基本量,基本量的单位叫 基本单位,其余的物理量就叫 导出量,
它们的单位就叫 导出单位 。选定的基本量及其单位不同，对应的单位制就不同。在国际单位制中，基本量是长度、质量、时间（及电流、发光强度、温度和物质的量），速度、加速度、力等就是导出量。
基本量选定以后，导出量的单位可从基本量的单位的组合而得到。在国际单位制中，表示力学量只要三个基本量，即长度、质量、
时间，分别用 L,M,T 表示这三个基本量，则任何力学量 A（就其单位量度来说）总可以写成 L,M,T 的一定幂次的组合：
上式右边就称为力学量 A 的 量纲 。
rqp TMLA?][
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2.1.2 牛顿第二定律只有量纲相同的物理量才能相加，相减和相等，这一法则叫量纲法则 。量纲法则是量纲分析的基础。 量纲分析 是一种有用的方法，它的主要用处有：
9,物理学的量纲和量纲分析。
(1) 在基本量相同的单位制之间进行单位换算 。
(2) 验证公式 。
(3) 为推导某些复杂公式提供线索或直接推导公式 。
例如，要知道牛顿与达因的换算关系，可由力的量纲
[F] = L M T-2得到。由 1米＝ 100厘米,1千克＝ 1000克，
得 1牛顿＝ 100× 1000 达因＝ 105 达因。
因为只有量纲相同的量才能相加，相减，相等，一个物理公式只有在量纲正确的情况下才可能正确。
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2.1.2 牛顿第二定律
10,用定律作物理量定义式的注意事项。
(1) 因为物理定律不是绝对真理，有一定的适用范围，出了适用范围，定律一般不再正确，这时的定义也就不再合适了，因而不能再这样定义，解决方法为：
(a) 增加一个基本量；
(b) 用新的定律做定义式。
这一点和数学不同，数学上的定义没有这种情况。
(2) 用牛顿第二定律作力或质量的定义，并不排斥我们寻求不依赖于牛顿第二定律的关于力和质量的定义。如果我们找到了这样的新定律，则：
(a） 在牛顿第二定律适用范围内，新的定律等价于它；
(b) 若新的定律又是一个独立的定律，则又可以减少一个基本量。
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2.1.3 牛顿第三定律每一个作用总是有一个相等的反作用和它对抗；
或者说，两物体彼此之间的相互作用永远大小相等，
方向相反。
数学表达式：
ABBA FF
这就是牛顿第三定律，从动力学角度看，有了前两个定律已经完整了。牛顿第三定律是关于力的性质的定律，
而不是动力学本身的定律，它是牛顿独立发现的。
关于牛顿第三定律，有下列几点需要说明：
1,作用力与反作用力性质相同。譬如都为万有引力、电磁力、
弹性力等。
2,作用力与反作用力作用在两个物体上，永远不会相互抵消。
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2.1.3 牛顿第三定律
3,适用范围
(1) 由于第三定律不涉及运动，因而它与第一、第二定律不同，并不要求参考系是惯性系。
牛顿力学的时空观是绝对的，也就是说，时间和空间是客观存在，并不因为在时空中是否存在物质或者是否存在运动而改变时空的结构和性质，因而空间可以用欧几里德空间来描述，它是处处“平坦”的，是各向同性的。同一个力在不同的参考系看来，其大小和绝对的方向都是不会改变的。牛顿的这个宇宙观似乎是,显而易见” 的，几百年来都无人怀疑，我们称之为“经典时空观”，相对论的问世对此提出了质疑。
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2.1.3 牛顿第三定律
(2) 对于接触力，第三定律总是正确的。对于非接触力，第三定律则不一定正确。
作用力与反作用力相等而反向是以力的传递不需要时间即传递速度为无限大为前提的，
这是牛顿的超距作用的观点。如果力的传递速度是有限的，作用与反作用就不一定相等。
设想物体 A静止不动，另一物体以一定速度向右运动,t时刻它在 B点,t/ 时刻它在 B/ 点，如图 2.5。如果力的传递速度有限，当它处在图中 B/ 点时，它在时刻 t 对 A的作用力刚传到 A物体上，方向向下，
而物体受到物体 A 的作用力则指向左上方，这是因为物体 A 静止不动，它的作用早已传到空间各处。故
ABBA FF
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2.1.3 牛顿第三定律在通常的力学问题中，物体的运动速度往往不大，即使力以有限的速度传递，但因传递速度比物体运动的速度大得多（如引力以光速传递），力以有限速度传递的效应并不显著，可不必考虑。但在有些情况，如在较强电磁力作用下，粒子速度往往可与光速相比拟，牛顿第三定律就不再正确了。 我们将用动量守恒等一些守恒定律来代替牛顿第三定律,这个问题的深入讨论可以参见第四章的对称性、
因果关系与守恒律一节。
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§ 2.2 常见的力找到了动力学基本方程之后，关于运动的定律已经有了。物理学的另一主要任务就是要研究力，即根据给定物体和它周围环境的性质来计算作用在该物体上的力，并寻找各种不同类型的力的统一。如果弄清楚自然界中的最基本的力，我们在原则上就能解释自然界中各式各样的运动现象。这里，我们先来简单介绍一些常见的力。
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1,弹性力变形物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。当形变不大时，弹性力与形变成正比：
kxF
这就是胡克定律。其中 k 是一个常数，称为倔强系数或劲度系数，为偏离平衡位置的位移，负号表示力与位移的方向相反
。胡克定律的成立是有一定限度的，当形变太大时，胡克定律将不再成立，这时，即使撤去迫使形变的外力，形变物体也不能恢复原状，这种形变不能恢复的性质称为范性，或称塑性。在塑性阶段，金属具有类似液体的流动性质。
如物体的变形很轻微（不少情况如此），可近似认为不变形，
是刚性的，但弹性力仍来自形变。这样对同一物体会又使用刚性又有弹性两个似乎矛盾的概念。
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2,摩擦力当两物体的接触面有相对滑动或有相对滑动的趋势时，会产生一种阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，
这种力叫摩擦力。前者称为滑动摩擦力（简称动摩擦力），后者称为静摩擦力。
摩擦力是最常遇到的力，但是关于它的规律却是复杂的。我们在这里仅谈几条简单的规律。
摩擦力分类：
（ 1） 干摩擦
（ 2） 湿摩擦中国科学技术大学杨维纮
2,摩擦力
（ 1） 干摩擦两块干燥固体之间的摩擦力，称为干摩擦，服从以下的规律：
(a) 动摩擦力与正压力成正比，与两物体的表观接触面积无关；
(b) 当相对速度不很大时，动摩擦力与速度无关；
(c) 静摩擦力可在零与一个最大值（称最大静摩擦力）之间变化，
视相对滑动趋势的程度而定。最大静摩擦力也与正压力成正比，在一般情况下它大于动摩擦力。
这三条规律通常称为 库仑摩擦定律,是库仑（ C.A.de,Coulomb，
1736一 1806）确立的。实际上早在库仑之前，阿蒙顿（ G,
Amontons 1663一 1705）已基本上确认了前两条定律。
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2,摩擦力
（ 1） 干摩擦其中第一条和第三条定律，写成表式为：
Nf kk
Nf ss
式中 分别称为 动摩擦系数 和 静摩擦系数,通常在 0.15～
0.5之间。 略大于 。
sk,
k?
s? k?
摩擦的起因相当复杂，主要与接触面的局部形变和表面的分子引力有关。
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2,摩擦力
（ 2） 湿 摩擦流体不同层之间由于相对滑动而造成的阻力叫 湿摩擦力 或 粘滞阻力,当相对速度不很大时，粘滞阻力与速度的横向变化率、接触面积及粘度成正比。固体与流体接触面发生相对运动时所产生的阻力的起因与此相同，当相对运动速度不大时，与固体相对流体的速度 v 成正比，即：
vF
其中 是粘滞系数。应该指出的是，此定律是一条粗糙的经验定律，
当速度较大时，比如飞机飞行中所受的阻力，它近似地与速度的平方成正比，为：
2vF
通常湿摩擦比干摩擦要小得多，且不存在静摩擦力。利用润滑油以减少固体间的摩擦，就是这个道理。
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3,重力在地球表面附近，一个质量为 m 的物体受到的重力方向垂直于水平面，大小为
mgF?
其中 g 是重力加速度。重力主要是万有引力在地球表面的表现形式。
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4,万有引力任意两个质点 m1 和 m2 之间都存在着相互吸引力，
力的大小为：
2
21
r
mmGF?
其中 m1 和 m2 称为引力质量,G 称为引力常数，以后将专题讨论。
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5,库仑力带电体之间的相互作用规律是由法国物理学家库仑发现的，因而称之为库仑力。两个静止的点电荷之间的作用力的大小与它们电荷 q1,q2 的乘积成正比，与它们之间的距离 r 的平方成反比，方向沿着两点电荷的连线。
如果电荷是异号的，则为吸引力，如果是同号的，则是排斥力。其表达式为：
2
21
r
qqkF?
其中 k是比例系数，选取适当的单位，可以令 k = 1。
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6,分子力分子间相互作用的规律较复杂，很难用简单的数学公式来表示。一般在实验的基础上，采用简化模型处理问题，
可近似地用下列的半经验公式来表示：
)( tsrrF ts
式中 r 为两个分子中心之间的距离,都是正数
（需根据实验数据加以确定）。 上式中的第一项是正的，
代表斥力；第二项是负的，代表引力。由于 s 和 t 都比较大，一般约为 6～ 7，所以分子力随分子间距离的增大而急剧地减小。这种力可以认为具有一定的有效作用距离，超出有效作用距离，作用力实际上可以完全忽略。由于 s > t，
所以斥力的有效作用距离比引力的小。力 F 随 r 的变化情况大致如图 2.6 所示。
ts,,,
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7,核力核力是把原子核中的核子（质子和中子）束缚在一起的力。这种力有效作用距离极短，对于大于约 10-13厘米的距离，核力很快就变得很小，可略而不计了。但在小尺度内，它却超过核子之间的一切其他形式的相互作用而占支配地位。这是一种异常复杂类型的相互作用，
直到大约 0.4× 10-13厘米，它还是吸引力，大小可表示为：
0r
r
n er
CF
其中 C 为常数,r 是两个核子间的距离,r0 ≈ 10-13厘米。
但距离若再小，就成为强排斥力了。
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8,洛伦兹力一个带电荷 q 的点电荷以速度 v 在磁感应强度为
B 的磁场中运动，要受到磁场的作用力，此种力称为洛伦兹力，其表达式为：
BvF q
以上我们列举了八种力，当然，还可以举出很多种。在绪论中，我们指出，物理学并不仅仅满足于把各式各样的力罗列出来，因为，物理学认为客观世界的现象虽是复杂的，但原因却是简单的，从本质上讲，
自然界并不存在如此多种类型的力，我们希望寻求各种现象的统一。
中国科学技术大学杨维纮力的统一在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，
所有的运动现象的原因都逃不出这四类基本的力，
各式各样的力只不过是这四类基本力在不同情况下的不同表现而已。四类基本作用是,引力作用、电磁作用、强相互作用、
弱相互作用 。而在宇宙的早期，这些力之间表现的不同可能也不存在，它们逐步合成最基本的力。例如，在宇宙年龄约 1秒之前，电磁作用和弱相互作用的差别可能完全消失了。
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§ 2.3 动力学问题的求解动力学的典型问题大致可以归结为以下三类：
1,已知质点的运动情况，求其他物体施于该质点的作用力，即研究质点何以作这种运动；
2,已知其它物体施于这质点的作用力，求质点运动情况；
3,已知质点运动情况与所受力的某些方面，求质点运动情况与所受力的未知方面。
中国科学技术大学杨维纮质点动力学问题的求解 关键是力 。牛顿运动定律指出，力使质点获得加速度。而质点在各个瞬时的加速度
（附以适当的初始条件）则完全确定了质点的运动情况，
这是我们在质点运动学中已研究过的问题。这样，力对质点运动情况的影响是通过加速度表现出来的，因此，
加速度这个物理量起着很重要的“桥梁”作用,它将牛顶运动定律与质点运动学结合起来，而牛顿运动定律与质点运动学知识相结合，就提供了解决各种各样质点动力学问题的原则依据。
§ 2.3 动力学问题的求解中国科学技术大学杨维纮当质点运动时，常常受到预先给定的限制，如斜面上的物体只能沿斜面运动，等等。我们把限制质点自由运动的条件称为约束，
通常用约束方程来表示质点所受的约束。
约束物体与被约束物体之间在接触点处互施作用力，我们把作用在被约束物体上的这种力称为约束反力，或简称约束力；作用在一个物体上的外力，如果它的大小和方向与约束无关，则称为主动力。
约束反力以主动力的存在为前提，但主动力与约束反力存在根本的差别。主动力要么大小、方向均已知，如重力等；要么大小、
方向与质点运动的某些瞬时量有关，如万有引力和弹簧的弹性力由质点的瞬时相对位置决定，粘滞阻力则与质点的瞬时相对速度有关。
总之，主动力与约束条件无关，不管其运动服从什么样的微分方程，
也不管除了它以外还有别的力存在，它的变化规律是已知的。而约束反力其大小和方向一般都是未知的，它既与约束条件有关，又与物体的运动情况有关，必须通过求解运动微分方程才能确定。例如，
摩擦力与物体在接触面的正压力有关。
中国科学技术大学杨维纮约束运动有以下两个明显的特点：
1,独立坐标的数目减少了；
2,由于运动微分方程中出现了未知的约束反力，使方程式中未知量的个数增多了。
正因有如此特点，结果从牛顿定律所能得到的代数方程的数目会少于未知量的个数。因此，必须引人约束方程才能构成完备的方程组，以便达到求出未知量的目的，这一点对求解约束运动非常重要。
中国科学技术大学杨维纮综上所述，求解质点动力学问题的步骤为：
1,隔离物体,如果所讨论的问题多于一个质点，可以把几个物体分别隔离出来，对每个物体分别加以讨论。
2,受力分析,采用图示方法把质点受到的力（主动力与约束力）全部示于图中，不得遗漏。为防止遗漏某些力，应当注意掌握力的特性，即除了万有引力之外，
所有的力都是接触力，只有相互接触的物体才相互作用（近代物理认为就连万有引力也不过是物体通过引力场而相互作用）。因此，为考察某一物体受到哪些力作用，除了重力之类的万有引力（这通常是不致遗漏的）以外，只须注意这一物体与哪些物体相接触，
只有在与其他物体相接触处才受到其他物体的作用力，
而且作用力与反作用力总是成对出现的（重力的反作用力作用在地球上），这样作就能有效地防止遗漏某些作用力。
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3,运动分析,对质点进行运动分析是十分必要的。必要的运动分析，加上正确的受力分析，提供了给出动力学方程的前提条件。
综上所述，求解质点动力学问题的步骤为：
4,选定坐标系、列出方程,动力学方程是矢量方程，为了算出结果，一般应写出分量方程。在什么坐标下写分量方程，往往应根据运动或受力进行选取，选取得当可以使求解简洁，不易出错。对于约束运动往往还需要列出约束方程。
5,方程求解、讨论,对分量方程进行数学求解，必须注意结果的合理性，给出必要的讨论。
中国科学技术大学杨维纮例 2-2,阿脱武德机。图 2.8所示的装置称为阿脱武德机，左、右两边原挂有质量均为 M 的物块，在右物块上又放有质量为 m 的小物块。
忽略滑轮和绳的质量及轮轴上的摩擦，求左物上升的加速度,m 与
M 之间的作用力及支点 A 所承受的力。
本例中有两点值得指出：
1,当把 M 与 m 看成一个物体时,N 是内力，不出现在运动方程中。要求出 N，必须把 m（或
M ）隔离，这样，原来的内力就成了外力，出现于运动方程中。
2,A 点的支承力并不等于三物体的重量之和，这一点往往被忽视。这是由于三物体都在作加速运动的缘故。
中国科学技术大学杨维纮解,把右物块 M 与 小物块 m
看成一个物体，设绳中张力为 T，画出左右两物块的受力分析图 2.8(b)，取向上为正的竖直坐标，可列出下列方程：
1MaMgT
2)()( amMgmMT
21 aa
gmM ma 21
MgmM mMmM mMgagMT 2 )(2)21()( 1
解得：
A 点所受的支承力,
MgmM mMTF 2 )(42
中国科学技术大学杨维纮阿脱武德机是阿脱武德（ G,
Atwood,1746~1807）为研究落体定律而发明的一种著名装置，
它与伽利略所用的斜面一样，具有减慢落体加速度的作用，使实验易于观测。
中国科学技术大学杨维纮例 2-3：一动滑轮与一定滑轮连接，如图 2.9(a)，已知 m1=400 克，
m2=200克,m3=400克，略去摩擦及动、定滑轮质量，绳长不变、质量可不计，求每个物体的加速度及各绳中的张力。
21
214
43
3333
2222
1111
TT
TTT
TT
amTgm
amTgm
amTgm
解：
212
13
)()( lxxxx
lxx
02
0
12
3
aaa
aa
02 312 aaa
中国科学技术大学杨维纮例 2-4：竖直上抛物体最小应具有多大速度 v0 才不再落回地面，不计空气阻力，已知引力正比于 1/x2（ x 是物体到地心的距离）。
解：由于物体只受万有引力作用，引力的方向指向地心，初速度的方向与之相反，这是直线运动，只须取一维坐标，很自然以地球为参考系，如图 2.10
建立坐标系。
22 / xm g RP
初始条件,t=0 时,x=R,dx/dt=v0
列出运动方程为：
xmxRmg 2
2
注意该方程的特点是并不显含时间 t，而题目也没有要求我们去求坐标和时间的关系 x(t)，而只有当上抛的物体在某一时刻速度变为零后，才有可能落回地面，故只须知道速度是否可能变为零即可，无需求解 x(t) 。
中国科学技术大学杨维纮将上述方程两边同乘以 dx，可得：
m vd vxdxmdtxxmdxxmdxxRmg2
2
利用初始条件积分得：
v d vmxdxRgm xvxR 22
0
2
0
22
2
1
2
1 mvxmm g R
x
Rmg
x
gRgRv
dt
dxv 22
0
22
gRv 220?
2
0
2
2
2
vgR
gRx
若 v=0 时，物体这时折回而向地面降落。
gRv 220?若则永远有 v>0，物体永远向上运动，不再回到地球。所以竖直上抛物体若要不回地球，它的初速
v0 最小应为：
秒米 /102.112 30 gRv
中国科学技术大学杨维纮例 2-5：一质量为 m 的物块置于倾角为 的固定斜面上，如图 2.11，
物体与斜面的静摩擦系数为 。现用一水平外力 F 推物块，欲使物块不滑动,F 的大小应满足什么条件？
ta n,?
此例有两点值得指出：
1,静摩擦力 f 并不是一个定值，它可以取一个到 之间的任一个值，
究竟取何值，由具体情况而定，不要一提起静摩擦力，就套上了的公式 。
N
N
Nf
2,斜而上物体对斜面的正压力，也不能简单地套用,
而要由运动方程决定，如本例中,F 的垂直于斜面的分力使正压力增大。
c osmg
中国科学技术大学杨维纮解：这是一个平衡问题，平衡问题可以看成动力学的特例，即合力为零的情形。
平衡条件：
0g FfNm
取图上所示的坐标，考察即将下滑的情形
0s i nc os mgfF
0c o ss i n mgFN
Nf
解得,
mgFF s i nco s co ss i n1
即当作用力小于 F1 时，物块将下滑。但 F 也不能太大，
因为物体还可以上滑。
中国科学技术大学杨维纮解得,
当物体即将上滑时，平衡方程为,
0s i nc o s mgNF
0c o ss i n mgFN
mgFF s i nco s co ss i n2
即 当 F > F2 时,物体上滑。综合以上结果，物块不滑动的条件为
mgFmg s i nco s co ss i ns i nco s co ss i n
中国科学技术大学杨维纮例 2-6：一种称为绞盘的装置，如图 2.12，绳索绕在绞盘的固定圆柱上，当绳子承受负荷巨大的拉力 TA，人可以用小得多的力 TB 拽住绳子。设绳与圆柱的摩擦系数为 μ，
绳子绕圆柱的张角为 Φ，求 TA 与 TB 的关系。
解：用隔离物体法，考虑在 θ 处对圆心张角 dθ 的一段线元，分析它受力的情况。
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dNdTdT 2c o s)]()([
dNdTdT 2s i n)]()([
切向：
法向：
2/)2/s in( dd?
1)2/c o s (d
dTTdT )()(
TTdT 2)()(
利用：
dTdT
可得,
BABA dTdTTT
)e x p (AB TT
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2.4.1 力学相对性原理
2.4.2 时间和空间的绝对性
2.4.3 伽利略变换
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换中国科学技术大学杨维纮
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
2.4.1 力学相对性原理一切惯性系在力学上都是等价的。
在任何惯性系中，力学定律具有相同的形式。
以上两种描述意义是相同的，这称为 力学相对性原理 。
这里所说的，“一切惯性系在力学上都是等价的”，并不是说人们在不同的惯性系中所看到的现象都一样，比如在火车上的自由落体运动，站台上的观察者看来，物体做的是平抛运动。“一切惯性系在力学上都是等价的”这句话的意义是，不同惯性系中的动力学规律（如牛顿的三个定律）都一样，从而都能正确地解释所看到的现象。
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2.4.2 时间和空间的绝对性当考虑两个坐标系之间的变换时，不随之而变的量称为 绝对量 。
考虑两个相互运动的参考系 K 和 K/，牛顿认为：
|| || || || 1212
1212
rrrrrr
tttttt
即时间间隔和空间间隔不随坐标系的选取而改变。
特别地，若选取两坐标系的基矢：
kkjjii,,
则有：
rr
tt
这称为 时间和空间的绝对性中国科学技术大学杨维纮
2.4.2 时间和空间的绝对性
rr
tt
这样的结果是相当平凡的，由日常生活的经验不难接受这些结果，实际上，在第一章中我们一直在未加说明地用着这些结果，而没有感觉到有什么不合理的地方，它们似乎很
“浅显”。
然而，物理学的特点之一，就是不放过任何一个“浅显”
的概念，总是力图找出这些“浅显”概念的根基是什么。的确，在低速运动时，上式精确地成立。但是用这两式解释高速运动（接近光速）的现象时遇到了难以克服的困难。当人们去寻找这个十分平凡而“浅显”的结论的物理基础时发现，
其中隐含有更本质的东西，即时空的真正含义，我们到相对论一章再详细讨论。
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2.4.3 伽利略变换考虑两个相互作匀速直线运动的参考系 K 和 K/,
设它们具有相同的坐标基矢，
如图，由于时间和空间的绝对性，有：
0
0
rrr
ttt
设 t0=0，且当 t0 时刻，两坐标系的原点重合,K/ 系相对于 K 系以速度 u 匀速运动，即
t 0 ur?
t
tt
urr
于是,这称为 伽利略变换中国科学技术大学杨维纮
2.4.3 伽利略变换
t
tt
urr
伽利略变换：
分量形式为：
tt
zz
yy
utxx
aa
uvv
a
v
a
v
a
uv
r
v
r
v
td
d
dt
d
td
d
dt
d
,
,
由于：
可得：
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2.4.3 伽利略变换结论：两个相互作匀速直线运动的参考系具有相同的加速度。
这就导致如果牛顿第一定律在 K 系中成立，则在 K/ 系中也成立的结论。
在牛顿力学范围内,物体的质量是不变量,而力的定律中,力几乎都表现为物体相对位置的函数或相对速度的函数,相对位置和相对速度在伽利略变换下又是不变的，所以,F,m,a各量在不同的惯性系中保持不变,这就导致运动定律在任何惯性系中具有相同形式的结论 。即伽利略变换与力学相对性原理是一致的。通常所谓的伽利略变换正是指两个惯性系之间的坐标变换。
将力学的相对性原理推广到更一般的相对性原理,在任何惯性系中，物理学定律具有相同的形式 。 即不仅力学定律，所有的物理学定律（包括电磁的定律等）都具有相同的形式，这种想法是自然的。然而，一旦超出力学范围（比如对电磁过程），伽利略变换并不正确，而应该用洛仑兹变换来取代。
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2.5.1 平动参考系
2.5.2 转动参考系
2.5.3 例题
2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力中国科学技术大学杨维纮
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力
2.5.1 平动参考系设静参考系 K 为惯性系，在任何时刻，动参考系 K/ 相对于静参考系作平动，即动参考系的坐标基矢相对于静参考系是常量。
为了在形式上用牛顿定律解释物体在系中的运动，必须认为物体除了受真实力 F的作用外，还受一虚拟力的作用。在真实力和虚拟力共同作用下，
物体的运动仍满足牛顿定律。
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2.5.1 平动参考系在 K 系中物体的运动满足牛顿定律,F = m a。但因 a ≠ a/，在 K/ 系看来物体的运动不满足牛顿定律，即
F ≠ m a/ 。
)()()( 0 ttt rrr
牵连速度,)(,)()()( 00 tttt vvvv
牵连加速度,)(,)()()( 00 tttt aaaa
aaaF mmm 0
aaF mm 0
afF i m这就是说，在非惯性系里，有：
0aFaf i mm
其中 虚拟力,
称为 平移惯性力,简称 惯性力 。
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2.5.1 平动参考系真实力与惯性力的合力常称 表现力,记为 Feff，于是有：
aF me f f
于是，我们将牛顿第二定律推广到了非惯性系之一的平动参考系。在平动参考系中，只要引入虚拟力（平移惯性力），则可以向惯性系一样，用牛顿定律讨论平动参考系的问题。为了与虚拟力比较，我们将以前所考虑的力称为,真实力” 。
FFf i e f f
而虚拟力为表现力和真实力之差。
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2.5.1 平动参考系
“虚拟力”和“真实力”的区别：
1,不能指出是哪个物体作用；
2,没有反作用力；
3,所有质点都受力，其指向一律与“牵连”加速度
a0（坐标系的加速度）相反，且正比于质量（和重力规则类似）；
4,原则上讲，只要选择惯性系，就可以消除惯性力，而真实力一般不能这样来消除。
我们在“虚拟力”和“真实力”上加了引号，是因为这只是牛顿力学的说法，在近代物理中，“虚拟力”和“真实力”的界线已经不那么明显了。
下面我们深入地讨论这个问题。
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1,等效原理如果电梯在重力场中自由下落，电梯内自由飘浮于空中的物体，好象处于无重力场的太空中一样。爱因斯坦指出，电梯向下的落体加速度恰好抵消了该处的重力场，电梯内的观察者无法断定电梯是静止于太空中还是在重力场中自由下落。
上述概念就是 等效原理,它是由爱因斯坦提出的著名假设。它告诉我们，究竟是均匀重力加速度 g 还是参考系的加速度 a0 =－ g，这在局部范围内是无法加以区分的。一般情况下，要说出给定的力中有多少是重力，有多少是惯性力是不可能的。
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1,等效原理由于实际的重力场是非均匀的，它不可能延伸到整个空间，即重力场具有局域性。
而加速系是非局域性的，可以均匀地延伸到整个空间。因此，爱因斯坦指出，严格地说每次只有在一个点上才可以把重力同时看成惯性力，根据这个考虑，他认为世界的几何性要比普通的欧几里德几何复杂得多。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
上述等效原理成立的基础是引力质量与惯性质量相等，或引力质量与惯性质量成正比。匈牙利物理学家厄缶在 1908年完成了一个证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实验。狄克与他的合作者在厄缶的基础上，对实验的方法和技术进行了改进。这里简单介绍一下狄克的实验。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
图 2.17是这一实验的装置示意图，不同质料的物体 A和
B系在一根棒的两端，并用细丝将棒水平地悬挂起来，构成一个扭秤。由于地球绕太阳公转，在地球这一非惯性系中，
A,B不仅要受到太阳的引力 F
的作用，而且要受到惯性力 f
的作用，其中 F 与引力质量成正比,f 与惯性质量成正比。
设想扭秤位于地球北极，太阳在水平方位，若取 A,B两物体的引力质量相等，则 FA = FB。如果引力质量与惯性质量不成正比，就有 FA ≠ FB,于是扭秤就要受一个合力矩作用。随着地球的自转，太阳表观方位发生变化，此力矩以 24小时为周期而变化，
从而将使扭秤以相同周期而摆动。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
狄克的实验在 10-11
的相对精度内未观察到扭秤的周期性偏转，由此证明引力质量与惯性质量在 10-11的精度上成正比。
从设计思想上看，厄缶实验用的是,示零法”,
这种方法的灵敏度是很高的，近代物理经常用,示零法” 来构造实验，以期得到高精度的,零结果” 。
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
每日两次的涨潮、落潮现象，是海水既受太阳（和月亮）的引力作用，又在作公转的地球这一非惯性系中受惯性力作用的结果。
在牛顿以前，地球上的潮汐还是一个谜，万有引力发现后，开始认为月球把地球上的水吸上来，近月球处形成一个高潮，背离月球处产生一个低潮。由于地球的自转，使地球上一个地方潮水每天涨落一次。另一学派则认为，高潮在背离月球的一面，他们争辩说，因为月球把地球从水中拉向月球一面。同样，只能得出一天有一次涨潮的结论。实际观测，每天有两次涨潮，究其原因，是因为引力的空间不均匀性造成的。
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）中国科学技术大学杨维纮
3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
太阳、月亮都会在地球上产生潮汐现象，虽然在地球处太阳的引力远大于月亮的引力，但由于潮汐现象主要来自于引力的空间不均匀性，由于月亮离地球要比太阳近得多，故月亮比太阳的引力不均匀性大得多，月亮对潮汐的作用比太阳更大。
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2.5.2 转动参考系
1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有：
0,0 tddtdd varv
)( 0 rrrvv tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr r ωrr
0
td
d
tD
D r ωv 0
r ωvvv 0 f即牵连速度：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
r ωvvv 0 f
) ( r ωvvaa 0 tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv
) ( rωr ωa 0 tdd
) ( rωωa 0
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 av
) ( r ω ωaa f rrωω ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有：
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力为了与平移惯性力区别，我们用 fc 表示该虚拟力，由图
2.20知它的方向为垂直于转轴向外的方向，因而我们称 fc 为 惯性离心力,简称 离心力 。
于是虚拟力：
在转动参考系看来 P 静止不动，
为了在形式上用牛顿定律解释物体在非惯性系上的运动，必须认为物体不仅受真实力 F 作用，而且还受虚拟力
fc 作用,fc 正好与 F相抵消，即表现力为：
在惯性系看来质点 P 具有向心加速度，因而受力（真实力）为：
) ( r ω ωaF mm
0 ifFF e ff
) ( r ω ωFFf me f fc
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
) ( r ω ωFFf me f fc
惯性离心力的特点：
1,惯性离心力垂直于转轴，
并指向离开转轴的方向；
2,惯性离心力与物体质量成正比。（我们以后会看到，所有的惯性力都与质量成正比）
中国科学技术大学杨维纮例 2-7：地球表面上物体的重力并不严格指向地心，且重力随纬度的减小而减小。
离心力, co s2 Rmf
C?
表观重力,
22 co sco s RmmgfPP C
),( mgPf C注意到
Pθ与 P的夹角 Φ,
g
R
mg
Rm
P
f C
2
2s i ns i nco ss i n 22
可见 Φ在 45o处为最大，
6%15.02/2m a x gR?
如果考虑到引力质量与惯性质量的不同,Φ的表达式应为：
引惯
m
m
g
R
2
2s in2
中国科学技术大学杨维纮如果惯性质量与引力质量不成正比，此 Φ角将因物体的质料不同而异，
因而，若用细线将不同质料的物体悬挂起来，悬线将取不同的方向。厄缶原来的实验正是基于这一思想，此实验在 1922年发表时，精度达到 10-5。
引惯
m
m
g
R
2
2s in2
中国科学技术大学杨维纮例 2-8：同步卫星可以定点于赤道上空。
要想物体静止于地球上空而成为地球同步卫星，必须物体的表观重力 Pθ为零。由图 2.21可见，仅当
θ=0 时，引力 P 和离心力的矢量和才有可能为零，因此地球同步卫星可以且只能定点于赤道上空，万有引力为
220 / Rm g RP?
222
2
0 c o sc o s Rm
R
RmgfPP
C
其高度可求得为：
米7
3/1
2
2
0 102.4
gRR
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有：
即：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
0, tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv tDDtDD
rωrr 0 tddtDD rωvv 0
fvvr ωvvv 0
其中 是牵连速度fv
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
) ( r ωvvva 0 tDDtDD tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvavωv 0
) ( rωr ωv ωaa 0 tdd
) (2 r ω ωv ωa 0
) ( 0 r ω ωaaf令：
v ωa 2c o r
c o rf aaa则得：
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。cora
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
若：
c o rf aaa
在 K 系看,P点受到真实力 F 作用：
在 K/ 系看，为了能形式上使用牛顿定律，质点 P点所受的表现力必须为零，故质点 P 除了受惯性离心力 fc 作用外，还受到另一力 fcor 作用：
) ( 0 r ω ωaaf
0a?0
)2 r ( ω ωv ω
aF
mm
m
v ωf 2 mc o r
fcor称为 科里奥利力 。
中国科学技术大学杨维纮由科里奥利力的表达式可见，该力有三个特征：
1,与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考系运动时才可能出现；
2,与转动参考系的角速度的一次方成正比，而离心力与角速度的二次方成正比，故当参考系的转动角速度较小时，科里奥利力比离心力更重要；
3,力的方向总是与相对速度垂直，放不会改变相对速度的大小；在地球上当 ω方向向上（如地球的北半球）时，力沿地面的分量指向相对运动的右方,ω
向下（如南半球）时，力沿地面的分量指向相对运动的左方。
v ωf 2 mc o r中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
1,地面上北半球河流冲刷右岸。火车对右轨的偏压较大。（在南半球则对左岸和左轨作用大。）
中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
2,自由落体因受科里奥利力的作用，会向东偏斜。这可以用实验来演示，如图 2.22，
在旋转平台上装一个斜坡，让小球从斜坡的上方自由滚下，小球的运动将向旋转的前方偏斜，这就是落体偏东的演示。
中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
3,在北半球的单摆由于受科里奥利力的作用，使摆球轨迹每次都向运动方向的右方偏斜，最后使摆平面沿顺时针方向转动，如图 2.23。转动角速度为：
1851年傅科（ J,L,
Foucault,1819~1868）
在巴黎伟人祠用长 67米的摆做了实验，摆的振动周期 T=16.5秒，每摆动一次，摆面转动 0.05o，
经 32小时，摆面转动一周，直接证明了地球在自转。
s in
中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
4,天气图上高、低气压环流能长期存在。
如图 2.24(a),(b)，是北半球高空的情况，图中虚线表示等压线，在高空摩擦力可以忽略，气压梯度力 F 与科里奥利力 fcor 正好平衡。
图 2.24(c),(d)，是北半球地面的情况。在地面，由于摩擦力 f 的加入，平衡时是气压梯度力 F、科里奥利力 fcor
与摩擦力 f 三个力平衡。
图 2.24(d) 就是我们熟知的台风的气体环流图。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源牛顿力学是讨论物体的运动状态及其改变的，其描述脱离不开参考系。牛顿定律并不适用于所有的参考系，后人把牛顿定律适用的参考系叫做惯性参考系。然而，牛顿力学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯性参考系。牛顿完全了解自己理论中存在的这一薄弱环节，他的解决办法是引入一个客观标准 ——绝对空间,用以判断各物体是处于静止、匀速运动，还是加速运动状态。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源牛顿（ 1643~1727）承认，区分特定物体的绝对运动（即相对于绝对空间的运动）和相对运动并非易事。不过，他还是提出了判据。譬如，用绳子将两个球拴在一起，让它们保持在定距离上，
绕共同的质心旋转。从绳子张力可以得知绝对运动角速度的大小。
牛顿的绝对空间概念曾受到同时代的人，如惠更斯、莱布尼兹等的非难和指责，但由于牛顿力学的巨大成就,200余年中一直为人们普遍接受。其间也有反对的，代表性人物是英国主教贝克莱，他说：“让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说它们围绕共同的中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不同部分的相对位置想象出它们的运动了。”如果宇宙中只有这两个球，而它们又象牛顿所设想的那样，被一根绳子栓着，谁能回答它们是否绕共同的质心旋转，以及绳中有没有张力？这的确是很难想象的。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
“水桶实验”是牛顿提出的另一个更著名的实验。
实验的大意如下：一个盛水的桶挂在有条扭得很紧的绳子上，然后放手，于是如图 2.28所示。
中国科学技术大学杨维纮牛顿的“水桶实验”
(a) 开始时，桶旋转得很快，但水几乎静止不动。在粘滞力经过足够的时间使它旋转起来之前，水面是平的，完全与水桶转动前一样。
(b) 水和桶一起旋转，水面变成凹状的抛物面。
(c) 突然使桶停止旋转，但桶内的水还在转动，水面仍然保持凹状的抛物面。
牛顿就此分析道，在 (a),(c) 阶段里，水和桶都有相对运动，而前者水是平的，后者水面凹下；在 (b),(c) 阶段里，
无论水和桶有无相对运动，水面都是凹下的。牛顿由此得出结论：桶和水的相对运动不是水面凹下的原因，这个现象的根本原因是水在空间里绝对运动（即相对于牛顿的绝对空间的运动）的加速度。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
牛顿曾经设想，在恒星所在的遥远地方，或许在它们之外更遥远的地方。他提出假设，宇宙的中心是不动的，这就是他所想象的绝对空间。牛顿当时清楚地意识到，要给惯性原理以一个确切的意义，那就必须把空间作为独立于物体惯性行为之外的原因引进来。
爱因斯坦说：“对此，牛顿自己和他同时代的最有批判眼光的人都是感到不安的；但是人们要想给力学以清晰的意义，在当时却没有别的办法。”
爱因斯坦还认为，牛顿引入绝对空间，对于建立他的力学体系是必要的。这是在那个时代“一位具有最高思维能力和创造力的人所能发现的唯一道路”。
从现今的观点来看，牛顿的绝对时空观是不对的。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
首先在物理学界产生巨大影响的是奥地利物理学家马赫
（ E,Mach,1838—1916）。
马赫认为，牛顿水桶实验中水面凹下，是它与宇宙远处存在的大量物质之间有相对转动密切相关的。当水的相对转动停止时，水面就变成平的了。反过来，如果水不动而周围的大量物质相对于它转动，则水面也同样会凹下。如果设想把桶壁的厚度增大到几公里甚至几十公里，没有人有资格说出，这实验将会变成怎样。而他本人相信，这一怪桶的旋转将真的对桶内的水产生一个等效的惯性离心力作用，即使其中的水并无公认意义下的转动。马赫的思想归结为一切运动都是相对于某种物质实体而言的，是相对于远方恒星（或者说是宇宙中全部物质的分布）的加速度引起了惯性力和有关效应。
牛顿认为物体的惯性是绝对空间赋予的，而马赫则认为惯性是物体与宇宙间众星体相互作用的结果。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
马赫的深刻思想一时不为人们所理解，却给了爱因斯坦以极大启发，引导他于 1915年创立了广义相对论。他设想若某一升降机是惯性系，在其中的观测者会发现光线沿直线传播，但若该升降机作匀加速运动，其中的观测者会发现光线沿抛物线传播，可是该观测者可以认为升降机仍然作匀速运动，而只不过受到了一个引力的作用，于是
1913年 6月 25日爱因斯坦写信给马赫：
明年日食时将会证明，以参考系的加速度同引力场等效为基础的基本假设是否真正站得住。果真如此，则您对力学基础所作的贴切研究，将不顾普朗克不公正的批评而得到光辉的证实。因为完全按照您对牛顿水桶实验的批判，一个必然的后果是：惯性来源于物体的一种相互作用。这里的第一个推论写在我文章的第 6页上，再补充二点：（ 1）如果加速一个很重的物质壳层，则包含在此壳层里的质量会受到一个加速的力。（ 2）如果相对于恒星围绕中心轴旋转此壳层，壳内将产生一个科里奥利力，亦即，傅科摆的摆面将被曳引
（实际上曳引的角速度小得无法测量）。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
马赫的思想对广义相对论的建立影响如此巨大，爱因斯坦于 1918年前后使用了“马赫原理”的说法，以表达下列命题：时空的局部结构（从而试探质点的惯性行为），仅由质量和能量的分布所决定。爱因斯坦认为，
马赫原理应能在广义相对论中得到体现。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
爱因斯坦从惯性质量等于引力质量这一事实看出，
引力和加速度产生的惯性力是等价的。我们可以把这两个概念及其区别淡化起来，于是，把坐标原点固定在一个在引力场中自由降落、或者说自由飞行的物体上，坐标架由陀螺仪来定向，这便是一个相当理想的局部惯性参考系。从牛顿力学的观点看，地面参考系才是惯性系，
而自由降落的升降机则不是。但我们也可认为自由降落的升降机是惯性系；而在地面参考系内感觉到的重力，
反而是它相对于惯性系（自由降落的升降机）有向上加速度的效果。这是广义相对论的观点。
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§ 2.1 牛顿运动定律
§ 2.2 常见的力
§ 2.3 动力学问题的求解
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力第二章 质点动力学中国科学技术大学杨维纮
2.1.1 牛顿第一定律
2.1.2 牛顿第二定律
2.1.3 牛顿第三定律
§ 2.1 牛顿运动定律中国科学技术大学杨维纮
§ 2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿第一定律一个物体，如果不受其它物体作用（或所受合力为零），则它将保持静止或作匀速直线运动。
这就是牛顿第一定律，该定律的最初表述是伽利略提出的，后经笛卡尔改进，牛顿使之进一步完善。
关于第一定律，有下列几点需要说明。
1,惯性定律是不能直接用实验严格地验证的，它是理想化抽象思维的产物。
我们不妨改用下列较为现代化的说法来表述惯性定律：
自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。
2,第一定律提出了力和惯性这两个重要概念。
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2.1.1 牛顿第一定律
3,第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括。
4,第一定律定义了一类重要的参考系 ——惯性系。
牛顿第一定律的意义：
一定存在这样的参考系，在该系中，所有不受力的物体都保持自己的速度不变。这类参考系，称为惯性参考系，或称惯性系。
即,惯性定律断言，惯性系一定存在。
5,惯性不是个别物体的性质，而是参考系的性质，或者说，是时空的性质 。
虽然惯性定律保证了惯性系的存在，但惯性系究竟在哪里？牛顿给出了一个原则的标准，他认为存在着绝对时间和绝对空间，那就是我们所需要的一个最基本的惯性系。历史上，人们为了寻找这样“绝对静止”的“绝对空间”曾多次努力，但最终失败了，绝对空间（或最优越的参考系）并不存在。这个问题我们留到“相对论”一章中再来探讨。
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2.1.2 牛顿第二定律运动的改变与所加的动力成正比，并发生在所加的力的那个直线方向上。
这就是牛顿第二定律，该定律的主要思想在伽利略对抛体和斜面运动的分析中已有体现，牛顿将其总结为定律。关于第二定律，有下列几点需要说明。
1,第二定律的数学表述为：
)( vF mdtd? aF m?
其中 F是物体所受的作用力,m是质量，在牛顿力学的范围内，它是常量。
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2.1.2 牛顿第二定律
2,质量 m 和力 F 的定义 。
牛顿认为：质量是物体所含“物质的量”。
然而，这不能作为定义。什么叫“物质的量”？
仍然是不确定的。在物理学中，一个物理量的定义，
必须同时给出利用其它能够量度的量来计算它的一套规则。
定义：
质量就是质点所受外力与所产生的加速度之比。
作用在一个质点上的力就是它的质量乘以由于该力所产生的加速度。
逻辑循环?
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2.1.2 牛顿第二定律离开了具体的物理背景，去分析这两个定义，无疑会出现逻辑循环。但对于我们所碰到的具体物理情况，它是不混乱的。物理规律的作用在于把许多已知的实验结果统一起来，联系起来，给出许多实验现象的统一的解释，并且根据这种解释去预测一些新的现象或实验结果。只要定义、定律确立的联系测量数据的规则是明确的、不含糊的，那就没有任何混乱可言。
具体说来，牛顿第二定律给出了质量和力必须满足的一个关系式，在质量和力这两个物理量中，如果我们规定质量是基本量，则力可以看成是导出量。我们先定出基本量，然后再来确定导出量。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律在相同的力 F作用下的两个物体，质量与加速度成反比。
设这两个物体的质量分别为 m1,m2，加速度分别为 a1、
a2,则有：
2
1
12 a
amm?
若取 m1 的质量为标准质量（可以取为 m1=1 ），由于 a1,a2都是可以测量的，那么 m2 的质量可以完全确定。一旦确定了质量，由 m1a1 或 m2a2 就可以完全确定作为导出量的作用力 F。由此可见，我们并没有逻辑循环或逻辑混乱。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律质量的单位是千克，千克的标准是保存在巴黎国际计量局中的一个铂铱圆柱体。在原子尺度上，利用原子质量单位，用 12C作它的标准，国际协议规定 12C的原子质量精确地等于 12个原子质量单位。原子质量单位与千克的关系为
1原子质量单位 = 千克 271066 05 65 5.1
我们这里定义的质量是用来描述物体的惯性的，所以我们又称它为 惯性质量 。
有了质量的单位，我们可以定义力的单位为牛顿，
定义为：
1牛顿 = 1千克 × 1米 / 秒 2
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律
3,质量 m 是绝对量。
aFm /?由于：
同一个质点在不同的惯性系中,a,F 不变，故 m 不变。
于是在牛顿力学中，是绝对量，与时间的选取无关，与坐标系的选取无关。
实验表明，在高速运动中，质量会大大增加。这是由于高速运动会导致时空变形，我们到相对论一章再进行讨论。只是在牛顿力学中，质量才是绝对量。
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
理由？ 不是来自于牛顿第二定律，而是来自实验。
实验,在足够光滑的水平平面上，如图 2.2所示，我们做三个实验。
(1) 物体 A（质量 mA）与一弹簧相连，
把弹簧拉到长 L，然后释放物体 A，
在弹簧的牵动下,A作加速运动，
测量出开始时刻的加速度 aA；
(2) 用上述弹簧与物体 B相连，仍拉长到 L，测出释放时刻的加速度 aB ；
(3) 仍是上述弹簧，拉长到 L，和捆绑在一起的 A,B相连，测出释放时刻的加速度 aAB 。
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
ABAB
BB
AA
amF
amF
amF
B
B
A
A a
Fm
a
Fm,
BAAB mmm如果：
则：
BA
BA
BA
BA
AB aa
aa
a
F
a
F
F
mm
Fa
而 aA,aB,aAB都可以测量，如上式满足，则质量有可加性。
实验表明，在宏观低速运动时，质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律注意,
只依靠牛顿第二定律来分析运动性质，还是不够的，必须扩充其它假定，如弹簧拉到同样长度产生同样大小的弹力，这与数学不同。
外加的假设，反映了我们对客观世界的看法，
或说是客观世界的一种模型。在什么地方应当补充些什么，或者说用什么模型去描述客观世界，是物理的难点。
4,质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律
5,第二定律适用的参考系是惯性系。
6,第二定律是矢量式，因而力是矢量。
7,第二定律是瞬时关系式。
8,第二定律中的各量可直接测定，因而所给出的预言是明确的，可以用实验证伪。
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2.1.2 牛顿第二定律我们知道，任何实验都是有误差的。这样就会出现一个问题，牛顿第二定律为什么不会是 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,
△ =10-n 为一个正数？当 n 的值较大时（比方说 n > 20），那么目前我们的任何实验都无法区分 F=ma1+△ 或 F=ma1-△ 与
F=ma 有什么差别。牛顿第二定律的形式为 F=ma,究竟理由何在？
这是由于我们相信：自然规律是简单的、和谐的。如果牛顿第二定律的形式为 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,我们就要问，这个△的物理意义是什么？为什么自然界会是这么一种不和谐的样子？这里我们看到，物理学来自于自然哲学，在物理学的发展过程中，一旦物理学的知识不够用了，它就要到自然哲学中去寻找武器，到数学中去寻找工具。这一点，
相对论的发展给了我们极好的例子，我们到相对论一章中再详谈。
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2.1.2 牛顿第二定律
9,物理学的量纲和量纲分析。
由于物理量之间有定义和定律相联系，所以在量度物理量时，
不必给所有的物理量规定单位，当少数几个物理量的单位规定后，
其他物理量的单位即可由它们导出。这些被选定并规定单位的物理量叫 基本量,基本量的单位叫 基本单位,其余的物理量就叫 导出量,
它们的单位就叫 导出单位 。选定的基本量及其单位不同，对应的单位制就不同。在国际单位制中，基本量是长度、质量、时间（及电流、发光强度、温度和物质的量），速度、加速度、力等就是导出量。
基本量选定以后，导出量的单位可从基本量的单位的组合而得到。在国际单位制中，表示力学量只要三个基本量，即长度、质量、
时间，分别用 L,M,T 表示这三个基本量，则任何力学量 A（就其单位量度来说）总可以写成 L,M,T 的一定幂次的组合：
上式右边就称为力学量 A 的 量纲 。
rqp TMLA?][
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2.1.2 牛顿第二定律只有量纲相同的物理量才能相加，相减和相等，这一法则叫量纲法则 。量纲法则是量纲分析的基础。 量纲分析 是一种有用的方法，它的主要用处有：
9,物理学的量纲和量纲分析。
(1) 在基本量相同的单位制之间进行单位换算 。
(2) 验证公式 。
(3) 为推导某些复杂公式提供线索或直接推导公式 。
例如，要知道牛顿与达因的换算关系，可由力的量纲
[F] = L M T-2得到。由 1米＝ 100厘米,1千克＝ 1000克，
得 1牛顿＝ 100× 1000 达因＝ 105 达因。
因为只有量纲相同的量才能相加，相减，相等，一个物理公式只有在量纲正确的情况下才可能正确。
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2.1.2 牛顿第二定律
10,用定律作物理量定义式的注意事项。
(1) 因为物理定律不是绝对真理，有一定的适用范围，出了适用范围，定律一般不再正确，这时的定义也就不再合适了，因而不能再这样定义，解决方法为：
(a) 增加一个基本量；
(b) 用新的定律做定义式。
这一点和数学不同，数学上的定义没有这种情况。
(2) 用牛顿第二定律作力或质量的定义，并不排斥我们寻求不依赖于牛顿第二定律的关于力和质量的定义。如果我们找到了这样的新定律，则：
(a） 在牛顿第二定律适用范围内，新的定律等价于它；
(b) 若新的定律又是一个独立的定律，则又可以减少一个基本量。
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2.1.3 牛顿第三定律每一个作用总是有一个相等的反作用和它对抗；
或者说，两物体彼此之间的相互作用永远大小相等，
方向相反。
数学表达式：
ABBA FF
这就是牛顿第三定律，从动力学角度看，有了前两个定律已经完整了。牛顿第三定律是关于力的性质的定律，
而不是动力学本身的定律，它是牛顿独立发现的。
关于牛顿第三定律，有下列几点需要说明：
1,作用力与反作用力性质相同。譬如都为万有引力、电磁力、
弹性力等。
2,作用力与反作用力作用在两个物体上，永远不会相互抵消。
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2.1.3 牛顿第三定律
3,适用范围
(1) 由于第三定律不涉及运动，因而它与第一、第二定律不同，并不要求参考系是惯性系。
牛顿力学的时空观是绝对的，也就是说，时间和空间是客观存在，并不因为在时空中是否存在物质或者是否存在运动而改变时空的结构和性质，因而空间可以用欧几里德空间来描述，它是处处“平坦”的，是各向同性的。同一个力在不同的参考系看来，其大小和绝对的方向都是不会改变的。牛顿的这个宇宙观似乎是,显而易见” 的，几百年来都无人怀疑，我们称之为“经典时空观”，相对论的问世对此提出了质疑。
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2.1.3 牛顿第三定律
(2) 对于接触力，第三定律总是正确的。对于非接触力，第三定律则不一定正确。
作用力与反作用力相等而反向是以力的传递不需要时间即传递速度为无限大为前提的，
这是牛顿的超距作用的观点。如果力的传递速度是有限的，作用与反作用就不一定相等。
设想物体 A静止不动，另一物体以一定速度向右运动,t时刻它在 B点,t/ 时刻它在 B/ 点，如图 2.5。如果力的传递速度有限，当它处在图中 B/ 点时，它在时刻 t 对 A的作用力刚传到 A物体上，方向向下，
而物体受到物体 A 的作用力则指向左上方，这是因为物体 A 静止不动，它的作用早已传到空间各处。故
ABBA FF
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2.1.3 牛顿第三定律在通常的力学问题中，物体的运动速度往往不大，即使力以有限的速度传递，但因传递速度比物体运动的速度大得多（如引力以光速传递），力以有限速度传递的效应并不显著，可不必考虑。但在有些情况，如在较强电磁力作用下，粒子速度往往可与光速相比拟，牛顿第三定律就不再正确了。 我们将用动量守恒等一些守恒定律来代替牛顿第三定律,这个问题的深入讨论可以参见第四章的对称性、
因果关系与守恒律一节。
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§ 2.2 常见的力找到了动力学基本方程之后，关于运动的定律已经有了。物理学的另一主要任务就是要研究力，即根据给定物体和它周围环境的性质来计算作用在该物体上的力，并寻找各种不同类型的力的统一。如果弄清楚自然界中的最基本的力，我们在原则上就能解释自然界中各式各样的运动现象。这里，我们先来简单介绍一些常见的力。
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1,弹性力变形物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。当形变不大时，弹性力与形变成正比：
kxF
这就是胡克定律。其中 k 是一个常数，称为倔强系数或劲度系数，为偏离平衡位置的位移，负号表示力与位移的方向相反
。胡克定律的成立是有一定限度的，当形变太大时，胡克定律将不再成立，这时，即使撤去迫使形变的外力，形变物体也不能恢复原状，这种形变不能恢复的性质称为范性，或称塑性。在塑性阶段，金属具有类似液体的流动性质。
如物体的变形很轻微（不少情况如此），可近似认为不变形，
是刚性的，但弹性力仍来自形变。这样对同一物体会又使用刚性又有弹性两个似乎矛盾的概念。
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2,摩擦力当两物体的接触面有相对滑动或有相对滑动的趋势时，会产生一种阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，
这种力叫摩擦力。前者称为滑动摩擦力（简称动摩擦力），后者称为静摩擦力。
摩擦力是最常遇到的力，但是关于它的规律却是复杂的。我们在这里仅谈几条简单的规律。
摩擦力分类：
（ 1） 干摩擦
（ 2） 湿摩擦中国科学技术大学杨维纮
2,摩擦力
（ 1） 干摩擦两块干燥固体之间的摩擦力，称为干摩擦，服从以下的规律：
(a) 动摩擦力与正压力成正比，与两物体的表观接触面积无关；
(b) 当相对速度不很大时，动摩擦力与速度无关；
(c) 静摩擦力可在零与一个最大值（称最大静摩擦力）之间变化，
视相对滑动趋势的程度而定。最大静摩擦力也与正压力成正比，在一般情况下它大于动摩擦力。
这三条规律通常称为 库仑摩擦定律,是库仑（ C.A.de,Coulomb，
1736一 1806）确立的。实际上早在库仑之前，阿蒙顿（ G,
Amontons 1663一 1705）已基本上确认了前两条定律。
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2,摩擦力
（ 1） 干摩擦其中第一条和第三条定律，写成表式为：
Nf kk
Nf ss
式中 分别称为 动摩擦系数 和 静摩擦系数,通常在 0.15～
0.5之间。 略大于 。
sk,
k?
s? k?
摩擦的起因相当复杂，主要与接触面的局部形变和表面的分子引力有关。
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2,摩擦力
（ 2） 湿 摩擦流体不同层之间由于相对滑动而造成的阻力叫 湿摩擦力 或 粘滞阻力,当相对速度不很大时，粘滞阻力与速度的横向变化率、接触面积及粘度成正比。固体与流体接触面发生相对运动时所产生的阻力的起因与此相同，当相对运动速度不大时，与固体相对流体的速度 v 成正比，即：
vF
其中 是粘滞系数。应该指出的是，此定律是一条粗糙的经验定律，
当速度较大时，比如飞机飞行中所受的阻力，它近似地与速度的平方成正比，为：
2vF
通常湿摩擦比干摩擦要小得多，且不存在静摩擦力。利用润滑油以减少固体间的摩擦，就是这个道理。
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3,重力在地球表面附近，一个质量为 m 的物体受到的重力方向垂直于水平面，大小为
mgF?
其中 g 是重力加速度。重力主要是万有引力在地球表面的表现形式。
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4,万有引力任意两个质点 m1 和 m2 之间都存在着相互吸引力，
力的大小为：
2
21
r
mmGF?
其中 m1 和 m2 称为引力质量,G 称为引力常数，以后将专题讨论。
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5,库仑力带电体之间的相互作用规律是由法国物理学家库仑发现的，因而称之为库仑力。两个静止的点电荷之间的作用力的大小与它们电荷 q1,q2 的乘积成正比，与它们之间的距离 r 的平方成反比，方向沿着两点电荷的连线。
如果电荷是异号的，则为吸引力，如果是同号的，则是排斥力。其表达式为：
2
21
r
qqkF?
其中 k是比例系数，选取适当的单位，可以令 k = 1。
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6,分子力分子间相互作用的规律较复杂，很难用简单的数学公式来表示。一般在实验的基础上，采用简化模型处理问题，
可近似地用下列的半经验公式来表示：
)( tsrrF ts
式中 r 为两个分子中心之间的距离,都是正数
（需根据实验数据加以确定）。 上式中的第一项是正的，
代表斥力；第二项是负的，代表引力。由于 s 和 t 都比较大，一般约为 6～ 7，所以分子力随分子间距离的增大而急剧地减小。这种力可以认为具有一定的有效作用距离，超出有效作用距离，作用力实际上可以完全忽略。由于 s > t，
所以斥力的有效作用距离比引力的小。力 F 随 r 的变化情况大致如图 2.6 所示。
ts,,,
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7,核力核力是把原子核中的核子（质子和中子）束缚在一起的力。这种力有效作用距离极短，对于大于约 10-13厘米的距离，核力很快就变得很小，可略而不计了。但在小尺度内，它却超过核子之间的一切其他形式的相互作用而占支配地位。这是一种异常复杂类型的相互作用，
直到大约 0.4× 10-13厘米，它还是吸引力，大小可表示为：
0r
r
n er
CF
其中 C 为常数,r 是两个核子间的距离,r0 ≈ 10-13厘米。
但距离若再小，就成为强排斥力了。
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8,洛伦兹力一个带电荷 q 的点电荷以速度 v 在磁感应强度为
B 的磁场中运动，要受到磁场的作用力，此种力称为洛伦兹力，其表达式为：
BvF q
以上我们列举了八种力，当然，还可以举出很多种。在绪论中，我们指出，物理学并不仅仅满足于把各式各样的力罗列出来，因为，物理学认为客观世界的现象虽是复杂的，但原因却是简单的，从本质上讲，
自然界并不存在如此多种类型的力，我们希望寻求各种现象的统一。
中国科学技术大学杨维纮力的统一在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，
所有的运动现象的原因都逃不出这四类基本的力，
各式各样的力只不过是这四类基本力在不同情况下的不同表现而已。四类基本作用是,引力作用、电磁作用、强相互作用、
弱相互作用 。而在宇宙的早期，这些力之间表现的不同可能也不存在，它们逐步合成最基本的力。例如，在宇宙年龄约 1秒之前，电磁作用和弱相互作用的差别可能完全消失了。
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§ 2.3 动力学问题的求解动力学的典型问题大致可以归结为以下三类：
1,已知质点的运动情况，求其他物体施于该质点的作用力，即研究质点何以作这种运动；
2,已知其它物体施于这质点的作用力，求质点运动情况；
3,已知质点运动情况与所受力的某些方面，求质点运动情况与所受力的未知方面。
中国科学技术大学杨维纮质点动力学问题的求解 关键是力 。牛顿运动定律指出，力使质点获得加速度。而质点在各个瞬时的加速度
（附以适当的初始条件）则完全确定了质点的运动情况，
这是我们在质点运动学中已研究过的问题。这样，力对质点运动情况的影响是通过加速度表现出来的，因此，
加速度这个物理量起着很重要的“桥梁”作用,它将牛顶运动定律与质点运动学结合起来，而牛顿运动定律与质点运动学知识相结合，就提供了解决各种各样质点动力学问题的原则依据。
§ 2.3 动力学问题的求解中国科学技术大学杨维纮当质点运动时，常常受到预先给定的限制，如斜面上的物体只能沿斜面运动，等等。我们把限制质点自由运动的条件称为约束，
通常用约束方程来表示质点所受的约束。
约束物体与被约束物体之间在接触点处互施作用力，我们把作用在被约束物体上的这种力称为约束反力，或简称约束力；作用在一个物体上的外力，如果它的大小和方向与约束无关，则称为主动力。
约束反力以主动力的存在为前提，但主动力与约束反力存在根本的差别。主动力要么大小、方向均已知，如重力等；要么大小、
方向与质点运动的某些瞬时量有关，如万有引力和弹簧的弹性力由质点的瞬时相对位置决定，粘滞阻力则与质点的瞬时相对速度有关。
总之，主动力与约束条件无关，不管其运动服从什么样的微分方程，
也不管除了它以外还有别的力存在，它的变化规律是已知的。而约束反力其大小和方向一般都是未知的，它既与约束条件有关，又与物体的运动情况有关，必须通过求解运动微分方程才能确定。例如，
摩擦力与物体在接触面的正压力有关。
中国科学技术大学杨维纮约束运动有以下两个明显的特点：
1,独立坐标的数目减少了；
2,由于运动微分方程中出现了未知的约束反力，使方程式中未知量的个数增多了。
正因有如此特点，结果从牛顿定律所能得到的代数方程的数目会少于未知量的个数。因此，必须引人约束方程才能构成完备的方程组，以便达到求出未知量的目的，这一点对求解约束运动非常重要。
中国科学技术大学杨维纮综上所述，求解质点动力学问题的步骤为：
1,隔离物体,如果所讨论的问题多于一个质点，可以把几个物体分别隔离出来，对每个物体分别加以讨论。
2,受力分析,采用图示方法把质点受到的力（主动力与约束力）全部示于图中，不得遗漏。为防止遗漏某些力，应当注意掌握力的特性，即除了万有引力之外，
所有的力都是接触力，只有相互接触的物体才相互作用（近代物理认为就连万有引力也不过是物体通过引力场而相互作用）。因此，为考察某一物体受到哪些力作用，除了重力之类的万有引力（这通常是不致遗漏的）以外，只须注意这一物体与哪些物体相接触，
只有在与其他物体相接触处才受到其他物体的作用力，
而且作用力与反作用力总是成对出现的（重力的反作用力作用在地球上），这样作就能有效地防止遗漏某些作用力。
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3,运动分析,对质点进行运动分析是十分必要的。必要的运动分析，加上正确的受力分析，提供了给出动力学方程的前提条件。
综上所述，求解质点动力学问题的步骤为：
4,选定坐标系、列出方程,动力学方程是矢量方程，为了算出结果，一般应写出分量方程。在什么坐标下写分量方程，往往应根据运动或受力进行选取，选取得当可以使求解简洁，不易出错。对于约束运动往往还需要列出约束方程。
5,方程求解、讨论,对分量方程进行数学求解，必须注意结果的合理性，给出必要的讨论。
中国科学技术大学杨维纮例 2-2,阿脱武德机。图 2.8所示的装置称为阿脱武德机，左、右两边原挂有质量均为 M 的物块，在右物块上又放有质量为 m 的小物块。
忽略滑轮和绳的质量及轮轴上的摩擦，求左物上升的加速度,m 与
M 之间的作用力及支点 A 所承受的力。
本例中有两点值得指出：
1,当把 M 与 m 看成一个物体时,N 是内力，不出现在运动方程中。要求出 N，必须把 m（或
M ）隔离，这样，原来的内力就成了外力，出现于运动方程中。
2,A 点的支承力并不等于三物体的重量之和，这一点往往被忽视。这是由于三物体都在作加速运动的缘故。
中国科学技术大学杨维纮解,把右物块 M 与 小物块 m
看成一个物体，设绳中张力为 T，画出左右两物块的受力分析图 2.8(b)，取向上为正的竖直坐标，可列出下列方程：
1MaMgT
2)()( amMgmMT
21 aa
gmM ma 21
MgmM mMmM mMgagMT 2 )(2)21()( 1
解得：
A 点所受的支承力,
MgmM mMTF 2 )(42
中国科学技术大学杨维纮阿脱武德机是阿脱武德（ G,
Atwood,1746~1807）为研究落体定律而发明的一种著名装置，
它与伽利略所用的斜面一样，具有减慢落体加速度的作用，使实验易于观测。
中国科学技术大学杨维纮例 2-3：一动滑轮与一定滑轮连接，如图 2.9(a)，已知 m1=400 克，
m2=200克,m3=400克，略去摩擦及动、定滑轮质量，绳长不变、质量可不计，求每个物体的加速度及各绳中的张力。
21
214
43
3333
2222
1111
TT
TTT
TT
amTgm
amTgm
amTgm
解：
212
13
)()( lxxxx
lxx
02
0
12
3
aaa
aa
02 312 aaa
中国科学技术大学杨维纮例 2-4：竖直上抛物体最小应具有多大速度 v0 才不再落回地面，不计空气阻力，已知引力正比于 1/x2（ x 是物体到地心的距离）。
解：由于物体只受万有引力作用，引力的方向指向地心，初速度的方向与之相反，这是直线运动，只须取一维坐标，很自然以地球为参考系，如图 2.10
建立坐标系。
22 / xm g RP
初始条件,t=0 时,x=R,dx/dt=v0
列出运动方程为：
xmxRmg 2
2
注意该方程的特点是并不显含时间 t，而题目也没有要求我们去求坐标和时间的关系 x(t)，而只有当上抛的物体在某一时刻速度变为零后，才有可能落回地面，故只须知道速度是否可能变为零即可，无需求解 x(t) 。
中国科学技术大学杨维纮将上述方程两边同乘以 dx，可得：
m vd vxdxmdtxxmdxxmdxxRmg2
2
利用初始条件积分得：
v d vmxdxRgm xvxR 22
0
2
0
22
2
1
2
1 mvxmm g R
x
Rmg
x
gRgRv
dt
dxv 22
0
22
gRv 220?
2
0
2
2
2
vgR
gRx
若 v=0 时，物体这时折回而向地面降落。
gRv 220?若则永远有 v>0，物体永远向上运动，不再回到地球。所以竖直上抛物体若要不回地球，它的初速
v0 最小应为：
秒米 /102.112 30 gRv
中国科学技术大学杨维纮例 2-5：一质量为 m 的物块置于倾角为 的固定斜面上，如图 2.11，
物体与斜面的静摩擦系数为 。现用一水平外力 F 推物块，欲使物块不滑动,F 的大小应满足什么条件？
ta n,?
此例有两点值得指出：
1,静摩擦力 f 并不是一个定值，它可以取一个到 之间的任一个值，
究竟取何值，由具体情况而定，不要一提起静摩擦力，就套上了的公式 。
N
N
Nf
2,斜而上物体对斜面的正压力，也不能简单地套用,
而要由运动方程决定，如本例中,F 的垂直于斜面的分力使正压力增大。
c osmg
中国科学技术大学杨维纮解：这是一个平衡问题，平衡问题可以看成动力学的特例，即合力为零的情形。
平衡条件：
0g FfNm
取图上所示的坐标，考察即将下滑的情形
0s i nc os mgfF
0c o ss i n mgFN
Nf
解得,
mgFF s i nco s co ss i n1
即当作用力小于 F1 时，物块将下滑。但 F 也不能太大，
因为物体还可以上滑。
中国科学技术大学杨维纮解得,
当物体即将上滑时，平衡方程为,
0s i nc o s mgNF
0c o ss i n mgFN
mgFF s i nco s co ss i n2
即 当 F > F2 时,物体上滑。综合以上结果，物块不滑动的条件为
mgFmg s i nco s co ss i ns i nco s co ss i n
中国科学技术大学杨维纮例 2-6：一种称为绞盘的装置，如图 2.12，绳索绕在绞盘的固定圆柱上，当绳子承受负荷巨大的拉力 TA，人可以用小得多的力 TB 拽住绳子。设绳与圆柱的摩擦系数为 μ，
绳子绕圆柱的张角为 Φ，求 TA 与 TB 的关系。
解：用隔离物体法，考虑在 θ 处对圆心张角 dθ 的一段线元，分析它受力的情况。
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dNdTdT 2c o s)]()([
dNdTdT 2s i n)]()([
切向：
法向：
2/)2/s in( dd?
1)2/c o s (d
dTTdT )()(
TTdT 2)()(
利用：
dTdT
可得,
BABA dTdTTT
)e x p (AB TT
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2.4.1 力学相对性原理
2.4.2 时间和空间的绝对性
2.4.3 伽利略变换
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换中国科学技术大学杨维纮
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
2.4.1 力学相对性原理一切惯性系在力学上都是等价的。
在任何惯性系中，力学定律具有相同的形式。
以上两种描述意义是相同的，这称为 力学相对性原理 。
这里所说的，“一切惯性系在力学上都是等价的”，并不是说人们在不同的惯性系中所看到的现象都一样，比如在火车上的自由落体运动，站台上的观察者看来，物体做的是平抛运动。“一切惯性系在力学上都是等价的”这句话的意义是，不同惯性系中的动力学规律（如牛顿的三个定律）都一样，从而都能正确地解释所看到的现象。
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2.4.2 时间和空间的绝对性当考虑两个坐标系之间的变换时，不随之而变的量称为 绝对量 。
考虑两个相互运动的参考系 K 和 K/，牛顿认为：
|| || || || 1212
1212
rrrrrr
tttttt
即时间间隔和空间间隔不随坐标系的选取而改变。
特别地，若选取两坐标系的基矢：
kkjjii,,
则有：
rr
tt
这称为 时间和空间的绝对性中国科学技术大学杨维纮
2.4.2 时间和空间的绝对性
rr
tt
这样的结果是相当平凡的，由日常生活的经验不难接受这些结果，实际上，在第一章中我们一直在未加说明地用着这些结果，而没有感觉到有什么不合理的地方，它们似乎很
“浅显”。
然而，物理学的特点之一，就是不放过任何一个“浅显”
的概念，总是力图找出这些“浅显”概念的根基是什么。的确，在低速运动时，上式精确地成立。但是用这两式解释高速运动（接近光速）的现象时遇到了难以克服的困难。当人们去寻找这个十分平凡而“浅显”的结论的物理基础时发现，
其中隐含有更本质的东西，即时空的真正含义，我们到相对论一章再详细讨论。
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2.4.3 伽利略变换考虑两个相互作匀速直线运动的参考系 K 和 K/,
设它们具有相同的坐标基矢，
如图，由于时间和空间的绝对性，有：
0
0
rrr
ttt
设 t0=0，且当 t0 时刻，两坐标系的原点重合,K/ 系相对于 K 系以速度 u 匀速运动，即
t 0 ur?
t
tt
urr
于是,这称为 伽利略变换中国科学技术大学杨维纮
2.4.3 伽利略变换
t
tt
urr
伽利略变换：
分量形式为：
tt
zz
yy
utxx
aa
uvv
a
v
a
v
a
uv
r
v
r
v
td
d
dt
d
td
d
dt
d
,
,
由于：
可得：
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2.4.3 伽利略变换结论：两个相互作匀速直线运动的参考系具有相同的加速度。
这就导致如果牛顿第一定律在 K 系中成立，则在 K/ 系中也成立的结论。
在牛顿力学范围内,物体的质量是不变量,而力的定律中,力几乎都表现为物体相对位置的函数或相对速度的函数,相对位置和相对速度在伽利略变换下又是不变的，所以,F,m,a各量在不同的惯性系中保持不变,这就导致运动定律在任何惯性系中具有相同形式的结论 。即伽利略变换与力学相对性原理是一致的。通常所谓的伽利略变换正是指两个惯性系之间的坐标变换。
将力学的相对性原理推广到更一般的相对性原理,在任何惯性系中，物理学定律具有相同的形式 。 即不仅力学定律，所有的物理学定律（包括电磁的定律等）都具有相同的形式，这种想法是自然的。然而，一旦超出力学范围（比如对电磁过程），伽利略变换并不正确，而应该用洛仑兹变换来取代。
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2.5.1 平动参考系
2.5.2 转动参考系
2.5.3 例题
2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力中国科学技术大学杨维纮
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力
2.5.1 平动参考系设静参考系 K 为惯性系，在任何时刻，动参考系 K/ 相对于静参考系作平动，即动参考系的坐标基矢相对于静参考系是常量。
为了在形式上用牛顿定律解释物体在系中的运动，必须认为物体除了受真实力 F的作用外，还受一虚拟力的作用。在真实力和虚拟力共同作用下，
物体的运动仍满足牛顿定律。
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2.5.1 平动参考系在 K 系中物体的运动满足牛顿定律,F = m a。但因 a ≠ a/，在 K/ 系看来物体的运动不满足牛顿定律，即
F ≠ m a/ 。
)()()( 0 ttt rrr
牵连速度,)(,)()()( 00 tttt vvvv
牵连加速度,)(,)()()( 00 tttt aaaa
aaaF mmm 0
aaF mm 0
afF i m这就是说，在非惯性系里，有：
0aFaf i mm
其中 虚拟力,
称为 平移惯性力,简称 惯性力 。
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2.5.1 平动参考系真实力与惯性力的合力常称 表现力,记为 Feff，于是有：
aF me f f
于是，我们将牛顿第二定律推广到了非惯性系之一的平动参考系。在平动参考系中，只要引入虚拟力（平移惯性力），则可以向惯性系一样，用牛顿定律讨论平动参考系的问题。为了与虚拟力比较，我们将以前所考虑的力称为,真实力” 。
FFf i e f f
而虚拟力为表现力和真实力之差。
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2.5.1 平动参考系
“虚拟力”和“真实力”的区别：
1,不能指出是哪个物体作用；
2,没有反作用力；
3,所有质点都受力，其指向一律与“牵连”加速度
a0（坐标系的加速度）相反，且正比于质量（和重力规则类似）；
4,原则上讲，只要选择惯性系，就可以消除惯性力，而真实力一般不能这样来消除。
我们在“虚拟力”和“真实力”上加了引号，是因为这只是牛顿力学的说法，在近代物理中，“虚拟力”和“真实力”的界线已经不那么明显了。
下面我们深入地讨论这个问题。
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1,等效原理如果电梯在重力场中自由下落，电梯内自由飘浮于空中的物体，好象处于无重力场的太空中一样。爱因斯坦指出，电梯向下的落体加速度恰好抵消了该处的重力场，电梯内的观察者无法断定电梯是静止于太空中还是在重力场中自由下落。
上述概念就是 等效原理,它是由爱因斯坦提出的著名假设。它告诉我们，究竟是均匀重力加速度 g 还是参考系的加速度 a0 =－ g，这在局部范围内是无法加以区分的。一般情况下，要说出给定的力中有多少是重力，有多少是惯性力是不可能的。
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1,等效原理由于实际的重力场是非均匀的，它不可能延伸到整个空间，即重力场具有局域性。
而加速系是非局域性的，可以均匀地延伸到整个空间。因此，爱因斯坦指出，严格地说每次只有在一个点上才可以把重力同时看成惯性力，根据这个考虑，他认为世界的几何性要比普通的欧几里德几何复杂得多。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
上述等效原理成立的基础是引力质量与惯性质量相等，或引力质量与惯性质量成正比。匈牙利物理学家厄缶在 1908年完成了一个证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实验。狄克与他的合作者在厄缶的基础上，对实验的方法和技术进行了改进。这里简单介绍一下狄克的实验。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
图 2.17是这一实验的装置示意图，不同质料的物体 A和
B系在一根棒的两端，并用细丝将棒水平地悬挂起来，构成一个扭秤。由于地球绕太阳公转，在地球这一非惯性系中，
A,B不仅要受到太阳的引力 F
的作用，而且要受到惯性力 f
的作用，其中 F 与引力质量成正比,f 与惯性质量成正比。
设想扭秤位于地球北极，太阳在水平方位，若取 A,B两物体的引力质量相等，则 FA = FB。如果引力质量与惯性质量不成正比，就有 FA ≠ FB,于是扭秤就要受一个合力矩作用。随着地球的自转，太阳表观方位发生变化，此力矩以 24小时为周期而变化，
从而将使扭秤以相同周期而摆动。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
狄克的实验在 10-11
的相对精度内未观察到扭秤的周期性偏转，由此证明引力质量与惯性质量在 10-11的精度上成正比。
从设计思想上看，厄缶实验用的是,示零法”,
这种方法的灵敏度是很高的，近代物理经常用,示零法” 来构造实验，以期得到高精度的,零结果” 。
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
每日两次的涨潮、落潮现象，是海水既受太阳（和月亮）的引力作用，又在作公转的地球这一非惯性系中受惯性力作用的结果。
在牛顿以前，地球上的潮汐还是一个谜，万有引力发现后，开始认为月球把地球上的水吸上来，近月球处形成一个高潮，背离月球处产生一个低潮。由于地球的自转，使地球上一个地方潮水每天涨落一次。另一学派则认为，高潮在背离月球的一面，他们争辩说，因为月球把地球从水中拉向月球一面。同样，只能得出一天有一次涨潮的结论。实际观测，每天有两次涨潮，究其原因，是因为引力的空间不均匀性造成的。
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）中国科学技术大学杨维纮
3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
太阳、月亮都会在地球上产生潮汐现象，虽然在地球处太阳的引力远大于月亮的引力，但由于潮汐现象主要来自于引力的空间不均匀性，由于月亮离地球要比太阳近得多，故月亮比太阳的引力不均匀性大得多，月亮对潮汐的作用比太阳更大。
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2.5.2 转动参考系
1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有：
0,0 tddtdd varv
)( 0 rrrvv tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr r ωrr
0
td
d
tD
D r ωv 0
r ωvvv 0 f即牵连速度：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
r ωvvv 0 f
) ( r ωvvaa 0 tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv
) ( rωr ωa 0 tdd
) ( rωωa 0
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 av
) ( r ω ωaa f rrωω ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有：
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力为了与平移惯性力区别，我们用 fc 表示该虚拟力，由图
2.20知它的方向为垂直于转轴向外的方向，因而我们称 fc 为 惯性离心力,简称 离心力 。
于是虚拟力：
在转动参考系看来 P 静止不动，
为了在形式上用牛顿定律解释物体在非惯性系上的运动，必须认为物体不仅受真实力 F 作用，而且还受虚拟力
fc 作用,fc 正好与 F相抵消，即表现力为：
在惯性系看来质点 P 具有向心加速度，因而受力（真实力）为：
) ( r ω ωaF mm
0 ifFF e ff
) ( r ω ωFFf me f fc
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
) ( r ω ωFFf me f fc
惯性离心力的特点：
1,惯性离心力垂直于转轴，
并指向离开转轴的方向；
2,惯性离心力与物体质量成正比。（我们以后会看到，所有的惯性力都与质量成正比）
中国科学技术大学杨维纮例 2-7：地球表面上物体的重力并不严格指向地心，且重力随纬度的减小而减小。
离心力, co s2 Rmf
C?
表观重力,
22 co sco s RmmgfPP C
),( mgPf C注意到
Pθ与 P的夹角 Φ,
g
R
mg
Rm
P
f C
2
2s i ns i nco ss i n 22
可见 Φ在 45o处为最大，
6%15.02/2m a x gR?
如果考虑到引力质量与惯性质量的不同,Φ的表达式应为：
引惯
m
m
g
R
2
2s in2
中国科学技术大学杨维纮如果惯性质量与引力质量不成正比，此 Φ角将因物体的质料不同而异，
因而，若用细线将不同质料的物体悬挂起来，悬线将取不同的方向。厄缶原来的实验正是基于这一思想，此实验在 1922年发表时，精度达到 10-5。
引惯
m
m
g
R
2
2s in2
中国科学技术大学杨维纮例 2-8：同步卫星可以定点于赤道上空。
要想物体静止于地球上空而成为地球同步卫星，必须物体的表观重力 Pθ为零。由图 2.21可见，仅当
θ=0 时，引力 P 和离心力的矢量和才有可能为零，因此地球同步卫星可以且只能定点于赤道上空，万有引力为
220 / Rm g RP?
222
2
0 c o sc o s Rm
R
RmgfPP
C
其高度可求得为：
米7
3/1
2
2
0 102.4
gRR
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
)()()( 0 ttt rrr
0,,0000 DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有：
即：
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
0, tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv tDDtDD
rωrr 0 tddtDD rωvv 0
fvvr ωvvv 0
其中 是牵连速度fv
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
) ( r ωvvva 0 tDDtDD tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvavωv 0
) ( rωr ωv ωaa 0 tdd
) (2 r ω ωv ωa 0
) ( 0 r ω ωaaf令：
v ωa 2c o r
c o rf aaa则得：
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。cora
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
O
x
y
z
P
O?
x?
y?
z?
)( tr
)( tr?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K?
若：
c o rf aaa
在 K 系看,P点受到真实力 F 作用：
在 K/ 系看，为了能形式上使用牛顿定律，质点 P点所受的表现力必须为零，故质点 P 除了受惯性离心力 fc 作用外，还受到另一力 fcor 作用：
) ( 0 r ω ωaaf
0a?0
)2 r ( ω ωv ω
aF
mm
m
v ωf 2 mc o r
fcor称为 科里奥利力 。
中国科学技术大学杨维纮由科里奥利力的表达式可见，该力有三个特征：
1,与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考系运动时才可能出现；
2,与转动参考系的角速度的一次方成正比，而离心力与角速度的二次方成正比，故当参考系的转动角速度较小时，科里奥利力比离心力更重要；
3,力的方向总是与相对速度垂直，放不会改变相对速度的大小；在地球上当 ω方向向上（如地球的北半球）时，力沿地面的分量指向相对运动的右方,ω
向下（如南半球）时，力沿地面的分量指向相对运动的左方。
v ωf 2 mc o r中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
1,地面上北半球河流冲刷右岸。火车对右轨的偏压较大。（在南半球则对左岸和左轨作用大。）
中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
2,自由落体因受科里奥利力的作用，会向东偏斜。这可以用实验来演示，如图 2.22，
在旋转平台上装一个斜坡，让小球从斜坡的上方自由滚下，小球的运动将向旋转的前方偏斜，这就是落体偏东的演示。
中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
3,在北半球的单摆由于受科里奥利力的作用，使摆球轨迹每次都向运动方向的右方偏斜，最后使摆平面沿顺时针方向转动，如图 2.23。转动角速度为：
1851年傅科（ J,L,
Foucault,1819~1868）
在巴黎伟人祠用长 67米的摆做了实验，摆的振动周期 T=16.5秒，每摆动一次，摆面转动 0.05o，
经 32小时，摆面转动一周，直接证明了地球在自转。
s in
中国科学技术大学杨维纮科里奥利力在地球上有以下的表现：
4,天气图上高、低气压环流能长期存在。
如图 2.24(a),(b)，是北半球高空的情况，图中虚线表示等压线，在高空摩擦力可以忽略，气压梯度力 F 与科里奥利力 fcor 正好平衡。
图 2.24(c),(d)，是北半球地面的情况。在地面，由于摩擦力 f 的加入，平衡时是气压梯度力 F、科里奥利力 fcor
与摩擦力 f 三个力平衡。
图 2.24(d) 就是我们熟知的台风的气体环流图。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源牛顿力学是讨论物体的运动状态及其改变的，其描述脱离不开参考系。牛顿定律并不适用于所有的参考系，后人把牛顿定律适用的参考系叫做惯性参考系。然而，牛顿力学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯性参考系。牛顿完全了解自己理论中存在的这一薄弱环节，他的解决办法是引入一个客观标准 ——绝对空间,用以判断各物体是处于静止、匀速运动，还是加速运动状态。
中国科学技术大学杨维纮
2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源牛顿（ 1643~1727）承认，区分特定物体的绝对运动（即相对于绝对空间的运动）和相对运动并非易事。不过，他还是提出了判据。譬如，用绳子将两个球拴在一起，让它们保持在定距离上，
绕共同的质心旋转。从绳子张力可以得知绝对运动角速度的大小。
牛顿的绝对空间概念曾受到同时代的人，如惠更斯、莱布尼兹等的非难和指责，但由于牛顿力学的巨大成就,200余年中一直为人们普遍接受。其间也有反对的，代表性人物是英国主教贝克莱，他说：“让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说它们围绕共同的中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不同部分的相对位置想象出它们的运动了。”如果宇宙中只有这两个球，而它们又象牛顿所设想的那样，被一根绳子栓着，谁能回答它们是否绕共同的质心旋转，以及绳中有没有张力？这的确是很难想象的。
中国科学技术大学杨维纮
2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
“水桶实验”是牛顿提出的另一个更著名的实验。
实验的大意如下：一个盛水的桶挂在有条扭得很紧的绳子上，然后放手，于是如图 2.28所示。
中国科学技术大学杨维纮牛顿的“水桶实验”
(a) 开始时，桶旋转得很快，但水几乎静止不动。在粘滞力经过足够的时间使它旋转起来之前，水面是平的，完全与水桶转动前一样。
(b) 水和桶一起旋转，水面变成凹状的抛物面。
(c) 突然使桶停止旋转，但桶内的水还在转动，水面仍然保持凹状的抛物面。
牛顿就此分析道，在 (a),(c) 阶段里，水和桶都有相对运动，而前者水是平的，后者水面凹下；在 (b),(c) 阶段里，
无论水和桶有无相对运动，水面都是凹下的。牛顿由此得出结论：桶和水的相对运动不是水面凹下的原因，这个现象的根本原因是水在空间里绝对运动（即相对于牛顿的绝对空间的运动）的加速度。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
牛顿曾经设想，在恒星所在的遥远地方，或许在它们之外更遥远的地方。他提出假设，宇宙的中心是不动的，这就是他所想象的绝对空间。牛顿当时清楚地意识到，要给惯性原理以一个确切的意义，那就必须把空间作为独立于物体惯性行为之外的原因引进来。
爱因斯坦说：“对此，牛顿自己和他同时代的最有批判眼光的人都是感到不安的；但是人们要想给力学以清晰的意义，在当时却没有别的办法。”
爱因斯坦还认为，牛顿引入绝对空间，对于建立他的力学体系是必要的。这是在那个时代“一位具有最高思维能力和创造力的人所能发现的唯一道路”。
从现今的观点来看，牛顿的绝对时空观是不对的。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
首先在物理学界产生巨大影响的是奥地利物理学家马赫
（ E,Mach,1838—1916）。
马赫认为，牛顿水桶实验中水面凹下，是它与宇宙远处存在的大量物质之间有相对转动密切相关的。当水的相对转动停止时，水面就变成平的了。反过来，如果水不动而周围的大量物质相对于它转动，则水面也同样会凹下。如果设想把桶壁的厚度增大到几公里甚至几十公里，没有人有资格说出，这实验将会变成怎样。而他本人相信，这一怪桶的旋转将真的对桶内的水产生一个等效的惯性离心力作用，即使其中的水并无公认意义下的转动。马赫的思想归结为一切运动都是相对于某种物质实体而言的，是相对于远方恒星（或者说是宇宙中全部物质的分布）的加速度引起了惯性力和有关效应。
牛顿认为物体的惯性是绝对空间赋予的，而马赫则认为惯性是物体与宇宙间众星体相互作用的结果。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
马赫的深刻思想一时不为人们所理解，却给了爱因斯坦以极大启发，引导他于 1915年创立了广义相对论。他设想若某一升降机是惯性系，在其中的观测者会发现光线沿直线传播，但若该升降机作匀加速运动，其中的观测者会发现光线沿抛物线传播，可是该观测者可以认为升降机仍然作匀速运动，而只不过受到了一个引力的作用，于是
1913年 6月 25日爱因斯坦写信给马赫：
明年日食时将会证明，以参考系的加速度同引力场等效为基础的基本假设是否真正站得住。果真如此，则您对力学基础所作的贴切研究，将不顾普朗克不公正的批评而得到光辉的证实。因为完全按照您对牛顿水桶实验的批判，一个必然的后果是：惯性来源于物体的一种相互作用。这里的第一个推论写在我文章的第 6页上，再补充二点：（ 1）如果加速一个很重的物质壳层，则包含在此壳层里的质量会受到一个加速的力。（ 2）如果相对于恒星围绕中心轴旋转此壳层，壳内将产生一个科里奥利力，亦即，傅科摆的摆面将被曳引
（实际上曳引的角速度小得无法测量）。
中国科学技术大学杨维纮绝对空间在哪里？
马赫的思想对广义相对论的建立影响如此巨大，爱因斯坦于 1918年前后使用了“马赫原理”的说法，以表达下列命题：时空的局部结构（从而试探质点的惯性行为），仅由质量和能量的分布所决定。爱因斯坦认为，
马赫原理应能在广义相对论中得到体现。
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爱因斯坦从惯性质量等于引力质量这一事实看出，
引力和加速度产生的惯性力是等价的。我们可以把这两个概念及其区别淡化起来，于是，把坐标原点固定在一个在引力场中自由降落、或者说自由飞行的物体上，坐标架由陀螺仪来定向，这便是一个相当理想的局部惯性参考系。从牛顿力学的观点看，地面参考系才是惯性系，
而自由降落的升降机则不是。但我们也可认为自由降落的升降机是惯性系；而在地面参考系内感觉到的重力，
反而是它相对于惯性系（自由降落的升降机）有向上加速度的效果。这是广义相对论的观点。
中国科学技术大学杨维纮
