杨维纮第六章 刚体力学质点是作为抽象模型而引入的，如问题不涉及转动，
或物体的大小对于研究问题并不重要，可以将实际的物体抽象为质点。
“质点”，这就根本谈不上在空间中的取向，也根本谈不上转动。问题如涉及转动，就不能不考虑到物体的大小与形状，不能再将物体抽象为质点，不能再采用质点这一模型。当然，我们可以将物体细分成很多部分，
每一部分都看成是一个质点，利用各部分之间的位置关系来描述物体的形状和转动，即我们可以利用“质点组”
这一模型。但是，一般的质点组力学问题并不能严格解决，我们只能了解其运动的总趋向及某些特征。
中国科学技术大学杨维纮第六章 刚体力学究其原因，我们引入自由度这一概念。我们把确定一个力学体系在空间的几何位形所需的独立变数的个数称为 自由度 。一个自由的质点显然有三个自由度,n 个自由的质点所组成的质点组显然有 3n 个自由度。每个质点有一个矢量的运动方程,n 个质点共有 n 个矢量的运动方程，亦即 3n 个分量的运动方程，方程的个数与自由度数符合。在原则上讲，可以从运动方程组解出质点组的运动情况。但是大数目的微分方程所组成的微分方程组是很难解出的。质点组力学问题之所以一般不能严格解出，就是因为微分方程个数大多，换句话说，质点组力学的困难正在于自由度数太大。
中国科学技术大学杨维纮第六章 刚体力学如果需要研究物体的转动，就不能忽略它的形状和大小而把它简化为质点来处理。但如果物体的形状和转动不能忽略，而形变可以忽略。我们就得到实际物体的另外一个抽象模型 ——刚体 (rigid body)，
即形状和大小完全不变的物体。刚体的这一特点使刚体力学大大不同于一般的质点组力学，刚体力学问题虽不是每个都能解决，但有不少是能够解决的。
于是我们定义,刚体是这样一种质点组，组内任意两质点间的距离保持不变 。
中国科学技术大学杨维纮第六章 刚体力学
§ 6.1 刚体运动学
§ 6.2 施于刚体的力系的简化
§ 6.3 刚体的定轴转动
§ 6.4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡
§ 6.5 刚体的平行平面运动
§ 6.6 刚体的定点运动中国科学技术大学杨维纮
6.1.1 刚体的性质
6.1.2 刚体的几种特殊运动
6.1.3 刚体的一般运动
§ 6.1 刚体运动学中国科学技术大学杨维纮
6.1.1 刚体的性质
1,自由刚体的自由度数是 6，非自由刚体的自由度数 < 6
这 6个变数当然也可理解为确定刚体上某一点（例如质心）的位置，这需要 3个变数；其次，应指出整个刚体相对于这一质点的取向，即指明通过该点的某一直线的方向（三个方向余弦，但三个方向余弦平方和等于一），
这需要两个独立变数，并且需要指明刚体相对于这一直线的方位（绕该直线所转过的角度），这要一个独立变数。仍然得到同一结论：自由刚体只有六个自由度。
简单他说，自由刚体有三个移动自由度（为指出刚体中某一质点的位置需要三个独立变数），三个转动自由度（为指出刚体相对于该质点的取向又需要三个独立变数）。但是，非自由刚体的自由度没有这么多，例如绕固定轴线转动的刚体就只有一个自由度。
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6.1.1 刚体的性质
1,自由刚体的自由度数是 6，非自由刚体的自由度数 < 6
刚体既然只有六个自由度。它的运动定律也就可以归结为六个独立方程。我们前面学过的质心运动定理确定刚体质心的运动，而动量矩定理确定刚体在空间中的取向与方位随时间变化的情况；这样，这两个定理（两个矢量方程式，即六个分量方程式）就完全确定了刚体的运动。作为对照，我们知道，在质点组动力学中，质心运动定理与角动量定理只给出质点组运动的总趋向与特征，并不足以完全确定质点组的运动情况。
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6.1.1 刚体的性质
2,刚体的质心刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，由第三章 (3.2.5)式知，刚体的质心为：
dV
dV
dm
dm
dVdmm
C
C
rr
r
这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时，
我们常用质心位矢的分量形式，为：
dm
z dm
z
dm
y dm
y
dm
x dm
x CCC,,
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6.1.1 刚体的性质
2,刚体的质心对于特殊情况，如果刚体具有对称中心，质心就在对称中心。如果刚体无对称中心，但可划分为几个部分，而每一部分都有对称中心，各部分的质心就在其对称中心，这些质心形成为分立质点的质点组，刚体的质心就归结为这一质点组的质心。
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6.1.1 刚体的性质
3,刚体的内力作功为零将动能定理应用于刚体时，应注意刚体的一个特点：
内力所作的总功为零。 现在证明如下：试考察刚体的第 j
个质点与第 k 个质点相互作用的 Fjk 与 Fkj 这一对内力。
如刚体稍微改变其位置，第 j 个质点与第 k 个质点的位移各为 drj 与 drk,则这一对内力所作功的和为：
kikiikkkiiik dddd rFrFrFrF
)( kiik dd rrF )( kiik d rrF
由于刚体内任意两质点间的距离保持不变，故有：
常量 )()( kiki rrrr
微分一次，得,0)()(2
kiki d rrrr
即,)( )( kiki d rrrr 而 )( // kiik rrF?
于是知刚体的内力作功为零。
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6.1.1 刚体的性质
3,刚体的内力作功为零于是，对于刚体，动能定理 (4.2.13)就成为：
外AtEtE kk )()( 0
若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功，而保守力作的功可以用势能的减少来表达，即：
非保外保外外 AAA )()( 0 tVtVA保外于是刚体的功能原理为：
非保外AtVtEtVtE kk )]()([)]()([ 00
若 0?
非保外A
，则可得刚体的机械能守恒定律：
EtVtEtVtE kk )]()([)]()([ 00
对于刚体，不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及内力，就连在动能定理中也无须计及内力，这是不同于一般质点组的。
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6.1.2 刚体的几种特殊运动由于受到不同的约束，刚体可以有各种运动形式，
每种运动形式对应的自由度也不相同。
1,平动,作平动时，刚体上每一点的运动情况完全相同，
刚体的运动可用一质点来代表，因而这种运动的描述与质点相同。其自由度为 3，或称有 3个平动自由度。
2,定轴转动,刚体运动时，刚体上的各质点均绕同一直线作圆周运动。这条不动的直线称为转轴，这种运动称为刚体的定轴转动。在定轴转动时，刚体上凡是与轴平行的直线上的质点运动情况相同，即有相同的位移、速度和加速度。因此，讨论时只需考虑与转轴垂直的一个截面的运动，刚体的位形由此截面的位形决定。而截面的位形只需不在轴上的一个质点的方位
（常用角位置）表示。显然，定轴转动只有一个自由度。
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6.1.2 刚体的几种特殊运动
3,平面平行运动,刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动称为刚体的平面平行运动，这时。刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动情况完全相同，因而刚体的运动可用与固定平面相平行的任一截面的运动来代表，而该截面在通过自身平面内的运动可以看成其上任一点 A（称为基点）在平面上的移动与该截面绕过该点且垂直于平面的轴线的转动的组合。确定基点的位置需要两个平动参量，在与基点相对静止的参照系上，刚体的运动成为绕过基点的固定轴的转动，即定轴转动，这需要一个转动参量。于是，刚体的平面平行运动的自由度为 3。
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6.1.2 刚体的几种特殊运动
4,定点转动,刚体运动时，始终绕一固定点转动，这种运动称为刚体的定点转动。这个定点可以在刚体上，也可以在刚体的延拓部分。可以证明，作定点转动的刚体，在任一瞬时，总可看成绕通过该定点的某一瞬时轴的转动（下一瞬时则为绕另一瞬时轴的转动）。不难看出，定点转动的自由度为 3（ 3个转动自由度）。
由以上分析可见，刚体平动的描述与质点的运动相当，只需考虑质心的运动即可，不必另加讨论。所以我们以后各节将分别讨论刚体的其它三种运动。
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6.1.3 刚体的一般运动
1,运动的描述刚体的一般运动可以看成随刚体上某一基点 A（例如质心）的平动和绕该点的定点转动的组合。在与基点相对静止的参照系上，
绕该点的转动即为定点转动。因此，作一般运动的刚体的自由度为 6。
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6.1.3 刚体的一般运动
2,角速度是矢量中国科学技术大学杨维纮
6.1.3 刚体的一般运动
2,角速度是矢量可见，角位移一般不是矢量。
在上面的例子中，角位移是有限大小的，而
（瞬时）角速度只与无限小的角位移相联系。现在我们来证明，角速度的合成服从平行四边形法则，
从而是真正的矢量。
（自习）
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6.1.3 刚体的一般运动
3,刚体角速度的绝对性一般来说，刚体的任何运动都可以分解为基点的平动及绕基点的定点转动。选择不同的基点，平动速度就不同；而转动角速度则与基点的选择无关，不管选择刚体上哪一点，角速度矢量的方向及大小都不变。刚体的这一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。
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6.1.3 刚体的一般运动
3,刚体角速度的绝对性证明,
如图表示一个刚体相对于坐标系 K 的位形,O1，
O2,P 是刚体上的任意三点。它们的位置矢量分别是 R1,R2,R 。显然，这三点的速度分别为：
dt
d 1
1
Rv? dtd 22 Rv?
dt
dRv?
若选 O1为基点
1111 rωv
rRv 1
dt
d
dt
d
若选 O2为基点
22222 rωv
rRv
dt
d
dt
d
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6.1.3 刚体的一般运动
3,刚体角速度的绝对性
1111 rωv
rRv 1
dt
d
dt
d
22222 rωv
rRv
dt
d
dt
d
aωvaRv 1112 dtddtd
又,arr
21
2211
2111
rωaωvv
rωaωvv
0)( 21 2rωω
由于点的任意性，故有：
21 ωω?
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6.2.1 作用在刚体上的力是滑移矢量
6.2.2 几种特殊力系
§ 6.2 施于刚体的力系的简化中国科学技术大学杨维纮
§ 6.2 施于刚体的力系的简化
6.2.1 作用在刚体上的力是滑移矢量力有大小、方向、作用点三个要素。就它对物体所产生的效果而言，三者都起作用。因而，在一般情况下，即使保持大小和方向不变，力亦不能平移，因为这将造成作用点的变动，效果就将不同，这就是说，
力不像速度、加速度那样是自由矢量。但由于刚体是一个刚性整体，当力沿着作用线在刚体上滑移时，对刚体的作用不变，因而称作用在刚体上的力为滑移矢量。
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6.2.2 几种特殊力系
1,共点力系所有力的作用线（或其延长线）交于一点的力系称为共点力系。显然，这样的力系可以等效为大小和方向等于诸力矢量和、作用点就是该交点的一个力，这就是合力。
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系所有的力都互相平行的力系称为平行力系。为简单起见，下面先考虑两个平行力的合力。
(1) F1,F2 同向，如图 6.5所示。
增加一对作用于同一直线上的力 f 与 -f，将 F1,
F2 变为 F1/,F2/ 后成为共点力系，然后求合力。由图示可知，合力与平行且同向，大小为 F1,F2大小之和，
但作用线发生了改变。
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系
(2) F1,F2 反向，但大小不等。
仍可用上法求合力。合力 F = F1 + F2与 F1,F2
平行，大小为 F1,F2 大小之差，方向与 F1,F2中的较大者相同，但作用线发生了改变。
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系
(3) F1,F2 反向，且 F1 =﹣ F2 。
没有合力，这一对平行力称为 力偶 。容易验证，该力偶对于垂直于该平面的任何轴线的力矩相同。（称该力矩为 力偶矩 ）
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系讨论：
(1) 求多个平行力的力系的合力，先求 F1,F2 的合力，再求该合力与 F3的合力，等等。由上述可知，其结果或为一个合力，或为一个力偶矩。
(2) 可用此法求若干 n 个质点的重心，即 n 个重力的合力。
（若各点的重力加速度相同，则质心与重心重合）
(3) 选取平动参考系统研究刚体时，刚体中各质点所受的惯性力系为平行力系，各力的大小正比于质量。这好象出现了某种“附加重力场”，该力场的合力自然作用于“重心”，即作用于质心。因而惯性力系对于通过质心的任一轴线的力矩当然为零。
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6.2.2 几种特殊力系
3,共面力系所有力的作用线位于同一平面的力系称共面力系。若共面力系的诸力互相平行，则可按求平行力合力的方法求出合力；
若诸力不平行，则必有交点，可直接依次求出合力。
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6.2.2 几种特殊力系
4,异面力系所有力的作用线不在同一平面的力系称异面力系。一般异面力系可等效为一个力和一个力偶。
以两个力为例，如果两个力不互相平行，又不共面，这两个力就不能等效为一个合力。如图 6.6所示，作用于 A 点的力 F1 位于 yOz 平面，作用于 B 点的力 F2，位于 xOy 平面，
这样的两个异面力就属这种情形。
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6.2.2 几种特殊力系
4,异面力系但我们可设想在 A 点作用一对力 F3,﹣ F3，使 F3
与 F2 大小相等，方向相同，
这不会影响刚体的运动。
于是，作用在 A 点的力 F1,
F3 构成一个合力 F = F1 + F3，
而 F2,﹣ F3则构成一个力偶，
其力偶矩就是 F2 对 A点的力矩。
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6.2.2 几种特殊力系这样，当作用于刚体上某一点的力平移到另一点时，
必须同时伴随一个力偶，因此任意个力组成的力系可等效为作用于刚体上某一点 C 的单个力 F = ∑Fi和一力偶矩，其力偶矩就是各力对 C 点的力矩的矢量和。 C 点称为 简化中心 。简化中心可以任意选取，但当改变位置时，
力偶矩也随之改变。
对于方向与力 F 垂直的力偶矩，可看成一对与力 F
共面的力，而这 3个力又可重新构成一个新的合力，新力必与 F相等，但作用线不一样，这相当于简化中心移动了。
这一点可以证明如下：
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6.2.2 几种特殊力系如图 6.7，设对于简化中心 C，得到力 F 及与
F 垂直的力偶矩 M，过 C
点作一直线既垂直于 M
又垂直于 F，取 CD 的长度 r0 = M/F，可将力偶矩
M化为一对力偶 F1 与
﹣ F1，且使 F1 = F。于是对于简化中心 D，力系简化为合力 F1 = F，而力偶矩为零。
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6.2.2 几种特殊力系对于方向与力 F 构成任意角度的力偶矩，可将其分解为两个方向相互垂直的力偶矩，一个力偶矩与力 F
平行，另一个力偶矩与力 F 垂直，后者与力 F 可构成一个新的合力。
综上所述,作用在刚体上的任何力系，最终可以等效为一个作用于刚体上某一点的力和一个力偶矩方向与之平行的力偶。这样的一组力和力偶称为偶力组或力螺旋。 当力偶矩为零时，力系等效为一个合力。
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6.3.1 角动量与角速度的关系
6.3.2 定轴转动刚体的动量矩定理
6.3.3 转动定律
6.3.4 转动惯量
6.3.5 惯量张量、惯量主轴
6.3.6 定轴转动刚体的角动量守恒
6.3.7 约束反力与静、动平衡问题
§ 6.3 刚体的定轴转动中国科学技术大学杨维纮
§ 6.3 刚体的定轴转动
6.3.1 角动量与角速度的关系考察绕固定轴（取为 z 轴）转动的刚体在某瞬时对轴上某定点 O 的角动量（取 O 为原点）。将刚体看成质点组，设第 i 个质点（质元）的质量为 ⊿ mi，位矢为 ri，
速度为 vi，则该质点对原点的角动量为：
iiii m vrL
于是：
iiiiii m vrLL )]([ iiii m rωr
])([ 2 iiii
i
rm rrω
故角动量 L 与角速度 ω成线性关系，但一般说来它们不在同一方向上。
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6.3.1 角动量与角速度的关系例 6-1：如图 6.8所示，刚体由固联在一无质量刚性杆两端的质点 1
和 2 组成（质量 m1 = m2 = m），
杆长 2l，在其中 O 点处与刚性轴
zOz/ 成 α角斜向固联。此刚体以角速度 ω绕轴旋转，求角动量的大小和方向。
解,取 O 为参考点，令两质点的位矢分别为 r1 和 r2，则：
)]()([ 2211 rωrrωrL m
)(2 11 rωr m在上例中角动量 L不但与角速度 ω
的方向不同，而且它的方向随刚体旋转，并不固定。
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6.3.2 定轴转动刚体的动量矩定理在外力矩的作用下，刚体的角动量将发生变化。
由质点组的角动量定理：
dt
dLM?
当固定轴不是刚体的对称轴时,L 可分解为沿轴的分矢量
Lz，和与之垂直的分矢量 Lh 两部分,M 也可作相应的分解，
则有：
dt
d z
z
LM? dtd hh LM?
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6.3.2 定轴转动刚体的动量矩定理
hh Ldtd?L
且：
从而 Mh 的大小为：
hh LM?
由此可见，只要转轴不是刚体的对称轴，即使刚体以恒定角速度
ω绕固定轴旋转，也受力矩作用。
当 ω随时间变化时，不仅 Lh 的方向随时间变化，其大小也随时间变化。
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6.3.3 转动定律刚体作定轴转动时，转轴 z 的方向是固定的，故有：
kω ω? kjir
iiii zyx
)]( ω[ 2 kjikL iiiiii
i
zyxzrm
)]( ) ω[( 22 jik iiiiii
i
yxzyxm
令：
jiρ iii yx 222 iii yx
i
iiiii
i
iiii
i
zmmzm ρkρkL ω] ω[ 22
故 z 轴若是刚体的对称轴,(6.3.10)式的第二项为零，则刚体的角动量就与其角速度的方向相同。即：
ωL zI?
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6.3.3 转动定律
ωL zI?
当然，若 z 轴不是刚体的对称轴，该式也可能成立，
如后面图 6.18所示的刚体，
此时，我们称轴为刚体的 自由轴 。
利用 (6.3.10)式可将方向的角动量定理 (6.3.3)可写成标量形式：
dt
dLM z
zzz IL? 2
ii
i
z mI
Iz 称为刚体绕 z 轴的 转动惯量,它是一个常量。于是
zzzz IdtdIdtdLM
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6.3.3 转动定律
zzzz IdtdIdtdLM
此式是刚体作定轴转动时沿转轴（即 z 轴）方向的动力学方程，常称为 转动定律 。它就是角动量定理沿固定轴方向的分量式。它表明，对作定轴转动的刚体，外力矩沿固定轴的分量的代数和等于对该轴的转动惯量与角加速度的来积。转动定律与牛顿定律的形式 F = ma 很相似，力矩与力相当，角加速度度与加速度相当，转动惯量与质量相当。
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6.3.4 转动惯量
1,几种典型形状刚体的转动惯量具有规则几何形状的刚体绕对称轴的转动惯量不难计算，几种典型形状刚体的转动惯量如图
6.10所示，图中 m 为刚体的总质量质量。
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6.3.4 转动惯量
2,回转半径任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即：
2mkI?
式中 k 称为 回转半径 。例如，圆球的回转半径圆柱的回转半径等。质量相同的刚体，转动惯量越大，回转半径越大。
Rk 52?
Rk 21?
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6.3.4 转动惯量
3,转动惯量的平行轴定理和正交轴定理
(1) 平行轴定理如图 6.11，设刚体绕通过质心转轴的转动惯量为 IC，将轴朝任何方向平行移动一个距离 d，则绕此轴的转动惯量 ID 为：
2mdII CD
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6.3.4 转动惯量
3,转动惯量的平行轴定理和正交轴定理
(2) 正交轴定理如图 6.12，如果已知一块薄板绕位于板上两相互垂直的轴（设为 x 轴和
y 轴）的转动惯量为 Ix 和
Iy，则薄板绕 z 轴的转动惯量为：
yxz III
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6.3.6 定轴转动刚体的角动量守恒绕对称轴（或自由轴）轴转动的刚体的角动量，根据 (6.3.11)式，为：
ωL zI?
当刚体不受外力矩作用时，角动量不变，即 ω不变，
此即角动量守恒。其实,(6.3.28)式也适用于可变的物体，
只要在变化过程中不破坏对称性，又保持所有质点的相同，这样，角动量守恒的表式就成为：
当 M = 0 时,Iz ω= 常量当 Iz 增大时,ω减小； Iz 减小时 ω增大。双手握哑铃的人站在旋转的平台上，当他伸开双臂（意味着 Iz 增大）
时转速减小，当他垂下双臂（意味着 Iz 减小）时转速增大，就是这个道理。
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6.3.6 定轴转动刚体的角动量守恒一般而言，当转轴不是对称轴（这或者是由于物体无对称性，或者是虽有对称性，但转轴不是对称轴）或自由轴时，由于角动量不在转轴方向，即使刚体绕固定轴作匀角速转动，刚体的角动量亦不守恒，因为角动量时刻在变化（至少方向在时刻变化），刚体也必受外力矩作用。若外力矩在转轴
（ z 轴）上的分量为零时，则刚体角动量在该轴上的分量保持不变。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题刚体之所以作定轴转动，是由于轴承对轴的约束作用。以上，先肯定了刚体作定轴转动，对于转动轴的转动定律 (6.3-14)就足以解决刚体定轴转动问题。但是先肯定了刚体作定轴转动，这意味着承认刚体受约束而不追究刚体如何被约束，即将约束反力不加研究。
事实上，转动定律 (6.3-14)与约束反力无关，约束反力在该式中得不到反映。因而不可能求出约束反力。如果问题正好需要求出约束反力，那么虽然刚体的定轴转动只有一个自由度，仍然必须使用全套的方程式，
即除了动量矩定理之外，还要使用质心运动定理。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题我们知道，两点决定一根直线。为使刚体的轴线不动而整个刚体绕之而转，需要使轴线上至少两个点保持不动。实际上也常将转动部件的转动轴的两端各置于一个轴承中。刚体转动时对各个轴承的作用力完全可能非常巨大，甚至足以损伤轴承。高速转动部件如设计或制造不当，就可能发生这一情况。应当避免该情况的发生。
按通用的说法，应使高速转动部件达到静平衡和动平衡。
以刚体本身为参考系统，借助于惯性离心力的概念，容易理解所谓静、动平衡问题。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题
1,静平衡如图 6.16，刚体的质心不在转动轴上，这样的刚体必须质心恰在转动轴的正下方才可能静止。
按通常的说法，这样的刚体连静平衡也没有达到。
没有达到静平衡的刚体在转动时，惯住离心力系的矢量和 S 不为零。在轴承上，除了由于刚体的重量而引起的静压力之外，还有由于 S 引起的附加压力，这附加压力是一种动效应，在刚体高速转动时，这种附加压力会非常大，大大加速了轴承的磨损。而刚体的重量所引起的压力是一种静效应，很容易利用杠杆原理求出，在以下的讨论中，将不计入这部分静效应。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题
2,动平衡如图 6.17，刚体的质心在转动轴上，刚体能够静止于任意方位。
按通常的说法，这样的刚体已经达到了静平衡。这里，惯性离心力系的矢量和 S虽为零，力矩却不为零。
惯性离心力系的力矩有驱使刚体按虚线箭头转动的趋势。这个转动趋势是不能实现的，因为轴的这种转动趋势被轴承所抵制。于是，轴与轴承相互施以压力。惯性离心力系的力矩有驱使刚体按虚线箭头转动的趋势。
这个转动趋势是不能实现的，因为轴的这种转动趋势被轴承所抵制。于是，轴与轴承相互施以压力。
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6.4.1 刚体运动的基本方程
6.4.2 刚体的平衡
§ 6.4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡中国科学技术大学杨维纮
§ 6.4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡
6.4.1 刚体运动的基本方程刚体是一种特殊的质点组，因而关于质点组运动的定理也完全适用于刚体。我们已学过的两个定理是质心运动定理和角动量定理：
i
i
C
C dt
dm Fr
2
2
iM
L
idt
d
我们知道，刚体的自由度最多为 6，这里已有 6个独立的分量方程，处理刚体问题已经够了。
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6.4.1 刚体运动的基本方程几点说明：
1,外力矩是指对于空间中任一固定点（惯性系）的力矩，即 (6.4.2)式对空间任意点都正确，当然，相应的角动量也是关于空间中的相同点。若考虑的是非惯性系，则必须计入惯性力和惯性力的力矩，我们也知道，对于质心系，惯性力的力矩为零。
2,若总外力和总外力矩都为零，即 ∑Fi = 0,∑Mi = 0,
这样的力系称为 零力系,此时刚体的动量、角动量都守恒，则刚体的运动为：质心做匀速直线运动，
并绕通过质心的自由轴做匀速转动。若转动轴为非自由轴，刚体如何运动我们将在 6.6节讨论。
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6.4.2 刚体的平衡刚体静力学研究刚体在平衡（即相对于某个惯性参考系静止或作匀速直线运动）情况下的受力分布。刚体静力学在工程、建筑等部门中有广泛的应用，是材料力学、结构力学等学科的基础。
处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和角动量均不随时间改变（通常等于零）。因此，根据动量定理和角动量定理，刚体平衡的充分必要条件为：
0,0 i
iii
MF
该式表明外力的矢量和为零，且外力对空间某一定点
（例如 A 点）的力矩的矢量和为零。其实，当这两个条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢量和也为零。其证明比较简单，留给读者自己证明。
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6.5.1 运动方程
6.5.2 纯滚动的运动学判据
6.5.3 瞬时转动中心
6.5.4 功能原理
6.5.5 解题注意事项
§ 6.5 刚体的平行平面运动中国科学技术大学杨维纮
6.5.1 运动方程刚体的平面平行运动，通常是在约束情况下实现的。
由于约束力的存在，刚体的受力情况比较复杂，但从力系的简化观点看来，任何复杂的力系，总可以简化为一个作用在刚体上某一点（例如质心）的力 F（即外力的矢量和），和一个相对该点的力矩 M（ 即外力对质心的力矩的矢量和）。其中 F 决定质心的运动,M 则决定刚体绕质心的转动。对于作平面平行运动的刚体，由于质心在一确定的平面内运动，力 F 必在此平面内；当过质心而垂直于该确定平面的轴为刚体对称轴（或惯量主轴）
时，刚体在运动过程中，角动量始终与该轴平行，故不可能存在与 F 同方向的力偶矩，只存在与 F 垂直的力偶矩。因而，在这种情况下，外力（包括约束反力）必可以简化为一个位于质心运动平面上的合力。于是，我们可以选择质心为基点，进行如下讨论。
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6.5.1 运动方程
1,求质心的运动，利用质心运动定理
Fr?2
2
dt
dm C
C
即可求得质心的运动，这里 F 表示所有外力的矢量和，
mC是刚体的总质量。由于质心的运动（设为 x-y 平面）
是二维的，故方程 (6.5.1)只有两个分量方程。
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6.5.1 运动方程
2,在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于空间固定平面（ x-y 平面）的 z 轴的转动。根据质心系中角动量定理的分量形式，取过质心的转轴为 z 轴，
有
CC IM?
这里,MC 是外力对质心的力矩在 z 轴方向分量的代数和,β是绕轴转动的角加速度。在过质心的转轴是对称轴（或惯量主轴）的情况下，这也就是合力对质心的力矩。
上式可看成质心系中的定轴转动定律，尽管质心系为非惯性系，但惯性力对质心并无力矩。
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6.5.2 纯滚动的运动学判据接触面之间有相对滑动的滚动称为 有滑动滚动,接触面之间无相对滑动的滚动称为 无滑动滚动,或称 纯滚动 。
对于纯滚动，除满足 (6.5.1),(6.5.2)两方程外，还应满足约束条件
RaRv CC,
上式为纯滚动的运动学判据，其中 vC,aC 是圆心（通常即质心）的速度和切向加速度的大小,ω和 β为滚动物体的角速度和角加速度（即物体在质心参照系中的角速度和角加速度）,R 是滚动物体的圆半径。上式不论对于平面上的滚动或曲面上豹滚动都成立。
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6.5.3 瞬时转动中心在任何瞬时，作平行平面运动的刚体（或它的延伸体）
上总有一点 O/，其速度 vO = 0，
此时，整个刚体可视为绕此点转动（实际上是绕过此点垂直于运动平面的转轴转动）。例如在平面上作纯滚动的圆柱体或球与平面的接触点就是它的瞬心。如图 6.20所示。
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6.5.3 瞬时转动中心实际上，在任一瞬时，
截面上任一点的速度方向均与该点相对瞬心的位置矢量垂直，利用这一性质，已知截面上任两点的速度方向也可求得瞬心的位置，只要过这两点引两条与速度方向垂直的直线，两直线的交点即为瞬心的位置，如图 6.21所示。
对于作平面平行运动的刚体，在相对瞬时转轴应用转动定律时，由于瞬心的加速度并不为零，也必须考虑惯性力的力矩。但在一般情况下，惯性力对瞬时转轴的力矩并不为零，这一点与取质心为基点的情况不同。
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6.5.3 瞬时转动中心
1,代表瞬时转轴位置的瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体保持刚性连结的空间点上，就像质心可以在刚体外一样，
但质心是刚体内（或刚体外）的一个确定点，它相对刚体各质元的相对位置保持不变；而不同时刻的瞬心是刚体内（或刚体外）的不同的点，它相对刚体各质元有不同的位置。
2,作为原点的瞬心在考察的瞬时附近的 ⊿ t 时间内视为固连在刚体上，因而瞬心的速度和加速度是指与刚体固连的该点的速度和加速度，而不是指瞬心在空间位置的变动速度和加速度。在这样的瞬时平动参考系中，在所考察瞬时附近的时间内，刚体的平面平行运动变为绕固定轴的转动，只要引进惯性力矩（因为该平动参考系不是惯性系），转动定律照样适用，当该固连在刚体上的瞬心相对惯性系的加速度（这也就是瞬时平动参考系的加速度）平行于瞬心与刚体质心的连线时，惯性力对瞬心的力矩为零。均质或质量呈轴对称分布的圆形刚体作纯滚动时，
就是这种情况。
几点说明中国科学技术大学杨维纮
6.5.4 功能原理按照第四章 4.5.1节中讲的柯尼希定理，质点组的总动能 Ek 等于相对于质心系的动能 EkC，加上刚体整体随质心平动的动能 mC vC2/2。
对于刚体的平行平面运动，有
2222
2
1
2
1
2
1
Cii
i
Cii
i
kC ImvmE
故刚体的动能为：
22
2
1
2
1?
CCCk IvmE
(6.5.7)式右端第一项称为刚体的 平动能,第二项称为刚体的 转动能 。
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6.5.4 功能原理由质心运动定理：
Fr?22dtdm CC
得：
rFrr
0
dtvmtvm CCCC 022 )(21)(21
由绕质心转动的角动量定理,?
CC IM?
得：
dMtItI CCC 0 022 )(21)(21
其中：
dt
d
即外力所作的功：
dMdA C
0
rFrr
0外故刚体的功能原理为：
dMdAtEtE Ckk 0
0
)()( rFrr
0外中国科学技术大学杨维纮
6.5.4 功能原理
dMdAtEtE Ckk 0
0
)()( rFrr
0外即刚体动能的改变等于外力对于质心所作的功加上关于质心的外力矩作的功。
故刚体的功能原理为：
注意：若不取质心作基点，就不能如此分解，可见质心作基点的重要性。
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6.5.5 解题注意事项
1,纯滚动过程中静摩擦力作功为零我们知道，对于质点的运动，
静摩擦力作功为零。下面我们证明，对于刚体的纯滚动，静摩擦力作功也为零。如图 6.23，静摩擦力作功可以用 (6.5.10)式写成两项，为
MxfMddA rf
利用纯滚动的运动学判据 (6.5-3)式可得
0rx
又
0frM?
000 frfrA
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6.5.5 解题注意事项
2,滚动摩擦力矩滚动摩擦的本原，
在力学中不能进行深入的讨论。简单他说，
物体滚动时，物体与地面都将变形，因而地面施于物体的力 R
并非竖直向上。 R 的竖直分力即地面支持力 N，水平分量即摩擦力 f。
滚动摩擦一般远远小于滑动摩擦，使用轮轴、使用滚珠轴承都是为了以滚动摩擦代替滑动摩擦。
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6.5.5 解题注意事项
3,滚动摩擦和滑动摩擦由于滚动摩擦力矩的存在，它不改变质心的运动速度，却降低物体滚动角速度，于是原来的纯滚动将会出现相对滑动的趋势。这时会出现静摩擦力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，滑动将发生，这时又会以滑动摩擦取代静摩擦。
在处理理想刚体（即无形变，可以不考虑滚动摩擦）
的纯滚动问题时，滚动物与其他物体的接触点处相对速度为零，在此点若有摩擦力存在，是为静摩擦力。判断该静摩擦力的方向需要十分小心。这里有一个一般可用的原则：设想此物体与接触点脱离，使摩擦不复存在，
此时触点切向加速度的反方向，即为静摩擦力的方向。
即：摩擦力与物体在接触点的运动趋势方向相反。
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§ 6.6 刚体的定点运动刚体的比较复杂的运动是定点运动。
刚体的定点运动有些性质初看起来是很“奇怪”
的。本节将限于进行定性的讨论，揭示这些“奇怪”性质的物理实质，而不研究刚体定点运动的严格理论。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动
6.6.2 陀螺的运动
§ 6.6 刚体的定点运动中国科学技术大学杨维纮
6.6.1 没有外加力矩的定点运动将刚体装在所谓“常平架”
上，如图 6.26。常平架对刚体转轴作何取向并不施加任何限制，所以在轴承上只有由于刚体的重量而引起的静压力。由于对称性，这种静压力对于质心的力矩为零。因此，
刚体在常平架上的运动是一种没有外加力矩的定点运动，定点指的是质心。
也许有人会这样想：既然没有外加力矩作用，刚体一旦绕某根轴线转动，就一定继续绕那根轴线匀速转动，转动轴线与转动速度不变，这个想法并不对，因为刚体的转动轴线是否改变取决于刚体的转动是否达到动平衡。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动为便于说明问题起见，
不妨暂且这样设想：不仅 O
是定点，在 O1点还有一个轴承，刚体绕轴 OO1 作定轴转动，如图 6.27所示。
如刚体绕 OO1 的转动不是动平衡的，换句话说,OO1
不是刚体的自由轴，则惯性离心力系的力矩有驱使 OO1 轴运动的趋势，惯性离心力系是力偶，这力偶驱使刚体绕 OA
轴转动。这样，刚体既绕 OO1
轴转动，又绕 OA 轴转动，因而其合成运动是绕 OO2轴转动。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动这之后，当然依然没有达到动平衡，惯性离心力的力偶仍然存在，仍然要驱使轴继续运动。但是要注意，
刚体已绕其轴转了一个小角度，惯性离心力的指向也随着刚体转了一个小角度，或者说，惯性离心力的力偶矩已随着刚体转了一个小角度。
按这样的方式推论下去可知，
转动轴描出锥面。
故得结论：在没有外力矩作用的情况下，具有一个定点的刚体除非是绕自由轴转动，否则不会作定轴转动，其转动轴在空间描出锥面。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动没有外加力矩的定点运动在技术上有很重要的应用。在急速爬高、俯冲、侧滚的飞机中，由于惯性力的作用，人们将发生错觉，例如人们所认为的竖直方向很可能并不是真正的竖直方向。因此在飞机上有一些人造地平之类的定向指示仪表，这些仪表的主要部分都是装在常平架上绕其对称轴高速转动的圆盘。因为圆盘达到了动平衡，不论飞机的运动如何复杂，圆盘的轴在空间中保持一定指向，不受飞机运动的影响，
驾驶员从圆盘的轴相对于飞机的角度就可以正确地知道飞机在空中的指向。由于圆盘的转速很高，仪表的指示是很稳定可靠的。保持鱼雷作定向运动的机构也是基于同一原理。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动没有外加力矩的定点运动也存在于自然界中。地球是一个扁球体，为显著起见，图
6.28作了过分的夸大。地球的自转并不绕对称轴进行，自转轴与对称轴差一个角度。因此，
应当区分两种地轴：地球的对称轴称为地理地轴，地球的自转轴称为天文地轴。根据上面的讨论可知，天文地轴描出圆锥面。天文南、北极绕地理南、
北极运动。这种现象称为极移。
实际观测结果，极移周期为 14
个月。
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6.6.2 陀螺的运动绕对称轴高速旋转的刚体称为 陀螺,或称 回转仪 。
陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，所以属刚体的定点运动。利用角动量和角速度的矢量性质，
不难解释陀螺的运动，陀螺有许多奇妙的性质，并有着广泛的应用。
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6.6.2 陀螺的运动
1,杠杆陀螺的进动
t ML
这种现象称为 进动 。
进动角速度可由角动量定理求得：
tMLL
而 t /?
因此
I
mg l
L
M
为表示出进动角速度的方向，可将上式写成矢量形式
LΩM
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6.6.2 陀螺的运动技术上利用进动的一个实例是炮弹在空中的飞行，
如图 6.30。炮弹在飞行时，
要受到空气阻力的作用。阻力 f的方向总与炮弹质心的速度方向相反，但其合力不一定通过质心。
阻力对质心的力矩就会使炮弹在空中翻转。这样，当炮弹射中目标时，就有可能是弹尾先触目标而不引爆，从而丧失威力。为了避免这种事故，就在炮筒内壁上刻出螺旋线。这种螺旋线叫 来复线 。当炮弹由于发射药的爆炸被强力推出炮筒时，
还同时绕自己的对称轴高速旋转。由于这种旋转，它在飞行中受到的空气阻力的力矩将不能使它翻转，而只是使它绕着质心前进的方向进动。这样，它的轴线将会始终只与前进的方向有不大的偏离，而弹头就总是大致指向前方了。
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6.6.2 陀螺的运动应该指出，在图 6.29的杠杆陀螺中，如果飞轮的自旋速度不是太大，则它的轴线在进动时，还会上上下下周期性地摆动。这种摆动叫 章动 。 (6.6.2)式或 (6.6.3)式并没有给出这种摆动的效果。这是因为我们在推导 (6.6.2)式时做了一个简化，即认为飞轮的总角动量就是它绕自己的对称轴自旋的角动量。实际上它的总角动量应该是自旋角动量和它的进动的角动量的矢量和。当高速旋转时，总角动量近似地等于飞轮的自旋角动量，这样就得出了 (6.6.2)与 (6.6.3)式。更详尽的分析比较复杂，我们就不讨论了。
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6.6.2 陀螺的运动
2,地球在太阳（月球）引力矩作用下的进动地球可看作一个自转着的刚体，相当一个陀螺，
它的角动量沿自转轴指向北。由于地球并非严格的球体，而呈扁平球形，赤道附近向外鼓出，图 6.30
对此作了夸张，而且，地球自转轴与黄道（太阳绕地球的视运行轨道）面法线并不一致，而夹成 的角，太阳对地球鼓出部分上各质元的引力是不同的。
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6.6.2 陀螺的运动
2,地球在太阳（月球）引力矩作用下的进动力矩在一年中的平均值由纸面向外。在此力矩作用下，地球将绕黄道面法线进动，进动角速度 的方向与太阳绕地球转动的方向相反。
计算表明，这种进动的周期约为 26000年。这一进动使春分点和秋分点（天球赤遣与黄道的两交点）每年逆着太阳运转方向移动一定角度，
这就是回归年（太阳相继两次通过春分点所经历的时间）
比恒星年略短的缘故，形成岁差 。
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或物体的大小对于研究问题并不重要，可以将实际的物体抽象为质点。
“质点”，这就根本谈不上在空间中的取向，也根本谈不上转动。问题如涉及转动，就不能不考虑到物体的大小与形状，不能再将物体抽象为质点，不能再采用质点这一模型。当然，我们可以将物体细分成很多部分，
每一部分都看成是一个质点，利用各部分之间的位置关系来描述物体的形状和转动，即我们可以利用“质点组”
这一模型。但是，一般的质点组力学问题并不能严格解决，我们只能了解其运动的总趋向及某些特征。
中国科学技术大学杨维纮第六章 刚体力学究其原因，我们引入自由度这一概念。我们把确定一个力学体系在空间的几何位形所需的独立变数的个数称为 自由度 。一个自由的质点显然有三个自由度,n 个自由的质点所组成的质点组显然有 3n 个自由度。每个质点有一个矢量的运动方程,n 个质点共有 n 个矢量的运动方程，亦即 3n 个分量的运动方程，方程的个数与自由度数符合。在原则上讲，可以从运动方程组解出质点组的运动情况。但是大数目的微分方程所组成的微分方程组是很难解出的。质点组力学问题之所以一般不能严格解出，就是因为微分方程个数大多，换句话说，质点组力学的困难正在于自由度数太大。
中国科学技术大学杨维纮第六章 刚体力学如果需要研究物体的转动，就不能忽略它的形状和大小而把它简化为质点来处理。但如果物体的形状和转动不能忽略，而形变可以忽略。我们就得到实际物体的另外一个抽象模型 ——刚体 (rigid body)，
即形状和大小完全不变的物体。刚体的这一特点使刚体力学大大不同于一般的质点组力学，刚体力学问题虽不是每个都能解决，但有不少是能够解决的。
于是我们定义,刚体是这样一种质点组，组内任意两质点间的距离保持不变 。
中国科学技术大学杨维纮第六章 刚体力学
§ 6.1 刚体运动学
§ 6.2 施于刚体的力系的简化
§ 6.3 刚体的定轴转动
§ 6.4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡
§ 6.5 刚体的平行平面运动
§ 6.6 刚体的定点运动中国科学技术大学杨维纮
6.1.1 刚体的性质
6.1.2 刚体的几种特殊运动
6.1.3 刚体的一般运动
§ 6.1 刚体运动学中国科学技术大学杨维纮
6.1.1 刚体的性质
1,自由刚体的自由度数是 6，非自由刚体的自由度数 < 6
这 6个变数当然也可理解为确定刚体上某一点（例如质心）的位置，这需要 3个变数；其次，应指出整个刚体相对于这一质点的取向，即指明通过该点的某一直线的方向（三个方向余弦，但三个方向余弦平方和等于一），
这需要两个独立变数，并且需要指明刚体相对于这一直线的方位（绕该直线所转过的角度），这要一个独立变数。仍然得到同一结论：自由刚体只有六个自由度。
简单他说，自由刚体有三个移动自由度（为指出刚体中某一质点的位置需要三个独立变数），三个转动自由度（为指出刚体相对于该质点的取向又需要三个独立变数）。但是，非自由刚体的自由度没有这么多，例如绕固定轴线转动的刚体就只有一个自由度。
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6.1.1 刚体的性质
1,自由刚体的自由度数是 6，非自由刚体的自由度数 < 6
刚体既然只有六个自由度。它的运动定律也就可以归结为六个独立方程。我们前面学过的质心运动定理确定刚体质心的运动，而动量矩定理确定刚体在空间中的取向与方位随时间变化的情况；这样，这两个定理（两个矢量方程式，即六个分量方程式）就完全确定了刚体的运动。作为对照，我们知道，在质点组动力学中，质心运动定理与角动量定理只给出质点组运动的总趋向与特征，并不足以完全确定质点组的运动情况。
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6.1.1 刚体的性质
2,刚体的质心刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，由第三章 (3.2.5)式知，刚体的质心为：
dV
dV
dm
dm
dVdmm
C
C
rr
r
这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时，
我们常用质心位矢的分量形式，为：
dm
z dm
z
dm
y dm
y
dm
x dm
x CCC,,
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6.1.1 刚体的性质
2,刚体的质心对于特殊情况，如果刚体具有对称中心，质心就在对称中心。如果刚体无对称中心，但可划分为几个部分，而每一部分都有对称中心，各部分的质心就在其对称中心，这些质心形成为分立质点的质点组，刚体的质心就归结为这一质点组的质心。
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6.1.1 刚体的性质
3,刚体的内力作功为零将动能定理应用于刚体时，应注意刚体的一个特点：
内力所作的总功为零。 现在证明如下：试考察刚体的第 j
个质点与第 k 个质点相互作用的 Fjk 与 Fkj 这一对内力。
如刚体稍微改变其位置，第 j 个质点与第 k 个质点的位移各为 drj 与 drk,则这一对内力所作功的和为：
kikiikkkiiik dddd rFrFrFrF
)( kiik dd rrF )( kiik d rrF
由于刚体内任意两质点间的距离保持不变，故有：
常量 )()( kiki rrrr
微分一次，得,0)()(2
kiki d rrrr
即,)( )( kiki d rrrr 而 )( // kiik rrF?
于是知刚体的内力作功为零。
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6.1.1 刚体的性质
3,刚体的内力作功为零于是，对于刚体，动能定理 (4.2.13)就成为：
外AtEtE kk )()( 0
若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功，而保守力作的功可以用势能的减少来表达，即：
非保外保外外 AAA )()( 0 tVtVA保外于是刚体的功能原理为：
非保外AtVtEtVtE kk )]()([)]()([ 00
若 0?
非保外A
，则可得刚体的机械能守恒定律：
EtVtEtVtE kk )]()([)]()([ 00
对于刚体，不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及内力，就连在动能定理中也无须计及内力，这是不同于一般质点组的。
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6.1.2 刚体的几种特殊运动由于受到不同的约束，刚体可以有各种运动形式，
每种运动形式对应的自由度也不相同。
1,平动,作平动时，刚体上每一点的运动情况完全相同，
刚体的运动可用一质点来代表，因而这种运动的描述与质点相同。其自由度为 3，或称有 3个平动自由度。
2,定轴转动,刚体运动时，刚体上的各质点均绕同一直线作圆周运动。这条不动的直线称为转轴，这种运动称为刚体的定轴转动。在定轴转动时，刚体上凡是与轴平行的直线上的质点运动情况相同，即有相同的位移、速度和加速度。因此，讨论时只需考虑与转轴垂直的一个截面的运动，刚体的位形由此截面的位形决定。而截面的位形只需不在轴上的一个质点的方位
（常用角位置）表示。显然，定轴转动只有一个自由度。
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6.1.2 刚体的几种特殊运动
3,平面平行运动,刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动称为刚体的平面平行运动，这时。刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动情况完全相同，因而刚体的运动可用与固定平面相平行的任一截面的运动来代表，而该截面在通过自身平面内的运动可以看成其上任一点 A（称为基点）在平面上的移动与该截面绕过该点且垂直于平面的轴线的转动的组合。确定基点的位置需要两个平动参量，在与基点相对静止的参照系上，刚体的运动成为绕过基点的固定轴的转动，即定轴转动，这需要一个转动参量。于是，刚体的平面平行运动的自由度为 3。
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6.1.2 刚体的几种特殊运动
4,定点转动,刚体运动时，始终绕一固定点转动，这种运动称为刚体的定点转动。这个定点可以在刚体上，也可以在刚体的延拓部分。可以证明，作定点转动的刚体，在任一瞬时，总可看成绕通过该定点的某一瞬时轴的转动（下一瞬时则为绕另一瞬时轴的转动）。不难看出，定点转动的自由度为 3（ 3个转动自由度）。
由以上分析可见，刚体平动的描述与质点的运动相当，只需考虑质心的运动即可，不必另加讨论。所以我们以后各节将分别讨论刚体的其它三种运动。
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6.1.3 刚体的一般运动
1,运动的描述刚体的一般运动可以看成随刚体上某一基点 A（例如质心）的平动和绕该点的定点转动的组合。在与基点相对静止的参照系上，
绕该点的转动即为定点转动。因此，作一般运动的刚体的自由度为 6。
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6.1.3 刚体的一般运动
2,角速度是矢量中国科学技术大学杨维纮
6.1.3 刚体的一般运动
2,角速度是矢量可见，角位移一般不是矢量。
在上面的例子中，角位移是有限大小的，而
（瞬时）角速度只与无限小的角位移相联系。现在我们来证明，角速度的合成服从平行四边形法则，
从而是真正的矢量。
（自习）
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6.1.3 刚体的一般运动
3,刚体角速度的绝对性一般来说，刚体的任何运动都可以分解为基点的平动及绕基点的定点转动。选择不同的基点，平动速度就不同；而转动角速度则与基点的选择无关，不管选择刚体上哪一点，角速度矢量的方向及大小都不变。刚体的这一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。
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6.1.3 刚体的一般运动
3,刚体角速度的绝对性证明,
如图表示一个刚体相对于坐标系 K 的位形,O1，
O2,P 是刚体上的任意三点。它们的位置矢量分别是 R1,R2,R 。显然，这三点的速度分别为：
dt
d 1
1
Rv? dtd 22 Rv?
dt
dRv?
若选 O1为基点
1111 rωv
rRv 1
dt
d
dt
d
若选 O2为基点
22222 rωv
rRv
dt
d
dt
d
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6.1.3 刚体的一般运动
3,刚体角速度的绝对性
1111 rωv
rRv 1
dt
d
dt
d
22222 rωv
rRv
dt
d
dt
d
aωvaRv 1112 dtddtd
又,arr
21
2211
2111
rωaωvv
rωaωvv
0)( 21 2rωω
由于点的任意性，故有：
21 ωω?
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6.2.1 作用在刚体上的力是滑移矢量
6.2.2 几种特殊力系
§ 6.2 施于刚体的力系的简化中国科学技术大学杨维纮
§ 6.2 施于刚体的力系的简化
6.2.1 作用在刚体上的力是滑移矢量力有大小、方向、作用点三个要素。就它对物体所产生的效果而言，三者都起作用。因而，在一般情况下，即使保持大小和方向不变，力亦不能平移，因为这将造成作用点的变动，效果就将不同，这就是说，
力不像速度、加速度那样是自由矢量。但由于刚体是一个刚性整体，当力沿着作用线在刚体上滑移时，对刚体的作用不变，因而称作用在刚体上的力为滑移矢量。
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6.2.2 几种特殊力系
1,共点力系所有力的作用线（或其延长线）交于一点的力系称为共点力系。显然，这样的力系可以等效为大小和方向等于诸力矢量和、作用点就是该交点的一个力，这就是合力。
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系所有的力都互相平行的力系称为平行力系。为简单起见，下面先考虑两个平行力的合力。
(1) F1,F2 同向，如图 6.5所示。
增加一对作用于同一直线上的力 f 与 -f，将 F1,
F2 变为 F1/,F2/ 后成为共点力系，然后求合力。由图示可知，合力与平行且同向，大小为 F1,F2大小之和，
但作用线发生了改变。
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系
(2) F1,F2 反向，但大小不等。
仍可用上法求合力。合力 F = F1 + F2与 F1,F2
平行，大小为 F1,F2 大小之差，方向与 F1,F2中的较大者相同，但作用线发生了改变。
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系
(3) F1,F2 反向，且 F1 =﹣ F2 。
没有合力，这一对平行力称为 力偶 。容易验证，该力偶对于垂直于该平面的任何轴线的力矩相同。（称该力矩为 力偶矩 ）
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6.2.2 几种特殊力系
2,平行力系讨论：
(1) 求多个平行力的力系的合力，先求 F1,F2 的合力，再求该合力与 F3的合力，等等。由上述可知，其结果或为一个合力，或为一个力偶矩。
(2) 可用此法求若干 n 个质点的重心，即 n 个重力的合力。
（若各点的重力加速度相同，则质心与重心重合）
(3) 选取平动参考系统研究刚体时，刚体中各质点所受的惯性力系为平行力系，各力的大小正比于质量。这好象出现了某种“附加重力场”，该力场的合力自然作用于“重心”，即作用于质心。因而惯性力系对于通过质心的任一轴线的力矩当然为零。
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6.2.2 几种特殊力系
3,共面力系所有力的作用线位于同一平面的力系称共面力系。若共面力系的诸力互相平行，则可按求平行力合力的方法求出合力；
若诸力不平行，则必有交点，可直接依次求出合力。
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6.2.2 几种特殊力系
4,异面力系所有力的作用线不在同一平面的力系称异面力系。一般异面力系可等效为一个力和一个力偶。
以两个力为例，如果两个力不互相平行，又不共面，这两个力就不能等效为一个合力。如图 6.6所示，作用于 A 点的力 F1 位于 yOz 平面，作用于 B 点的力 F2，位于 xOy 平面，
这样的两个异面力就属这种情形。
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6.2.2 几种特殊力系
4,异面力系但我们可设想在 A 点作用一对力 F3,﹣ F3，使 F3
与 F2 大小相等，方向相同，
这不会影响刚体的运动。
于是，作用在 A 点的力 F1,
F3 构成一个合力 F = F1 + F3，
而 F2,﹣ F3则构成一个力偶，
其力偶矩就是 F2 对 A点的力矩。
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6.2.2 几种特殊力系这样，当作用于刚体上某一点的力平移到另一点时，
必须同时伴随一个力偶，因此任意个力组成的力系可等效为作用于刚体上某一点 C 的单个力 F = ∑Fi和一力偶矩，其力偶矩就是各力对 C 点的力矩的矢量和。 C 点称为 简化中心 。简化中心可以任意选取，但当改变位置时，
力偶矩也随之改变。
对于方向与力 F 垂直的力偶矩，可看成一对与力 F
共面的力，而这 3个力又可重新构成一个新的合力，新力必与 F相等，但作用线不一样，这相当于简化中心移动了。
这一点可以证明如下：
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6.2.2 几种特殊力系如图 6.7，设对于简化中心 C，得到力 F 及与
F 垂直的力偶矩 M，过 C
点作一直线既垂直于 M
又垂直于 F，取 CD 的长度 r0 = M/F，可将力偶矩
M化为一对力偶 F1 与
﹣ F1，且使 F1 = F。于是对于简化中心 D，力系简化为合力 F1 = F，而力偶矩为零。
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6.2.2 几种特殊力系对于方向与力 F 构成任意角度的力偶矩，可将其分解为两个方向相互垂直的力偶矩，一个力偶矩与力 F
平行，另一个力偶矩与力 F 垂直，后者与力 F 可构成一个新的合力。
综上所述,作用在刚体上的任何力系，最终可以等效为一个作用于刚体上某一点的力和一个力偶矩方向与之平行的力偶。这样的一组力和力偶称为偶力组或力螺旋。 当力偶矩为零时，力系等效为一个合力。
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6.3.1 角动量与角速度的关系
6.3.2 定轴转动刚体的动量矩定理
6.3.3 转动定律
6.3.4 转动惯量
6.3.5 惯量张量、惯量主轴
6.3.6 定轴转动刚体的角动量守恒
6.3.7 约束反力与静、动平衡问题
§ 6.3 刚体的定轴转动中国科学技术大学杨维纮
§ 6.3 刚体的定轴转动
6.3.1 角动量与角速度的关系考察绕固定轴（取为 z 轴）转动的刚体在某瞬时对轴上某定点 O 的角动量（取 O 为原点）。将刚体看成质点组，设第 i 个质点（质元）的质量为 ⊿ mi，位矢为 ri，
速度为 vi，则该质点对原点的角动量为：
iiii m vrL
于是：
iiiiii m vrLL )]([ iiii m rωr
])([ 2 iiii
i
rm rrω
故角动量 L 与角速度 ω成线性关系，但一般说来它们不在同一方向上。
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6.3.1 角动量与角速度的关系例 6-1：如图 6.8所示，刚体由固联在一无质量刚性杆两端的质点 1
和 2 组成（质量 m1 = m2 = m），
杆长 2l，在其中 O 点处与刚性轴
zOz/ 成 α角斜向固联。此刚体以角速度 ω绕轴旋转，求角动量的大小和方向。
解,取 O 为参考点，令两质点的位矢分别为 r1 和 r2，则：
)]()([ 2211 rωrrωrL m
)(2 11 rωr m在上例中角动量 L不但与角速度 ω
的方向不同，而且它的方向随刚体旋转，并不固定。
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6.3.2 定轴转动刚体的动量矩定理在外力矩的作用下，刚体的角动量将发生变化。
由质点组的角动量定理：
dt
dLM?
当固定轴不是刚体的对称轴时,L 可分解为沿轴的分矢量
Lz，和与之垂直的分矢量 Lh 两部分,M 也可作相应的分解，
则有：
dt
d z
z
LM? dtd hh LM?
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6.3.2 定轴转动刚体的动量矩定理
hh Ldtd?L
且：
从而 Mh 的大小为：
hh LM?
由此可见，只要转轴不是刚体的对称轴，即使刚体以恒定角速度
ω绕固定轴旋转，也受力矩作用。
当 ω随时间变化时，不仅 Lh 的方向随时间变化，其大小也随时间变化。
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6.3.3 转动定律刚体作定轴转动时，转轴 z 的方向是固定的，故有：
kω ω? kjir
iiii zyx
)]( ω[ 2 kjikL iiiiii
i
zyxzrm
)]( ) ω[( 22 jik iiiiii
i
yxzyxm
令：
jiρ iii yx 222 iii yx
i
iiiii
i
iiii
i
zmmzm ρkρkL ω] ω[ 22
故 z 轴若是刚体的对称轴,(6.3.10)式的第二项为零，则刚体的角动量就与其角速度的方向相同。即：
ωL zI?
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6.3.3 转动定律
ωL zI?
当然，若 z 轴不是刚体的对称轴，该式也可能成立，
如后面图 6.18所示的刚体，
此时，我们称轴为刚体的 自由轴 。
利用 (6.3.10)式可将方向的角动量定理 (6.3.3)可写成标量形式：
dt
dLM z
zzz IL? 2
ii
i
z mI
Iz 称为刚体绕 z 轴的 转动惯量,它是一个常量。于是
zzzz IdtdIdtdLM
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6.3.3 转动定律
zzzz IdtdIdtdLM
此式是刚体作定轴转动时沿转轴（即 z 轴）方向的动力学方程，常称为 转动定律 。它就是角动量定理沿固定轴方向的分量式。它表明，对作定轴转动的刚体，外力矩沿固定轴的分量的代数和等于对该轴的转动惯量与角加速度的来积。转动定律与牛顿定律的形式 F = ma 很相似，力矩与力相当，角加速度度与加速度相当，转动惯量与质量相当。
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6.3.4 转动惯量
1,几种典型形状刚体的转动惯量具有规则几何形状的刚体绕对称轴的转动惯量不难计算，几种典型形状刚体的转动惯量如图
6.10所示，图中 m 为刚体的总质量质量。
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6.3.4 转动惯量
2,回转半径任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即：
2mkI?
式中 k 称为 回转半径 。例如，圆球的回转半径圆柱的回转半径等。质量相同的刚体，转动惯量越大，回转半径越大。
Rk 52?
Rk 21?
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6.3.4 转动惯量
3,转动惯量的平行轴定理和正交轴定理
(1) 平行轴定理如图 6.11，设刚体绕通过质心转轴的转动惯量为 IC，将轴朝任何方向平行移动一个距离 d，则绕此轴的转动惯量 ID 为：
2mdII CD
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6.3.4 转动惯量
3,转动惯量的平行轴定理和正交轴定理
(2) 正交轴定理如图 6.12，如果已知一块薄板绕位于板上两相互垂直的轴（设为 x 轴和
y 轴）的转动惯量为 Ix 和
Iy，则薄板绕 z 轴的转动惯量为：
yxz III
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6.3.6 定轴转动刚体的角动量守恒绕对称轴（或自由轴）轴转动的刚体的角动量，根据 (6.3.11)式，为：
ωL zI?
当刚体不受外力矩作用时，角动量不变，即 ω不变，
此即角动量守恒。其实,(6.3.28)式也适用于可变的物体，
只要在变化过程中不破坏对称性，又保持所有质点的相同，这样，角动量守恒的表式就成为：
当 M = 0 时,Iz ω= 常量当 Iz 增大时,ω减小； Iz 减小时 ω增大。双手握哑铃的人站在旋转的平台上，当他伸开双臂（意味着 Iz 增大）
时转速减小，当他垂下双臂（意味着 Iz 减小）时转速增大，就是这个道理。
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6.3.6 定轴转动刚体的角动量守恒一般而言，当转轴不是对称轴（这或者是由于物体无对称性，或者是虽有对称性，但转轴不是对称轴）或自由轴时，由于角动量不在转轴方向，即使刚体绕固定轴作匀角速转动，刚体的角动量亦不守恒，因为角动量时刻在变化（至少方向在时刻变化），刚体也必受外力矩作用。若外力矩在转轴
（ z 轴）上的分量为零时，则刚体角动量在该轴上的分量保持不变。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题刚体之所以作定轴转动，是由于轴承对轴的约束作用。以上，先肯定了刚体作定轴转动，对于转动轴的转动定律 (6.3-14)就足以解决刚体定轴转动问题。但是先肯定了刚体作定轴转动，这意味着承认刚体受约束而不追究刚体如何被约束，即将约束反力不加研究。
事实上，转动定律 (6.3-14)与约束反力无关，约束反力在该式中得不到反映。因而不可能求出约束反力。如果问题正好需要求出约束反力，那么虽然刚体的定轴转动只有一个自由度，仍然必须使用全套的方程式，
即除了动量矩定理之外，还要使用质心运动定理。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题我们知道，两点决定一根直线。为使刚体的轴线不动而整个刚体绕之而转，需要使轴线上至少两个点保持不动。实际上也常将转动部件的转动轴的两端各置于一个轴承中。刚体转动时对各个轴承的作用力完全可能非常巨大，甚至足以损伤轴承。高速转动部件如设计或制造不当，就可能发生这一情况。应当避免该情况的发生。
按通用的说法，应使高速转动部件达到静平衡和动平衡。
以刚体本身为参考系统，借助于惯性离心力的概念，容易理解所谓静、动平衡问题。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题
1,静平衡如图 6.16，刚体的质心不在转动轴上，这样的刚体必须质心恰在转动轴的正下方才可能静止。
按通常的说法，这样的刚体连静平衡也没有达到。
没有达到静平衡的刚体在转动时，惯住离心力系的矢量和 S 不为零。在轴承上，除了由于刚体的重量而引起的静压力之外，还有由于 S 引起的附加压力，这附加压力是一种动效应，在刚体高速转动时，这种附加压力会非常大，大大加速了轴承的磨损。而刚体的重量所引起的压力是一种静效应，很容易利用杠杆原理求出，在以下的讨论中，将不计入这部分静效应。
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6.3.7 约束反力与静、动平衡问题
2,动平衡如图 6.17，刚体的质心在转动轴上，刚体能够静止于任意方位。
按通常的说法，这样的刚体已经达到了静平衡。这里，惯性离心力系的矢量和 S虽为零，力矩却不为零。
惯性离心力系的力矩有驱使刚体按虚线箭头转动的趋势。这个转动趋势是不能实现的，因为轴的这种转动趋势被轴承所抵制。于是，轴与轴承相互施以压力。惯性离心力系的力矩有驱使刚体按虚线箭头转动的趋势。
这个转动趋势是不能实现的，因为轴的这种转动趋势被轴承所抵制。于是，轴与轴承相互施以压力。
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6.4.1 刚体运动的基本方程
6.4.2 刚体的平衡
§ 6.4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡中国科学技术大学杨维纮
§ 6.4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡
6.4.1 刚体运动的基本方程刚体是一种特殊的质点组，因而关于质点组运动的定理也完全适用于刚体。我们已学过的两个定理是质心运动定理和角动量定理：
i
i
C
C dt
dm Fr
2
2
iM
L
idt
d
我们知道，刚体的自由度最多为 6，这里已有 6个独立的分量方程，处理刚体问题已经够了。
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6.4.1 刚体运动的基本方程几点说明：
1,外力矩是指对于空间中任一固定点（惯性系）的力矩，即 (6.4.2)式对空间任意点都正确，当然，相应的角动量也是关于空间中的相同点。若考虑的是非惯性系，则必须计入惯性力和惯性力的力矩，我们也知道，对于质心系，惯性力的力矩为零。
2,若总外力和总外力矩都为零，即 ∑Fi = 0,∑Mi = 0,
这样的力系称为 零力系,此时刚体的动量、角动量都守恒，则刚体的运动为：质心做匀速直线运动，
并绕通过质心的自由轴做匀速转动。若转动轴为非自由轴，刚体如何运动我们将在 6.6节讨论。
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6.4.2 刚体的平衡刚体静力学研究刚体在平衡（即相对于某个惯性参考系静止或作匀速直线运动）情况下的受力分布。刚体静力学在工程、建筑等部门中有广泛的应用，是材料力学、结构力学等学科的基础。
处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和角动量均不随时间改变（通常等于零）。因此，根据动量定理和角动量定理，刚体平衡的充分必要条件为：
0,0 i
iii
MF
该式表明外力的矢量和为零，且外力对空间某一定点
（例如 A 点）的力矩的矢量和为零。其实，当这两个条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢量和也为零。其证明比较简单，留给读者自己证明。
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6.5.1 运动方程
6.5.2 纯滚动的运动学判据
6.5.3 瞬时转动中心
6.5.4 功能原理
6.5.5 解题注意事项
§ 6.5 刚体的平行平面运动中国科学技术大学杨维纮
6.5.1 运动方程刚体的平面平行运动，通常是在约束情况下实现的。
由于约束力的存在，刚体的受力情况比较复杂，但从力系的简化观点看来，任何复杂的力系，总可以简化为一个作用在刚体上某一点（例如质心）的力 F（即外力的矢量和），和一个相对该点的力矩 M（ 即外力对质心的力矩的矢量和）。其中 F 决定质心的运动,M 则决定刚体绕质心的转动。对于作平面平行运动的刚体，由于质心在一确定的平面内运动，力 F 必在此平面内；当过质心而垂直于该确定平面的轴为刚体对称轴（或惯量主轴）
时，刚体在运动过程中，角动量始终与该轴平行，故不可能存在与 F 同方向的力偶矩，只存在与 F 垂直的力偶矩。因而，在这种情况下，外力（包括约束反力）必可以简化为一个位于质心运动平面上的合力。于是，我们可以选择质心为基点，进行如下讨论。
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6.5.1 运动方程
1,求质心的运动，利用质心运动定理
Fr?2
2
dt
dm C
C
即可求得质心的运动，这里 F 表示所有外力的矢量和，
mC是刚体的总质量。由于质心的运动（设为 x-y 平面）
是二维的，故方程 (6.5.1)只有两个分量方程。
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6.5.1 运动方程
2,在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于空间固定平面（ x-y 平面）的 z 轴的转动。根据质心系中角动量定理的分量形式，取过质心的转轴为 z 轴，
有
CC IM?
这里,MC 是外力对质心的力矩在 z 轴方向分量的代数和,β是绕轴转动的角加速度。在过质心的转轴是对称轴（或惯量主轴）的情况下，这也就是合力对质心的力矩。
上式可看成质心系中的定轴转动定律，尽管质心系为非惯性系，但惯性力对质心并无力矩。
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6.5.2 纯滚动的运动学判据接触面之间有相对滑动的滚动称为 有滑动滚动,接触面之间无相对滑动的滚动称为 无滑动滚动,或称 纯滚动 。
对于纯滚动，除满足 (6.5.1),(6.5.2)两方程外，还应满足约束条件
RaRv CC,
上式为纯滚动的运动学判据，其中 vC,aC 是圆心（通常即质心）的速度和切向加速度的大小,ω和 β为滚动物体的角速度和角加速度（即物体在质心参照系中的角速度和角加速度）,R 是滚动物体的圆半径。上式不论对于平面上的滚动或曲面上豹滚动都成立。
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6.5.3 瞬时转动中心在任何瞬时，作平行平面运动的刚体（或它的延伸体）
上总有一点 O/，其速度 vO = 0，
此时，整个刚体可视为绕此点转动（实际上是绕过此点垂直于运动平面的转轴转动）。例如在平面上作纯滚动的圆柱体或球与平面的接触点就是它的瞬心。如图 6.20所示。
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6.5.3 瞬时转动中心实际上，在任一瞬时，
截面上任一点的速度方向均与该点相对瞬心的位置矢量垂直，利用这一性质，已知截面上任两点的速度方向也可求得瞬心的位置，只要过这两点引两条与速度方向垂直的直线，两直线的交点即为瞬心的位置，如图 6.21所示。
对于作平面平行运动的刚体，在相对瞬时转轴应用转动定律时，由于瞬心的加速度并不为零，也必须考虑惯性力的力矩。但在一般情况下，惯性力对瞬时转轴的力矩并不为零，这一点与取质心为基点的情况不同。
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6.5.3 瞬时转动中心
1,代表瞬时转轴位置的瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体保持刚性连结的空间点上，就像质心可以在刚体外一样，
但质心是刚体内（或刚体外）的一个确定点，它相对刚体各质元的相对位置保持不变；而不同时刻的瞬心是刚体内（或刚体外）的不同的点，它相对刚体各质元有不同的位置。
2,作为原点的瞬心在考察的瞬时附近的 ⊿ t 时间内视为固连在刚体上，因而瞬心的速度和加速度是指与刚体固连的该点的速度和加速度，而不是指瞬心在空间位置的变动速度和加速度。在这样的瞬时平动参考系中，在所考察瞬时附近的时间内，刚体的平面平行运动变为绕固定轴的转动，只要引进惯性力矩（因为该平动参考系不是惯性系），转动定律照样适用，当该固连在刚体上的瞬心相对惯性系的加速度（这也就是瞬时平动参考系的加速度）平行于瞬心与刚体质心的连线时，惯性力对瞬心的力矩为零。均质或质量呈轴对称分布的圆形刚体作纯滚动时，
就是这种情况。
几点说明中国科学技术大学杨维纮
6.5.4 功能原理按照第四章 4.5.1节中讲的柯尼希定理，质点组的总动能 Ek 等于相对于质心系的动能 EkC，加上刚体整体随质心平动的动能 mC vC2/2。
对于刚体的平行平面运动，有
2222
2
1
2
1
2
1
Cii
i
Cii
i
kC ImvmE
故刚体的动能为：
22
2
1
2
1?
CCCk IvmE
(6.5.7)式右端第一项称为刚体的 平动能,第二项称为刚体的 转动能 。
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6.5.4 功能原理由质心运动定理：
Fr?22dtdm CC
得：
rFrr
0
dtvmtvm CCCC 022 )(21)(21
由绕质心转动的角动量定理,?
CC IM?
得：
dMtItI CCC 0 022 )(21)(21
其中：
dt
d
即外力所作的功：
dMdA C
0
rFrr
0外故刚体的功能原理为：
dMdAtEtE Ckk 0
0
)()( rFrr
0外中国科学技术大学杨维纮
6.5.4 功能原理
dMdAtEtE Ckk 0
0
)()( rFrr
0外即刚体动能的改变等于外力对于质心所作的功加上关于质心的外力矩作的功。
故刚体的功能原理为：
注意：若不取质心作基点，就不能如此分解，可见质心作基点的重要性。
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6.5.5 解题注意事项
1,纯滚动过程中静摩擦力作功为零我们知道，对于质点的运动，
静摩擦力作功为零。下面我们证明，对于刚体的纯滚动，静摩擦力作功也为零。如图 6.23，静摩擦力作功可以用 (6.5.10)式写成两项，为
MxfMddA rf
利用纯滚动的运动学判据 (6.5-3)式可得
0rx
又
0frM?
000 frfrA
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6.5.5 解题注意事项
2,滚动摩擦力矩滚动摩擦的本原，
在力学中不能进行深入的讨论。简单他说，
物体滚动时，物体与地面都将变形，因而地面施于物体的力 R
并非竖直向上。 R 的竖直分力即地面支持力 N，水平分量即摩擦力 f。
滚动摩擦一般远远小于滑动摩擦，使用轮轴、使用滚珠轴承都是为了以滚动摩擦代替滑动摩擦。
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6.5.5 解题注意事项
3,滚动摩擦和滑动摩擦由于滚动摩擦力矩的存在，它不改变质心的运动速度，却降低物体滚动角速度，于是原来的纯滚动将会出现相对滑动的趋势。这时会出现静摩擦力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，滑动将发生，这时又会以滑动摩擦取代静摩擦。
在处理理想刚体（即无形变，可以不考虑滚动摩擦）
的纯滚动问题时，滚动物与其他物体的接触点处相对速度为零，在此点若有摩擦力存在，是为静摩擦力。判断该静摩擦力的方向需要十分小心。这里有一个一般可用的原则：设想此物体与接触点脱离，使摩擦不复存在，
此时触点切向加速度的反方向，即为静摩擦力的方向。
即：摩擦力与物体在接触点的运动趋势方向相反。
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§ 6.6 刚体的定点运动刚体的比较复杂的运动是定点运动。
刚体的定点运动有些性质初看起来是很“奇怪”
的。本节将限于进行定性的讨论，揭示这些“奇怪”性质的物理实质，而不研究刚体定点运动的严格理论。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动
6.6.2 陀螺的运动
§ 6.6 刚体的定点运动中国科学技术大学杨维纮
6.6.1 没有外加力矩的定点运动将刚体装在所谓“常平架”
上，如图 6.26。常平架对刚体转轴作何取向并不施加任何限制，所以在轴承上只有由于刚体的重量而引起的静压力。由于对称性，这种静压力对于质心的力矩为零。因此，
刚体在常平架上的运动是一种没有外加力矩的定点运动，定点指的是质心。
也许有人会这样想：既然没有外加力矩作用，刚体一旦绕某根轴线转动，就一定继续绕那根轴线匀速转动，转动轴线与转动速度不变，这个想法并不对，因为刚体的转动轴线是否改变取决于刚体的转动是否达到动平衡。
中国科学技术大学杨维纮
6.6.1 没有外加力矩的定点运动为便于说明问题起见，
不妨暂且这样设想：不仅 O
是定点，在 O1点还有一个轴承，刚体绕轴 OO1 作定轴转动，如图 6.27所示。
如刚体绕 OO1 的转动不是动平衡的，换句话说,OO1
不是刚体的自由轴，则惯性离心力系的力矩有驱使 OO1 轴运动的趋势，惯性离心力系是力偶，这力偶驱使刚体绕 OA
轴转动。这样，刚体既绕 OO1
轴转动，又绕 OA 轴转动，因而其合成运动是绕 OO2轴转动。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动这之后，当然依然没有达到动平衡，惯性离心力的力偶仍然存在，仍然要驱使轴继续运动。但是要注意，
刚体已绕其轴转了一个小角度，惯性离心力的指向也随着刚体转了一个小角度，或者说，惯性离心力的力偶矩已随着刚体转了一个小角度。
按这样的方式推论下去可知，
转动轴描出锥面。
故得结论：在没有外力矩作用的情况下，具有一个定点的刚体除非是绕自由轴转动，否则不会作定轴转动，其转动轴在空间描出锥面。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动没有外加力矩的定点运动在技术上有很重要的应用。在急速爬高、俯冲、侧滚的飞机中，由于惯性力的作用，人们将发生错觉，例如人们所认为的竖直方向很可能并不是真正的竖直方向。因此在飞机上有一些人造地平之类的定向指示仪表，这些仪表的主要部分都是装在常平架上绕其对称轴高速转动的圆盘。因为圆盘达到了动平衡，不论飞机的运动如何复杂，圆盘的轴在空间中保持一定指向，不受飞机运动的影响，
驾驶员从圆盘的轴相对于飞机的角度就可以正确地知道飞机在空中的指向。由于圆盘的转速很高，仪表的指示是很稳定可靠的。保持鱼雷作定向运动的机构也是基于同一原理。
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6.6.1 没有外加力矩的定点运动没有外加力矩的定点运动也存在于自然界中。地球是一个扁球体，为显著起见，图
6.28作了过分的夸大。地球的自转并不绕对称轴进行，自转轴与对称轴差一个角度。因此，
应当区分两种地轴：地球的对称轴称为地理地轴，地球的自转轴称为天文地轴。根据上面的讨论可知，天文地轴描出圆锥面。天文南、北极绕地理南、
北极运动。这种现象称为极移。
实际观测结果，极移周期为 14
个月。
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6.6.2 陀螺的运动绕对称轴高速旋转的刚体称为 陀螺,或称 回转仪 。
陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，所以属刚体的定点运动。利用角动量和角速度的矢量性质，
不难解释陀螺的运动，陀螺有许多奇妙的性质，并有着广泛的应用。
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6.6.2 陀螺的运动
1,杠杆陀螺的进动
t ML
这种现象称为 进动 。
进动角速度可由角动量定理求得：
tMLL
而 t /?
因此
I
mg l
L
M
为表示出进动角速度的方向，可将上式写成矢量形式
LΩM
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6.6.2 陀螺的运动技术上利用进动的一个实例是炮弹在空中的飞行，
如图 6.30。炮弹在飞行时，
要受到空气阻力的作用。阻力 f的方向总与炮弹质心的速度方向相反，但其合力不一定通过质心。
阻力对质心的力矩就会使炮弹在空中翻转。这样，当炮弹射中目标时，就有可能是弹尾先触目标而不引爆，从而丧失威力。为了避免这种事故，就在炮筒内壁上刻出螺旋线。这种螺旋线叫 来复线 。当炮弹由于发射药的爆炸被强力推出炮筒时，
还同时绕自己的对称轴高速旋转。由于这种旋转，它在飞行中受到的空气阻力的力矩将不能使它翻转，而只是使它绕着质心前进的方向进动。这样，它的轴线将会始终只与前进的方向有不大的偏离，而弹头就总是大致指向前方了。
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6.6.2 陀螺的运动应该指出，在图 6.29的杠杆陀螺中，如果飞轮的自旋速度不是太大，则它的轴线在进动时，还会上上下下周期性地摆动。这种摆动叫 章动 。 (6.6.2)式或 (6.6.3)式并没有给出这种摆动的效果。这是因为我们在推导 (6.6.2)式时做了一个简化，即认为飞轮的总角动量就是它绕自己的对称轴自旋的角动量。实际上它的总角动量应该是自旋角动量和它的进动的角动量的矢量和。当高速旋转时，总角动量近似地等于飞轮的自旋角动量，这样就得出了 (6.6.2)与 (6.6.3)式。更详尽的分析比较复杂，我们就不讨论了。
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6.6.2 陀螺的运动
2,地球在太阳（月球）引力矩作用下的进动地球可看作一个自转着的刚体，相当一个陀螺，
它的角动量沿自转轴指向北。由于地球并非严格的球体，而呈扁平球形，赤道附近向外鼓出，图 6.30
对此作了夸张，而且，地球自转轴与黄道（太阳绕地球的视运行轨道）面法线并不一致，而夹成 的角，太阳对地球鼓出部分上各质元的引力是不同的。
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6.6.2 陀螺的运动
2,地球在太阳（月球）引力矩作用下的进动力矩在一年中的平均值由纸面向外。在此力矩作用下，地球将绕黄道面法线进动，进动角速度 的方向与太阳绕地球转动的方向相反。
计算表明，这种进动的周期约为 26000年。这一进动使春分点和秋分点（天球赤遣与黄道的两交点）每年逆着太阳运转方向移动一定角度，
这就是回归年（太阳相继两次通过春分点所经历的时间）
比恒星年略短的缘故，形成岁差 。
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