杨维纮第四章 机械能守恒在笛卡儿提出动量守恒原理后 42年，德国数学家、哲学家莱布尼兹（ Leibniz,1646~1716）提出了“活力”概念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他认为应该用 mv2 表示这个量，而不是 mv。
莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归结为机械能守恒。
下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定义。
中国科学技术大学杨维纮第四章 机械能守恒
§ 4.1 能量守恒
§ 4.2 动能定理
§ 4.3 势能
§ 4.4 机械能守恒定律
§ 4.5 质心系
§ 4.6 碰撞
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律中国科学技术大学杨维纮
4.1.1 永动机不可能
4.2.2 重力势能
4.3.3 动能
4.4.4 弹性势能和其它能量形式
§ 4.1 能量守恒中国科学技术大学杨维纮
4.1.1 永动机不可能实际上，永动机这个名词不太恰当。如飞轮之类，
运动一经开始，若无摩擦作用，则可永久继续运动，这在实际上虽然不易实现，但于理说得通，可以看作一种实际的极限情形，此时没有动力输出，若说什么也不消耗，可以永久输出动力，此则非但不可实现，而且于理也说不通。 所谓永动机，指的是人们幻想的一种机械装置，它一经启动，就自行运转下去，不断作出有用的功。
企图制造永动机的最早记载，大约出现在 13世纪。此后各种永动机的设计层出不穷，一直延续到 19世纪工业革命后，势头才有所减弱。即使到今天，还不时有人提出一些实质上是永动机的装置，只不过它们伪装得更好，
更不易被识破罢了。
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4.1.1 永动机不可能千万次的失败并没有使所有的人认输，总有一些人陷在永动机梦想的泥潭里不能自拔，并死死纠缠着要别人接受他们的设计方案。在这种情况下巴黎科学院在 1775年不得不通过决议，正式宣告拒绝受理永动机方案。这说明在当时科学界，已经从长期所积累的经验中，认识到制造永动机的企图是没有成功的希望的。人们的原始概念，乃是,人力有限”,如果我们能够没有任何消耗而得到永久工作，那将是人力无限了！这种事情未免太好，好得令人难以置信。直到现在，美英等许多国家的专利局都订有限制接受永动机方案的条款。
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4.1.1 永动机不可能现在人们常用能量守恒定律来否定永动机，而 19世纪能量守恒定律的三个创始人之一 ——亥姆霍兹（ 1821~1894）当年却是用不可能有永动机来论证能量守恒定律的。他在
,论自然力的相互作用,一文中写道：,……
鉴于前人试验的失败，人们 … 不再询问：我如何能够利用各种自然力之间已知和未知的关系来创造一种永恒的运动，而是问道：如果永恒的运动（指永动机）是不可能的，在各种自然力之间应该存在什么样的关系？”
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4.1.1 永动机不可能人们造出机器，是为了让它作功。“功”的概念在一般人的感觉中是现实的，具体的，它起源于早期工业革命中工程师们的需要，
当时他们需要一个用来比较蒸汽机的效率的办法。在实践中大家逐渐同意用机器举起的物体的重量与行程之积来量度机器的输出，并称之为功。
在 19世纪初期用机械功测量活力已引入动力技术著作中。
1820年后，力学论文开始强调功的概念。
1829年，法国工程师彭塞利（ Poneclet,1788~1867）在一本力学著作中引进“功”这一名词。
之后，科里奥利在,论刚体力学及机器作用的计算,一文中，
明确地把作用力和受力点沿力的方向的可能位移的乘积叫做“运动的功”。功与以后建立的能量概念具有相同的量度，功作为能量变化的量度为研究能量转化过程奠定了一个定量分析的基础。
时至今日，物理学中并没有告诉我们能量究竟是什么，也没有说出各种表达式的机理。
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4.1.2 重力势能在下面的推理中，我们的前提是永动机不可能。它的依据是从千千万万人的实践中总结出来的经验事实。
人们曾设想过各式各样的永动机，这里我们只讨论举重机械。如果有这样一架举重机械，当人们运用它完成一系列操作之后，装置回到了初始状态，在此过程中产生的净效果，是把一定的重量提升了一定的高度，则我们说，这就是一架永动机。有了这样一架举重的机械，
完成其它操作的永动机就都变为可能的了。因而我们只需假设，这种举重式的永动机是不可能的。
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4.1.2 重力势能作为最简单的举重装置之一，我们追随斯泰芬，也研究斜面装置。
不过为了简化讨论，我们把装置改为如图 4.1 所示的形式。设小球重量为 mg，大球重量为 Mg，在摩擦力趋于零的情况下，静力学平衡时，我们有 Mg sinθ= mg,如果小球拖得动大球的话，则以小球降低高度 h 为代价，把大球提升高度 h/ = h sinθ,于是：
m g hM g hhMgs i n
上面得到的式子是由斜面这个具体装置推导出来的，
我们的问题是,无论用什么举重机械，以重物下降一个高度为代价，至多能够把多少重量上举一个高度？ 要普遍地回答这个问题，用本课前面已有的力学知识就不行了。下面我们从热学中卡诺（ Sadi Carnot,1796~1832）那里借来一种绝妙的推理方法。
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4.1.2 重力势能我们把各种机械装置分成可逆的和不可逆的两种。
所谓可逆装置，就是它既能够以重物 m 的高度降低 h 为代价，
把重物 M 提升一个高度 h/，又能够以重物 M 的高度降低 h/ 为代价，
把重物 m 提升一个高度 h。
我们说，理想的无摩擦装置是可逆的。显然，“可逆”和“不可逆”的概念可以推广到任何装置。
结论是：在给定的情况下，
2,所有可逆装置的 M 都相等。
1,所有不可逆装置的 M 都不大于可逆装置；
下面用归谬法来论证这两个结论。
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4.1.2 重力势能如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量 M/g > 可逆装置举起的重量 Mg，我们就能够从 M/ 中分出一部分 M 来，以它降低高度 h/ 为代价，反向操作那个可逆装置，把不可逆装置中降下来的重物
mg 恢复到原来的高度 h。这样一来，在其它所有状态都复原的情况之下，产生的净效果是把一个重量为 (M/－ M)g 的重物提升了一个高度
h/。这就导致永动机成为可能的荒谬结论。所以，上面的前提不能成立，实际情况应该是，此即上述的结论 1。
如果有两个可逆装置 A 和 B，在重物 m 的高度降低 h 的同样条件下，能够把重量分别为 MA 和 MB 的物体提升一个高度 h/，则利用上述推理不难得知：由于装置 B可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MA ≤ MB ；由于装置 A也可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MB ≤ MA 。最后只能是 MA = MB,此即上述的结论 2。
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4.1.2 重力势能无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置，既然所有的可逆装置提升的重量都一样，故 (4.1.1)式适用于一切可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律：在装置可逆的条件下，重量和高度的乘积这个量是守恒的，它代表一种潜在的作功本领，我们称它为物体的 重力势能,记为，即：
m g hE p?
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4.1.3 动能我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能，如图 4.2所示。
假定摆锤从某一高度自由下摆，便可来回摆动。当摆锤摆到最低点时，势能将减少，这部分减少了的势能跑到哪里去了？观察摆锤运动，可以看到它会再次爬上来，可见失去的重力势能必定转变为另一种形式的能量，显然它是靠自己的运动才重新爬上来的，这是一种由于摆锤的运动所具有的能量。
依能量守恒原理摆锤能够上升的高度与上升机制无关，即与上升路径无关。但动能一定等于初始自由下摆时的重力势能。为写出动能的形式，
假如以最低点处同一速度竖直向上抛出这个物体，达同样高度，依运动学公式有关系式。所以这个动能 Ek 可写为：
2
2
1 mvE
k?
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4.1.3 动能当然，物体因运动具有能量与物体是否处于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。
顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的表达式 mgh 和动能表达式 mv2/2 都是近似公式。
前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正，
因为假定了质量 m 是绝对量。然而，当考虑了这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律仍然正确。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
)( 0xxkmgdtdvm
dxxxkm g d xm v d v )( 0
dxxxkxdmgdvvm hxxhxx )( 0 0 0 0
0
0
0
对从 x = x0 到 x = x0+h
积分，在此过程的两头速度 v 都等于零，有：
即：
2
2
1 khm g h?
2
0 )(2
1 xxkE
p
我们得到弹性势能：
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式如果此装置是一个理想的可逆装置，弹簧一端的物体将不断来回振动。实际情况是，振动将会逐渐减弱，直至趋于静止。当弹簧不再振动时，能量又到哪里去了呢？因为能量是守恒的。由此，可以发现另一种形式的能量：热能。
众所周知，在弹簧或一般机械装置中有着大量原子组成的晶体。当弹簧运动或机器运转时，由于材料本身的缺陷，
产生撞击和跳动，材料中的原子加剧无规则摆动，与此同时，
发现机械运动减慢了，直至趋于静止，但动能依然存在，只是它与看得见的机械运动没有联系。我们如何知道动能仍然存在呢？这可以通过弹簧或机器变热加以判定。材料温度的提高是材料内部原子无规则振动动能增加的证明。我们称这种形式的能量为热能，它是材料内部原子无规则运动的动能。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式以上分析可知：
1,能量守恒定律极其有用，上面分析的几个简单例子中已经说明了这一点。
2,如果我们找到了各种能量的表达式，那么可以不必分析物理过程的细节就可以知道应当发生的某些结论。
3,因此不仅是能量守恒定律，其它守恒定律也一样让我们产生浓厚的兴趣，在下一章我们还要讲述角动量守恒定律，这就是从大到小的研究顺序的独到之处。
4,目前我们并没有深刻理解守恒定律，本章末将说明，
能量守恒定律与时间平移对称性有关，动量守恒定律与空间的平移对称性有关。由此可见，把握了大的总体的方面，我们会对物理有深刻的理解。
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4.2.1 质点动能定理
4.2.2 功和功率
4.2.3 质点系动能定理
§ 4.2 动能定理中国科学技术大学杨维纮
4.2.1 质点动能定理我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时间动能的改变。
对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有：
dt
dsFFv
dt
dvmvmv
dt
d
dt
dE k
2
2
1
FvdtdE k? F d sdE k?即：
这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得：
ttkk F d smvmvEE 02020 2121
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4.2.1 质点动能定理对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有：
dt
d
dt
dmmv
dt
d
dt
dE k rFvFvv
2
2
1
即：
vFdtdE k rF ddE k
由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把
F﹡ v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有：
vFP
因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡ dr 称作力对物体作的元功。对 (4.2-6)式积分得：
tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21?rF
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4.2.1 质点动能定理
tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21?rF
此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为质点动能定理,即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内的一种表述。上面所讨论的是 单质点动能定理,其对象是单质点系统，如果与外界无相互作用，即既不输入能量，又不输出能量，系统（质点）必保持能量不变，即动能不变。如果与外界有相互作用，
外界将以力对系统作功，输入（或输出）能量，其结果必然使质点系统能量改变，即动能改变，动能的时间变化率等于外力传递给物体的功率，或者动能的增量等于外力作的功。
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4.2.1 质点动能定理由质点动能定理及其推导可知：
1,做功是通过力来实现的；
2,做功的多少与路径有关；
3,质点动能定理成立的参考系为惯性系。
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4.2.2 功和功率物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分，
若以 A 表示功，有：
ttt dsFdA t 00 c o s?rF
其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功，
与位移成直角的力不作功。
物理学上功的含义与一般情况下的工作含义是不同的，按照物理学上功的定义，如果一个人把 40千克的重物提在手中一段时间，他并没有做功，然而，他会感到很累。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不一样。那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力所作的功，恰好等于该质点动能的变化。
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4.2.2 功和功率有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，
即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率：
vF dtdAP
简单机械可以省力，但功率是不能放大的。
在国际单位制中，力的单位是牛顿（ N），功的单位则为牛顿 ·米（ N·m），通常把 1牛顿 ·米称作 1焦耳（ J），
由上面给出的势能、动能、功的定义不难验证，它们具有相同的量纲。功率的单位是焦耳 /秒，也称瓦（ W）。
如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家用电量时，常采用千瓦 ·小时来计量用电量的多少,1千瓦 ·小时等于 1千瓦乘 3600秒，即 3.6× 106 焦耳。
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4.2.3 质点系动能定理
nnnnn
n
n
n
m
m
m
m
Ffffr
fFffr
ffFfr
fffFr
321
3332313
2232212
1131211
dtdtdt
dtdtdtdtm
iin
t
tiii
t
tiii
t
t
ii
t
t
t
t ii
t
tii
t
tiii
vfvfvf
vfvfvFvv
)1(
)1(
2
1
000
00 00
iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE )1()1(210 )()(
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4.2.3 质点系动能定理
iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE )1()1(210 )()(
其中：
dtA iitti vF
0
dtA iijttij vf
0
分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j 个质点对第 i 个质点的内力所作的功。将上式对所有的求和，
得：
内外 AAtEtE kk )()( 0
其中 Ek,A外,A内 分别为质点系的总动能、外力和内力对质点系作的总功,
n
i
kik EE
1
n
i
iAA
1
外 ij
n
ij
j
n
i
AA
11
内中国科学技术大学杨维纮
4.2.3 质点系动能定理内外 AAtEtE kk )()( 0
该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下：
作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之功的总和等于质点系动能的增量。
需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但内力作的总功一般不等于零。
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4.2.3 质点系动能定理质点系动能定理与质点系动量定理的比较：
1,质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标量式。
2,质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。
3,内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体系的总动能。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
4.3.2 保守力与非保守力、势能
4.3.3 势能曲线
§ 4.3 势 能中国科学技术大学杨维纮
§ 4.3 势 能
4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物体（质点） P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP
的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为：
rF?2rMmG
其中 表示沿 方向的单位向量。r? OP
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？
或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功，
使物体的动能有所增加？
我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功下面用数学方法给出验证。如图 4.4所示，
设想把质点沿任意路径
L 从 P 点搬运到 Q 点，
有心力所作的功为：
dsrFA
L
Q
PPQ
co s)(
)(
drMKKMds KN c o s c o s
由于：
上式化为：
drrFA Q
P
r
rPQ
)(
此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维问题。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功有心力的重要性质：
有心力作功只与始终点的位置有关，与路径无关。
或,有心力沿闭合路径作功为零 。
0 rF d
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4.3.2 保守力与非保守力、势能由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中，
力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与该质点所经的具体路径无关。
我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受的力称为保守力。
显然，保守力场中力的环路积分必为零。
凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，
或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为 非保守力 。
沿闭合路径一周作功小于零的力称为 耗散力 。滑动摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给出保守力的一些充分条件。
1,对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。
例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = － k(x－ x0) 是 x
的单值函数，故它是保守力。
2,对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，
如重力 f = mg 是保守力。
3,有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能定理,对于保守力场，可以定义一个标量函数 V(r)，称为 势能 （或 势函数、位能 ），使保守力作的功为：
A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中
A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运动到 rB 点保守力所作的功。
证,这样选择一个标量函数：如图
4.5，先任取一点 rC,令：
对空间任意点，定义：
0)( VV C?r
)()( 0 rrr CAVV
由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确定并且唯一。
下面证明 V(r) 就是势能。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
)()( 0 rrr CAVV
对于空间中任意两点 rA 和 rB,
按照我们对的 V(r) 定义，有：
)()( 0 ACA AVV rrr
)()( 0 BCB AVV rrr
将上面两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得：
)()( CABC AA rrrr
)()()()( ACBCBA AAVV rrrrrr
)( BA rr
由于,)()()(
BABA VVA rrrr
故 V(r) 就是势能。 [证毕 ]
反之，存在势能的力一定是保守力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能注,由证明可见，势能具有一个任意常数
0)( VV C?r
势能 V(r) 与保守力 F 的关系：
z
V
y
V
x
V
V
VdV
kjirF
rFr
r
r
)(
)( 0
0
一般我们规定 ∞ 点的势能为零。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能例 4-2：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于
r 点质量为 m 的质点的万有引力为：
rF?2rMmG
若规定无穷远点 ∞ 的引力势能为零，则空间 r 点质量为 m 的质点的势能为：
rFr drV )( dr
r
MmG
r 2
r
GmM
222 zyx
GmM
当然，利用 (4.3.6)的第二式可反推得：
)( rVF
2/3222 )( zyx zyxGmM kji rr
mMG r
2 r?2r
mMG
中国科学技术大学杨维纮几点注意：
1,引力势能实际上属于 m,M 两者组成的体系，地球与月球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。物体在地球表面的重力势能原则上是物体与地球整个系统所共有，鉴于在重力势能转化为动能时（物体下落重力作功），物体所获得的动能几乎等于下落前后的引力势能差，在这种情况下人们也常说物体具有重力势能，
这里已经把地球质量看成无穷大了。
2,自然界中的大部分能量，以引力势能形式存在。
3,保守力作功使其势能减少。
)]()([)()()( 00 0
0
rrrrrFrr rr VVVVdA
中国科学技术大学杨维纮几点注意：
4,如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，
则称该质点系为 保守体系 。对于保守体系，我们可以这样定义势能，规定所有的质点都在无穷远处时体系的势能为零，即让 V(∞) = 0,然后将 n 个质点一个一个从无穷远点沿任意路径移至它们所在的点，
算出保守力所作的总功 A，利用 (4.3.8)式可知该保守体系的势能为：
AV n),,,( 21 rrr?
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4.3.3 势能曲线一旦知道了势能的表达式，利用 (4.3.5)式即可求得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往比确定力更方便，故用势能函数来了解力的性质是有实际意义的。
表示势能与两质点相对关系的图形叫势能图。若势能为一维函数，这时，势能图成为势能曲线。
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4.3.3 势能曲线上面引出势能曲线进行讨论的原因还在于力的概念对量子力学的微观理论来说不太合适，而能量是对系统的恰当描述。当考察原子核中各核子之间、分子中各原子之间的相互作用时，力和速度等概念不用了，而能量概念继续存在，因此在有关量子理论的书中我们可以看到势能曲线，而很少看到微观粒子间的作用力曲线，因为那里人们采用能量，而不是采用力来分析问题。
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4.3.3 势能曲线
1,几种势能曲线中国科学技术大学杨维纮
4.3.3 势能曲线
2,势能曲线的用途
(1) 由势能曲线求保守力
x
VxF
)(
(2) 求平衡位置及判断平衡的稳定性（该问题我们将在第七章中再详细讨论）。
(3) 决定质点的运动范围（该问题我们将在第五章中再详细讨论 ) 。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
4.4.2 保守系与时间反演不变性
4.4.3 两体问题
§ 4.4 机械能守恒定律中国科学技术大学杨维纮
4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律由质点系的动能定理 (4.2.13)式：
内外 AAtEtE kk )()( 0
在一般情况下，可以将内力所作的功分为保守力作的功 A保内 和非保守力作的功 A非保内 两部分非保内保内内 AAA
由 (4.3.8)式知：
)()( 0 tVtVA保内于是：
非保内外 AAtVtEtVtE kk )]()([)]()([ 00
用 E 表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。
)()()( tVtEtE k
非保内外 AAtEtE )()( 0
则有：
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律非保内外 AAtEtE )()( 0
若,体系机械能增加；0
非保内外 AA
若,体系机械能减少；0
非保内外 AA
若,体系机械能保持不变。0
非保内外 AA
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律非保内外 AAtEtE )()( 0
重要特例：
0?外A
这有如下几种情况：
1,孤立体系，体系不受外力作用。
2,外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧所施的外力。
3,各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支承物的支承力。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律非保内外 AAtEtE )()( 0
重要特例：
0?外A
此时，体系的机械能的变化仅由非保守力作的功确定，
因而有：
1,若,体系机械能增加；（如炸弹爆炸）
2,若,体系机械能减少；（如摩擦力，称为耗散力）
3,若,体系机械能守恒。
0?非保内A
0?非保内A
0?非保内A
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
1,当摩擦力作为体系外力时，对体系可能作正功，
也可能作负功（也可以不作功）。摩擦力作为体系内力时，必定是成对出现的，若摩擦力作为作用力对一个物体作正功，则其反作用力对另一个
（与之发生摩擦的）物体必作负功，这一对摩擦力对两个发生摩擦作用的物体所作的总功只能为负（动摩擦）或零（静摩擦），因为一对内力的功只与两物体的相对位移有关，而摩擦力总是与两物体的相对位移反方向。因而 动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力。而静摩擦力不同，
它不消耗机械能。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
2,关于功与能的定理都是在牛顿定律基础上导出来的，因而只在惯性系中成立。
在非惯性系中，如要应用牛顿定律，必须引入惯性力，因而,如果要在非惯性系中应用功与能的定理，必须计入惯性力作功以及与惯性力相关的势能。 （由于惯性力没有施力物，与惯性力相联系的势能只能是指保守力场中的势能）。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
3,即使在惯性系中，应用功能定理时也要注意以下几点：
(1) 功并不是与参考系无关的不变量，内力所作的总功虽与参考系无关（此结论即使对非惯性系也成立），但外力的功一般与参考系有关。
(2) 动能并不是与参考系无关的不变量。物体的速度与参考系有关，因而物体的动能也与参考系有关。
(3) 物体系的势能总是与物体系的相对位置相联系，因而物体系的势能与参考系无关。
注意到这几点以后，不难看出，尽管在任何惯性系内动能定理、功能原理和机械能守恒定律都可应用，但 力的功，体系的动能，机械能的数值在不同参考系中并不相同； 而且,一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另一个参考系内机械能未必守恒,因为在一个参考系内机械能守恒条件成立，在另一个参考系内机械能守恒条件未必成立。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
4,功总是与一个过程相联系，而能量（动能和势能）总是与物体或物体系的状态，即
（相对）位置和速度相联系。因而 功是过程量，能量是状态量。 在力学范围内，作功的过程总是与体系能量的改变相联系。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性从对称性的角度看，保守力与非保守力的区别反映在时间反演变换上。
时间 t→ ﹣ t 的变换，叫做 时间反演变换,这相当于时间倒流。
在现实生活中时间是不会倒流的，但我们可以设想将现象用录象机录下来，然后倒过来放演。若把无阻尼的单摆运动录下来，
正、反放演，看不出什么区别；把自由落体录下来反着放演，便成为竖直上抛物体，在空气阻力可以忽略的情况下，两者同样真实；斜抛物体的运动也是这样。武打电视片的摄制者常利用这一点，让演员从高处跳下，拍摄下来倒着放演时，就可以表现一个人从平地一跃而起跳上高墙的场面，看起来相当逼真。然而有了阻力就不行了，阻尼单摆的振幅越来越小，反着放演它的录象，
振幅却越来越大，看起来不大像真的。如果上述武打演员穿的不是紧身衣裤，而是宽大的袍子，观众就会看到，当他纵身上墙时，
袍子竟飘逸而起，倒拍的特技就露了破绽。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性上面的例子告诉我们,保守系的运动规律具有时间反演不变性,亦即，如果在某个时刻令物体系中的每个质点 i 的速度反向，运动将逆转进行；耗散系则不具备这种性质。要从理论上说明这一点，可看每个质点 i 所服从的牛顿第二定律：
dt
dm i
ii
vf?
作时间反演变换 t→ ﹣ t 时,vi→ ﹣ vi，上式右端不变。因保守力只与质点的相对位置有关，它是时间反演不变的，故上式左端也不变，即该式对正、反过程同样成立。
在这种情况下，任何时刻只要速度反向，过程就会逆转。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性
dt
dm i
ii
vf?
然而，耗散力与速度的方向有关，作时间反演变换时,fi =﹣ fi,上式左端变号，即正、反过程的运动方程不同，速度反向时过程不沿原路返回，故耗散过程是不可逆的。
如前所述，“耗散”是宏观的概念，微观过程几乎都是时间反演不变的，不存在非保守力，这是因为事实上自然界所有已知的基本力都是保守力。所以,几乎所有的微观过程都是可逆的 。为什么从微观过渡到宏观，
过程就可能变为不可逆？
宏观的不可逆性来自概率统计性，并非源于微观动力学，这问题深刻而复杂，属于统计物理学的范畴，我们不在此处讨论。
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4.4.3 两体问题考虑两个质点的孤立体系，
质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决定。如图 4.11
取一惯性系，设质量分别为 m1 和
m2 的两质点，位矢和速度分别为
r1,r2 和 v1,v2,质心的质量 位矢分别为 mC和 rC，则有：
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
动力学方程为：
12221 fr 1?dtdm 12 222 2fr?
dt
dm
Fff 2112
于是：
02
2
dtdm CC r
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4.4.3 两体问题
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
12221 fr 1?dtdm
12
2
2
2 2f
r?
dt
dm
Fff 2112
02
2
dtdm CC r
该式表明质心作匀速运动。于是取质心为坐标原点建立的参考系也是惯性系，我们称该参考系为 质心系 。
设 m1,m2 在质心系中的坐标分别为 rC1,rC2,有：
)( 21
21
2
21
2211
111 rr
rrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
)( 21
21
1
21
2211222 rrrrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
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4.4.3 两体问题
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
12221 fr 1?dtdm
12
2
2
2 2f
r?
dt
dm
Fff 2112
02
2
dtdm CC r
)( 21
21
2
21
2211
111 rr
rrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
)( 21
21
1
21
2211222 rrrrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
于是知 rC1 // rC2,且可得如下结论：
1,质心在两质点的连线上；
2,质点与质心的距离反比于质点的质量。
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4.4.3 两体问题
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
12221 fr 1?dtdm
12
2
2
2 2f
r?
dt
dm
Fff 2112
02
2
dtdm CC r
若 m1 << m2,考虑 m1 相对于 m2 的运动。选择与 m2 相对静止的参考系,m2 位于原点，称该参考系为 S系，在 S系中，
m1 的位置为 r，速度为 v，我们有 r = r1﹣ r2,v = v1﹣ v2 。我们知道,S 系为非惯性系，当然可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程，但是我们也可以通过上述方程导出的运动方程。
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd
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4.4.3 两体问题
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd
定义：,称为 约化质量，或折合质量 。
21
21
mm
mm
按此定义，上述方程可以写成：
Fr?2
2
dt
d?
该方程与牛顿定律类似，我们认为大质量物体不动，
并认为 S 系是惯性系，其根据即在此。
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4.4.3 两体问题为了求在质心系中的机械能，不妨设该系统的势能为 V(r)，由 (4.4.13),(4.4.14)式可以求得在质心系中质点
m1,m2 的速度为：
vvvv
21
2
21
21
2
1 )( mm
m
mm
m
C
vvvv
21
1
21
21
1
2 )( mm
m
mm
m
C
在质心系中的机械能：
)(2121 222211 rVmmE vv
)()(21)(21 22
21
2
1
2
2
2
21
2
2
1 rVmm
mm
mm
mm?
vv
)( 21 2
21
21 rV
mm
mm?
v
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4.4.3 两体问题利用约化质量，可得在质心系中的机械能：
)( 21 2 rVE v?
Fr?2
2
dt
d?在 S 系中的运动方程：
由上述方程可知，只要将 m1 用约化质量代替，则不仅可以认为 S 系是惯性系，而且在 S 系中求得的机械能即为质心系中的机械能。
讨论：
1,即使 m2 不是很大时,m2 也运动，只要利用约化质量，
即可把两体问题化成单体问题；
2,其它质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法解。
中国科学技术大学杨维纮远古时代人们对大自然的变幻无常怀着神秘莫测的恐惧。几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然是有些规律可循的。经典力学在天文学上的预言获得辉煌的成就，无疑给予了人们巨大的信心，以致在 18世纪里把 宇宙看作一架庞大时钟的机械宇宙观 占了统治地位。
伟大的法国数学家拉普拉斯（ Pierre Simon de Laplace,
1749~1827）的一段名言把这种彻底的决定论思想发挥到了顶峰：
设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大物体和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之中，对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去一样展现在他的眼前。
中国科学技术大学杨维纮牛顿力学在天文上处理得最成功的，是两体问题，譬如地球和太阳的问题。两个天体在万有引力的作用下，围绕它们共同的质心作严格的周期运动。正因为如此，我们地球上的人类才有个安宁舒适的家园。但是太阳系中远不只两个成员，第三者的介人会不会动摇这种稳定与和谐？
长期以来天文学上用牛顿力学来处理这类问题，
用所谓,摄动法”,即把其它天体的作用看作是微小的扰动，以计算对两体轨道的修正。拉普拉斯用这种方法“证明”了三体的运动也是稳定的。
当拿破仑问他这个证明中上帝起了什么作用时，
他的回答是,陛下，我不需要这样的假设” 。 拉普拉斯否定了上帝，然而他的结论却是错的，因为他所用的摄动法级数不收敛。
中国科学技术大学杨维纮第一个意识到三体问题全部复杂性的也是位法国数学家，他叫庞加莱（ Henri Poincare,1854~1912）。庞加莱是 19,20世纪之交最伟大的数学家，当今有关“混沌”
理论最深刻的思想，都已经在他的头脑里形成了。只不过那时没有强有力的计算机，把他的思想清晰地表达出来。
1887年瑞典国王奥斯卡二世（ Oscar II）以 2500克朗为奖金征文，题目是天文学上的基本问题：,太阳系稳定吗？”
庞加莱是最渊博的数学家，他熟悉当时数学的每个领域，对奥斯卡国王的问题自然要试一下身手。庞加莱并没有最终解决它，事后表明，此问题的复杂性是人们没有预料到的。但由于他的工作对这个领域产生的深刻影响，庞加莱还是获得了奖。
中国科学技术大学杨维纮在万有引力作用下三体的运动方程，可以按照牛顿定律严格地给出，但由于它们是非线性的，谁也不会把它们的解表达成解析形式
（事后证明这是不可能的，不仅三体问题的运动方程不可能，而绝大多数非线性微分方程的解都不可能写成解析形式）。
庞加莱另辟溪径，发明了相图和拓扑学的方法，在不求出解的情况下，通过直接考查微分方程本身的结构去研究它的解的性质。庞加莱开拓了整整一个数学的新领域 ——微分方程的定性理论,至今有着极其深远的影响。
中国科学技术大学杨维纮十足的三体问题太复杂了，庞加莱采用了美国数学家希尔（ Hill）提出的简化模型：假定有两个天体，它们在万有引力作用下，围绕共同的质心，沿着椭圆形的轨道，作严格的周期性运动（这种运动叫做“开普勒运动”）；
另有一颗宇宙尘埃，在这两个天体的引力场中游荡。两天体可完全不必理会这颗微粒产生的引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐，因为微粒的质量相对它们自己来说实在太小了。可是微粒的运动会是怎样的呢？
这简化模型现在称之为,限制性三体问题” 。
中国科学技术大学杨维纮庞加莱用自己发明的独特方法探寻着，这微粒有没有周期性轨道。他在相空间的截面上发现，微粒的运动竟是没完没了的自我缠结，
密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。要知道，
当时并没有计算机把这一切显示在屏幕上，上述复杂图象是庞加莱靠逻辑思维在自己的头脑里形成的。他在论文中写道：“为这图形的复杂性所震惊，我都不想把它画出来。”这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动都会使微粒的轨道在一段时间以后有显著的偏离。
因此，这样的运动在一段时间以后是不可预测的，因为在初始条件或计算过程中任何微小的误差，都会导致计算结果严重的失实。
中国科学技术大学杨维纮庞加菜的发现告诉我们，简单的物理模型（如限制性三体问题）会产生非常复杂的运动，决定论的方程
（拉普拉斯意义下的）可导致无法预测的结果。
虽然庞加莱的发现已有 100多年了，而且在此期间许多优秀的数学家继庞加莱之后作出了卓越的贡献，直到 1975年学术界才创造了“混沌（ chaos）”这个古怪的词儿，来刻画这类复杂的运动。
20世纪七八十年代在学术界掀起了混饨理论的热潮，
从数学、力学波及到物理学各个领域，乃至天文学、化学、生物学等自然科学。在新闻媒体的报导下，又将
“混沌”一词传播到社会上，难免被渲染上几分神秘的色彩。
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4.5.1 柯尼希定理
4.5.2 一般质心系中的功能原理和机械能守恒定律
§ 4.5 质心系中国科学技术大学杨维纮
§ 4.5 质心系
4.5.1 柯尼希定理取质心为坐标原点建立的参考系称为 质心参考系 或 质心系 。在讨论孤立质点系的运动时，
采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒定律都能适用。即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，
可以证明,当质心系为非惯性参考系时，功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。
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4.5.1 柯尼希定理设两参考系 K,KC 分别为惯性系和质心系。在惯性系 K 中,n 个质点 mi ( i = 1,2,…,n ) 的位矢、速度、加速度分别为 ri,vi,ai ( i = 1,2,…,n ),质心的位矢、速度、加速度分别为 rC,vC,aC ；在质心系中个质点的位矢、速度、加速度分别为 rCi,vCi,aCi ( i = 1,2,…,n ) 。
则有：
CiCi rrr CiCi vvv CiCi aaa
用 Ek,EkC 分别表示质点系在惯性系 K 和质心系 KC
中的动能，有：
i
iik vmE
2
2
1
i
CiikC vmE
2
2
1
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4.5.1 柯尼希定理
i
iCCiCCi
i
iik mmE )()(2
1
2
1
2 vvvvv
i
iCiCiCCCim )2(2
1
2 vvvvv
i
Cii
i
iCiCCC mmm
2
2
2
1
2
1 vvvv
i
CiiCC mm
22
2
1
2
1 vv kCCC Evm 2
2
1
即体系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为 柯尼希定理 。
我们知道质点系的动量等于质心的动量，但质点系的动能，一般并不等于质心的动能。
由以上证明过程可见，不论质心系是惯性系还是非惯性系，此定理都成立。
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4.5.2 一般质心系中的功能原理和机械能守恒定律我们知道，如果我们选取了非惯性参考系统，就应计入惯性力，在动能定理中必须计及惯性力所作的功。本节将证明，只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。
如质心的“绝对”加速度 aC = 0，则质心系也是惯性系。如 aC ≠ 0,则质心系为非惯性系，它是具有加速度 aC 的平动参考系。如选取质心系，则所有质点都要受到惯性力。现在我们来计算这样的惯性力系所作的功。
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4.5.2 一般质心系中的功能原理和机械能守恒定律作用于质点 mi 的惯性力为 ﹣ miaC,这个力对该质点所作的功为
tt CiCi dm 0 ra
惯性力所作的总功为：
tt CiCii dmA 0 ra惯 tt Cii iC dm 0 ra
tt Ci
i
iC md
0 ra
0)(
0
CCCCtt md ra
其中为在质心系中所求的质心的位矢，它当然等于零。
于是结论为：
只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。
中国科学技术大学杨维纮在某些问题中，选用质心坐标系比选用惯性参考系还要好。
例 4-3：在地面上将质量为 m = 1千克的物体以 v/ = 4米 /秒的速率掷出，物体的速率从 0 变为 4米 /秒，动能的增长 =(1/2)·1·42
焦耳 = 8焦耳。由动能定理，须对它作功 8 焦耳。现在又在速率为 v0 = 2米 /秒的轮船上将同一物体以同一速率 v/ 向前掷出。
如选用“静止”参考系，物体的速率从 2 米 /秒变为 6 米 /秒，
动能的增长 = (1/2)·1·62 ﹣ (1/2)·1·22焦耳 = 16焦耳。据动能定理，
须对它作功 16 焦耳。现在又在那只轮船上将同一物体以同一速率向后掷出，即 v/ =﹣ 4米／秒，选用“静止”参考系，物体的速率 v = v/ + v0 从 +2米 /秒变为 ﹣ 2米 /秒，动能的增长 = 0。
据动能定理，不需对它作功，由此可以得出结论,在轮船上抛掷物体所需的功与在岸上抛掷物体所需的功完全不同，向前掷与向后掷又是大不相同。 在轮船进行任何球类比赛都几乎是不可能的，因为两方都是在完全不同的条件下向对方掷球的。经验表明，以上结论与事实完全不符合。
中国科学技术大学杨维纮问题在于：由于作用与反作用定律，物体被抛掷出去，轮船相对于“静止”参考系统的速率也随之而变。
轮船的速率将从 v0 变为 v0 + u,u 的确切数值可利用
“轮船 —抛掷体”系统的动量守恒原理算出，这里不去算它了。 既然轮船的质量 M >>抛掷体的质量 m，不算也知道
u 是一个很小的量。另一方面，也正因为轮船的质量很大，尽管速率的改变 u 很小，而动能的改变
uMvMuuMvMvuvM 0202020 2121)(21
却是颇为可观的，相对于“静止”参考系，物体动能的增长诚然是 16 焦耳（向前掷的情况）或 0 焦耳（向后掷的情况），然而这并不等于所需作的功，所需作的功应等于“轮船 —抛掷体”系统的动能的增长；必须计及轮船的动能的改变才可以得出正确的结果。
为了计算抛掷物体所需的功，竟需要计及轮船的运动情况的改变，这无疑是很不方便的。
中国科学技术大学杨维纮选取“轮船 —抛掷体”系统的质心系则比较方便。
因为轮船质量远远超过物体的质量，“轮船 —抛掷体”
系统的质心实际上也就是轮船的质心，轮船相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，
轮船的动量始终是零，无需特别计及轮船动能，在质心系中，物体的速率也就是它相对于轮船的速率，不论向前掷或向后掷，物体的速率都是从 0 变为 4米 /秒，
动能的增长都是 8 焦耳。据动能定理，应对它作功 8
焦耳，与在岸上抛掷物体的情况相同。
这里可以看到质心坐标系的优越处：无需计算轮船运动的改变就能得出正确的结果。
中国科学技术大学杨维纮例 4-4,计算第三宇宙速度。 从地面出发的火箭如具有第三宇宙速度，那就不仅能够脱离地球，而且可以逸出太阳系。
解：首先，按 (4.3-7)式，规定无穷远点的引力势能为零，
由于火箭的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机械能
E 至少应等于零。这里的 E 指的是火箭的动能以及太阳 —火箭的势能。在地球这样的距离上，这个判据成为
021
1
2
R
MmGmv
这里 R1 为地球与太阳的距离。由上式解得：
秒千米 / 2.42/2 1 RGMv
这就是说，在地球这样的距离上，一个物体必须具有 42.2 千米 /秒的速率才可以逸出太阳系而飞往其他恒星。
但这里还没有计及地球的引力，上面的 42.2千米 /秒应当是已脱离了地球引力范围时的速率。那么火箭从地面出发时相对于地球的速率 v/ 应当多大呢？
中国科学技术大学杨维纮先选用“静止”（相对于太阳为静止）参考系，火箭已脱离了地球引力范围时的动能应为 (1/2)mv2，这时火箭 —地球势能为 0。为了用最小的速度达到目的，应当沿地球公转方向发射火箭，以最大限度地利用地球的公转动能。考虑到地球公转速率为 29.8千米 /秒，火箭以相对速率从地面出发时的动能为 (1/2)m(v/+29.8)2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理：
2
2
2 )2.42(
2
1)8.29(
2
1 mm g Rvm
R
其中 R 为地球半径。由此求得：
秒千米 / 7.128.292.112.42 22v
但这结果是完全错误的。
中国科学技术大学杨维纮类似于前一个例子，在火箭逸出地球引力范围的过程中，地球相对于“静止”参考系的速率也随之而变。
由于地球质量很大，这个速率变化很小。另一方面，正因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却颇为可观。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的结果。 为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况的改变，这是太不方便了。
选取“地球 —火箭”系统的质心坐标系则比较方便，
因为地球的质量远远超过火箭的质量，“地球 —火箭”
系统的质心实际上也就是地球的质心。地球相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，地球的动能始终为 0，无需特别计及地球的动能。
中国科学技术大学杨维纮在质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动能应为 (1/2)m(42.2﹣ 29.8)2,其时“地球 —火箭”势能为零。
火箭以相对速率 v/ 从地面出发时的动能为 (1/2)mv / 2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理：
2
2
2 )8.292.42(
2
1
2
1
mm g Rvm
R
由此求得第三宇宙速度：
秒千米 / 7.162.11)8.292.42( 22v
这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正确的第三宇宙速度。
中国科学技术大学杨维纮
4.6.1 正碰
4.6.2 斜碰
4.6.3 质心坐标系
§ 4.6 碰 撞中国科学技术大学杨维纮
§ 4.6 碰 撞碰撞是相当广泛的一类物体间的相互作用。碰撞的特征是，极短的时间和强烈的相互作用。“极短的时间” 是指碰撞过程所经历的时间远小于物体产生明显运动所需要的时间。
即使是需时最长的碰撞，如两个星系之间的碰撞
（图 4.12），可能需要历经数百万年，但和星系的演化时间（数亿年）相比，仍然算是“一瞬间”。
中国科学技术大学杨维纮
§ 4.6 碰 撞
“强烈的相互作用” 是指在碰撞过程中，相互冲击力很大，其它作用力（如摩擦力、重力等）皆可忽略。在碰撞问题中，一般都可以认为碰撞物体在碰前和碰后相距甚远，没有相互作用，分别作惯性运动。只有在相互接近的很短时间内才发生相互作用。
碰撞所研究的是碰前的自由状态与碰后的自由状态间的联系。显然，碰撞的中间过程是很难讨论的，一方面因为碰时物体之间的作用很强，力的具体情况难以确定，另一方面因为碰撞的细节难以测量和记录。微观粒子的碰撞更是如此。
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§ 4.6 碰 撞根据碰前和碰后物体的性质，可以把碰撞分成弹性碰撞和非弹性碰撞。
弹性碰撞 是指碰前碰后物体保持不变，既没有形状大小的变化，也没有内部状态的变化。
如果碰后物体有剩余形变或状态变化，并且两体并合以同一速度运动，则称为 完全非弹性碰撞 。
日常遇到的碰撞大多介于以上两者之间的非弹性碰撞，即两物体碰后形状有变，但以不同速度分离运动。
从能量观点看，机械能守恒的碰撞是弹性碰撞，机械能不守恒的碰撞是非弹性碰撞。不管是何种碰撞，动量守恒均成立。
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4.6.1 正碰如果碰前两小球速度 u1,u2沿两球中心的连线，这种碰撞被称为 正碰（对心碰撞） 。
在正碰情况下，碰后两小球的运动速度方向仍沿连线方向。
因此，在正碰撞时，小球的速度只需用代数值表示其大小和方向。如图 4.14，若要两球碰撞，必须 u1 > u2 。
由于两小球碰撞过程动量守恒，有方程
22112211 vmvmumum
为了求解 v1,v2,尚缺一个方程，必须对碰撞进行细致分析。
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4.6.1 正碰在碰撞的短暂时间
⊿ t 内，两小球首先相互接触，接着相互挤压，
两球分别产生形变和试图恢复形变的力。
在 u1 > u2 的情况下,m1 速度渐小,m2 速度渐大，
直至变为同一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为压缩阶段 。
随后，由于两小球形变逐渐恢复,m1 速度继续减小，
m2 速度继续增大，两小球速度分别达到 v1 和 v2 后开始分离。这是 恢复阶段 。
细致分析,
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4.6.1 正碰
1,压缩阶段,两球速度不等 → 两球速度相等，弹性力作用，球体变形。设弹性力对
m2 的冲量为 I，有：
222
111
Iumvm
Iumvm
消去 v，得：
21
21
11 )(
mmIuu
)( 21 uuI或：
其中,称为 约化质量（折合质量） 。
21
21
mm
mm
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4.6.1 正碰
2,恢复阶段,两球速度相等 → 两球分开，
变形逐逐渐恢复。设弹性力对 m2 的冲量为 J，有：
222
111
Jvmvm
Jvmvm
消去 v，得：
21
21
11
mmJvv
)( 12 vvJ或：
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4.6.1 正碰牛顿指出：只要两球的材料给定，不论运动速度怎样，有：
eIJ?:
我们称 e 为 恢复系数 。由 (4.6.3),(4.6.5),(4.6.6)可得：
)( 2112 uuevv
该式可用实验检验，并可用于测定恢复系数 e。对不同材料的实验结果为,0 < e < 1。
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4.6.1 正碰
22112211 vmvmumum
)( 2112 uuevv
由方程组：
可求得解为：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
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4.6.1 正碰下面计算一下碰撞过程中的动能损失。由于碰撞过程中动量守恒，质心动能不变，利用柯尼希定理 (4.5.6)，只需计算在质心系中相对运动动能的改变。
碰撞前：
碰撞后：
动能损失：
2
21
2 )(
2
1
2
1 uuvE
kC
2
21
22
12 )( 2
1)(
2
1 uuevvE
kC
2
21
2 ))(1(
2
1 uueEEE
kCkCk
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为：
(1) m1 = m2 时，有,v1 > u2,v2 > u1,两球正好交换速度。
(2) u2 = 0，即受碰球开始时静止（高速粒子对靶粒子的碰撞实验中出现的情况）。有：
(a) m1 > m2 时，有,v1 > 0,入射球碰后仍向前运动；
(b) m1 < m2 时，有,v1 < 0,入射球碰后反向运动；
(c) m1 << m2 时，有,v1 =﹣ u1,v2≈0,碰撞后，大球仍保持静止，小球以相等的速率弹回；
(d) m1 >> m2 时，有,v1≈u1,v2≈2 u1，大球几乎以原来的速度继续前进，小球以两倍于大球的速度前进。
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为：
(e) m2 所得到的动能 ⊿ Ek2与碰前 m1 的动能 Ek1之比为：
2
21
21
2
21
21
2
11
2
22
1
2
)/1(
/4
)(
4
2
1
2
1
mm
mm
mm
mm
um
vm
E
E
k
k
当 m1/ m2 = 1 时，该式取到最大值。这说明，在 u2 = 0,
m2 越接近 m1 时,m1 丢失的动能越多。此结论，提供了核反应堆中快中子减速剂选择的原则之一。通常选择重水（含氘）和石墨作为中子减速剂。
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
2,e = 0，称为 完全非弹性碰撞,两球碰撞后粘在一起。此时 E/kC=0,
动能损失最多，为：
2
21 )( 2
1 uuEEE
kCkCk
速度：
Cvmm
umumvv?
21
2211
21
在实验室参考系内质心的动能是不参与粒子之间反应的，真正有用的能量，即 资用能,只是高能粒子与靶粒子之间的相对动能。若
m1= m2,按照上面的公式计算,μ= m1/2,vC = u1/2,EC = EkC,
即资用能只占总能量的一半。这是按牛顿力学计算出来的，并不符合高能粒子的实际。要按相对论力学来计算，资用能的比例远较这个数目小。加速器的能量越高，能量的利用率越低，这是很不合算的。所以现代的大加速器多采用对撞机的形式，让相同的高能粒子沿相反方向运动，进行碰撞。这样一来，实验室系和质心系便统一起来，，全部能量都是资用能。
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
3,0 < e < 1，实际情况。
机械能守恒不满足，一部分能量变为声能、振动能及形变能。
若 m1 << m2,u2 = 0时，有,v1 =﹣ eu1,v2 = 0
即弹回的小球 m1 的速度为碰前速度的 e 倍。这样，我们获得一个测定物体与地面相碰的恢复系数的简便方法。让物体从高度 H 自由落下，它落到地面的速度为
，即以此速度与地面相碰撞。碰撞后的反跳速度难以直接测量，但可以观测其上升的最大高度
h。于是恢复系数为：
gHu 21?
H
h
u
ve
||
||
1
1
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4.6.2 斜碰碰撞前两球的速度 u1,u2 不在两球中心连线上的碰撞叫 斜碰 。在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速度 v1,v2 不一定在 u1,u2 所组成的平面上。若碰撞前一个小球处在静止状态，即 u2 =0，则这种碰撞是二维问题。
我们只讨论这种情况。
在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有：
221111 vvu mmm
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum
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4.6.2 斜碰取 u1 方向为 x 轴，碰撞所在面为 x﹣ y 平面，上面的方程化为（ 称为散射角）：
22211111 c o sc o s vmvmum
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum
222111 s i ns i n0 vmvm
21,
通常，应用实验方法测出四个未知数中的一个，才能求出其余三个。
如果碰撞是非弹性的，那么只有前两个方程，未知量有四个，所以必须用实验方法测出四个未知数中的两个，
才能求出其余两个。
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4.6.3 质心坐标系上面讨论的碰撞所取的参考系是实验室系。但是，
对碰撞问题的分析常采用质心系，因为在质心系中，体系的动量永远为零。质心系中描写碰撞，表达形式简单，
物理意义清晰。
设在实验室系中，碰撞前、后两质点的速度分别为
u1,u2 和 v1,v2,则质心速度为：
21
2211
mm
mm
C?
uuv
在质心系中,碰撞前、后两质点的速度分别为 uC1,
uC2 和 vC1,vC2,则：
CCCC
CCCC
vvvvvv
vuuvuu
2211
2211
,
,
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1,正碰对应于方程 (4.6.1),(4.6.7)有：
022112211 CCCC vmvmumum
)( 2112 CCCC uuevv
由这两方程可得：
11 CC euv 2 2 CC euv
这个结论表示，在质心系中每个质点碰后的速度为其碰前速度的 – e 倍。
在质心系中，碰撞损失的动能为
)(21)(21 2 222 112 222 11 CCCCk vmvmumumE
)(21)1( 2 222 112 CC umume
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2,斜 碰我们仅讨论完全弹性碰撞，则由动量守恒和能量守恒可得：
022112211 CCCC mmmm vvuu
2
12
2
11
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
CCCC vmvmumum
由前一个方程知，碰前 uC1,uC2 在一条直线上，而碰后 vC1,vC2 也在一条直线上，故可将该方程写成标量形式：
022112211 CCCC vmvmumum
解得：
11 CC uv? 22 CC uv?
即在质心系中，两球碰撞后，它们的速度都只改变方向，
而不改变大小。可以用其入射方向和出射方向的夹角来表示它们运动方向改变的程度，其值可在 0 到 π之间，与碰撞参量有关。
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4.7.1 什么是对称性
4.7.2 因果关系和对称性原理
4.7.3 守恒率与对称性
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律中国科学技术大学杨维纮
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律
4.7.1 什么是对称性在现代物理学中对称性是个很深刻的问题。在粒子物理、固体物理、原子物理等许多领域里，对称性的概念都很重要。描述对称性的数学语言是群论。这里不打算涉及群论，只想介绍一下对称性原理，用以探讨与本课水平相当的问题。
对称性的概念最初来源于生活。在艺术、建筑等领域中，所谓“对称”，通常是指左右对称。人体本身就有近似的左和右的对称性。各类建筑，特别是很多民族的古代建筑，都有较高的左右对称性。我国古代的官殿、
庙宇和陵墓建筑尤为突出，而园林建筑的布局则错落有致，于不对称中见对称。
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4.7.1 什么是对称性我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做
“变换”，或者说，我们给它一个“操作”。如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，
状态在此操作下不变，我们就说这系统对于这一操作是
“对称的”，而这个操作叫做这系统的一个“对称操作”。
例如考虑一个圆对于围绕中心旋转任意角度的操作来说都是对称的；或者说，旋转任意角度的操作都是这圆的对称操作。如果我们在圆内加一对相互垂直的直径，
这个系统的对称操作就少多了。转角必须是 90度的整数倍，操作才是对称的。
以上关于“对称性”的普遍定义，是德国大数学家魏尔（ H,Weyl）首先提出来的。
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4.7.1 什么是对称性最常见的对称操作是时空操作。空间操作有平移、
转动、镜象反射、空间反演、标度变换（尺度放大或缩小），等等；时间操作有时间平移、时间反演，等等。
第二章 2.4.3节介绍的伽利略变换，则是时空联合变换。
除时空操作外，物理学中还涉及到许多其它的对称操作，
如置换、规范变换、正反粒子共轭变换和某些动力学变换等，一般说来它们比时空变换抽象得多。
在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有轴对称性，属于前者；牛顿定律具有伽利略变换不变性，则属于后者。
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4.7.2 因果关系和对称性原理自然规律反映了事物之间的因果关系。所谓“因果关系”，就是在一定条件下会出现一定的现象。在这种情况下我们把前者（条件）称为“原因”，后者（现象）
称为“结果”。要构成一条稳定的因果关系，最重要的需要有两条：可重复性和预见性。其实这就是科学本身存在的必要前提。以上两条性质要求“相同的原因必定产生相同的结果”。但宏观世界的事物没有绝对相同的，
我们可以把语气放宽一些，用“等价”一词代替“相同”，把因果关系归结为：
等价的原因 → 等价的结果。
这里的箭头表示“必定产生”。这就是因果性的等价原理。
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4.7.2 因果关系和对称性原理一个操作产生“相同”或“等价”的效果，就是不变性，不变性也就是对称性。所以用对称性的语言来说，
上述等价原理可改写成下列公式：
对称的原因 → 对称的结果。
应注意，因果关系的等价原理中箭头是单向的，即只有“等价的原因必定产生等价的结果”，但等价的结果可能来源于不等价的原因。从而上列用对称性来表达的因果关系中箭头也是单向的，即对称的结果也可能来源于不对称的原因。所以我们说：
原因中的对称性必反映在结果中，
即结果中的对称性至少有原因中的对称性那么多。
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4.7.2 因果关系和对称性原理反过来应该说：
结果中的不对称性必在原因中有反映，
即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。
以上原理叫做 对称性原理,它是皮埃尔 ·居里
（ Pierre Curie,1859~1906）于 1894年首先提出的中国科学技术大学杨维纮
4.7.2 因果关系和对称性原理当我们抛射一个物体时，若没有其它原因，抛体的轨迹不会偏离其初速度与重力决定的竖直平面。如果我们发现抛体的轨迹朝某一侧偏斜（结果中中现了不对称性），我们相信，一定存在对此平面不对称的原因，譬如有横向的风。这是上述对称性原理反过来的应用。在足球场上我们常会看到，
球员踢出的球会拐弯（特别是在罚角球时），这种球俗称
“香蕉球”。赛场上没有风，球偏斜的方向可以由踢球的人控制。这是什么原因呢？即使我们不懂流体力学，但懂得对称性原理，我们就敢肯定，在球离开球员的脚之前就已存在不对称性了。仔细找找原因，我们会发现，香蕉球踢出时是旋转的，它旋转的方向决定了球向哪边偏斜。旋转 ——这就是对初始的竖直平面左右不对称的因素，轨迹的偏斜正是这个不对称因素的反映。至于空气和旋转的球之间的相互作用究竟怎样使之偏斜的，那就要靠流体力学的具体知识了。
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4.7.3 守恒率与对称性首先看能量守恒定律。从宏观的角度看，物体系有保守系和非保守系之分，前者机械能守恒，后者则不然。从微观的角度看无所谓耗散力，在一切系统中，粒子与粒子之间的相互作用可通过相互作用势（分子力势能）来表达。时间均匀性，或者说，时间平移不变性意味着，这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关，亦即，对于同样的相对位置，粒子间的相互作用势不应随时间而变。在这种情况下系统的总能量（动能 + 势能）自然是守恒的。我们可以举一个例子来说明，在相反的情况下能量可以不守恒。广东省从化县建设了一个抽水蓄能电站，夜间用电低谷时抽水上山，白天用电高峰时放水发电。利用昼夜能源的价值不同，可以获得很好的经济效益。倘若昼夜变化的不仅是能源的价值，而且是重力加速度（它代表着万有引力的强度），从而水库中同样水位所蓄的重力势能作周期性的变化，则抽水蓄能电站获得的不仅是经济效益，而且是能量的赢余。于是，永动机的梦想实现了。时间的平移不变性不允许出现这种情况。
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4.7.3 守恒率与对称性其次看动量守恒定律。
如图 4.18所示，考虑一对粒子 A 和 B，它们的相互作用势能为 V。现将 A 沿任意方向移动到 A/（见图 4.18(a)，
这位移造成势能的改变（抵抗对的力所作的功）：
sf ABV
若 A 不动，将 B 沿反方向移动相等的距离到 B/ (图
4.18(b))，则势能的改变为 (抵抗 A给 B的力所作的功 )：
sfsf BABAV )(
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4.7.3 守恒率与对称性上述两种情况终态的区别仅在于由两粒子组成的系统整体在空间有个平移，它们的相对位置是一样的：
BABA
空间均匀性，或者说，空间平移不变性意味着，两粒子之间的相互作用势能只与它们的相对位置有关，与它们整体在空间的平移无关。从而两种情况终态的势能应相等：
sfsf ABBA VV
因为 ⊿ s 是任意的，故有：
BAAB ff要知道，“作用力和反作用力大小相等，方向相反”
和“动量守恒”两种说法是等价的。于是，我们从空间的平移不变性推出了动量守恒定律。
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4.7.3 守恒率与对称性物理学各个领域里有那么多定理、定律和法则，但它们的地位并不是平等的，而是有层次的。例如，力学中的胡克定律，热学中的物态方程，电学中的欧姆定律，都是经验性的，仅适用于一定的物料，一定的参量范围。这些是较低层次的规律。
统帅整个经典力学的是牛顿定律，统帅整个电磁学的是麦克斯韦方程，他们都是物理学中整整一个领域中的基本规律，层次要高得多。
是否还有凌驾于这些基本规律之上更高层次的法则？
是的，对称性原理就是这样的法则，由时空对称性导出的能量、动量等守恒定律，也是跨越物理学各个领域的普遍法则。这就是为什么在不涉及一些具体定律之前，我们往往有可能根据对称性原理和守恒定律作出一些定性的判断，
得到一些有用的信息。
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莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归结为机械能守恒。
下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定义。
中国科学技术大学杨维纮第四章 机械能守恒
§ 4.1 能量守恒
§ 4.2 动能定理
§ 4.3 势能
§ 4.4 机械能守恒定律
§ 4.5 质心系
§ 4.6 碰撞
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律中国科学技术大学杨维纮
4.1.1 永动机不可能
4.2.2 重力势能
4.3.3 动能
4.4.4 弹性势能和其它能量形式
§ 4.1 能量守恒中国科学技术大学杨维纮
4.1.1 永动机不可能实际上，永动机这个名词不太恰当。如飞轮之类，
运动一经开始，若无摩擦作用，则可永久继续运动，这在实际上虽然不易实现，但于理说得通，可以看作一种实际的极限情形，此时没有动力输出，若说什么也不消耗，可以永久输出动力，此则非但不可实现，而且于理也说不通。 所谓永动机，指的是人们幻想的一种机械装置，它一经启动，就自行运转下去，不断作出有用的功。
企图制造永动机的最早记载，大约出现在 13世纪。此后各种永动机的设计层出不穷，一直延续到 19世纪工业革命后，势头才有所减弱。即使到今天，还不时有人提出一些实质上是永动机的装置，只不过它们伪装得更好，
更不易被识破罢了。
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4.1.1 永动机不可能千万次的失败并没有使所有的人认输，总有一些人陷在永动机梦想的泥潭里不能自拔，并死死纠缠着要别人接受他们的设计方案。在这种情况下巴黎科学院在 1775年不得不通过决议，正式宣告拒绝受理永动机方案。这说明在当时科学界，已经从长期所积累的经验中，认识到制造永动机的企图是没有成功的希望的。人们的原始概念，乃是,人力有限”,如果我们能够没有任何消耗而得到永久工作，那将是人力无限了！这种事情未免太好，好得令人难以置信。直到现在，美英等许多国家的专利局都订有限制接受永动机方案的条款。
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4.1.1 永动机不可能现在人们常用能量守恒定律来否定永动机，而 19世纪能量守恒定律的三个创始人之一 ——亥姆霍兹（ 1821~1894）当年却是用不可能有永动机来论证能量守恒定律的。他在
,论自然力的相互作用,一文中写道：,……
鉴于前人试验的失败，人们 … 不再询问：我如何能够利用各种自然力之间已知和未知的关系来创造一种永恒的运动，而是问道：如果永恒的运动（指永动机）是不可能的，在各种自然力之间应该存在什么样的关系？”
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4.1.1 永动机不可能人们造出机器，是为了让它作功。“功”的概念在一般人的感觉中是现实的，具体的，它起源于早期工业革命中工程师们的需要，
当时他们需要一个用来比较蒸汽机的效率的办法。在实践中大家逐渐同意用机器举起的物体的重量与行程之积来量度机器的输出，并称之为功。
在 19世纪初期用机械功测量活力已引入动力技术著作中。
1820年后，力学论文开始强调功的概念。
1829年，法国工程师彭塞利（ Poneclet,1788~1867）在一本力学著作中引进“功”这一名词。
之后，科里奥利在,论刚体力学及机器作用的计算,一文中，
明确地把作用力和受力点沿力的方向的可能位移的乘积叫做“运动的功”。功与以后建立的能量概念具有相同的量度，功作为能量变化的量度为研究能量转化过程奠定了一个定量分析的基础。
时至今日，物理学中并没有告诉我们能量究竟是什么，也没有说出各种表达式的机理。
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4.1.2 重力势能在下面的推理中，我们的前提是永动机不可能。它的依据是从千千万万人的实践中总结出来的经验事实。
人们曾设想过各式各样的永动机，这里我们只讨论举重机械。如果有这样一架举重机械，当人们运用它完成一系列操作之后，装置回到了初始状态，在此过程中产生的净效果，是把一定的重量提升了一定的高度，则我们说，这就是一架永动机。有了这样一架举重的机械，
完成其它操作的永动机就都变为可能的了。因而我们只需假设，这种举重式的永动机是不可能的。
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4.1.2 重力势能作为最简单的举重装置之一，我们追随斯泰芬，也研究斜面装置。
不过为了简化讨论，我们把装置改为如图 4.1 所示的形式。设小球重量为 mg，大球重量为 Mg，在摩擦力趋于零的情况下，静力学平衡时，我们有 Mg sinθ= mg,如果小球拖得动大球的话，则以小球降低高度 h 为代价，把大球提升高度 h/ = h sinθ,于是：
m g hM g hhMgs i n
上面得到的式子是由斜面这个具体装置推导出来的，
我们的问题是,无论用什么举重机械，以重物下降一个高度为代价，至多能够把多少重量上举一个高度？ 要普遍地回答这个问题，用本课前面已有的力学知识就不行了。下面我们从热学中卡诺（ Sadi Carnot,1796~1832）那里借来一种绝妙的推理方法。
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4.1.2 重力势能我们把各种机械装置分成可逆的和不可逆的两种。
所谓可逆装置，就是它既能够以重物 m 的高度降低 h 为代价，
把重物 M 提升一个高度 h/，又能够以重物 M 的高度降低 h/ 为代价，
把重物 m 提升一个高度 h。
我们说，理想的无摩擦装置是可逆的。显然，“可逆”和“不可逆”的概念可以推广到任何装置。
结论是：在给定的情况下，
2,所有可逆装置的 M 都相等。
1,所有不可逆装置的 M 都不大于可逆装置；
下面用归谬法来论证这两个结论。
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4.1.2 重力势能如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量 M/g > 可逆装置举起的重量 Mg，我们就能够从 M/ 中分出一部分 M 来，以它降低高度 h/ 为代价，反向操作那个可逆装置，把不可逆装置中降下来的重物
mg 恢复到原来的高度 h。这样一来，在其它所有状态都复原的情况之下，产生的净效果是把一个重量为 (M/－ M)g 的重物提升了一个高度
h/。这就导致永动机成为可能的荒谬结论。所以，上面的前提不能成立，实际情况应该是，此即上述的结论 1。
如果有两个可逆装置 A 和 B，在重物 m 的高度降低 h 的同样条件下，能够把重量分别为 MA 和 MB 的物体提升一个高度 h/，则利用上述推理不难得知：由于装置 B可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MA ≤ MB ；由于装置 A也可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MB ≤ MA 。最后只能是 MA = MB,此即上述的结论 2。
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4.1.2 重力势能无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置，既然所有的可逆装置提升的重量都一样，故 (4.1.1)式适用于一切可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律：在装置可逆的条件下，重量和高度的乘积这个量是守恒的，它代表一种潜在的作功本领，我们称它为物体的 重力势能,记为，即：
m g hE p?
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4.1.3 动能我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能，如图 4.2所示。
假定摆锤从某一高度自由下摆，便可来回摆动。当摆锤摆到最低点时，势能将减少，这部分减少了的势能跑到哪里去了？观察摆锤运动，可以看到它会再次爬上来，可见失去的重力势能必定转变为另一种形式的能量，显然它是靠自己的运动才重新爬上来的，这是一种由于摆锤的运动所具有的能量。
依能量守恒原理摆锤能够上升的高度与上升机制无关，即与上升路径无关。但动能一定等于初始自由下摆时的重力势能。为写出动能的形式，
假如以最低点处同一速度竖直向上抛出这个物体，达同样高度，依运动学公式有关系式。所以这个动能 Ek 可写为：
2
2
1 mvE
k?
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4.1.3 动能当然，物体因运动具有能量与物体是否处于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。
顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的表达式 mgh 和动能表达式 mv2/2 都是近似公式。
前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正，
因为假定了质量 m 是绝对量。然而，当考虑了这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律仍然正确。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
)( 0xxkmgdtdvm
dxxxkm g d xm v d v )( 0
dxxxkxdmgdvvm hxxhxx )( 0 0 0 0
0
0
0
对从 x = x0 到 x = x0+h
积分，在此过程的两头速度 v 都等于零，有：
即：
2
2
1 khm g h?
2
0 )(2
1 xxkE
p
我们得到弹性势能：
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式如果此装置是一个理想的可逆装置，弹簧一端的物体将不断来回振动。实际情况是，振动将会逐渐减弱，直至趋于静止。当弹簧不再振动时，能量又到哪里去了呢？因为能量是守恒的。由此，可以发现另一种形式的能量：热能。
众所周知，在弹簧或一般机械装置中有着大量原子组成的晶体。当弹簧运动或机器运转时，由于材料本身的缺陷，
产生撞击和跳动，材料中的原子加剧无规则摆动，与此同时，
发现机械运动减慢了，直至趋于静止，但动能依然存在，只是它与看得见的机械运动没有联系。我们如何知道动能仍然存在呢？这可以通过弹簧或机器变热加以判定。材料温度的提高是材料内部原子无规则振动动能增加的证明。我们称这种形式的能量为热能，它是材料内部原子无规则运动的动能。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式以上分析可知：
1,能量守恒定律极其有用，上面分析的几个简单例子中已经说明了这一点。
2,如果我们找到了各种能量的表达式，那么可以不必分析物理过程的细节就可以知道应当发生的某些结论。
3,因此不仅是能量守恒定律，其它守恒定律也一样让我们产生浓厚的兴趣，在下一章我们还要讲述角动量守恒定律，这就是从大到小的研究顺序的独到之处。
4,目前我们并没有深刻理解守恒定律，本章末将说明，
能量守恒定律与时间平移对称性有关，动量守恒定律与空间的平移对称性有关。由此可见，把握了大的总体的方面，我们会对物理有深刻的理解。
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4.2.1 质点动能定理
4.2.2 功和功率
4.2.3 质点系动能定理
§ 4.2 动能定理中国科学技术大学杨维纮
4.2.1 质点动能定理我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时间动能的改变。
对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有：
dt
dsFFv
dt
dvmvmv
dt
d
dt
dE k
2
2
1
FvdtdE k? F d sdE k?即：
这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得：
ttkk F d smvmvEE 02020 2121
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4.2.1 质点动能定理对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有：
dt
d
dt
dmmv
dt
d
dt
dE k rFvFvv
2
2
1
即：
vFdtdE k rF ddE k
由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把
F﹡ v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有：
vFP
因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡ dr 称作力对物体作的元功。对 (4.2-6)式积分得：
tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21?rF
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4.2.1 质点动能定理
tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21?rF
此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为质点动能定理,即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内的一种表述。上面所讨论的是 单质点动能定理,其对象是单质点系统，如果与外界无相互作用，即既不输入能量，又不输出能量，系统（质点）必保持能量不变，即动能不变。如果与外界有相互作用，
外界将以力对系统作功，输入（或输出）能量，其结果必然使质点系统能量改变，即动能改变，动能的时间变化率等于外力传递给物体的功率，或者动能的增量等于外力作的功。
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4.2.1 质点动能定理由质点动能定理及其推导可知：
1,做功是通过力来实现的；
2,做功的多少与路径有关；
3,质点动能定理成立的参考系为惯性系。
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4.2.2 功和功率物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分，
若以 A 表示功，有：
ttt dsFdA t 00 c o s?rF
其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功，
与位移成直角的力不作功。
物理学上功的含义与一般情况下的工作含义是不同的，按照物理学上功的定义，如果一个人把 40千克的重物提在手中一段时间，他并没有做功，然而，他会感到很累。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不一样。那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力所作的功，恰好等于该质点动能的变化。
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4.2.2 功和功率有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，
即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率：
vF dtdAP
简单机械可以省力，但功率是不能放大的。
在国际单位制中，力的单位是牛顿（ N），功的单位则为牛顿 ·米（ N·m），通常把 1牛顿 ·米称作 1焦耳（ J），
由上面给出的势能、动能、功的定义不难验证，它们具有相同的量纲。功率的单位是焦耳 /秒，也称瓦（ W）。
如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家用电量时，常采用千瓦 ·小时来计量用电量的多少,1千瓦 ·小时等于 1千瓦乘 3600秒，即 3.6× 106 焦耳。
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4.2.3 质点系动能定理
nnnnn
n
n
n
m
m
m
m
Ffffr
fFffr
ffFfr
fffFr
321
3332313
2232212
1131211
dtdtdt
dtdtdtdtm
iin
t
tiii
t
tiii
t
t
ii
t
t
t
t ii
t
tii
t
tiii
vfvfvf
vfvfvFvv
)1(
)1(
2
1
000
00 00
iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE )1()1(210 )()(
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4.2.3 质点系动能定理
iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE )1()1(210 )()(
其中：
dtA iitti vF
0
dtA iijttij vf
0
分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j 个质点对第 i 个质点的内力所作的功。将上式对所有的求和，
得：
内外 AAtEtE kk )()( 0
其中 Ek,A外,A内 分别为质点系的总动能、外力和内力对质点系作的总功,
n
i
kik EE
1
n
i
iAA
1
外 ij
n
ij
j
n
i
AA
11
内中国科学技术大学杨维纮
4.2.3 质点系动能定理内外 AAtEtE kk )()( 0
该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下：
作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之功的总和等于质点系动能的增量。
需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但内力作的总功一般不等于零。
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4.2.3 质点系动能定理质点系动能定理与质点系动量定理的比较：
1,质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标量式。
2,质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。
3,内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体系的总动能。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
4.3.2 保守力与非保守力、势能
4.3.3 势能曲线
§ 4.3 势 能中国科学技术大学杨维纮
§ 4.3 势 能
4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物体（质点） P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP
的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为：
rF?2rMmG
其中 表示沿 方向的单位向量。r? OP
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？
或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功，
使物体的动能有所增加？
我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功下面用数学方法给出验证。如图 4.4所示，
设想把质点沿任意路径
L 从 P 点搬运到 Q 点，
有心力所作的功为：
dsrFA
L
Q
PPQ
co s)(
)(
drMKKMds KN c o s c o s
由于：
上式化为：
drrFA Q
P
r
rPQ
)(
此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维问题。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功有心力的重要性质：
有心力作功只与始终点的位置有关，与路径无关。
或,有心力沿闭合路径作功为零 。
0 rF d
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4.3.2 保守力与非保守力、势能由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中，
力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与该质点所经的具体路径无关。
我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受的力称为保守力。
显然，保守力场中力的环路积分必为零。
凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，
或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为 非保守力 。
沿闭合路径一周作功小于零的力称为 耗散力 。滑动摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给出保守力的一些充分条件。
1,对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。
例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = － k(x－ x0) 是 x
的单值函数，故它是保守力。
2,对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，
如重力 f = mg 是保守力。
3,有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能定理,对于保守力场，可以定义一个标量函数 V(r)，称为 势能 （或 势函数、位能 ），使保守力作的功为：
A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中
A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运动到 rB 点保守力所作的功。
证,这样选择一个标量函数：如图
4.5，先任取一点 rC,令：
对空间任意点，定义：
0)( VV C?r
)()( 0 rrr CAVV
由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确定并且唯一。
下面证明 V(r) 就是势能。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
)()( 0 rrr CAVV
对于空间中任意两点 rA 和 rB,
按照我们对的 V(r) 定义，有：
)()( 0 ACA AVV rrr
)()( 0 BCB AVV rrr
将上面两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得：
)()( CABC AA rrrr
)()()()( ACBCBA AAVV rrrrrr
)( BA rr
由于,)()()(
BABA VVA rrrr
故 V(r) 就是势能。 [证毕 ]
反之，存在势能的力一定是保守力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能注,由证明可见，势能具有一个任意常数
0)( VV C?r
势能 V(r) 与保守力 F 的关系：
z
V
y
V
x
V
V
VdV
kjirF
rFr
r
r
)(
)( 0
0
一般我们规定 ∞ 点的势能为零。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能例 4-2：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于
r 点质量为 m 的质点的万有引力为：
rF?2rMmG
若规定无穷远点 ∞ 的引力势能为零，则空间 r 点质量为 m 的质点的势能为：
rFr drV )( dr
r
MmG
r 2
r
GmM
222 zyx
GmM
当然，利用 (4.3.6)的第二式可反推得：
)( rVF
2/3222 )( zyx zyxGmM kji rr
mMG r
2 r?2r
mMG
中国科学技术大学杨维纮几点注意：
1,引力势能实际上属于 m,M 两者组成的体系，地球与月球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。物体在地球表面的重力势能原则上是物体与地球整个系统所共有，鉴于在重力势能转化为动能时（物体下落重力作功），物体所获得的动能几乎等于下落前后的引力势能差，在这种情况下人们也常说物体具有重力势能，
这里已经把地球质量看成无穷大了。
2,自然界中的大部分能量，以引力势能形式存在。
3,保守力作功使其势能减少。
)]()([)()()( 00 0
0
rrrrrFrr rr VVVVdA
中国科学技术大学杨维纮几点注意：
4,如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，
则称该质点系为 保守体系 。对于保守体系，我们可以这样定义势能，规定所有的质点都在无穷远处时体系的势能为零，即让 V(∞) = 0,然后将 n 个质点一个一个从无穷远点沿任意路径移至它们所在的点，
算出保守力所作的总功 A，利用 (4.3.8)式可知该保守体系的势能为：
AV n),,,( 21 rrr?
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4.3.3 势能曲线一旦知道了势能的表达式，利用 (4.3.5)式即可求得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往比确定力更方便，故用势能函数来了解力的性质是有实际意义的。
表示势能与两质点相对关系的图形叫势能图。若势能为一维函数，这时，势能图成为势能曲线。
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4.3.3 势能曲线上面引出势能曲线进行讨论的原因还在于力的概念对量子力学的微观理论来说不太合适，而能量是对系统的恰当描述。当考察原子核中各核子之间、分子中各原子之间的相互作用时，力和速度等概念不用了，而能量概念继续存在，因此在有关量子理论的书中我们可以看到势能曲线，而很少看到微观粒子间的作用力曲线，因为那里人们采用能量，而不是采用力来分析问题。
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4.3.3 势能曲线
1,几种势能曲线中国科学技术大学杨维纮
4.3.3 势能曲线
2,势能曲线的用途
(1) 由势能曲线求保守力
x
VxF
)(
(2) 求平衡位置及判断平衡的稳定性（该问题我们将在第七章中再详细讨论）。
(3) 决定质点的运动范围（该问题我们将在第五章中再详细讨论 ) 。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
4.4.2 保守系与时间反演不变性
4.4.3 两体问题
§ 4.4 机械能守恒定律中国科学技术大学杨维纮
4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律由质点系的动能定理 (4.2.13)式：
内外 AAtEtE kk )()( 0
在一般情况下，可以将内力所作的功分为保守力作的功 A保内 和非保守力作的功 A非保内 两部分非保内保内内 AAA
由 (4.3.8)式知：
)()( 0 tVtVA保内于是：
非保内外 AAtVtEtVtE kk )]()([)]()([ 00
用 E 表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。
)()()( tVtEtE k
非保内外 AAtEtE )()( 0
则有：
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律非保内外 AAtEtE )()( 0
若,体系机械能增加；0
非保内外 AA
若,体系机械能减少；0
非保内外 AA
若,体系机械能保持不变。0
非保内外 AA
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律非保内外 AAtEtE )()( 0
重要特例：
0?外A
这有如下几种情况：
1,孤立体系，体系不受外力作用。
2,外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧所施的外力。
3,各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支承物的支承力。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律非保内外 AAtEtE )()( 0
重要特例：
0?外A
此时，体系的机械能的变化仅由非保守力作的功确定，
因而有：
1,若,体系机械能增加；（如炸弹爆炸）
2,若,体系机械能减少；（如摩擦力，称为耗散力）
3,若,体系机械能守恒。
0?非保内A
0?非保内A
0?非保内A
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
1,当摩擦力作为体系外力时，对体系可能作正功，
也可能作负功（也可以不作功）。摩擦力作为体系内力时，必定是成对出现的，若摩擦力作为作用力对一个物体作正功，则其反作用力对另一个
（与之发生摩擦的）物体必作负功，这一对摩擦力对两个发生摩擦作用的物体所作的总功只能为负（动摩擦）或零（静摩擦），因为一对内力的功只与两物体的相对位移有关，而摩擦力总是与两物体的相对位移反方向。因而 动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力。而静摩擦力不同，
它不消耗机械能。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
2,关于功与能的定理都是在牛顿定律基础上导出来的，因而只在惯性系中成立。
在非惯性系中，如要应用牛顿定律，必须引入惯性力，因而,如果要在非惯性系中应用功与能的定理，必须计入惯性力作功以及与惯性力相关的势能。 （由于惯性力没有施力物，与惯性力相联系的势能只能是指保守力场中的势能）。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
3,即使在惯性系中，应用功能定理时也要注意以下几点：
(1) 功并不是与参考系无关的不变量，内力所作的总功虽与参考系无关（此结论即使对非惯性系也成立），但外力的功一般与参考系有关。
(2) 动能并不是与参考系无关的不变量。物体的速度与参考系有关，因而物体的动能也与参考系有关。
(3) 物体系的势能总是与物体系的相对位置相联系，因而物体系的势能与参考系无关。
注意到这几点以后，不难看出，尽管在任何惯性系内动能定理、功能原理和机械能守恒定律都可应用，但 力的功，体系的动能，机械能的数值在不同参考系中并不相同； 而且,一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另一个参考系内机械能未必守恒,因为在一个参考系内机械能守恒条件成立，在另一个参考系内机械能守恒条件未必成立。
中国科学技术大学杨维纮几点说明：
4,功总是与一个过程相联系，而能量（动能和势能）总是与物体或物体系的状态，即
（相对）位置和速度相联系。因而 功是过程量，能量是状态量。 在力学范围内，作功的过程总是与体系能量的改变相联系。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性从对称性的角度看，保守力与非保守力的区别反映在时间反演变换上。
时间 t→ ﹣ t 的变换，叫做 时间反演变换,这相当于时间倒流。
在现实生活中时间是不会倒流的，但我们可以设想将现象用录象机录下来，然后倒过来放演。若把无阻尼的单摆运动录下来，
正、反放演，看不出什么区别；把自由落体录下来反着放演，便成为竖直上抛物体，在空气阻力可以忽略的情况下，两者同样真实；斜抛物体的运动也是这样。武打电视片的摄制者常利用这一点，让演员从高处跳下，拍摄下来倒着放演时，就可以表现一个人从平地一跃而起跳上高墙的场面，看起来相当逼真。然而有了阻力就不行了，阻尼单摆的振幅越来越小，反着放演它的录象，
振幅却越来越大，看起来不大像真的。如果上述武打演员穿的不是紧身衣裤，而是宽大的袍子，观众就会看到，当他纵身上墙时，
袍子竟飘逸而起，倒拍的特技就露了破绽。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性上面的例子告诉我们,保守系的运动规律具有时间反演不变性,亦即，如果在某个时刻令物体系中的每个质点 i 的速度反向，运动将逆转进行；耗散系则不具备这种性质。要从理论上说明这一点，可看每个质点 i 所服从的牛顿第二定律：
dt
dm i
ii
vf?
作时间反演变换 t→ ﹣ t 时,vi→ ﹣ vi，上式右端不变。因保守力只与质点的相对位置有关，它是时间反演不变的，故上式左端也不变，即该式对正、反过程同样成立。
在这种情况下，任何时刻只要速度反向，过程就会逆转。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性
dt
dm i
ii
vf?
然而，耗散力与速度的方向有关，作时间反演变换时,fi =﹣ fi,上式左端变号，即正、反过程的运动方程不同，速度反向时过程不沿原路返回，故耗散过程是不可逆的。
如前所述，“耗散”是宏观的概念，微观过程几乎都是时间反演不变的，不存在非保守力，这是因为事实上自然界所有已知的基本力都是保守力。所以,几乎所有的微观过程都是可逆的 。为什么从微观过渡到宏观，
过程就可能变为不可逆？
宏观的不可逆性来自概率统计性，并非源于微观动力学，这问题深刻而复杂，属于统计物理学的范畴，我们不在此处讨论。
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4.4.3 两体问题考虑两个质点的孤立体系，
质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决定。如图 4.11
取一惯性系，设质量分别为 m1 和
m2 的两质点，位矢和速度分别为
r1,r2 和 v1,v2,质心的质量 位矢分别为 mC和 rC，则有：
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
动力学方程为：
12221 fr 1?dtdm 12 222 2fr?
dt
dm
Fff 2112
于是：
02
2
dtdm CC r
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4.4.3 两体问题
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
12221 fr 1?dtdm
12
2
2
2 2f
r?
dt
dm
Fff 2112
02
2
dtdm CC r
该式表明质心作匀速运动。于是取质心为坐标原点建立的参考系也是惯性系，我们称该参考系为 质心系 。
设 m1,m2 在质心系中的坐标分别为 rC1,rC2,有：
)( 21
21
2
21
2211
111 rr
rrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
)( 21
21
1
21
2211222 rrrrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
中国科学技术大学杨维纮
4.4.3 两体问题
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
12221 fr 1?dtdm
12
2
2
2 2f
r?
dt
dm
Fff 2112
02
2
dtdm CC r
)( 21
21
2
21
2211
111 rr
rrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
)( 21
21
1
21
2211222 rrrrrrrr?
mm
m
mm
mm
CC
于是知 rC1 // rC2,且可得如下结论：
1,质心在两质点的连线上；
2,质点与质心的距离反比于质点的质量。
中国科学技术大学杨维纮
4.4.3 两体问题
21 m mm C
21
2211
mm
mm
C?
rrr
12221 fr 1?dtdm
12
2
2
2 2f
r?
dt
dm
Fff 2112
02
2
dtdm CC r
若 m1 << m2,考虑 m1 相对于 m2 的运动。选择与 m2 相对静止的参考系,m2 位于原点，称该参考系为 S系，在 S系中，
m1 的位置为 r，速度为 v，我们有 r = r1﹣ r2,v = v1﹣ v2 。我们知道,S 系为非惯性系，当然可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程，但是我们也可以通过上述方程导出的运动方程。
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd
中国科学技术大学杨维纮
4.4.3 两体问题
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd
定义：,称为 约化质量，或折合质量 。
21
21
mm
mm
按此定义，上述方程可以写成：
Fr?2
2
dt
d?
该方程与牛顿定律类似，我们认为大质量物体不动，
并认为 S 系是惯性系，其根据即在此。
中国科学技术大学杨维纮中国科学技术大学杨维纮
4.4.3 两体问题为了求在质心系中的机械能，不妨设该系统的势能为 V(r)，由 (4.4.13),(4.4.14)式可以求得在质心系中质点
m1,m2 的速度为：
vvvv
21
2
21
21
2
1 )( mm
m
mm
m
C
vvvv
21
1
21
21
1
2 )( mm
m
mm
m
C
在质心系中的机械能：
)(2121 222211 rVmmE vv
)()(21)(21 22
21
2
1
2
2
2
21
2
2
1 rVmm
mm
mm
mm?
vv
)( 21 2
21
21 rV
mm
mm?
v
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4.4.3 两体问题利用约化质量，可得在质心系中的机械能：
)( 21 2 rVE v?
Fr?2
2
dt
d?在 S 系中的运动方程：
由上述方程可知，只要将 m1 用约化质量代替，则不仅可以认为 S 系是惯性系，而且在 S 系中求得的机械能即为质心系中的机械能。
讨论：
1,即使 m2 不是很大时,m2 也运动，只要利用约化质量，
即可把两体问题化成单体问题；
2,其它质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法解。
中国科学技术大学杨维纮远古时代人们对大自然的变幻无常怀着神秘莫测的恐惧。几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然是有些规律可循的。经典力学在天文学上的预言获得辉煌的成就，无疑给予了人们巨大的信心，以致在 18世纪里把 宇宙看作一架庞大时钟的机械宇宙观 占了统治地位。
伟大的法国数学家拉普拉斯（ Pierre Simon de Laplace,
1749~1827）的一段名言把这种彻底的决定论思想发挥到了顶峰：
设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大物体和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之中，对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去一样展现在他的眼前。
中国科学技术大学杨维纮牛顿力学在天文上处理得最成功的，是两体问题，譬如地球和太阳的问题。两个天体在万有引力的作用下，围绕它们共同的质心作严格的周期运动。正因为如此，我们地球上的人类才有个安宁舒适的家园。但是太阳系中远不只两个成员，第三者的介人会不会动摇这种稳定与和谐？
长期以来天文学上用牛顿力学来处理这类问题，
用所谓,摄动法”,即把其它天体的作用看作是微小的扰动，以计算对两体轨道的修正。拉普拉斯用这种方法“证明”了三体的运动也是稳定的。
当拿破仑问他这个证明中上帝起了什么作用时，
他的回答是,陛下，我不需要这样的假设” 。 拉普拉斯否定了上帝，然而他的结论却是错的，因为他所用的摄动法级数不收敛。
中国科学技术大学杨维纮第一个意识到三体问题全部复杂性的也是位法国数学家，他叫庞加莱（ Henri Poincare,1854~1912）。庞加莱是 19,20世纪之交最伟大的数学家，当今有关“混沌”
理论最深刻的思想，都已经在他的头脑里形成了。只不过那时没有强有力的计算机，把他的思想清晰地表达出来。
1887年瑞典国王奥斯卡二世（ Oscar II）以 2500克朗为奖金征文，题目是天文学上的基本问题：,太阳系稳定吗？”
庞加莱是最渊博的数学家，他熟悉当时数学的每个领域，对奥斯卡国王的问题自然要试一下身手。庞加莱并没有最终解决它，事后表明，此问题的复杂性是人们没有预料到的。但由于他的工作对这个领域产生的深刻影响，庞加莱还是获得了奖。
中国科学技术大学杨维纮在万有引力作用下三体的运动方程，可以按照牛顿定律严格地给出，但由于它们是非线性的，谁也不会把它们的解表达成解析形式
（事后证明这是不可能的，不仅三体问题的运动方程不可能，而绝大多数非线性微分方程的解都不可能写成解析形式）。
庞加莱另辟溪径，发明了相图和拓扑学的方法，在不求出解的情况下，通过直接考查微分方程本身的结构去研究它的解的性质。庞加莱开拓了整整一个数学的新领域 ——微分方程的定性理论,至今有着极其深远的影响。
中国科学技术大学杨维纮十足的三体问题太复杂了，庞加莱采用了美国数学家希尔（ Hill）提出的简化模型：假定有两个天体，它们在万有引力作用下，围绕共同的质心，沿着椭圆形的轨道，作严格的周期性运动（这种运动叫做“开普勒运动”）；
另有一颗宇宙尘埃，在这两个天体的引力场中游荡。两天体可完全不必理会这颗微粒产生的引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐，因为微粒的质量相对它们自己来说实在太小了。可是微粒的运动会是怎样的呢？
这简化模型现在称之为,限制性三体问题” 。
中国科学技术大学杨维纮庞加莱用自己发明的独特方法探寻着，这微粒有没有周期性轨道。他在相空间的截面上发现，微粒的运动竟是没完没了的自我缠结，
密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。要知道，
当时并没有计算机把这一切显示在屏幕上，上述复杂图象是庞加莱靠逻辑思维在自己的头脑里形成的。他在论文中写道：“为这图形的复杂性所震惊，我都不想把它画出来。”这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动都会使微粒的轨道在一段时间以后有显著的偏离。
因此，这样的运动在一段时间以后是不可预测的，因为在初始条件或计算过程中任何微小的误差，都会导致计算结果严重的失实。
中国科学技术大学杨维纮庞加菜的发现告诉我们，简单的物理模型（如限制性三体问题）会产生非常复杂的运动，决定论的方程
（拉普拉斯意义下的）可导致无法预测的结果。
虽然庞加莱的发现已有 100多年了，而且在此期间许多优秀的数学家继庞加莱之后作出了卓越的贡献，直到 1975年学术界才创造了“混沌（ chaos）”这个古怪的词儿，来刻画这类复杂的运动。
20世纪七八十年代在学术界掀起了混饨理论的热潮，
从数学、力学波及到物理学各个领域，乃至天文学、化学、生物学等自然科学。在新闻媒体的报导下，又将
“混沌”一词传播到社会上，难免被渲染上几分神秘的色彩。
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4.5.1 柯尼希定理
4.5.2 一般质心系中的功能原理和机械能守恒定律
§ 4.5 质心系中国科学技术大学杨维纮
§ 4.5 质心系
4.5.1 柯尼希定理取质心为坐标原点建立的参考系称为 质心参考系 或 质心系 。在讨论孤立质点系的运动时，
采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒定律都能适用。即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，
可以证明,当质心系为非惯性参考系时，功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。
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4.5.1 柯尼希定理设两参考系 K,KC 分别为惯性系和质心系。在惯性系 K 中,n 个质点 mi ( i = 1,2,…,n ) 的位矢、速度、加速度分别为 ri,vi,ai ( i = 1,2,…,n ),质心的位矢、速度、加速度分别为 rC,vC,aC ；在质心系中个质点的位矢、速度、加速度分别为 rCi,vCi,aCi ( i = 1,2,…,n ) 。
则有：
CiCi rrr CiCi vvv CiCi aaa
用 Ek,EkC 分别表示质点系在惯性系 K 和质心系 KC
中的动能，有：
i
iik vmE
2
2
1
i
CiikC vmE
2
2
1
中国科学技术大学杨维纮
4.5.1 柯尼希定理
i
iCCiCCi
i
iik mmE )()(2
1
2
1
2 vvvvv
i
iCiCiCCCim )2(2
1
2 vvvvv
i
Cii
i
iCiCCC mmm
2
2
2
1
2
1 vvvv
i
CiiCC mm
22
2
1
2
1 vv kCCC Evm 2
2
1
即体系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为 柯尼希定理 。
我们知道质点系的动量等于质心的动量，但质点系的动能，一般并不等于质心的动能。
由以上证明过程可见，不论质心系是惯性系还是非惯性系，此定理都成立。
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4.5.2 一般质心系中的功能原理和机械能守恒定律我们知道，如果我们选取了非惯性参考系统，就应计入惯性力，在动能定理中必须计及惯性力所作的功。本节将证明，只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。
如质心的“绝对”加速度 aC = 0，则质心系也是惯性系。如 aC ≠ 0,则质心系为非惯性系，它是具有加速度 aC 的平动参考系。如选取质心系，则所有质点都要受到惯性力。现在我们来计算这样的惯性力系所作的功。
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4.5.2 一般质心系中的功能原理和机械能守恒定律作用于质点 mi 的惯性力为 ﹣ miaC,这个力对该质点所作的功为
tt CiCi dm 0 ra
惯性力所作的总功为：
tt CiCii dmA 0 ra惯 tt Cii iC dm 0 ra
tt Ci
i
iC md
0 ra
0)(
0
CCCCtt md ra
其中为在质心系中所求的质心的位矢，它当然等于零。
于是结论为：
只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。
中国科学技术大学杨维纮在某些问题中，选用质心坐标系比选用惯性参考系还要好。
例 4-3：在地面上将质量为 m = 1千克的物体以 v/ = 4米 /秒的速率掷出，物体的速率从 0 变为 4米 /秒，动能的增长 =(1/2)·1·42
焦耳 = 8焦耳。由动能定理，须对它作功 8 焦耳。现在又在速率为 v0 = 2米 /秒的轮船上将同一物体以同一速率 v/ 向前掷出。
如选用“静止”参考系，物体的速率从 2 米 /秒变为 6 米 /秒，
动能的增长 = (1/2)·1·62 ﹣ (1/2)·1·22焦耳 = 16焦耳。据动能定理，
须对它作功 16 焦耳。现在又在那只轮船上将同一物体以同一速率向后掷出，即 v/ =﹣ 4米／秒，选用“静止”参考系，物体的速率 v = v/ + v0 从 +2米 /秒变为 ﹣ 2米 /秒，动能的增长 = 0。
据动能定理，不需对它作功，由此可以得出结论,在轮船上抛掷物体所需的功与在岸上抛掷物体所需的功完全不同，向前掷与向后掷又是大不相同。 在轮船进行任何球类比赛都几乎是不可能的，因为两方都是在完全不同的条件下向对方掷球的。经验表明，以上结论与事实完全不符合。
中国科学技术大学杨维纮问题在于：由于作用与反作用定律，物体被抛掷出去，轮船相对于“静止”参考系统的速率也随之而变。
轮船的速率将从 v0 变为 v0 + u,u 的确切数值可利用
“轮船 —抛掷体”系统的动量守恒原理算出，这里不去算它了。 既然轮船的质量 M >>抛掷体的质量 m，不算也知道
u 是一个很小的量。另一方面，也正因为轮船的质量很大，尽管速率的改变 u 很小，而动能的改变
uMvMuuMvMvuvM 0202020 2121)(21
却是颇为可观的，相对于“静止”参考系，物体动能的增长诚然是 16 焦耳（向前掷的情况）或 0 焦耳（向后掷的情况），然而这并不等于所需作的功，所需作的功应等于“轮船 —抛掷体”系统的动能的增长；必须计及轮船的动能的改变才可以得出正确的结果。
为了计算抛掷物体所需的功，竟需要计及轮船的运动情况的改变，这无疑是很不方便的。
中国科学技术大学杨维纮选取“轮船 —抛掷体”系统的质心系则比较方便。
因为轮船质量远远超过物体的质量，“轮船 —抛掷体”
系统的质心实际上也就是轮船的质心，轮船相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，
轮船的动量始终是零，无需特别计及轮船动能，在质心系中，物体的速率也就是它相对于轮船的速率，不论向前掷或向后掷，物体的速率都是从 0 变为 4米 /秒，
动能的增长都是 8 焦耳。据动能定理，应对它作功 8
焦耳，与在岸上抛掷物体的情况相同。
这里可以看到质心坐标系的优越处：无需计算轮船运动的改变就能得出正确的结果。
中国科学技术大学杨维纮例 4-4,计算第三宇宙速度。 从地面出发的火箭如具有第三宇宙速度，那就不仅能够脱离地球，而且可以逸出太阳系。
解：首先，按 (4.3-7)式，规定无穷远点的引力势能为零，
由于火箭的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机械能
E 至少应等于零。这里的 E 指的是火箭的动能以及太阳 —火箭的势能。在地球这样的距离上，这个判据成为
021
1
2
R
MmGmv
这里 R1 为地球与太阳的距离。由上式解得：
秒千米 / 2.42/2 1 RGMv
这就是说，在地球这样的距离上，一个物体必须具有 42.2 千米 /秒的速率才可以逸出太阳系而飞往其他恒星。
但这里还没有计及地球的引力，上面的 42.2千米 /秒应当是已脱离了地球引力范围时的速率。那么火箭从地面出发时相对于地球的速率 v/ 应当多大呢？
中国科学技术大学杨维纮先选用“静止”（相对于太阳为静止）参考系，火箭已脱离了地球引力范围时的动能应为 (1/2)mv2，这时火箭 —地球势能为 0。为了用最小的速度达到目的，应当沿地球公转方向发射火箭，以最大限度地利用地球的公转动能。考虑到地球公转速率为 29.8千米 /秒，火箭以相对速率从地面出发时的动能为 (1/2)m(v/+29.8)2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理：
2
2
2 )2.42(
2
1)8.29(
2
1 mm g Rvm
R
其中 R 为地球半径。由此求得：
秒千米 / 7.128.292.112.42 22v
但这结果是完全错误的。
中国科学技术大学杨维纮类似于前一个例子，在火箭逸出地球引力范围的过程中，地球相对于“静止”参考系的速率也随之而变。
由于地球质量很大，这个速率变化很小。另一方面，正因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却颇为可观。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的结果。 为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况的改变，这是太不方便了。
选取“地球 —火箭”系统的质心坐标系则比较方便，
因为地球的质量远远超过火箭的质量，“地球 —火箭”
系统的质心实际上也就是地球的质心。地球相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，地球的动能始终为 0，无需特别计及地球的动能。
中国科学技术大学杨维纮在质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动能应为 (1/2)m(42.2﹣ 29.8)2,其时“地球 —火箭”势能为零。
火箭以相对速率 v/ 从地面出发时的动能为 (1/2)mv / 2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理：
2
2
2 )8.292.42(
2
1
2
1
mm g Rvm
R
由此求得第三宇宙速度：
秒千米 / 7.162.11)8.292.42( 22v
这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正确的第三宇宙速度。
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4.6.1 正碰
4.6.2 斜碰
4.6.3 质心坐标系
§ 4.6 碰 撞中国科学技术大学杨维纮
§ 4.6 碰 撞碰撞是相当广泛的一类物体间的相互作用。碰撞的特征是，极短的时间和强烈的相互作用。“极短的时间” 是指碰撞过程所经历的时间远小于物体产生明显运动所需要的时间。
即使是需时最长的碰撞，如两个星系之间的碰撞
（图 4.12），可能需要历经数百万年，但和星系的演化时间（数亿年）相比，仍然算是“一瞬间”。
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§ 4.6 碰 撞
“强烈的相互作用” 是指在碰撞过程中，相互冲击力很大，其它作用力（如摩擦力、重力等）皆可忽略。在碰撞问题中，一般都可以认为碰撞物体在碰前和碰后相距甚远，没有相互作用，分别作惯性运动。只有在相互接近的很短时间内才发生相互作用。
碰撞所研究的是碰前的自由状态与碰后的自由状态间的联系。显然，碰撞的中间过程是很难讨论的，一方面因为碰时物体之间的作用很强，力的具体情况难以确定，另一方面因为碰撞的细节难以测量和记录。微观粒子的碰撞更是如此。
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§ 4.6 碰 撞根据碰前和碰后物体的性质，可以把碰撞分成弹性碰撞和非弹性碰撞。
弹性碰撞 是指碰前碰后物体保持不变，既没有形状大小的变化，也没有内部状态的变化。
如果碰后物体有剩余形变或状态变化，并且两体并合以同一速度运动，则称为 完全非弹性碰撞 。
日常遇到的碰撞大多介于以上两者之间的非弹性碰撞，即两物体碰后形状有变，但以不同速度分离运动。
从能量观点看，机械能守恒的碰撞是弹性碰撞，机械能不守恒的碰撞是非弹性碰撞。不管是何种碰撞，动量守恒均成立。
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4.6.1 正碰如果碰前两小球速度 u1,u2沿两球中心的连线，这种碰撞被称为 正碰（对心碰撞） 。
在正碰情况下，碰后两小球的运动速度方向仍沿连线方向。
因此，在正碰撞时，小球的速度只需用代数值表示其大小和方向。如图 4.14，若要两球碰撞，必须 u1 > u2 。
由于两小球碰撞过程动量守恒，有方程
22112211 vmvmumum
为了求解 v1,v2,尚缺一个方程，必须对碰撞进行细致分析。
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4.6.1 正碰在碰撞的短暂时间
⊿ t 内，两小球首先相互接触，接着相互挤压，
两球分别产生形变和试图恢复形变的力。
在 u1 > u2 的情况下,m1 速度渐小,m2 速度渐大，
直至变为同一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为压缩阶段 。
随后，由于两小球形变逐渐恢复,m1 速度继续减小，
m2 速度继续增大，两小球速度分别达到 v1 和 v2 后开始分离。这是 恢复阶段 。
细致分析,
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4.6.1 正碰
1,压缩阶段,两球速度不等 → 两球速度相等，弹性力作用，球体变形。设弹性力对
m2 的冲量为 I，有：
222
111
Iumvm
Iumvm
消去 v，得：
21
21
11 )(
mmIuu
)( 21 uuI或：
其中,称为 约化质量（折合质量） 。
21
21
mm
mm
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4.6.1 正碰
2,恢复阶段,两球速度相等 → 两球分开，
变形逐逐渐恢复。设弹性力对 m2 的冲量为 J，有：
222
111
Jvmvm
Jvmvm
消去 v，得：
21
21
11
mmJvv
)( 12 vvJ或：
中国科学技术大学杨维纮
4.6.1 正碰牛顿指出：只要两球的材料给定，不论运动速度怎样，有：
eIJ?:
我们称 e 为 恢复系数 。由 (4.6.3),(4.6.5),(4.6.6)可得：
)( 2112 uuevv
该式可用实验检验，并可用于测定恢复系数 e。对不同材料的实验结果为,0 < e < 1。
中国科学技术大学杨维纮
4.6.1 正碰
22112211 vmvmumum
)( 2112 uuevv
由方程组：
可求得解为：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
中国科学技术大学杨维纮
4.6.1 正碰下面计算一下碰撞过程中的动能损失。由于碰撞过程中动量守恒，质心动能不变，利用柯尼希定理 (4.5.6)，只需计算在质心系中相对运动动能的改变。
碰撞前：
碰撞后：
动能损失：
2
21
2 )(
2
1
2
1 uuvE
kC
2
21
22
12 )( 2
1)(
2
1 uuevvE
kC
2
21
2 ))(1(
2
1 uueEEE
kCkCk
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为：
(1) m1 = m2 时，有,v1 > u2,v2 > u1,两球正好交换速度。
(2) u2 = 0，即受碰球开始时静止（高速粒子对靶粒子的碰撞实验中出现的情况）。有：
(a) m1 > m2 时，有,v1 > 0,入射球碰后仍向前运动；
(b) m1 < m2 时，有,v1 < 0,入射球碰后反向运动；
(c) m1 << m2 时，有,v1 =﹣ u1,v2≈0,碰撞后，大球仍保持静止，小球以相等的速率弹回；
(d) m1 >> m2 时，有,v1≈u1,v2≈2 u1，大球几乎以原来的速度继续前进，小球以两倍于大球的速度前进。
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为：
(e) m2 所得到的动能 ⊿ Ek2与碰前 m1 的动能 Ek1之比为：
2
21
21
2
21
21
2
11
2
22
1
2
)/1(
/4
)(
4
2
1
2
1
mm
mm
mm
mm
um
vm
E
E
k
k
当 m1/ m2 = 1 时，该式取到最大值。这说明，在 u2 = 0,
m2 越接近 m1 时,m1 丢失的动能越多。此结论，提供了核反应堆中快中子减速剂选择的原则之一。通常选择重水（含氘）和石墨作为中子减速剂。
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
2,e = 0，称为 完全非弹性碰撞,两球碰撞后粘在一起。此时 E/kC=0,
动能损失最多，为：
2
21 )( 2
1 uuEEE
kCkCk
速度：
Cvmm
umumvv?
21
2211
21
在实验室参考系内质心的动能是不参与粒子之间反应的，真正有用的能量，即 资用能,只是高能粒子与靶粒子之间的相对动能。若
m1= m2,按照上面的公式计算,μ= m1/2,vC = u1/2,EC = EkC,
即资用能只占总能量的一半。这是按牛顿力学计算出来的，并不符合高能粒子的实际。要按相对论力学来计算，资用能的比例远较这个数目小。加速器的能量越高，能量的利用率越低，这是很不合算的。所以现代的大加速器多采用对撞机的形式，让相同的高能粒子沿相反方向运动，进行碰撞。这样一来，实验室系和质心系便统一起来，，全部能量都是资用能。
中国科学技术大学杨维纮结果讨论：
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
3,0 < e < 1，实际情况。
机械能守恒不满足，一部分能量变为声能、振动能及形变能。
若 m1 << m2,u2 = 0时，有,v1 =﹣ eu1,v2 = 0
即弹回的小球 m1 的速度为碰前速度的 e 倍。这样，我们获得一个测定物体与地面相碰的恢复系数的简便方法。让物体从高度 H 自由落下，它落到地面的速度为
，即以此速度与地面相碰撞。碰撞后的反跳速度难以直接测量，但可以观测其上升的最大高度
h。于是恢复系数为：
gHu 21?
H
h
u
ve
||
||
1
1
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4.6.2 斜碰碰撞前两球的速度 u1,u2 不在两球中心连线上的碰撞叫 斜碰 。在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速度 v1,v2 不一定在 u1,u2 所组成的平面上。若碰撞前一个小球处在静止状态，即 u2 =0，则这种碰撞是二维问题。
我们只讨论这种情况。
在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有：
221111 vvu mmm
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum
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4.6.2 斜碰取 u1 方向为 x 轴，碰撞所在面为 x﹣ y 平面，上面的方程化为（ 称为散射角）：
22211111 c o sc o s vmvmum
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum
222111 s i ns i n0 vmvm
21,
通常，应用实验方法测出四个未知数中的一个，才能求出其余三个。
如果碰撞是非弹性的，那么只有前两个方程，未知量有四个，所以必须用实验方法测出四个未知数中的两个，
才能求出其余两个。
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4.6.3 质心坐标系上面讨论的碰撞所取的参考系是实验室系。但是，
对碰撞问题的分析常采用质心系，因为在质心系中，体系的动量永远为零。质心系中描写碰撞，表达形式简单，
物理意义清晰。
设在实验室系中，碰撞前、后两质点的速度分别为
u1,u2 和 v1,v2,则质心速度为：
21
2211
mm
mm
C?
uuv
在质心系中,碰撞前、后两质点的速度分别为 uC1,
uC2 和 vC1,vC2,则：
CCCC
CCCC
vvvvvv
vuuvuu
2211
2211
,
,
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1,正碰对应于方程 (4.6.1),(4.6.7)有：
022112211 CCCC vmvmumum
)( 2112 CCCC uuevv
由这两方程可得：
11 CC euv 2 2 CC euv
这个结论表示，在质心系中每个质点碰后的速度为其碰前速度的 – e 倍。
在质心系中，碰撞损失的动能为
)(21)(21 2 222 112 222 11 CCCCk vmvmumumE
)(21)1( 2 222 112 CC umume
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2,斜 碰我们仅讨论完全弹性碰撞，则由动量守恒和能量守恒可得：
022112211 CCCC mmmm vvuu
2
12
2
11
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
CCCC vmvmumum
由前一个方程知，碰前 uC1,uC2 在一条直线上，而碰后 vC1,vC2 也在一条直线上，故可将该方程写成标量形式：
022112211 CCCC vmvmumum
解得：
11 CC uv? 22 CC uv?
即在质心系中，两球碰撞后，它们的速度都只改变方向，
而不改变大小。可以用其入射方向和出射方向的夹角来表示它们运动方向改变的程度，其值可在 0 到 π之间，与碰撞参量有关。
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4.7.1 什么是对称性
4.7.2 因果关系和对称性原理
4.7.3 守恒率与对称性
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律中国科学技术大学杨维纮
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律
4.7.1 什么是对称性在现代物理学中对称性是个很深刻的问题。在粒子物理、固体物理、原子物理等许多领域里，对称性的概念都很重要。描述对称性的数学语言是群论。这里不打算涉及群论，只想介绍一下对称性原理，用以探讨与本课水平相当的问题。
对称性的概念最初来源于生活。在艺术、建筑等领域中，所谓“对称”，通常是指左右对称。人体本身就有近似的左和右的对称性。各类建筑，特别是很多民族的古代建筑，都有较高的左右对称性。我国古代的官殿、
庙宇和陵墓建筑尤为突出，而园林建筑的布局则错落有致，于不对称中见对称。
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4.7.1 什么是对称性我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做
“变换”，或者说，我们给它一个“操作”。如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，
状态在此操作下不变，我们就说这系统对于这一操作是
“对称的”，而这个操作叫做这系统的一个“对称操作”。
例如考虑一个圆对于围绕中心旋转任意角度的操作来说都是对称的；或者说，旋转任意角度的操作都是这圆的对称操作。如果我们在圆内加一对相互垂直的直径，
这个系统的对称操作就少多了。转角必须是 90度的整数倍，操作才是对称的。
以上关于“对称性”的普遍定义，是德国大数学家魏尔（ H,Weyl）首先提出来的。
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4.7.1 什么是对称性最常见的对称操作是时空操作。空间操作有平移、
转动、镜象反射、空间反演、标度变换（尺度放大或缩小），等等；时间操作有时间平移、时间反演，等等。
第二章 2.4.3节介绍的伽利略变换，则是时空联合变换。
除时空操作外，物理学中还涉及到许多其它的对称操作，
如置换、规范变换、正反粒子共轭变换和某些动力学变换等，一般说来它们比时空变换抽象得多。
在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有轴对称性，属于前者；牛顿定律具有伽利略变换不变性，则属于后者。
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4.7.2 因果关系和对称性原理自然规律反映了事物之间的因果关系。所谓“因果关系”，就是在一定条件下会出现一定的现象。在这种情况下我们把前者（条件）称为“原因”，后者（现象）
称为“结果”。要构成一条稳定的因果关系，最重要的需要有两条：可重复性和预见性。其实这就是科学本身存在的必要前提。以上两条性质要求“相同的原因必定产生相同的结果”。但宏观世界的事物没有绝对相同的，
我们可以把语气放宽一些，用“等价”一词代替“相同”，把因果关系归结为：
等价的原因 → 等价的结果。
这里的箭头表示“必定产生”。这就是因果性的等价原理。
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4.7.2 因果关系和对称性原理一个操作产生“相同”或“等价”的效果，就是不变性，不变性也就是对称性。所以用对称性的语言来说，
上述等价原理可改写成下列公式：
对称的原因 → 对称的结果。
应注意，因果关系的等价原理中箭头是单向的，即只有“等价的原因必定产生等价的结果”，但等价的结果可能来源于不等价的原因。从而上列用对称性来表达的因果关系中箭头也是单向的，即对称的结果也可能来源于不对称的原因。所以我们说：
原因中的对称性必反映在结果中，
即结果中的对称性至少有原因中的对称性那么多。
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4.7.2 因果关系和对称性原理反过来应该说：
结果中的不对称性必在原因中有反映，
即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。
以上原理叫做 对称性原理,它是皮埃尔 ·居里
（ Pierre Curie,1859~1906）于 1894年首先提出的中国科学技术大学杨维纮
4.7.2 因果关系和对称性原理当我们抛射一个物体时，若没有其它原因，抛体的轨迹不会偏离其初速度与重力决定的竖直平面。如果我们发现抛体的轨迹朝某一侧偏斜（结果中中现了不对称性），我们相信，一定存在对此平面不对称的原因，譬如有横向的风。这是上述对称性原理反过来的应用。在足球场上我们常会看到，
球员踢出的球会拐弯（特别是在罚角球时），这种球俗称
“香蕉球”。赛场上没有风，球偏斜的方向可以由踢球的人控制。这是什么原因呢？即使我们不懂流体力学，但懂得对称性原理，我们就敢肯定，在球离开球员的脚之前就已存在不对称性了。仔细找找原因，我们会发现，香蕉球踢出时是旋转的，它旋转的方向决定了球向哪边偏斜。旋转 ——这就是对初始的竖直平面左右不对称的因素，轨迹的偏斜正是这个不对称因素的反映。至于空气和旋转的球之间的相互作用究竟怎样使之偏斜的，那就要靠流体力学的具体知识了。
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4.7.3 守恒率与对称性首先看能量守恒定律。从宏观的角度看，物体系有保守系和非保守系之分，前者机械能守恒，后者则不然。从微观的角度看无所谓耗散力，在一切系统中，粒子与粒子之间的相互作用可通过相互作用势（分子力势能）来表达。时间均匀性，或者说，时间平移不变性意味着，这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关，亦即，对于同样的相对位置，粒子间的相互作用势不应随时间而变。在这种情况下系统的总能量（动能 + 势能）自然是守恒的。我们可以举一个例子来说明，在相反的情况下能量可以不守恒。广东省从化县建设了一个抽水蓄能电站，夜间用电低谷时抽水上山，白天用电高峰时放水发电。利用昼夜能源的价值不同，可以获得很好的经济效益。倘若昼夜变化的不仅是能源的价值，而且是重力加速度（它代表着万有引力的强度），从而水库中同样水位所蓄的重力势能作周期性的变化，则抽水蓄能电站获得的不仅是经济效益，而且是能量的赢余。于是，永动机的梦想实现了。时间的平移不变性不允许出现这种情况。
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4.7.3 守恒率与对称性其次看动量守恒定律。
如图 4.18所示，考虑一对粒子 A 和 B，它们的相互作用势能为 V。现将 A 沿任意方向移动到 A/（见图 4.18(a)，
这位移造成势能的改变（抵抗对的力所作的功）：
sf ABV
若 A 不动，将 B 沿反方向移动相等的距离到 B/ (图
4.18(b))，则势能的改变为 (抵抗 A给 B的力所作的功 )：
sfsf BABAV )(
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4.7.3 守恒率与对称性上述两种情况终态的区别仅在于由两粒子组成的系统整体在空间有个平移，它们的相对位置是一样的：
BABA
空间均匀性，或者说，空间平移不变性意味着，两粒子之间的相互作用势能只与它们的相对位置有关，与它们整体在空间的平移无关。从而两种情况终态的势能应相等：
sfsf ABBA VV
因为 ⊿ s 是任意的，故有：
BAAB ff要知道，“作用力和反作用力大小相等，方向相反”
和“动量守恒”两种说法是等价的。于是，我们从空间的平移不变性推出了动量守恒定律。
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4.7.3 守恒率与对称性物理学各个领域里有那么多定理、定律和法则，但它们的地位并不是平等的，而是有层次的。例如，力学中的胡克定律，热学中的物态方程，电学中的欧姆定律，都是经验性的，仅适用于一定的物料，一定的参量范围。这些是较低层次的规律。
统帅整个经典力学的是牛顿定律，统帅整个电磁学的是麦克斯韦方程，他们都是物理学中整整一个领域中的基本规律，层次要高得多。
是否还有凌驾于这些基本规律之上更高层次的法则？
是的，对称性原理就是这样的法则，由时空对称性导出的能量、动量等守恒定律，也是跨越物理学各个领域的普遍法则。这就是为什么在不涉及一些具体定律之前，我们往往有可能根据对称性原理和守恒定律作出一些定性的判断，
得到一些有用的信息。
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