第三章 利率和期限结构理论
利率理论的重要性
名义利率和实际利率
几种常用利率的定义
利率的确定
期限结构理论
1,研究利率理论的重要性
从宏观层面：作为调节经济重要工具
货币政策：刺激或者抑制投资，刺激或者抑制经济增长
例子：人民银行 2002年 2月 21日降息,2004年 10月 28日宣布升息
从微观层面
投资者关注所投资的证券的风险和期望收益，无风险利率作为评价投资机会的基准 (Benchmark for
investment)。
无风险利率作为投资的比较标准,投资决策的第一原则
(the first principle of investment)
固定收益证券的定价和风险管理，利率衍生产品的定价
例子：债券定价、利率期货定价
风险证券定价中折现因子的时间酬金部分
Interest rates and forecasts of their
future values are among the most
important inputs into an investment
decision.
例子,1000元存款，浮动利率与固定利率定期存款
例子：预测债券将来的价格
2,名义利率和实际利率
利率通常又称为货币的 时间价值
名义利率 (nominal interest rate)
货币的增长率
实际利率 (real interest rate)
购买力的增长率
例如,假设在某一年,名义利率是 7%,消费价格指标从 121增加为 124。 这意味着,在基准年值 100元的商品和服务簇,在这一年初的价格为 121元,而到了这一年年末,价格为
124元 。 这个商品和服务簇的所有者能够在年初以价格 121元卖掉它,并以 7%的利率投资,
在年末,得到 129.47(=1211.07)元,用这
129.47元马上可以买 1.0441(=129.47/124)个商品和服务簇 。 所以,实际利率为
4.41%(=1.0441-1)。
消费价格指标 (consumer price
index) （或者生活成本指标）
=年初的消费价格指标
=年末的消费价格指标
NIR=名义利率
RIR=实际利率
0C
R I RC N I RC 1)1(
1
0
1C
这里 CCL表示通货膨胀率
当投资者对将来财富的购买力感兴趣时，在进行投资选择时，名义利率和实际利率的区分至关重要
R I RC C LN I R 111
C C LN IRR IR
例子,1000面值零息债券,20年到期，名义利率为 12%，购买价格为 103.7元
Assum ed
annual
rate of
inflat ion
Nu m ber of Y ua n
require d 20 ye ars
from now to buy
wh at 1 Y ua n
bu ys t od ay
Pu rc hasi ng
power of
1000 Y ua n to
be receive d
in 20 ye ar s
Ann ualiz ed
real HPR
4% 2.19 456.3 9 7.69 %
6 3.21 31 1.8 0 5.66
8 4.66 214.5 5 3.70
10 6.73 14 8.6 4 1.82
12 9.65 103.6 7 0.00
两种计算利率的方式,简单利率计算
(simple interest)和 复利的计算 (compound
interest)。
例子,semiannual rate=3.86%
简单利率计算
Bond Equivalent Yield 7.72% = 3.86% x 2(Annual
Percentage Rate (APR))
在简单利率计算的规则下,总值随时间的增加而线性增加 。
复利的计算
Effective Annual Yield (1.0386)2 - 1 = 7.88%
在复利计算的规则下，总值随时间的增加而以指数增加 。
例子,Effective annual rates for APR of 6%
Com p o u n d in g
fr e q u e n cy
n R ef f (%)
Ann u al ly 1 6,0 0 0 0 0
Sem ia n n u al ly 2 6,0 9 0 0 0
Qu a rterly 4 6,1 3 6 3 6
Mon thly 12 6,1 6 7 7 8
W ee k ly 52 6,1 7 9 9 8
Dail y 3 6 5 6,1 8 3 1 3
连续复利计算 (continuous compounding)
（ 以年利率表示 ）
CCL
N I RR I R
e
ee?
CCLN IRR IR
3,未来利率的确定
Forecasting interest rate is one of the
most notoriously difficult parts of
applied macroeconomics.
尽管存在许多种利率（和证券的种类一样多），经济学家所说的利率是一种有代表性的利率，我们利用这种抽象的概念来说明市场如何确定未来的均衡利率。
3.1 实利率的确定
三个基本因素确定实利率水平
储户的供给
商业的需求
政府行为
财政政策
货币政策实利率的确定
Interest rate
Supply
equilibrium
real rate of
interest
Demand
Equilibrium funds lent Funds
E
'E
尽管决定实利率的基本因素是个人的储蓄倾向和投资的预期生产力，政府的货币政策和财政政策也影响实利率。
实际利率的唯一性
3.2 名义利率的确定
Fisher equation
One reason it is difficult to determine
the empirical validity of the Fisher
hypothesis that changes in normal rates
predict changes in future inflation rates
is that the real rate also changes
unpredictably over time.
)( CC LER I RNI R
Longer rates incorporate forecasts for long-
term inflation,Interest rates on bonds of
different maturity may diverge,The prices of
longer-term bonds are more volatile than
those of short-term bonds,This implies that
expected returns on longer-term bonds may
include a risk premium,so that the expected
real rate offered by bonds of varying maturity
also may vary,
假设：尽管有通货膨胀风险，在本章以下的内容里假设通货膨胀率是可以准确预测的。
这个假设使得我们可以仅仅关注时间对债券价值的影响。
到期收益率
现货利率
远期利率
4,几种利率的定义及性质
4.1 到期收益率
债券的到期收益率 (yield to maturity)指的是,
由银行支付给投资者的,使得投资者在将来能够获得该债券承诺的所有支付的唯一利率 （ 在某个特定的时间区间以此利率计算复利 ） 。 我们也可以这样定义：如果用其作为折现率,所有现金支付 （ 包括利息和本金 ） 的现值正好等于其价格 。
到期收益率描述的是整个到期日之前的利率
The yield to maturity can be interpreted
as the compound rate of return over
the life of the bond under the
assumption that all bond coupons can
be reinvested at an interest rate equal
to the bond’s yield to maturity,
假设债券的面值为,每年支付 m次利息,每次支付的利息为,债券的价格为 P,则到期收益率是使得下式成立的 的值
F
mC
n
k
kn
m
m
C
m
F
P
1
11
上式中的第一项是面值的现值,第 k项是第 k次利息的现值 。 以名义利率 为基础,所有支付的现值和为债券的价格 。 如果按这种定义方式,到期收益率类似于投资决策里的内部收益率 (internal
rate of return)。 每一种债券的到期收益是由债券自己的结构决定的,具有独有的特性 。
因为利息一般每年支付两次，所以通常以半年为单位计算复利来计算债券的到期收益率。
三种国库券分别称为 A,B,C。 债券 A一年到期,在到期日,投资者获得 1000元 。
同样地,债券 B两年到期,在到期日,投资者获得 1000元 。 债券 C是带息债券
(coupon bond),从现在开始,这种债券每年支付 50元的利息,两年到期,在到期日,支付给投资者 1050元 。 市场上三种债券的价格分别为：
债券 A（ 一年到期的纯折现债券 ）,934.58元
债券 B（ 两年到期的纯折现债券 ）,857.34元
债券 C（ 两年到期的带息债券 ）,946.93元 。
债券 A：到期收益率是满足下面方程 (2.3)的的值
债券 B：到期收益率是满足下面方程 (2.4)的的值
债券 C：到期收益率是满足下面方程 (2.5)的的值
Ar
1 0 0 058.9 3 4)1( Ar
%7?Ar
Br
1 0 0 034.8 5 7)1()1( BB rr
%8?Br
Cr
1 0 5 05093.9 4 6)1()1( CC rr
%975.7?Cr
我们在上面是用计算利息的方式来定义到期收益率 。 由于折现值和利息是在时间上相对的两个概念,所以我们下面利用计算折现值的方式来定义到期收益率 。
对债券 A而言,方程 (2.3)等价于
对债券 B而言,方程 (2.4)等价于
对债券 C而言,方程 (2.5)等价于
Ar?
11 00 058.9 34
21
100034.857
Br?
21
1 0 5 0
1
5093.9 4 6
CC rr?
到期收益率与债券价格之间的关系
n
k
kn
m
m
C
m
F
P
1 11
价格
500
400
300
200
100
0 5 10 15
到期收益率
15%
10%5%
0%
在图 1中,价格表示为面值的百分比；价格作为纵轴,到期收益率作为横轴,价格是到期收益的函数；所有债券的期限为 30年；每条曲线上的数字表示息率 。 从图 1可以看出的第一个明显的特征是它具有负的斜率,即价格与到期收益之间有相反的变化关系 。 如果到期收益率上升,价格就会下降 。 原因在于,对于固定的收入流,要使得投资者的到期收益率较高,投资者愿意支付的价格就越低 。
价格 —收益曲线的第二个特征是,当到期收益率为 0时,即没有利率时,债券的价格正好等于它的所有支付的和 。 比如利息率为 10%的曲线,每年为 10点,一共 30年,得到 300点,再加上
100%的面值,得到的价格为 400点 。
第三个特征是当到期收益率和利息率相等时,债券的价格正好等于其面值 。 例如利息率为 10%的曲线,当到期收益率为 10%时,其中的价格正好等于 100点 。 这两者相等的原因在于,每年的利息支付正好等于 10%的收益,从而每年的价格保持不变,均为 100点 。 这相当于一种贷款,本金的利息每年支付,使得本金保持不变 。
第四个特征是,当到期收益率越来越大时,债券的价格趋于零 。
价格
400
300
200
100
10 到期收益率
30年
10年
3年
在图 2中,价格仍然为纵轴,到期收益率仍为横轴,三种债券的息率均为 10%,但三种债券的期限分别为 30年,10年,3年 。 当到期收益为 10%
时,由上面的分析,我们知道它们的价格均等于其面值,所以它们通过共同的一点 。 但是,当到期收益偏离 10%时,各自价格变化的程度却不一样 。 可以看到,当期限增加时,收益曲线越来越陡 。 这说明,期限越长的债券,其价格对收益率的敏感度就越大 。
对投资者而言,价格 —收益率曲线是非常重要的 。
因为它描述了债券所具有的利率风险：如果到期收益变化,债券价格也将变化 。 这是一种即时风险,只影响债券的近期价格 。 当然,如果债券持有者继续持有这种债券,直到到期日,在到期日,
他得到本金和利息,这个现金流不会受到到期收益的影响,从而没有什么风险 。 但是,如果债券持有者提前卖掉债券,就会有风险 。
到期收益率和持有期收益率
到期收益是对债券整个有效期内平均回报率的一个描述
持有期收益率是对任何时间期间收入占该时间区间期初价格的百分比的一个描述例子：
30年到期，年利息为 80元，现价为 1000
元，到期收益为 8%，一年后，债券价格涨为 1050元，到期收益将低于 8%，而持有期收益率高于 8%
%131 0 0 0 )1 0 0 01 0 5 0(80
例子：
0 10年1年
1000元 1050元 1000元
10,1y
1,0h
10,2y
到期收益率是否是选择投资的好标准？
Suppose that you are given two bonds
to choose from and you may invest in
only one of them,Should you always
chose the one that has the higher yield
to maturity?
Example:
Consider two bonds with the same maturity
of fifteen years,Coupons are paid annually,
Information about the bonds:
Should you choose bond 2?
Bond Annual Coupon Principal Price YTM
1 $200 $1000 $1545 12%
2 $50 $4856 $1545 10%
Suppose that the future course of one
period interest rates is certain and is
given by:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Spot
rate(%) 2 5 10 8 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Follow the reinvestment strategy:
Reinvest the coupons at the one period spot rates and continue
rolling over these coupons and the accumulated interest on them
at the one period spot interest rate.
The value at the end of the fifteenth year for these two bonds
are:
WHAT HAPPENED
Bond Future value
1 6049.30
2 6127.33
Lessons:
Yield to maturity is not a valid measure of,yield” for
coupon bonds since it does not take into account
future reinvestment opportunities.
The calculation of yield to maturity for coupon bonds
assumes that the coupons will be reinvested at the
yield to maturity.
Since zero coupon bonds do not have coupons to
reinvest,their YTM's are valid measures of their
attractiveness as investments.
Note,This same problem occurs if you use the IRR
rule in choosing investment projects.
这个例子说明当重投资利率发生变化时，
利用到期收益率做比较时存在的问题。
但是，当未来的利率不确定时，到期收益率就是很好的选择标准。
即期利率 (spot rate)是零息债券的到期收益率 。
它是定义利率期限结构的基本利率 。
4.2即期 利率
债券 A,B市场的价格分别为：
债券 A（ 一年到期的纯折现债券 ）,
934.58元
债券 B（ 两年到期的纯折现债券 ）,
857.34元
债券 A：即期利率是满足下面方程的 的值
债券 B：即期利率是满足下面方程的 的值
AS
1 0 0 058.9 3 4)1( AS
%7?AS
BS
1 0 0 034.8 5 7)1()1( BB SS
%8?BS
债券 C是带息债券 (coupon bond),从现在开始,这种债券每年支付 50元的利息,
两年到期,在到期日,支付给投资者
1050元 。 市场上三种债券的价格分别为：
债券 C（ 两年到期的带息债券 ）,946.93元 。
221 1
1050
1
5093.946
SS
即期利率是针对具体时间的回报率（折现率），对所有的债券都成立。
1S
2S
3S
4S
如果我们存一笔钱在银行,一直到时间 t以前,银行不支付利息,而在时刻 t,利息和本金一次性支付 。 这个投资过程所获得的利率即为即期利率 。 一般来说,如果以年为计算单位,从现在 (t=0)到时间 t,投资者所持有的货币的利率即为 0到 t的即期利率,我们以 表示 。 因此,表示一年的即期利率,
即,持有货币一年的利率 。 同样,表示持有货币两年的利率,但它是以年为单位来表示的 。 这意味着,如果你存一笔钱 A在银行,
银行以利率 计算复利,两年后,连本带息你可以得到
tS 1S
2S
AS 221?
2S
每年一期：如果每年只计算一次,则 t 年的利率为：
每年期：如果每年分为 m 期,则 t 年的利率为：
连续复利：如果连续计算复利,则 t 年 的利率为：
ttS?1
mt
t
m
S
1
tS te
确定即期利率曲线的方法 。
确定即期利率曲线最明显的方式是通过不同到期日的零息债券的价格来决定 。 但是,由于能够得到的零息债券的种类太少 （ 事实上,没有真正严格意义上的长期限的零息债券 ）,所以,这种方法并不切实可行 。
第二种方式是通过附息债券的价格来决定即期利率曲线 。 这种方式从短期限的附息债券开始,逐步向长期限的附息债券递推 。 首先,可以通过直接观察 1年的利率来确定 。 接着,考虑两年到期的债券 。 假设这种债券的价格为 P,每年支付的利息为 C,面值为 F，
则 P,F 和 C之间满足如下关系：
通过这个式子可以得到 。利用这种方法，依次可以求出 。
第三种方法,我们也可以通过利用不同的附息债券构造零息债券来确定即期利率 。
1S
221 11 S
FC
S
CP
2S
43,SS
例：零息收益曲线的确定
如何从带息债券的价格得到零息收益曲线债券本金
（元）
到期日
（年）
年息 （元）
（每年两次）
债券价格
（元）
100
100
100
100
100
0,25
0,50
1,00
1,50
2,00
0
0
0
8
12
97,5
94,9
90,0
96,0
101,6
假设 是连续复利的利率,是每年复利次的等价的利率（均以年利率表示），则
由第一种证券，得到 3个月连续复利利率（以年利率表示）
cr mr m
m
rmr m
c 1ln
1 01 3.01ln4 4 5.97
5.24
由第二种证券，得到 6个月连续复利利率（以年利率表示）
1年的利率为
104 7.0
2
9.94
1.52
1ln2?
10 54.00.90101ln
假设 1.5年的即期利率为,则
从而
这仅仅只是与 6个月,1年的即期利率一致的现货利率
r
9610444 5.10.11054.05.01047.0 reee
1068.0?r
类似地,2年的即期利率为
6.101106
666
2
5.11068.00.11054.05.01047.0
re
eee
1081.0?r
连续复利的即期利率到期日 现货利率
0,2 5 0,1 0 1 3
0,5 0 0,1 0 4 7
1,0 0 0,1 0 5 4
1,5 0 0,1 0 6 8
2,0 0 0,1 0 8 1
Zero curve
作业：计算即期利率的期限结构
数据来源：巨潮网,2004.9.20
债券代码 到期日 息率 (%) 收盘价
000696 2006.6.14 11.83 114.77
009704 2007.9.5 9.78 116.6
009908 2009.9.23 3.3 93.99
010004 2010.5.23 2.87 95.12
010110 2011.9.25 2.95 88.42
010203 2012.4.17 2.54 85.11
折现因子
已知各个时间的即期利率，就可以给任何债券定价，这时，即期利率就是折现因子例子
假定有一种国债，面值为 1000元，息率为 5%，
期限为 3年，那么该国债的现金流量为
这种债券相当于 3个零息债券的组合，其一面值为 50元，期限为 1年；其二面值为 50元，期限为 2年；其三面值为 1050元，期限为 3年。因此，本例中国债的价值一定等于这三个零息债券价值之和。因此，只要能够计算出每种零息债券的价值，将这三个零息债券的价值加起来，
就可以得到该国债的价格
50 50 50+1000
折现因子表示在某一特定时期后的 1元价值，相当于零时点的价值。设 为折现因子，那么就表示在 T期末支付 1元钱的零息债券的现在价格。
Td
T
T Sd
1?
例子：折现因子期限 即期利率 折现因子
1/ 365 8.2387% 0.99978
0.5 8.4181% 0.96039
1 8.5056% 0.92161
1.5 8.5914% 0.88370
2 8.6753% 0.84672
2.5 8.7574% 0.81069
3 8.8377% 0.77564
4 8.9927% 0.70862
5 9.1404% 0.64576
6 9.2807% 0.58714
7 9.4136% 0.53272
8 9.5391% 0.48244
9 9.6570% 0.43619
10 9.7675% 0.39379
11 9.8705% 0.35507
12 9.9659% 0.31982
13 10.0537% 0.28783
14 10.1340% 0.25888
15 10.2067% 0.23274
16 10.2718% 0.20920
17 10.3292% 0.18805
即期利率
0.0000%
2.0000%
4.0000%
6.0000%
8.0000%
10.0000%
12.0000%
期限 0
.
5
1
.
5
2
.
5 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
到期收益率折现因子曲线
0.00000
0.20000
0.40000
0.60000
0.80000
1.00000
1.20000
期限 0
,5
1
,5
2
,5
4 6 8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
折现因子系列2
通过折现因子，可以计算任何期限的，
任何息率的固定收益证券的价格
i
n
i
i CdP
1
n
n
n
r
c
r
c
r
cP
)1()1()1( 22
2
1
1
1
例子
假定有一种国债，面值为 1000元，息率为 5%，期限为 3年，那么该国债的价格为
远期利率 (forward rate)是现在确定的在将来两个时间之间的货币的利率 。
4.3 远期利率
考虑从现在开始到两年之后的这段时间 。 假设现货利率,已经知道 。 如果我们在银行把一块钱存两年,两年后,这块钱将变成
我们也可以分两步进行投资,先将这一块钱存一年,同时决定将一年后得到的本息再存一年,从第一年末到第二年末之间的利率现在就规定好,设为 。 两年后,这块钱将变成 元 。 由无套利原理,这两种投资方法的回报应该相等,即
1S 2S
221 S?
2,1f
2,11 11 fS
2,1122 111 fSS
例：远期利率的计算
N 年投资的 N 年的年 现货利率 远期利率
1 1 0,0
2 1 0,5
3 1 0,8
4 1 1,0
5 1 1,1
假设采用连续复利的计算方式
第 2年的远期利率由 1年和 2年的即期利率决定
2105.011.01.0 100100 eee
3108.0114.02105.0 1 0 01 0 0 eee
411.0116.03108.0 100100 eee
5114.0129.0411.0 100100 eee
例：远期利率的计算
N 年投资的 N 年的年 即期 利率 远期利率
1 1 0,0 0,1 0
2 1 0,5 0,1 1
3 1 0,8 0,1 14
4 1 1,0 0,1 16
5 1 1,1 0,129
一般的，设 是 年的即期利率（以年利率表示），设 是 年的即期利率（以年利率表示）,则 和 之间的远期利率为
r T
*r *T
*TT? T *T r?
TT
rTTrr
*
**
远期收益率与到期日之间的关系
当 时，有
TT Trrrr ***?
rr?*
rrr *?
4.4 远期利率与将来即期利率之间的关系
确定性市场：投资者确定地知道将来每一年的利率值。
例子：预期未来几年中每年的利率
yea r inte rest
0 8%
1 10%
2 1 1%
3 1 1%
Pricing of Bonds
using Expected Rates
)1),.,(1()1(
1
21 n
n rrrPV
PVn = Present Value of $1 in n periods
r1 = One-year rate for period 1
r2 = One-year rate for period 2
rn = One-year rate for period n
面值为 1000的零息债券的价格和即期利率
T ime to m at urity
pri ce
Y ie ld to m at ur ity
(Spot ra t e)
1 925.93 8.000%
2 841.75 8.995
3 758.33 9.660
4 683.18 9.993
期限结构
即期利率
到期日即期利率与将来每一年的利率
1 2 3 4
%81?r %102?r %113?r %114?r
%81?y
%995.82?y
%660.93?y
%993.94?y
即期利率与将来每一年的利率
nnn rrry 11111 21
1
1 )1(
)1()1(
n
n
n
n
n y
yf
fn = one-year forward rate for period n
yn = yield to maturity for a security with a
maturity of n
)1()1()1( 11 nnnnn fyy
Forward Rates from
Observed Long-Term Rates
例子中的远期利率
4 yr = 9.993 3yr = 9.660 fn =?
(1.0993)4 = (1.0966)3 (1+fn)
(1.46373) / (1.31870) = (1+fn)
fn =,10998 or 11%
Note,this is expected rate that was used
in the prior example.
在确定性市场中，将来的即期利率与远期利率相等,
单调上升的期限结构表明将来的即期利率比现在的即期利率高在第一年的持有期收益率
如果在第一年分别持有面值为 1000、到期日为 1,2,3年的债券，则在第一年的持有期收益率分别为
08.093.9 2 5 93.9 2 51 0 0 0
08.0
75.841
75.841
10.1
1000
08.033.7 5 8
33.7 5 811.110.1 1 0 0 0
在确定性市场中，不管采用什么投资策略，只要投资的期限相等，所得到的收益就相等。
远期利率与将来现货利率之间的关系
不确定性市场：投资者不知道将来的即期利率，仅仅知道债券的价格和到期收益率。
假如投资者仅仅知道到期收益如下表所示，投资者关心第三年的即期利率
T im e to maturi t y
price
Y iel d to m atur ity
1 925.93 8.000%
2 841.75 8.995
3 758.33 9.660
4 683.18 9.993
考虑下面两个投资策略
投资在三年的零息债券
先投资在两年的零息债券，两年后再重投资在一年债券
两年后
第三年
87.1 3 10 9 9 6.11 0 0 3
20 8 9 9 5.11 0 0?
31 r?
仅仅可以知道第三年的远期利率，而第三年的远期利率不一定就等于第三年的即期利率，甚至也不等于第三年的期望即期利率。
只有当而第三年的远期利率等于第三年的即期利率时，采用一次性到期策略和滚动策略所得到的收益才相等。
远期利率是否等于期望将来即期利率依赖于投资者愿意承担利率风险的程度，以及愿意投资在与投资时间不相匹配的债券上的程度。
短期投资者
长期投资者
30996.110032 108995.1100 rE
30 9 9 6.110032 108995.1100 rE
5,利率期限结构描述
把利率表示为到期日的函数,用以体现不同到期日利率的方式称为利率的期限结构
Upward Sloping
Maturity
Flat
Maturity
Downward
Maturity
通过分析期限结构得到什么信息
There does appear to be some evidence that
the term structure conveys information about
expected future spot rates,
Examining the term structure of interest rates
is important for determining the current set
of spot rates,which can be used as a basis
for valuing any fixed-income security.Such an
examination is also important because it
provides some information about what the
marketplace expects regarding the level of
future interest rates,
6,期限结构理论
无偏期望理论
易变性偏好理论
市场分割理论
习惯偏好理论
无偏期望理论 (the unbiased expectations theory)又称纯期望理论 。 该理论认为,远期利率反映了广大投资者对将来现货利率的某种预期；随着期限的增加而增加的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将上涨 。 相反,随着时间的增加而递减的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将下跌 。
上涨的收益曲线
例：一年的现货利率为 7%,两年的现货利率为 8%,为什么这两个现货利率不同？ 等价地,为什么收益曲线是上涨的？
现在投资 1块钱,有两种投资策略
一次性到期策略
1 6 6 4.108.108.11
6.1 无偏期望理论
滚动投资策略：先投资一年,得到
再投资一年,预期即期利率 为
1） 10%：
市场不均衡,所以 10%不能代表大众的预期
2） 6%：
同样,市场不均衡,6%也不能代表大众的预期
3） 9.01%
07.107.11
2,1eS
1 7 7.110.107.11
1 3 4 2.106.107.11
无偏期望理论认为,要使得 代表大众的预期,即市场是均衡的,必须有
（ 1） 由远期利率的定义有：
所以,无偏期望理论认为远期利率代表了将来即期利率的预期值 。
2,12,1 feS?
222,11 111 SeSS
2,1eS
（ 2） 大众预期一年期现货利率将上涨是期限结构上扬的原因；而大众预期一年期即期利率将下降是期限结构下降的原因 。
为什么大众预期即期利率将变化？
6.2 易变性偏好理论
易变性偏好理论 (the liquidity preference
theory)认为投资者主要对购买短期债券有兴趣 。 即使有些投资者长时间的持有债券,但他们仍然偏好于持有较短期债券 。 原因在于,如果他们持有较短期债券,那么,一旦他们提前需要资金时,
他们所遇到的价格风险会更小 。
例如,一个将进行两年投资的投资者会采取滚动投资策略,即,先投资一年,在第二年初连本带息再投资一年 。 这样,一旦提前需要资金时,他在第一年末会有一定数量的现金 。 但是,如果他采用的是一步到位的到期投资策略,即购买两年期的债券,
那么,在第一年末提前需要现金时,他不得不去市场上卖掉债券 。 如果这时的价格很低,他就会遭受大的损失 。 因此,到期投资策略具有滚动投资策略没有的额外风险 。 所以,作为投资者而言,会偏好于短期债券 。 能够让投资者去购买长期债券的唯一方式就是使他相信长期债券的回报会更高,即,贷款者为了吸引投资者去购买长期债券,不得不以较高期望回报的形式支付给投资者一种风险酬金 。
作为贷款者,他们是愿意支付这种风险酬金的 。 首先,频繁的进行融资需要宣传,管理等大量的费用,而通过发行长期债券能够大量减少这种成本 。 其次,贷款者不愿意在将来以更高的利率进行再融资,所以,他认为短期债券比长期债券更具风险性 。
易变性偏好理论认为
根据远期利率定义有
222,11 111 SeSS
2,12,1 eSf?
远期利率与将来的期望即期利率之间的差称为易变性酬金 (liquidity premium)。 这种酬金是用来补偿投资者购买更长期限债券的一种额外回报率 。 例如,以 表示从现在开始一年以后到从现在开始两年以后这一年之间的易变性酬金,则
2,1L
2,12,12,1 LeSf
例子：一年的即期利率为 7%，两年的即期利率为 8%，只有当一次性到期策略的期望回报率高于滚动策略的期望回报率时，投资者才选择一次性到期策略，这说明，期望现货率低于远期利率，假设为 8.6%，则易变性酬金为 9.01%-8.6%=0.41%
1)下降的收益曲线
只有当期望即期利率 远远低于一年期即期利率时,不等式才成立 。
例：当,时,
如果
则
2,11222,11 11111 fSSeSS
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %62?S
%01.52,1?f
%41.02,1?L
%7%6.4 12,1 SeS
2)水平收益曲线
只有当期望即期利率 低于一年期即期利率 时，
不等式才成立。
例：当,时，
如果
则
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %72?S
%72,1?f
%41.02,1?L
%7%59.6 12,1 SeS
2,11222,11 11111 fSSeSS
3)上升的收益曲线
当上升的幅度不大时，
例：当,时，
如果
则
21 SS?
%71?S %1.72?S
%2.72,1?f
%41.02,1?L
%7%79.6 12,1 SeS
2,11222,11 11111 fSSeSS
当上升的幅度很大时，
例：当,时，
如果
则
%71?S %3.72?S
%6.72,1?f
%41.02,1?L
%7%19.7 12,1 SeS
2,11222,11 11111 fSSeSS
易变性偏好理论认为,利率期限结构单调下降表明市场预期即期利率将下降；而利率期限结构单调上升表明市场预期即期利率既可能上升也可能下降,是否上升或者下降依赖于收益曲线的斜率 。 一般来说,曲线越陡,
市场预期即期利率上涨的可能性越大 。 如果我们粗略地认为,市场估计即期利率上升与市场估计即期利率下降的可能性是一半对一半,则易变性偏好理论认为利率期限结构单调上升的频率更大 。
6.3 市场分割理论
6.4 习惯偏好理论
利率理论的重要性
名义利率和实际利率
几种常用利率的定义
利率的确定
期限结构理论
1,研究利率理论的重要性
从宏观层面：作为调节经济重要工具
货币政策：刺激或者抑制投资，刺激或者抑制经济增长
例子：人民银行 2002年 2月 21日降息,2004年 10月 28日宣布升息
从微观层面
投资者关注所投资的证券的风险和期望收益，无风险利率作为评价投资机会的基准 (Benchmark for
investment)。
无风险利率作为投资的比较标准,投资决策的第一原则
(the first principle of investment)
固定收益证券的定价和风险管理，利率衍生产品的定价
例子：债券定价、利率期货定价
风险证券定价中折现因子的时间酬金部分
Interest rates and forecasts of their
future values are among the most
important inputs into an investment
decision.
例子,1000元存款，浮动利率与固定利率定期存款
例子：预测债券将来的价格
2,名义利率和实际利率
利率通常又称为货币的 时间价值
名义利率 (nominal interest rate)
货币的增长率
实际利率 (real interest rate)
购买力的增长率
例如,假设在某一年,名义利率是 7%,消费价格指标从 121增加为 124。 这意味着,在基准年值 100元的商品和服务簇,在这一年初的价格为 121元,而到了这一年年末,价格为
124元 。 这个商品和服务簇的所有者能够在年初以价格 121元卖掉它,并以 7%的利率投资,
在年末,得到 129.47(=1211.07)元,用这
129.47元马上可以买 1.0441(=129.47/124)个商品和服务簇 。 所以,实际利率为
4.41%(=1.0441-1)。
消费价格指标 (consumer price
index) （或者生活成本指标）
=年初的消费价格指标
=年末的消费价格指标
NIR=名义利率
RIR=实际利率
0C
R I RC N I RC 1)1(
1
0
1C
这里 CCL表示通货膨胀率
当投资者对将来财富的购买力感兴趣时，在进行投资选择时，名义利率和实际利率的区分至关重要
R I RC C LN I R 111
C C LN IRR IR
例子,1000面值零息债券,20年到期，名义利率为 12%，购买价格为 103.7元
Assum ed
annual
rate of
inflat ion
Nu m ber of Y ua n
require d 20 ye ars
from now to buy
wh at 1 Y ua n
bu ys t od ay
Pu rc hasi ng
power of
1000 Y ua n to
be receive d
in 20 ye ar s
Ann ualiz ed
real HPR
4% 2.19 456.3 9 7.69 %
6 3.21 31 1.8 0 5.66
8 4.66 214.5 5 3.70
10 6.73 14 8.6 4 1.82
12 9.65 103.6 7 0.00
两种计算利率的方式,简单利率计算
(simple interest)和 复利的计算 (compound
interest)。
例子,semiannual rate=3.86%
简单利率计算
Bond Equivalent Yield 7.72% = 3.86% x 2(Annual
Percentage Rate (APR))
在简单利率计算的规则下,总值随时间的增加而线性增加 。
复利的计算
Effective Annual Yield (1.0386)2 - 1 = 7.88%
在复利计算的规则下，总值随时间的增加而以指数增加 。
例子,Effective annual rates for APR of 6%
Com p o u n d in g
fr e q u e n cy
n R ef f (%)
Ann u al ly 1 6,0 0 0 0 0
Sem ia n n u al ly 2 6,0 9 0 0 0
Qu a rterly 4 6,1 3 6 3 6
Mon thly 12 6,1 6 7 7 8
W ee k ly 52 6,1 7 9 9 8
Dail y 3 6 5 6,1 8 3 1 3
连续复利计算 (continuous compounding)
（ 以年利率表示 ）
CCL
N I RR I R
e
ee?
CCLN IRR IR
3,未来利率的确定
Forecasting interest rate is one of the
most notoriously difficult parts of
applied macroeconomics.
尽管存在许多种利率（和证券的种类一样多），经济学家所说的利率是一种有代表性的利率，我们利用这种抽象的概念来说明市场如何确定未来的均衡利率。
3.1 实利率的确定
三个基本因素确定实利率水平
储户的供给
商业的需求
政府行为
财政政策
货币政策实利率的确定
Interest rate
Supply
equilibrium
real rate of
interest
Demand
Equilibrium funds lent Funds
E
'E
尽管决定实利率的基本因素是个人的储蓄倾向和投资的预期生产力，政府的货币政策和财政政策也影响实利率。
实际利率的唯一性
3.2 名义利率的确定
Fisher equation
One reason it is difficult to determine
the empirical validity of the Fisher
hypothesis that changes in normal rates
predict changes in future inflation rates
is that the real rate also changes
unpredictably over time.
)( CC LER I RNI R
Longer rates incorporate forecasts for long-
term inflation,Interest rates on bonds of
different maturity may diverge,The prices of
longer-term bonds are more volatile than
those of short-term bonds,This implies that
expected returns on longer-term bonds may
include a risk premium,so that the expected
real rate offered by bonds of varying maturity
also may vary,
假设：尽管有通货膨胀风险，在本章以下的内容里假设通货膨胀率是可以准确预测的。
这个假设使得我们可以仅仅关注时间对债券价值的影响。
到期收益率
现货利率
远期利率
4,几种利率的定义及性质
4.1 到期收益率
债券的到期收益率 (yield to maturity)指的是,
由银行支付给投资者的,使得投资者在将来能够获得该债券承诺的所有支付的唯一利率 （ 在某个特定的时间区间以此利率计算复利 ） 。 我们也可以这样定义：如果用其作为折现率,所有现金支付 （ 包括利息和本金 ） 的现值正好等于其价格 。
到期收益率描述的是整个到期日之前的利率
The yield to maturity can be interpreted
as the compound rate of return over
the life of the bond under the
assumption that all bond coupons can
be reinvested at an interest rate equal
to the bond’s yield to maturity,
假设债券的面值为,每年支付 m次利息,每次支付的利息为,债券的价格为 P,则到期收益率是使得下式成立的 的值
F
mC
n
k
kn
m
m
C
m
F
P
1
11
上式中的第一项是面值的现值,第 k项是第 k次利息的现值 。 以名义利率 为基础,所有支付的现值和为债券的价格 。 如果按这种定义方式,到期收益率类似于投资决策里的内部收益率 (internal
rate of return)。 每一种债券的到期收益是由债券自己的结构决定的,具有独有的特性 。
因为利息一般每年支付两次，所以通常以半年为单位计算复利来计算债券的到期收益率。
三种国库券分别称为 A,B,C。 债券 A一年到期,在到期日,投资者获得 1000元 。
同样地,债券 B两年到期,在到期日,投资者获得 1000元 。 债券 C是带息债券
(coupon bond),从现在开始,这种债券每年支付 50元的利息,两年到期,在到期日,支付给投资者 1050元 。 市场上三种债券的价格分别为：
债券 A（ 一年到期的纯折现债券 ）,934.58元
债券 B（ 两年到期的纯折现债券 ）,857.34元
债券 C（ 两年到期的带息债券 ）,946.93元 。
债券 A：到期收益率是满足下面方程 (2.3)的的值
债券 B：到期收益率是满足下面方程 (2.4)的的值
债券 C：到期收益率是满足下面方程 (2.5)的的值
Ar
1 0 0 058.9 3 4)1( Ar
%7?Ar
Br
1 0 0 034.8 5 7)1()1( BB rr
%8?Br
Cr
1 0 5 05093.9 4 6)1()1( CC rr
%975.7?Cr
我们在上面是用计算利息的方式来定义到期收益率 。 由于折现值和利息是在时间上相对的两个概念,所以我们下面利用计算折现值的方式来定义到期收益率 。
对债券 A而言,方程 (2.3)等价于
对债券 B而言,方程 (2.4)等价于
对债券 C而言,方程 (2.5)等价于
Ar?
11 00 058.9 34
21
100034.857
Br?
21
1 0 5 0
1
5093.9 4 6
CC rr?
到期收益率与债券价格之间的关系
n
k
kn
m
m
C
m
F
P
1 11
价格
500
400
300
200
100
0 5 10 15
到期收益率
15%
10%5%
0%
在图 1中,价格表示为面值的百分比；价格作为纵轴,到期收益率作为横轴,价格是到期收益的函数；所有债券的期限为 30年；每条曲线上的数字表示息率 。 从图 1可以看出的第一个明显的特征是它具有负的斜率,即价格与到期收益之间有相反的变化关系 。 如果到期收益率上升,价格就会下降 。 原因在于,对于固定的收入流,要使得投资者的到期收益率较高,投资者愿意支付的价格就越低 。
价格 —收益曲线的第二个特征是,当到期收益率为 0时,即没有利率时,债券的价格正好等于它的所有支付的和 。 比如利息率为 10%的曲线,每年为 10点,一共 30年,得到 300点,再加上
100%的面值,得到的价格为 400点 。
第三个特征是当到期收益率和利息率相等时,债券的价格正好等于其面值 。 例如利息率为 10%的曲线,当到期收益率为 10%时,其中的价格正好等于 100点 。 这两者相等的原因在于,每年的利息支付正好等于 10%的收益,从而每年的价格保持不变,均为 100点 。 这相当于一种贷款,本金的利息每年支付,使得本金保持不变 。
第四个特征是,当到期收益率越来越大时,债券的价格趋于零 。
价格
400
300
200
100
10 到期收益率
30年
10年
3年
在图 2中,价格仍然为纵轴,到期收益率仍为横轴,三种债券的息率均为 10%,但三种债券的期限分别为 30年,10年,3年 。 当到期收益为 10%
时,由上面的分析,我们知道它们的价格均等于其面值,所以它们通过共同的一点 。 但是,当到期收益偏离 10%时,各自价格变化的程度却不一样 。 可以看到,当期限增加时,收益曲线越来越陡 。 这说明,期限越长的债券,其价格对收益率的敏感度就越大 。
对投资者而言,价格 —收益率曲线是非常重要的 。
因为它描述了债券所具有的利率风险：如果到期收益变化,债券价格也将变化 。 这是一种即时风险,只影响债券的近期价格 。 当然,如果债券持有者继续持有这种债券,直到到期日,在到期日,
他得到本金和利息,这个现金流不会受到到期收益的影响,从而没有什么风险 。 但是,如果债券持有者提前卖掉债券,就会有风险 。
到期收益率和持有期收益率
到期收益是对债券整个有效期内平均回报率的一个描述
持有期收益率是对任何时间期间收入占该时间区间期初价格的百分比的一个描述例子：
30年到期，年利息为 80元，现价为 1000
元，到期收益为 8%，一年后，债券价格涨为 1050元，到期收益将低于 8%，而持有期收益率高于 8%
%131 0 0 0 )1 0 0 01 0 5 0(80
例子：
0 10年1年
1000元 1050元 1000元
10,1y
1,0h
10,2y
到期收益率是否是选择投资的好标准？
Suppose that you are given two bonds
to choose from and you may invest in
only one of them,Should you always
chose the one that has the higher yield
to maturity?
Example:
Consider two bonds with the same maturity
of fifteen years,Coupons are paid annually,
Information about the bonds:
Should you choose bond 2?
Bond Annual Coupon Principal Price YTM
1 $200 $1000 $1545 12%
2 $50 $4856 $1545 10%
Suppose that the future course of one
period interest rates is certain and is
given by:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Spot
rate(%) 2 5 10 8 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Follow the reinvestment strategy:
Reinvest the coupons at the one period spot rates and continue
rolling over these coupons and the accumulated interest on them
at the one period spot interest rate.
The value at the end of the fifteenth year for these two bonds
are:
WHAT HAPPENED
Bond Future value
1 6049.30
2 6127.33
Lessons:
Yield to maturity is not a valid measure of,yield” for
coupon bonds since it does not take into account
future reinvestment opportunities.
The calculation of yield to maturity for coupon bonds
assumes that the coupons will be reinvested at the
yield to maturity.
Since zero coupon bonds do not have coupons to
reinvest,their YTM's are valid measures of their
attractiveness as investments.
Note,This same problem occurs if you use the IRR
rule in choosing investment projects.
这个例子说明当重投资利率发生变化时，
利用到期收益率做比较时存在的问题。
但是，当未来的利率不确定时，到期收益率就是很好的选择标准。
即期利率 (spot rate)是零息债券的到期收益率 。
它是定义利率期限结构的基本利率 。
4.2即期 利率
债券 A,B市场的价格分别为：
债券 A（ 一年到期的纯折现债券 ）,
934.58元
债券 B（ 两年到期的纯折现债券 ）,
857.34元
债券 A：即期利率是满足下面方程的 的值
债券 B：即期利率是满足下面方程的 的值
AS
1 0 0 058.9 3 4)1( AS
%7?AS
BS
1 0 0 034.8 5 7)1()1( BB SS
%8?BS
债券 C是带息债券 (coupon bond),从现在开始,这种债券每年支付 50元的利息,
两年到期,在到期日,支付给投资者
1050元 。 市场上三种债券的价格分别为：
债券 C（ 两年到期的带息债券 ）,946.93元 。
221 1
1050
1
5093.946
SS
即期利率是针对具体时间的回报率（折现率），对所有的债券都成立。
1S
2S
3S
4S
如果我们存一笔钱在银行,一直到时间 t以前,银行不支付利息,而在时刻 t,利息和本金一次性支付 。 这个投资过程所获得的利率即为即期利率 。 一般来说,如果以年为计算单位,从现在 (t=0)到时间 t,投资者所持有的货币的利率即为 0到 t的即期利率,我们以 表示 。 因此,表示一年的即期利率,
即,持有货币一年的利率 。 同样,表示持有货币两年的利率,但它是以年为单位来表示的 。 这意味着,如果你存一笔钱 A在银行,
银行以利率 计算复利,两年后,连本带息你可以得到
tS 1S
2S
AS 221?
2S
每年一期：如果每年只计算一次,则 t 年的利率为：
每年期：如果每年分为 m 期,则 t 年的利率为：
连续复利：如果连续计算复利,则 t 年 的利率为：
ttS?1
mt
t
m
S
1
tS te
确定即期利率曲线的方法 。
确定即期利率曲线最明显的方式是通过不同到期日的零息债券的价格来决定 。 但是,由于能够得到的零息债券的种类太少 （ 事实上,没有真正严格意义上的长期限的零息债券 ）,所以,这种方法并不切实可行 。
第二种方式是通过附息债券的价格来决定即期利率曲线 。 这种方式从短期限的附息债券开始,逐步向长期限的附息债券递推 。 首先,可以通过直接观察 1年的利率来确定 。 接着,考虑两年到期的债券 。 假设这种债券的价格为 P,每年支付的利息为 C,面值为 F，
则 P,F 和 C之间满足如下关系：
通过这个式子可以得到 。利用这种方法，依次可以求出 。
第三种方法,我们也可以通过利用不同的附息债券构造零息债券来确定即期利率 。
1S
221 11 S
FC
S
CP
2S
43,SS
例：零息收益曲线的确定
如何从带息债券的价格得到零息收益曲线债券本金
（元）
到期日
（年）
年息 （元）
（每年两次）
债券价格
（元）
100
100
100
100
100
0,25
0,50
1,00
1,50
2,00
0
0
0
8
12
97,5
94,9
90,0
96,0
101,6
假设 是连续复利的利率,是每年复利次的等价的利率（均以年利率表示），则
由第一种证券，得到 3个月连续复利利率（以年利率表示）
cr mr m
m
rmr m
c 1ln
1 01 3.01ln4 4 5.97
5.24
由第二种证券，得到 6个月连续复利利率（以年利率表示）
1年的利率为
104 7.0
2
9.94
1.52
1ln2?
10 54.00.90101ln
假设 1.5年的即期利率为,则
从而
这仅仅只是与 6个月,1年的即期利率一致的现货利率
r
9610444 5.10.11054.05.01047.0 reee
1068.0?r
类似地,2年的即期利率为
6.101106
666
2
5.11068.00.11054.05.01047.0
re
eee
1081.0?r
连续复利的即期利率到期日 现货利率
0,2 5 0,1 0 1 3
0,5 0 0,1 0 4 7
1,0 0 0,1 0 5 4
1,5 0 0,1 0 6 8
2,0 0 0,1 0 8 1
Zero curve
作业：计算即期利率的期限结构
数据来源：巨潮网,2004.9.20
债券代码 到期日 息率 (%) 收盘价
000696 2006.6.14 11.83 114.77
009704 2007.9.5 9.78 116.6
009908 2009.9.23 3.3 93.99
010004 2010.5.23 2.87 95.12
010110 2011.9.25 2.95 88.42
010203 2012.4.17 2.54 85.11
折现因子
已知各个时间的即期利率，就可以给任何债券定价，这时，即期利率就是折现因子例子
假定有一种国债，面值为 1000元，息率为 5%，
期限为 3年，那么该国债的现金流量为
这种债券相当于 3个零息债券的组合，其一面值为 50元，期限为 1年；其二面值为 50元，期限为 2年；其三面值为 1050元，期限为 3年。因此，本例中国债的价值一定等于这三个零息债券价值之和。因此，只要能够计算出每种零息债券的价值，将这三个零息债券的价值加起来，
就可以得到该国债的价格
50 50 50+1000
折现因子表示在某一特定时期后的 1元价值，相当于零时点的价值。设 为折现因子，那么就表示在 T期末支付 1元钱的零息债券的现在价格。
Td
T
T Sd
1?
例子：折现因子期限 即期利率 折现因子
1/ 365 8.2387% 0.99978
0.5 8.4181% 0.96039
1 8.5056% 0.92161
1.5 8.5914% 0.88370
2 8.6753% 0.84672
2.5 8.7574% 0.81069
3 8.8377% 0.77564
4 8.9927% 0.70862
5 9.1404% 0.64576
6 9.2807% 0.58714
7 9.4136% 0.53272
8 9.5391% 0.48244
9 9.6570% 0.43619
10 9.7675% 0.39379
11 9.8705% 0.35507
12 9.9659% 0.31982
13 10.0537% 0.28783
14 10.1340% 0.25888
15 10.2067% 0.23274
16 10.2718% 0.20920
17 10.3292% 0.18805
即期利率
0.0000%
2.0000%
4.0000%
6.0000%
8.0000%
10.0000%
12.0000%
期限 0
.
5
1
.
5
2
.
5 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
到期收益率折现因子曲线
0.00000
0.20000
0.40000
0.60000
0.80000
1.00000
1.20000
期限 0
,5
1
,5
2
,5
4 6 8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
折现因子系列2
通过折现因子，可以计算任何期限的，
任何息率的固定收益证券的价格
i
n
i
i CdP
1
n
n
n
r
c
r
c
r
cP
)1()1()1( 22
2
1
1
1
例子
假定有一种国债，面值为 1000元，息率为 5%，期限为 3年，那么该国债的价格为
远期利率 (forward rate)是现在确定的在将来两个时间之间的货币的利率 。
4.3 远期利率
考虑从现在开始到两年之后的这段时间 。 假设现货利率,已经知道 。 如果我们在银行把一块钱存两年,两年后,这块钱将变成
我们也可以分两步进行投资,先将这一块钱存一年,同时决定将一年后得到的本息再存一年,从第一年末到第二年末之间的利率现在就规定好,设为 。 两年后,这块钱将变成 元 。 由无套利原理,这两种投资方法的回报应该相等,即
1S 2S
221 S?
2,1f
2,11 11 fS
2,1122 111 fSS
例：远期利率的计算
N 年投资的 N 年的年 现货利率 远期利率
1 1 0,0
2 1 0,5
3 1 0,8
4 1 1,0
5 1 1,1
假设采用连续复利的计算方式
第 2年的远期利率由 1年和 2年的即期利率决定
2105.011.01.0 100100 eee
3108.0114.02105.0 1 0 01 0 0 eee
411.0116.03108.0 100100 eee
5114.0129.0411.0 100100 eee
例：远期利率的计算
N 年投资的 N 年的年 即期 利率 远期利率
1 1 0,0 0,1 0
2 1 0,5 0,1 1
3 1 0,8 0,1 14
4 1 1,0 0,1 16
5 1 1,1 0,129
一般的，设 是 年的即期利率（以年利率表示），设 是 年的即期利率（以年利率表示）,则 和 之间的远期利率为
r T
*r *T
*TT? T *T r?
TT
rTTrr
*
**
远期收益率与到期日之间的关系
当 时，有
TT Trrrr ***?
rr?*
rrr *?
4.4 远期利率与将来即期利率之间的关系
确定性市场：投资者确定地知道将来每一年的利率值。
例子：预期未来几年中每年的利率
yea r inte rest
0 8%
1 10%
2 1 1%
3 1 1%
Pricing of Bonds
using Expected Rates
)1),.,(1()1(
1
21 n
n rrrPV
PVn = Present Value of $1 in n periods
r1 = One-year rate for period 1
r2 = One-year rate for period 2
rn = One-year rate for period n
面值为 1000的零息债券的价格和即期利率
T ime to m at urity
pri ce
Y ie ld to m at ur ity
(Spot ra t e)
1 925.93 8.000%
2 841.75 8.995
3 758.33 9.660
4 683.18 9.993
期限结构
即期利率
到期日即期利率与将来每一年的利率
1 2 3 4
%81?r %102?r %113?r %114?r
%81?y
%995.82?y
%660.93?y
%993.94?y
即期利率与将来每一年的利率
nnn rrry 11111 21
1
1 )1(
)1()1(
n
n
n
n
n y
yf
fn = one-year forward rate for period n
yn = yield to maturity for a security with a
maturity of n
)1()1()1( 11 nnnnn fyy
Forward Rates from
Observed Long-Term Rates
例子中的远期利率
4 yr = 9.993 3yr = 9.660 fn =?
(1.0993)4 = (1.0966)3 (1+fn)
(1.46373) / (1.31870) = (1+fn)
fn =,10998 or 11%
Note,this is expected rate that was used
in the prior example.
在确定性市场中，将来的即期利率与远期利率相等,
单调上升的期限结构表明将来的即期利率比现在的即期利率高在第一年的持有期收益率
如果在第一年分别持有面值为 1000、到期日为 1,2,3年的债券，则在第一年的持有期收益率分别为
08.093.9 2 5 93.9 2 51 0 0 0
08.0
75.841
75.841
10.1
1000
08.033.7 5 8
33.7 5 811.110.1 1 0 0 0
在确定性市场中，不管采用什么投资策略，只要投资的期限相等，所得到的收益就相等。
远期利率与将来现货利率之间的关系
不确定性市场：投资者不知道将来的即期利率，仅仅知道债券的价格和到期收益率。
假如投资者仅仅知道到期收益如下表所示，投资者关心第三年的即期利率
T im e to maturi t y
price
Y iel d to m atur ity
1 925.93 8.000%
2 841.75 8.995
3 758.33 9.660
4 683.18 9.993
考虑下面两个投资策略
投资在三年的零息债券
先投资在两年的零息债券，两年后再重投资在一年债券
两年后
第三年
87.1 3 10 9 9 6.11 0 0 3
20 8 9 9 5.11 0 0?
31 r?
仅仅可以知道第三年的远期利率，而第三年的远期利率不一定就等于第三年的即期利率，甚至也不等于第三年的期望即期利率。
只有当而第三年的远期利率等于第三年的即期利率时，采用一次性到期策略和滚动策略所得到的收益才相等。
远期利率是否等于期望将来即期利率依赖于投资者愿意承担利率风险的程度，以及愿意投资在与投资时间不相匹配的债券上的程度。
短期投资者
长期投资者
30996.110032 108995.1100 rE
30 9 9 6.110032 108995.1100 rE
5,利率期限结构描述
把利率表示为到期日的函数,用以体现不同到期日利率的方式称为利率的期限结构
Upward Sloping
Maturity
Flat
Maturity
Downward
Maturity
通过分析期限结构得到什么信息
There does appear to be some evidence that
the term structure conveys information about
expected future spot rates,
Examining the term structure of interest rates
is important for determining the current set
of spot rates,which can be used as a basis
for valuing any fixed-income security.Such an
examination is also important because it
provides some information about what the
marketplace expects regarding the level of
future interest rates,
6,期限结构理论
无偏期望理论
易变性偏好理论
市场分割理论
习惯偏好理论
无偏期望理论 (the unbiased expectations theory)又称纯期望理论 。 该理论认为,远期利率反映了广大投资者对将来现货利率的某种预期；随着期限的增加而增加的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将上涨 。 相反,随着时间的增加而递减的现货利率,说明了大部分投资者预期将来的现货利率将下跌 。
上涨的收益曲线
例：一年的现货利率为 7%,两年的现货利率为 8%,为什么这两个现货利率不同？ 等价地,为什么收益曲线是上涨的？
现在投资 1块钱,有两种投资策略
一次性到期策略
1 6 6 4.108.108.11
6.1 无偏期望理论
滚动投资策略：先投资一年,得到
再投资一年,预期即期利率 为
1） 10%：
市场不均衡,所以 10%不能代表大众的预期
2） 6%：
同样,市场不均衡,6%也不能代表大众的预期
3） 9.01%
07.107.11
2,1eS
1 7 7.110.107.11
1 3 4 2.106.107.11
无偏期望理论认为,要使得 代表大众的预期,即市场是均衡的,必须有
（ 1） 由远期利率的定义有：
所以,无偏期望理论认为远期利率代表了将来即期利率的预期值 。
2,12,1 feS?
222,11 111 SeSS
2,1eS
（ 2） 大众预期一年期现货利率将上涨是期限结构上扬的原因；而大众预期一年期即期利率将下降是期限结构下降的原因 。
为什么大众预期即期利率将变化？
6.2 易变性偏好理论
易变性偏好理论 (the liquidity preference
theory)认为投资者主要对购买短期债券有兴趣 。 即使有些投资者长时间的持有债券,但他们仍然偏好于持有较短期债券 。 原因在于,如果他们持有较短期债券,那么,一旦他们提前需要资金时,
他们所遇到的价格风险会更小 。
例如,一个将进行两年投资的投资者会采取滚动投资策略,即,先投资一年,在第二年初连本带息再投资一年 。 这样,一旦提前需要资金时,他在第一年末会有一定数量的现金 。 但是,如果他采用的是一步到位的到期投资策略,即购买两年期的债券,
那么,在第一年末提前需要现金时,他不得不去市场上卖掉债券 。 如果这时的价格很低,他就会遭受大的损失 。 因此,到期投资策略具有滚动投资策略没有的额外风险 。 所以,作为投资者而言,会偏好于短期债券 。 能够让投资者去购买长期债券的唯一方式就是使他相信长期债券的回报会更高,即,贷款者为了吸引投资者去购买长期债券,不得不以较高期望回报的形式支付给投资者一种风险酬金 。
作为贷款者,他们是愿意支付这种风险酬金的 。 首先,频繁的进行融资需要宣传,管理等大量的费用,而通过发行长期债券能够大量减少这种成本 。 其次,贷款者不愿意在将来以更高的利率进行再融资,所以,他认为短期债券比长期债券更具风险性 。
易变性偏好理论认为
根据远期利率定义有
222,11 111 SeSS
2,12,1 eSf?
远期利率与将来的期望即期利率之间的差称为易变性酬金 (liquidity premium)。 这种酬金是用来补偿投资者购买更长期限债券的一种额外回报率 。 例如,以 表示从现在开始一年以后到从现在开始两年以后这一年之间的易变性酬金,则
2,1L
2,12,12,1 LeSf
例子：一年的即期利率为 7%，两年的即期利率为 8%，只有当一次性到期策略的期望回报率高于滚动策略的期望回报率时，投资者才选择一次性到期策略，这说明，期望现货率低于远期利率，假设为 8.6%，则易变性酬金为 9.01%-8.6%=0.41%
1)下降的收益曲线
只有当期望即期利率 远远低于一年期即期利率时,不等式才成立 。
例：当,时,
如果
则
2,11222,11 11111 fSSeSS
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %62?S
%01.52,1?f
%41.02,1?L
%7%6.4 12,1 SeS
2)水平收益曲线
只有当期望即期利率 低于一年期即期利率 时，
不等式才成立。
例：当,时，
如果
则
21 SS?
2,1eS 1S
%71?S %72?S
%72,1?f
%41.02,1?L
%7%59.6 12,1 SeS
2,11222,11 11111 fSSeSS
3)上升的收益曲线
当上升的幅度不大时，
例：当,时，
如果
则
21 SS?
%71?S %1.72?S
%2.72,1?f
%41.02,1?L
%7%79.6 12,1 SeS
2,11222,11 11111 fSSeSS
当上升的幅度很大时，
例：当,时，
如果
则
%71?S %3.72?S
%6.72,1?f
%41.02,1?L
%7%19.7 12,1 SeS
2,11222,11 11111 fSSeSS
易变性偏好理论认为,利率期限结构单调下降表明市场预期即期利率将下降；而利率期限结构单调上升表明市场预期即期利率既可能上升也可能下降,是否上升或者下降依赖于收益曲线的斜率 。 一般来说,曲线越陡,
市场预期即期利率上涨的可能性越大 。 如果我们粗略地认为,市场估计即期利率上升与市场估计即期利率下降的可能性是一半对一半,则易变性偏好理论认为利率期限结构单调上升的频率更大 。
6.3 市场分割理论
6.4 习惯偏好理论
