第四章 最优投资组合（理论）
主要内容
一些基本概念
可行集、证券组合前沿、有效集
不存在无风险债券
存在风险债券
风险的分散化
投资者的最优证券组合
1,简介
投资过程的两个重要任务：
证券分析和市场分析：评估所有可能投资工具的风险和期望回报率特性
在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险 -回报机会，然后决定最优的证券组合 —— 最优投资组合理论
选择的目标：使得均值 -标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大
选择的对象：均值 -标准差平面上的可行集
The optimization technique is the easiest
part of the portfolio construction problem,
The real arena of competition among
portfolio managers is in sophisticated
security analysis.
GIGO----Garbage in-Garbage out
证券组合理论的三个基本原理：
正确衡量一个证券风险的方式是看它对整个证券组合波动的贡献。
风险由系统和非系统风险组成
系统风险不能分散掉，非系统风险可以分散掉
形成证券组合能够减小非系统风险
投资者厌恶风险，投资在风险证券需要风险酬金
风险酬金仅仅是对承担的系统风险的补偿
不同投资者对待证券组合风险 -期望回报率的态度不同，以效用函数来刻画
投资者仅仅关心系统风险
The optimal portfolio of risky assets is exactly the
same for every one,no matter what their tolerance
for risk-----two-fund separation
One interesting consequence of having these two conflicting
objectives is that the investor should diversify by purchasing not
just one security but several.
Investors should control the risk of their portfolio not by
reallocation among risky assets,but through the split between risky
free assets.
Top-down analysis
capital allocation decision
asset allocation decision
security selection decision
一期投资模型：投资者在期初投资,在期末获得回报 。
一期模型是对现实的一种近似,如对零息债券,欧式期权的投资 。 虽然许多问题不是一期模型,但作为一种简化,对一期模型的分析是分析多期模型的基础 。
完全竞争的金融市场 （ 完善市场 ）
交易是无成本的,市场是可以自由进出的
信息是对称的和可以无偿获得地
存在很多交易者,没有哪一个交易者的行为对证券的价格产生影响
无税收,无买,卖空限制
证券无限可分,借贷利率相等
2,一些基本概念
证券组合
证券组合回报率
证券组合期望回报率（刻画收益率）
证券组合回报率的方差（刻画风险）
证券组合回报率的标准差（刻画风险）
由于期末的收益是不确定的,所以回报率为随机变量 。
价格与回报率之间是一一决定的关系,
给定价格,就可算出回报率,反过来,
给出了回报率,就可决定价格 。
在以下的章节里,通常以回报率为研究对象,并假设,字母 （ 或者字母上加一波浪线 ） 表示随机变量,字母上加一横线表示期望值 。
2.1 两种证券形成的证券组合
证券组合：以投资在各种证券上的财富的相对比例来刻画。
例子：你有 1000元投资在 IBM公司和 Merck
公司股票。如果你在两种股票上各投资 500
元。
例子：如果你投资 1500元在 IBM公司股票，
投资 -500元在 Merck公司股票。
回报率：假设两种证券 1和 2，它们的回报率 以均值和方差 -协方差刻画
期望回报率
方差 -协方差
21,rr As se t 1 2
M e a n
R e t urn
1r 2r
2
2212
12
2
11
21
r
r
rr
例子,IBM公司和 Merck公司股票的月回报率
期望回报率 (0.0149,0.0100)
方差 -协方差
0 0 3 5.00 0 2 1.0
0 0 2 1.00 0 7 8.0
2
1
21
r
r
rr
回报率
例子：假设你投资 600元在 IBM公司股票，
投资 400元在 Merck公司股票。如果在这个月 IBM公司和 Merck公司股票实现的回报率各为 2.5%和 1.5%。你的证券组合的回报率为多少？
2211 rrr p
期望回报率
例子：
非期望回报率
2211 rrr p
证券组合回报率方差
1221222221212 2p
例子：
方差
标准差
2.2多种证券形成的证券组合
回报率
期望回报率
方差 -协方差矩阵
例子：
（ 1）证券和证券组合的值
证券 在证券组合 每股的初始 在证券组合初始
名称 中的股数 市场价格 总投资 市场价值中的份额
A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325
B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070
C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605
证券组合的初始市场价值 =17,200元 总的份额 =1.0000
在表 （ 1） 中,假设投资者投资的期间为一期,投资的初始财富为 17200元,投资者选择 A,B,C三种股票进行投资 。 投资者估计它们的期望回报率分别为 16.2%,24.6%，
22.8%。 这等价于,投资者估计三种股票的期末价格分别为 46.48 元 [ 因为 (46.48-
40)/40=16.2%],43.61 元 [ 因为 43.61-
35/35=24.6%],76.14 元 [ 因为 76.14-
62/62=22.8%]。 证券组合期望回报率有几种计算方式,每种方式得到相同的结果 。
（ 2） 利用期末价格计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合 每股的期末
名称 中的股数 预期价值 总的期末预期价值
A 100 46.48元 46.48元? 100=4,648元
B 200 43.61元 43.61元? 200=8,722元
C 100 76.14元 76.14元? 100=7,614元
证券组合的期末预期价值 =20,984元
证券组合的期望回报率 =(20,984元 -17,200元 )/17,200元 =22.00%
在表 （ 2） 中,先计算证券组合的期末期望价值,再利用计算回报率的公式计算回报率,
即,从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富,然后用去除这个差 。 尽管这个例子里只有三种证券,但这种方法可以推广到多种证券 。
（ 3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合初 证券的 在证券组合的期望
名称 始价值中份额 期望收益率 回报率所起的作用
A 0.2325 16.2% 0.2325? 16.2%=3.77%
B 0.4070 24.6% 0.4070? 24.6%=10.01%
C 0.3605 22.85 0.3605? 22.8%=8.22%
证券组合的期望回报率 =22.00%
在表 （ 3） 中,把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和,这里的权是各种股票在证券组合中的相对价值 。
证券组合的回报
证券组合的期望回报率
n
i
iirr
1
n
i
ii rr
1
回报率方差和标准差
例子：对于前面的 A,B,C三种证券
这里 表示证券 和 之间的协方差。
3
1
3
1i j
ijjiP
ij? i
j
假设 A,B,C三种证券的方差 -协方差矩阵为
则证券组合 的方差为
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
3605.0
4070.0
2325.0
一般
2.3 分散化 (Diversification)
分散化能缩小风险
证券形成地组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。
例子：两种证券的回报率具有相同的标准差
=35%，考虑证券组合（ 0.5,0.5)
21
只要,则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
直观解释
只要证券相互之间地相关系数小于 1，则证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
1
一定的风险不能被分散掉
在一个“充分分散” (well-diversified) 的证券组合中,
每种证券的方差对证券组合风险的贡献很小。
证券之间的协方差决定证券的风险。
例子,n种证券形成的等权证券组合
3.投资者的效用函数和无差异曲线
投资者的效用函数
A 是风险回避系数,A越大，投资者越不喜欢风险
A大于 0，风险厌恶者
A等于 0，风险中性
A小于 0，风险偏好
2005.0)(?ArEU
无差异曲线
所有风险厌恶者的无差异曲线如图 1所示，
在均值 -标准差平面上，为严格增的凸函数，
并且，越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。
A 对无差异曲线的影响
2r
1r
2
21 rr?
1? 2?
2 21
11,r?
22,r?
2,2 2121 rr
r
图 1：风险回避者的无差异曲线
4,不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
假设在无摩擦市场上存在 N种可交易风险证券,所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等 。 这 N 种可交易风险证券的回报率以向量 表示,表示期望值向量 。 而这 N 种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以 表示
Nrrr ~,,~~ 1Nrrr,,1
V
221
2212
1211
~~,~~,~
~,~~~,~
~,~~,~~
rV a rrrC o vrrC o v
rrC o vrV a rrrC o v
rrC o vrrC o vrV a r
V
NN
N
N
证券组合的期望收益率和方差
给定证券组合
期望回报率
方差
当证券的种类越来越多时,证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差 。
TN,,,21
4.1 可行集
可行集
由 N 种可交易风险证券中的任意 K 种形成的证券组合构成的集合称为可行集。
在均值 -标准差平面上来刻画可行集。
例子：两种证券形成的可行集（无卖空）
假设证券 1的期望回报率,标准差为；证券 2的的期望回报率,
标准差为 。设由证券 1,2形成的证券组合 分别有
%51?r
%402
%152?r
21,
A B C D E F G
1
1.00 0.83 0.67 0.50 0.33 0.17 0.00
2
0.00 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1.00
%201
例子：两种证券形成的可行集
（无卖空）
证券组合的期望回报率
2211 rrr p
0?i?
例子：两种证券形成的可行集
（无卖空）
假设证券 1,2收益率的相关系数为,则证券组合回报率的标准差为
每个证券组合回报率的标准差的上、下界
证券组合 D：
上界在 =1时达到，下界在 =-1时达到
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
214 0 05 0 0D
证券组合收益率的标准差的上下界（无卖空）
P ort fol i o L ow e r Bound U ppe r Bound
A 20% 20%
B 10% 23.33%
C 0 26.67%
D 10% 30%
E 20% 33.33%
F 30% 36.67%
G 40% 40%
证券组合收益率的标准差的上下界（无卖空）
P?
Pr
A
G
下界 上界下界
%5
%3.8
例子：两种证券形成的可行集
（无卖空）
分散化导致风险缩小 。
实际的可行集 —— 一维双曲线例子； =0,-0.1
A
GPr
P?
=-1
=1?
=0
=-0.1?
例子：两种证券形成的可行集（有卖空）
H I A C G K
1.5 1.2 1 0.6 -0.2 -0.5
-0.5 -0.2 0 0.4 1.2 1.5
1?
2?
例子：两种证券形成的可行集
（有卖空）
分散化导致风险缩小 。
实际的可行集 —— 一维双曲线例子； =0,-0.1
A
GPr
P?
=-1
=1?
=0
=-0.1?
例子：两种证券形成的可行集：可行集的方程
假设 =0,由 1,2两种证券形成的可行集在均值 -标准差平面上的表示。
证券组合 的期望回报率
标准差为
通过找出 与 之间的关系
21, 2211 rrrP
222221212P
Pr P?
22
22
21
2
12
12
21
2
2
P
PP
rr
rr
rr
rr
可行集的方程
得到
为一双曲线
1
002.0
04.0
08.0
22
PP r?
Pr
p?
最小方差证券组合 MVP(minimum-
variance portfolio)
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
三种以上证券形成的可行集
可行集的两个重要性质
（ 1）只要 N 不小于 3，可行集对应 于均值 -标方差平面上的区域为二维的。
（ 2）可行集的左边向左凸。
Pr
P?
A
B
C
D
三种证券形成可行集的例子
三点形成地区域
P?
Pr
4.2 有效集
有效集定理
投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合：
（ 1）对给定的回报，风险水平最小
（ 2）对给定的风险水平，回报最大；
满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。
下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。
把有效集定理第一条应用到可行集
给定期望回报率，找方差最小的证券组合
Pr
P?
证券组合前沿
P?
Pr
定义：一个证券组合称为前沿证券组合，
如果它在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。
定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。
证券组合前沿的性质
性质 1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。
Therefore,we just need to calculate the
weights for two portfolios,The two that are
easiest for us to calculate are the MVP and the
portfolio with the highest
性质 2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。
P
P rrE?
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
证券组合前沿的方程
任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程：
在期望 -标准差平面上的证券组合前沿
CA
C1
单个证券与证券组合在均值 -标准差平面上的位置把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿
在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。
P?
Pr
有效集和非有效集
最小方差证券组合
定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。
问题：先利用第二条，再利用第一条，
得到的有效集是否一样？
只有两种证券时的特例
假设市场上只存在两种证券 A和 B。 A具有较高的期望回报率和较高的标准差。
相关系数 1
A
B
只有两种证券时的特例
可行集、证券组合前沿和有效集期望回报率
A
MVP
B
标准差
不同相关系数时的证券组合前沿
12.0 0 5.0
1
相关系数越小，曲线弯曲越厉害。
极限状况
每对证券只有一个相关系数。
当只有两种证券时，可行集与证券组合前沿一致
问题：如果证券 A 的期望回报率高于证券 B 的期望回报率，而标准差小于 B 的标准差，这时的可行集、证券组合前沿和有效集是什么？
1
多种证券的特例
当证券组合中的证券种类越来越多时，
证券组合前沿性能提高：向左上方移动
4.3 风险厌恶者的最优证券组合
利用效用函数求最优证券组合
不存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略
p?
pr
不同风险厌恶程度的投资者的最优投资策略
p?
pr
Two mutual funds
a limited number of portfolios may be
sufficient to serve the demands of a wide
range of investors,this is the theoretical
basis of the mutual fund industry.
5,具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
由于违约、通货膨胀、利率风险、再投资风险等不确定因素，证券市场并不存在绝对无风险的证券。
到期日和投资周期相同的国库券视为无风险。
对大多数投资者而言，货币市场基金是最容易获得的无风险资产。
买卖债券只不过是手段，而实质是存在无风险借贷的市场。
假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券和一种无风险证券。以 表示无风险利率。
fr
步骤
首先利用例子分三步讨论：
只允许购买无风险债券
只允许卖出无风险债券
可以自由交易
其次，推广到一般情形
5.1 只允许购买无风险债券
例子：前面的 A,B,C三种证券
期望回报率向量为
把无风险债券当作第 4种证券，无风险利率为
228.0
246.0
162.0
r
%44?r
方差 -协方差矩阵为
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意对权的限制）
5种证券组合
P po rt fo l i a b c d e
1
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
4
1,00 0,75 0,50 0,25 0,00
证券组合的期望回报率和标准差
期望回报率
标准差
441 rrr AP
AP 1?
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
a 4,0 0 % 0,00%
b 7,0 5 3,0 2
c 1 0,1 0 6,0 4
d 1 3,1 5 9,0 6
e 1 6,2 0 1 2,0 8
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
部分投资在无风险债券上
全部投资在风险证券上
5.2 只允许出售无风险债券
首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意权的限制）
4种证券组合
or t fl F G H I
1,25 1,50 1,75 2,00
-0,2 5 -0,5 0 -0,7 5 -1,0 0
由证券 A和证券 4构成的 4种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
F 1 9,2 5 % 1 5,1 0 %
G 2 2,3 0 1 8,1 2
H 2 5,3 5 2 1,1 4
I 2 8,4 0 2 4,1 6
由证券 A和证券 4构成的 9种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
I
其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
卖出无风险债券
全部投资在风险证券上
5.3 无限制的借贷
如何求这个切点
求切线方程
求风险酬金 -风险比最大证券组合
Sharpe Ratio
5.4 推广到一般情形
N种风险资产形成的证券组合前沿方程
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿方程
fT
T
P
fP rrrr
5.5 风险厌恶者的最优投资策略风险厌恶者的无差异曲线
利用效用函数求最优证券组合
存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质
p?
pr
分离性质：无论投资者的风险厌恶如何，他们选择相同的风险证券组合
最优证券组合选择过程可以分成两步：
决定最优风险证券组合
依据风险厌恶的程度在无风险证券和风险证券之间配置资本。
Investors should control the risk of their portfolio not by
reallocation among risky assets,but through the split
between risky free assets.
How does this relate to the increased popularity of
index funds?
This result makes professional
management more efficient and hence
less costly,One management firm can
serve any number of clients with
relatively small incremental
administrative costs.
例子：两种股票，一种债券
IBM公司和 Merck公司股票的月回报率
期望回报率 (0.0149,0.0100)
方差 -协方差
债券的回报率
0 0 3 5.00 0 2 1.0
0 0 2 1.00 0 7 8.0
2
1
21
r
r
rr
%4?fr
只利用债券和 IBM公司股票或者债券和
Merck公司股票
同时利用三种证券
首先由 IBM公司股票或者债券和 Merck公司股票形成证券组合前沿
再求风险酬金 -风险比最大证券组合
6,单个证券与证券组合之间的关系
单个证券对证券组合风险的贡献
系统风险更详细说明
证券的系统风险与期望回报率的关系
n
i
fiifp rrrr
1
~~?
对证券组合期望回报率的贡献
单个证券对证券组合期望回报率的边际贡献是它的风险酬金
fi
i
P rrr
对证券组合风险的贡献
p
ip
i
P
证券的回报率 -风险比 (RRR)
单个证券和切点证券组合
p
ip
fi
i
p
i
p
i
rr
r
R R R
边际风险边际回报率
T
fT
T
T
iT
fi
i
rrR R RrrR R R
有效集方程
给出了系统风险的度量
给出了每单位系统风险的酬金（价格）
证券的风险酬金等于它的风险量与每单位系统风险酬金的乘积,
fT
T
iT
fi rrrr 2?
fT rr?
2TiT?
6,市场模型与风险的分散化
市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=随机误差项，
iIIiIiIi rr
ir
Ir
iI?
iI?
iI?
0?iIE?
Beta 值
攻击型股票
防御型股票
2
I
iI
iI?
风险的分散化
市场风险
唯一风险
分散化导致市场风险的平均化
分散化能够显著地缩减唯一风险。
唯一风险
总风险 市场风险
When we hold diversified portfolios,the
contribution to portfolio risk of a
particular security will depend on the
covariance of that security’s return with
those other securities,and not on the
security’s variance,this implies that fair
risk premium also should depend on
covariance rather than total variability
of returns.
7,结论
这一章讨论均值 -方差证券组合分析
称为均值 -方差分析的原因在于，投资者只关心证券组合的回报率的均值和方差
对于正态分布而言，这是合理的
在均值 -方差分析中
不管投资者对风险的态度如何，所持有的风险证券的比例是一样的，即风险证券组合是一样的
如果想持有少的风险，则同时投资在风险证券组合和无风险债券
如果想持有更多风险，则卖空债券
在证券组合中，协方差而不是方差起作用
应该注意：
在形成证券组合的过程中，应该包括所有的资产，
例如，人力资本、实房产
均值 -方差理论并没有告诉我们证券的价格、回报率均值、方差怎么得到
在下一章中,CAPM以均值 -方差理论为基础，确定有效市场中证券的价格。
主要内容
一些基本概念
可行集、证券组合前沿、有效集
不存在无风险债券
存在风险债券
风险的分散化
投资者的最优证券组合
1,简介
投资过程的两个重要任务：
证券分析和市场分析：评估所有可能投资工具的风险和期望回报率特性
在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险 -回报机会，然后决定最优的证券组合 —— 最优投资组合理论
选择的目标：使得均值 -标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大
选择的对象：均值 -标准差平面上的可行集
The optimization technique is the easiest
part of the portfolio construction problem,
The real arena of competition among
portfolio managers is in sophisticated
security analysis.
GIGO----Garbage in-Garbage out
证券组合理论的三个基本原理：
正确衡量一个证券风险的方式是看它对整个证券组合波动的贡献。
风险由系统和非系统风险组成
系统风险不能分散掉，非系统风险可以分散掉
形成证券组合能够减小非系统风险
投资者厌恶风险，投资在风险证券需要风险酬金
风险酬金仅仅是对承担的系统风险的补偿
不同投资者对待证券组合风险 -期望回报率的态度不同，以效用函数来刻画
投资者仅仅关心系统风险
The optimal portfolio of risky assets is exactly the
same for every one,no matter what their tolerance
for risk-----two-fund separation
One interesting consequence of having these two conflicting
objectives is that the investor should diversify by purchasing not
just one security but several.
Investors should control the risk of their portfolio not by
reallocation among risky assets,but through the split between risky
free assets.
Top-down analysis
capital allocation decision
asset allocation decision
security selection decision
一期投资模型：投资者在期初投资,在期末获得回报 。
一期模型是对现实的一种近似,如对零息债券,欧式期权的投资 。 虽然许多问题不是一期模型,但作为一种简化,对一期模型的分析是分析多期模型的基础 。
完全竞争的金融市场 （ 完善市场 ）
交易是无成本的,市场是可以自由进出的
信息是对称的和可以无偿获得地
存在很多交易者,没有哪一个交易者的行为对证券的价格产生影响
无税收,无买,卖空限制
证券无限可分,借贷利率相等
2,一些基本概念
证券组合
证券组合回报率
证券组合期望回报率（刻画收益率）
证券组合回报率的方差（刻画风险）
证券组合回报率的标准差（刻画风险）
由于期末的收益是不确定的,所以回报率为随机变量 。
价格与回报率之间是一一决定的关系,
给定价格,就可算出回报率,反过来,
给出了回报率,就可决定价格 。
在以下的章节里,通常以回报率为研究对象,并假设,字母 （ 或者字母上加一波浪线 ） 表示随机变量,字母上加一横线表示期望值 。
2.1 两种证券形成的证券组合
证券组合：以投资在各种证券上的财富的相对比例来刻画。
例子：你有 1000元投资在 IBM公司和 Merck
公司股票。如果你在两种股票上各投资 500
元。
例子：如果你投资 1500元在 IBM公司股票，
投资 -500元在 Merck公司股票。
回报率：假设两种证券 1和 2，它们的回报率 以均值和方差 -协方差刻画
期望回报率
方差 -协方差
21,rr As se t 1 2
M e a n
R e t urn
1r 2r
2
2212
12
2
11
21
r
r
rr
例子,IBM公司和 Merck公司股票的月回报率
期望回报率 (0.0149,0.0100)
方差 -协方差
0 0 3 5.00 0 2 1.0
0 0 2 1.00 0 7 8.0
2
1
21
r
r
rr
回报率
例子：假设你投资 600元在 IBM公司股票，
投资 400元在 Merck公司股票。如果在这个月 IBM公司和 Merck公司股票实现的回报率各为 2.5%和 1.5%。你的证券组合的回报率为多少？
2211 rrr p
期望回报率
例子：
非期望回报率
2211 rrr p
证券组合回报率方差
1221222221212 2p
例子：
方差
标准差
2.2多种证券形成的证券组合
回报率
期望回报率
方差 -协方差矩阵
例子：
（ 1）证券和证券组合的值
证券 在证券组合 每股的初始 在证券组合初始
名称 中的股数 市场价格 总投资 市场价值中的份额
A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325
B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070
C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605
证券组合的初始市场价值 =17,200元 总的份额 =1.0000
在表 （ 1） 中,假设投资者投资的期间为一期,投资的初始财富为 17200元,投资者选择 A,B,C三种股票进行投资 。 投资者估计它们的期望回报率分别为 16.2%,24.6%，
22.8%。 这等价于,投资者估计三种股票的期末价格分别为 46.48 元 [ 因为 (46.48-
40)/40=16.2%],43.61 元 [ 因为 43.61-
35/35=24.6%],76.14 元 [ 因为 76.14-
62/62=22.8%]。 证券组合期望回报率有几种计算方式,每种方式得到相同的结果 。
（ 2） 利用期末价格计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合 每股的期末
名称 中的股数 预期价值 总的期末预期价值
A 100 46.48元 46.48元? 100=4,648元
B 200 43.61元 43.61元? 200=8,722元
C 100 76.14元 76.14元? 100=7,614元
证券组合的期末预期价值 =20,984元
证券组合的期望回报率 =(20,984元 -17,200元 )/17,200元 =22.00%
在表 （ 2） 中,先计算证券组合的期末期望价值,再利用计算回报率的公式计算回报率,
即,从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富,然后用去除这个差 。 尽管这个例子里只有三种证券,但这种方法可以推广到多种证券 。
（ 3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率
证券 在证券组合初 证券的 在证券组合的期望
名称 始价值中份额 期望收益率 回报率所起的作用
A 0.2325 16.2% 0.2325? 16.2%=3.77%
B 0.4070 24.6% 0.4070? 24.6%=10.01%
C 0.3605 22.85 0.3605? 22.8%=8.22%
证券组合的期望回报率 =22.00%
在表 （ 3） 中,把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和,这里的权是各种股票在证券组合中的相对价值 。
证券组合的回报
证券组合的期望回报率
n
i
iirr
1
n
i
ii rr
1
回报率方差和标准差
例子：对于前面的 A,B,C三种证券
这里 表示证券 和 之间的协方差。
3
1
3
1i j
ijjiP
ij? i
j
假设 A,B,C三种证券的方差 -协方差矩阵为
则证券组合 的方差为
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
3 6 0 5.04 0 7 0.02 3 2 5.0
3605.0
4070.0
2325.0
一般
2.3 分散化 (Diversification)
分散化能缩小风险
证券形成地组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。
例子：两种证券的回报率具有相同的标准差
=35%，考虑证券组合（ 0.5,0.5)
21
只要,则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
直观解释
只要证券相互之间地相关系数小于 1，则证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。
1
一定的风险不能被分散掉
在一个“充分分散” (well-diversified) 的证券组合中,
每种证券的方差对证券组合风险的贡献很小。
证券之间的协方差决定证券的风险。
例子,n种证券形成的等权证券组合
3.投资者的效用函数和无差异曲线
投资者的效用函数
A 是风险回避系数,A越大，投资者越不喜欢风险
A大于 0，风险厌恶者
A等于 0，风险中性
A小于 0，风险偏好
2005.0)(?ArEU
无差异曲线
所有风险厌恶者的无差异曲线如图 1所示，
在均值 -标准差平面上，为严格增的凸函数，
并且，越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。
A 对无差异曲线的影响
2r
1r
2
21 rr?
1? 2?
2 21
11,r?
22,r?
2,2 2121 rr
r
图 1：风险回避者的无差异曲线
4,不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
假设在无摩擦市场上存在 N种可交易风险证券,所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等 。 这 N 种可交易风险证券的回报率以向量 表示,表示期望值向量 。 而这 N 种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以 表示
Nrrr ~,,~~ 1Nrrr,,1
V
221
2212
1211
~~,~~,~
~,~~~,~
~,~~,~~
rV a rrrC o vrrC o v
rrC o vrV a rrrC o v
rrC o vrrC o vrV a r
V
NN
N
N
证券组合的期望收益率和方差
给定证券组合
期望回报率
方差
当证券的种类越来越多时,证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差 。
TN,,,21
4.1 可行集
可行集
由 N 种可交易风险证券中的任意 K 种形成的证券组合构成的集合称为可行集。
在均值 -标准差平面上来刻画可行集。
例子：两种证券形成的可行集（无卖空）
假设证券 1的期望回报率,标准差为；证券 2的的期望回报率,
标准差为 。设由证券 1,2形成的证券组合 分别有
%51?r
%402
%152?r
21,
A B C D E F G
1
1.00 0.83 0.67 0.50 0.33 0.17 0.00
2
0.00 0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1.00
%201
例子：两种证券形成的可行集
（无卖空）
证券组合的期望回报率
2211 rrr p
0?i?
例子：两种证券形成的可行集
（无卖空）
假设证券 1,2收益率的相关系数为,则证券组合回报率的标准差为
每个证券组合回报率的标准差的上、下界
证券组合 D：
上界在 =1时达到，下界在 =-1时达到
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
214 0 05 0 0D
证券组合收益率的标准差的上下界（无卖空）
P ort fol i o L ow e r Bound U ppe r Bound
A 20% 20%
B 10% 23.33%
C 0 26.67%
D 10% 30%
E 20% 33.33%
F 30% 36.67%
G 40% 40%
证券组合收益率的标准差的上下界（无卖空）
P?
Pr
A
G
下界 上界下界
%5
%3.8
例子：两种证券形成的可行集
（无卖空）
分散化导致风险缩小 。
实际的可行集 —— 一维双曲线例子； =0,-0.1
A
GPr
P?
=-1
=1?
=0
=-0.1?
例子：两种证券形成的可行集（有卖空）
H I A C G K
1.5 1.2 1 0.6 -0.2 -0.5
-0.5 -0.2 0 0.4 1.2 1.5
1?
2?
例子：两种证券形成的可行集
（有卖空）
分散化导致风险缩小 。
实际的可行集 —— 一维双曲线例子； =0,-0.1
A
GPr
P?
=-1
=1?
=0
=-0.1?
例子：两种证券形成的可行集：可行集的方程
假设 =0,由 1,2两种证券形成的可行集在均值 -标准差平面上的表示。
证券组合 的期望回报率
标准差为
通过找出 与 之间的关系
21, 2211 rrrP
222221212P
Pr P?
22
22
21
2
12
12
21
2
2
P
PP
rr
rr
rr
rr
可行集的方程
得到
为一双曲线
1
002.0
04.0
08.0
22
PP r?
Pr
p?
最小方差证券组合 MVP(minimum-
variance portfolio)
212221 1 6 0 01 6 0 04 0 0P
三种以上证券形成的可行集
可行集的两个重要性质
（ 1）只要 N 不小于 3，可行集对应 于均值 -标方差平面上的区域为二维的。
（ 2）可行集的左边向左凸。
Pr
P?
A
B
C
D
三种证券形成可行集的例子
三点形成地区域
P?
Pr
4.2 有效集
有效集定理
投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合：
（ 1）对给定的回报，风险水平最小
（ 2）对给定的风险水平，回报最大；
满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。
下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。
把有效集定理第一条应用到可行集
给定期望回报率，找方差最小的证券组合
Pr
P?
证券组合前沿
P?
Pr
定义：一个证券组合称为前沿证券组合，
如果它在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。
定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。
证券组合前沿的性质
性质 1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。
Therefore,we just need to calculate the
weights for two portfolios,The two that are
easiest for us to calculate are the MVP and the
portfolio with the highest
性质 2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。
P
P rrE?
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
证券组合前沿的方程
任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程：
在期望 -标准差平面上的证券组合前沿
CA
C1
单个证券与证券组合在均值 -标准差平面上的位置把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿
在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。
P?
Pr
有效集和非有效集
最小方差证券组合
定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。
问题：先利用第二条，再利用第一条，
得到的有效集是否一样？
只有两种证券时的特例
假设市场上只存在两种证券 A和 B。 A具有较高的期望回报率和较高的标准差。
相关系数 1
A
B
只有两种证券时的特例
可行集、证券组合前沿和有效集期望回报率
A
MVP
B
标准差
不同相关系数时的证券组合前沿
12.0 0 5.0
1
相关系数越小，曲线弯曲越厉害。
极限状况
每对证券只有一个相关系数。
当只有两种证券时，可行集与证券组合前沿一致
问题：如果证券 A 的期望回报率高于证券 B 的期望回报率，而标准差小于 B 的标准差，这时的可行集、证券组合前沿和有效集是什么？
1
多种证券的特例
当证券组合中的证券种类越来越多时，
证券组合前沿性能提高：向左上方移动
4.3 风险厌恶者的最优证券组合
利用效用函数求最优证券组合
不存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略
p?
pr
不同风险厌恶程度的投资者的最优投资策略
p?
pr
Two mutual funds
a limited number of portfolios may be
sufficient to serve the demands of a wide
range of investors,this is the theoretical
basis of the mutual fund industry.
5,具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择
由于违约、通货膨胀、利率风险、再投资风险等不确定因素，证券市场并不存在绝对无风险的证券。
到期日和投资周期相同的国库券视为无风险。
对大多数投资者而言，货币市场基金是最容易获得的无风险资产。
买卖债券只不过是手段，而实质是存在无风险借贷的市场。
假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券和一种无风险证券。以 表示无风险利率。
fr
步骤
首先利用例子分三步讨论：
只允许购买无风险债券
只允许卖出无风险债券
可以自由交易
其次，推广到一般情形
5.1 只允许购买无风险债券
例子：前面的 A,B,C三种证券
期望回报率向量为
把无风险债券当作第 4种证券，无风险利率为
228.0
246.0
162.0
r
%44?r
方差 -协方差矩阵为
0289.00104.00145.0
0104.00854.00187.0
0145.00187.00146.0
首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意对权的限制）
5种证券组合
P po rt fo l i a b c d e
1
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
4
1,00 0,75 0,50 0,25 0,00
证券组合的期望回报率和标准差
期望回报率
标准差
441 rrr AP
AP 1?
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
a 4,0 0 % 0,00%
b 7,0 5 3,0 2
c 1 0,1 0 6,0 4
d 1 3,1 5 9,0 6
e 1 6,2 0 1 2,0 8
由证券 A和证券 4构成的 5种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
部分投资在无风险债券上
全部投资在风险证券上
5.2 只允许出售无风险债券
首先考虑证券 A和证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意权的限制）
4种证券组合
or t fl F G H I
1,25 1,50 1,75 2,00
-0,2 5 -0,5 0 -0,7 5 -1,0 0
由证券 A和证券 4构成的 4种证券组合的期望回报率和标准差
Po r t f o l i o E x p ec t e d Re t u rn St a n d ar d
D ev i at i o n
F 1 9,2 5 % 1 5,1 0 %
G 2 2,3 0 1 8,1 2
H 2 5,3 5 2 1,1 4
I 2 8,4 0 2 4,1 6
由证券 A和证券 4构成的 9种证券组合在均值 -标准差平面上的图示
%4 a
e
I
其次，考虑一个证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集。
证券组合 5由证券 A,C构成
证券组合 5的期望回报率、标准差为
20.0,80.0,?CA
CCAA rrr5
ACCACCAA 2225
证券组合 5与证券 4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券组合 5从 A变到 C
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
C
5
fr
证券 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
最后考虑由 A,B,C,4形成的可行集、证券组合前沿、有效集
P?
Pr
A
B
C
fr
投资者最优证券组合选择
卖出无风险债券
全部投资在风险证券上
5.3 无限制的借贷
如何求这个切点
求切线方程
求风险酬金 -风险比最大证券组合
Sharpe Ratio
5.4 推广到一般情形
N种风险资产形成的证券组合前沿方程
1
~
1
~
2
2
2
C
D
C
ArE
C
r pp?
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿
N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿方程
fT
T
P
fP rrrr
5.5 风险厌恶者的最优投资策略风险厌恶者的无差异曲线
利用效用函数求最优证券组合
存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质
p?
pr
分离性质：无论投资者的风险厌恶如何，他们选择相同的风险证券组合
最优证券组合选择过程可以分成两步：
决定最优风险证券组合
依据风险厌恶的程度在无风险证券和风险证券之间配置资本。
Investors should control the risk of their portfolio not by
reallocation among risky assets,but through the split
between risky free assets.
How does this relate to the increased popularity of
index funds?
This result makes professional
management more efficient and hence
less costly,One management firm can
serve any number of clients with
relatively small incremental
administrative costs.
例子：两种股票，一种债券
IBM公司和 Merck公司股票的月回报率
期望回报率 (0.0149,0.0100)
方差 -协方差
债券的回报率
0 0 3 5.00 0 2 1.0
0 0 2 1.00 0 7 8.0
2
1
21
r
r
rr
%4?fr
只利用债券和 IBM公司股票或者债券和
Merck公司股票
同时利用三种证券
首先由 IBM公司股票或者债券和 Merck公司股票形成证券组合前沿
再求风险酬金 -风险比最大证券组合
6,单个证券与证券组合之间的关系
单个证券对证券组合风险的贡献
系统风险更详细说明
证券的系统风险与期望回报率的关系
n
i
fiifp rrrr
1
~~?
对证券组合期望回报率的贡献
单个证券对证券组合期望回报率的边际贡献是它的风险酬金
fi
i
P rrr
对证券组合风险的贡献
p
ip
i
P
证券的回报率 -风险比 (RRR)
单个证券和切点证券组合
p
ip
fi
i
p
i
p
i
rr
r
R R R
边际风险边际回报率
T
fT
T
T
iT
fi
i
rrR R RrrR R R
有效集方程
给出了系统风险的度量
给出了每单位系统风险的酬金（价格）
证券的风险酬金等于它的风险量与每单位系统风险酬金的乘积,
fT
T
iT
fi rrrr 2?
fT rr?
2TiT?
6,市场模型与风险的分散化
市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=随机误差项，
iIIiIiIi rr
ir
Ir
iI?
iI?
iI?
0?iIE?
Beta 值
攻击型股票
防御型股票
2
I
iI
iI?
风险的分散化
市场风险
唯一风险
分散化导致市场风险的平均化
分散化能够显著地缩减唯一风险。
唯一风险
总风险 市场风险
When we hold diversified portfolios,the
contribution to portfolio risk of a
particular security will depend on the
covariance of that security’s return with
those other securities,and not on the
security’s variance,this implies that fair
risk premium also should depend on
covariance rather than total variability
of returns.
7,结论
这一章讨论均值 -方差证券组合分析
称为均值 -方差分析的原因在于，投资者只关心证券组合的回报率的均值和方差
对于正态分布而言，这是合理的
在均值 -方差分析中
不管投资者对风险的态度如何，所持有的风险证券的比例是一样的，即风险证券组合是一样的
如果想持有少的风险，则同时投资在风险证券组合和无风险债券
如果想持有更多风险，则卖空债券
在证券组合中，协方差而不是方差起作用
应该注意：
在形成证券组合的过程中，应该包括所有的资产，
例如，人力资本、实房产
均值 -方差理论并没有告诉我们证券的价格、回报率均值、方差怎么得到
在下一章中,CAPM以均值 -方差理论为基础，确定有效市场中证券的价格。
