第六章 因子模型和套利定价理论（ APT）
系统风险与非系统风险
单因子模型
多因子模型
套利和套利定价
1,系统风险与非系统风险
经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司
商业周期、利率,GDP增长率、技术进步、
劳动和原材料的成本、通货膨胀率
这些变量不可预期的 变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化
Therefore,the risk of asset returns can be broken
down into two sources:
A small number of common factors which proxy for
economic events that affect almost all assets.
changes in interest rates,inflation,and productivity.
These represent Systematic risk,which cannot be diversified
away.
A risk component that is unique to the asset.
new product innovations,changes in management,lawsuits,
labor strikes,etc.
These are Non-systematic idiosyncratic,or firm-specific risk,
which typically is diversifiable.
We call these equations which break down an asset's
return into these two components factor models.
例子：市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=公司特有风险，满足
iIIiIiIi rr
ir
Ir
iI?
iI?
iI?
0?iIE 0,?IiI rCo v 0,?jIiI rC ov?
例如,i 为海尔股票,j 为五粮液股票,I 为上证指数
海尔公司股票方差可以分解为
= systematic risk + non-systematic risk
= non-diversifiable risk + diversifiable risk
= market risk + unique or firm-specific risk
注意：市场模型与 SML的区别
市场模型是统计模型,SML是理论结果
市场模型描述实现回报率,SML描述期望回报率
市场模型可以分解为期望部分与非期望部分
iIIiiIIiIiIi rrrr
iIIiiIi rrr
例子,Flyer公司股票的下一个月回报率
这里
表示实际月回报率
表示期望回报率
表示回报率的非期望部分
URR
R
R
U
期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，
依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。
回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导致，
例如
News about Flyers’research
Government figures released on the gross national
product (GNP)
Results of the latest arms-control talks
Discovery that a rival’s product has been tampered with
News that Fleyers’sales figures are higher than expected
A sudden drop in interest rates
The unexpected retirement of Flyers’founder and
president
Announcement = Expected part +
Surprise
The expected part of any announcement is part of
the information the market uses to form the
expectation of the return on the stock.
The surprise is the news that influences the
unanticipated return on the stock,
When we speak of news,then,we refer to
the surprise part of any announcement and
not the portion that the market has expected
and therefore has already discounted,
The unanticipated part of return---that
portion resulting from surprise---is the
true risk of any investment.
这里
由于系统原因导致的回报率的非期望部分
由于非系统原因导致的回报率的非期望部分
mRURR
m
0?mE
0E
定义 1：因子模型 （或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。
由于在实际中,证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响,所以,在估计证券的期望回报率,方差以及协方差的准确度方面,多因子模型比市场模型更有效 。
作为一种回报率产生过程,因子模型具有以下几个特点 。
第一,因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素 。
第二,在构造因子模型中,我们假设两个证券的回报率相关 ——一起运动 ——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的 。
第三,证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的,从而与别的证券回报率的特有部分无关,也与因子的运动无关 。
因子模型在证券组合管理中的应用
在证券组合选择过程中,减少估计量和计算量
刻画证券组合对因子的敏感度
如果假设证券回报率满足因子模型,那么证券分析的基本目标就是,辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度 。
2.单因子模型
把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。
例如，国内生产总值 GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素。
表 6-1 因子模型数据
年份 GDP增长率 A股票回报率
1 5.7% 14.3%
2 6.4 19.2
3 7.9 23.4
4 7.0 15.6
5 5.1 9.2
6 2.9 13.0
4%
tr
tGDP
%0.136?r
%2.36?e
%9.26?G DP
图 6-1中,横轴表示 GDP的增长率,纵轴表示证券 A的回报率 。 图上的每一点表示表 6-1
中,在给定的年份,A的回报率与 GDP增长率的关系 。 通过线性回归分析,我们得到一条符合这些点的直线 。 这条直线的斜率为 2，
说明 A的回报率与 GDP增长率有正的关系 。
GDP增长率越大,A的回报率越高 。
写成方程的形式,A的回报率与 GDP增长率之间的关系可以表示如下
这里
=A在 t 时的回报率,
=GDP在 t 时的增长率,
=A在 t 时的回报率的特有部分,
=A对 GDP的增长率的敏感度,
=有关 GDP的零因子 。
ttt eb G D Par
tr
tGDP
te
b
a
在图 6-1中,零因子是 4%,这是 GDP的增长率为零时,A的回报率 。 A的回报率对 GDP增长率的敏感度为 2,这是图中直线的斜率 。
这个值表明,高的 GDP的增长率一定伴随着高的 A的回报率 。 如果 GDP的增长率是 5%，
则 A的回报率为 14%。 如果 GDP的增长率增加 1%——为 6%时,则 A的回报率增加 2%，
或者为 16%。
在这个例子里,第六年的 GDP的增长率为
2.9%,A的实际回报率是 13%。 因此,A的回报率的特有部分 （ 由 给出 ） 为
3.2%。 给定 GNP的增长率为 2.9%,从 A的实际回报率 13%中减去 A的期望回报率 9.8%，
就得到 A的回报率的特有部分 3.2%。
te
从这个例子可以看出,A在任何一期的回报率包含了三种成份：
1,在任何一期都相同的部分 （ ）
2,依赖于 GDP的增长率,每一期都不相同的部分
（ ）
3,属于特定一期的特殊部分 （ ） 。
a
tbGDP
te
通过分析上面这个例子,可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间 t 的任何证券 i 有
ittiiit
eFbar
这里,是因子在时间 t 的因子的值,
对在时间 t 的所有的证券而言,它是相同的 。
是证券 i 对因子 的敏感度,对证券 i
而言,不随时间的变化而变化 。
是证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分 。
这是一个均值为 0,标准差为,且与因子 无关的随机变量,我们以后简称为随机项 。
tF
ib tF
ib
ite
ei? tF
为简单计,只考虑在某个特定的时间的因子模型,从而省掉角标,从而 (6.2)式变为
并且假设：
1,任意证券 i 的随机项 与因子不相关 ;
2,任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiii eFbar
ie
ie je
假设 1说明,因子具体取什么值对随机项没有影响 。 而假设 2说明,一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响,换言之,
两种证券之所以相关,是由于因子对它们的共同影响导致的 。 如果任何假设不成立,则单因子模型不准确,应该考虑不同的因子模型 。
对于证券 i 而言,其回报率的均值
这时
iiii Fbar
iiiiii eFFbrr
例子,Common factors driving asset returns may include
GNP,interest rates,etc,Let be the news on interest
rates,Before a board meeting of the Fed,the market
expects the Fed not to change the interest rate,After the
meeting,Greenspan announces that
There is no change in interest rate----,no news”
There is a 0.25%increase in interest rate----,positive surprise”
What should be the sign of factor loadings on for
Fixed income securities
Stocks
.intf
0.int?f
%25.0.in t?f
.intf
对于证券 i 而言,其回报率的方差为
例子
2222 eiFii b
定义 2,我们称 (6.5)式中的 为 因子风险 ； 为 非因子风险 。
对于证券 i 和 j 而言,它们之间的协方差为
22 Fib?
2ei?
2Fjiij bb
单因子模型具有两个重要的性质 。
第一个性质,单因子模型能够大大简化我们在均值 -
方差分析中的估计量和计算量 。
第二个性质与风险的分散化有关 。
分散化导致因子风险的平均化 。
分散化缩小非因子风险 。
2222
ePFPP b
N
i
iiP bb
1
N
i
eiieP
1
222
Key assumption,the residuals are
uncorrelated across assets.
This means that they are truly firm-specific or
unique risks,and hence are diversifiable.
Realistically,however,aren't there other
sources of risk that affect a group of assets,
which are not picked up by an asset's
sensitivity to the market?
ex,interest rate changes.
Changes in interest rates affect the return on Haier,
as well as almost all assets in the economy.
Some of these effects will be accounted for by the
market factor,but not all.
Thus,the remaining effects show up in the residual
of Haier.
But,because interest rate changes are not,firm
specific",and cannot be diversified away,we can no
longer view the residuals as diversifiable risk.
So,how can we account for this common factor?
3 多因子模型
经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景,因此,对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响 。
但是,经济并不是一个简单的单一体,
用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的 。
一般来说,下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响 。
1,GDP的增长率
2,短期国库券的利率水平
3,长短期国债的收益率之差
4,公司债与国债的收益率之差
5,通货膨胀率
6,石油价格
7,技术进步
3.1两因子模型,即,回报率生成过程包括两个因子 。
在 t 时的两因子模型方程为：
这里 和 是影响证券回报率的主要因素,和是证券 i 对两因子的敏感度 。 是随机项,而 是零因子回报率 。
ittitiii eFbFbar 2211
tF1 t
F2
1ib 2ib
ite ia
例子
表 6-2 因子模型数据
年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率
1 5.7% 1.1% 14.3%
2 6.4 4.4 19.2
3 7.9 4.4 23.4
4 7.0 4.6 15.6
5 5.1 6.1 9.2
6 2.9 3.1 13.0
tr
tGDP
tINF
%9.2?tG D P
%1.3?tINF
%8.5?a
%136?r
%0.36?e
证券 B的回报率受 GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响 。 图中的每一点描述了在特定的一年,证券 B的回报率,GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系 。 通过线性回归,可以确定一个平面,使得图中的点符合这个平面 。 这个平面的方程为
tttt eI N FbGD Pbar 21
平面在 GDP增长率方向的斜率 （ =2.2） 表示证券 B的回报率对 GDP增长率变化的敏感度 。
平面在通货膨胀率方向的斜率 （ =?0.7） 表示证券 B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度 。
敏感度符号说明,当预期 GDP增长率或者通货膨胀率增加时,证券 B的回报率相应地增加或者减少 。
平面的截距表示 B的零因子回报率为 5.8%。
B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分 。 例如,B在第六年的随机项为 3%。
和单因子模型一样,我们只考虑一期的模型,所以省掉时间的角标 。 两因子模型方程如下：
并且假设：
1,证券的随机项与因子不相关,
2,证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiiii eFbFbar 2211
ie je
期望回报率
方差
协方差
两因子模型具有单因子模型的重要性质 。
1,有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少 。
2,分散化导致因子风险的平均化 。
3,分散化缩小非因子风险 。
3.2 多因子模型
一般形式
不同形式
其中
例子
itktiktitiii eFbFbFbar2211
itktiktitiii eFDbFDbFDbrr2211
ititit FFFD
4 因子模型的性质
Any well-diversified portfolio p is exposed only to factor risks:
Let be the weights of portfolio p in assets 1-k,
respectively,Then
Where
If the portfolio is well diversified
Since are uncorrelated,Thus it only bears factor
risks,
ktpktptppp FDbFDbFDbrr2211
k,,,21?
pktpktptppp FDbFDbFDbrr2211
n
i
iip rr
1
k
i
inipn bb
1
k
i
iip
1
k,,1?
0
1
k
i
iip
A diversified portfolio,p,that is not
exposed to any factor risk,
must offer the risk-free rate
There always exist portfolios that exposed
only to the risk of a single factor i
01 pkp bb?
fpp rrr
ipipipi FDbrr
Ex,Consider two well-diversified portfolios,
both expose only to the first factors,and
Consider a portfolio of these two portfolios,
with weight in and in
If we choose such that
or
Then we have
21 5.123.0' ffr
1f
2f
21 5.02.0 ffr
'r1r
3.012.0pr 1211 f
25.115.0 f
05.115.0
5.1
15.015.0 fr p
A portfolio,,that has unitary risk of
factor,offers a premium
associated with the factor risk
Such a portfolio is called a factor portfolio
( for factor ) and is the premium of
factor
ip
ii fp rr?
i
i
ip
i
1?ipb
ff rr i?
Ex,( continued) In the above example,we have
found portfolio p that bears only the risk of factor 1,
Its loading on factor 1 is 0.5,Suppose that the risk
free rate is 10%,Consider the following portfolio
200% invested in
-100% invested in the risk free portfolio
The return on is
has unitary loading of factor 1 and its expected return is
The portfolio is a factor portfolio for factor 1 and the risk
premium for factor is 20%-10%=10%.
1p
p
1p
152.021 frrr fpp
1p
1p
%201?prE
5 套利机会
何谓套利机会？ 最简单的说法是,不花钱就能挣到钱 。 具体地说,有两种类型的套利机会 。
如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付 （ 不管是正的还是负的 ）,我们称这种投资为 第一类的套利机会 。
如果一种投资有非正的成本,但在将来,获得正的收益的概率为正,而获得负的收益
（ 或者说正的支出 ） 的概率为零,我们称这种投资为 第二类的套利机会 。
任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如果存在这样的套利机会，
人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。
所以我们 假设市场上不存在任何套利机会 。
套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因。
每个投资者都会充分利用套利机会
只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会
近似的套利机会（ almost arbitrage)：风险性质类似得证券组合，其价格、回报率也应该接近。在因子模型这一框架中，
因子敏感度相等时，除非因子风险外，
价格、回报率行为应该一致，否则存在近似套利机会。
6 套利定价理论 (APT)
假设 1,市场是完全竞争的,无摩擦的 。
假设 2,投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时,他们会构造套利证券组合来增加自己的财富 。
假设 3,所有投资者有相同的预期：任何证券 i 的回报率满足因子模型：
这里,
=证券 i 的随机回报率,
=证券 i 对第 j 个因子的敏感度,
=均值为零的第 j 个因子,
=证券 i 的随机项 。
ikikiiii eFbFbFbrEr ~~~~~ 2211?
ir~
ijb
jF
~
ie
假设 4：,与所有因子不相关且
假设 5,市场上的证券的种类远远大于因子的数目 k 。
0?ieE ie
0,?ji eeC o v
因子模型说明,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合,除非因子风险外,其行为是一致的 。 因此,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合的期望回报率 （ 或者说价格 ） 是一样的 。 否则,就存在几乎的套利机会,投资者就会利用它们,直到消除这些套利机会 。 这就是 APT的实质 。
定义,如果一个证券组合满足下列三个条件：
1,初始成本为零；
2,对因子的敏感度为零：
3,期望回报率为正 。
我们称这种证券组合为 套利证券组合 。
注,严格的说,套利证券组合应该具有零的非因子风险 。 但是,APT假设通过分散化,这种风险非常小,以至可以忽略 。
6.1例子,（ 单因子模型 ） 假如市场上存在三种股票,每个投资者都认为它们满足因子模型,且具有以下的期望回报率和敏感度：
i
股票 1 15% 0.9
股票 2 21% 3.0
股票 3 12% 1.8
ir ib
假设某投资者投资在每种股票上的财富为 4000元，投资者现在总的投资财富为
12000元。
首先,我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合 。 显然,一个套利证券组合 是下面三个方程的解：
初始成本为零,
对因子的敏感度为零,
期望回报率为正,
321,,
0321
08.10.39.0 321
012.021.015.0 321
满 足 这 三 个 条 件 的 解 有 无 穷 多 个 。 例如,
=(0.1,0.075,?0.175)就是一个套利证券组合 。
这时候,投资者如何调整自己的初始财富 12000
元
对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言,这种套利证券组合是相当具有吸引力的 。 它不需要成本,没有因子风险,却具有正的期望回报率 。
套利证券组合如何影响投资者的头寸
Old p or tf olio Arbit rag e
portf olio
New
portf olio
weig ht
1 0.333 0.100 0.433
2 0.333 0.075 0.408
3 0.333 - 0.1 75 0.158
prop e rty
Exp ect e d
return
16% 0.975% 16.97 5%
sensiti vity 1.9 0 1.9
var ia nce 1 1% s m al l Appro x,1 1%
在上面的例子,因为 (0.1,0.075,?0.175)
是一个套利证券组合,所以,每个投资者都会利用它 。 从而,每个投资者都会购买证券 1和 2,而卖空证券 3。 由于每个投资者都采用这样的策略,必将影响证券的价格,相应地,也将影响证券的回报率 。 特别地,由于购买压力的增加,证券 1和 2的价格将上升,而这又导致证券 1和 2的回报率下降 。 相反,由于销售压力的增加,证券 3的价格将下降,这又使得证券 3的回报率上升 。
这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止 。 此时,证券市场处于一个均衡状态 。 在这时的证券市场里,不需要成本,没有因子风险的证券组合,其期望回报率必为零 。
无套利时,三种证券的期望回报率 和因子敏感度 满足,对任意组合,
如果
0321
0332211 bbb
ir
ib
321,,
则必有
根据 Farkas引理,必存在常数 和,使得下面的式子成立
0332211 rrr
0? 1?
ii br 10
刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%，
=4%。 这将导致证券 1,2,3的均衡回报率为 11.6%,20.0%,15.2%.
0?1?
图 6-3说明了套利定价关系 (6.21)。 在市场无套利时,所有的证券都落在套利定价线上 。
常数 的一个自然解释是,它表示市场无套利时因子的风险酬金 。 而 表示无风险利率 。
1?
0?
0?
1?
ir
ib
Br
Sr
B
S
如何求
1?
6.2 例子,（ 二因子模型 ） 假如市场上存在四种股票,每个投资者都认为它们满足因子模型,且具有以下的期望回报率和敏感度：
i
股票 1 15% 0.9 2.0
股票 2 21% 3.0 1.5
股票 3 12% 1.8 0.7
股票 4 8% 2.0 3.2
ir 1ib 2ib
假设某投资者投资在每种股票上的财富为 5000元，投资者现在总的投资财富为
20000元。
首先,我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合 。 显然,一个套利证券组合 是下面四个方程的解：
初始成本为零,
对因子的敏感度为零,
期望回报率为正,
4321,,,
04321
028.10.39.0 4321
08.012.021.015.0 4321
02.37.05.12 4321
满足这四个条件的解有无穷多个 。 例如,=(0.1,0.088,
0.108,-0.08)就是一个套利证券组合 。
这时候,投资者如何调整自己的初始财富 20000
元
因为,(0.1,0.088,?0.108,-0.08)是一个套利证券组合,所以,每个投资者都会利用它 。
从而,每个投资者都会购买证券 1和 2,而卖空证券 3和 4。 由于每个投资者都采用这样的策略,必将影响证券的价格,相应地,
也将影响证券的回报率 。 特别地,由于购买压力的增加,证券 1和 2的价格将上升,
而这又导致证券 1和 2的回报率下降 。 相反,
由于销售压力的增加,证券 3和 4的价格将下降,这又使得证券 3和 4的回报率上升 。
这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止 。 此时,证券市场处于一个均衡状态 。 在这时的证券市场里,不需要成本,没有因子风险的证券组合,其期望回报率必为零 。
无套利时,四种证券的期望回报率 和因子敏感度,对任意组合,
如果 0
4321
0441331221111 bbbb
ir
21,ii bb
4321,,,
0442332222112 bbbb
则必有
根据 Farkas引理,必存在常数,,
使得下面的式子成立
044332211 rrrr
0? 1?
22110 iii bbr
2?
刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%，
=4%,=-2% 。 这将导致证券 1、
2,3,4的均衡回报率为 7.6%,17%,13.8%,
9.6%.
0?1? 2?
如何求,
1? 2?
6.3 一般情形
选择证券组合,使其成本为
0
回报率为
i
kiki
i
ii
i
iip FbFbrr
~~~
11
0
1
n
i
i?
n
i
iie
1
Tn,,1?
为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：
1） 所选的每个权充分小；
2）所包括的证券种类尽量多；
3）对每个因子而言，证券组合的因子敏感度为零。
用数学式子表示,这些条件是
是一个很大的数
对每个因子而言,
ni 1
n
0
i
ikib?
因为随机项是独立的,由大数定律,当越来越大时,随机项的加权和趋向于零 。 换言之,通过分散化,不需要花任何成本就能消去非因子风险 。 因此,我们得到
n
i
kiki
i
ii
i
iip FbFbrr
~~~
11
在形式上看起来,这是一个随机量 。 但是,
由 (6.26)式,证券组合的每个因子敏感度为零,所以,所有的因子风险为零 。 由于我们选择的权消除了所有的风险,最后,证券组合的回报率变成了一个常数 。 (6.27)式变成了
i
iip rr?~
在我们构造的证券组合的过程中,投资者既不需要成本,也不承担风险,如果构造的证券组合的回报率不为零,它就是一个套利证券组合,当市场达到均衡时,这是不可能的 。
因此,满足条件 (6.24)-(6.26)的证券组合,
其回报率一定为零,即,
(6.29)
0~
i
iip rr?
证券市场无套利时,证券的期望回报率和因子敏感度满足下列性质：
对任何向量,
如果它既垂直于单位常向量,
又垂直于每个因子敏感度向量,
则它一定垂直于期望回报率向量,
由 Farkas引理,期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合,即,存在个
k+1 常数,使得
(6.30)
Tn,,1?
ikkii bbr110
7 因子模型 在投资组合策略中的应用
投资组合构建的决策
因子模型对系统风险进行了细分，使得投资者容易接受，而且又能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合策略更具有指导意义。
投资组合的构建策略，首要的是选择一个自己最愿意接受的风险水平，其次是通过恰当的交易，使得组合达到预定的位置。
例子
假设影响证券收益的系统因素是通货膨胀的意外发生和工业生产率的意外发生。
I?
P?
A
U
B
1
1
投资组合的策略分析
投资基金是一种典型的投资组合。对投资基金管理者而言，选择最佳的风险模式，就是选择最佳的因素敏感系数的组合。为此，我们必须了解基金发起者和收益者的经济状况和特征，而这又取决于他们所处的市场环境。
8,Comments on APT
Strength and weaknesses of APT
The model gives a reasonable description of return and risk.
Factors seem plausible
No need to measure market portfolio correctly
Model itself does not say what the right factors are
Factors can change over time
Estimating muti-factor models requires more data.
APT与 CAPM的区别
APT is based on the factor model or returns and the approximate arbitrage argument
CAPM is based on investors’ portfolio demand and equilibrium arguments.
Difference between APT and Arbitrage free pricing
APT uses,approximate arbitrage” to approximately price (almost) all asset
Arbitrage free pricing uses strict arbitrage to price assets that can be replicated exactly,
(e.g,option pricing)
9 APT 的应用
The implementation of APT involves
three steps:
Identify the factor
Estimate factor loadings of assets
Estimates factor premia
9.1 因子的识别
要利用 APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。因为理论本身并没有告诉我们因子是什么，所以我们需要通过经验来构造因子。
利用宏观经济变量。经验证明，这些因子具有以下特征：
（ 1）它们应该包含表明总的经济行为的指标；
（ 2）它们应该包含通货膨胀；
（ 3）它们应该包含某种利率。
直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红利与总的经济行为有关，折现率与通货膨胀率和利率有关，所以，重要的因子应该包含这几个要素。
3到 5个因子
例子：
工业生产的增长率
通货膨胀率
长短期利率差
优劣债券回报率之差
例子
GNP增长率
利率
石油价格变化率
国防开支增长率
宏观经济学，微观经济学，产业组织，基础分析
因子分析方法 (Factor-analytic
approaches)
Estimate covariance of asset returns
Extract factor from the covariance matrix
Data mining
Explore different portfolios to find those
whose returns can be used as factors.
9.2 Factor loadings
Given the factors,we can regress past
asset returns on the factors to eatimate
factor loadings
9.3 factor premia
Given the factor loading of individual
assets,we can construct factor
portfolios
9.4 APT pricing
10 对套利模型的实证研究
验证影响证券收益的因素是否只有一个；
到底是哪些因素影响证券的收益。
公司规模，股票帐面价值与市场价值之比，
Empirical Models
The world empirical refers to the fact that these
approaches are based less on some theory of how
financial markets work and more on simply looking
for regularities and relations in the past history of
market data,In these approaches the researcher
specifies some parameters or attributes associated
with the securities in question and then examines
the data directly for a relation between these
attributes and expected returns.
Size
the ratio of the price of a stock to the accounting
earnings(P/E)
the ratio of the market value of the stock to the
book value of the company(M/B)
Ps i z e
ii
fi s iz ekB
Mk
E
Pkrr
BMEP
系统风险与非系统风险
单因子模型
多因子模型
套利和套利定价
1,系统风险与非系统风险
经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司
商业周期、利率,GDP增长率、技术进步、
劳动和原材料的成本、通货膨胀率
这些变量不可预期的 变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化
Therefore,the risk of asset returns can be broken
down into two sources:
A small number of common factors which proxy for
economic events that affect almost all assets.
changes in interest rates,inflation,and productivity.
These represent Systematic risk,which cannot be diversified
away.
A risk component that is unique to the asset.
new product innovations,changes in management,lawsuits,
labor strikes,etc.
These are Non-systematic idiosyncratic,or firm-specific risk,
which typically is diversifiable.
We call these equations which break down an asset's
return into these two components factor models.
例子：市场模型
这里
=在给定的时间区间，证券 i 的回报率
=在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
=截矩项
=斜率项
=公司特有风险，满足
iIIiIiIi rr
ir
Ir
iI?
iI?
iI?
0?iIE 0,?IiI rCo v 0,?jIiI rC ov?
例如,i 为海尔股票,j 为五粮液股票,I 为上证指数
海尔公司股票方差可以分解为
= systematic risk + non-systematic risk
= non-diversifiable risk + diversifiable risk
= market risk + unique or firm-specific risk
注意：市场模型与 SML的区别
市场模型是统计模型,SML是理论结果
市场模型描述实现回报率,SML描述期望回报率
市场模型可以分解为期望部分与非期望部分
iIIiiIIiIiIi rrrr
iIIiiIi rrr
例子,Flyer公司股票的下一个月回报率
这里
表示实际月回报率
表示期望回报率
表示回报率的非期望部分
URR
R
R
U
期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，
依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。
回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导致，
例如
News about Flyers’research
Government figures released on the gross national
product (GNP)
Results of the latest arms-control talks
Discovery that a rival’s product has been tampered with
News that Fleyers’sales figures are higher than expected
A sudden drop in interest rates
The unexpected retirement of Flyers’founder and
president
Announcement = Expected part +
Surprise
The expected part of any announcement is part of
the information the market uses to form the
expectation of the return on the stock.
The surprise is the news that influences the
unanticipated return on the stock,
When we speak of news,then,we refer to
the surprise part of any announcement and
not the portion that the market has expected
and therefore has already discounted,
The unanticipated part of return---that
portion resulting from surprise---is the
true risk of any investment.
这里
由于系统原因导致的回报率的非期望部分
由于非系统原因导致的回报率的非期望部分
mRURR
m
0?mE
0E
定义 1：因子模型 （或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。
由于在实际中,证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响,所以,在估计证券的期望回报率,方差以及协方差的准确度方面,多因子模型比市场模型更有效 。
作为一种回报率产生过程,因子模型具有以下几个特点 。
第一,因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素 。
第二,在构造因子模型中,我们假设两个证券的回报率相关 ——一起运动 ——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的 。
第三,证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的,从而与别的证券回报率的特有部分无关,也与因子的运动无关 。
因子模型在证券组合管理中的应用
在证券组合选择过程中,减少估计量和计算量
刻画证券组合对因子的敏感度
如果假设证券回报率满足因子模型,那么证券分析的基本目标就是,辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度 。
2.单因子模型
把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。
例如，国内生产总值 GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素。
表 6-1 因子模型数据
年份 GDP增长率 A股票回报率
1 5.7% 14.3%
2 6.4 19.2
3 7.9 23.4
4 7.0 15.6
5 5.1 9.2
6 2.9 13.0
4%
tr
tGDP
%0.136?r
%2.36?e
%9.26?G DP
图 6-1中,横轴表示 GDP的增长率,纵轴表示证券 A的回报率 。 图上的每一点表示表 6-1
中,在给定的年份,A的回报率与 GDP增长率的关系 。 通过线性回归分析,我们得到一条符合这些点的直线 。 这条直线的斜率为 2，
说明 A的回报率与 GDP增长率有正的关系 。
GDP增长率越大,A的回报率越高 。
写成方程的形式,A的回报率与 GDP增长率之间的关系可以表示如下
这里
=A在 t 时的回报率,
=GDP在 t 时的增长率,
=A在 t 时的回报率的特有部分,
=A对 GDP的增长率的敏感度,
=有关 GDP的零因子 。
ttt eb G D Par
tr
tGDP
te
b
a
在图 6-1中,零因子是 4%,这是 GDP的增长率为零时,A的回报率 。 A的回报率对 GDP增长率的敏感度为 2,这是图中直线的斜率 。
这个值表明,高的 GDP的增长率一定伴随着高的 A的回报率 。 如果 GDP的增长率是 5%，
则 A的回报率为 14%。 如果 GDP的增长率增加 1%——为 6%时,则 A的回报率增加 2%，
或者为 16%。
在这个例子里,第六年的 GDP的增长率为
2.9%,A的实际回报率是 13%。 因此,A的回报率的特有部分 （ 由 给出 ） 为
3.2%。 给定 GNP的增长率为 2.9%,从 A的实际回报率 13%中减去 A的期望回报率 9.8%，
就得到 A的回报率的特有部分 3.2%。
te
从这个例子可以看出,A在任何一期的回报率包含了三种成份：
1,在任何一期都相同的部分 （ ）
2,依赖于 GDP的增长率,每一期都不相同的部分
（ ）
3,属于特定一期的特殊部分 （ ） 。
a
tbGDP
te
通过分析上面这个例子,可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间 t 的任何证券 i 有
ittiiit
eFbar
这里,是因子在时间 t 的因子的值,
对在时间 t 的所有的证券而言,它是相同的 。
是证券 i 对因子 的敏感度,对证券 i
而言,不随时间的变化而变化 。
是证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分 。
这是一个均值为 0,标准差为,且与因子 无关的随机变量,我们以后简称为随机项 。
tF
ib tF
ib
ite
ei? tF
为简单计,只考虑在某个特定的时间的因子模型,从而省掉角标,从而 (6.2)式变为
并且假设：
1,任意证券 i 的随机项 与因子不相关 ;
2,任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiii eFbar
ie
ie je
假设 1说明,因子具体取什么值对随机项没有影响 。 而假设 2说明,一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响,换言之,
两种证券之所以相关,是由于因子对它们的共同影响导致的 。 如果任何假设不成立,则单因子模型不准确,应该考虑不同的因子模型 。
对于证券 i 而言,其回报率的均值
这时
iiii Fbar
iiiiii eFFbrr
例子,Common factors driving asset returns may include
GNP,interest rates,etc,Let be the news on interest
rates,Before a board meeting of the Fed,the market
expects the Fed not to change the interest rate,After the
meeting,Greenspan announces that
There is no change in interest rate----,no news”
There is a 0.25%increase in interest rate----,positive surprise”
What should be the sign of factor loadings on for
Fixed income securities
Stocks
.intf
0.int?f
%25.0.in t?f
.intf
对于证券 i 而言,其回报率的方差为
例子
2222 eiFii b
定义 2,我们称 (6.5)式中的 为 因子风险 ； 为 非因子风险 。
对于证券 i 和 j 而言,它们之间的协方差为
22 Fib?
2ei?
2Fjiij bb
单因子模型具有两个重要的性质 。
第一个性质,单因子模型能够大大简化我们在均值 -
方差分析中的估计量和计算量 。
第二个性质与风险的分散化有关 。
分散化导致因子风险的平均化 。
分散化缩小非因子风险 。
2222
ePFPP b
N
i
iiP bb
1
N
i
eiieP
1
222
Key assumption,the residuals are
uncorrelated across assets.
This means that they are truly firm-specific or
unique risks,and hence are diversifiable.
Realistically,however,aren't there other
sources of risk that affect a group of assets,
which are not picked up by an asset's
sensitivity to the market?
ex,interest rate changes.
Changes in interest rates affect the return on Haier,
as well as almost all assets in the economy.
Some of these effects will be accounted for by the
market factor,but not all.
Thus,the remaining effects show up in the residual
of Haier.
But,because interest rate changes are not,firm
specific",and cannot be diversified away,we can no
longer view the residuals as diversifiable risk.
So,how can we account for this common factor?
3 多因子模型
经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景,因此,对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响 。
但是,经济并不是一个简单的单一体,
用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的 。
一般来说,下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响 。
1,GDP的增长率
2,短期国库券的利率水平
3,长短期国债的收益率之差
4,公司债与国债的收益率之差
5,通货膨胀率
6,石油价格
7,技术进步
3.1两因子模型,即,回报率生成过程包括两个因子 。
在 t 时的两因子模型方程为：
这里 和 是影响证券回报率的主要因素,和是证券 i 对两因子的敏感度 。 是随机项,而 是零因子回报率 。
ittitiii eFbFbar 2211
tF1 t
F2
1ib 2ib
ite ia
例子
表 6-2 因子模型数据
年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率
1 5.7% 1.1% 14.3%
2 6.4 4.4 19.2
3 7.9 4.4 23.4
4 7.0 4.6 15.6
5 5.1 6.1 9.2
6 2.9 3.1 13.0
tr
tGDP
tINF
%9.2?tG D P
%1.3?tINF
%8.5?a
%136?r
%0.36?e
证券 B的回报率受 GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响 。 图中的每一点描述了在特定的一年,证券 B的回报率,GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系 。 通过线性回归,可以确定一个平面,使得图中的点符合这个平面 。 这个平面的方程为
tttt eI N FbGD Pbar 21
平面在 GDP增长率方向的斜率 （ =2.2） 表示证券 B的回报率对 GDP增长率变化的敏感度 。
平面在通货膨胀率方向的斜率 （ =?0.7） 表示证券 B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度 。
敏感度符号说明,当预期 GDP增长率或者通货膨胀率增加时,证券 B的回报率相应地增加或者减少 。
平面的截距表示 B的零因子回报率为 5.8%。
B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分 。 例如,B在第六年的随机项为 3%。
和单因子模型一样,我们只考虑一期的模型,所以省掉时间的角标 。 两因子模型方程如下：
并且假设：
1,证券的随机项与因子不相关,
2,证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关 。
iiiii eFbFbar 2211
ie je
期望回报率
方差
协方差
两因子模型具有单因子模型的重要性质 。
1,有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少 。
2,分散化导致因子风险的平均化 。
3,分散化缩小非因子风险 。
3.2 多因子模型
一般形式
不同形式
其中
例子
itktiktitiii eFbFbFbar2211
itktiktitiii eFDbFDbFDbrr2211
ititit FFFD
4 因子模型的性质
Any well-diversified portfolio p is exposed only to factor risks:
Let be the weights of portfolio p in assets 1-k,
respectively,Then
Where
If the portfolio is well diversified
Since are uncorrelated,Thus it only bears factor
risks,
ktpktptppp FDbFDbFDbrr2211
k,,,21?
pktpktptppp FDbFDbFDbrr2211
n
i
iip rr
1
k
i
inipn bb
1
k
i
iip
1
k,,1?
0
1
k
i
iip
A diversified portfolio,p,that is not
exposed to any factor risk,
must offer the risk-free rate
There always exist portfolios that exposed
only to the risk of a single factor i
01 pkp bb?
fpp rrr
ipipipi FDbrr
Ex,Consider two well-diversified portfolios,
both expose only to the first factors,and
Consider a portfolio of these two portfolios,
with weight in and in
If we choose such that
or
Then we have
21 5.123.0' ffr
1f
2f
21 5.02.0 ffr
'r1r
3.012.0pr 1211 f
25.115.0 f
05.115.0
5.1
15.015.0 fr p
A portfolio,,that has unitary risk of
factor,offers a premium
associated with the factor risk
Such a portfolio is called a factor portfolio
( for factor ) and is the premium of
factor
ip
ii fp rr?
i
i
ip
i
1?ipb
ff rr i?
Ex,( continued) In the above example,we have
found portfolio p that bears only the risk of factor 1,
Its loading on factor 1 is 0.5,Suppose that the risk
free rate is 10%,Consider the following portfolio
200% invested in
-100% invested in the risk free portfolio
The return on is
has unitary loading of factor 1 and its expected return is
The portfolio is a factor portfolio for factor 1 and the risk
premium for factor is 20%-10%=10%.
1p
p
1p
152.021 frrr fpp
1p
1p
%201?prE
5 套利机会
何谓套利机会？ 最简单的说法是,不花钱就能挣到钱 。 具体地说,有两种类型的套利机会 。
如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付 （ 不管是正的还是负的 ）,我们称这种投资为 第一类的套利机会 。
如果一种投资有非正的成本,但在将来,获得正的收益的概率为正,而获得负的收益
（ 或者说正的支出 ） 的概率为零,我们称这种投资为 第二类的套利机会 。
任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如果存在这样的套利机会，
人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。
所以我们 假设市场上不存在任何套利机会 。
套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因。
每个投资者都会充分利用套利机会
只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会
近似的套利机会（ almost arbitrage)：风险性质类似得证券组合，其价格、回报率也应该接近。在因子模型这一框架中，
因子敏感度相等时，除非因子风险外，
价格、回报率行为应该一致，否则存在近似套利机会。
6 套利定价理论 (APT)
假设 1,市场是完全竞争的,无摩擦的 。
假设 2,投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时,他们会构造套利证券组合来增加自己的财富 。
假设 3,所有投资者有相同的预期：任何证券 i 的回报率满足因子模型：
这里,
=证券 i 的随机回报率,
=证券 i 对第 j 个因子的敏感度,
=均值为零的第 j 个因子,
=证券 i 的随机项 。
ikikiiii eFbFbFbrEr ~~~~~ 2211?
ir~
ijb
jF
~
ie
假设 4：,与所有因子不相关且
假设 5,市场上的证券的种类远远大于因子的数目 k 。
0?ieE ie
0,?ji eeC o v
因子模型说明,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合,除非因子风险外,其行为是一致的 。 因此,所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合的期望回报率 （ 或者说价格 ） 是一样的 。 否则,就存在几乎的套利机会,投资者就会利用它们,直到消除这些套利机会 。 这就是 APT的实质 。
定义,如果一个证券组合满足下列三个条件：
1,初始成本为零；
2,对因子的敏感度为零：
3,期望回报率为正 。
我们称这种证券组合为 套利证券组合 。
注,严格的说,套利证券组合应该具有零的非因子风险 。 但是,APT假设通过分散化,这种风险非常小,以至可以忽略 。
6.1例子,（ 单因子模型 ） 假如市场上存在三种股票,每个投资者都认为它们满足因子模型,且具有以下的期望回报率和敏感度：
i
股票 1 15% 0.9
股票 2 21% 3.0
股票 3 12% 1.8
ir ib
假设某投资者投资在每种股票上的财富为 4000元，投资者现在总的投资财富为
12000元。
首先,我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合 。 显然,一个套利证券组合 是下面三个方程的解：
初始成本为零,
对因子的敏感度为零,
期望回报率为正,
321,,
0321
08.10.39.0 321
012.021.015.0 321
满 足 这 三 个 条 件 的 解 有 无 穷 多 个 。 例如,
=(0.1,0.075,?0.175)就是一个套利证券组合 。
这时候,投资者如何调整自己的初始财富 12000
元
对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言,这种套利证券组合是相当具有吸引力的 。 它不需要成本,没有因子风险,却具有正的期望回报率 。
套利证券组合如何影响投资者的头寸
Old p or tf olio Arbit rag e
portf olio
New
portf olio
weig ht
1 0.333 0.100 0.433
2 0.333 0.075 0.408
3 0.333 - 0.1 75 0.158
prop e rty
Exp ect e d
return
16% 0.975% 16.97 5%
sensiti vity 1.9 0 1.9
var ia nce 1 1% s m al l Appro x,1 1%
在上面的例子,因为 (0.1,0.075,?0.175)
是一个套利证券组合,所以,每个投资者都会利用它 。 从而,每个投资者都会购买证券 1和 2,而卖空证券 3。 由于每个投资者都采用这样的策略,必将影响证券的价格,相应地,也将影响证券的回报率 。 特别地,由于购买压力的增加,证券 1和 2的价格将上升,而这又导致证券 1和 2的回报率下降 。 相反,由于销售压力的增加,证券 3的价格将下降,这又使得证券 3的回报率上升 。
这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止 。 此时,证券市场处于一个均衡状态 。 在这时的证券市场里,不需要成本,没有因子风险的证券组合,其期望回报率必为零 。
无套利时,三种证券的期望回报率 和因子敏感度 满足,对任意组合,
如果
0321
0332211 bbb
ir
ib
321,,
则必有
根据 Farkas引理,必存在常数 和,使得下面的式子成立
0332211 rrr
0? 1?
ii br 10
刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%，
=4%。 这将导致证券 1,2,3的均衡回报率为 11.6%,20.0%,15.2%.
0?1?
图 6-3说明了套利定价关系 (6.21)。 在市场无套利时,所有的证券都落在套利定价线上 。
常数 的一个自然解释是,它表示市场无套利时因子的风险酬金 。 而 表示无风险利率 。
1?
0?
0?
1?
ir
ib
Br
Sr
B
S
如何求
1?
6.2 例子,（ 二因子模型 ） 假如市场上存在四种股票,每个投资者都认为它们满足因子模型,且具有以下的期望回报率和敏感度：
i
股票 1 15% 0.9 2.0
股票 2 21% 3.0 1.5
股票 3 12% 1.8 0.7
股票 4 8% 2.0 3.2
ir 1ib 2ib
假设某投资者投资在每种股票上的财富为 5000元，投资者现在总的投资财富为
20000元。
首先,我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合 。 显然,一个套利证券组合 是下面四个方程的解：
初始成本为零,
对因子的敏感度为零,
期望回报率为正,
4321,,,
04321
028.10.39.0 4321
08.012.021.015.0 4321
02.37.05.12 4321
满足这四个条件的解有无穷多个 。 例如,=(0.1,0.088,
0.108,-0.08)就是一个套利证券组合 。
这时候,投资者如何调整自己的初始财富 20000
元
因为,(0.1,0.088,?0.108,-0.08)是一个套利证券组合,所以,每个投资者都会利用它 。
从而,每个投资者都会购买证券 1和 2,而卖空证券 3和 4。 由于每个投资者都采用这样的策略,必将影响证券的价格,相应地,
也将影响证券的回报率 。 特别地,由于购买压力的增加,证券 1和 2的价格将上升,
而这又导致证券 1和 2的回报率下降 。 相反,
由于销售压力的增加,证券 3和 4的价格将下降,这又使得证券 3和 4的回报率上升 。
这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止 。 此时,证券市场处于一个均衡状态 。 在这时的证券市场里,不需要成本,没有因子风险的证券组合,其期望回报率必为零 。
无套利时,四种证券的期望回报率 和因子敏感度,对任意组合,
如果 0
4321
0441331221111 bbbb
ir
21,ii bb
4321,,,
0442332222112 bbbb
则必有
根据 Farkas引理,必存在常数,,
使得下面的式子成立
044332211 rrrr
0? 1?
22110 iii bbr
2?
刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%，
=4%,=-2% 。 这将导致证券 1、
2,3,4的均衡回报率为 7.6%,17%,13.8%,
9.6%.
0?1? 2?
如何求,
1? 2?
6.3 一般情形
选择证券组合,使其成本为
0
回报率为
i
kiki
i
ii
i
iip FbFbrr
~~~
11
0
1
n
i
i?
n
i
iie
1
Tn,,1?
为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：
1） 所选的每个权充分小；
2）所包括的证券种类尽量多；
3）对每个因子而言，证券组合的因子敏感度为零。
用数学式子表示,这些条件是
是一个很大的数
对每个因子而言,
ni 1
n
0
i
ikib?
因为随机项是独立的,由大数定律,当越来越大时,随机项的加权和趋向于零 。 换言之,通过分散化,不需要花任何成本就能消去非因子风险 。 因此,我们得到
n
i
kiki
i
ii
i
iip FbFbrr
~~~
11
在形式上看起来,这是一个随机量 。 但是,
由 (6.26)式,证券组合的每个因子敏感度为零,所以,所有的因子风险为零 。 由于我们选择的权消除了所有的风险,最后,证券组合的回报率变成了一个常数 。 (6.27)式变成了
i
iip rr?~
在我们构造的证券组合的过程中,投资者既不需要成本,也不承担风险,如果构造的证券组合的回报率不为零,它就是一个套利证券组合,当市场达到均衡时,这是不可能的 。
因此,满足条件 (6.24)-(6.26)的证券组合,
其回报率一定为零,即,
(6.29)
0~
i
iip rr?
证券市场无套利时,证券的期望回报率和因子敏感度满足下列性质：
对任何向量,
如果它既垂直于单位常向量,
又垂直于每个因子敏感度向量,
则它一定垂直于期望回报率向量,
由 Farkas引理,期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合,即,存在个
k+1 常数,使得
(6.30)
Tn,,1?
ikkii bbr110
7 因子模型 在投资组合策略中的应用
投资组合构建的决策
因子模型对系统风险进行了细分，使得投资者容易接受，而且又能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合策略更具有指导意义。
投资组合的构建策略，首要的是选择一个自己最愿意接受的风险水平，其次是通过恰当的交易，使得组合达到预定的位置。
例子
假设影响证券收益的系统因素是通货膨胀的意外发生和工业生产率的意外发生。
I?
P?
A
U
B
1
1
投资组合的策略分析
投资基金是一种典型的投资组合。对投资基金管理者而言，选择最佳的风险模式，就是选择最佳的因素敏感系数的组合。为此，我们必须了解基金发起者和收益者的经济状况和特征，而这又取决于他们所处的市场环境。
8,Comments on APT
Strength and weaknesses of APT
The model gives a reasonable description of return and risk.
Factors seem plausible
No need to measure market portfolio correctly
Model itself does not say what the right factors are
Factors can change over time
Estimating muti-factor models requires more data.
APT与 CAPM的区别
APT is based on the factor model or returns and the approximate arbitrage argument
CAPM is based on investors’ portfolio demand and equilibrium arguments.
Difference between APT and Arbitrage free pricing
APT uses,approximate arbitrage” to approximately price (almost) all asset
Arbitrage free pricing uses strict arbitrage to price assets that can be replicated exactly,
(e.g,option pricing)
9 APT 的应用
The implementation of APT involves
three steps:
Identify the factor
Estimate factor loadings of assets
Estimates factor premia
9.1 因子的识别
要利用 APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。因为理论本身并没有告诉我们因子是什么，所以我们需要通过经验来构造因子。
利用宏观经济变量。经验证明，这些因子具有以下特征：
（ 1）它们应该包含表明总的经济行为的指标；
（ 2）它们应该包含通货膨胀；
（ 3）它们应该包含某种利率。
直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红利与总的经济行为有关，折现率与通货膨胀率和利率有关，所以，重要的因子应该包含这几个要素。
3到 5个因子
例子：
工业生产的增长率
通货膨胀率
长短期利率差
优劣债券回报率之差
例子
GNP增长率
利率
石油价格变化率
国防开支增长率
宏观经济学，微观经济学，产业组织，基础分析
因子分析方法 (Factor-analytic
approaches)
Estimate covariance of asset returns
Extract factor from the covariance matrix
Data mining
Explore different portfolios to find those
whose returns can be used as factors.
9.2 Factor loadings
Given the factors,we can regress past
asset returns on the factors to eatimate
factor loadings
9.3 factor premia
Given the factor loading of individual
assets,we can construct factor
portfolios
9.4 APT pricing
10 对套利模型的实证研究
验证影响证券收益的因素是否只有一个；
到底是哪些因素影响证券的收益。
公司规模，股票帐面价值与市场价值之比，
Empirical Models
The world empirical refers to the fact that these
approaches are based less on some theory of how
financial markets work and more on simply looking
for regularities and relations in the past history of
market data,In these approaches the researcher
specifies some parameters or attributes associated
with the securities in question and then examines
the data directly for a relation between these
attributes and expected returns.
Size
the ratio of the price of a stock to the accounting
earnings(P/E)
the ratio of the market value of the stock to the
book value of the company(M/B)
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