第三章 力 系 的 平 衡 理 论
§ 3-1 力系的平衡条件平衡及方程式
§ 3-2 平衡方程的各种形式
§ 3-3 刚体及刚体系平衡问题的解题步骤
§ 3-4 静不定 (超静定 )概念理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-1 力系的平衡条件及平衡方程式
0 0XY– 平面汇交力系
0 0oRL 平衡条件 (充要条件 )
平衡方程式
0 0 0
0 0 0x y z
X Y Z
m m m
– 空间一般力系
0 0 0X Y Z– 空间汇交力系
0 0 0xyZ m m– 空间平行力系
0 0 0zX Y m– 平面一般力系理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-2 平衡方程的各种形式以平面一般力系为例 (其它力系可自行推导 )
平面一般力系的独立平衡方程只有三个
0 0 0oX Y m
一矩式 (标准形式 )
0 0 0ABX m m
二矩式 (AB连线不与 X轴垂直 )
0 0 0A B Cm m m
三矩式 (A,B,C三点不共线 )
理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-3 刚体及刚体系平衡问题的解题步骤
正确选取研究对象，取分离体，画受力图
作直角坐标系，建立力系平衡方程。力矩轴应和尽量多的未知力相交或平行
对于平面一般力系的刚体平衡问题，除了一距式外，应学会灵活应用其它两种形式。对于空间一般力系的刚体平衡问题，一般应用三个力的投影式及三个力矩式。
解平衡方程式，最好先用文字符号表示求解结果，
并用量纲校核后，再代入数据求出数值解。
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 1,已知,a,b,c,P,Q,
求,A,B处约束反力。
0ABmN
0BN a P b Q c
( ) /BN P b Q c a
0 A x bX N N
解,(1) 明确对象，取分离体，画受力图。
(2) 列写适当平衡方程,由已知求未知。
0 AyY N P Q
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 2,已知,a,P,Q。求 A,B 的约束反力。
解,(1) 考虑刚架整体
0 2 / 2 / 2 0ABm Y a Q a P a
( ) / 4BY P Q
0 3 / 4 / 4BAm Y P Q
00ABX X X Q
(2) 考虑左半部
0 ( ) / 4CAm X P Q
( 3 ) / 4BX P Q代入得,
(3) 校核：可以利用冗余方程，也可以在简单特例 中与已知结果核对 (如令 Q＝ 0)
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 3,已知,a,m,q (载荷集度 )。
求,A,B,C 处约束力。
解,(1) 先考虑 BC
0BCmY
(2) 再考虑连续梁整体 AC
0AAmm
(3) 校核
2 2 3 0C A Am m q a a m Y a
0 BXX
0 BYY
0 AXX
0 AYY
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 4,已知：各边长 a，载荷 P,Q。
求：各杆的约束反力。
解,(1) 考虑板的平衡，各杆均为二力杆，设均受拉力。
6 ' 5
41
32
0 0
0 0
0 0
A B A A
AD
m S m S
m S Y S
X S Z S
(4) 校核 0?
xm
(2) 画受力图，建立坐标系，注意各矢量的空间关系。
(3) 列写平衡方程，空间一般力系有 6个方程，尽量使一个方程包含一个未知数。
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 5,已知：四连杆机构 ABCD 受力 P,Q 作用。
求：求机构平衡时 P,Q 的关系。
对销钉 B：
22
30 c o s 3 0 0
2x T P T P
22
3 2 2 2
2 3
PT T Q P
Q
220 c o s 4 5 0 2x Q T T Q
对销钉 A：
解法一,
分别考虑 A,B销钉的平衡：
理论力学 第三章 力系的平衡理论解法二
0 c o s 3 0Em P B E Q A E
考虑整体 DABC的平衡：
2 A E B E?
3 2 2 2
2 3
PQP
Q
理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-4 静不定 (超静定 )概念
未知数数目,m,静力学平衡方程数,n
m = n,未知数可由平衡方程解出 …………………… 静定问题
m > n,未知数由平衡方程及变形条件解出 ……… 静不定问题
m < n,机构问题，主动力平衡条件 ………………… 静定问题
m=n 静定
(a)
m>n 静不定
(c)
m>n 静不定
(b) (c)
m>n 静不定虚铰
m>n 静不定瞬变结构注,(a) 完全约束 (b) 不完全约束? 多余约束理论力学 第三章 力系的平衡理论静定问题
m=3
n=3
静不定问题
m=4
n=3
理论力学 第三章 力系的平衡理论机构问题 — 主动力平衡条件
0 0m
理论力学 第三章 力系的平衡理论例,求
1 2 3R R R、、
1R 2R 3R
A B C
W
l l
a
D
k k k
W
理论力学 第三章 力系的平衡理论解,
弹簧的伸长量,
1 1 2 2 3 3/ / /R k R k R k
(1)
( ) 0 AmF
3
1()
32
aRW
l
(3)?
1
1()
32
aRW
l
2 /3RW?
Y = 0? R2:
x
k k k
1?
2? 3?
1R 2R 3R
W
y
2 1 2( ) / 2 (2)变形协调条件,
2 1 32 R R R
(3)(2)? (1):
§ 3-1 力系的平衡条件平衡及方程式
§ 3-2 平衡方程的各种形式
§ 3-3 刚体及刚体系平衡问题的解题步骤
§ 3-4 静不定 (超静定 )概念理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-1 力系的平衡条件及平衡方程式
0 0XY– 平面汇交力系
0 0oRL 平衡条件 (充要条件 )
平衡方程式
0 0 0
0 0 0x y z
X Y Z
m m m
– 空间一般力系
0 0 0X Y Z– 空间汇交力系
0 0 0xyZ m m– 空间平行力系
0 0 0zX Y m– 平面一般力系理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-2 平衡方程的各种形式以平面一般力系为例 (其它力系可自行推导 )
平面一般力系的独立平衡方程只有三个
0 0 0oX Y m
一矩式 (标准形式 )
0 0 0ABX m m
二矩式 (AB连线不与 X轴垂直 )
0 0 0A B Cm m m
三矩式 (A,B,C三点不共线 )
理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-3 刚体及刚体系平衡问题的解题步骤
正确选取研究对象，取分离体，画受力图
作直角坐标系，建立力系平衡方程。力矩轴应和尽量多的未知力相交或平行
对于平面一般力系的刚体平衡问题，除了一距式外，应学会灵活应用其它两种形式。对于空间一般力系的刚体平衡问题，一般应用三个力的投影式及三个力矩式。
解平衡方程式，最好先用文字符号表示求解结果，
并用量纲校核后，再代入数据求出数值解。
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 1,已知,a,b,c,P,Q,
求,A,B处约束反力。
0ABmN
0BN a P b Q c
( ) /BN P b Q c a
0 A x bX N N
解,(1) 明确对象，取分离体，画受力图。
(2) 列写适当平衡方程,由已知求未知。
0 AyY N P Q
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 2,已知,a,P,Q。求 A,B 的约束反力。
解,(1) 考虑刚架整体
0 2 / 2 / 2 0ABm Y a Q a P a
( ) / 4BY P Q
0 3 / 4 / 4BAm Y P Q
00ABX X X Q
(2) 考虑左半部
0 ( ) / 4CAm X P Q
( 3 ) / 4BX P Q代入得,
(3) 校核：可以利用冗余方程，也可以在简单特例 中与已知结果核对 (如令 Q＝ 0)
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 3,已知,a,m,q (载荷集度 )。
求,A,B,C 处约束力。
解,(1) 先考虑 BC
0BCmY
(2) 再考虑连续梁整体 AC
0AAmm
(3) 校核
2 2 3 0C A Am m q a a m Y a
0 BXX
0 BYY
0 AXX
0 AYY
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 4,已知：各边长 a，载荷 P,Q。
求：各杆的约束反力。
解,(1) 考虑板的平衡，各杆均为二力杆，设均受拉力。
6 ' 5
41
32
0 0
0 0
0 0
A B A A
AD
m S m S
m S Y S
X S Z S
(4) 校核 0?
xm
(2) 画受力图，建立坐标系，注意各矢量的空间关系。
(3) 列写平衡方程，空间一般力系有 6个方程，尽量使一个方程包含一个未知数。
理论力学 第三章 力系的平衡理论例 5,已知：四连杆机构 ABCD 受力 P,Q 作用。
求：求机构平衡时 P,Q 的关系。
对销钉 B：
22
30 c o s 3 0 0
2x T P T P
22
3 2 2 2
2 3
PT T Q P
Q
220 c o s 4 5 0 2x Q T T Q
对销钉 A：
解法一,
分别考虑 A,B销钉的平衡：
理论力学 第三章 力系的平衡理论解法二
0 c o s 3 0Em P B E Q A E
考虑整体 DABC的平衡：
2 A E B E?
3 2 2 2
2 3
PQP
Q
理论力学 第三章 力系的平衡理论
§ 3-4 静不定 (超静定 )概念
未知数数目,m,静力学平衡方程数,n
m = n,未知数可由平衡方程解出 …………………… 静定问题
m > n,未知数由平衡方程及变形条件解出 ……… 静不定问题
m < n,机构问题，主动力平衡条件 ………………… 静定问题
m=n 静定
(a)
m>n 静不定
(c)
m>n 静不定
(b) (c)
m>n 静不定虚铰
m>n 静不定瞬变结构注,(a) 完全约束 (b) 不完全约束? 多余约束理论力学 第三章 力系的平衡理论静定问题
m=3
n=3
静不定问题
m=4
n=3
理论力学 第三章 力系的平衡理论机构问题 — 主动力平衡条件
0 0m
理论力学 第三章 力系的平衡理论例,求
1 2 3R R R、、
1R 2R 3R
A B C
W
l l
a
D
k k k
W
理论力学 第三章 力系的平衡理论解,
弹簧的伸长量,
1 1 2 2 3 3/ / /R k R k R k
(1)
( ) 0 AmF
3
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32
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l
(3)?
1
1()
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2 /3RW?
Y = 0? R2:
x
k k k
1?
2? 3?
1R 2R 3R
W
y
2 1 2( ) / 2 (2)变形协调条件,
2 1 32 R R R
(3)(2)? (1):
