第二章 刚体运动学
§ 2-2 刚体定点运动
定点运动,刚体上有一个点固定不动 。 根据夏莱定理,任何运动都可以分解为平动和定点运动 。 研究平动时需要点的运动学知识,研究定点运动时需要刚体运动学知识 。
速度和加速度公式选固定点为基点 o,刚体上点的速度和加速度为：
rv )( rra
第二章 刚体运动学 刚体定点运动注意,一般来说，在刚体定点运动和一般运动时刚体的角速度不是某个角度对时间的导数 。刚体的角速度和角加速度也不是沿着空间中固定的方向，它们的指向是随着时间变化的。若将 P 点的向径分解为沿着瞬时角速度方向和垂直方向，则
O
r?
r
P
rv
rv
rra 2
其大小为,方向垂直向里。
其中第二项为类似向心加速度。
第二章 刚体运动学 刚体定点运动例 2.2 半径为 r 的车轮沿圆弧作纯滚动，如图所示，已知轮心 E 的速度是 u,轮心轨道半径是 R 。求车轮上最高点 B 的速度。
E
O
R
r
u
B
C
第二章 刚体运动学 刚体定点运动解,o 点是固定点，刚体上点 p 的速度等于：
opp rv
可见，解决本问题的关键是确定角速度的大小和方向。
由于轮子作纯滚动,0
OCC rv
故角速度的方向平行于 OC。
E
O
R r
B
C
由速度公式 E 点的速度为
OEOCOCE rrrvu )/(
u
同理,B 点的速度为
OBOCOCB rrrv )/(
s inOEr?
EOEOB vrr 2s i n22s i n
A
第二章 刚体运动学 刚体定点运动例 2.3 在上一个例子中，如果轮心 E 的速度 u 是常数，
求车轮上最高点 B 的加速度。
解,根据上题的分析，如果 u 是常数，则轮子的角速度的大小也是常数，只是方向随着时间变化。因此 轮子的角加速度就是角速度向量端点的运动速度 。
AOe?
s in
我们可以 将角速度向量看作是某个刚体上的一条线,
且此刚体以角速度绕 竖直轴作定轴转动 。
B
O
E
C
第二章 刚体运动学 刚体定点运动
2s in21c o ss in 22
因此
B
O
E
C
ta?
na?
下面分别计算切向加速度 和向心加速度
ta? na?
2/)2s i n( 2 OBOBt rra
2s i n)2s i n ( 22 OBOBn rra
方向如图所示。
方向如图所示。
)2c o s (222 ntntB aaaaa
第二章 刚体运动学 刚体定点运动
航天器 姿态运动学 简介航天器绕质心的定点运动称为 姿态运动
姿态的描述
方向余弦式
欧拉角式
欧拉轴 /角参数式
欧拉四元素式
姿态运动学方程第二章 刚体运动学 刚体定点运动
方向余弦式,从固联坐标系到参考坐标系的转换矩阵 A 的元素，实际上就是相应坐标轴间夹角的方向余弦。显然用这九个元素可以完全描述卫星的姿态。
但是这九个元素满足由正交性确定的六个约束条件，
因此只有三个是独立的。由刚体角速度的定义可知，
该描述下的 姿态运动学方程 为：
AAA
0
0
0
~
12
13
23
第二章 刚体运动学 刚体定点运动注,已知方向余弦求卫星角速度问题只是微分问题，
比较简单。而已知角速度求方向余弦问题比较复杂，
需要求解含 6个代数约束的常微分方程组。
欧拉角 式,由于欧拉角与方向余弦矩阵有关系
AAAA
显然，可以用欧拉角描述卫星的姿态。因为矩阵乘法不具有可交换性，方向余弦矩阵与三次转动的顺序有关,总共有 12种不同的转动顺序,
1-2-1,1-3-1,2-1-2,2-3-2,3-1-3,3-2-3
1-2-3,1-3-2,2-1-3,2-3-1,3-1-2,3-2-1
第二章 刚体运动学 刚体定点运动我们前面介绍的欧拉角是比较常用的一种，其转动顺序是 3-1-3。可以推出该描述下的 姿态运动学方程,
s i nc o sc o sc o ss i n
s i ns i ns i nc o s
c o ss i n
s i n
1
321
21
21
注,已知欧拉角求角速度问题只是微分问题，比较简单。
而已知角速度求欧拉角需要求解上面常微分方程组。需要注意的是，上面方程组是非线性的，而且在章动角为零时出现奇异，这会给求解带来很大困难。
第二章 刚体运动学 刚体定点运动
欧拉轴 /角参数 式根据欧拉定理，刚体绕固定点的任一位移都可由绕某一轴 (设其单位向量为 )转过某一角度 (设为 )而得到。它们与方向余弦矩阵的关系是：
e
2112
1331
3223
s i n2
1
AA
AA
AA
ee bi
2/)1(c o s t r A
第二章 刚体运动学 刚体定点运动
欧拉四元素 式利用欧拉参数，定义欧拉四元素为：
)c o s (
)s i n (
)s i n (
)s i n (
2
2
2
2
4
3
2
1
4 z
y
x
e
e
e
e
q
q
q
q
q
q
q
显然它们满足代数约束条件：
4
1
2 1
i i
q
欧拉四元素与方向余弦矩阵的关系是：
第二章 刚体运动学 刚体定点运动
214 )1(
2
1 t r Aq
2112
1331
3223
44
1
AA
AA
AA
q
q e
QqqqIqqqqA TeeeTe ~22)()( 424
其中 I 是单位矩阵，
0
0
0
~
12
13
23
qq
qq
qq
Q
第二章 刚体运动学 刚体定点运动欧拉四元素形式的 姿态运动学方程 为：
qq )(21
或简记为
4
3
2
1
4321
3412
2143
1234
4
3
2
1
0
0
0
0
2
1
0
2
1
q
q
q
q
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
q
q
q
q
zyx
zxy
yxz
xyz
z
y
x
注 1：上面方程组对四元素和角速度都是线性的，也没有奇异退化问题，求解比较容易。
第二章 刚体运动学 刚体定点运动注 2：由于其它形式的方程是包含三角函数的非线性方程，对于大角度情形不能线性化，成熟的线性理论无法使用，求解非常困难。因此在卫星的大角度姿态 机动 控制中常用四元素式的姿态运动学方程。若当前的姿态参数为,目标姿态参数为,则姿态机动参数为：measureq refq
m e a s u r er e fe r r qqQq )(?
r e fr e fr e fr e f
r e fr e fr e fr e f
r e fr e fr e fr e f
r e fr e fr e fr e f
r e f
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qQ
4321
3412
2143
1234
)(
其中 为如下正交矩阵)(
refqQ
第二章 刚体运动学 刚体定点运动运动学选做题（做完可申请免试）：
低轨道卫星地面目标连续跟踪运 动学计算已知,地面目标的测地学经纬度、相对轨道坐标系的卫星初始姿态角和初始角速度、卫星轨道根数要求 交研究报告，内容包括,1）相对轨道坐标系的目标姿态矩阵或姿态角、角速度、角加速度的公式推导，
四元素误差； 2）计算 1）所要求四个量的算法（初始化算法、更新算法）； 3）基于 MATLAB的计算程序（初始化模块、更新模块）
注,如果有问题，请答疑时来找我讨论。
§ 2-2 刚体定点运动
定点运动,刚体上有一个点固定不动 。 根据夏莱定理,任何运动都可以分解为平动和定点运动 。 研究平动时需要点的运动学知识,研究定点运动时需要刚体运动学知识 。
速度和加速度公式选固定点为基点 o,刚体上点的速度和加速度为：
rv )( rra
第二章 刚体运动学 刚体定点运动注意,一般来说，在刚体定点运动和一般运动时刚体的角速度不是某个角度对时间的导数 。刚体的角速度和角加速度也不是沿着空间中固定的方向，它们的指向是随着时间变化的。若将 P 点的向径分解为沿着瞬时角速度方向和垂直方向，则
O
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r
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其大小为,方向垂直向里。
其中第二项为类似向心加速度。
第二章 刚体运动学 刚体定点运动例 2.2 半径为 r 的车轮沿圆弧作纯滚动，如图所示，已知轮心 E 的速度是 u,轮心轨道半径是 R 。求车轮上最高点 B 的速度。
E
O
R
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u
B
C
第二章 刚体运动学 刚体定点运动解,o 点是固定点，刚体上点 p 的速度等于：
opp rv
可见，解决本问题的关键是确定角速度的大小和方向。
由于轮子作纯滚动,0
OCC rv
故角速度的方向平行于 OC。
E
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由速度公式 E 点的速度为
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同理,B 点的速度为
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动例 2.3 在上一个例子中，如果轮心 E 的速度 u 是常数，
求车轮上最高点 B 的加速度。
解,根据上题的分析，如果 u 是常数，则轮子的角速度的大小也是常数，只是方向随着时间变化。因此 轮子的角加速度就是角速度向量端点的运动速度 。
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我们可以 将角速度向量看作是某个刚体上的一条线,
且此刚体以角速度绕 竖直轴作定轴转动 。
B
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动
2s in21c o ss in 22
因此
B
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方向如图所示。
方向如图所示。
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动
航天器 姿态运动学 简介航天器绕质心的定点运动称为 姿态运动
姿态的描述
方向余弦式
欧拉角式
欧拉轴 /角参数式
欧拉四元素式
姿态运动学方程第二章 刚体运动学 刚体定点运动
方向余弦式,从固联坐标系到参考坐标系的转换矩阵 A 的元素，实际上就是相应坐标轴间夹角的方向余弦。显然用这九个元素可以完全描述卫星的姿态。
但是这九个元素满足由正交性确定的六个约束条件，
因此只有三个是独立的。由刚体角速度的定义可知，
该描述下的 姿态运动学方程 为：
AAA
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~
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23
第二章 刚体运动学 刚体定点运动注,已知方向余弦求卫星角速度问题只是微分问题，
比较简单。而已知角速度求方向余弦问题比较复杂，
需要求解含 6个代数约束的常微分方程组。
欧拉角 式,由于欧拉角与方向余弦矩阵有关系
AAAA
显然，可以用欧拉角描述卫星的姿态。因为矩阵乘法不具有可交换性，方向余弦矩阵与三次转动的顺序有关,总共有 12种不同的转动顺序,
1-2-1,1-3-1,2-1-2,2-3-2,3-1-3,3-2-3
1-2-3,1-3-2,2-1-3,2-3-1,3-1-2,3-2-1
第二章 刚体运动学 刚体定点运动我们前面介绍的欧拉角是比较常用的一种，其转动顺序是 3-1-3。可以推出该描述下的 姿态运动学方程,
s i nc o sc o sc o ss i n
s i ns i ns i nc o s
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1
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21
21
注,已知欧拉角求角速度问题只是微分问题，比较简单。
而已知角速度求欧拉角需要求解上面常微分方程组。需要注意的是，上面方程组是非线性的，而且在章动角为零时出现奇异，这会给求解带来很大困难。
第二章 刚体运动学 刚体定点运动
欧拉轴 /角参数 式根据欧拉定理，刚体绕固定点的任一位移都可由绕某一轴 (设其单位向量为 )转过某一角度 (设为 )而得到。它们与方向余弦矩阵的关系是：
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动
欧拉四元素 式利用欧拉参数，定义欧拉四元素为：
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动欧拉四元素形式的 姿态运动学方程 为：
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动注 2：由于其它形式的方程是包含三角函数的非线性方程，对于大角度情形不能线性化，成熟的线性理论无法使用，求解非常困难。因此在卫星的大角度姿态 机动 控制中常用四元素式的姿态运动学方程。若当前的姿态参数为,目标姿态参数为,则姿态机动参数为：measureq refq
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第二章 刚体运动学 刚体定点运动运动学选做题（做完可申请免试）：
低轨道卫星地面目标连续跟踪运 动学计算已知,地面目标的测地学经纬度、相对轨道坐标系的卫星初始姿态角和初始角速度、卫星轨道根数要求 交研究报告，内容包括,1）相对轨道坐标系的目标姿态矩阵或姿态角、角速度、角加速度的公式推导，
四元素误差； 2）计算 1）所要求四个量的算法（初始化算法、更新算法）； 3）基于 MATLAB的计算程序（初始化模块、更新模块）
注,如果有问题，请答疑时来找我讨论。
