理 论 力 学李 俊 峰
——刚体运动学第二章 刚体运动学
绝对刚体模型（简称 刚体 ）
刚体的基本位移（运动）
平动,刚体上所有点的位移都相等，此时刚体模型可以简化为质点。 (例如 作直线运动的汽车 )
转动,可以通过刚体绕某个轴的旋转得到。可分为 定轴转动 (例如门 )和 定点转动 (例如玩具陀螺 )。
螺旋,转动和沿该 转动 轴的平动合成 (例如钻头 )
刚体一般位移 (运动 )是基本位移 (运动 )的组合！
第二章 刚体运动学
§ 2-1 刚体一般运动
向量、矩阵描述
o
X
y
x
Z
Y
z
Z
X
Y
c
设 cXYZ是参考坐标系
oxyz 是固联坐标系
oXYZ是平动坐标系
p
0R?
R?
设 p 是刚体上任意一点，
r?
O是刚体上某个点，
它的运动是已知的，
称为 基点 。
我们要描述它的运动。
刚体一般运动
rRR 0
第二章 刚体运动学这三个向量在参考坐标系和固联坐标系中的列阵表示为：
刚体一般运动
iR iriR0 和 brbR bR
0
为了描述刚体上任意点的运动，需要将 iR
iR0
br
与已知量建立联系。显然以下两个列阵是已知的：
— 描述 O点在参考系中位置，
— 描述 p点在刚体上的相对位置。
他们之间的关系为：
iii rRR 0 bbb rRR 0
bR或者
rRR 0p点在参考系中的向径为：
下面的任务就是设法建立之间的关系。根据线性代数知识可知：
，或者和 和iR
0 bR0 ir br
bi rtAr )(?
其中 A是从固联系到平动系的变换矩阵，描述刚体的转动。
如果已知矩阵 A和刚体上某一个点的运动，则整个刚体上任何一个点的运动都可以确定。由于 A是直角坐标系之间的变换矩阵，一定是正交矩阵，它的 9个元素中只有三个是独立的。 因此完全描述刚体的运动需要六个独立参数，
三个描述平动，三个描述转动。
刚体一般运动第二章 刚体运动学既然描述刚体绕 O点转动的矩阵 A的元素只有三个独立，
就 可以用三个参数来描述刚体的转动 (给出 A的表达式 )。
欧拉角 就是常用的参数之一。
o
X
y
x
Z
Y
z
N
M
L
进动角,绕 Z轴转章动角,绕 N轴转自旋角,绕 z轴转
Y o MX o N
Z o zM o L
L o yN o x
欧拉角与矩阵 A的关系是：
AAAA
刚体一般运动第二章 刚体运动学
100
0c o ss i n
0s i nc o s
A
c o ss i n0
s i nc o s0
001
A
100
0c o ss i n
0s i nc o s
A
注意,由于矩阵的乘法不具有可交换性，以不同的顺序转动同样三个欧拉角后得到的变换结果一般是不同的。
刚体一般运动第二章 刚体运动学第二章 刚体运动学欧拉定理,定点运动刚体的任何位移都可以通过绕着过定点的某个轴的一次转动实现。
bbi rrAr
下面就证明正交矩阵一定有一个特征值为 1。
刚体一般运动证明,不妨假设刚体上的 O点是固定不动的，于是刚体的任何位移都可以用某一个相对应的正交矩阵 A来描述,
该定理等价于：,这个矩阵 A 有一个特征值为 1”。 与这个特征值对应的特征向量就是那个转动轴，因为它在固联坐标系和在参考坐标系中的列阵完全相同，即第二章 刚体运动学 刚体一般运动
)d e t ()( AIf
矩阵 A 的 特征方程为：
为了证明矩阵 A 的 特征值为 1，只需证明,0)1(?f
))(d e t ()d e t ()d e t ()1( IAAAIAIf TT
)d e t (1)d e t ()d e t ( IAIAA T
)1()d e t ()1( 3 fAI
事实上：
第二章 刚体运动学我们还可以利用矩阵 A求出一次性转动的转角?
取一个新的坐标系，它的原点也在 O点，其 OZ 轴沿着一次性转动的转轴方向,则绕此轴转动 角的变换由下面矩阵给出：
100
0c o ss i n
0s i nc o s
~
A
A~矩阵 A 和 是同一个正交变换在不同坐标系中的矩阵，
因此它们应该是 相似矩阵,它们的 迹 应该相等,亦即,
332211co s21 aaa
刚体一般运动第二章 刚体运动学夏莱定理,刚体最一般的位移可以分解为随 基点的平动位移和绕着过基点某个轴的转动位移。分解不是唯一的，依赖于基点的选择。改变基点的选择只影响平动位移，不改变转动位移的转角和转轴的方向。可以选择基点使平动位移平行于转动位移的转轴，即刚体最一般的位移是螺旋位移。 (证明略 )
刚体一般运动速度和加速度公式第二章 刚体运动学 刚体一般运动
biiii rARrRR 00
刚体上任意点 p的 向径 在参考坐标系中的列阵为：
刚体上任意点 p的 速度 在参考坐标系中的列阵可求导得：
iibbii rAARrArARR 100
IAAAA T 1由于 A是正交矩阵，故 对时间求导得
TTTTT AAAAAAAAAA )()( 11
是 反对称矩阵,因此可以将它写成下面形式：即 1?AA?
第二章 刚体运动学 刚体一般运动
0
0
0
12
13
23
1AA?
321,,
如果我们将 看作是向量 在坐标系 OXYZ 中
的分量，则容易验证,iii rrAA 1? 于是有：
iiii rRR 0 或者写成向量形式,rvv
o
这就是刚体上的任意点的 速度公式 。该公式对时间求导后可得 加速度公式,)( rraa
o
第二章 刚体运动学 刚体一般运动注 1,上面公式中的 称为刚体的 角速度向量 。从推
导过程可以看出：
1)它与刚体上 o点,p点无关； 2)它是用反对称矩阵的元素拼凑出来的 。 可以证明刚体的角速度实际上并不是真的向量，只是一个 伪向量 。它本质上是一个 二阶反对称张量 。不过，在力学中我们还是习惯于把它当作向量来处理，只要不进行左右手坐标变换之间的变换，它的伪向量本质就不会暴露 。我们一般也乐于继续把它当做向量使用，因为向量是我们熟知的，也比 张量 好处理。
第二章 刚体运动学 刚体一般运动注 2,上面公式中的 称为刚体的角加速度向量，
称为转动加速度，
称为向心加速度。
从速度公式我们可以得到以下几个有用的推论：
推论 1 (也称 速度投影定理 )
点的速度在这两点的连线
rr
)( r
在任意时刻刚体上任意两上的投影相等。
A
B
第二章 刚体运动学 刚体一般运动证明,由公式 可知：
如何从物理上解释这个结论？
rvv o
ABvv AB
两边点乘单位向量,得
ABe?
AeBe vv?
第二章 刚体运动学 刚体一般运动推论 2 刚体上不共线的三点的速度完全确定刚体上任意点的速度。
推论 3 如果刚体上不共线的三点的速度相等，则刚体作瞬时平动。
推论 4 如果某时刻刚体上有两点速度为零，则刚体或者瞬时静止，或者绕过这两点的轴作瞬时转动。
推论 5 如果某时刻刚体上有一点速度为零，则刚体或者瞬时静止，或者绕这点的轴作瞬时转动。
推论 6 刚体的瞬时运动在最一般的情况下可以分解为两个运动：随着基点的瞬时平动和绕基点的轴作瞬时转动。
第二章 刚体运动学 刚体一般运动例题,写出刚体定轴转动的速度和加速度公式。
解：设固联在刚体上的 oz 轴和参考坐标系的 oZ 轴重合。
o
y
x
Y
X
100
0c o ss i n
0s i nc o s
A
000
00
00
1?
AA
0
0
0
0
jxiyjyixkv )(
jyxixyrrka )()( 222
rv
第二章 刚体运动学 刚体一般运动作业题
8-40,8-41
——刚体运动学第二章 刚体运动学
绝对刚体模型（简称 刚体 ）
刚体的基本位移（运动）
平动,刚体上所有点的位移都相等，此时刚体模型可以简化为质点。 (例如 作直线运动的汽车 )
转动,可以通过刚体绕某个轴的旋转得到。可分为 定轴转动 (例如门 )和 定点转动 (例如玩具陀螺 )。
螺旋,转动和沿该 转动 轴的平动合成 (例如钻头 )
刚体一般位移 (运动 )是基本位移 (运动 )的组合！
第二章 刚体运动学
§ 2-1 刚体一般运动
向量、矩阵描述
o
X
y
x
Z
Y
z
Z
X
Y
c
设 cXYZ是参考坐标系
oxyz 是固联坐标系
oXYZ是平动坐标系
p
0R?
R?
设 p 是刚体上任意一点，
r?
O是刚体上某个点，
它的运动是已知的，
称为 基点 。
我们要描述它的运动。
刚体一般运动
rRR 0
第二章 刚体运动学这三个向量在参考坐标系和固联坐标系中的列阵表示为：
刚体一般运动
iR iriR0 和 brbR bR
0
为了描述刚体上任意点的运动，需要将 iR
iR0
br
与已知量建立联系。显然以下两个列阵是已知的：
— 描述 O点在参考系中位置，
— 描述 p点在刚体上的相对位置。
他们之间的关系为：
iii rRR 0 bbb rRR 0
bR或者
rRR 0p点在参考系中的向径为：
下面的任务就是设法建立之间的关系。根据线性代数知识可知：
，或者和 和iR
0 bR0 ir br
bi rtAr )(?
其中 A是从固联系到平动系的变换矩阵，描述刚体的转动。
如果已知矩阵 A和刚体上某一个点的运动，则整个刚体上任何一个点的运动都可以确定。由于 A是直角坐标系之间的变换矩阵，一定是正交矩阵，它的 9个元素中只有三个是独立的。 因此完全描述刚体的运动需要六个独立参数，
三个描述平动，三个描述转动。
刚体一般运动第二章 刚体运动学既然描述刚体绕 O点转动的矩阵 A的元素只有三个独立，
就 可以用三个参数来描述刚体的转动 (给出 A的表达式 )。
欧拉角 就是常用的参数之一。
o
X
y
x
Z
Y
z
N
M
L
进动角,绕 Z轴转章动角,绕 N轴转自旋角,绕 z轴转
Y o MX o N
Z o zM o L
L o yN o x
欧拉角与矩阵 A的关系是：
AAAA
刚体一般运动第二章 刚体运动学
100
0c o ss i n
0s i nc o s
A
c o ss i n0
s i nc o s0
001
A
100
0c o ss i n
0s i nc o s
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注意,由于矩阵的乘法不具有可交换性，以不同的顺序转动同样三个欧拉角后得到的变换结果一般是不同的。
刚体一般运动第二章 刚体运动学第二章 刚体运动学欧拉定理,定点运动刚体的任何位移都可以通过绕着过定点的某个轴的一次转动实现。
bbi rrAr
下面就证明正交矩阵一定有一个特征值为 1。
刚体一般运动证明,不妨假设刚体上的 O点是固定不动的，于是刚体的任何位移都可以用某一个相对应的正交矩阵 A来描述,
该定理等价于：,这个矩阵 A 有一个特征值为 1”。 与这个特征值对应的特征向量就是那个转动轴，因为它在固联坐标系和在参考坐标系中的列阵完全相同，即第二章 刚体运动学 刚体一般运动
)d e t ()( AIf
矩阵 A 的 特征方程为：
为了证明矩阵 A 的 特征值为 1，只需证明,0)1(?f
))(d e t ()d e t ()d e t ()1( IAAAIAIf TT
)d e t (1)d e t ()d e t ( IAIAA T
)1()d e t ()1( 3 fAI
事实上：
第二章 刚体运动学我们还可以利用矩阵 A求出一次性转动的转角?
取一个新的坐标系，它的原点也在 O点，其 OZ 轴沿着一次性转动的转轴方向,则绕此轴转动 角的变换由下面矩阵给出：
100
0c o ss i n
0s i nc o s
~
A
A~矩阵 A 和 是同一个正交变换在不同坐标系中的矩阵，
因此它们应该是 相似矩阵,它们的 迹 应该相等,亦即,
332211co s21 aaa
刚体一般运动第二章 刚体运动学夏莱定理,刚体最一般的位移可以分解为随 基点的平动位移和绕着过基点某个轴的转动位移。分解不是唯一的，依赖于基点的选择。改变基点的选择只影响平动位移，不改变转动位移的转角和转轴的方向。可以选择基点使平动位移平行于转动位移的转轴，即刚体最一般的位移是螺旋位移。 (证明略 )
刚体一般运动速度和加速度公式第二章 刚体运动学 刚体一般运动
biiii rARrRR 00
刚体上任意点 p的 向径 在参考坐标系中的列阵为：
刚体上任意点 p的 速度 在参考坐标系中的列阵可求导得：
iibbii rAARrArARR 100
IAAAA T 1由于 A是正交矩阵，故 对时间求导得
TTTTT AAAAAAAAAA )()( 11
是 反对称矩阵,因此可以将它写成下面形式：即 1?AA?
第二章 刚体运动学 刚体一般运动
0
0
0
12
13
23
1AA?
321,,
如果我们将 看作是向量 在坐标系 OXYZ 中
的分量，则容易验证,iii rrAA 1? 于是有：
iiii rRR 0 或者写成向量形式,rvv
o
这就是刚体上的任意点的 速度公式 。该公式对时间求导后可得 加速度公式,)( rraa
o
第二章 刚体运动学 刚体一般运动注 1,上面公式中的 称为刚体的 角速度向量 。从推
导过程可以看出：
1)它与刚体上 o点,p点无关； 2)它是用反对称矩阵的元素拼凑出来的 。 可以证明刚体的角速度实际上并不是真的向量，只是一个 伪向量 。它本质上是一个 二阶反对称张量 。不过，在力学中我们还是习惯于把它当作向量来处理，只要不进行左右手坐标变换之间的变换，它的伪向量本质就不会暴露 。我们一般也乐于继续把它当做向量使用，因为向量是我们熟知的，也比 张量 好处理。
第二章 刚体运动学 刚体一般运动注 2,上面公式中的 称为刚体的角加速度向量，
称为转动加速度，
称为向心加速度。
从速度公式我们可以得到以下几个有用的推论：
推论 1 (也称 速度投影定理 )
点的速度在这两点的连线
rr
)( r
在任意时刻刚体上任意两上的投影相等。
A
B
第二章 刚体运动学 刚体一般运动证明,由公式 可知：
如何从物理上解释这个结论？
rvv o
ABvv AB
两边点乘单位向量,得
ABe?
AeBe vv?
第二章 刚体运动学 刚体一般运动推论 2 刚体上不共线的三点的速度完全确定刚体上任意点的速度。
推论 3 如果刚体上不共线的三点的速度相等，则刚体作瞬时平动。
推论 4 如果某时刻刚体上有两点速度为零，则刚体或者瞬时静止，或者绕过这两点的轴作瞬时转动。
推论 5 如果某时刻刚体上有一点速度为零，则刚体或者瞬时静止，或者绕这点的轴作瞬时转动。
推论 6 刚体的瞬时运动在最一般的情况下可以分解为两个运动：随着基点的瞬时平动和绕基点的轴作瞬时转动。
第二章 刚体运动学 刚体一般运动例题,写出刚体定轴转动的速度和加速度公式。
解：设固联在刚体上的 oz 轴和参考坐标系的 oZ 轴重合。
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y
x
Y
X
100
0c o ss i n
0s i nc o s
A
000
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00
1?
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第二章 刚体运动学 刚体一般运动作业题
8-40,8-41
