理 论 力 学李 俊 峰
——分析力学初步约束,对质点系中质点的向径和速度的强制性的限制条件。无论主动力如何变化，约束都必须得到满足。无约束质系称为 自由质系,有约束质系称为 非自由质系 。
§ 8-1 约束、虚位移,D’Alembert-Lagrange原理约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步最一般的约束表达式为
0),..,,,...,,,( 11?nn vvrrtf
0),,(?ii vrtf可简记为 （ 8-1）
一、约束及其分类约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步约束的分类,0),,(?
ii vrtf
（ 8-1）
1）如果表达式（ 8-1）中只有等号成立，则称其为 双面约束 (称该表达式为 约束方程 )；否则称为单面约束 。
2）如果表达式（ 8-1）中不包含,则称其为 几何约束 或 完整约束 ；否则称为 微分约束 。
iv?
3）如果微分约束可以积分成为几何约束，则也称为 完整约束,否则称为 非完整约束 。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
4）如果表达式（ 8-1）中不显含 时间 t,则称其为 定常约束 ；否则称为 非定常约束 。
例 8-1 设一个质点被限制在某个平面内运动。
例 8-2 设质点被限制在某个球心位于坐标原点的球面上运动，球半径随时间变化 。)(tfr?
若取 Z轴垂直于该平面，则约束方程为 Z = const。
这是定常几何约束。
)(2222 tfzyx则约束 是非定常几何约束。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-3 设两个质点用长为 l 的绳相连。
例 8-4 冰刀在冰面上的运动，如图所示。
cv?
),( yxc
x
y
o
约束方程为这是定常微分约束，还是非完整约束 (考虑如何证明 )
tgxyz,0
2221 )( lrr则约束 是单面定常几何约束。
设 c为冰刀上任意一点，它的运动方向只能沿着冰刀的长度方向向前。
例 8-5 纯滚动的圆柱约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
0 CACA rvv
0
0
rx
rx
c
c 完整约束微分约束
ryz cc,0 几何约束
c
Cv?
x
y
例 8-6 在平面上纯滚动的球
rzryrx cxcyc,0,0
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步用欧拉角写成前两个式不可积这是非完整约束
0 CAC rv 微分约束
rzc?
几何约束
0
0)s ins ins in(
0)c o sc o ss in(
rz
ry
rx
c
c
c
c
Cv?
x
y
z
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
1）真实位移,)()( trdttrrd iii
其中 必须同时满足运动微分方程及初始条件，
和约束方程 。
ir?
0),,(?ii rrtf
二、虚位移
2）可能位移,)()( trdttrr
iii
其中 只须满足约束方程,而不必满足运动定律及初始条件。
ir
0),,(?ii rrtf
由定义知,真实位移是可能位移之一。 真实位移是唯一的，可能位移有无穷多个。
iP
ird
iF
iP
iF
1ir
2ir
3ir
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步俯视图 俯视图
lttfrrfN
i
i
i
,.,,,2,1,0
1
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
3）约束对可能位移（真实位移）的限制：
设质系受到几何约束和微分约束
lrtf i,.,,,2,1,0),(
savrta iiN
i i
,.,,,2,1,0),(
1
几何约束对可能位移的限制方程为微分约束对可能位移的限制方程为
starrta iiN
i i
,.,,,2,1,0),(
1
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
4） 虚位移,满足下面齐次线性方程的 的集合。
ir
lrrfN
i
i
i
,.,,,2,1,0
1
srrta iiN
i i
,.,,,2,1,0 ),(
1
5）自由度独立的虚位移数就是质系的 自由度,用 n表示：
lsNn 3
一种等价定义,虚位移是任何两个可能位移之差。
6）可能位移与虚位移的关系
a)定常约束,0,0
at
f
与 满足同样的方程,这时 与 相同
ir ir ir ir
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例如：沿曲面运动的质点有 个自由度。
思考题,1）纯滚的圆盘有几个自由度？
2）自行车有几个自由度？
两纯滚动的圆柱有 个自由度。
作纯滚动的球有 个自由度。三一约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步运算是等时变分运算，与微分运算类似，
不同点是
0?t?
b)非定常约束是假想约束在每一时刻被“冻结”后得到的即在每一时刻 t不变。
ir ir
0,0 atf
例如：
dttfzdzfdyyfdxxfzyxtdf ),,,(
zzfyyfxxfzyxtf ),,,(
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
7）理想约束若约束反力 在任意虚位移上所的虚功恒等于零，即,则该约束称为 理想约束 。
iN
0 ii rN
虚功,力在虚位移上所做的功。
例 8-7 沿光滑曲面运动的质点 P
P
N?曲面的约束反力 沿着曲面的法向，如图所示。曲面的法向为
N?
0),,(?zyxf
kzfjyfixff
故 0 fkrNfkN
因此 光滑曲面约束是理想约束,虚位移沿曲面的切线。还可证明：若光滑曲面是运动的，也是理想约束。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-8 刚体由光滑球铰固定于 o点，作定点运动。
O点无约束力矩，约束反力 大小、方向未知，
但是 O点的虚位移
N?
0 0 oo rNr
因此 光滑 (球、柱 )铰对刚体的约束是理想约束 。
请思考,两个刚体间的光滑球或柱铰是否理想约束？
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-9 两个刚体以光滑表面保持接触而运动。
1N
2N
P
Q
刚体 1
刚体 2
如图所示，记刚体 1的接触点为 P，其向径为 ；记刚体 2
的接触点为 Q，其向径为
1r?
2r?
由于任何一组虚位移 和在接触面的法向分量必须相等。
1 r 2 r
0) ( 2112
1
rrNrN i
i i
理想约束
21 rr
因此 一定在接触点的切平面上，与约束力垂直，故例 8-11 不可伸长的绳子也是理想约束。
2r
A
1P 1?
2?
1r 2P
TNN 21
222111
2
1
c o s c o s rNrNrN i
i i
0)co s co s ( 2211 rrT
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-10 两个刚体以完全粗糙表面接触而运动。
1N
2N
P
Q
刚体 1
刚体 2
021 vv粗糙表面约束：
根据虚位移定义,0
21 rr
0) ( 2112
1
rrNrN i
i i
理想约束三、达朗伯 -拉格朗日 (d’Alembert--Lagrange)原理力学原理可以作为整个力学学科的基石，在此基础上可以建立起完整的力学理论。
1）力学原理分类非变分原理,牛顿三定律、守恒定律等变分原理：
积分变分原理,Hamilton,Jacobi等约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步微分变分原理,d’Alembert，
Jourdian,Gauss等以每一个变分原理为基础，都可以建立力学体系。不同的变分原理在处理同一类力学系统时是等价的，只是适用范围不通，出发点不同。
以牛顿定律出发的力学称为 牛顿力学 或 向量力学,
静力学部分称为 几何静力学 。
以变分原理出发的力学称为 分析力学,静力学部分称为 分析静力学 。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
2）动力学普遍方程 (达朗伯 -拉格朗日原理 )
设质系的质点 受主动力,质系的约束都是理想约束，则 是真实运动当且仅当
iP iF?
)(trr ii
0 )(
1
iii
n
i i
rrmF
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步对任意一组虚位移 都成立。
ir
例 8-12 建立如图所示系统的运动微分方程。
o
x
1m
2m
0)()( 22221111 xxmgmxxmgm
由约束 c o n s txx
21
0,0 2121 xxxx
0)()( 222112 xxmmgmm
由于 是任意的，由此可得运动微分方程，它与用牛顿定律得到的结果完全相同。
2x?
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步四、广义坐标
)3,...2,1( 0),,...,( 31 Nlstxxf Ns
Jacobi矩阵
N
ll
N
N
l
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xx
ff
J
31
3
1
2
1
1
1
31
1
....
.
.
.,,
),.,,,(
),.,,,(
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步只考虑完整约束情况 。设 N个质点组成的系统有 l
个独立的完整约束：
由隐函数存在定理：若矩阵 J的秩为 l(即 l个约束独立 )，则由约束方程 可唯一的解出
0?sf
),,.,,,(
:
),,.,,,(
31
3111
txxgx
txxgx
Nlll
Nl
可见系统的位形由 3N-l个独立参数 完全 确定，而不必用 3N个。选取 3N-l个独立参数时，可以选 3N
个坐标中的任何 3N-l个，也可以选取 3N-l个关于的函数，他们相互独立。例如：可取
Nxx 31...
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
lNn
qxxh
qxxh
nNn
N
3
),.,,,(
:
),.,,,(
31
1311
如果有,与 相互独立。即 矩阵
nhh,...,1 lff,...,1
),.,,,(
),.,,,,,.,,,(
31
11
N
nl
xx
hhff
满秩。于是从 及 中可唯一地解出0?
sf ii qh?
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
),,.,,,(
:
),,.,,,(
133
111
tqqxx
tqqxx
nNN
n
简记为 ),...,1( ),,...,(
1 Nitqqrr nii
因此 n个独立的参数 完全确定了系统的位形，称之为 广义坐标 。
nqq,...,1
若约束都是定常约束，则一定可以选到 使nqq,...,1
),...,1( ),...,( 1 Niqqrr nii
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-13 双摆：如图所示。
o
y
1?
1l
2?
2l
x
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步选 为广义坐标
21,
例 8-14 椭圆摆：如图所示
y
Ax
A
l
B
x
取 为广义坐标?,Ax
广义速度,广义坐标对时间的导数
nqq,...,1
nqq,...,1
广义加速度,广义坐标对时间的二次导数五、准坐标、准速度如果系统除了受 l个完整约束 外还受到 k个非完整约束
0),,.,,,( 31?txxf Ns
),...,1( 0),,...,,,...,( 3131 krtxxxxf NNr
根据 l个完整约束我们选取为广义坐标，则
)3(,,,1 lNnqq n
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
n
i
j
i
i
j
j
njj
t
x
q
q
x
x
Njtqqxx
1
1
3,.,,,1 ),,.,,,(
代入非完整约束式可得
),...,1( 0),,...,(),,...,( 10
1
1 krtqqAqtqqA nr
n
i
inri
可见广义速度 之间相互不独立。
nqq,...,1
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步可以选取 m=n-k个 的函数，例如
nqq,...,1
msqqqB
n
i
insis,.,,,1 ),.,,,(
1
1
如果 与 组成的方阵 是满秩的，
siB riA nn
si
ri R
B
A
则可唯一解出 nitqqqq
mnii,...,1 ),,...,,,...,( 11
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步称为 准速度 。 称为 准坐标 。m,...,1
n,...,1
注意,准坐标的函数形式一般是不存在的，因为一般 不是一个全微分形式，如角速度。
isi qB
例如：描述刚体运动的角速度的三个分量，就是三个准速度，它们是欧拉角及其对时间导数的组合。
例 8-15 纯滚的球广义坐标,
非完整约束
,,,,cc yx
0)s i ns i ns i n(
0)c o sc o ss i n(
ry
rx
c
c
选准速度
c o s
3
2
1
z
c
c
y
x
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步则广义速度为
312
12
12
2
1
)c o ss i n(
1
)s i nc o s(
1
)c o ss i n(
s i n
1
c tg
r
r
r
y
x
c
c
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
——分析力学初步约束,对质点系中质点的向径和速度的强制性的限制条件。无论主动力如何变化，约束都必须得到满足。无约束质系称为 自由质系,有约束质系称为 非自由质系 。
§ 8-1 约束、虚位移,D’Alembert-Lagrange原理约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步最一般的约束表达式为
0),..,,,...,,,( 11?nn vvrrtf
0),,(?ii vrtf可简记为 （ 8-1）
一、约束及其分类约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步约束的分类,0),,(?
ii vrtf
（ 8-1）
1）如果表达式（ 8-1）中只有等号成立，则称其为 双面约束 (称该表达式为 约束方程 )；否则称为单面约束 。
2）如果表达式（ 8-1）中不包含,则称其为 几何约束 或 完整约束 ；否则称为 微分约束 。
iv?
3）如果微分约束可以积分成为几何约束，则也称为 完整约束,否则称为 非完整约束 。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
4）如果表达式（ 8-1）中不显含 时间 t,则称其为 定常约束 ；否则称为 非定常约束 。
例 8-1 设一个质点被限制在某个平面内运动。
例 8-2 设质点被限制在某个球心位于坐标原点的球面上运动，球半径随时间变化 。)(tfr?
若取 Z轴垂直于该平面，则约束方程为 Z = const。
这是定常几何约束。
)(2222 tfzyx则约束 是非定常几何约束。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-3 设两个质点用长为 l 的绳相连。
例 8-4 冰刀在冰面上的运动，如图所示。
cv?
),( yxc
x
y
o
约束方程为这是定常微分约束，还是非完整约束 (考虑如何证明 )
tgxyz,0
2221 )( lrr则约束 是单面定常几何约束。
设 c为冰刀上任意一点，它的运动方向只能沿着冰刀的长度方向向前。
例 8-5 纯滚动的圆柱约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
0 CACA rvv
0
0
rx
rx
c
c 完整约束微分约束
ryz cc,0 几何约束
c
Cv?
x
y
例 8-6 在平面上纯滚动的球
rzryrx cxcyc,0,0
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步用欧拉角写成前两个式不可积这是非完整约束
0 CAC rv 微分约束
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几何约束
0
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0)c o sc o ss in(
rz
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c
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c
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x
y
z
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
1）真实位移,)()( trdttrrd iii
其中 必须同时满足运动微分方程及初始条件，
和约束方程 。
ir?
0),,(?ii rrtf
二、虚位移
2）可能位移,)()( trdttrr
iii
其中 只须满足约束方程,而不必满足运动定律及初始条件。
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0),,(?ii rrtf
由定义知,真实位移是可能位移之一。 真实位移是唯一的，可能位移有无穷多个。
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步俯视图 俯视图
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,.,,,2,1,0
1
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
3）约束对可能位移（真实位移）的限制：
设质系受到几何约束和微分约束
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1
几何约束对可能位移的限制方程为微分约束对可能位移的限制方程为
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
4） 虚位移,满足下面齐次线性方程的 的集合。
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5）自由度独立的虚位移数就是质系的 自由度,用 n表示：
lsNn 3
一种等价定义,虚位移是任何两个可能位移之差。
6）可能位移与虚位移的关系
a)定常约束,0,0
at
f
与 满足同样的方程,这时 与 相同
ir ir ir ir
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例如：沿曲面运动的质点有 个自由度。
思考题,1）纯滚的圆盘有几个自由度？
2）自行车有几个自由度？
两纯滚动的圆柱有 个自由度。
作纯滚动的球有 个自由度。三一约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步运算是等时变分运算，与微分运算类似，
不同点是
0?t?
b)非定常约束是假想约束在每一时刻被“冻结”后得到的即在每一时刻 t不变。
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0,0 atf
例如：
dttfzdzfdyyfdxxfzyxtdf ),,,(
zzfyyfxxfzyxtf ),,,(
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
7）理想约束若约束反力 在任意虚位移上所的虚功恒等于零，即,则该约束称为 理想约束 。
iN
0 ii rN
虚功,力在虚位移上所做的功。
例 8-7 沿光滑曲面运动的质点 P
P
N?曲面的约束反力 沿着曲面的法向，如图所示。曲面的法向为
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故 0 fkrNfkN
因此 光滑曲面约束是理想约束,虚位移沿曲面的切线。还可证明：若光滑曲面是运动的，也是理想约束。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-8 刚体由光滑球铰固定于 o点，作定点运动。
O点无约束力矩，约束反力 大小、方向未知，
但是 O点的虚位移
N?
0 0 oo rNr
因此 光滑 (球、柱 )铰对刚体的约束是理想约束 。
请思考,两个刚体间的光滑球或柱铰是否理想约束？
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-9 两个刚体以光滑表面保持接触而运动。
1N
2N
P
Q
刚体 1
刚体 2
如图所示，记刚体 1的接触点为 P，其向径为 ；记刚体 2
的接触点为 Q，其向径为
1r?
2r?
由于任何一组虚位移 和在接触面的法向分量必须相等。
1 r 2 r
0) ( 2112
1
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理想约束
21 rr
因此 一定在接触点的切平面上，与约束力垂直，故例 8-11 不可伸长的绳子也是理想约束。
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约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-10 两个刚体以完全粗糙表面接触而运动。
1N
2N
P
Q
刚体 1
刚体 2
021 vv粗糙表面约束：
根据虚位移定义,0
21 rr
0) ( 2112
1
rrNrN i
i i
理想约束三、达朗伯 -拉格朗日 (d’Alembert--Lagrange)原理力学原理可以作为整个力学学科的基石，在此基础上可以建立起完整的力学理论。
1）力学原理分类非变分原理,牛顿三定律、守恒定律等变分原理：
积分变分原理,Hamilton,Jacobi等约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步微分变分原理,d’Alembert，
Jourdian,Gauss等以每一个变分原理为基础，都可以建立力学体系。不同的变分原理在处理同一类力学系统时是等价的，只是适用范围不通，出发点不同。
以牛顿定律出发的力学称为 牛顿力学 或 向量力学,
静力学部分称为 几何静力学 。
以变分原理出发的力学称为 分析力学,静力学部分称为 分析静力学 。
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
2）动力学普遍方程 (达朗伯 -拉格朗日原理 )
设质系的质点 受主动力,质系的约束都是理想约束，则 是真实运动当且仅当
iP iF?
)(trr ii
0 )(
1
iii
n
i i
rrmF
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步对任意一组虚位移 都成立。
ir
例 8-12 建立如图所示系统的运动微分方程。
o
x
1m
2m
0)()( 22221111 xxmgmxxmgm
由约束 c o n s txx
21
0,0 2121 xxxx
0)()( 222112 xxmmgmm
由于 是任意的，由此可得运动微分方程，它与用牛顿定律得到的结果完全相同。
2x?
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步四、广义坐标
)3,...2,1( 0),,...,( 31 Nlstxxf Ns
Jacobi矩阵
N
ll
N
N
l
x
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31
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....
.
.
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),.,,,(
),.,,,(
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步只考虑完整约束情况 。设 N个质点组成的系统有 l
个独立的完整约束：
由隐函数存在定理：若矩阵 J的秩为 l(即 l个约束独立 )，则由约束方程 可唯一的解出
0?sf
),,.,,,(
:
),,.,,,(
31
3111
txxgx
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Nlll
Nl
可见系统的位形由 3N-l个独立参数 完全 确定，而不必用 3N个。选取 3N-l个独立参数时，可以选 3N
个坐标中的任何 3N-l个，也可以选取 3N-l个关于的函数，他们相互独立。例如：可取
Nxx 31...
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
lNn
qxxh
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如果有,与 相互独立。即 矩阵
nhh,...,1 lff,...,1
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满秩。于是从 及 中可唯一地解出0?
sf ii qh?
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
),,.,,,(
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),,.,,,(
133
111
tqqxx
tqqxx
nNN
n
简记为 ),...,1( ),,...,(
1 Nitqqrr nii
因此 n个独立的参数 完全确定了系统的位形，称之为 广义坐标 。
nqq,...,1
若约束都是定常约束，则一定可以选到 使nqq,...,1
),...,1( ),...,( 1 Niqqrr nii
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步例 8-13 双摆：如图所示。
o
y
1?
1l
2?
2l
x
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步选 为广义坐标
21,
例 8-14 椭圆摆：如图所示
y
Ax
A
l
B
x
取 为广义坐标?,Ax
广义速度,广义坐标对时间的导数
nqq,...,1
nqq,...,1
广义加速度,广义坐标对时间的二次导数五、准坐标、准速度如果系统除了受 l个完整约束 外还受到 k个非完整约束
0),,.,,,( 31?txxf Ns
),...,1( 0),,...,,,...,( 3131 krtxxxxf NNr
根据 l个完整约束我们选取为广义坐标，则
)3(,,,1 lNnqq n
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
n
i
j
i
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1
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代入非完整约束式可得
),...,1( 0),,...,(),,...,( 10
1
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n
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可见广义速度 之间相互不独立。
nqq,...,1
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步可以选取 m=n-k个 的函数，例如
nqq,...,1
msqqqB
n
i
insis,.,,,1 ),.,,,(
1
1
如果 与 组成的方阵 是满秩的，
siB riA nn
si
ri R
B
A
则可唯一解出 nitqqqq
mnii,...,1 ),,...,,,...,( 11
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步称为 准速度 。 称为 准坐标 。m,...,1
n,...,1
注意,准坐标的函数形式一般是不存在的，因为一般 不是一个全微分形式，如角速度。
isi qB
例如：描述刚体运动的角速度的三个分量，就是三个准速度，它们是欧拉角及其对时间导数的组合。
例 8-15 纯滚的球广义坐标,
非完整约束
,,,,cc yx
0)s i ns i ns i n(
0)c o sc o ss i n(
ry
rx
c
c
选准速度
c o s
3
2
1
z
c
c
y
x
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步则广义速度为
312
12
12
2
1
)c o ss i n(
1
)s i nc o s(
1
)c o ss i n(
s i n
1
c tg
r
r
r
y
x
c
c
约束、虚位移第 八 章 分析动力学初步
